当前位置：文档之家 › 多元函数极值问题探究--0932098--李开

多元函数极值问题探究--0932098--李开

  • 格式：docx
  • 大小：1.09 MB
  • 文档页数：26

中央民族大学学士论文Bachelor Thesis of Minzu University of China多元函数极值问题探究An Extremum Exploration of Multivariate Function姓名:李开学号:0932098年级:09级院系:理学院专业:信息与计算科学指导老师:李成岳日期:2013/4/24摘要本文首先介绍了二元函数极值的定义，并运用二元函数的泰勒公式和连续性定理证明了二元函数取极值的必要条件和充分条件，着重讨论了临界条件下判别式等于零的情况，并给出了进一步讨论的方法，之后利用曲面理论引进了二元函数极值问题的几何意义并结合坐标平移法给出了求一些无稳定点的二元函数的极值的方法。

本文接着将二元函数推广至多元函数，又结合高等代数中二次型理论及微分几何中曲面第二基本形式理论给出了多元函数极值的定义，必要条件，充分条件和几何意义并予以了证明。

本文还介绍了多元函数条件极值的定义，必要条件和充分条件，并引入了拉格朗日乘数法这一求条件极值的有力工具。

本文最后给出了多元函数极值理论的一些应用，如最小二乘法，空间距离和不等式的证明以及在实际运用多元函数极值理论求解时的一些注意事项和技巧策略。

关键词：泰勒公式二次型曲面基本形式II拉格朗日乘数法AbstractFirstly this thesis introduces the definition of binary function extremum, proves the necessary and sufficient conditions of the binary function at its extremal point using T aylor’s formula and continuity theorem, offers a method of further exploration on critical condition where the discriminant equals to zero, explains the geometrical meaning of binary functionextremum based on curved surface theory, and puts forward a method of seeking the extremal point ofsome binary functions without stationary points using coordinate translation. Secondly this thesis extends binary function extremum to multivariate, introduces its definition, proves its necessary and sufficient conditions at its extremal point, and explains its geometrical meaning combined with the quadraticformtheory of advanced algebra and the second fundamental formtheory of curved surface of differential geometry. Besides this thesis describes the definition of multivariate function conditional extremum, and introduces Lagrange multiplier method, a useful tool solving conditional extremum problems, when proving its necessary and sufficient conditions. Finally this thesis introduces some applications of multivariate function extremum theory, such as least square method, problems concerning spatial distance and inequality proof, and some precautions and strategies when solving problems involved using multivariate function extremum theory.Key words:T aylor’s Formula, QuadraticForm, the Second Fundamental Form of Curved Surface, Lagrange Multiplier Method正文一、二元函数极值1.二元函数极值的定义设二元函数(,)f x y 在点(,)P a b 的邻域G 内有定义。

若(,)a h b k G ∀++∈，有(,)(,)f a h b k f a b ++≤（(,)(,)f a h b k f a b ++≥），则称点(,)P a b 为函数(,)f x y 的极大点（极小点），极大点（极小点）的函数值(,)f a b 称为函数(,)f x y 的极大值（极小值）。

极大点与极小点统称为极值点，极大值与极小值统称为极值。

2.二元函数极值存在的必要条件若二元函数(,)f x y 在点(,)P a b 存在两个偏导数，且(,)P a b 是函数(,)f x y 的极值点，则'(,)0x f a b =与'(,)0y f a b =。

而由方程组''(,)0(,)0x y f a b f a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩确定的解（坐标平面上的某些点）称为函数(,)f x y 的稳定点。

需要指出的是二元函数的极值点一定是稳定点，但稳定点不一定是极值点。

3.二元函数极值存在的充分条件设二元函数(,)f x y 有稳定点(,)P a b ，且在点(,)P a b 的邻域G 内存在二阶连续偏导数，令''(,)xx A f a b =，''(,)xy B f a b =，''(,)yy C f a b =.2B AC ∆=- .1) 若0∆<，则点(,)P a b 是函数(,)f x y 的极值点： i)0(0)A C >>或，点(,)P a b 是函数(,)f x y 的极小点； ii)0(0)A C <<或，点(,)P a b 是函数(,)f x y 的极大点。

