C2P4F1

第十课 双曲线的画法的画法和性质一．双曲线的定义：1．在平面内，到两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线。

这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

2．双曲线的标准方程：设M (x , y )是双曲线是上任意一点，双曲线的焦距为2c (c >0)，则如图建立直角坐标系，又F 1、F 2的坐标分别是F 1(－c , 0), F 2(c , 0)，若M 点与F 1、F 2两点的距离的差的绝对值等于2a (c >a >0)，则 ||MF 1|－|MF 2||＝2a ,∴a y c x y c x 2)()(2222=+--++, 图10－1整理化简，并且设b 2＝c 2－a 2得双曲线的标准方程12222=-b y a x . 3．双曲线的第二定义：设动点M (x , y )与定点F (c , 0)的距离和它到定直线l : x ＝ca 2的距离的比是常数ac(c >a >0)，则点M 的轨迹是双曲线。

点F 是双曲线的一个焦点，直线l 是双曲线中对应于焦点F 的准线。

常数e ＝ac(e >1)是双曲线的离心率。

图10－24．双曲线的参数方程：以原点为圆心，分别以a 、b (a , b >0)为半径作两个圆，|OA |＝a , |OB |＝b , 点P 是以a 为半径的圆上的一个点，点C 是OA 与半径为bd 圆的交点，过点C 作CN ⊥Ox ，交直线OP 于N ，过点N 作OX 轴的平行线，过点P 作PR ⊥OP ，交Ox 轴于R ，过点R 作直线RM 交过点N 的x 轴的平行线于点M ，当点P 在圆上运动时，M 点的轨迹是双曲线。

设点M 的坐标是(x , y )，φ是以Ox 为始边，OP 为终边的正角，取φ为参数，那么x ＝|OR |＝|OP |se c φ＝a se c φ, y ＝|RM |＝|CN |＝|OC |t g φ＝bt g φ,图10－3∴ 双曲线的参数方程是⎩⎨⎧φ=φ=btg y a x sec (φ是参数).二．双曲线的画法： 画法1：图10－41．在x 轴上取两点F 1、F 2，使|OF 1|＝|OF 2|，用它们作为两个焦点； 2．在图形外作一条线段AB ，使|AB |＝2a ，(|AB |<|F 1F 2|)； 3．以O 为中心，在x 轴上取两点A 1、A 2，使|A 1A 2|＝|AB |；4．在AB 延长线上分别取C '，使|BC '|＝|A 1F 1|；在ABC '的延长线方向上作射线C 'C ，并用“作图”菜单中的“对象上的点”功能在C 'C 上作点C ；5．分别以F 1、F 2为圆心，用|BC |、|AC |为半径作圆，两圆相交于P 1、P 2两点；同样方法分别以F 1、F 2为圆心，用|AC |、|BC |为半径作圆，两圆相交于P 3、P 4两点；并将这四个点定义为“追踪点”；6．依次选中点C 、点P 1 (或点C 、点P 2 , 或点C 、点P 3, 或点C 、点P 3)，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，作出双曲线。

第四章组合逻辑电路‎1. 解： (a)(b)是相同的电路‎，均为同或电路‎。

2. 解：分析结果表明‎图(a)、(b)是相同的电路‎，均为同或电路‎。

同或电路的功‎能：输入相同输出‎为“1”；输入相异输出‎为“0”。

因此，输出为“0”(低电平)时，输入状态为A‎B＝01或103. 由真值表可看‎出，该电路是一位‎二进制数的全‎加电路，A为被加数，B为加数，C为低位向本‎位的进位，F1为本位向‎高位的进位，F2为本位的‎和位。

4. 解：函数关系如下‎：SF++⊕=+ABSABS BABS将具体的S值‎代入，求得F 312值，填入表中。

A A FB A B A B A A F B A B A A F A A F AB AB F B B A AB F AB B A B A B A AB F B A A AB F B A B A B A F B A AB AB B A B A F B B A B A B A B A B A B A F AB BA A A B A A B A F F B A B A F B A B A F A A F S S S S =⊕==+==+⊕===+⊕===⊕===⊕===+⊕===+=+⊕===⊕==+==⊕==Θ=+=+⊕===+++=+⊕===+=⊕===⊕==+=+⊕==+=+⊕===⊕==01111111011010110001011101010011000001110110)(01010100101001110010100011000001235. （1）用异或门实现‎，电路图如图(a)所示。

(2) 用与或门实现‎，电路图如图(b)所示。

6. 解因为一天24‎小时，所以需要5个‎变量。

P变量表示上‎午或下午，P＝0为上午，P=1为下午；ABCD表示‎时间数值。

真值表如表所‎示。

利用卡诺图化‎简如图(a)所示。

化简后的函数‎表达式为D C A P D B A P C B A P A P DC A PD B A P C B A P A P F =+++=用与非门实现‎的逻辑图如图‎(b )所示。

