2020届江西名校学术联盟12月高三理科数学卷

2024—2025学年度上学期高三12月联合教学质量检测高三数学试卷解析版满分150分，考试用时120分钟注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设为虚数单位，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知的值为（ ）AB ．CD ．3．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2024项中有（ ）个奇数A ．1012B ．1348C ．1350D ．1352【答案】C【详解】对数列中的数归纳发现，每3个数中前2个都是奇数，后一个是偶数，i 32ii z -=z =2i +2i -12i +12i-cos 1sin αα=+cos sin 1αα-又，故该数列前2024项有个奇数.故选：C4．在中，为的中点，为的中点，若，则等于（ ）A．B ．C ．D ．5．已知，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．20223674=⨯267421350⨯+=ABC V H BC M AH AM AB AC λμ=+λμ+231216133log 5a =2log 3b =4ln 3e c =a b c <<c b a <<b c a <<c a b<<6．某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知直线与圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，当取最小值时，则的最小值为（ ）A B ．C ．D ．1323168120818272881:4350l x y ++=22:(4)(3)4C x y -+-=,P Q l P C ,A B PA QA QB +8．在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．[0,1]因为，所以点在线段不妨设所以ABCD DA DB =E ABCD DE DA DE DB DA DB ⋅⋅= CE xCB yCD =+ x y +[]1,231,2⎡⎤⎢⎥⎣13,22⎡⎤⎢⎥⎣DA DB =E [,0,1DE DM λλ=∈ CE CD DMλ=+二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（）A ．若且，则B ．若且，则C ．若且，则D ．存在，使得,A B ⊆R {},A B x x A B x A B ⊕=∈⋃∉⋂A B ⊕,A B {}{}1,2,3,2,3,4A B =={}1,4A B ⊕=,A B ⊆R A B B ⊕=A =∅,A B ⊆R A B ⊕=∅A B =,A B ⊆R A B A ⊕⊆A B ⊆,A B ⊆R A B A B ⊕≠⊕R R ðð故选：AB ．10．在菱形中，，，E 为AB 的中点，将沿直线DE 翻折至的位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则（ ）A ．平面B ．C ．异面直线，所成的角为D ．与平面对于A ，因为所以，所以平面ABCD 2AB =60BAD ∠=︒ADE V 1A DE △1A DE C --P 1AC //BP 1A DE DP EC⊥PB 1A D π31A B PBD 310,,22BP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭0BP m ⋅=//BPA ．B ．C ．D ．()()()P AB P A P B =()38P AB =()34P A B +=()()()()()22P AB A B P AB P A P B +=故选：.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围是 .13．已知函数在区间上的值域为，且，则的值为 .，如图所示，则故答案为：14．欧拉，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着CD {}n a 271717,2842,2n n tn t n n a t n ⎧⎛⎫-++≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪>⎩{}n a t π()2sin (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪[]0,1[],m n 3n m -=ωπ4ω+=11π12(17071783)-cos sin i e i θθθ=+θπi e 10π+=迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，将复数表示成（为虚数单位）的形式；若，则，这里，称为1的一个n 次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，则的值是．四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题13分）已知数列的前项和，，且．e πi cos sin i e i θθθ=+πi i π3e e +i a b +,R,i a b ∈1n z =(0,1,2,,1)k z z k n ==- 2π2πcosisink k k z n n=+(0,1,2,,1)k n =- k z ()543211(1)1x x x x x x -=-++++2πi 5ez =()()()()2342222z z z z ----{}n a n 3(1)n n S na n n =--*n ∈N 317a =(1)求；(2)求数列的前项和；(3)设数列的前项和，且满足16.（本小题15分）1a {}n a n n S {}n b n n T n b =n T <在中，角所对的边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若，如图，是上的动点，且始终等于，记.当为何值时，的面积取到最小值，并求出最小值.17.（本小题15分）如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，对的中点.ABC V ,,A B C ,,a b c cos cos 2C Ac a b-=+C 2AC BC ==,D E AB DCE ∠30o CED α∠=αCDE ,,,,,A B C D E F ABCD CDEF ,,2,4,AB CD CD EF AB DE EF CF CD AD BC AE =======∥∥M CD(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面所成角的正弦值；(3)设点是内一动点，，当线段的长最小时，求直线与直线所成角的余弦值.则设平面的法向量为n =(x,y,z ABCD ⊥CDEF AEM BEM N ADM △0ND NM ⋅=AN EN BF ()()(0,0,3,3,0,0,0,1,0A EM ()(3,0,3,3,1,0AE EM =-=- AEM18.（本小题17分）已知A ，B 分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线C 上的一点，直线PA ，PB 的斜率分别为，，且.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知过点的直线，交C 的左，右两支于D ，E 两点（异于A ，B ）.（i ）求m 的取值范围；（ii ）设直线与直线交于点Q ，求证：点Q 在定直线上.2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>()P n 1k 2k 12||4k k AB ==(4,0):4l x my =+AD BE（2）（i ）由题意知直线l 的方程为联立，化简得因为直线l 与双曲线左右两支相交，所以即满足：{4m 2―1(32m )2―192(4y 1y 2=484m 2所以或.2214164x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩()224132m y my -++m 12m <-12m >19.（本小题17分）已知函数.(1)求函数y =f(x)的单调区间；(2)若曲线与存在两条公切线，求整数的最小值；(3)已知，函数有3个零点为：，且，证明：.()()2,e ln xf x xg x x ==e x m y +=()1y g x =+m 1,0e a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()()()11a h x x g x x =---123,,x x x 123x x x <<1232ex x x ++>由图象可知，要证，只需证因为，所以又因为在121,1x x -<<-<1232ex x x ++>2x 2111e x <<+11e +<()()()1ln 1q x x x =--。

