初中数学 华东师大版八年级上册 第14章 勾股定理知识点总结及常见题型

1 勾股定理知识点总结及常见题型

勾股定理是解直角三角形的一个有力且重要的工具,新课程标准对勾股定理及其逆定理的要求是“掌握”和“应用”,并使用定理解决一些简单的实际问题.勾股定理是每年河南中考必考内容,不单独命题考查,常以综合题的形式展开考查.

在不同版本的初中数学教材中,勾股定理及其逆定理的内容单独成章,全章共分为3节:勾股定理的探索及内容、勾股定理的逆定理和勾股定理的应用.熟练掌握掌握本章内容是每一个学生必须完成的任务.

下面就本章的内容进行知识点梳理和常见题型总结.

知识点一 勾股定理的内容

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

如果直角三角形的两直角边长分别为ba,,斜边为c,那么有:

222cba.

注意:

1. 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系.

2. 勾股定理仅用于直角三角形的求解,不能直接用于其它非直角三角形的求解.

3. 根据勾股定理,已知直角三角形的两边长,可以求出第三条边的长度.

4. 注意上面的公式中“c”不一定是斜边,所以在用勾股定理解直角三角形时,要注意分类讨论.

5. 公式的变形:222222,,acbbcabac.

6. 勾股定理的使用对象是直角三角形,所以在应用勾股定理时要先在过程里面说明三角形是直角三角形,还要弄清楚直角边和斜边.若不确定斜边,则要展开分类讨论.

例1. 在△ABC中,已知90C,10,6ca,求b.

解:在△ABC中,∵90C

∴△ABC是直角三角形

∵10,6ca

2 ∴由勾股定理得:86102222acb.

注意: ∵90C,所以C的对边c就是斜边.

习题1. 求下列直角三角形中未知边的长度.

图（1）x86 图（2）y135

习题2. 已知直角三角形的两边长分别为3和4,求第三条边的长度.

（提醒:长度为4的边,可能是直角三角形的直角边长,也可能是直角三角形的斜边长,所以本题要分两种情况进行讨论）

习题3. 如图（3）所示,求等腰三角形ABC的面积.

图（3）655CBA

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知识点二 勾股定理的证明

勾股定理是一个非常重要的定理,它的证明方法很多,但初中阶段最常见的证明方法是拼图法:用几个相同的直角三角板拼成一个几何图形,根据图形之间的面积关系列出等式,从而证明勾股定理.

证明一: 如图（4）,用4个相同的直角三角板拼成一个边长为c的大正方形和一个边长为ab的小正方形,则有:

图（4）abcbca

22214cabab

展开等式并整理可得:

222cba.

证明二: 如图（5）,用4个相同的直角三角板拼成一个边长为ba的大正方形和一个边长为c的小正方形,则有:

图（5）cbacbacba

22214bacab

展开等式并整理可得:

222cba.

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证明三: 如图（6）,用两个相同的直角三角板可以拼成一个上底为a,下底为b,高为ba的直角梯形,则有:

图（6）bccabacba

222121212bacab

展开等式并整理可得:

222cba.

重要结论 与勾股定理有关的面积结论

（1）如图（7）所示,以直角三角形的三边为边长,向外作三个正方形,则三个正方形的面积关系为:213SSS.

图（7）S3S2S1S2S3图（8）S1图（9）S3S2S1

（2）如图（8）所示,以直角三角形的三条边为直径向外作三个半圆,则三个半圆的面积关系为:213SSS.

（3）如图（9）所示,以直角三角形的三条边为斜边长（或直角边长）,向外作三个等腰直角三角形,则这三个等腰直角三角形的面积关系为:213SSS.

（4）如图下页（10）所示,以直角三角形的三条边为边长向外作三个等边三角形,则这三个等边三角形的面积关系为:213SSS.

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图（10）S3S2S1

重要结论 在长方体中,能放进木棒的最大长度

如图（11）所示,已知长方体的长、宽、高分别为cba,,,则长方体中能放进木棒的最大长度为222cba.

图（11）cbaDCBA

事实上,在Rt△ABC中,由勾股定理得:

2222baBCABAC

在Rt△ACD中,由勾股定理得:

22222cbaCDACAD.