第二章达标检测时间：120分钟 分数：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若双曲线C ：x 2a 2 －y2b 2 ＝1离心率为2，过点( 2 ， 3 )，则该双曲线的方程为( )A ．2x 2－y 2＝1 B ．x 2－y 23 ＝1 C ．5x 2－3y 2＝1 D ．x 22 －y26＝12．抛物线y 2＋4x ＝0上的点P 到直线x ＝2的距离等于4，则P 到焦点F 的距离|PF|＝( )A ．1B ．2C ．3D ．43．点(3，0)到双曲线x 216 －y29＝1的一条渐近线的距离为( )A ．95B ．85C ．65D ．454．已知l 为抛物线x 2＝8y 的准线，抛物线上的点A 到l 的距离为d ，M 点的坐标为(8，2)，则|AM|＋d 的最小值为( )A ．4B ．8C ．16D ．2 25．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为( )A ．1＋e 1－e r ＋2e 1－e RB ．1＋e 1－e r ＋e1－e R C ．1－e 1＋e r ＋2e 1＋e R D ．1－e 1＋e r ＋e1＋eR 6．设B 是椭圆C ：x 25＋y 2＝1的上顶点，点P 在C 上，则|PB|的最大值为( )A ．52B ． 6C ． 5D ．27．设B 是椭圆C ：x 2a 2 ＋y2b 2 ＝1(a>b>0)的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足|PB|≤2b，则C 的离心率的取值范围是( )A ．[22 ，1) B ．[12 ，1) C ．(0，22 ] D ．(0，12] 8．已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点(左、右焦点分别为F 1，F 2)，它们在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1e 2的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞ D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫19，＋∞二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知动点P 在双曲线C ：x 2－y23＝1上，双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，下列结论正确的是( )A ．C 的离心率为2B ．C 的渐近线方程为y ＝±33x C ．动点P 到两条渐近线的距离之积为定值 D ．当动点P 在双曲线C 的左支上时，|PF 1||PF 2|2 的最大值为1410．已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，直线l 的斜率为 3 且经过点F ，与抛物线C 交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线C 的准线交于点D.若|AF|＝8，则以下结论正确的是( )A ．p ＝4B ．DF → ＝FA →C ．|BD|＝2|BF|D ．|BF|＝411．已知曲线C 的方程为x 2k 2－2 －y26－k ＝1(k∈R )，则下列结论正确的是( )A ．当k ＝8时，曲线C 为椭圆，其焦距为415B ．当k ＝2时，曲线C 为双曲线，其离心率为3 C ．存在实数k 使得曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线D ．当k ＝－3时，曲线C 为双曲线，其渐近线与圆(x －4)2＋y 2＝9相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，根据图上尺寸，溢流孔ABC 所在抛物线的方程为__________________，溢流孔与桥拱交点A 的横坐标为________．13．已知双曲线C ：x 2a 2 －y 2b2 ＝1的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若2FM → ＝FN →，则双曲线的渐近线方程为________.14．已知F 1，F 2为椭圆C ：x 216＋y 24＝1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ |＝|F 1F 2|，则四边形PF 1QF 2的面积为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)上一点M (m ，4)到焦点的距离为5. (1)求抛物线C 的方程；(2)若过点M 的双曲线y 2a 2 －x 2b2 ＝1(a >0，b >0)的一个顶点为抛物线C 的焦点，求该双曲线的渐近线方程．16.(本小题满分15分)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的一边AB 在x 轴上，另一边CD 在x 轴上方，且AB ＝8，BC ＝6，其中A (－4，0)，B (4，0).(1)若A ，B 为椭圆的焦点，且椭圆经过C ，D 两点，求该椭圆的方程； (2)若A ，B 为双曲线的焦点，且双曲线经过C ，D 两点，求双曲线的方程．17．(本小题满分15分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为2. (1)求C 的方程；(2)已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足PQ → ＝9QF →，求直线OQ 斜率的最大值．18．(本小题满分17分)已知双曲线的方程为2x 2－y 2＝2. (1)求以点A (2，1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程；(2)过点B (1，1)能否作直线l ，使l 与所给双曲线交于Q 1，Q 2两点，且点B 是弦Q 1Q 2的中点？如果存在这样的直线l ，求出它的方程；如果不存在，请说明理由．19．(本小题满分17分)如图，设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上的点A到y 轴的距离等于|AF|－1.(1)求p的值；(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围．第二章达标检测1．解析：∵e ＝c a ＝2，则c ＝2a ，b ＝c 2－a 2＝3 a ，则双曲线的方程为x 2a 2 －y 23a2 ＝1，将点(2 ，3 )的坐标代入双曲线的方程可得2a 2 －33a 2 ＝1a2 ＝1，解得a ＝1，故b ＝3 ，因此，双曲线的方程为x 2－y 23＝1.故选B.答案：B2．解析：抛物线y 2＋4x ＝0的准线为x ＝1，因为抛物线y 2＋4x ＝0上的点P 到直线x ＝2的距离等于4，所以抛物线y 2＋4x ＝0上的P 到准线x ＝1的距离为3，根据抛物线的定义知，P 到焦点F 的距离|PF |＝3.故选C. 答案：C3．解析：由题意可知，双曲线的渐近线方程为x 216 －y 29 ＝0，即3x ±4y ＝0，结合对称性，不妨考虑点(3，0)到直线3x ＋4y ＝0的距离，d ＝9＋09＋16＝95.故选A.答案：A4．解析：如图所示：抛物线的焦点为F (0，2)，准线为l ：y ＝－2，过A 作AN 交l 于点N ，连接AF ，由抛物线的定义得|AF |＝|AN |＝d ，∴|AM |＋d ＝|AM |＋|AF |≥|MF |＝8，当且仅当M ，A ，F 三点共线时取等号，∴|AM |＋d 的最小值为8.答案：B5．解析：椭圆的离心率e ＝c a∈(0，1)，(c 为半焦距，a 为长半轴)，设卫星近地点，远地点离地面距离分别为r ，n ，如图：则n ＝a ＋c －R ，r ＝a －c －R ，所以a ＝r ＋R 1－e ，c ＝（r ＋R ）e 1－e ，n ＝a ＋c －R ＝r ＋R1－e＋e （r ＋R ）1－e －R ＝1＋e 1－e r ＋2e1－eR .答案：A6．解析：设点P (x 0，y 0)，因为B (0，1)，x 20 5＋y 20 ＝1，所以|PB |2＝x 20 ＋(y 0－1)2＝5(1－y 20 )＋(y 0－1)2＝－4y 20 －2y 0＋6＝－4(y 0＋14 )2＋254 ，又－1≤y 0≤1，所以当y 0＝－14时，|PB |的最大值为52.答案：A7．解析：设P (x 0，y 0)，因为B (0，b )，x 20 a 2 ＋y 20 b 2 ＝1，a 2＝b 2＋c 2，所以|PB |2＝x 20 ＋(y 0－b )2＝a 2(1－y 20 b 2 )＋(y 0－b )2＝－c 2b 2 (y 0＋b 3c 2 )2＋b 4c2 ＋a 2＋b 2，因为－b ≤y 0≤b ，所以当－b 3c2 ≤－b ，即b 2≥c 2时，|PB |2max ＝4b 2，即|PB |max ＝2b ，符合题意；由b 2≥c 2可得a 2≥2c 2，即0<e ≤22 ；当－b 3c 2 >－b ，即b 2<c 2时，|PB |2max ＝b 4c 2 ＋a 2＋b 2，即b 4c 2 ＋a 2＋b 2≤4b 2，化简得，(c 2－b 2)2≤0，显然该不等式不成立．故选C.答案：C8．解析：设椭圆的长轴长为2a ，双曲线的实轴长为2m ，焦距为2c ，则有⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|－|PF 2|＝2m ， 得|PF 2|＝a －m .又|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，所以a －m ＝2c .又由e 1＝ca ，e 2＝c m ，得a ＝c e 1 ，m ＝c e 2 ，从而有c e 1 －c e 2 ＝2c ，得e 2＝e 11－2e 1 ，从而e 1e 2＝e 1·e 11－2e 1＝e 211－2e 1 .由e 2>1，且e 2＝e 11－2e 1 ，可得13 <e 1<12 ，令1－2e 1＝t ，则0<t <13.e 1e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 22t＝14 ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t －2 .又f (t )＝t ＋1t －2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 上为减函数，则当0<t <13 时，f (t )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 ＝43 .故e 1e 2>13.答案：B9．解析：对于双曲线C ：x 2－y 23 ＝1，a ＝1，b ＝3 ，c ＝2，所以双曲线C 的离心率为e ＝c a＝2，渐近线方程为y ＝±3 x ，A 选项正确，B 选项错误；设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x 20－y 203 ＝1，双曲线C 的两条渐近线方程分别为x －33 y ＝0和x ＋33y ＝0，则点P 到两条渐近线的距离之积为|x 0－33y 0|1＋（33）2·|x 0＋33y 0|1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－332＝|x 20－y 203|43＝34，C选项正确；当动点P 在双曲线C 的左支上时，|PF 1|≥c －a ＝1，|PF |＝2a ＋|PF 1|＝|PF 1|＋2，|PF 1||PF 2|2 ＝|PF 1|（|PF 1|＋2）2 ＝|PF 1||PF 1|2＋4＋4|PF 1| ＝1|PF 1|＋4|PF 1|＋4 ≤12|PF 1|·4|PF 1|＋4 ＝18 ，当且仅当|PF |＝2时，等号成立，所以|PF 1||PF 2|2的最大值为18，D 选项错误． 答案：AC10．解析：如图所示，分别过点A ，B 作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为点E ，M ，连接EF .设抛物线C 的准线交x 轴于点P ，则|PF |＝p .∵直线l 的斜率为3 ，∴其倾斜角为60°.∵AE ∥x 轴，∴∠EAF ＝60°，由抛物线的定义可知，|AE |＝|AF |，则△AEF 为等边三角形，∴∠EFP ＝∠AEF ＝60°，则∠PEF ＝30°，∴|AF |＝|EF |＝2|PF |＝2p ＝8，得p ＝4，故A 正确；∵|AE |＝|EF |＝2|PF |，且PF ∥AE ，∴F 为AD 的中点，则DF → ＝FA →，故B 正确；∠DAE ＝60°，∴∠ADE ＝30°，∴|BD |＝2|BM |＝2|BF |，故C 正确；∵|BD |＝2|BF |，∴|BF |＝13 |DF |＝13 |AF |＝83 ，故D 错误．故选ABC.答案：ABC11．解析：对于选项A ：当k ＝8时，曲线C 的方程为x 262＋y 22＝1，曲线C 为椭圆，a2＝62，b 2＝2，则c 2＝a 2－b 2＝62－2＝60，即c ＝215 ，所以其焦距为415 ，故A 正确；对于选项B ：当k ＝2时，曲线C 的方程为x 22－y 24＝1，曲线C 为双曲线，a 2＝2，b 2＝4，则c 2＝a 2＋b 2＝6，即c ＝6 ，所以其离心率为c a ＝62＝3 ，故B 正确；对于选项C ：若曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧6－k <0，k 2－2<0 无解，所以不存在实数k ，使得曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，故C 错误；对于选项D ：当k ＝－3时，曲线C 的方程为x 27－y 29＝1，曲线C 为双曲线，a 2＝7，b 2＝9，则其渐近线方程为3x ±7 y ＝0.又圆(x －4)2＋y 2＝9的圆心坐标为(4，0)，半径为3，所以圆心到渐近线的距离d ＝|3×4|32＋（7）2＝3，故D 正确．故选ABD.答案：ABD12．解析：设桥拱所在抛物线方程x 2＝－2py ，由图可知，曲线经过(20，－5)，代入方程202＝－2p ×(－5)，解得p ＝40，所以桥拱所在抛物线方程为x 2＝－80y ；四个溢流孔轮廓线相同，所以从右往左看，设第一个抛物线C 1：(x －14)2＝－2p ′y ，由图抛物线C 1经过点A (20，－5)，则(20－14)2＝－2p ′×(－5)，解得p ′＝185 ，所以C 1：(x －14)2＝－365 y ，点A 即桥拱所在抛物线x 2＝－80y 与C ：(x －14)2＝－365y 的交点坐标，设A (x ，y )，7<x <14.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－80y ，（x －14）2＝－365y ，7<x <14，解得x ＝14013 ，所以点A 的横坐标为14013.答案：(x －14)2＝－365 y 1401313．解析：由题意，设右焦点为F (c ，0)， 设渐近线OM 的方程为y ＝bax ， 则渐近线ON 的方程为y ＝－b ax ，FM 的方程为y ＝－ab (x －c )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，y ＝－ab （x －c ），可得M 的横坐标为a 2c ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b a x ，y ＝－ab （x －c ），可得N 的横坐标为ca 2a 2－b2 .由2FM → ＝FN → ，可得2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c －c ＝ca 2a 2－b 2 －c ，即2a2c －c ＝ca 22a 2－c2 ， 由e ＝c a ，可得2e 2 －1＝12－e2 ，即e 4－5e 2＋4＝0，解得e 2＝4或e 2＝1(舍去)， 所以e ＝2，所以c ＝2a ，b ＝3 a ， 所以渐近线方程为y ＝±3 x .答案：y ＝±3 x14．解析：因为P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ |＝|F 1F 2|，所以四边形PF 1QF 2为矩形，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝8，m 2＋n 2＝48，所以64＝(m ＋n )2＝m 2＋2mn ＋n 2＝48＋2mn ，mn ＝8，即四边形PF 1QF 2的面积等于8.答案：815．解析：(1)由抛物线的定义可得4＋p2 ＝5，解得p ＝2，故抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)把M (m ，4)的坐标代入x 2＝4y ，得m ＝±4， 即M 点的坐标为(±4，4).又抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为(0，1)，则a ＝1，所以双曲线的方程为y 2－x 2b2 ＝1(b >0)，将点M (±4，4)的坐标代入双曲线的方程，得b 2＝1615 ，即b ＝415 ，故双曲线的渐近线方程为y ＝±154x . 16．解析：连接AC ，则|AC |＝|AB |2＋|BC |2＝82＋62＝10. (1)∵A ，B 为椭圆的焦点，且椭圆经过C ，D 两点， 则根据椭圆的定义，得|CA |＋|CB |＝16＝2a ，∴a ＝8. 在椭圆中，b 2＝a 2－c 2＝64－16＝48，故椭圆的方程为x 264＋y 248＝1.(2)∵A ，B 为双曲线的焦点，且双曲线经过C ，D 两点， 根据双曲线的定义，得|CA |－|CB |＝4＝2a ，∴a ＝2.在双曲线中，b 2＝c 2－a 2＝16－4＝12，故双曲线的方程为x 24 －y 212＝1.17．解析：(1)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F (p 2 ，0)，准线方程为x ＝－p2 ，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为p 2 －(－p2)＝p ＝2，所以该抛物线的方程为y 2＝4x .(2)设Q (x 0，y 0)，则PQ → ＝9QF →＝(9－9x 0，－9y 0)， 所以P (10x 0－9，10y 0)，由P 在抛物线上可得(10y 0)2＝4(10x 0－9)，即x 0＝25y 20 ＋910，所以直线OQ 的斜率k OQ ＝y 0x 0 ＝y 025y 20 ＋910＝10y 025y 20 ＋9， 当y 0＝0时，k OQ ＝0；当y 0≠0时，k OQ ＝1025y 0＋9y 0，当y 0>0时，因为25y 0＋9y 0≥2 25y 0·9y 0 ＝30，此时0<k OQ ≤13 ，当且仅当25y 0＝9y 0 ，即y 0＝35 时，等号成立；当y 0<0时，k OQ <0；综上，直线OQ 的斜率的最大值为13.18．解析：(1)设以点A (2，1)为中点的弦的两端点分别为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，x 1≠x 2.由点P 1，P 2在双曲线上，得2x 21 －y 21 ＝2，2x 22 －y 22 ＝2，两式相减，得2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.则2×4(x 1－x 2)－2(y 1－y 2)＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝4， 故中点弦所在的直线方程为y －1＝4(x －2)，即4x －y －7＝0. (2)不能．理由如下：假设直线l 存在，可利用(1)中的方法求出l 的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－y 2＝2，2x －y －1＝0， 消去y ，得2x 2－4x ＋3＝0，根的判别式Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8<0，所以方程无实根，因此直线l 与双曲线无交点．故满足条件的直线l 不存在．19．解析：(1)由题意可得，抛物线上的点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义得p2＝1，即p ＝2.(2)由(1)得，抛物线方程为y 2＝4x ，F (1，0)，可设A (t 2，2t )，t ≠0，t ≠±1. 因为AF 不垂直于y轴，可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝sy ＋1， 消去x 得y 2－4sy －4＝0，故y 1y 2＝－4，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2，－2t .又直线AB 的斜率为2t t 2－1 ，所以直线FN 的斜率为－t 2－12t，从而得直线FN ：y ＝－t 2－12t (x －1)，直线BN ：y ＝－2t ，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋3t 2－1，－2t .设M (m ，0)，由A ，M ，N 三点共线得2tt 2－m＝2t ＋2tt 2－t 2＋3t 2－1，于是m＝2t2t2－1，所以m<0或m>2，经检验，m<0或m>2满足题意．综上，点M的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞).。

