人教A版数学选修2-1培优教程练习：第一章 常用逻辑术语 1.1 1.1.1

1.1.3四种命题间的相互关系【课时目标】 1.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系.2.会利用命题的等价性解决问题．1．四种命题的相互关系2．四种命题的真假性(1)(2)①两个命题互为逆否命题，它们有______的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性______________．一、选择题1．命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是()A．若q不正确，则p不正确B．若q不正确，则p正确C．若p正确，则q不正确D．若p正确，则q正确2．下列说法中正确的是()A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价C．“若a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真3．与命题“能被6整除的整数，一定能被2整除”等价的命题是()A．能被2整除的整数，一定能被6整除B．不能被6整除的整数，一定不能被2整除C．不能被6整除的整数，不一定能被2整除D．不能被2整除的整数，一定不能被6整除4．命题：“若a2＋b2＝0 (a，b∈R)，则a＝b＝0”的逆否命题是()A ．若a ≠b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0B ．若a ＝b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0C ．若a ≠0，且b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0D ．若a ≠0，或b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠05．在命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( )A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真6．设α、β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β.那么( )A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①②都是真命题D ．二、填空题7．“已知a ∈U (U 为全集)，若a ∉∁U A ，则a ∈A ”的逆命题是________________________________________，它是______命题．(填“真”“假”)8．“若x ≠1，则x 2－1≠0”的逆否命题为________命题．(填“真”、“假”)9．下列命题：①“若k >0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题；②“若1a >1b，则a <b ”的逆命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题．其中是假命题的是________．三、解答题10．已知命题：若m >2，则方程x 2＋2x ＋3m ＝0无实根，写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假．11．已知奇函数f (x )是定义域为R 的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥0，求证：a ＋b ≥0.12．若a 2＋b 2＝c 2，求证：a ，b ，c 不可能都是奇数．【能力提升】13．给出下列三个命题：①若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b 1＋b； ②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则m (n －m )≤n 2； ③设P (x 1，y 1)是圆O 1：x 2＋y 2＝9上的任意一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心，且半径为1.当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝1时，圆O 1与圆O 2相切．其中假命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．314．a 、b 、c 为三个人，命题A ：“如果b 的年龄不是最大的，那么a 的年龄最小”和命题B ：“如果c 的年龄不是最小的，那么a 的年龄最大”都是真命题，则a 、b 、c 的年龄的大小顺序是否能确定？请说明理由．1．互为逆否的命题同真假，即原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真假．四种命题中真命题的个数只能是偶数个，即0个、2个或4个．2．当一个命题是否定形式的命题，且不易判断其真假时，可以通过判断与之等价的逆否命题的真假来达到判断该命题真假的目的．1.1.3四种命题间的相互关系知识梳理1．若q，则p若綈p，则綈q若綈q，则綈p2．(2)①相同②没有关系作业设计1．D[原命题的逆命题和否命题互为逆否命题，只需写出原命题的否命题即可．]2．D 3.D4．D[a＝b＝0的否定为a，b至少有一个不为0.]5．D[原命题是真命题，所以逆否命题也为真命题．]6．D7．已知a∈U(U为全集)，若a∈A，则a∉∁U A真解析“已知a∈U(U为全集)”是大前提，条件是“a∉∁U A”，结论是“a∈A”，所以原命题的逆命题为“已知a∈U(U为全集)，若a∈A，则a∉∁U A”．它为真命题．8．假9.①②10．解逆命题：若方程x2＋2x＋3m＝0无实根，则m>2，假命题．