矩阵的通俗理解

矩阵工作原理

一．矩阵切换的概念及功能

矩阵的概念引用高数中的线性代数的概念，一般指在多路输入的情况下有多路的输出选择，形成下图的矩阵结构，既每一路输出都可与不同的输入信号“短接”，每路输出只能接通某一路输入，但某一路输入都可(同时)接通不同的输出，如下图。

输出1=输入1，输出2=输入2，而输出3=输出4=输入3，或者说，每一路输出可“独立”地在输入中进行选择，而不必关心其它通道的输出情况，即可以与其它输出不同，也可以相同。举例说，8选4是指有4个独立的输出，每个输出可在8个输入中任选，或者说有4个独立的8选1，只是8个输入是相同的。经常与此混淆的是分配的概念，比如8选1分4，是指在8个输入中选择出1个输出，并将其分配成4个相同的输出，虽然外观上看有4个输出，但这4个输出是相同的，而不是独立的。一般习惯中，将形成M×N的结构称为矩阵，而将M×1的结构称为切换器或选择器，其实不过N=1而已，我们在讨论时都当作矩阵对待

矩阵切换器的功能是在多路信号输入的情况下，可独立地根据需要选择多路(包括1路)信号进行输出，完成信号的选择。

二．矩阵切换的原理与技术指标

1. 电路原理：切换原理上就是选择，选择的方式有很多种，最简单的就是将信号线直接接在一起，比如接线板，利用人工将输出信号线跳接在输入信号线上，也可完成选择，或利用琴键开关完成接通与断开，当然这是人工操作的，机械的，不存在指标等技术问题，故不作为矩阵切换讨论。第二种方式，利用继电器也可完成选择，利用电平控制继电器的通断，可完成输出线与输入信号之间的断开与联接，也可完成信号的选择，第三种方式是根据电路原理，利用芯片内部电路的导通与关闭进行接通与关断，并可通过电平进行控制完成信号的选择。

继电器方式与芯片方式各有优缺点。

继电器方式：如果不考虑输入匹配与输出驱动的电路部分的话，它与联线方式一致，是靠物理接触进行接通与断开，从这个角度上讲，是没有什么指标概念的(最多有接触电阻和反应时间)，因此技术指标好且价格低廉，其缺点在于稳定性较差，毕竟是靠物理接触，继电器有一定寿命，原则上讲，有8万次平均无故障操作且操作时有声响，由于线路板走线原因，不能做的规模较大，显得不够高档。

第四章 矩 阵

§4.1 矩阵的运算

1．计算

421421421963642321；

41250331023141022013；

nnbbbaaa2121,,,； nnbbbaaa,,2121；

113210121121011132113210121．

2．证明，两个矩阵A与B的乘积AB的第i行等于A的第i行右乘以B，第j列等于B的第j列左乘以A．

3．可以按下列步骤证明矩阵的乘法满足结合律：

(i) 设B=(ijb)是一个np矩阵．令j=njjbjbb,,2,1是B的第j列，j=1,2,…,p．又设pxxx,,,21是任意一个p1矩阵．证明：B=ppxxx211．

(ii)设A是一个mn矩阵．利用(i)及习题2的结果，证明：

A(B)=(AB)．

(iii)设C是一个pxq矩阵．利用(ii)，证明：

A(BC)=(AB)C．

4．设

A=0000100001000010

证明：当且仅当 B=abacbadcba000000

时，AB=BA。

5．令ijE是第i 行第j列的元素是1而其余元素都是零的n阶矩阵．求ijEklE．

6．求满足以下条件的所有n阶矩阵A

(i)AEAEijiji,j=1,2,…,n,

(ii)AB=BA

这里B是任意n阶矩阵。

7．举例证明，当AB=AC时，未必B=C．

8．证明，对任意n阶矩阵A和B，都有AB-BA≠I．[提示，考虑AB-BA的主对角线上的元素的和]

9．令A是任意n阶矩阵，而I是n阶单位矩阵，证明：

(AI)(12mAAAI)=mAI

正定矩阵通俗解释

正定矩阵是一个重要的概念，特别是在数学和工程学科中应用广泛。通俗地讲，正定矩阵是指一个n阶矩阵，在满足一些特定条件的情况下，其所有特征值均为正数。更具体地说，一个n阶矩阵A是正定的，当且仅当它满足以下条件：

1. A是一个对称矩阵（即A的转置矩阵等于它本身）。

2. 对于任意非零向量x，都有x^T*A*x > 0，其中x^T是向量x的转置，*表示矩阵乘法。

正定矩阵在应用中有很多重要性质，比如它们可以用来解决线性方程组和最小二乘问题，还可以用于矩阵分解和最大化函数的值等。此外，正定矩阵还被广泛用于数据分析、信号处理、优化问题等领域。

参考内容：

1. Higham, N. J. (1996). Accuracy and stability of numerical

algorithms. SIAM.

2. Trefethen, L. N., & Bau III, D. (1997). Numerical linear algebra.

Society for Industrial and Applied Mathematics.

3. Boyd, S., & Vandenberghe, L. (2004). Convex optimization.

Cambridge university press.

理解矩阵

线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材（现在到了第四版），一上来就介绍逆序数这个“前无古人，后无来者”的古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出这个东西有嘛用。大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什么东西都模模糊糊的，就开始钻火圈表演了，这未免太“无厘头”了吧！于是开始有人逃课，更多的人开始抄作业。这下就中招了，因为其后的发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无厘头的行列式的，是一个同样无厘头但是伟大的无以复加的家伙的出场——矩阵来了！多年之后，我才明白，当老师犯傻似地用中括号把一堆傻了吧叽的数括起来，并且不紧不慢地说：“这个东西叫做矩阵”的时候，我的数学生涯掀开了何等悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕！自那以后，在几乎所有跟“学问”二字稍微沾点边的东西里，矩阵这个家伙从不缺席。对于我这个没能一次搞定线性代数的笨蛋来说，矩阵老大的不请自来每每搞得我灰头土脸，头破血流。长期以来，我在阅读中一见矩阵，就如同阿Q见到了假洋鬼子，揉揉额角就绕道走。

事实上，我并不是特例。一般工科学生初学线性代数，通常都会感到困难。这种情形在国内外皆然。瑞典数学家Lars Garding在其名著Encounter with

Mathematics中说：“如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多。”，然而“按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的，它是第二代数学模型，...，这就带来了教学上的困难。”事实上，当我们开始学习线性代数的时候，不知不觉就进入了“第二代数学模型”的范畴当中，这意味着数学的表述方式和抽象性有了一次全面的进化，对于从小一直在“第一代数学模型”，即以实用为导向的、具体的数学模型中学习的我们来说，在没有并明确告知的情况下进行如此剧烈的paradigm shift，不感到困难才是奇怪的。