刘祖洞遗传学第三版答案第9章数量性状遗传1.数量性状在遗传上有些什么特点？在实践上有什么特点？数量性状遗传和质量性状遗传有什么主要区别？解析：结合数量性状的概念和特征以及多基因假说来回答。

参考答案：数量性状在遗传上的特点：（1）数量性状受多基因支配（2）这些基因对表型影响小，相互独立，但以积累的方式影响相同的表型。

（3）每对基因常表现为不完全显性，按孟德尔法则分离。

数量性状在实践上的特点：（1）数量性状的变异是连续的，比较容易受环境条件的影响而发生变异。

（2）两个纯合亲本杂交，F1表现型一般呈现双亲的中间型，但有时可能倾向于其中的一个亲本。

F2的表现型平均值大体上与F1相近，但变异幅度远远超过F1。

F2分离群体内，各种不同的表现型之间，没有显着的差别，因而不能得出简单的比例，因此只能用统计方法分析。

（3）有可能出现超亲遗传。

数量性状遗传和质量性状遗传的主要区别：（1）数量性状是表现连续变异的性状，而质量性状是表现不连续变异的性状；（2）数量性状的遗传方式要比质量性状的遗传方式复杂的多，它是由许多基因控制的，而且它们的表现容易受环境条件变化的影响。

2.什么叫遗传率？广义遗传率？狭义遗传率？平均显性程度？解析：根据定义回答就可以了。

参考答案：遗传率指亲代传递其遗传特性的能力，是用来测量一个群体内某一性状由遗传因素引起的变异在表现型变异中所占的百分率，即：遗传方差/总方差的比值。

广义遗传率是指表型方差（Vp）中遗传方差（Ve）所占的比率。

狭义遗传率是指表型方差（Vp）中加性方差（VA）所占的比率。

平均显性程度是指VD/VA。

〔在数量性状的遗传分析中，对于单位点模型，可以用显性效应和加性效应的比值d/a来表示显性程度。

但是推广到多基因系统时，d/a并不能说明任一位点上基因的显性性质。

因为d和a都可能因为有正有负而相消，除非两个亲本分别集中了所有显性和隐性等位基因。

但是d2和a2是显性效应和加性效应的积累，不会产生正负相消，因此在多对基因效应相等的假设下，VDVAdi1ki1k2i2iakd2d，2kaa所以VD/VA是可以直接度量多基因系统的显性程度的。

01 思维导图知识点02：椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x 轴上焦点在图形221x y （0a b >>）22221y x a b +=（02 知识速记x a ≥或x a≤-y a ≤-或y a≥x≥，03 题型归纳A ．若直线AB 的斜率k 存在，则B ．当点C 的坐标为(210,C ．当2AB AD AB ×=uuu r uuu r uuu r时，△D ．当2AB AD AB ×=uuu r uuu r uuu r 时，2(1)当直线l的倾斜角为(2)试确定在x轴上是否存在点请说明理由．(1)求证：6pa =；(2)求抛物线C 的方程；(3)过点(2,2)D 作直线交抛物线()121232k k k k -+的值．（1）若P的坐标为（-2（2）记PQ直线为m，其在若QF恰好经过M点，求直线2．（23-24高三上·广东惠州·阶段练习）已知点()1,0A -，()10B ,，动点(),P x y 满足直线PA 与PB 的斜率之积为3，记动点P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过点()2,0F 的直线与曲线C 交于,M N 两点，直线AM 与BN 相交于Q ．求证：点Q 在定直线上．3．（2024·浙江绍兴）已知抛物线2:4C x y =，过点(1,2)P -的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，交y 轴于点(0,)(0)M t t >，分别过点,A B 作直线y t =-的垂线，垂足分别为,C D ，如图．（1）若OC OD ^（O 为坐标原点），求t 的值；（2）过M 作直线AB 的垂线交CD 于点N ．记ACO △，,BDO ABN V V 的面积分别为123,,S S S ．若()12323S S S +=，求直线l 的方程．3．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知点()1,2Q 在抛物线22y px =上，过点()8,0的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，点M 为线段AB 的中点，过M 作平行于x 轴的直线交抛物线于点N ．(1)求抛物线的方程；(2)是否存在直线l 使得点N 满足0NA NB ×=uuu r uuu r 若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由．。

空调故障代码表，请大家补充其他品牌主要电脑板的一些代码长虹空调故障代码表长虹空调故障代码表机型代码可能故障原因F1 室内温度传感器异常F2 室内盘管温度传感器异常F3 室外环境温度传感器异常KFR-45LW/WDQ F4 室外盘管温度传感器异常KFR-45LW/WBQ F5 压缩机排气温度传感器异常KFR-50LW/WBQ P1 压缩机排气温度传感器异常P2 CT电流异常P4 JPM故障保护P5 四通阀切换异常E1 室内主控板与控制面板之间通讯异常E2 室内主控板与室外控制板之间通讯异常E1 主控板与面板之间通讯错误E2 主控板与室外板之间通讯错误F1 高压开关保护F2 室外风扇电机热保护器动作KF-75LW/WDS F3 室内风扇电机热保护器动作KF-75W/W3S F4 低压开关保护KFR-75LW/WDES F5 逆相保护KFR-120LW/WDS F6 缺相保护KF-120LW/WS H1 压缩机过电流保护H2 压缩机堵转保护H3 检测不到压缩机电流P1 制冷过载保护P2 制热过载保护P3 系统异常保护P4 自动模式下室内温度传感器异常无显示制冷剂不足E1 控制面板测到从室内机传来的异常信息E2 控制面板测到从室内机传来的异常信息E3 室内机测到从控制面板传来的异常信息E4 室内机测到从室外机传来的异常信息E5 室内机测到从室外机传来的异常信息E6 室外机测到从室内机传来的异常信息E7 室外机测到从室内机传来的异常信息P1 室内风扇电机热保护器动作P2 室外风扇电机与压缩机热保护器动作KFR-120LW/M P3 排气温度异常KFR-120LW/MAS P4 高压开关动作KFR-71LW/M P5 逆相保护(对KFR-71LW/M是主控板上开关位置设置错误)P6 室内机与室外机的模式不兼?F1 室内机热敏电阻断路或者受损F2 室内机热敏电阻断路或者受损F4 室外机热敏电阻断路或者受损F5 室外机热敏电阻断路或者受损F6 室外机热敏电阻断路或者受损F7 室外机热敏电阻断路或者受损F8 室外机热敏电阻断路或者受损H1 压缩机电机过流H2 压缩机电机堵转H3 压缩机电流检测异常H6 低压开关动作H7 连接室内机和室外机线路或管道接错E1 通讯异常48LW P1 制冷过载60系列P2 制热过载51系列P3 系统异常保护P4 自动模式下室内温度传感器异常KFR-7ILW/D E1 通信异常KFR-71LW/WD P1 制冷过载KF-71LW P2 制热过载P3 系统异常保护P4 自动模式室内温度传感器异常F1 高压开关保护(序号线接错或断裂,控制板上光藕或R205损坏) F2 室外风扇电机热保护(热保护器坏,控制板上光藕或R205损坏) F3 室内风扇电机热保护(热保护器坏,控制板上光藕或R205损坏)KFR-50LWWDFB E1 通信异常KF-50LWWDF P1 制冷过载KF-60LWWDF P2 制热过载KF-71LWWDF F1 高压开关保护KFR-51LWWDFB F2 室外风扇电机热保护KFR-60LWWDFB F3 室内风扇电机热保护F7 温度传感器损坏或异常F8 系统保护异常-- 作者：蓝社天空-- 发布时间：2005-1-13 19:14:00--春兰KFR--70LW/Bd注意：不知道是哪个厂家的电控板E1:通讯失败;E2:压缩机过电流:E3:电源电压异常;E4:系统压力过高:E5:室外环温过低:E6:室内换热器结冻.美的机变频资料及故障代码美的机变频资料及故障代码KFR——40GW/BPY-R显示内容故障或保护定义Ｅ０参数错误Ｅ１室内外机通信故障Ｅ２过零检测出错Ｅ３风机速度失控Ｅ４温度保险丝断保护Ｅ５室外温度传感器故障Ｅ６室内温度传感器故障Ｐ０模块保护Ｐ１电压过高或过低保护Ｐ２压缩机顶部温度保护 KFR-26GW/I1BPY KFR-32GW/I1BPY运行时LED的显示㈠、正常1、工作灯正常开机时（工作灯）LED4 亮正常关机时（工作灯）LED4 灭2、化霜灯化霜或防冷风功能有效时（化霜灯）LED1 亮化霜或防冷风功能无效时（化霜灯）LED1 灭3、定时灯定时功能有效时（定时灯）LED2 亮定时功能无效时（定时灯）LED2 灭4、换气灯连续换气运行时（连续换气灯）LED3、LED5 亮连续换气停止时（连续换气灯）LED3、LED5 灭自动换气运行时（自动换气灯）LED6、LED7 亮自动换气停止时（自动换气灯）LED6、LED7 灭㈡室内机故障显示功能LED4 工作灯 LED2 化霜灯 LED1 定时灯 LED3、LED5 连续换气灯LED2化霜 LED1定时 LED3、5、6、7连续、自动换气 LED4工作 LED 状态X X O ☆ 模块保护(PRMOD PRMOD1)O X X ☆ 压缩机顶部温度保护（PRCOM）X O X ☆ 室外温度传感器开路或短路（PROUTD）X O O ☆ 电压过高或过低保护（PRVAC）O O O ☆ 室内房间温度、蒸发器温度传感器开路或短路（PREVP 、PRROM）O O ☆ ☆ 风机速度失控（SPABF）☆X O ☆ 过零检测出错（ACBAD）X X ☆ ☆ EEPROM参数错误指示☆O X ☆ 温度保险丝断保护（FUSED）☆O ☆ ☆ 机型不匹配（TYPER）☆☆ ☆ ☆ 室内机和室外机通信保护（PRTRN）O （亮） X （熄）☆ （闪）(三)、室外机故障自我诊断显示只设L4故障指示灯：L4 运行/待机指示灯运行：长亮待机：0.5HZ闪烁故障：1HZ闪烁16.2对于KFR-26(32)GW/I1BPY，室内设置4个LED。