否命题：若m≤2，则方程x2＋2x＋3m＝0有实根，假命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋3m＝0有实根，则m≤2，真命题．11．证明假设a＋b<0，即a<－b，∵f(x)在R上是增函数，∴f(a)<f(－b)．又f(x)为奇函数，∴f(－b)＝－f(b)，∴f(a)<－f(b)，即f(a)＋f(b)<0.即原命题的逆否命题为真，故原命题为真．∴a＋b≥0.12．证明若a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数．得a2＋b2为偶数，而c2为奇数，即a2＋b2≠c2，即原命题的逆否命题为真，故原命题也为真命题．所以a，b，c不可能都是奇数．13．B [①用“分部分式”判断，具体：a 1＋a ≥b 1＋b ⇔1－11＋a ≥1－11＋b ⇔11＋a ≤11＋b，又a ≥b >－1⇔a ＋1≥b ＋1>0知本命题为真命题．②用基本不等式：2xy ≤x 2＋y 2 (x >0，y >0)，取x ＝m ，y ＝n －m ，知本命题为真． ③圆O 1上存在两个点A 、B 满足弦AB ＝1，所以P 、O 2可能都在圆O 1上，当O 2在圆O 1上时，圆O 1与圆O 2相交．故本命题为假命题．]14．解 能确定．理由如下：显然命题A 和B 的原命题的结论是矛盾的，因此应该从它的逆否命题来考虑．①由命题A 为真可知，当b 不是最大时，则a 是最小的，即若c 最大，则a 最小，所以c >b >a ；而它的逆否命题也为真，即“a 不是最小，则b 是最大”为真，所以b >a >c .总之由命题A 为真可知：c >b >a 或b >a >c .②同理由命题B 为真可知a >c >b 或b >a >c .从而可知，b >a >c .所以三个人年龄的大小顺序为b 最大，a 次之，c 最小．。

第一章 1.2 1.2.1考点对应题号基础训练 能力提升 1.求双曲线的标准方程 1,3,5,7 10,12 2.求与双曲线有关的轨迹方程 6 3.利用双曲线的定义讨论参数和求最值8,9 11 4.双曲线中的焦点三角形问题2,4131．经过点(－1,2)和(2，－5)的双曲线的方程是( ) A ．7x 23－y 23＝－1B ．x 23－7y 23＝1或7x 23－y 23＝1C ．7x 23－y 23＝1D ．x 23－7y 23＝1C 解析 设双曲线的方程为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)，将点的坐标代入方程⎩⎨⎧1m ＋4n＝1，4m ＋25n ＝1，得 ⎩⎨⎧1m ＝73，1n ＝－13，所以双曲线方程为7x 23－y 23＝1.2．若F 1，F 2分别是双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，AB 是双曲线左支上过点F 1的弦，且|AB |＝6，则△ABF 2的周长是( )A ．28B ．26C ．20D ．24A 解析 |AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a ， |AF 2|＋|BF 2|－|AF 1|－|BF 1|＝4a ， 即|AF 2|＋|BF 2|－|AB |＝4a ，所以|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＋2|AB |＝4×4＋2×6＝28.3．若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等A 解析 因为0<k <9，所以两条曲线都表示双曲线．双曲线x 225－y 29－k ＝1的实半轴长为5，虚半轴长为9－k ，焦距为 225＋(9－k )＝234－k ，离心率为34－k5. 双曲线x 225－k －y 29＝1的实半轴长为25－k ，虚半轴长为3，焦距为2(25－k )＋9＝234－k ，离心率为34－k25－k，故两曲线只有焦距相等．故选A 项． 4．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2s －y 2t ＝1(s ，t >0)有相同的焦点F 1和F 2，而P 是这两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是( )A ．m －sB ．12m －sC ．m 2－s 2D ．m －sA 解析 因为椭圆和双曲线有共同焦点，P 在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2m . 又P 在双曲线上，所以||PF 1|－|PF 2||＝2s . 两式平方相减得4|PF 1|·|PF 2|＝4(m －s )， 故|PF 1|·|PF 2|＝m －s .5．已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B ．2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0A 解析 由题意知e 1＝c 1a ，e 2＝c 2a ，所以e 1·e 2＝c 1a ·c 2a ＝c 1c 2a 2＝32.又因为c 22＝a 2＋b 2，c 21＝a 2－b 2， 所以c 21c 22a 4＝a 4－b 4a4＝1－⎝⎛⎭⎫b a 4＝34， 解得b a ＝±22，所以b a ＝22.令x 2a 2－y 2b2＝0，解得bx ±ay ＝0，所以x ±2y ＝0. 6．如图，△ABC 外接圆半径R ＝1433，∠ABC ＝120°，BC ＝10，弦BC 在x 轴上且y 轴垂直平分BC 边，则过点A 且以B ，C 为焦点的双曲线的方程为( )A ．x 29－y 216＝1B ．x 216－y 29＝1C ．x 212－y 213＝1D ．