三角形外心内心重心垂心与向量性质

1向量与三角形的重心、垂心、内心、外心的关系

一、四心的概念介绍、

（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；

（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；

（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边距离相等；

（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四线与向量的结合

12

1212,

PA=1=,=.

ABOAOB

PB

AB





1.定理：如图，设OP

则，且

(记忆:交叉分配系数)

=()OAOB

APBP

2.若M是OP上的任意一点，则OM(记忆:分母对应分配系数)

应用1:

（1）中线:（2）高线:

（3）角平分线:

（4）中垂线:

2应用2.四线上的动点表示:

(1)中线上的动点:()ABAC或()||sin||sinABACABBACC

(2)高线上的动点:()

coscosABAC

ABBACC

,

(3)角平分线上的动点:()ABAC

ABAC



(4)中垂线上的动点:()

2||cos||cosOBOCABAC

OP

ABBACC





,

三、四心与向量的结合

1.

0

BOCAOCAOBOABC

SOASOBSOC



定理：设是内任意一点，

则

（记忆：拉力平衡原则）

应用:

（1）O是ABC的重心.baSSS

AOBAOCBOC：：：：=1:1:10OAOBOC

（2）O为ABC的垂心.CtanBtanAtanSSSAOBAOCBOC：：：：

0OCCtanOBBtanOAAtan

（3）O为ABC的内心.cbaSSS

AOBAOCBOC：：：：=sin:sin:sinABC

1 三 角 形 的“四 心”

所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心

定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，

即外接圆圆心。ABC的重心一般用字母O表示。

性 质：

1.外心到三顶点等距，即OCOBOA。

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即ABOFACOEBCOD,,.

3.AOBCAOCBBOCA21,21,21。

二、三角形的内心

定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。ABC的内心一般用字母I表示，它具有如下性质：

性 质：

1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

2.三角形的面积＝21三角形的周长内切圆的半径．

3.CECDBDBFAFAE,,；

CDBFAE三角形的周长的一半。

4.,2190ABICBCIA2190，CAIB2190。

三、三角形的垂心

定 义：三角形三条高的交点叫重心。ABC的重心一般用字母H表示。

性 质：

1.顶点与垂心连线必垂直对边，

即ABCHACBHBCAH,,。

2.△ABH的垂心为C，△BHC的

垂心为A，△ACH的垂心为B。

2 四、三角形的“重心”：

定 义：三角形三条中线的交点叫重心。ABC的重心一般用字母G表示。

性 质：

1.顶点与重心G的连线必平分对边。

2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。

即GFGCGEGBGDGA2,2,2

3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值．

即3,3CBAGCBAGyyyyxxxx.

4.向量性质：（1）0GCGBGA；

（2）)(31PCPBPAPG，5.ABCAGBCGABGCSSSS31。

三 角 形 的“四 心”

所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心

定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，

即外接圆圆心。ABC的重心一般用字母O表示。

性 质：

1.外心到三顶点等距，即OCOBOA。

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即ABOFACOEBCOD,,.

3.AOBCAOCBBOCA21,21,21。

二、三角形的内心

定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。ABC的内心一般用字母I表示，它具有如下性质：

性 质：

1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

2.三角形的面积＝21三角形的周长内切圆的半径．

3.CECDBDBFAFAE,,；

CDBFAE三角形的周长的一半。

4.,2190ABICBCIA2190，CAIB2190。

三、三角形的垂心

定 义：三角形三条高的交点叫重心。ABC的重心一般用字母H表示。 性 质：

1.顶点与垂心连线必垂直对边，

即ABCHACBHBCAH,,。

2.△ABH的垂心为C，△BHC的

垂心为A，△ACH的垂心为B。

四、三角形的“重心”：

定 义：三角形三条中线的交点叫重心。ABC的重心一般用字母G表示。

性 质：

1.顶点与重心G的连线必平分对边。

2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。

即GFGCGEGBGDGA2,2,2

3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值．

即3,3CBAGCBAGyyyyxxxx.

4.向量性质：（1）0GCGBGA；

（2）)(31PCPBPAPG，5.ABCAGBCGABGCSSSS31。

三角形“四心”向量形式的结论及证明

三角形的“四心”是指三角形的重心、外心、内心和垂心。它们的位置可以用向量的形式来描述。本文将分别介绍三角形“四心”的向量形式以及其证明。

1.重心:

重心是指三角形三个顶点的中线交点所在的点，用G表示。假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则重心G的坐标可以通过以下公式得到：

G=(A+B+C)/3

其向量形式为：

OG=(OA+OB+OC)/3

其中O为坐标原点。

证明：

由定义可知，重心是三角形三个顶点的中线交点所在的点。而中线的坐标可以通过两个顶点的坐标的平均值得到。因此，重心的坐标是三个顶点坐标的平均值。根据向量加法的性质，可以得到上述结论。

2.外心:

外心是指可以通过三角形的三个顶点作为圆心，找到一个圆使得三条边都是这个圆的切线。用O表示外心。假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则外心O的坐标可以通过以下公式得到： O=(a^2*A+b^2*B+c^2*C)/(a^2+b^2+c^2)

其中a、b、c分别表示三角形的边长BC、AC和AB的长度。

其向量形式为：

OO=(a^2*OA+b^2*OB+c^2*OC)/(a^2+b^2+c^2)

其中O为坐标原点。

证明：

设外心为O，连接OA、OB、OC，并设AO的长度为R，BO的长度为R'，CO的长度为R''。根据定义可知，OA，OB，OC都是截圆半径，可以得到以下关系：

OA⊥BC，OB⊥AC，OC⊥AB

由于OA、OB、OC是向量，因此上述关系可以写为：

OA·BC=0，OB·AC=0，OC·AB=0

其中“·”表示点乘。根据向量的点乘性质可知：

OA·(B-C)=0，OB·(C-A)=0，OC·(A-B)=0

将向量差展开得：

OA·B-OA·C=0，OB·C-OB·A=0，OC·A-OC·B=0

进一步展开可得：