空调故障代码表，请大家补充其他品牌主要电脑板的一些代码长虹空调故障代码表长虹空调故障代码表机型代码可能故障原因F1 室内温度传感器异常F2 室内盘管温度传感器异常F3 室外环境温度传感器异常KFR-45LW/WDQ F4 室外盘管温度传感器异常KFR-45LW/WBQ F5 压缩机排气温度传感器异常KFR-50LW/WBQ P1 压缩机排气温度传感器异常P2 CT电流异常P4 JPM故障保护P5 四通阀切换异常E1 室内主控板与控制面板之间通讯异常E2 室内主控板与室外控制板之间通讯异常E1 主控板与面板之间通讯错误E2 主控板与室外板之间通讯错误F1 高压开关保护F2 室外风扇电机热保护器动作KF-75LW/WDS F3 室内风扇电机热保护器动作KF-75W/W3S F4 低压开关保护KFR-75LW/WDES F5 逆相保护KFR-120LW/WDS F6 缺相保护KF-120LW/WS H1 压缩机过电流保护H2 压缩机堵转保护H3 检测不到压缩机电流P1 制冷过载保护P2 制热过载保护P3 系统异常保护P4 自动模式下室内温度传感器异常无显示制冷剂不足E1 控制面板测到从室内机传来的异常信息E2 控制面板测到从室内机传来的异常信息E3 室内机测到从控制面板传来的异常信息E4 室内机测到从室外机传来的异常信息E5 室内机测到从室外机传来的异常信息E6 室外机测到从室内机传来的异常信息E7 室外机测到从室内机传来的异常信息P1 室内风扇电机热保护器动作P2 室外风扇电机与压缩机热保护器动作KFR-120LW/M P3 排气温度异常KFR-120LW/MAS P4 高压开关动作KFR-71LW/M P5 逆相保护(对KFR-71LW/M是主控板上开关位置设置错误) P6 室内机与室外机的模式不兼?F1 室内机热敏电阻断路或者受损F2 室内机热敏电阻断路或者受损F4 室外机热敏电阻断路或者受损F5 室外机热敏电阻断路或者受损F6 室外机热敏电阻断路或者受损F7 室外机热敏电阻断路或者受损F8 室外机热敏电阻断路或者受损H1 压缩机电机过流H2 压缩机电机堵转H3 压缩机电流检测异常H6 低压开关动作H7 连接室内机和室外机线路或管道接错E1 通讯异常48LW P1 制冷过载60系列P2 制热过载51系列P3 系统异常保护P4 自动模式下室内温度传感器异常KFR-7ILW/D E1 通信异常KFR-71LW/WD P1 制冷过载KF-71LW P2 制热过载P3 系统异常保护P4 自动模式室内温度传感器异常F1 高压开关保护(序号线接错或断裂,控制板上光藕或R205损坏) F2 室外风扇电机热保护(热保护器坏,控制板上光藕或R205损坏) F3 室内风扇电机热保护(热保护器坏,控制板上光藕或R205损坏)KFR-50LWWDFB E1 通信异常KF-50LWWDF P1 制冷过载KF-60LWWDF P2 制热过载KF-71LWWDF F1 高压开关保护KFR-51LWWDFB F2 室外风扇电机热保护KFR-60LWWDFB F3 室内风扇电机热保护F7 温度传感器损坏或异常F8 系统保护异常春兰KFR--70LW/Bd注意：不知道是哪个厂家的电控板E1:通讯失败;E2:压缩机过电流:E3:电源电压异常;E4:系统压力过高:E5:室外环温过低:E6:室内换热器结冻.美的机变频资料及故障代码美的机变频资料及故障代码KFR——40GW/BPY-R显示内容故障或保护定义Ｅ０参数错误Ｅ１室内外机通信故障Ｅ２过零检测出错Ｅ３风机速度失控Ｅ４温度保险丝断保护Ｅ５室外温度传感器故障Ｅ６室内温度传感器故障Ｐ０模块保护Ｐ１电压过高或过低保护Ｐ２压缩机顶部温度保护 KFR-26GW/I1BPY KFR-32GW/I1BPY运行时LED的显示㈠、正常1、工作灯正常开机时（工作灯）LED4 亮正常关机时（工作灯）LED4 灭2、化霜灯化霜或防冷风功能有效时（化霜灯）LED1 亮化霜或防冷风功能无效时（化霜灯）LED1 灭3、定时灯定时功能有效时（定时灯）LED2 亮定时功能无效时（定时灯）LED2 灭4、换气灯连续换气运行时（连续换气灯）LED3、LED5 亮连续换气停止时（连续换气灯）LED3、LED5 灭自动换气运行时（自动换气灯）LED6、LED7 亮自动换气停止时（自动换气灯）LED6、LED7 灭㈡室内机故障显示功能LED4 工作灯 LED2 化霜灯 LED1 定时灯 LED3、LED5 连续换气灯LED2化霜 LED1定时 LED3、5、6、7连续、自动换气 LED4工作 LED 状态X X O ☆ 模块保护(PRMOD PRMOD1)O X X ☆ 压缩机顶部温度保护（PRCOM）X O X ☆ 室外温度传感器开路或短路（PROUTD）X O O ☆ 电压过高或过低保护（PRVAC）O O O ☆ 室内房间温度、蒸发器温度传感器开路或短路（PREVP 、PRROM）O O ☆ ☆ 风机速度失控（SPABF）☆X O ☆ 过零检测出错（ACBAD）X X ☆ ☆ EEPROM参数错误指示☆O X ☆ 温度保险丝断保护（FUSED）☆O ☆ ☆ 机型不匹配（TYPER）☆☆ ☆ ☆ 室内机和室外机通信保护（PRTRN）O （亮） X （熄）☆ （闪）(三)、室外机故障自我诊断显示只设L4故障指示灯：L4 运行/待机指示灯运行：长亮待机：0.5HZ闪烁故障：1HZ闪烁16.2对于KFR-26(32)GW/I1BPY，室内设置4个LED。