x 215－y 210＝1B 解析 由正弦定理得|AC |sin 120° ＝2R ，所以|AC |＝2×1433×32＝14，由余弦定理得|AC |2＝|AB |2＋|BC |2－2|AB ||BC |cos ∠ABC ， 即|AB |2＋10|AB |－96＝0，解得|AB |＝6， 依题意设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则|BC |＝2c ＝10，|AC |－|AB |＝2a ＝14－6＝8， 所以c ＝5，a ＝4，则b 2＝c 2－a 2＝9， 因此所求双曲线的方程为x 216－y 29＝1.二、填空题7．若双曲线的两焦点为(±13,0)，且(5,0)在双曲线上，则双曲线的标准方程为____________.解析 点(5,0)到两焦点(13,0)和(－13,0)的距离之差的绝对值等于|8－18|＝10，所以2a ＝10，a ＝5，而c ＝13，所以b 2＝144，故双曲线的标准方程为x 225－y 2144＝1. 答案 x 225－y 2144＝18．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________.解析 由题意知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.答案 49．已知方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示的曲线为C ．给出以下四个命题：①当1＜t ＜4时，曲线C 表示椭圆；②当t ＞4或t ＜1时，曲线C 表示双曲线；③若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜t ＜52；④若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则t＞4.其中正确的是________(填正确命题的序号)．解析 ①错误，当t ＝52时，曲线C 表示圆；②正确，若C 为双曲线，则(4－t )(t －1)＜0，即t ＜1或t ＞4；③正确，若C 为焦点在x 轴上的椭圆，则4－t ＞t －1＞0，即1＜t ＜52；④正确，若曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧4－t ＜0，t －1＞0，即t ＞4.答案 ②③④ 三、解答题10．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)a ＝5，c ＝7；(2)以椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为焦点，且经过点P ⎝⎛⎭⎫5，94. 解析 (1)由题设知a ＝5，c ＝7，则b 2＝c 2－a 2＝24. 由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程是x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1.(2)因为椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为A 1(－5,0)，A 2(5,0)，所以所求双曲线的焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．由双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2|| ＝⎪⎪⎪⎪(5＋5)2＋⎝⎛⎭⎫94－02－(5－5)2＋⎝⎛⎭⎫94－02＝8，即2a ＝8，则a ＝4.又c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2＝9， 故所求双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.11．已知x 21－k －y 2|k |－3＝－1.(1)当k 为何值时，方程表示双曲线；(2)当k 为何值时，方程表示焦点在x 轴上的双曲线； (3)当k 为何值时，方程表示焦点在y 轴上的双曲线．解析 (1)依题意，若方程表示双曲线，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－k ＞0，|k |－3＞0或⎩⎪⎨⎪⎧1－k ＜0，|k |－3＜0，解得k ＜－3或1＜k ＜3.(2)若方程表示焦点在x 轴上的双曲线，则1＜k ＜3；(3)若方程表示焦点在y 轴上的双曲线，则k ＜－3.12．双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，求点P的坐标．解析 因为双曲线的方程为x 29－y 216＝1，所以a 2＝9，b 2＝16，则c ＝9＋16＝5，所以F 1(－5,0)，F 2(5,0)．因为PF 1⊥PF 2，所以点P 在以F 1F 2为直径的圆上，得圆的方程为x 2＋y 2＝25.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝25，x 29－y 216＝1得⎩⎨⎧x ＝3415，y ＝±165或⎩⎨⎧x ＝－3415，y ＝±165.所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫3415，±165或⎝⎛⎭⎫－3415，±165.四、选做题13．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点． (1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1，F 2为左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判断△MF 1F 2的形状．