江西省南昌市南昌县莲塘第一中学2020届高三数学上学期12月月考试题 文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}1,3,5,7,9S =，集合{}3,5,9A =，{}1,3,7,9B =，则()S C A B =（ ）A. {}1,7B. {}3,9C. {}1,5,7D. {}1,7,9【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的补集运算，得到S C A ，再由交集运算，得到()S C A B ，得到答案.【详解】因为集合{}1,3,5,7,9S =，集合{}3,5,9A =， 所以{}1,7S C A =， 而集合{}1,3,7,9B =， 所以(){}1,7S C A B =，故选A.【点睛】本题考查集合的补集运算和交集运算，属于简单题. 2.已知复数z 满足(1+2)34i z i =-+，则z =（ ）B. 5【答案】C 【解析】()()()()34i 12i 510i 12i,12i 12i 12i 5z -+-+===++=+-故选C .3.给出下列四个命题:①命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则:p x ⌝∃∈R ,使sin 1x >；②ABC ∆中，若A B >，则sin sin A B >；③已知向量a ,b ，若0a b ⋅<,则a 与b 的夹角为钝角.其中正确命题的个数为（ ） A. 0 B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】根据真假命题判断的基本概念，逐一分析四个答案结论的真假，可得答案．【详解】①命题:p x R ∀∈，sin 1x ，由全称命题与特称命题的否定，则:p x R ⌝∃∈，使sin 1x >；①是正确命题；②ABC ∆中，由正弦定理知2sin sin a bR A B==，若A B >成立，则有a b >，2sin a R A =，2sin b R B =，sin sin A B ∴>，②是正确命题；③已知向量a ，b ，若0a b <，即||||cos 0a b a b θ=<，cos 0θ<，则a 与b 的夹角θ为钝角或平角．③是错误命题； 其中正确命题的个数为2个， 故选：D ．【点睛】本题主要考查了全称命题与特称命题的之间的关系，三角函数性质和正弦定理，向量的数量积定义的应用，属于中档试题.4.已知向量()2,1a =,(),1b x =，若a b +与a b -共线,则实数x 的值是（ ） A. 2- B. 2C. 2±D. 4【答案】B 【解析】由()2,1a =，(),1b x =，则(2,2),(2,0)a b x a b x +=+-=-， 因为a b +与a b -共线，所以(2)02(2)x x +⨯=-，解得2x =，故选B. 5.已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，1a 1=，23a a 8=-，则6S (= ) A.1283B. 24-C. 21-D. 11【答案】C 【解析】 【分析】由题意易得数列的公比q 2=-代入求和公式计算可得． 【详解】设等比数列{}n a 公比为q ，1a 1=，23a a 8=-则233231a a a q q 8===-，解得q 2=-，()661(12)S 2112⨯--∴==-+，故选C ．【点睛】本题考查等比数列的求和公式和通项公式，求出数列的公比是解决问题的关键，属基础题．6.函数()log 42a y x =++（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则sin 2θ=（ ） A. 513-B.513C. 1213-D.1213【答案】C 【解析】 【分析】令对数的真数等于1，求得x 、y 的值，可得定点A 的坐标，再利用任意角的三角函数的定义求得tan θ，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，求得sin2θ的值． 【详解】对于函数()a y log x 42(a 0=++>且a 1)≠，令x 41+=，求得x 3=-，y 2=， 可得函数的图象恒过点()A 3,2-，且点A 在角θ的终边上，y 2tan θx 3∴==-，则2222sin θcos θ2tan θ12sin2θsin θcos θtan θ113===-++， 故选C ．【点睛】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，属于基础题．7.三棱锥S －ABC 及其三视图中正视图和侧视图如图所示，则棱SB 的长为（ ）.A. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图，得到SC ⊥平面ABC ，且底面ABC ∆为等腰三角形，然后根据三视图得到相应线段的长度，利用勾股定理，得到SB 的长度. 【详解】由已知中的三视图可得SC ⊥平面ABC ， 且底面ABC ∆为等腰三角形．在ABC ∆中，4AC =，AC 边上的高为所以4BC ==，在Rt SBC ∆中，由4SC =，可得SB ==故选C.【点睛】本题考查根据三视图求线段长度，属于简单题.8.已知0a b >>，且1a b +=，1bx a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11log ab y a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，1log b z a =，则x ，y ，z 的大小关系是（ ） A. z x y >>B. x y z >>C. z y x >>D.x z y >>【答案】D 【解析】 【分析】由题意a ＞b ＞0，a +b ＝1，可得1＞a 12＞＞b ＞0，利用指数函数和对数函数的单调性即可比较大小．【详解】∵a ＞b ＞0，a +b ＝1，∴1＞a 12＞＞b ＞0， ∴111a b＜＜， ∴x ＝（1a ）b ＞（1a）0 =1，y＝log（ab）（11 a b+）＝ log（ab）1ab=﹣1，z＝log b1b blog a log ba=--=-＞1．∴x＞z＞y．故选D．【点睛】本题考查了对数函数的单调性的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.已知x，y满足条件0020x yy xx y k≥≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩，（k为常数），若目标函数3z x y=+的最大值为9，则k=（）A. 16- B. 6- C.274- D.274【答案】B【解析】【分析】由目标函数3z x y=+的最大值为9，我们可以画出满足条件件0,0(20x yy x kx y k⎧⎪⎨⎪++⎩为常数）的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数k的方程组，消参后即可得到k的取值．【详解】画出x，y满足的0,0(20x yy x kx y k⎧⎪⎨⎪++⎩为常数）可行域如下图：由于目标函数3z x y =+的最大值为9， 可得直线0y =与直线93x y =+的交点(3,0)B ， 使目标函数3z x y =+取得最大值， 将3x =，0y =代入20x y k ++=得：6k =-．故选：B ．【点睛】如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组)，代入另一条直线方程，消去x ，y 后，即可求出参数的值．10.已知函数()011,02x f x x x >=⎨+≤⎪⎩，若m n <，()()f m f n =，则n m -的取值范围是（ ）A. (1,2]B. [1,2)C. (0,1]D. [0,1)【答案】B 【解析】 【分析】 先研究函数()f x 的单调性和值域，设()()=f m f n t =，得出t 的取值范围，把n m -表示为t的函数，从而可得答案. 【详解】当0x ≤时，1()12f x x =+单调递增且()(,1]f x ∈-∞，(2)0f -=； 当0x >时，()f x =()(0,)f x ∈+∞，(1)1f =.因为m n <，()()f m f n =，所以201m n -<≤<≤. 设()()f m f n t ==，则(0,1]t ∈，1()12f m m t =+=，()f n t ==. 所以222,m t n t =-=.所以2222(1)1n m t t t -=-+=-+. 由(0,1]t ∈，可得[1,2)n m -∈.故选B.【点睛】本题考查函数与方程的综合问题.解题时需要综合利用函数与方程、数形结合、等价转化等数学思想方法.11.设曲线()2(xf x e x e =+为自然对数的底数)上任意一点处的切线为1l ，总存在曲线()sin g x ax x =-+上某点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为( )A. []1,2-B. ()1,2-C. 1,12⎛⎫-⎪⎝⎭D. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】求得()f x 的导数，设()11,x y 为()f x 上的任一点，可得切线的斜率1k ，求得()g x 的导数，设()g x 图象上一点()22,x y 可得切线2l 的斜率为2k ，运用两直线垂直的条件：斜率之积为1-，分别求12cos y a x =-+的值域A ，1212x y e =+的值域B ，由题意可得B A ⊆，可得a 的不等式，可得a 的范围．【详解】()2xf x e x =+的导数为()'2xf x e =+，设()11,x y 为()f x 上的任一点，则过()11,x y 处的切线1l 的斜率为112xk e =+，()sin g x ax x =-+的导数为()'cos g x x a =-，过()g x 图象上一点()22,x y 处的切线2l 的斜率为22cos k a x =-+．