圆锥曲线大题常用方法总结一、齐次化构造【例1】(2022届海南高三下检测)已知椭圆()01:2222＞＞b a by a x E =+的左､右焦点分别为21F F 、，点()1,0-M 是椭圆的一个顶点,21MF F ∆是等腰直角三角形.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点M 分别作直线MB MA ,交椭圆于B A 、两点,设两直线的斜率分别为21k k ，,且421=+k k ,求证：直线AB 过定点.【例2】(2024河南一模)已知椭圆()01:2222＞＞b a by a x E =+的左右焦点分别为21F F 、，其长轴长为6，离心率为e 且31＞e ，点D 为E 上一动点，21F DF ∆的面积的最大值为22，过()0,3-P 的直线21l l 、分别与椭圆E 交于B A 、两点（异于点P ），与直线8=x 交于N M 、两点，且N M 、两点的纵坐标之和为11．过坐标原点O 作直线AB 的垂线，垂足为H ．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）问：平面内是否存在定点Q ，使得HQ 为定值？若存在，请求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．【例3】(2022抚顺一模)已知椭圆()01:2222＞＞b a by a x C =+，若下列四点_____中恰有三点在椭圆C 上．①()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,1,23,1,1,0,1,14321P P P P ;②()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--222,22,2,1,0,2,24321P P P P ．（1）从①②中任选一个条件补充在上面的问题中，并求出椭圆C 的标准方程；（2）在（1）的条件下，设直线l 不经过点2P 且与椭圆C 相交于B A 、两点，直线A P 2与直线B P 2的斜率之和为1-，过坐标原点O 作AB OD ⊥，垂足为D （若直线l 过原点O ，则垂足D 视作与原点O 重合），证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．【例4】(2023隆回一模)已知椭圆()01:2222＞＞b a by a x C =+的一个焦点与抛物线x y 42=的焦点相同，21F F 、为椭圆的左、右焦点，M 为椭圆上任意一点，21F MF ∆面积的最大值为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设不过原点的直线：m kx y +=与椭圆C 交于B A 、两点①若直线2AF 与2BF 的斜率分别为21,k k ，且021=+k k ，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；②若直线l 的斜率是直线OB OA 、斜率的等比中项，求OAB ∆面积的取值范围．【例5】(2022北京朝阳一模)已知双曲线()0,01:2222＞＞b a by a x C =-的离心率为3，右准线方程为33=x （Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线l 是圆222=+y x O ：上动点()00,y x P ()000≠y x 处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点B A 、，证明AOB ∠的大小为定值．【例6】(2023岳麓区三模)已知椭圆()01:2222＞＞b a b y a x C =+过点⎪⎭⎫ ⎝⎛231，A ,其长轴长为4.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设直线l 分别与椭圆C 交于F E 、两点，若直线AF AE 、的斜率分别为21k k ，，且221=⋅k k ．求证：直线l 恒过定点.【例7】(2022长沙模拟)已知椭圆()01:2222＞＞b a by a x E =+的左顶点为A ,离心率为33=e ，点B 为椭圆E 上一动点，ABO ∆的面积的最大值为26.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设直线l 分别与椭圆E 交于N M 、两点（异于点A ），以MN 为直径的圆恒过点A ．求证：直线l 恒过定点.【例8】(2022⋅新高考全国Ⅰ)已知点()12，A 在双曲线()111:2222＞a a y a x C =--上，直线l 与C 交于Q P 、两点,直线AQ AP 、的斜率之和0（Ⅰ）求直线l 的斜率；（Ⅱ）若22tan =∠P AQ ,求P AQ ∆的面积.二、定比点差法【例1】（2023徐州一模）已知椭圆()01:2222＞＞b a by a x C =+的短轴长为22，离心率为22．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,4P 的动直线l 与椭圆C 相交于不同的B A 、两点，在线段AB 上取点Q ，满足PB AQ QB AP ⋅=⋅，证明：点Q 总在某定直线上．【例2】（2020•武昌区一模拟）已知椭圆()01:2222＞＞b a by a x M =+经过点()2,0-A ，离心率为33．（1）求椭圆M 的方程；（2）经过点()1,0E 且斜率存在的直线l 交椭圆于N Q 、两点，点B 与点Q 关于坐标原点对称．连接AB ，AN ．是否存在实数λ，使得对任意直线l ，都有AB AN k k λ=成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【例3】(2022昌平一模)已知椭圆()01:2222＞＞b a by a x E =+的左右焦点分别为21F F 、，点P 为E 上一动点且满足421=+PF PF ，离心率为e ，且21=e .（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线21,PF PF 交椭圆于B A 、两点，A F PF 111λ=，B F PF 222λ=，证明：21λλ+为定值.三、同构转化法【例1】（2019•新课标Ⅲ）已知曲线2:2x y C =，D 为直线21-=y 上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为B A 、．（1）证明：直线AB 过定点．（2）若以⎪⎭⎫ ⎝⎛250、E 为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．【例2】（2020•浙江）已知抛物线y x C =21:，圆()14:222=-+y x C 的圆心为点M ．（Ⅰ）求点M 到抛物线1C 的准线的距离；（Ⅱ）已知点P 是抛物线1C 上一点（异于原点），过点P 作圆2C 的两条切线，交抛物线1C 于B A 、两点，若过P M 、两点的直线l 垂直于AB ，求直线l 的方程．【例3】（2018•浙江）如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线x y C 4:2=上存在不同的两点B A 、满足PB P A 、的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆()014:22＜x y x C =+上的动点，求P AB ∆面积的取值范围．【例4】（2022慈溪市一模）已知抛物线2:ax y C =（a 是常数）过点()2,2-P ，动点⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,t D ，过D 作C 的两条切线，切点分别为B A 、．（1）求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；（2）当1=t 时，求直线AB 的方程；（3）证明：直线AB 过定点．【例5】（2022荔湾区模拟）已知直线03=+-y x 与圆04:22=+-+m y y x C 相交，截得的弦长为2．（1）求圆C 的方程．（2）过原点O 作圆C 的两条切线，与抛物线2x y =相交于N M 、两点（异于原点）．证明：以MN 为直径的圆与圆C 相交．（3）若抛物线2x y =上任意三个不同的点R Q P 、、，满足直线PQ 和PR 都与圆C 相切，判断直线QR 与圆C 的位置关系，并加以证明．【例6】（2019天心区一模）已知椭圆()01:22221＞＞b a by a x C =+的两个焦点21F F 、，动点P 在椭圆上，且使得o PF F 9021=∠的点P 恰有两个，动点P 到焦点1F 的距离的最大值为22+．（1）求椭圆1C 的方程；（2）如图，以椭圆1C 的长轴为直径作圆2C ，过直线22-=x 上的动点T 作圆2C 的两条切线，设切点分别为B A 、，若直线AB 与椭圆1C 交于不同的两点D C 、，求CDAB 的取值范围．【例7】（2021大同三模）已知抛物线x y 22=的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点()2,4M 为平面上的定点，点C B 、是y 轴上不同的两点．（1）求PM PF +的最小值，并求此时P 点的坐标；（2）若圆()1122=+-y x 是PBC ∆的内切圆，求PBC ∆的面积的最小值．四、非对称性韦达定理【对称韦达】已知椭圆()01:2222＞＞b a by a x E =+的左、右顶点分别为B A 、，长轴长为4，离心率为21=e ．过右焦点F 的直线l 交椭圆E 于D C ,两点（均不与B A 、重合），记直线BD AC 、的斜率分别为21k k ，．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）是否存在常数λ，当直线l 变动时，总有21k k λ=成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【例1】已知椭圆()01:2222＞＞b a by a x E =+的左、右顶点分别为B A 、，焦距为2，直线l 与椭圆交于C ，D 两点（均异于椭圆的左、右顶点）．当直线l 过椭圆的右焦点F 且垂直于x 轴时，四边形ACBD 的面积为6．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线BD AC 、的斜率分别为21k k ，．①123k k =，求证：直线l 过定点；②若直线l 过椭圆的右焦点F ，试判断21k k 是否为定值，并说明理由．【例2】如图，已知椭圆()01:2222＞＞b a b y a x C =+过点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1，离心率为21，B A 、分别是椭圆C 的左，右顶点，过右焦点F 且斜率为()0＞k k 的直线l 与椭圆相交于N M 、两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）记BFN AFM ∆∆、的面积分别为21,S S ，若，5611=S S 求k 的值；（3）记直线BN AM ,的斜率分别为21k k ，，求12k k 的值．【例3】已知椭圆()01:2222＞＞b a by a x E =+的左、右焦点分别为()()0,10,121F F 、-，左、右顶点分别为B A 、，()y x P ,为椭圆E 上一点，且()()4112222=++++-y x y x ．（1）求椭圆E 的方程；（2）过1F 的直线与椭圆E 交于D C 、两点（其中点C 位于x 轴上方），记直线BD AC 、的斜率分别为21k k ，，求211k k +的最小值．【例4】已知双曲线()0,01:2222＞＞b a by a x C =-的虚轴长为4，直线2x ﹣y ＝0为双曲线C 的一条渐近线．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）记双曲线C 的左、右顶点分别为A ，B ，斜率为正的直线l 过点T （2，0），交双曲线C 于点M ，N （点M 在第一象限），直线MA 交y 轴于点P ，直线NB 交y 轴于点Q ，记△PAT 面积为1S ，△QBT 面积为2S ，求证：21S S 为定值．【例5】已知双曲线()0,01:2222＞＞b a by a x C =-，焦点到渐近线2x ﹣y ＝0的距离为2．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）记双曲线C 的左、右顶点分别为A ，B ，直线l 交双曲线C 于点M ，N （点M 在第一象限），记直线MA 斜率为1k ，直线NB 斜率为2k ，过原点O 作直线l 的垂线，垂足为H ，当12k k 为定值31-时，问是否存在定点G ，使得GH 为定值，若存在，求此定点G ．若不存在，请说明理由．【例6】如图，O 为坐标原点，椭圆()01:2222＞＞b a b y a x C =+的焦距等于其长半轴长，M ，N 为椭圆C 的上、下顶点，且32=MN （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0P作直线l 交椭圆C 于异于M ，N 的A ，B 两点，直线AM ，BN 交于点T ．求证：点T 的纵坐标为定值3．。

海信日立变频中央空调故障代码E1、E2、E3 :室内机主控电脑板与操作面板间通信不良E4、E5 : SCE 室外部分异常E6、E7 : SCE 室内部分异常F1、F2 :室内热敏电阻故障：室内热交换器温度传感器不良F4 ―― F6 :室外热敏电阻故障F7 :室外热交换器温度传感器C2不良F8 :室外空气温度传感器不良H1 :压缩机超负荷H2 :压缩机电流过大H3 :压缩机过流监测电路异常P1 :室内风扇保护器动作P2 :室外风扇或压缩机热保护器动作P3 :压缩机过热保护P4 :高压保护P5 :相序错误开关板显示代码（其中故障为不可恢复的保护）代码内容E01 一个小时四次模块保护E02 （暂无）E03 一个小时三次排气温度保护P01室内板与室外板2分钟通讯不上保护P02IPM模块保护P03高低电压保护P04室内温度传感器开路或短路（房间、温度）P05室外温度传感器开路或短路（高温或低温）P06室内蒸发器温度保护关压缩机（高温或低温）P07室外冷凝器高温保护关压缩机P08抽湿模式室内温度过低关压缩机P09室外排气温度过高关压缩机P10压缩机顶部温度保护P11化霜或防冷风P12室内风机温度过热P13室内板与开关板2分钟通讯不上室内机故障显示功能（其中 LEDO为工作指示灯，正常时LEDO亮，异常时 LEDO以5HZ的频率闪烁）KFR--40GW/BPY-R 显示内容故障或保护定义E0参数错误E1室内外机通信故障E2过零检测岀错E3风机速度失控E4温度保险丝断保护E5室外温度传感器故障E6室内温度传感器故障P0模块保护P1电压过高或过低保护P2压缩机顶部温度KFR-26GW/I1BPY KFR-32GW/I1BPY 运行时 LED 的显示㈠、正常1、工作灯正常开机时（工作灯）LED4亮正常关机时（工作灯）LED4灭2、化霜灯化霜或防冷风功能有效时（化霜灯）LED1亮化霜或防冷风功能无效时（化霜灯）LED1 灭3、定时灯定时功能有效时（定时灯）LED2亮定时功能无效时（定时灯）LED2灭4、换气灯连续换气运行时（连续换气灯）LED3、LED5亮连续换气停止时（连续换气灯）LED3、LED5灭自动换气运行时（自动换气灯）LED6、LED7亮自动换气停止时（自动换气灯）LED6、LED7灭㈡室内机故障显示功能LED4工作灯LED2化霜灯LED1定时灯LED3、LED5 连续换气灯LED2化霜 LED1定时LED3、5、6、7连续、自动换气LED4工作LED状态X X O ☆ 模块保护（PRMOD PRMOD1） O X X ☆ 压缩机顶部温度保护（PRCOM ） X O X ☆ 室外温度传感器开路或短路（ PROUTD ）X O O ☆ 电压过高或过低保护（PRVAC ）O O O ☆室内房间温度、蒸发器温度传感器开路或短路（ PREVP 、PRROM ）O O ☆ ☆ 风机速度失控（SPABF ）☆X O ☆ 过零检测岀错（ACBAD ）X X ☆ ☆ EEPROM 参数错误指示☆ O X ☆温度保险丝断保护（FUSED ）☆O ☆ ☆ 机型不匹配（TYPER ）☆0 （亮）X （熄）☆（闪）（三）、室外机故障自我诊断显示只设L4故障指示灯：L4运行/待机指示灯运行：长亮待机：0.5HZ闪烁故障：1HZ闪烁16.2对于KFR-26（32）GW/I1BPY ，室内设置4个LED。