解析 (1)椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝5，故设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1，则有⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得a 2＝3，b 2＝2，所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1.(2)不妨设点M 在右支上，则有|MF 1|－|MF 2|＝23，又|MF 1|＋|MF 2|＝63，故解得|MF 1|＝43，|MF 2|＝2 3.又|F 1F 2|＝25，因此在△MF 1F 2中，边MF 1最长，因为cos ∠MF 2F 1＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2－|MF 1|22·|MF 2|·|F 1F 2|<0，所以∠MF 2F 1为钝角，故△MF 1F 2为钝角三角形．由Ruize收集整理。

第一章 1.1 1.1.2 第2课时考点对应题号基础训练 能力提升 1.直线与椭圆的位置关系及弦长 1,2,3,5 7,13 2.中点弦问题 4,10 11,12 3.椭圆中的最值问题86,91．经过椭圆x 22＋y 2＝1的右焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OA →·OB →＝( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13B 解析 椭圆的右焦点为(1,0)，设l ：y ＝x －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2，把y ＝x －1代入x 22＋y 2＝1，得3x 2－4x ＝0.所以A (0，－1)，B ⎝⎛⎭⎫43，13. 所以OA →·OB →＝－13.2．若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是( )A ．63B ．－63C ．±63D ．±33C 解析 把y ＝kx ＋2代入x 23＋y 22＝1，得(3k 2＋2)x 2＋12kx ＋6＝0，因为直线与椭圆相切，所以Δ＝(12k )2－4(3k 2＋2)×6＝0，解得k ＝±63.3．若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是( )A ．{m |m ＞1}B ．{m |m ≥1或0＜m ＜1}C ．{m |0＜m ＜5或m ≠1}D ．{m |m ≥1且m ≠5}D 解析 因为直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点，若5＞m ，则m ≥1，即m ≥1；若5＜m ，则必有公共点．所以m ≥1且m ≠5.4．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是( )A ．⎝⎛⎭⎫23，53B ．⎝⎛⎭⎫43，73 C ．⎝⎛⎭⎫－23，13 D ．⎝⎛⎭⎫－132，－172 C 解析 把y ＝x ＋1代入椭圆方程，整理得3x 2＋4x －2＝0，所以弦的中点坐标(x 0，y 0)满足x 0＝x 1＋x 22＝－23，y 0＝x 0＋1＝－23＋1＝13.5．已知椭圆x 2＋y 22＝a 2(a ＞0)与以A (2,1)，B (4,3)为端点的线段没有公共点，则a 的取值范围是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪0＜a ＜322 B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪0＜a ＜322或a ＞822 C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪0＜a ＜13 D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪322＜a ＜822 B 解析 由题意有A ，B 两点同在椭圆外或椭圆内．即⎩⎨⎧4＋12>a 2，16＋92>a2或⎩⎨⎧4＋12<a 2，16＋92<a 2，得0<a <322或a >822.6．已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的两个焦点，P (不在x 轴上)为椭圆上一点，且满足PF 1→·PF 2→＝c 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．⎣⎡⎭⎫33，1B ．⎣⎡⎦⎤13，12C ．⎣⎡⎭⎫33，22 D ．⎝⎛⎦⎤0，22 C 解析 由椭圆的定义得||PF 1＋||PF 2＝2a ，平方得||PF 12＋||PF 22＋2||PF 1||PF 2＝4a 2. ①又PF 1→·PF 2→＝c 2，所以||PF 1→·||PF 2→cos ∠F 1PF 2＝c 2，② 由余弦定理，得||PF 12＋||PF 22－2||PF 1·||PF 2·cos ∠F 1PF 2＝||F 1F 22＝4c 2，③由①②③得cos ∠F 1PF 2＝c 22a 2－3c 2<1，2c <a ，所以e <22.||PF 1·||PF 2≤⎝⎛⎭⎫||PF 1＋||PF 222＝a 2，所以2a 2－3c 2≤a 2，a 2≤3c 2，e ≥33. 则椭圆离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫33，22.故选C 项． 二、填空题7．椭圆x 245＋y 220＝1的焦点分别为F 1，F 2，过原点O 作直线与椭圆相交于A ，B 两点，若△ABF 2的面积是20，则直线AB 的方程是______________.解析 设点A (x 0，y 0)．因为S △ABF 2＝S △AF 1F 2＝12|F 1F 2||y A |＝20，所以|y A |＝402c ＝4.因为点A 在椭圆上，所以x 2045＋1620＝1，解得x 0＝±3.