湖北省宜昌市示范高中协作体高三上学期期中考试——数

湖北省宜昌市示范高中协作体

2019届高三上学期期中考试

数学文试题

（全卷满分：150分 考试时间：120分钟）

一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A={1，2}，B={1，m，3}，如果A∩B=A，那么实数m等于（ ）

A．﹣1 B．0 C．2 D．4

2.设为第二象限的角，，则 ( )

A． B． C． D．

3.设向量a＝(1,0)，b＝(12，12)，则下列结论中正确的是( )

A．|a|＝|b| B．a·b＝22

C．a－b与b垂直 D．a∥b

4．已知△ABC的三个内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，向量m＝(a＋c，a－b)，n＝(b，a－c)，若m∥n，则∠C＝( )

A．π6 B．π3 C．π2 D．2π3

5． “p且q是真命题”是“非p为假命题”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．函数y＝sin(2x＋π3)图象的对称轴方程可能是( )

A．x＝－π6 B．x＝－π12 C．x＝π6 D．x＝π12

7．设全集U＝R，A＝{x|－x2－3x>0}，B＝{x|x<－1}，则图中阴影部分表示的集合为( ) A．{x|x>0} B．{x|－3

C．{x|－3

8. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

9．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝( )

A．－3 B．－1 C．1 D．3

10．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是( )

A．直角三角形 B．等腰三角形

C．等腰直角三角形 D．正三角形

11．函数f(x)＝sinx＋2xf ′(π3)， f ′(x)为f(x)的导函数，令a＝－12，b＝log32，则下列关系正确的是( )

A．f(a)>f(b) B．f(a)

12．若直角坐标平面内A、B两点满足：①点A、B都在函数f(x)的图象上；②点A、B关于原点对称，则称点(A，B)是函数f(x)的一个“姊妹点对”．点对(A，B)与(B，A)可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数f(x)＝ x2＋2xx2exx，则f(x)的“姊妹点对”有( )

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题卡上。

13.函数的定义域为 .

14．命题“∀x∈R，ex－x＋1≥0”的否定是

15. 已知中，角对边分别为，，则 ．

16．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2，若对任意x∈[a，a＋2]，

不等式f(x＋a)≥f(3x＋1)恒成立，则实数a的取值范围是

三、解答题：本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17．（10分）已知三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2acosA＝bcosC＋ccosB．

（1）求A； （2）若a＝3，b＝1，求c.

18．（12分）已知函数f(x)＝－sin2x－3(1－2sin2x)＋1.

（1）求f(x)的最小正周期及其单调减区间；

（2）当x∈[－π6，π6]时，求f(x)的值域．

19．（12分）已知函数3ln42xafxxx，其中，且曲线在点处的切线垂直于直线

（1）求的值； （2）求函数的单调区间及极值．

20．（12分）时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y(单位：千套)与销售价格x(单位：元/套)满足的关系式y＝mx－2＋4(x－6)2，其中2

（1）求m的值；

（2）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)

21．（12分）已知向量m＝(cosx，－1)，n＝(3sinx，－12)，设函数f(x)＝(m＋n)·m.

（1）求函数f(x)的最小正周期；

（2）已知a、b、c分别为三角形ABC的内角对应的三边长，A为锐角，a＝1，c＝3，且f(A)恰是函数f(x)在上的最大值，求A，b和三角形ABC的面积．

22．（12分）已知函数f(x)＝x2－2lnx.

（1）求f(x)的单调区间；

（2）若在x∈(0,1]内恒成立，求t的取值范围．

宜昌市部分示范高中教学协作体2018年秋期中联考

高三（文科）数学参考答案

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答案 C D C B A D B A A B A

C

13.

14．, ex－x＋1<0 15. 16． (－∞，－5]

17． (1)∵2acosA＝bcosC＋ccosB，

∴由正弦定理得sin2A＝sinBcosC＋sinCcosB＝sin(B＋C)，

∴B＋C＝2A，∴A＝60°……………………………………………5分

(2)∵a2＝b2＋c2－2bccosA，a＝3，b＝1，A＝60°，

∴3＝1＋c2－c，∴c＝2……………………………………………10分

18． f(x)＝－sin2x－3(1－2sin2x)＋1

＝－sin2x－3cos2x＋1

＝－2sin(2x＋π3)＋1

…………………………………3分

(1)函数f(x)的最小正周期T＝2π2＝π

………………4分

f(x)＝－2sin(2x＋π3)＋1的单调减区间即是函数y＝sin(2x＋π3)的单调增区间，

由正弦函数的性质知，当2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2，(k∈Z)

即kπ－5π12≤x≤kπ＋π12(k∈Z)时，函数y＝sin(2x＋π3)为单调增函数，……7分

∴函数f(x)的单调减区间为[kπ－5π12，kπ＋π12]，(k∈Z)．…………………...8分

(2)∵x∈[－π6，π6]，∴2x＋π3∈[0，2π3]，

∴sin(2x＋π3)∈[0,1]，∴－2sin(2x＋π3)＋1∈[－1,1]，

∴f(x)的值域为[－1,1]．………………………………………………….12分

19．（1）对求导得，…………..2分

由在点处的切线垂直于直线，知，

解得，所以，的值为．………………………….5分

（2）由（1）知53ln442xfxxx ，则，…….7分

令，解得或，因不在的定义域内，故舍去．

当时，，故在内为减函数；

当时，，故在内为增函数． 由此知函数在时取得极小值

综上得，的递增区间为，递减区间为，极小值为，无极大值．…12分

20． (1)因为x＝4时，y＝21，

代入关系式y＝mx－2＋4(x－6)2，得m2＋16＝21，解得m＝10………………5分

(2)由(1)可知，套题每日的销售量y＝10x－2＋4(x－6)2，

所以每日销售套题所获得的利润

f(x)＝(x－2)[10x－2＋4(x－6)2]＝10＋4(x－6)2(x－2)＝4x3－56x2＋240x－278(2

从而f ′(x)＝12x2－112x＋240＝4(3x－10)(x－6)(2

令f ′(x)＝0，得x＝103，且在(0，103)上，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增；

在(103，6)上，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减，………….10分

所以x＝103是函数f(x)在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，

所以当x＝103≈3.3时，函数f(x)取得最大值．

故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大．……………12分

21． (1)f(x)＝(m＋n)·m＝cos2x＋3sinxcosx＋32＝1＋cos2x2＋32sin2x＋32

＝12cos2x＋32sin2x＋2＝sin(2x＋π6)＋2，…………………….2分

因为ω＝2，所以最小正周期T＝2π2＝π……………………...4分

(2)由(1)知f(x)＝sin(2x＋π6)＋2，当x∈[0，π2]时， π6≤2x＋π6≤7π6.

由正弦函数图象可知，当2x＋π6＝π2时，f(x)取得最大值3，又A为锐角，所以2A＋π6＝π2，A＝π6……….6分

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA得，1＝b2＋3－2×3×b×cosπ6，所以b＝1或b＝2，………….8分

经检验均符合题意．

从而当b＝1时，△ABC的面积S＝12×3×1×sinπ6＝34；………….10分

当b＝2时，S＝12×3×2×sinπ6＝32……………………………..…..12分

22． (1)函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝2x－2x＝x＋x－x，……………….2分

由f ′(x)>0，得x>1，………………………………………….3分