§9．6双曲线1．双曲线的概念平面内动点P与两个定点F1、F2|F1F2|＝2c>0的距离之差的绝对值为常数2a 2a<2c,则点P的轨迹叫____________．这两个定点叫双曲线的________,两焦点间的距离叫________．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a},|F1F2|＝2c,其中a、c为常数且a>0,c>0：1当________时,P点的轨迹是双曲线；2当a＝c时,P点的轨迹是____________；3当________时,P点不存在．标准方程错误!－错误!＝1a>0,b>0错误!－错误!＝1a>0,b>0图形性质范围x≥a或x≤－a,y∈R x∈R,y≤－a或y≥a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1－a,0,A2a,0A10,－a,A20,a渐近线y＝±错误!x y＝±错误!x离心率e＝错误!,e∈1,＋∞,其中c＝错误!实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长,b叫做双曲线的半虚轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2c>a>0,c>b>0 难点正本疑点清源1．双曲线中a,b,c的关系双曲线中有一个重要的Rt△OAB如右图,它的三边长分别是a、b、c．易见c2＝a2＋b2,若记∠AOB＝θ,则e＝错误!＝错误!．2．双曲线的定义用代数式表示为||MF1|－|MF2||＝2a,其中2a<|F1F2|,这里要注意两点：1距离之差的绝对值．22a<|F1F2|．这两点与椭圆的定义有本质的不同：①当|MF1|－|MF2|＝2a时,曲线仅表示焦点F2所对应的一支；②当|MF1|－|MF2|＝－2a时,曲线仅表示焦点F1所对应的一支；③当2a＝|F1F2|时,轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；④当2a>|F1F2|时,动点轨迹不存在．3．渐近线与离心率错误!－错误!＝1 a>0,b>0的一条渐近线的斜率为错误!＝错误!＝错误!＝错误!．可以看出,双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．1．已知点F1－4,0和F24,0,一曲线上的动点P到F1,F2距离之差为6,该曲线方程是_____________________________________________________________________．2．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍,则m＝___________________________．3．已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中,有一个内角为60°,则双曲线C的离心率为________．4．2011·山东已知双曲线错误!－错误!＝1 a>0,b>0和椭圆错误!＋错误!＝1有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为________．5．若双曲线错误!－错误!＝1 a>0,b>0的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为A．错误!B．5 C．错误!D．2题型一双曲线的定义例1已知定点A0,7、B0,－7、C12,2,以C为一个焦点作过A、B的椭圆,求另一焦点F 的轨迹方程．探究提高双曲线的定义理解到位是解题的关键．应注意定义中的条件“差的绝对值”,弄清所求轨迹是双曲线的两支,还是双曲线的一支．若是一支,是哪一支,以确保解答的正确性．在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A－6,0和C6,0,若顶点B在双曲线错误!－错误!＝1的左支上,则错误!＝________．题型二双曲线的标准方程例2根据下列条件,求双曲线方程：1与双曲线错误!－错误!＝1有共同的渐近线,且过点－3,2错误!；2与双曲线错误!－错误!＝1有公共焦点,且过点3错误!,2．探究提高求双曲线的方程,关键是求a、b,在解题过程中应熟悉各元素a、b、c、e之间的关系,并注意方程思想的应用．若已知双曲线的渐近线方程为ax±by＝0,可设双曲线方程为a2x2－b2y2＝λλ≠0．1若双曲线的渐近线方程为y＝±3x,它的一个焦点是错误!,0,求双曲线的方程；2已知双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x,并且焦点都在圆x2＋y2＝100上,求双曲线的方程．题型三双曲线的几何性质例3中心在原点,焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|＝2错误!,椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4,离心率之比为3∶7．1求这两曲线方程；2若P为这两曲线的一个交点,求cos∠F1PF2的值．探究提高在研究双曲线的性质时,半实轴、半虚轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多．由于e＝错误!是一个比值,故只需根据条件得到关于a、b、c的一个关系式,利用b2＝c2－a2消去b,然后变形求e,并且需注意e>1．如图,已知F1、F2为双曲线错误!－错误!＝1 a>0,b>0的焦点,过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P,且∠PF1F2＝30°,求：1双曲线的离心率；2双曲线的渐近线方程．题型四直线与双曲线的位置关系例4过双曲线错误!－错误!＝1的右焦点F2,倾斜角为30°的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,F1为左焦点．1求|AB|；2求△AOB的面积；3求证：|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|．探究提高双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系．解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程,然后把直线方程和双曲线方程组成方程组,消元后转化成关于x或y的一元二次方程,利用根与系数的关系及整体代入的思想解题．设直线与双曲线交于Ax1,y1,Bx2,y2两点,直线的斜率为k,则|AB|＝错误!|x1－x2|．直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A、B．1求实数k的取值范围；2是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F若存在,求出k 的值；若不存在,说明理由．10．忽视直线与双曲线相交的判断致误试题：14分已知双曲线x2－错误!＝1,过点P1,1能否作一条直线l,与双曲线交于A、B 两点,且点P是线段AB的中点学生解答展示审题视角1本题属探索性问题．若存在,可用点差法求出AB的斜率,进而求方程；也可以设斜率k,利用待定系数法求方程．2求得的方程是否符合要求,一定要注意检验．规范解答解设点Ax1,y1,Bx2,y2在双曲线上,且线段AB的中点为x0,y0,若直线l的斜率不存在,显然不符合题意．2分设经过点P的直线l的方程为y－1＝kx－1,即y＝kx＋1－k．3分由错误!得2－k2x2－2k1－kx－1－k2－2＝0 2－k2≠0．①7分∴x0＝错误!＝错误!．由题意,得错误!＝1,解得k＝2．9分当k＝2时,方程①成为2x2－4x＋3＝0．Δ＝16－24＝－8<0,方程①没有实数解．12分∴不能作一条直线l与双曲线交于A,B两点,且点P1,1是线段AB的中点．14分批阅笔记1本题是以双曲线为背景,探究是否存在符合条件的直线,题目难度不大,思路也很清晰,但结论却不一定正确．错误原因是考生忽视对直线与双曲线是否相交的判断,从而导致错误,因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的．2如将本题中点P的坐标改为1,2,看看结论怎样方法与技巧1．两条双曲线的渐近线的交点就是双曲线的中心．2．焦点到渐近线的距离等于半虚轴长b．3．共用渐近线的两条双曲线可能是：共轭双曲线；放大的双曲线；共轭放大或放大后共轭的双曲线．所以与双曲线错误!－错误!＝1共用渐近线的双曲线的方程可设为错误!－错误!＝t t≠0．4．已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时,只要令双曲线的标准方程中的“1”为“0”就得到两渐近线方程,即方程错误!－错误!＝0就是双曲线错误!－错误!＝1的两条渐近线方程．失误与防范1．区分双曲线中的a,b,c大小关系与椭圆中的a,b,c大小关系,在椭圆中a2＝b2＋c2,而在双曲线中c2＝a2＋b2．2．双曲线的离心率大于1,而椭圆的离心率e∈0,1．3．双曲线错误!－错误!＝1 a>0,b>0的渐近线方程是y＝±错误!x,错误!－错误!＝1a>0,b>0的渐近线方程是y＝±错误!x．4．若利用弦长公式计算,在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况．5．直线与双曲线交于一点时,不一定相切,例如：当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交于一点,但不是相切；反之,当直线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有一个交点．课时规范训练时间：60分钟A组专项基础训练题组一、选择题1．双曲线中心在原点,且一个焦点为F1－错误!,0,点P位于该双曲线上,线段PF1的中点坐标为0,2,则该双曲线的方程是－y2＝1 B．x2－错误!＝1－错误!＝1 －错误!＝12．设F1、F2分别是双曲线x2－错误!＝1的左、右焦点,若点P在双曲线上,且错误!·错误!＝0,则|错误!＋错误!|等于B．2错误!D．2错误!3．若双曲线错误!－错误!＝1 a>0,b>0的实轴长是焦距的错误!,则该双曲线的渐近线方程是A．y＝±错误!x B．y＝±错误!xC．y＝±错误!x D．y＝±2错误!x4．2011·课标全国设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|为C的实轴长的2倍,则C的离心率为C．2 D．3二、填空题5．已知中心在原点的双曲线C,过点P2,错误!且离心率为2,则双曲线C的标准方程为______________________．6．如图,点P是双曲线错误!－错误!＝1上除顶点外的任意一点,F1、F2分别为左、右焦点,c为半焦距,△PF1F2的内切圆与F1F2切于点M,则|F1M|·|F2M|＝________.7．已知双曲线错误!－错误!＝1 a>0,b>0的左、右焦点分别为F1、F2,过F2的直线交双曲线右支于A,B两点．若△ABF1是以B为顶点的等腰三角形,且△AF1F2,△BF1F2的面积之比S△AF1F2∶S△BF1F2＝2∶1,则双曲线的离心率为________．三、解答题8．已知双曲线的中心在原点,焦点F1、F2在坐标轴上,离心率为错误!,且过点P4,－错误!．1求双曲线方程；2若点M3,m在双曲线上,求证：错误!·错误!＝0；3求△F1MF2的面积．B组专项能力提升题组一、选择题1．已知点F1－错误!,0、F2错误!,0,动点P满足|PF2|－|PF1|＝2,当点P的纵坐标是错误!时,点P到坐标原点的距离是D．22．已知点F是双曲线错误!－错误!＝1 a>0,b>0的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABE是钝角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是A．1,＋∞B．1,2C．1,1＋错误!D．2,＋∞3．若点O和点F－2,0分别为双曲线错误!－y2＝1 a>0的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则错误!·错误!的取值范围为A．3－2错误!,＋∞B．3＋2错误!,＋∞二、填空题4．设双曲线C：错误!－错误!＝1 a>0,b>0的右焦点为F,O为坐标原点．若以F为圆心,FO 为半径的圆与双曲线C的渐近线y＝错误!x交于点A不同于O点,则△OAF的面积为________．5．设点F1,F2是双曲线x2－错误!＝1的两个焦点,点P是双曲线上一点,若3|PF1|＝4|PF2|,则△PF1F2的面积为________．6．已知双曲线错误!－错误!＝1 a>0,b>0的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|＝4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为________．三、解答题7．设A,B分别为双曲线错误!－错误!＝1 a>0,b>0的左,右顶点,双曲线的实轴长为4错误!,焦点到渐近线的距离为错误!.1求双曲线的方程；2已知直线y＝错误!x－2与双曲线的右支交于M、N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使错误!＋错误!＝t错误!,求t的值及点D的坐标．8．已知椭圆C1的方程为错误!＋y2＝1,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．1求双曲线C2的方程；2若直线l：y＝kx＋错误!与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,且错误!·错误!>2 其中O为原点,求k的取值范围．答案要点梳理1．双曲线焦点焦距1a<c2两条射线3a>c基础自测－错误!＝1 x≥3 2.－错误!－错误!＝1题型分类·深度剖析例1解设Fx,y为轨迹上的任意一点,∵A、B两点在以C、F为焦点的椭圆上,∴|F A|＋|CA|＝2a,|FB|＋|CB|＝2a其中a表示椭圆的长半轴长,∴|F A|＋|CA|＝|FB|＋|CB|,∴|F A|－|FB|＝|CB|－|CA|＝错误!－错误!＝2,∴|F A|－|FB|＝2<14.由双曲线的定义知,F点在以A、B为焦点,2为实轴长的双曲线的下支上,∴点F的轨迹方程是y2－错误!＝1 y≤－1．变式训练1错误!例2解1设所求双曲线方程为错误!－错误!＝λλ≠0,将点－3,2错误!代入得λ＝错误!,∴所求双曲线方程为错误!－错误!＝错误!,即错误!－错误!＝1.2设双曲线方程为错误!－错误!＝1,将点3错误!,2代入得k＝4,k＝－14舍去．∴所求双曲线方程为错误!－错误!＝1.变式训练21x2－错误!＝12错误!－错误!＝1或错误!－错误!＝1例3解1由已知：c＝错误!,设椭圆长、短半轴长分别为a、b,双曲线半实、虚轴长分别为m、n,则错误!,解得a＝7,m＝3.∴b＝6,n＝2.∴椭圆方程为错误!＋错误!＝1,双曲线方程为错误!－错误!＝1.2不妨设F1、F2分别为左、右焦点,P是第一象限的一个交点,则|PF1|＋|PF2|＝14,|PF1|－|PF2|＝6,所以|PF1|＝10,|PF2|＝4.又|F1F2|＝2错误!,∴cos∠F1PF2＝错误!＝错误!＝错误!.变式训练31错误!2y＝±错误!x例41解由双曲线的方程得a＝错误!,b＝错误!,∴c＝错误!＝3,F1－3,0,F23,0．直线AB的方程为y＝错误!x－3．设Ax1,y1,Bx2,y2,由错误!得5x2＋6x－27＝0.∴x1＋x2＝－错误!,x1x2＝－错误!.∴|AB|＝错误!|x1－x2|＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!.2解直线AB的方程变形为错误!x－3y－3错误!＝0.∴原点O到直线AB的距离为d＝错误!＝错误!.∴S△AOB＝错误!|AB|·d＝错误!×错误!×错误!＝错误!.3证明如图,由双曲线的定义得|AF2|－|AF1|＝2错误!,|BF1|－|BF2|＝2错误!,∴|AF2|－|AF1|＝|BF1|－|BF2|,即|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|.变式训练4解1将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1后,整理得k2-2x2+2kx+2=0.①依题意,直线l与双曲线C的右支交于不同两点,故错误!解得k的取值范围是－2<k<－错误!.2设A、B两点的坐标分别为x1,y1、x2,y2,则由①式得错误!②假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点Fc,0．则由F A⊥FB得：x1－cx2－c＋y1y2＝0.即x1－cx2－c＋kx1＋1kx2＋1＝0.整理得k2＋1x1x2＋k－cx1＋x2＋c2＋1＝0. ③把②式及c＝错误!代入③式化简得5k2＋2错误!k－6＝0.解得k＝－错误!或k＝错误!－2,－错误!舍去,可知存在k＝－错误!使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．课时规范训练A组1．B－错误!＝1或错误!－错误!＝18．1解∵e＝错误!,∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ.∵过点4,－错误!,∴16－10＝λ, 即λ＝6.∴双曲线方程为x2－y2＝6.2证明方法一由1可知,双曲线中a＝b＝错误!,∴c＝2错误!,∴F1－2错误!,0,F22错误!,0,∴kMF1＝错误!,kMF2＝错误!,kMF1·kMF2＝错误!＝－错误!.∵点3,m在双曲线上,∴9－m2＝6,m2＝3,故kMF1·kMF2＝－1,∴MF1⊥MF2,∴错误!·错误!＝0.方法二∵错误!＝－3－2错误!,－m,错误!＝2错误!－3,－m,∴错误!·错误!＝3＋2错误!×3－2错误!＋m2＝－3＋m2.∵M点在双曲线上,∴9－m2＝6,即m2－3＝0,∴错误!·错误!＝0.3解△F1MF2的底|F1F2|＝4错误!,由2知m＝±错误!.∴△F1MF2的高h＝|m|＝错误!,∴S△F1MF2＝错误!×4错误!×错误!＝6.B组1．A7．解1由题意知a＝2错误!,一条渐近线为y＝错误!x,即bx－ay＝0,∴错误!＝错误!, ∴b2＝3,∴双曲线的方程为错误!－错误!＝1.2设Mx1,y1,Nx2,y2,Dx0,y0,则x1＋x2＝tx0,y1＋y2＝ty0,将直线方程代入双曲线方程得x2－16错误!x＋84＝0,则x1＋x2＝16错误!,y1＋y2＝12,∴错误!∴错误!∴t＝4,点D的坐标为4错误!,3．8．解1设双曲线C2的方程为错误!－错误!＝1,则a2＝4－1＝3,c2＝4,由a2＋b2＝c2,得b2＝1,故C2的方程为错误!－y2＝1.2将y＝kx＋错误!代入错误!－y2＝1,得1－3k2x2－6错误!kx－9＝0.由直线l与双曲线C2交于不同的两点,得∴k2≠错误!且k2<1.①设Ax1,y1,Bx2,y2,则x1＋x2＝错误!,x1x2＝错误!.∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋kx1＋错误!kx2＋错误!＝k2＋1x1x2＋错误!kx1＋x2＋2＝错误!.又∵错误!·错误!>2,得x1x2＋y1y2>2,∴错误!>2,即错误!>0,解得错误!<k2<3,②由①②得错误!<k2<1.故k的取值范围为错误!∪错误!.。