由12l l ⊥，可得()()122cos 1xe a x +⋅-+=-，即121cos 2x a x e -+=-+， 任意的1x R ∈，总存在2x R ∈使等式成立,则有12cos y a x =-+的值域为[]1,1A a a =---+，所以112x e -+的值域为1,02B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭由B A ⊆，即1,0[12a ⎛⎫-⊆-- ⎪⎝⎭，1]a -+，即11210a a ⎧--≤-⎪⎨⎪-≥⎩，解得：1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选D ．【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件：斜率之积为1-，考查任意存在性问题的解法，注意运用转化思想和值域的包含关系，考查运算能力，属于中档题．12.已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0>ω，||2πϕ，4π-为()f x 的零点：且()4f x f π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，()f x 在区间,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有最小值无最大值，则ω的最大值是（ ） A. 9 B. 11C. 13D. 15【答案】D 【解析】 【分析】 先根据4x π=为()y f x =图象的对称轴，4πx =-为()f x 的零点，判断ω为正奇数，再结合()f x 的周期8Tπ，求得ω的范围，对选项检验即可．【详解】由题意知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ，4x π=为()y f x =图象的对称轴，4πx =-为()f x 的零点， ∴21242n ππω+=，n Z ∈，21n ω∴=+．()f x 在区间(12π-，)24π上有最小值无最大值，∴周期()24128T πππ+=，即28ππω，16ω∴．∴要求ω的最大值，结合选项，先检验15ω=，当15ω=时，由题意可得154k πϕπ-⨯+=，4πϕ=-，函数为()sin(15)4y f x x π==-，在区间(12π-，)24π上，315(42x ππ-∈-，38π，)，此时()f x 在2x π=-时取得最小值，15ω∴=满足题意．则ω的最大值为15， 故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，考查了分析转化的能力，难度较大．属难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知直线13:0l ax y ++=,()2:234l x a y +-=,12l l ⊥，则a =______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用两直线垂直,x y 对应系数之积的和为0的性质求解. 【详解】∵13:0l ax y ++=，()2:234l x a y +-=，12l l ⊥ ∴()230a a +-=，解得1a =.【点睛】本题考查直线方程中参数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意直线垂直的性质的合理运用.14.观察下列各式：1a b +=，223a b +=，334a b +=，447a b +=，5511a b +=，…，则1212a b +=（ ） A. 322 B. 521C. 123D. 199【答案】A 【解析】 【分析】根据题中数据，归纳推理，即可得出结果.【详解】因为1a b +=，223a b +=，334a b +=，447a b +=，5511a b +=，…， 等式右边对应的数为1,3,4,7,11,...，所以，其规律为：从第三项起，每项等于其相邻两项的和； 因此，求1212a b +，即是求数列“1,3,4,7,11,...”中的第12项，所以对应数列为“1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,199,322”，即第12项为322. 故选A【点睛】本题主要考查归纳推理，结合题中数据，找出规律即可，属于常考题型.15.在直三棱柱111ABC A B C -内有一个与其各面都相切的球O 1，同时在三棱柱111ABC A B C -外有一个外接球2Q .若AB BC ⊥,3AB =，4BC =,则球2Q 的表面积为______. 【答案】29π【解析】 【分析】先求出球O 1的半径，再求出球2Q 的半径，即得球2Q 的表面积. 【详解】由题得AC=5,设球O 1的半径为r ，由题得11345)34,122r r r r ++=⨯⨯∴=（. 所以棱柱的侧棱为22r.所以球2Q 的表面积为2429ππ⋅=. 故答案为：29π【点睛】本题主要考查几何体的内切球和外接球问题，考查球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 16.设函数21()1xxf x e ex -=+-+，则使得(2)(1)f x f x >+成立的x 的取值范围是 ______. 【答案】()1,+3⎛⎫-∞-⋃∞ ⎪⎝⎭1，【解析】 【分析】判断函数为偶函数，再由导数可得函数在(0,)+∞上为增函数，由单调性把(2)(1)f x f x >-转化为关于x 的不等式求解． 【详解】21()1x x f x e e x -=+-+， ()()f x f x ∴-=，所以()f x 是偶函数，由22212()0(1)x xe xf x e x -'=+>+， 故()f x 在(0,)+∞上递增， 所以(2)(1)f x f x >+，得|2||1|x x >+，解得：1x >或13x <-，故答案为：(-∞，1)(13-⋃，)+∞ 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，是中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ．若24sin sin 4cos22A B A B --=． (1)求角C 的大小；(2)已知sin 4sin a B A=，ΔABC 的面积为8． 求边长c 的值． 【答案】（1）4Cπ（2）4【解析】【分析】 （1）利用三角恒等变换公式将所给条件化简，然后得到C 的大小；（2）利用正弦定理和三角形面积公式先计算出a b 、的值，然后利用余弦定理计算c 的值.【详解】（1）因为24sin sin 4cos 22A B A B --=，所以()cos 14sin sin 422A B A B -+-=，2sin sin 2cos cos A B A B -=，则()2cos 2cos A B C -+==cos C =4C π；（2）由正弦定理可知：sin 4sin a B ab b A a ===，由面积公式：11sin 4822S ab C a ==⋅⋅=，所以a =；由余弦定理：2222cos 32163216c a b ab C =+-=+-=，所以：4c =.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，难度较易.在解三角形的过程中，注意隐含条件：A B C π++=的运用，这里常见的运用有两种：（1）求解角的范围；（2）()cos cos C A B =-+.18.已知函数21()cos cos2f x x x x ωωω=-+(0)>ω，1x ，2x 是函数()f x 的零点，且21x x -的最小值为2π. （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若13235f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，15521213f πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，求cos()αβ-的值.【答案】(Ⅰ) 1ω= (Ⅱ) ()56cos 65αβ-=【解析】【分析】 (Ⅰ)利用二倍角公式和辅助角公式整理出()sin 26f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据周期求得ω；(Ⅱ)根据()f x 解析式可求解出cos α，sin β；再利用同角三角函数关系求出sin α，cos β；代入两角和差余弦公式求得结果.【详解】(Ⅰ)()211cos 21cos cos 2222x f x x x x x ωωωωω+=-+=-+12cos 2sin 2226x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 21x x -的最小值为2π 22T π∴=,即22T ππω== 1ω∴= (Ⅱ)由(Ⅰ)知：()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 123sin sin cos 233625f ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()1555sin sin sin 2126613f πππβββπβ⎛⎫⎛⎫-=--=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 5sin 13β∴= 又,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 4sin 5α∴=，12cos 13β= ()3124556cos cos cos sin sin 51351365αβαβαβ∴-=+=⨯+⨯= 【点睛】本题考查三角函数解析式的求解及应用问题，关键是考查学生对于二倍角公式、辅助角公式、同角三角函数关系以及两角和差公式的掌握情况，考查学生的运算能力，属于常规题型.19.