2) 若0∆>，则点(,)P a b 不是函数(,)f x y 的极值点。

3) 若0∆=，需作进一步的讨论。

证明：已知点(,)P a b 是函数(,)f x y 的稳定点，则有'(,)0x f a b =与'(,)0y f a b =当h 与k 充分小时，讨论(,)(,)f a h b k f a b ++-的符号，由二元函数泰勒公式2111(,)(,)()(,)()(,)+1!2!11()(,)()(,),(01)!(1)!n n f a h b k f a b h k f a b h k f a b x y x yh k f a b h k f a h b k n x y n x y θθθ+∂∂∂∂++=+++++∂∂∂∂∂∂∂∂+++++<<∂∂+∂∂…当1n =时，有''''2''''21(,)(,)(,)(,)[(,)22(,)(,)],01x y xx xy yy f a h b k f a b f a b h f a b k f a h b k h f a h b k hk f a h b k k θθθθθθθ++-=++++++++++<<由本题中的''(,)(,)0x y f a b f a b ==，则''2''''21(,)(,)[(,)2(,)2(,)],01xx xy yy f a h b k f a b f a h b k h f a h b k hk f a h b k k θθθθθθθ++-=++++++++<<又已知二阶偏导数在点(,)P a b 连续，当0h →与0k →时，有''''(,)(,),0xx xx f a h b k f a b A θθααα++=+=+→ ''''(,)(,),0xy xy f a h b k f a b B θθβββ++=+=+→ ''''(,)(,),0yy yy f a h b k f a b C θθγγγ++=+=+→于是222211(,)(,)(2)(2)22f a h b k f a b Ah Bhk Ck h hk k αβγ++-=+++++其中222h hk k αβγ++比222h k ρρ=+（）是高阶无穷小，因此当h 与k 充分小时，(,)(,)f a h b k f a b ++-的符号由222Ah Bhk Ck ++决定。

因为h 和k 不能同时为零，不妨设0k ≠（当0,0k h =≠时，可得得到相同的结论）22222=[()2]h hAh Bhk Ck k A B C k k++++令ht k=，则(,)(,)f a h b k f ab ++-的符号由22D At Bt C =++的符号决定。

由一元二次方程根的判别式，有1） 若判别式22(2)40B AC B AC ∆=-=-<，对任意实数t ，D 与()A C 或有相同的符号，即点(,)P a b 是函数(,)f x y 的极值点：i ）0(0)A C >>或，有(,)(,)0f a h b k f a b ++->恒成立，即点(,)P a b 是函数(,)f x y 的极小点；ii ）0(0)A C <<或，有(,)(,)0f a h b k f a b ++-<恒成立，即点(,)P a b 是函数(,)f x y 的极大点。

2） 若判别式20B AC ∆=->，方程0D =有两个不同的实根1t 与2t ，设12t t <，D 在区间12(,)t t 内与在12(,)t t 外有相反的符号，即点(,)P a b 不是函数(,)f x y 的极值点。

合集下载

多元函数极值问题解决

多元函数极值问题解决

多元函数极值问题解决在数学中，多元函数是指依赖多个自变量的函数。

研究多元函数的极值问题是数学中重要的一个方向，通过极值问题解决可以了解函数的最大值和最小值，对于优化问题等具有重要意义。

本文将介绍解决多元函数极值问题的基本方法和技巧。

1. 多元函数极值问题概述多元函数的极值包括两种情况：最大值和最小值。

要找到多元函数的极值，需要通过计算导数或二阶导数来确定。

对于多元函数f(x,y)，要找到其极值，可以通过求解以下方程组来解决：$$ \\frac{\\partial f}{\\partial x} = 0, \\quad \\frac{\\partial f}{\\partial y} = 0 $$其中 $\\frac{\\partial f}{\\partial x}$ 和 $\\frac{\\partial f}{\\partial y}$ 分别表示f(x,y)对x和y的偏导数。

2. 求解多元函数极值的步骤步骤1：计算一阶偏导数首先，对多元函数f(x,y)分别对x和y求一阶偏导数，得到 $\\frac{\\partial f}{\\partial x}$ 和 $\\frac{\\partial f}{\\partial y}$。

步骤2：解方程组然后，解方程组 $\\frac{\\partial f}{\\partial x} = 0, \\quad \\frac{\\partial f}{\\partial y} = 0$，求解出使得导数为零的x和y的值。

步骤3：判别极值类型最后，通过计算二阶导数或利用二次型判断方法，判断得到的极值是极小值、极大值还是鞍点。

3. 多元函数极值问题例题下面通过一个例题来说明如何解决多元函数极值问题：例题：求函数f(x,y)=x2+2y2−2xy−2y的极值。

解：1.求解一阶偏导数：$$ \\frac{\\partial f}{\\partial x} = 2x - 2y, \\quad \\frac{\\partial f}{\\partial y} = 4y - 2x - 2 $$2.解方程组：令 $\\frac{\\partial f}{\\partial x} = 0, \\quad \\frac{\\partial f}{\\partial y} =0$，得到：$$ \\begin{cases} 2x - 2y = 0 \\\\ 4y - 2x - 2 = 0 \\end{cases} $$求解得到x=1,y=1。

一些典型的多元函数极值问题

一些典型的多元函数极值问题

一些典型的多元函数极值问题多元函数极值问题是数学分析中非常重要的研究对象，它们存在于许多实际问题中。

本文将介绍一些典型的多元函数极值问题，包括拉格朗日乘数法、约束条件下的优化、非线性规划等。

一、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种常用的求解约束多元函数极值的方法。

在该方法中，将约束条件加入到目标函数中，并利用等式约束条件和拉格朗日乘数，将多元函数极值转化为无约束多元函数极值问题。

下面以一个简单的例子来说明拉格朗日乘数法。

假设有一个函数 $f(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2$，同时满足约束条件$x+2y+3z=6$，其中 $x,y,z$ 均为实数。