所以直线AB 的斜率k ＝±43，方程为4x ＋3y ＝0或4x －3y ＝0.答案 4x ＋3y ＝0或4x －3y ＝0 8．若圆x 2＋y 2＝a 2(a ＞0)与椭圆x 29＋y 24＝1有公共点，则实数a 的取值范围是________. 解析 根据图象可得圆的直径要比椭圆的长轴短或相等，比短轴长或相等，因此半径a 的取值范围为[2,3]．答案 [2,3]9．椭圆x 2a 2＋y 25＝1(a 为定值，且a >5)的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B ，△F AB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________.解析 设椭圆的右焦点为F ′，如图，由椭圆定义知|AF |＋|AF ′|＝|BF |＋|BF ′|＝2a . 又△F AB 的周长为|AF |＋|BF |＋|AB |≤|AF |＋|BF |＋|AF ′|＋|BF ′|＝4a ，当且仅当AB 过右焦点F ′时，等号成立．此时4a ＝12，则a ＝3.故椭圆方程为x 29＋y 25＝1，所以c ＝2，所以e ＝c a ＝23.答案 23三、解答题10．已知A (－2,0)，B (2,0)，过点A 作直线l 交以A ，B 为焦点的椭圆于M ，N 两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求该椭圆的方程．解析 易知直线l 与x 轴不垂直， 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)． ① 又设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1(a 2>4)．②因为直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，故|2k |k 2＋1＝1， 解得k 2＝13.将①代入②整理得(a 2k 2＋a 2－4)x 2＋4a 2k 2x ＋4a 2k 2－a 4＋4a 2＝0，而k 2＝13，即(a 2－3)x 2＋a 2x －34a 4＋4a 2＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－a 2a 2－3，由题意有a 2a 2－3＝2×45(a 2>3)，求得a 2＝8.经检验，此时Δ>0.故所求的椭圆方程为x 28＋y 24＝1.11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1的坐标为(－22，0)，且椭圆C 的短轴长为4，斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，以AB 为底边的等腰三角形的顶点为P (－3,2)．(1)求椭圆C 的方程； (2)求△P AB 的面积．解析 (1)由已知得c ＝22，2b ＝4，所以a 2＝b 2＋c 2＝12. 所以椭圆C 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1)得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0， 设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，AB 的中点为E (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝－3m2，x 1x 2＝3m 2－124，x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m4.因为||P A ＝||PB ，E 为AB 的中点，所以PE ⊥AB ，所以k PE ＝2－m 4－3＋3m 4＝－1，解得m ＝2.因为||AB ＝1＋12·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝32，||PE ＝⎝⎛⎭⎫－3＋322＋⎝⎛⎭⎫2－122＝322，所以△P AB 的面积S ＝12||AB ·||PE ＝92. 12．已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A ，B 两点．(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当点P 恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程．解析 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎨⎧y ＝12x ，x 236＋y29＝1可得x 2－18＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＝32，x 2＝－32，于是|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝52×62＝310.所以线段AB 的长度为310.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y229＝1，两式相减得x 22－x 2136＋y 22－y 219＝0，整理得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－9(x 2＋x 1)36(y 2＋y 1)，由于P (4,2)是AB 的中点，所以x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，于是k AB ＝－9×836×4＝－12，于是直线AB 的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4.四、选做题13．