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全国2007年4月高等教育自学考试
复变函数与积分变换试题
课程代码：02199
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.包含了单位圆盘|z|<1的区域是（ ）
A.Re z<-1
B.Re z<0
C.Re z<1
D.Im z<0
2.设v(x,y)=e ax siny 是调和函数，则常数a=（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
3.设f(z)=z 3+8iz+4i ，则f ′(1-i)=（ ）
A.-2i
B.2i
C.-2
D.2 4.设C 为正向圆周|z-a|=a(a>0)，则积分?-C
a z dz 22=（ ） A.a
i 2π- B. a i π- C. a i 2π D. a
i π 5.设C 为正向圆周|z-1|=1，则?=-C dz z z 5
3
)1(（ ） A.0
B.πi
C.2πi
D.6πi 6.f(z)=211z
+在z=1处的泰勒展开式的收敛半径为（ ） A.2
3 B.1 C.2 D.3
7.下列级数中绝对收敛的是（ ）
第 2 页 A.∑∞=+1!)43(n n
n i B. n n i ∑∞=+1
)231( C. ∑∞=1n n
n i D. ∑∞=+-11)1(n n n i
8.可以使f(z)=3
)3(1+z z 在点z=0处的罗朗展开式收敛的区域是（ ） A.0<|z|<2或2<|z|<+∞ B. 0<|z|<+∞
C. 0<|z-2|<2
D. 0<|z-2|<+∞ 9.点z=-1是f(z)=(z+1)5sin )
1(1+z 的（ ） A.可去奇点 B.二阶极点
C.五阶零点
D.本性奇点 10.设C 为正向圆周|z |=1，则?
=c zdz cot （ ） A.-2πi
B. 2πi
C. -2π
D. 2π
二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11.arg (-1+3i )= .
12.已知f(z)=u+iv 是解析函数，其中u =)ln(2122y x +,则=??y
v . 13.设C 为正向圆周|z |=1,则=-?dz i
e c z
22π
. 14.z =0是f(z)=
z z )1ln(+的奇点，其类型为 . 15. f(z)=21z
z -在圆环域0<|z|<1内的罗朗展开式为 . 16.设f(z)= +--++--+---n n z z z z )1()1()1(1)
1(1)1(12,则Res[f(z),1]= .
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三、计算题（本大题共8小题，共52分）
17．（本题6分）求z =（-1+i ）6 的共轭复数z 及共轭复数的模|z |.
18．(本题6分) 设t 为实参数，求曲线z=re it +3 (0≤t ＜2π的直角坐标方程.
19．(本题6分) 设C 为正向圆周|z|=1，求I=dz ze c z ?21.
20．(本题6分) 求)
2)(1(1)(--=z z z f 在z =0处的泰勒展开式. 21．(本题7分) 求方程sin z +cos z =0 的全部根.
22．(本题7分) 设u=e 2x cos 2y 是解析函数f(z)的实部，求f(z).
23．(本题7分) 设C 为正向圆周|z-i |=21,求I =?+c z z dz )
1(2. 24．(本题7分)设C 为正向圆周|z|=1，求I=?C z
dz z
e 5.
四、综合题（下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题。每小题8分，共16分）
25．（1）求f(z)=1
2+z z 在上半平面内的孤立奇点，并指出其类型； （2）求f(z)e iz 在以上奇点的留数； （3）利用以上结果，求I=?+∞∞-+dx x x x 1
sin 2. 26．设D 为Z 平面的单位圆盘去掉原点及正实轴的区域. 求下列保角映射：
（1）w 1=f 1(z)把D 映射成W 1平面的上半单位圆盘D 1；
（2）w=f 2(w 1)把D 1映射成W 平面的第一象限；
（3）w=f(z)把D 映射成W 平面的第一象限.
27．求函数3f(t)+2sint 的付氏变换，
其中 f(t)=???>≤1
||,01||,1t t .
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