现在要求 $f(x,y,z)$ 在约束条件下的最小值。

根据拉格朗日乘数法，我们将函数 $f(x,y,z)$ 加上一个等式约束条件 $g(x,y,z)=x+2y+3z-6=0$，并构造拉格朗日函数$L(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)+\lambda g(x,y,z)$，其中 $\lambda$ 是拉格朗日乘数。

于是，我们可以写出拉格朗日函数：$$L(x,y,z,\lambda)=x^2+2y^2+3z^2+\lambda(x+2y+3z-6)$$接下来，我们要求 $L(x,y,z,\lambda)$ 对 $x,y,z,\lambda$ 的偏导数，令其都等于零，求得极值点。

即：$$\begin{cases} \dfrac{\partial L}{\partial x}=2x+\lambda=0\\\dfrac{\partial L}{\partial y}=4y+2\lambda=0 \\\dfrac{\partialL}{\partial z}=6z+3\lambda=0 \\ \dfrac{\partial L}{\partial\lambda}=x+2y+3z-6=0 \end{cases}$$解方程组得到：$x=-\dfrac{\lambda}{2},y=-\dfrac{\lambda}{2},z=-\dfrac{\lambda}{2},\lambda=2$。

多元函数条件极值的几种求解方法

多元函数条件极值的几种求解方法

多元函数条件极值的几种求解方法摘要本文主要讨论了多元函数条件极值的求解问题，其中包括无条件极值、条件极值的概念介绍，对多元函数条件极限值的几种求解方法的概括，其中包括了直接代入法，拉格朗日乘数法，柯西不等式等方法，其中拉格朗日乘数法还着重介绍了全微分和二阶偏导数即Hesse矩阵法等。

介绍关于求解多元函数条件极值的几种方法目的是在解决相应的问题中时能得以借鉴，找到合适的解决问题的途径。

关键词极值；拉格朗日乘数法；柯西不等式1前言函数极值问题已广泛地出现于数学、物理、化学等学科中，且它涉及的知识面非常广，所以就要求学生有较高的分析能力和逻辑推理能力，同时也要求学生掌握多种求函数极值的方法，因此对函数极值的研究是非常必要的。

函数极值的求解与发展极大的推动了微积分学科的发展，为其做出了重大贡献。

微积分的创立，首先是为了处理十七世纪的一系列主要的科学问题。

有四种主要类型的科学问题：第一类是，已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；第二类是，望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避；第三类是，确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极大值、极小值问题也急待解决；第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等，又使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究。

同样在很多工程实际中，我们经常需要做一些优化。

举个简单的例子，就拿天气预报来说吧，通过实验测得很多气象数据，那么我们怎么处理这些数据，或者说用什么方法处理这些数据，才能达到预测结果最为准确呢，这其实也是一个广义上的极值问题。

还有就是经济学的投资问题，我们知道现在国家搞什么高铁、高速公路的，都是浩大的工程，动不动就几百亿的，如何合理布局才能让这些公共基础建设的利远大于弊。

一般实际问题都是一个或者一组多元函数，那么研究清楚这些问题，对我们的工程实际将有莫大的裨益。

多元函数的极值和最优化问题

多元函数的极值和最优化问题

多元函数的极值和最优化问题多元函数是指同时含有两个或更多个变量的函数。

在数学中，研究多元函数的极值和最优化问题是一项重要的工作。

通过寻找函数取得最大值或最小值的点，可以在各种实际问题中找到最优解。

对于多元函数，极值点可以是极大值或极小值。

极值点可以通过求偏导数和解方程组来求解。

在求解时，首先需要计算函数的偏导数，然后令偏导数等于零，解此方程组可以得到极值点。

为了更好地理解多元函数的极值问题，下面以一个简单的例子进行解释。

假设有一个函数 f(x, y) = x^2 + y^2 ，我们的目标是找到这个函数的极值点。

首先，我们计算函数 f(x, y) 对 x 和 y 的偏导数。

偏导数是指在其他变量保持不变的情况下，对某一变量求导。

对于本例中的函数 f(x, y)，我们有以下偏导数：∂f/∂x = 2x∂f/∂y = 2y接下来，我们令偏导数等于零，并解这个方程组：2x = 02y = 0从方程组可以得到 x = 0，y = 0。

因此，函数的极值点为 (0, 0)。

同时，我们还需要判断这个极值点是极大值还是极小值，或者是鞍点。

为了做出判断，我们可以利用二阶偏导数的判定方法。

通过计算二阶偏导数的行列式，判断其正负性来确定。

在本例中，我们计算函数 f(x, y) 的二阶偏导数：∂²f/∂x² = 2∂²f/∂y² = 2二阶偏导数的行列式为H = (∂²f/∂x²)(∂²f/∂y²) - (∂²f/∂x∂y)² = (2)(2) - 0 = 4由于 H 大于零，所以函数的极值点 (0, 0) 是极小值点。

除了求取多元函数的极值点外，最优化问题也是多元函数的重要应用之一。

最优化问题的目标是找到函数取得最大值或最小值的点，并且通常还需要满足一些约束条件。

最常见的最优化问题是线性规划和非线性规划问题。

在线性规划问题中，目标函数和约束条件都是线性的。