如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过点B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程．解析 (1)如图所示，设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，右焦点为F 2(c,0)．因△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|＝|AB 2|，故∠B 1AB 2为直角，因此|OA |＝|OB 2|，得b ＝c2，结合c 2＝ a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2， c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255.在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c2·b ＝b 2.由题设条件S △AB 1B 2＝4得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20， 因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1.(2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.①设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是方程①的两根，因此y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1·y 2＝－16m 2＋5.又B 2P →＝(x 1－2，y 1)，B 2Q →＝(x 2－2，y 2)，所以B 2P →·B 2Q →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16＝－16(m 2＋1)m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16＝－16m 2－64m 2＋5.由PB 2⊥QB 2得B 2P →·B 2Q →＝0， 即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0.由Ruize收集整理。

模块复习课第1课时常用逻辑用语课后篇巩固提升基础巩固A.∃x0∈R,x02-2x0+1≥0B.∃x0∈R,x02-2x0+1>0C.∀x∈R,x2-2x+1≥0D.∀x∈R,x2-2x+1<0A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件m⊄α,n⊂α时,由线面平行的判定定理可知,m∥n⇒m∥α;但反过来不成立,即m∥α不一定有m∥n,m与n还可能异面.故选A.A.若x2≠1,则x=1或x=-1B.若x2=1,则x≠1且x≠-1C.若x2≠1,则x≠1或x≠-1D.若x2≠1,则x≠1且x≠-1作出函数y=2x,y=x2的图象,如图,由图象知两函数有3个交点,①∀x∈R,不等式x2+2x>4x-3成立;②若log2x+log x2≥2,则x>1;A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④,x2+2x>4x-3⇒(x-1)2+2>0恒成立,①真.②中,由log2x+log x2≥2,且log2x与log x2同号,③中,易知“a>b>0且c<0时,ca >cb”.7.已知p:-4<x-a<4,q:(x-2)(x-3)<0,若q 是p 的充分条件,则a 的取值范围为 .因为q 是p 的充分条件,建立不等关系{-4+a ≤2,4+a ≥3,解得{a ≤6,a ≥-1,故a 的取值范围为[-1,6]. (2)若p 是q 成立的充分不必要条件,求实数a 的取值范围. 由|4x-3|<a,得-a<4x-3<a,∴3-a 4<x<3+a 4.∴A={x |3-a 4<x <3+a 4,a >0}.由x 2+2x-8<0,解得-4<x<2, ∴B={x|-4<x<2}.(2)∵p 是q 成立的充分不必要条件,∴A ⫋B.∴{3-a 4≥-4,3+a4<2,a >0或{3-a 4>-4,3+a4≤2,a >0.解得0<a<5或0<a≤5.经检验a=5时成立,∴实数a 的取值范围是(0,5].能力提升A.若a+c≤b+c,则a≤bB.若a≤b,则a+c≤b+cC.若a+c>b+c,则a>bD.若a>b,则a+c≤b+c2.“x>2”是“x>1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件当p 真,q 假时,有{a <2,a 2≤16,解得-4≤a<2;当p 假,q 真时,有{a ≥2,a 2>16,解得a>4.综上,实数a 的取值范围是[-4,2)∪(4,+∞).∪(4,+∞) ①双曲线x 225−y 29=1与椭圆x 235+y 2=1有相同的焦点;②过点P(2,1)的抛物线的标准方程是y 2=12x; ③已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1,若它的离心率为√5,则双曲线C 的一条渐近线方程为y=2x; ④椭圆x 2m+1+y 2m=1的两个焦点为F 1,F 2,P 为椭圆上的动点,△PF 1F 2的面积的最大值为2,则m 的值为2.x 轴上,半焦距c 相等都是√34,所以双曲线x 225−y 29=1与椭圆x 235+y 2=1有相同的焦点,正确;②过点P(2,1)的抛物线的标准方程有两条,除了y2=12x,还有一条焦点在y轴上的抛物线,不正确;③已知双曲线C:x 2a2−y2b2=1,若它的离心率为√5,则ca=√5,所以ba=2,所以双曲线C的一条渐近线方程为y=2x,正确;④由解析式知,半焦距为1,△PF1F2的面积的最大值为2,即bc=2,可得b=2,故m=4,不正确.。