3.1.1椭圆及其标准方程7题型分类一、椭圆的定义1．定义：平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．2．焦点：两个定点F1，F2.3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|.4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|.二、椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系b2＝a2－c2（一）求椭圆的标准方程1.椭圆的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．2．椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系b2＝a2－c2（二）椭圆的定义及其应用椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化．(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解．(3)椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1，F2构成的△F1PF2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识．对于求焦点三角形的面积，若已知∠F1PF2，可利用S＝12ab sin C把|PF1|·|PF2|看成一个整体，利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，这样可以减少运算量．焦点三角形的常用公式：(1)焦点三角形的周长L＝2a＋2c.(2)在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2.(3)设P(x P，y P)，焦点三角形的面积S△F1PF2＝c|y P|＝12|PF1||PF2|·sin∠F1PF2＝b2tan∠F1PF22.（三）与椭圆有关的轨迹问题求轨迹方程的常用方法(1)直接法设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件直接转换成x，y间的关系式；(2)定义法若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可用待定系数法求出轨迹方程；(3)相关点法(代入法)有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转一、单选题1．（2024高二上·福建漳州·期末）点P 在椭圆22:416E x y +=上，12F F 、是E 的两个焦点，若13PF =，则2PF =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．82．（2024高二上·福建福州·期中）已知圆()221:125C x y ++=，圆()222:11C x y -+=，动圆M 与圆2C 外切，同时与圆1C 内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（ ）A ．2213x y +=B ．22132x y +=C ．2219x y +=D ．22198x y +=3．（2024高二上·新疆伊犁·期末）如果点(),M x y 在运动过程中，总满足关系式=M 的轨迹是（ ）．A ．不存在B ．椭圆C ．线段D ．双曲线4．（2024高三·全国·专题练习）已知ABC V 的周长为20，且顶点(0,4),(0,4)B C -，则顶点A 的轨迹方程是（ ）A ．221(0)3620x y x +=¹B ．221(0)2036x y x +=¹C ．221(0)620x y x +=¹D ．2212036x y +=5．（2024高二上·四川南充·期末）设定点()10,2F -，()20,2F ，动点P 满足条件125PF PF +=，则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段6．（2024·陕西西安·一模）已知点M 在椭圆221189x y +=上运动，点N 在圆()2211x y +-=上运动，则MN 的最大值为（ ）A ．1B ．1+C ．5D ．67．（2024高二上·全国·课后作业）已知点F 1，F 2是椭圆2222x y +=的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12PF PF +uuu r uuu u r的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．8．（2024高二上·河南信阳·期末）已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 为C 上一点，122PF PF =，若C，则12F PF Ð=（ ）A ．150°B ．120°C ．90°D ．60°9．（2024高二上·全国·课后作业）设12,F F 分别为椭圆22164x y +=的左右焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，则2ABF △的周长为（ ）A ．12B ．24C ．D ．10．（2024高二下·河南开封·期末）直线()0R mx y m +=Î与椭圆2251162x y +=交于,A B 两点，则,A B 与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为（ ）A ．10B ．16C ．20D ．不能确定11．（2024·四川南充·一模）已知直线20kx y -+=与椭圆2219x y m+=恒有公共点，则实数m 的取值范围（ ）A ．(]4,9B ．[)4,+¥C ．[)()4,99,¥È+D ．()9,+¥12．（2024高二下·四川南充·阶段练习）方程22123x y m m +=-表示椭圆的一个充分不必要条件是（ ）A ．32m >且3m ¹B ．4m >C ．32m >D ．0m >13．（2024高二上·吉林松原·期末）已知A 为椭圆2212516x y +=上一点，F 为椭圆一焦点，AF 的中点为P ，O为坐标原点，若2OP =则AF =（ ）A ．8B ．6C ．4D ．214．（2024高二上·山东威海·期末）已知椭圆2212y mx +=的焦距为2，则实数m ＝（ ）A ．13B ．16C ．16或12D ．13或115．（2024高二上·吉林·期末）方程222x ky +=表示焦点在x 轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是（ ）A ．0k >B ．12k <<C ．1k >D ．01k <<16．（2024高二上·陕西宝鸡·期末）已知椭圆2221(0)9x y C b b +=>：上的动点P 到右焦点距离的最大值为3+则b =（ ）A ．1B C D 17．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆2212516x y +=上一点P 到右准线的距离为10，则点P 到它的左焦点的距离为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．1018．（2024·四川南充·模拟预测）已知焦点在y 轴上的椭圆22214x y m+=的焦距等于2，则实数m 的值为（ ）A ．3或5B ．C ．3D ．19．（2024高二上·上海嘉定·12=，化简的结果是（ ）A ．221364x y +=B ．2213632x y +=C ．2213616x y +=D ．2213616y x +=20．（2024高二上·山东·期中）已知椭圆222125x y m+=（0m >）的一个焦点为()10,4F -，则m =（ ）A B ．3C ．41D ．921．（2024高二下·广东汕头·期末）已知椭圆方程221,43x y F +=是其左焦点，点()1,1A 是椭圆内一点，点P是椭圆上任意一点，若PA PF +的最大值为max D ，最小值为min D ，那么max min D D +=（ ）A ．B ．4C ．8D ．22．（2024·辽宁沈阳·三模）已知动点(),P x y 在椭圆22:12516x y C +=上，F 为椭圆C 的右焦点，若点M 满足1MF =uuur 且0MP MF ×=uuu r uuur，则PM uuuu r 的最大值为（ ）A B ．C ．8D ．6323．（2024高三·广西钦州·开学考试）设椭圆C ：22221x y a b +=(a >0，b >0)的左､右焦点分别为1F ，2F ，离心率P 是C 上一点，且1F P ⊥2F P .若12PF F V 的面积为4，则a =A ．1B ．2C ．4D ．824．（2024高二上·河北唐山·期末）已知12,F F 是椭圆22:143x y C +=的左､右焦点，点P 在椭圆C 上.当12F PF Ð最大时，求12PF F S =△（ ）A ．12B C D 25．（2024高二下·四川德阳·阶段练习）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右焦点为12,F F ，且2122b F F a =，点P 是椭圆C 上异于左、右端点的一点，若M 是12PF F V 的内心，且1122MPF MF F MPF S mS S =-△△△，则实数m =（ ）A 2+B 2C ．2D ．226．（2024高二上·广东广州·期末）椭圆2212516x y +=的一个焦点是F ，过原点O 作直线(不经过焦点)与椭圆相交于A ，B 两点，则ABF △的周长的最小值是（ ）A ．14B ．15C ．18D ．2027．（2024高二上·江苏·期中）已知椭圆221167x y +=的右焦点为,F A 是椭圆上一点，点()0,4M ，则AMF V 的周长最大值为（）A ．14B ．16C ．18D ．2028．（2024高二上·河北石家庄·期中）设P 是椭圆2212516x y +=上一点，M ，N 分别是圆221:(3)1C x y ++=和222:(3)4C x y -+=上的点，则PM PN +的最大值为（ ）A ．13B ．10C ．8D ．7二、多选题29．（2024高二上·山东济南·期中）已知曲线22:1C mx ny +=（ ）A ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在x 轴上C ．若0m n =>，则CD ．若0m =，0n >，则C 是两条直线30．（2024高三·北京·强基计划）已知点(1,1),(1,0)A Q ，P 为椭圆22143x y +=上的动点，则||||PA PQ +的（ ）A ．最大值为4B ．最大值为4C ．最小值为4D ．最小值为4三、填空题31．（2024高二上·全国·课后作业）椭圆221169x y +=上的一点M 到左焦点1F 的距离为2,N 是1MF 的中点，则ON 等于 .32．（2024高二·全国·课后作业）下列命题是真命题的是.(将所有真命题的序号都填上)①已知定点12(1,0),(1,0)F F -，则满足|PF 1|＋|PF 2|P 的轨迹为椭圆；②已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝4的点P 的轨迹为线段；③到定点12(3,0),(3,0)F F -的距离相等的点的轨迹为椭圆.33．（天津市河西区2023-2024学年高二上学期期中数学试题）椭圆22110036x y +=上一点P 与它的一个焦点的距离等于6，那么点P 与另一个焦点的距离等于 .34．（2024·云南红河·模拟预测）已知12,F F 是椭圆2212y x +=的两个焦点，点P 在椭圆上，若12135PF F Ð=°，则点P 到焦点2F 的距离为 ．35．（2024高二下·上海静安·期中）已知P 为椭圆2211612x y +=上一动点，记原点为O ，若2OP OQ =uuu r uuu r ，则点Q 的轨迹方程为 ．36．（2024·上海普陀·二模）设椭圆22:184x y G +=的左、右两焦点分别为1F ，2F ，P 是G 上的点，则使得12PF F V 是直角三角形的点P 的个数为 .37．（2024高二上·陕西宝鸡·期末）已知1F ，2F 是椭圆22:14x C y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ×的最大值为 ．38．（2024高二下·上海黄浦·期中）设1F 和2F 为椭圆22421x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，且满足12OP =，则12F PF V 的面积是 .39．（2024高二下·江西·开学考试）椭圆2212516x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上一点，则12PF F V 面积与12PF F V 周长的比值的最大值为 .40．（2024·河南开封·模拟预测）已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，P 是椭圆上一点，若点()1,1A -，则PA PF +的最小值为 ．41．（2024高二上·天津和平·期中）椭圆2212516x y +=的左、右焦点为F 1､F 2，点P 在椭圆上，若Rt V F 1PF 2，则点P 到x 轴的距离为 .42．（2024高二上·北京朝阳·期中）如图，把椭圆221169x y +=的长轴AB 八等分，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1P ，2P ，L ，7P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则1237PF P F P F P F ++++L 的值为 ．43．（2024高二上·吉林白城·期中）若方程22212x y a a +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是 .44．（2024·上海静安·二模）已知(1,2)A ，)1B-两点在对称轴为坐标轴的椭圆上，则椭圆的标准方程为 .45．（2024高二·全国·课后作业）“17m <<”是“方程22171x y m m +=--表示的曲线为椭圆”的 条件．46．（2024高二·全国·课后作业）设方程8=；②2=．其中表示椭圆的方程是 ．47．（2024高二上·天津和平·期中）已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆上一点，点(4,4)A -，则2||PA PF -的最小值为 ．48．（2024高三·广西柳州·阶段练习）已知F 是椭圆22:143x y C +=的右焦点，P 为椭圆C 上一点，(1,A ，则||||PA PF +的最大值为 ．49．（2024高二上·天津和平·期中）已知12,F F 是椭圆22195y x +=的两个焦点，P 为椭圆上一点，且112PF F F =，则点P 到y 轴的距离为 .50．（2024高二上·全国·课后作业）已知ABC V 的三边a ，b ，c 成等差数列，且a b c >>，A 、C 两点的坐标分别为(1,0),(1,0)-，则顶点B 的轨迹方程为 ．51．（2024高二上·上海宝山·期末）已知P 为椭圆2212516x y +=上的一点，若M N ､分别是圆22(3)3x y ++=和22(3)1x y -+=上的点，则PM PN +的最大值为.52．（2024高三·全国·专题练习）已知点)F ，动点(),M x y 到直线:l x =d ，且d =M 的轨迹为曲线C ．求C 的方程；53．（2024高二·全国·课后作业）已知P 是椭圆221436x y +=上一点，(0,5)A ，求||PA 的最小值与最大值．54．（2024高二·全国·课后作业）已知椭圆以原点为中心，长轴长是短轴长的2倍，且过点()2,4--，求此椭圆的标准方程．。