如图所示，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥菱形ABCD 所在的平面，60ABC ∠=︒，E 是BC 中点，M 是PD 的中点．（1）求证：平面AEM ⊥平面PAD ；（2）若F 是PC 上的中点，且2AB AP ==，求三棱锥P AMF -的体积．【答案】（1）见解析； （2）36 . 【解析】【分析】（1）证明：连接AC ，因为底面ABCD 为菱形，得到AE BC ⊥，证得所以AE AD ⊥，再利用线面垂直的判定定理得AE ⊥平面PAD ，再利用面面垂直的判定，即可证得平面AEM ⊥平面PAD .（2）利用等积法，即可求解三棱锥P AMF -的体积.【详解】（1）证明：连接AC ，因为底面ABCD 为菱形，060ABC ∠=，所以ABC ∆是正三角形，因为E 是BC 中点，所以AE BC ⊥，又//AD BC ，所以AE AD ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥，又PA AD A ⋂=，所以AE ⊥平面PAD又AE ⊂平面AEM ，所以平面AEM ⊥平面PAD .（2）因为2AB AP ==，则2,3AD AE ==所以11112222P AMF M PAF D PAF F PAD C PAD V V V V V -----====⨯ 1111113232443122246P ACD ACD V S PA AD AE PA -∆==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=.【点睛】本题主要考查了空间中位置关系的判定与证明及几何体的体积的计算，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理是解答的关键，同时对于空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．20.已知等差数列{}n a 满足2(1)2,n n a n n k k R +=++∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设214n n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）21n a n =-；（2）22221n n n ++ 【解析】分析：（1）已知数列是等差数列，因此由已知先求出123,,a a a ，利用123,,a a a 成等差数列求出参数k ，从而可得数列的通项公式；（2）把n b 变形为1111()22121n b n n =+--+，从而用分组求和与裂项相消求和法求得其前n 项和．详解：（1）（法一）由()212n n a n n k +=++，令1,2,3n =， 得到12331021,,234k k k a a a +++=== ∵{}n a 是等差数列，则2132a a a =+，即202321324k k k +++=+ 解得：1k =-由于()()()2121211n n a n n n n +=+-=-+ ∵10n +≠，∴21n a n =-（法二）∵{}n a 是等差数列，公差为d ，设()()111n a a d n dn a d =+-=+-∴()()()211111n n a n dn a d dn a n a d +=++-=++-∴22112dn a n a d n n k ++-=++对于*n N ∀∈均成立则1121d a a d k =⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得1k =-，21n a n =-（2）由()()2222214441121214141n n n n n n b a a n n n n +====+-+-- ()()111111212122121n n n n ⎛⎫=+=-+ ⎪-+-+⎝⎭ 1111111111112335572121221n n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+=-+ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭2222121n n n n n n +=+=++ 点睛：设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b +，{}n n a b ，11{}n n a a +的前n 项和求法分别为分组求和法，错位相减法，裂项相消法．21.在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，AB ＝AP ＝3，AD ＝PB ＝2，E 为线段AB 上一点，且AE ︰EB ＝7︰2，点F 、G 分别为线段PA 、PD 的中点．（1）求证：PE ⊥平面ABCD ；（2）若平面EFG 将四棱锥P －ABCD 分成左右两部分，求这两部分的体积之比．【答案】（1）见解析；（2）3537：【解析】【分析】（1）证明PE ⊥AB ，利用平面PAB ⊥平面ABCD ，即可证明：PE ⊥平面ABCD ；（2）平面EFG 将四棱锥P ﹣ABCD 分成左右两部分，利用分割法求体积，即可求这两部分的体积之比．【详解】证明：在等腰△APB 中，得13cos ABP ∠=，则由余弦定理可得，22222132()2223339PE =+-⨯⨯⨯=，∴3PE =， ∴PE 2+BE 2＝4＝PB 2，∴PE ⊥AB ，∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，∴PE ⊥平面ABCD ．（2）解：设平面EFG 与棱CD 交于点N ，连接EN ，因为GF ∥AD ，所以GF ∥平面ABCD ，从而可得EN ∥AD ．延长FG 至点M ，使GM ＝GF ，连接DM ，MN ，则AFE ﹣DMN 为直三棱柱，∵F 到AE 的距离为12PE =，73AE =，∴172339AEF S =⨯⨯=，∴299AFE DMN V -==，113927G DMN V -=⨯=∴27AEF NDG AFE DMN G DMN V V V ---=-=，又13P ABCD ABCD V PE S -=⨯⨯=矩形，∴353727327V V ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭右左：：：．【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22.已知函数()ln 1()f x ax x a R =--∈．（1）讨论()f x 的单调性并指出相应单调区间；（2）若21())1(2g x x x x f ---=，设()1212,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若32a ≥，且()()12g x g x k -≥恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）15,2ln 28⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 【解析】【分析】（1）先对函数进行求导得1()ax f x x-='，对a 分成0a ≤和0a >两种情况讨论，从而得到相应的单调区间；（2）对函数()g x 求导得2(1)1()x a x g x x -++'=，从而有121x x a +=+，121=x x ，211x x =，三个方程中利用32a ≥得到1102x <≤.将不等式()()12g x g x k -≥的左边转化成关于1x 的函数，再构造新函数利用导数研究函数的最小值，从而得到k 的取值范围.【详解】解：（1）由()ln 1f x ax x =--，(0,)x ∈+∞， 则11()ax f x a x x'-=-=， 当0a ≤时，则()0f x '≤，故()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，令1()0f x x a'=⇒=，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． 综上所述：当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． （2）∵21()ln (1)2g x x x a x =+-+， 21(1)1()(1)x a x g x x a x x-++'=+-+=, 由()0g x '=得2(1)10x a x -++=， ∴121x x a +=+，121=x x ，∴211x x = ∵32a ≥∴111115210x x x x ⎧+≥⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩解得1102x <≤. ∴()()()()222112121211221111ln (1)2ln 22x g x g x x x a x x x x x x ⎛⎫-=+--+-=-- ⎪⎝⎭. 设22111()2ln 022h x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--<≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 则()2233121()0x h x x x x x '--=--=<,∴()h x 在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减； 当112x =时，min 115()2ln 228h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. ∴152ln 28k ≤-，即所求k 的取值范围为15,2ln 28⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查分类讨论思想和数形结合思想，求解双元问题的常用思路是：通过换元或消元，将双元问题转化为单元问题，然后利用导数研究单变量函数的性质.。

