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矩阵的概念与性质

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矩阵的概念与性质

矩阵是线性代数中的一个重要概念，它具有多种性质和运算规律。在数学和工程学科中，矩阵被广泛应用于各种问题的描述和求解中。本文将介绍矩阵的基本概念和一些重要的性质，帮助读者更好地理解和运用矩阵。

**1. 矩阵的定义**

在数学中，矩阵是由数构成的矩形阵列。通常用大写字母表示，比如A、B、C等。一个m×n的矩阵由m行n列的数排列在方括号 [] 中表示，如下所示：

\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21}

& a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}

& a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \]

其中，aij表示矩阵A中第i行第j列的元素。

**2. 矩阵的性质**

- 矩阵的加法：设A和B是同型矩阵，即行数和列数相同。则它们的和A + B是一个同型矩阵，其每个元素是对应位置元素的和。

\[ A + B = \begin{bmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots

& a_{1n}+b_{1n} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots &

a_{2n}+b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}+b_{m1} &

a_{m2}+b_{m2} & \cdots & a_{mn}+b_{mn} \end{bmatrix} \] - 矩阵的数乘：给定一个矩阵A和一个标量k，矩阵A乘以标量k表示将矩阵A的每个元素乘以k。

\[ kA = \begin{bmatrix} ka_{11} & ka_{12} & \cdots & ka_{1n} \\

ka_{21} & ka_{22} & \cdots & ka_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots &

\vdots \\ ka_{m1} & ka_{m2} & \cdots & ka_{mn} \end{bmatrix} \]

- 矩阵的乘法：设矩阵A是一个m×n的矩阵，矩阵B是一个n×p的矩阵，则A和B的乘积AB是一个m×p的矩阵，其第i行第j列的元素为矩阵A的第i行与矩阵B的第j列对应元素的乘积之和。

\[ AB = \begin{bmatrix} \sum_{k=1}^{n} a_{1k}b_{k1} &

\sum_{k=1}^{n} a_{1k}b_{k2} & \cdots & \sum_{k=1}^{n} a_{1k}b_{kp}

\\ \sum_{k=1}^{n} a_{2k}b_{k1} & \sum_{k=1}^{n} a_{2k}b_{k2} &

\cdots & \sum_{k=1}^{n} a_{2k}b_{kp} \\ \vdots & \vdots & \ddots &

\vdots \\ \sum_{k=1}^{n} a_{mk}b_{k1} & \sum_{k=1}^{n}

a_{mk}b_{k2} & \cdots & \sum_{k=1}^{n} a_{mk}b_{kp} \end{bmatrix}

\]

**3. 矩阵的特殊性质**

- 对角矩阵：对角矩阵是指除了主对角线上的元素外，其它元素都为0的矩阵。如：

\[ D = \begin{bmatrix} d_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & d_{22} & \cdots

& 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & d_{nn}

\end{bmatrix} \]

- 零矩阵：所有元素都是0的矩阵称为零矩阵，通常用0表示。 \[ O = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} \]

- 单位矩阵：主对角线上的元素为1，其它元素为0的矩阵称为单位矩阵，通常用I表示。

\[ I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots

& \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} \]

**4. 矩阵的转置**

矩阵的转置是将矩阵的行列互换得到的新矩阵。设矩阵A是一个m×n的矩阵，其转置记作AT，AT是一个n×m的矩阵，满足：(AT)ij = aji。

**5. 矩阵的相关定理**

- 矩阵的转置的转置等于原矩阵：(AT)T =

A。

- 矩阵的转置和矩阵的加法互换次序：(A + B)T =

AT + BT。

- 矩阵的转置和矩阵的数乘可交换：(kA)T =

kAT。

通过本文的介绍，读者对矩阵的概念和性质应该有了更深入的理解。矩阵作为线性代数中的重要工具，在数学推导和工程实践中具有广泛的应用。通过掌握矩阵的相关知识，读者可以更好地解决各类相关问题，提高自己的数学水平和工程能力。希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！