显然,AD的长度即为长方体中能放进木棒的最大长度.

知识点三 勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长cba,,满足222cba,那么这个三角形是直角三角形.

以上便是勾股定理的逆定理,可以用来判断已知三边长度的三角形是否为直角三角形.在应用勾股定理的逆定理时,同学们要注意:

（1）已知的条件:某三角形三条边的长度.

6 （2）满足的条件:最长边的平方=最小边的平方+中间边的平方.

（3）得到的结论:这个三角形是直角三角形,并且最长边的对角是直角.

（4）如果不满足（2）,则这个三角形不是直角三角形.

勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否为直角三角形的一种重要的方法,因此也叫作直角三角形的判定定理,使用方法是:

（1）首先确定最长边,不妨设最长边为c;

（2）分别计算处2c和22ba:

①若222cba,则三角形是直角三角形;

②若222cba,则三角形不是直角三角形.

勾股数 满足222cba的三个正整数,称为勾股数.

常见的勾股数如3 , 4 , 5 ; 6 , 8 ,10 ; 5 , 12 , 13 ; 8 , 15 , 17 ; 7 , 24 , 25.

例2. 如图（12）所示,在四边形ABCD中,3,2,2,1,ADCDBCABBCAB,求四边形ABCD的面积.

图（12）DCBA

分析:勾股定理用于求直角三角形的边长,勾股定理的逆定理用于判断一个三角形是否为直角三角形,题目经常对两个定理同时考查.图形当中如果没有直角三角形,则需要添加辅助线构造直角三角形.

解:连结AC,∵BCAB

∴△ABC是直角三角形

由勾股定理得:5212222BCABAC

∵93,94525222222ADCDAC

∴222ADCDAC

∴△ACD为直角三角形

∴5125212121ACDABCABCDSSS四边形.

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例3. 若三角形三边长分别为cba,,,且满足44222bacba,试判断这个三角形的形状.

解:44222bacba

0222222bacbababababacbaba

∵cba,,为三角形的三边长

∴0ba或0222bac

∴ba或222bac

∴这个三角形为等腰三角形或直角三角形.

习题4. 如图（13）所示,在△ABC中,若17,8,6,10ACADBCAB,求△ABC的面积.

图（13）DCBA

习题5. 如图（14）所示,在△ABC中,CD是AB边上的高,9,15,20DBBCAC.

（1）求CD的长;

（2）△ABC是直角三角形吗?为什么?

8 图（14）DCBA

知识点四 勾股定理的应用

主要有两方面的应用:

（1）已知直角三角形的两边长,求第三条边的长;

（2）已知一边长,另两条边的长度之间存在着一定的数量关系,通过设未知数利用勾股定理列方程来求解直角三角形.

本章主要问题有:

1. 折叠问题

习题6. 如图（15）所示,长方形纸片ABCD,沿折痕AE折叠边AD,使点D落在BC边上的点F处,已知24,8ABFSAB,求EC的长.

图（15）FEDCBA

2. 网格问题

习题7. 如图（16）所示,设正方形网格的每个小正方形的边长为1,格点△ABC中,AB、BC、AC三边的长分别为31015、、.

（1）请在正方形网格中画出格点△ABC;

（2）格点△ABC的面积为_________.

9 图（16）

3. 判断三角形形状问题

习题8. 已知△ABC的三边cba,,满足cbacba262410338222,求

△ABC的面积.

4. 梯子问题

习题9. 一架云梯长25 m,如图（17）那样斜靠在一面墙上,云梯底端离墙7 m.

（1）这架云梯的顶端距地面有多高?

（2）如果云梯的顶端下滑了4 m,那么它的底部在水平方向也滑动了4 m吗?

图（17）

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5. 航海问题

习题10. 如图（18）所示,甲船以16海里/时的速度离开港口,向东南航行,乙船在同时同地向西南航行,已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、A两点,且知AB=30海里,问乙船每小时航行多少海里?

图（18）BOA北

6. 最值问题

习题11. 如图（19）所示,正方形ABCD的边长为2,点E为边BC的中点,点P在对角线BD上移动,则PCPE的最小值是_________.

图（19）PEDCBA