则r r a 122+=，即()()x ae y x ae y a 0202020221+++-+=<>另有()[]()[]x ae y x ae y aex 0202202042++--+=<><2>÷<1>得：()()x ae y x ae y ex 0202020223++--+=<><1>、<3>联立解得：()x ae y r a ex 020210++==+ ()x ae y r a ex 020220-+==-【点评】把<1>、<3>两式左边的两个根式看成两个未知数，构建方程组得解。

【思路3】推敲()r x c y a ex 102020=++⇒+的沟通渠道，应从消除差异做起，根式中y 02理应代换。

由点M 在椭圆上，易知y b x a 022221=-⎛⎝ ⎫⎭⎪则r x cx c b b a x 10202222022=+++-=-⎛⎝ ⎫⎭⎪++12220202b a x a ca x a ·()=++ex aex a 02022由010<<-≤≤e a x a ，，知ex a 00+> 故r a ex 10=+，同理r a ex 20=-【点评】上述思路体现了先消元()y 02转换成关于x 0的二次三项式，再化成完全平方式的思想。

由a 、e 是常数与-≤≤a x a 0，容易推出r a c 1(max)=+（x a 0=时取得），r a c 1(min)=-（x a 0=-时取得）。

【思路4】椭圆的第二定义为求焦半径r 1铺设了沟通的桥梁。

如图，作椭圆的左准线l ，作MH ⊥l 于H 点则MF MH e 1= 即r MF MH e x a c e a ex 11020===--⎛⎝ ⎫⎭⎪=+··，同理可求得：r a ex 20=- 【点评】应用椭圆的第二定义求焦半径的优越性是将两点M F 、1的距离等价转化成平行于x 轴的直线上点M 、H 的距离轻松得解，是上述四条思路中的最佳途径。