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矩阵的基本概念

矩阵的基本概念

§1 矩阵及其运算

教学要求 ： 理解矩阵的定义、掌握矩阵的基本律、掌握几类特殊矩阵（比如零矩阵，单位矩阵，对称矩阵和反对称矩阵 ) 的定义与性质、注意矩阵运算与通常数的运算异同。能熟练正确地进行矩阵的计算。

知识要点 ：

一、矩阵的基本概念

矩阵，是由 个数组成的一个 行 列的矩形表格，通常用大写字母 表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素 表示，其中下标 都是正整数，他们表示该元素在矩阵中的位置。比如， 或 表示一个 矩阵，下标 表示元素 位于该矩阵的第 行、第 列。元素全为零的矩阵称为零矩阵。

特别地，一个 矩阵 ，也称为一个 维列向量；而一个 矩阵 ，也称为一个 维行向量。

当一个矩阵的行数 与烈数 相等时，该矩阵称为一个 阶方阵。对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线；而从左下角到右上角的连线称为付对角线。若一个 阶方阵的主对角线上的元素都是 ，而其余元素都是零，则称为单位矩阵，记为 ，即： 。如一个 阶方阵的主对角线上（下）方的元素都是零，则称为下（上）三角矩阵，例如， 是一个 阶下三角矩阵，而 则是一个 阶上三角矩阵。今后我们用 表示数域 上的 矩阵构成的集合，而用 或者 表示数域 上的 阶方阵构成的集合。

二、矩阵的运算

1、矩阵的加法 ： 如果 是两个同型矩阵（即它们具有相同的行数和列数，比如说 ），则定义它们的和

仍为与它们同型的矩阵（即 ）， 的元素为 和

对应元素的和，即： 。 给定矩阵 ，我们定义其负矩阵 为： 。这样我们可以定义同型矩阵 的减法为： 。由于矩阵的加法运算归结为其元素的加法运算，容易验证，矩阵的加法满足下列 运算律：

（ 1）交换律： ；

（ 2）结合律： ；

（ 3）存在零元： ；

（ 4）存在负元： 。

2 、数与矩阵的乘法 ： 设 为一个数， ，则定义 与 的乘积 仍为 中的一个矩阵， 中的元素就是用数 乘 中对应的元素的道德，即 。由定义可知： 。容易验证数与矩阵的乘法满足下列运算律：