2020届江西名师联盟高三第一次模拟考试卷理 科 数 学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|25}A x x =-<<，{1,3,6}B =，{6}M =，则M =（ ） A ．A B IB ．A B UC ．()A B R I ðD ．()A B R I ð2．若复数z 满足(1)(i 1)i z --=，则2z =（ ） A ．43i2+-B ．43i2- C ．34i2+-D ．34i2- 3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，33a =，714S =，则公差d =（ ）A ．12B ．12-C ．1D ．1-4．已知1525a =，256b =，652c =，则（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．a c b <<5．函数22log (1)()x f x x-=的图象大致是（ ）A ．y x1O-1B ．yx1O-1C ．y x1O -1D ．yx1O-16．设x ，y 满足约束条件2632x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则y z x =的最大值是（ ）A ．1-B ．0C ．12D ．27．在ABC △中，23BD BC =u u u r u u u r ，E 为AD 的中点，则CE =u u u r （ ）A ．1263AB AC -u u u r u u u r B ．2136AB AC -u u u r u u u r C ．1536AB AC -u u u r u u u rD ．5163AB AC -u u ur u u u r8．若存在π[0,]2x ∈，使2π23cos sin(2)03x x m +-+<成立，则m 的取值范围为（ ）A ．3(,)2-+∞ B ．(,13)-∞-- C ．3(,)2-∞-D ．(13,)--+∞9．在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交PQ 于点M ，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．22B ．12C ．13D ．1410．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．1122π3B ．4411π3C ．4411πD ．1122π 11．已知双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>的离心率为2，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)M a -，(0,)N b ，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅u u u r u u u u r取得最小值和最大值时，12PF F △的面积分别为1S ，2S ，则21S S =（ ） A ．4B ．8C ．23D ．4312．设函数()f x 在定义域(0,)+∞上是单调函数，且(0,)x ∀∈+∞，(())x f f x e x e -+=． 若不等式()()f x f x ax '+≥对(0,)x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(,2]e -∞-B ．(,1]e -∞-C ．(,23]e -∞-D ．(,21]e -∞-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．若()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x <时，()cos πx f x x =+，则4π()3f = ． 14．已知22962100012100(1)(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x -+=+++++++L ，则210012100222a a a +++=L ．15．已知函数()ln(||1)cos 2f x x a x =+++只有一个零点，则a = ．16．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且PAD △为等边三角形，若四棱锥P ABCD -的体积与四棱锥P ABCD -外接球的表面积大小之比为37π，则四棱锥P ABCD -的表面积为 ．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知26sin cos sin 2Aa Bb A =． （1）求cos A ；（2）若21a =，5b c +=，求ABC △的面积．18．（12分）某厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱的定价为200元，低于100箱按原价销售，不低于100箱则有以下两种优惠方案：①以100箱为基准，每多50箱送5箱；②通过双方议价，买方能以优惠8%成交的概率为0.6，以优惠6%成交的概率为0.4． （1）甲、乙两单位都要在该厂购买150箱这种零件，两单位都选择方案②，且各自达成的成交价格相互独立，求甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率；（2）某单位需要这种零件650箱，以购买总价的数学期望为决策依据，试问该单位选择哪种优惠方案更划算?19．（12分）如图，在四面体ABCD 中，AD AB ⊥，平面ABD ⊥平面ABC ，22AB BC AC ==，且4AD BC +=． （1）证明：BC ⊥平面ABD ；（2）设E 为棱AC 的中点，当四面体ABCD 的体积取得最大值时，求二面角C BD E --的余弦值．EBACD20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点1(3,)2-，且它的焦距是短轴长的3倍．（1）求椭圆C 的方程；（2）若A ，B 是椭圆C 上的两个动点（A ，B 两点不关于x 轴对称），O 为坐标原点，OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，问是否存在非零常数λ，使12k k λ⋅=时，AOB △的面积S 为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数ln ()xx af x e +=． （1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）设()x g x xe a -=-，对任意12,(0,)x x ∈+∞都有11112()()xx e f x ax g x ->成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2431x t a y t ⎧=+⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为21||cos 2sin x a y a θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）． （1）求l 和C 的普通方程；（2）将l 向左平移(0)m m >后，得到直线l '，若圆C 上只有一个点到l '的距离为1，求m ．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 设函数()|||4|(0)f x x a x a =-+-≠． （1）当1a =时，求不等式()f x x <的解集； （2）若4()1f x a≥-恒成立，求a 的取值范围．。

