复变复习题12

1 复变函数复习题

(一)填空题

1．复数103(cos5sin5)(cos3sin3)izi的复指数表示式为__________________;

2．设11izi，则1005025____________________;zzz

3．设35,arg(),4zzi则______________;z

4．设01,01,ffi则01lim_________________zfzz；

5. 设51(1)5fzziz，则方程0fz的所有根为___________；

6. 函数ImRefzzzz仅在点__________________z可导；

7. 设c为正向圆周2z,则积分_____________________czzdzz；

8. 设220zzfzdzzz,其中0z不在2z上,则________fi;

9.

010________,01________,0()nzzrndznzz

10. 若函数32,uxyxaxy为某一解析函数的虚部,则常数_____________a;

11．若幂级数0()nnnczi在zi处发散，那么该级数在2z处的敛散性为_______；

12．级数312nnnzn的收敛半径为_______；收敛圆为_______；

13. 在点0z ( ）的函数一定可以在0z的邻域内展开为泰勒级数；

14. 设1(1)fzzz，则fz在01z内的洛朗展开式_______；

15. 设0z为函数32sinzz的m级零点，则_________m；

16. 设函数221,zzfze则Re[,0]___________sfz；

2 17. 函数cot23zz在2zi内的奇点个数为_________________。

（二）选择题

1．设34,zi则幅角的主值arg()z

44.arctan.arctan3344.arctan.arctan33ABCD

2．41()

222222.cossin.cossin44443322222222.cossin.cossin4444kkkkAiBikkkkCiDi

(0,1,2,3)k

3．设(izttt为参数)，则其表示()图形。

.A直线； .B 双曲线； .C 圆； .D抛物线。

4．如果0z是fz的奇点，那么fz在0z处一定（ ）

.A 不解析； .B 不可导； .C 可导； .D 解析。

5．函数211fzz在圆域1z内（ ）

.A可导； .B 不连续； .C 不可导； D 连续不可导。

6．下列函数中为解析函数的是（ ）

233..23AfzxiyBfzxiy

22..sincosCfzxyixyDfzxchyixshy

7．下列命题中，正确的是（ ）

.A设,xy为实数，则cos()1xiy；

.B 若0z是函数fz的奇点，则fz在0z一定不可导；

3 .C 若,uv在区域D内满足柯西—黎曼方程，则fzuiv在区域D内解析；

.D 若fz在区域D内解析，则ifz在区域D内也解析。

8．设sin,fzz则下列命题中，不正确的是（ ）

.Afz在复平面上处处解析；

.Bfz以2为周期；

.2izizeeCfz

.Dfz是无界的。

9. 设c为从原点沿2yx至1i的弧段,则2()cxiydz( )

15151515....66666666AiBiCiDi

10. 设1:1cz为负向,2:3cz为正向,则122sincczdzz( )

.2.0.2.4AiBCiDi

11. 设c为正向圆周1,2z则321cos2(1)czzdzz=( )

.2(3cos1sin1).0.6cos1.2sin1AiBCiDi

12. 设c为正向圆周2220xyx，则2sin()41czdzz（ ）

22..2.0.22AiBiCDi

13．幂级数在收敛圆周上（ ）

.A一定收敛； .B一定发散； .C 可能收敛可能发散；.D,,ABC均不对。

14．若lim0nnz，则复数项级数1nnz（ ）

4 .A收敛； .B发散； .C可能收敛可能发散；.D,,ABC均不对。

15．级数1(1)nnzn的收敛半径及收敛圆为（ ）

.1,11;.2,11;.1,1;.2,12;ARzBRzCRzDRz

16．设幂级数000,,,1nnnnnnnnnccznczzn的收敛半径分别为123,,RRR，则123,,RRR之间的关系是（ ）

123123123123....ARRRBRRRCRRRDRRR

17．1z是函数1(1)sin1zz的（ ）

.A 可去奇点；.B一级极点； .C 一级零点； D 本性奇点。

18．设0z为函数41sinzezz的m级极点，那么()m

.5.4.3.2ABCD

19．下列命题中不正确的是（ ）

A．若0z为fz的解析点或可去奇点，则0Re[,]0sfzz

B．若,PzQz在0z解析，0z为Qz的一级零点，则000Re[,]PzPzszQzQz

C．若0z为fz的m级极点，nm为自然数，则

01001Re[,]lim[]!nzzsfzzzzfzn

D．如果0z是fz的m级极点，则0z是1fz的m级零点。

（三）计算题

1．设11iizii，求出它的实部、虚部、共轭复数、模及幅角（包括主幅角）；

2．将722zi表示成xiy的形式，并写出其三角和复指数表示式；

5 3．求值：45(1)i；

4．利用棣莫弗公式，试把cos3与sin3分别表示为cos与sin的幂；

5．化简(13)(cossin)(1)(cossin)iiii

6．求z平面上的直线2x经(1)2wizi映射到w平面上的图形；

7. 问函数Refzzz在何处可导，何处解析；在可导处求出其导数；

8. 求实常数k，使得函数(cossin)xfzekyiky在z平面上处处解析；

9. 求值：（1）23ie；（3）cos5i；

10. 求值：（1）(1)ii；（2）()Lni

11. 求解方程：13zei；

12. 2Rezcezdz,其中c为从10z到21zi的直线段组成.

13. 26(1)(2)zrzdzzz,其中0,1,2rr

14. 3(1)cdzzz,其中c为z平面上一简单闭曲线(1)0在c内,1在c外;(2)1在c内, 0

在c外;(3) 0和1都在c内.

15. 设21(2)efzd,求: (1)0,2;ff(2)0,2ff

16. 问函数,arctan(0)yvxyyxx能否成为某一解析函数的虚部,若能,试求出满足条件11f的解析函数fzuiv.

17. 若调和函数,uv满足22()(4)uvxyxxyy2()xy,试确定解析函数fzuiv.

18．将下列函数在指定点展开为幂级数，并指出它的收敛半径。

6 （1）(1)(2)zzz 02z

（2）sinz 0zk

19．将下列函数在指定圆环域内展开为洛朗级数。

（1）31(2)zz 022z

（2）2(1)zezz 01z

20． 把函数fz1(1)(2)zzz在以下面的0z为中心的可能解析的圆环域内展开成洛朗级数。 00(1)1;(2)2zz

21．指出下列函数的孤立奇点，是极点请指明其级数。

（1）3221(1)zz； （2）2sinzezz；

22．求下列函数在孤立奇点处的留数。

（1）12212,02zzzzz

（2）241,0zezz

23．利用留数定理计算围线积分。

（1） 1222(1)(2)zzdzzz （2）22sin2zzdzz

（3） 3tan()zzdz

（四）证明题

1．设n为正整数，试证：31311313()()122nnii

7 2. 若函数fz在上半平面内解析,则fz在下半平面内也解析.

3. 求积分1zzedzz值,并证明cos0cos(sin)ed.