伴随矩阵的性质及特殊矩阵的伴随矩阵

伴随矩阵的性质及特殊矩阵的伴随矩阵

酶释　专题研究　随　尽瞧　畦震　瞻　熊随　匡瞧　◎邓俊兰　（南阳师范学院数学与统计学院４７３０６１）　给定一个ｎ阶方阵Ａ＝（ａ　）…，则Ａ的伴随矩阵Ａ　＝　（』４　）　＝（Ａ　，）…，其中　，是方阵Ａ的元素ｎ　的代数余子　式Ａ　伴随矩阵Ａ　是由方阵４唯一确定的，它们之间有很　多必然联系，使得伴随矩阵在矩阵理论中占有十分重要的　地位，因此，研究伴随矩阵的性质也就十分必要了．本文首　先研究了伴随矩阵的基本性质、运算性质以及引申性质，接　着探讨了一些特殊矩阵的伴随矩阵．　一、伴随矩阵　的基本性质及推论　１．基本性质ＡＡ　＝Ａ　Ａ＝Ｉ４ＩＥ．　注意上面的恒等式对于任意方阵（不论可逆与否）都　成立，它是伴随矩阵的基本性质，在有关伴随矩阵的运算和　理论中起着十分重要的作用，从它可以容易推出以下两条　推论．　２．推论１：Ａ可逆时，　＝ｌＡｌ　‘。．　３．推论２：ｌ　Ｉ＝ｌＡ　Ｉ一‘．　二、伴随矩阵Ａ　的运算性质　１．　为任意常数，（Ｍ）　＝　一　Ａ　．　证明设Ａ＝（ａ“）…，（　）　＝（６　）…，则ｂ　为行列　式ＩＭ　Ｉ中划去第　行第ｉ列的代数余子式（ｎ一１阶行列式），　如果每行提出公因子　后，有ｂ　：　Ａ　，（ｉ，　＝１，２，…，ｎ），　由此证得（Ｍ）　＝　一　．　２．（ＡＢ）　＝Ｂ　Ａ　．　证明　（１）当Ａ，Ｂ均可逆时，ＡＢ也可逆，由推论１可　得：（ＡＢ）　＝ＩＡＢＩ（ＡＢ）－　＝（１曰ｌ　。。）（ＩＡＩ　）＝Ｂ　Ａ　．　（２）当Ａ，Ｂ至少有一个不可逆时，考虑矩阵Ａ　＝Ａ—　ｘＥ，Ｂ。＝Ｂ—ｘＥ，因　，　只有有限个特征值，则使Ｉ　４　Ｉ＝０，　ｌＢ。Ｉ＝０的　只有有限个，可取充分大的　，使ｌ　Ａ　１≠０，　１Ｂ。Ｉ≠０，由（１）得（Ａ。Ｂ。）　＝Ｂｌ＊Ａ　，即［（Ａ—　Ｅ）（Ｂ—　Ｅ）］　＝（Ｂ—ｘＥ）　（Ａ—　Ｅ）　，上式两端的矩阵元素都为　的多项式，则多项式相等意味着　取任意值时都相等，特别　地对　＝０也成立，即（ＡＢ）　＝Ｂ　Ａ　．　３．（　）　＝（Ａ　）　．　证明因Ａ　＝（０　）　：（Ａ　）　＝（　），则　（Ａ　）　＝（Ａ，　）　＝（Ａ　），而　（　）　＝（ｎ　）　＝（　）　＝（　），故（Ａ　）　：（　）　．　４・Ａ可逆时，（　）一＝（Ａ　）　Ａ・　证明　因Ａ可逆时，Ａ　＝ｌＡ　ＩＡ～，则　（Ａ一　）　＝ＩＡＩ　一　（１Ａ一　ｌＡ）＝Ｅ，　故（　）～＝（Ａ　）　．　又（　）～＝（…　）　Ａ，　．　ｔ　１０１　ｔ　●　－　●　●　即（，４　）‘。＝（Ａ　）　・　５．（Ａ　）　＝ＪＡ　ｌ　一　Ａ．　证明　（１）当　可逆时，　（Ａ　）　＝（１Ａ　ＩＡ一　）　＝ＩＡ　Ｉ　。。（Ａ一　）　＝ＩＡ　Ｉ＂ｉ　ＩＡ　Ａ・　（２）当Ａ不可逆时，　（』４）≤ｎ一１，ｌＡ　Ｉ＝０，南推论３，得　（Ａ　）＜ｎ一１，进而Ｒ（（Ａ　）　）＝０，则（Ａ　）　＝０，也满足　（Ａ　）　＝Ｉ　Ｉ　Ａ．综上得证．　三、伴随矩阵Ａ　的引申性质　１．若方阵Ａ为可逆阵／对称阵／上（下）三角阵／幂零　（幂等）矩阵／正交阵，则伴随矩阵　也为可逆阵／对称阵／　上（下）三角阵／幂零（幂等）矩阵／正交阵．　２．若ｎ阶方阵Ａ为反对称阵，则当ｎ为奇数时伴随矩　阵　为对称阵，当ｎ为偶数时伴随矩阵　为反对称阵．　３．若方阵Ａ为正定阵，则伴随矩阵Ａ　也为正定阵．　４．４与Ｂ等价／相似／合同，则伴随矩阵Ａ　与Ｂ　也等　价／相似／合同．　从上面的性质可以看出，因为伴随矩阵Ａ　是由方阵４　唯一确定的，所以，伴随矩阵　对方阵Ａ的很多性质都具　有继承性．　四、特殊矩阵的伴随矩阵　ｒ　Ａ２　（　＝　。Ａ　３．Ａ和Ｃ分别为ｍ和ｎ阶方阵，Ｂ为ｍ×ｎ阶矩阵，则　（　＝　Ａ＊ｃＢＣ　）．　４．Ａ和Ｃ分别为ｍ和ｎ阶方阵，Ｂ为ｎ×ｍ阶矩阵，则　ＣＩＡ　＊～０．ｃ　）．　，　数学学习与研究２０１０．１７　