江西名校学术联盟2018届高三年级教学质量检测考试（二）文科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为R ，集合}0|{2<-=x x x A ，}02|{2≤-+=x x x B ，则（ ）A ．B A ⊆ B ．A B ⊆C ．)(B C A R ⊆D ．R B A =2.已知等差数列}{n a 的前n 项和n S )(*N n ∈，若5253=S S ，则=126a a （ ） A ．4 B ． 2 C ． 41 D ．21 3.已知函数⎩⎨⎧>-≤-=+3),3(log 3,22)(212x x x x x f m ，其中R m ∈，则=+)43(m f （ ）A ． m 2B ．6C ． mD ． m 2或64.函数25ln )(xx x f =的单调递增区间为（ ） A ． ),0(e B ． ),(e -∞ C. ),0(e D ．),(+∞e5.已知R n m ∈,，则“1||||>+n m ”是“1-<n ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要6. 陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫作“冰尜”或“打老牛”.陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成，从前的制作材料多为木头，现代多为塑料或铁制，玩耍时可用绳子缠绕用力抽绳，使其直立旋转；或利用发条的弹力使其旋转，下图画出的是某陀螺模型的三视图，已知网络纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为（ ）A ．π3107B ．π33332+ C. π9932+ D ． π33316+ 7. 将函数ϕπϕsin )22cos(cos )sin 21()(2++-=x x x f 的图像向右平移3π个单位后，所得函数图像关于原点对称，则ϕ的取值可能为（ ）A ．65πB ．3π- C. 2π D ． 6π 8.已知正方形ABCD 如图所示，其中BD AC ,相较于O 点，J I H G F E ,,,,,分别为DO AO AD ,,，CO BO BC ,,的中点，阴影部分中的两个圆分别为ABO ∆与CDO ∆的内切圆，若往正方形ABCD 中随机投掷一点，则该点落在图中阴影区域内的概率为（ ）A ．2)22(1π-+B ．4)224(1π-+ C. 4)246(1π-+ D ．4)226(1π-+ 9.已知抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为F ，准线为l ，点P 是抛物线C 上一点，过点P 作l 的垂线，垂足为A ，准线l 与x 轴的交点设为B ，若030=∠BAF ，且APF ∆的面积为312，则以PF 为直径的圆的标准方程为（ ）A ．12)3()32(22=++-y x 或12)3()32(22=-+-y xB ．12)32()3(22=++-y x 或12)32()3(22=-+-y xC. 8)3()32(22=++-y x 或8)3()32(22=-+-y xD ．8)32()3(22=++-y x 或8)32()3(22=-+-y x10. 已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为1，点M 在线段BC 上（点M 异于C B ,两点），点N 为线段1CC 的中点，若平面AMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为四边形，则线段BM 的取值范围为（ ）A ． ]31,0( B ．]21,0( C. ]32,21[ D ． )1,21[ 11.已知双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为21,F F ，过点1F 作圆Ω：4222a y x =+的切线l ，切点为M ，且直线l 与双曲线C 的一个交点N 满足a NF NF 2||||21=-，设O 为坐标原点，若OF 21=+，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．x y 23±=B ．x y 3±= C. x y 26±= D ．x y 6±= 12. 已知函数⎩⎨⎧≥++-<-=1,241|,)1(log |)(22x x x x x x f ，现有如下说法： ①函数)(x f 的单调增区间为)1,0(和)2,1(；②不等式2)(>x f 的解集为)4,43()3,( --∞； ③函数1)21(--+=xx f y 有6个零点. 则上述说法中，正确结论的个数有（ ）A ． 0个B ． 1个 C.2个 D ．3个二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知等比数列{}n a 的前n 项和n S )(*N n ∈，若6536=S S ，则数列{}n a 的公比为 ． 14.已知单位向量,满足||3|2|-=+，则,夹角的余弦值为 ．15. 已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≤--44201y y x y x ，则y x z -=3的取值范围为 ．16.已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ac A b B 4cos 5cos 5+=，则=-B A A AA tan )2sin 2(cos 2cos tan 222 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 海盗船是一种绕水平轴往复摆动的游乐项目，因其外形仿照古代海盗船而得名，现有甲、乙两游乐场统计了一天6个时间点参与海盗船游玩的游客数量，具体数据如下：（1）从所给6个时间点中任选一个，求参与海盗船游玩的游客数量甲游乐场比乙游乐场少的概率；（2）记甲、乙两游乐场6个时间点参与海盗船游玩的游客数量分别为)6,5,4,3,2,1(,=i y x i i ，现从该6个时间点中任取2个，求恰有1个时间满足i i y x >的概率.18. 在如图所示的五面体ABCDEF 中，CD AB //，22==AD AB ，0120=∠=∠BCD ADC ，四边形EDCF 为正方形，平面⊥EDCF 平面ABCD .（1）证明：在线段AB 上存在一点G ，使得//EG 平面BDF ；（2）求EB 的长.19. 已知数列{}n a 的前n 项和n S )(*N n ∈，且2n S n =，数列}{n b 是首项为1、公比为q 的等比数列.（1）若数列}{n n b a +是等差数列，求该等差数列的通项公式；（2）求数列}{n n b n a ++的前n 项和n T .20. 已知ABC ∆中，角060=B ，8=AB .（1）若12=AC ，求ABC ∆的面积；（2）若点N M ,满足NC MN BM ==32||=BM ，求AM 的值.21. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为21，且椭圆C 过点)23,1(-，直线l 过椭圆C 的右焦点且与椭圆C 交于N M ,两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点)0,4(P ，求证：若圆)0(:222>=+Ωr r y x 与直线PM 相切，则圆Ω与直线PN 也相切.22.已知函数x m e x f x ln )(-=，),0(e m ∈，其中e 为自然对数的底数.（1）若2=m ，求曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线斜率；（2）证明：当)1,(em x ∈时，函数)(x f 有极小值，且极小值大于m .试卷答案1.【答案】A【解析】依题意，{}{}2001A x x x x x =-<=<<， {}{}22021B x x x x x =+-≤=-≤≤，故A B ⊆，故选A.2.【答案】D【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则113325105a d a d +=+，故1a d =，故61212a a =，故选D. 3.【答案】A【解析】依题意，343m +>，故()234log 42m m f m +==，故选A.4.【答案】C 【解析】依题意，()522ln 5ln x x f x x x ==，故()24312ln 12ln '55x x x x x f x x x ⋅--=⋅=⋅，令()'0f x >，解得0x <<，故选C.5.【答案】B 【解析】若1m n +>，可令12,2m n ==，可知充分性不成立；若1n <-，则1n >，则1m n n +≥>，故必要性成立，故“1m n +>”是“1n <-”的必要不充分条件，故选B. 6.【答案】B【解析】依题意，该陀螺模型由一个四棱锥、一个圆柱以及一个圆锥拼接而成，故所求几何体的体积221132442333233333V πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=+，故选B. 7.【答案】D【解析】依题意，()()cos 2cos sin 2sin cos 2f x x x x ϕϕϕ=-=+，故向右平移3π个单位后，得到2cos 23y x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，故()232Z k k ππϕπ-=-+∈，则()6Z k k πϕπ=+∈，观察可知，故选D.8.【答案】C【解析】依题意，不妨设2AO =，则四边形EFOG 与四边形HIOJ 的面积之和为2S =；两个内切圆的面积之和为((2'2212S ππ=⨯⨯=-，故所求概率P =42461π）（-+=，故选C. 9.【答案】A【解析】作出辅助图形如下所示，因为030BAF ∠=，故060AFB PAF ∠==∠，由抛物线的定义可知PA PF =，故APF ∆为等边三角形，因为APF ∆的面积为，故PF PA AF ===，而12BF AF p ===，故点P 的横坐标为2BF PA -=，代入2y =中，解得6y =±，故所求圆的标准方程为(()22312x y -+±=，故选A.10.【答案】B【解析】依题意，当点M 为线段BC 的中点时，由题意可知，截面为四边形AMND 1，从而当210≤<BM 时，截面为四边形，当12BM >时，截面为五边形，故线段BM 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0，故选B.11.【答案】C【解析】因为12ON OF OM +=uuu r uuu r uuu r ，故1ON OM OM OF -=-uuu r uuu r uuu r uuu r ，即1MN F M =uuu r uuu u r ，故点M 为线段1F N 的中点；连接OM ，则OM 为12NF F ∆的中位线，且,,21N F OM a OM ⊥=故22NF OM a ==，且21F N F N ⊥；因为122NF NF a -=，故点N 在双曲线C 的右支上，所以13NF a =，则在12Rt NF F ∆中，由勾股定理可得，2221212NF NF F F +=，即()()22232a a c +=，解得c a ==b a =，故双曲线C 的渐近线方程为y x =，故选C.。