对称矩阵的性质

对称矩阵的性质

对称矩阵的基本性质

在学习中我们发现，对称矩阵中的特殊类型如：对角阵，实对称矩阵以及反对称矩阵经常出现，以下首先介绍一些基本概念.

1 对称矩阵的定义

定义1 设矩阵()ijsnAa，记()TjinsAa为矩阵的转置.若矩阵A满足条件TAA，则称A为对称矩阵.由定义知：

1. 对称矩阵一定是方阵.

2. 位于主对角线对称位置上的元素必对应相等.即ijjiaa，对任意i、j都成立.对称矩阵一定形如111211222212nnnnnnaaaaaaaaa.

定义2 形式为12000000laaa的矩阵，其中ia是数(1,2,,)il，通常称为对角矩阵.

定义3 若对称矩阵A的每一个元素都是实数，则称A为实对称矩阵.

定义4 若矩阵A满足TAA，则称A为反对称矩阵.由定义知：

1. 反对称矩阵一定是方阵.

2. 反对称矩阵的元素满足ijjiaa，当ij时，iiiiaa，对角线上的元素都为零.反对称矩阵一定形如12112212000nnnnaaaaaa.

下面就对称矩阵的一些基本性质展开讨论.

2 对称矩阵的基本性质

性质1 同阶对称矩阵的和、差、数乘还是对称矩阵.

性质2 设A为n阶方阵，则TAA，TAA，TAA是对称矩阵.

1 性质3 设A为n阶对称矩阵（反对称矩阵），若A可逆，则1A是对称矩阵（反对陈矩阵）.

性质4 任一nn矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和.

性质5 设A为对称矩阵，X与A是同阶矩阵，则TXAX是对称矩阵.

性质6 设A、B都是n阶对称矩阵，证明：AB也对称当且仅当A、B可交换.

4矩阵乘法的概念及其性质037

4矩阵乘法的概念及其性质037

江苏省常熟中学高二年级数学(理)导学案037 主备人：朱震

1 课题：复合变换与矩阵的乘法

【教学目标】

1． 熟练掌握二阶矩阵与二阶矩阵的乘法；

2． 理解两个矩阵相乘的结果还是矩阵，从几何变换角度，它表示的是原来两个矩阵对应的连续两次变换；

3． 通过几何变换，理解一般情况下，矩阵乘法没有交换律，并了解矩阵乘法没有消去律；

4． 会验证矩阵乘法满足结合律．

【教学过程】

一．复合变换与矩阵的乘法

1．引例：对向量xy先做变换MT，对应的变换矩阵为M＝11122122aaaa，得到向量''xy，再对向量''xy先做变换NT，对应的变换矩阵为N＝11122122bbbb，得到向量''''xy，记把向量xy变为向量''''xy的变换为T，求变换T所对应的矩阵．

2．定义：一般地，对于矩阵11122122aaaa，11122122bbbb，规定乘法法则如下：

111211121111122111121222212221222111222121122222aabbababababaabbabababab

对向量xy连续实施两次几何变换(先MT后NT)，相当于对其实施了矩阵NM对应的几何变换．当对向量实施n(n＞1，且n∈N*)次变换MT，对应地我们记...nn个MMMMM．

例1 已知A＝11221122，B＝11221122，计算AB．

例2 已知A＝1002，B＝1423，计算AB，BA．

江苏省常熟中学高二年级数学(理)导学案037 主备人：朱震