第 1 页 共 18 页 2020届江西名校学术联盟高三教学质量检测考试（二）数学（文）试题

一、单选题 1．已知集合{|33}AxxN，{4,2,0,2,4}B，则ABI（ ）

A．{2,0,2} B．{0,2} C．{0} D．

{2}

【答案】B 【解析】先计算{|33}{0,1,2}AxxN，再计算ABI得到答案. 【详解】 {|33}{0,1,2}AxxN，故{0,2}AB 故选：B 【点睛】 本题考查了交集的运算，属于简单题. 2．若3,6x，则不等式2310xx≥0成立的概率为（ ）

A．13 B．14 C．23 D．

3

4

【答案】A 【解析】根据不等式的解法，以及几何概型的概念，可得结果. 【详解】 依题意： 23100520xxxx

所以2x≤或5x≥，故所求概率13P， 故选：A. 【点睛】 本题主要考查几何概型的概念，属基础题.

3．若33cos25，则cos2（ ）

A．1925 B．1925 C．2225 D．

22

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【答案】B 【解析】根据诱导公式以及二倍角的余弦公式，可得结果. 【详解】

依题意：33cossin25， 故2619cos212sin12525， 故选：B. 【点睛】 本题主要考查二倍角的余弦公式，属基础题. 4．现有如下命题：命题p：“0,x，ln0xx”的否定为“0,0x，

00ln0xx”；命题q：“sin20x”的充要条件为：“21Z2kkxk”，

则下列命题中的真命题是（ ） A．p B．pq C．pq D．

pq

【答案】C 【解析】根据全称命题的否定是特称命题，以及正弦函数的性质，结合真值表，可得结果. 【详解】 “0,x，ln0xx”的否定

江西省名师联盟2020届高三数学入学调研考试试题 理（含解析）注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}M x x x =+-≤，{1,0,1,2}N =-，则M N ⋂的子集个数为（ ）A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】C 【解析】 【分析】先解二次不等式可得{}|21M x x =-≤≤，再由集合的交集的运算M N ⋂={1,0,1}-,再由n 元集合的子集个数为2n ，代入运算即可得解.【详解】解:解二次不等式220x x +-≤得(2)(1)0≤x x +-，解得21x -≤≤,即{}|21M x x =-≤≤,又{1,0,1,2}N =-,所以M N ⋂={1,0,1}-,即M N ⋂的子集个数为328=,故选C.【点睛】本题考查了二次不等式的解法、集合交集的运算及集合真子集的个数，重点考查了集合的思想，属基础题. 2.已知复数2z i =+，则1zi+在复平面上对应的点所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】利用复数的运算法则算出1zi +即可 【详解】2z i =+，2131122z i i i i -∴==-++， 在复平面对应的点的坐标为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，所在象限是第四象限. 故选：D【点睛】本题考查的是复数的运算及几何意义，较简单. 3.在等差数列{a n }中，若a 3＝5，S 4＝24，则a 9＝（ ） A. ﹣5 B. ﹣7 C. ﹣9 D. ﹣11【答案】B 【解析】 【分析】由a 3＝5，S 4＝24用通项公式和前n 项和公式列出关于1a ,d 的方程，得到{}n a 的通项公式，从而求出答案.【详解】数列{a n }为等差数列，设首项为a 1，公差为d ， ∵a 3＝5，S 4＝24， ∴a 1+2d ＝5，4a 1+432⨯d ＝24， 联立解得a 1＝9，d ＝﹣2， 则a 9＝9﹣2×8＝﹣7． 故选：B .【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，属于基础题. 4.下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是（ ） A. 3()f x x x =+ B. ()31xf x =- C. 1()f x x=- D. 3()log f x x =【答案】A 【解析】 【分析】考查选项A ，检验()()f x f x =--是否恒成立，再利用导数来判断函数的单调性即可； 考查选项B ，(1)(1)f f ≠--,即()()f x f x =--不恒成立，即函数()f x 不为奇函数， 考查选项C ，函数()f x 的增区间为()(),0,0,-∞+∞，则函数在定义域上不单调， 考查选项D ，(3)(3)f f ≠--,即()()f x f x =--不恒成立，即函数()f x 不为奇函数， 得解.【详解】解：对于选项A ，()()f x f x =--恒成立，且'2()310f x x =+>，即函数()f x 为奇函数且为增函数，对于选项B ，()()f x f x ≠--，则函数()f x 不为奇函数， 对于选项C ，'21()0f x x=>，函数()f x 的增区间为()(),0,0,-∞+∞，函数在()(),00,-∞⋃+∞不为增函数，对于选项D ，()()f x f x ≠--，则函数()f x 不为奇函数， 故选A.【点睛】本题考查了函数的奇偶性及增减性，重点考查了函数的单调区间与函数的定义域，属中档题.5.中国古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，并认为：“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金”.从五种不同属性的物质中随机抽取2种，则抽到的两种物质不相生的概率为（ ） A.15B.14C.13D.12【答案】D 【解析】 【分析】总共有10种结果，其中相生的有5种，由古典概型的计算公式计算出概率即可【详解】从五种不同属性的物质中随机抽取2种，共2510C =种，而相生有5种，则抽到的两种物质不相生的概率511102P =-= 故选：D【点睛】本题考查的是计算古典概型的概率，较简单.6.设,αβ是两平面，,a b 是两直线.下列说法正确的是（ ） ①若//a b ，//a c ，则//b c ②若a α⊥，b α⊥，则//a b ③若a α⊥，a β⊥，则//αβ ④若αβ⊥，b αβ=，a α⊂，a b ⊥，则a β⊥A. ①③B. ②③④C. ①②④D. ①②③④【答案】D 【解析】 【分析】根据平行和垂直的有关定理逐一判断即可 【详解】由平行公理知①对， 由线面垂直的性质定理知②对，垂直于同一直线的两个平面平行，故③对， 由面面垂直性质定理知④对. 故选：D【点睛】本题考查的是空间中平行和垂直有关的定理，属于基础题. 7.下图是一程序框图，若输入的12A =，则输出的值为（ ）A.25B.512C.1229D.2960【答案】C 【解析】【分析】依次列出此程序框图的运行步骤即可 【详解】运行程序框图，25A =，2k =；512A =，3k =；1229A =，43k =>， 输出1229A =. 故选：C【点睛】本题考查的是程序框图的知识，较简单. 8.函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的图象如图所示，为了得到()y f x =的图象，只需把()13sin cos 2g x x x ωω=-的图象上所有点（ ）A. 向左平移6π个单位长度 B. 向左平移3π个单位长度 C. 向右平移6π个单位长度 D. 向右平移3π个单位长度【答案】B 【解析】 【分析】先由图象求出()f x 的解析式，然后根据三角函数的平移变换选出答案即可 【详解】由题意知1A =，由于741234T πππ=-=，故2T ππω==， 所以2ω=，()sin(2)f x x ϕ=+， 由2sin 033f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，求得3πϕ=， 故()sin 2sin 236f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ()13sin 2x x g x ωω=sin 26x π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故需将()g x 图像上所有点向左平移3π个单位长度得到()f x . 故选：B【点睛】本题考查的是根据三角函数的图象求解析式及图象的平移变换，较简单.9.8122y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中x 2y 2项的系数是（ ） A. 420 B. ﹣420C. 1680D. ﹣1680【答案】A 【解析】 【分析】由题意根据乘方的意义，组合数的计算公式，求得展开式中x 2y 2项的系数.【详解】解：8122y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭表示8个因式1+22y x -的乘积，要得到展开式中含x 2y 2的项，则 故其中有2个因式取2x ，有2个因式取﹣y 2， 其余的4个因式都取1，可得含x 2y 2的项．故展开式中x 2y 2项的系数是28C •22•26C •212⎛⎫- ⎪⎝⎭•44C ＝420，故选：A ．【点睛】本题主要考查乘方的意义，组合数的计算公式，属于基础题.10.太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗⋯⋯，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为()()()2222224,11110x y A x y x y x y x ⎧⎫⎧+≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪=+-≤++≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪≤⎪⎪⎪⎩⎩⎭或，设点(,)∈x y A ，则2z x y =+的取值范围是( )A. [25--，25]B. [25-，25]C. [25-，25]+D. [4-，25]+【答案】C 【解析】 【分析】结合图形，平移直线2z x y =+，当直线与阴影部分在上方相切时取得最大值．【详解】如图，作直线20x y +=，当直线上移与圆22(1)1y x +-=相切时，2z x y =+取最大值，此时，圆心(0,1)到直线2z x y =+的距离等于1，即15=，解得z 的最大值为：25+，当下移与圆224x y +=相切时，2x y +取最小值， 同理25=，即z 的最小值为：25-，所以[25,25]z ∈-+．故选C ．【点睛】本题考查线性规划的数据应用，考查转化思想以及计算能力；考查分析问题解决问题的能力．11.已知双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b >>）的右焦点为,,F A B 是双曲线的一条渐近线上关于原点对称的两点，0AF BF ⋅=且线段AF 的中点M 落在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率为（ ）B. 3C. 2【答案】C 【解析】 【分析】先由已知条件求出AF 的中点M 的坐标，再代入到另一条渐近线方程中求解即可.【详解】解：由双曲线2222:1x y C a b-=，则其渐近线方程为by x a=±， 因0AF BF ⋅=由图可知：AO BO FO c ===不妨设A (),a b -,则B (),a b -, 又(c,0)F ，可得AF 的中点坐标为M ,22c a b -⎛⎫⎪⎝⎭， 所以22b bc aa -=⨯， 解得：2ce a==，故选C.【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法，属中档题.12.已知函数()()xe a e xf m x a =--+，（,m a 为实数），若存在实数a ，使得()0f x ≤对任意x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A. 1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B. [,)eC. 1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.1,e e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】先求出()f x 的单调性，得出11ln 0ma a e --+≤-，即1ln()()a e m a e a a-≥-->，然后求出右边的最小值即可【详解】()()x e a e x f m x a =--+，则()()1xe e x af =-+'，若0e a -≥，可得0fx，函数()f x 为增函数，当x →+∞时，()f x →+∞，不满足()0f x ≤对任意x ∈R 恒成立； 若0e a -<，由0fx，得1x e a e =-，则1ln x a e =-， ∴当1,ln x a e ⎛⎫∈-∞ ⎪-⎝⎭时，0f x，当1ln,x a e ⎛⎫∈+∞ ⎪-⎝⎭时，0f x ，()1ln max1ln ()a ef x f e a e ma a e -⎛⎫∴==-- ⎪-⎝⎭11ln 1ln ma a e a e +=--+--， 若()0f x ≤对任意x ∈R 恒成立，则11ln 0()ma a e a e--+≤>-恒成立， 若存在实数a ，使得11ln0ma a e--+≤-成立， 则11ln ma a e ≥-+-，1ln()()a e m a e a a -∴≥-->， 令1ln()()a e F a a a-=--，则22ln()1()aa e a e F a a a ---'=-2()ln()()a e a e ea a e ---=-. ∴当2a e <时，()0F a '<，当2a e >时，()0F a '>，则min 1()(2)F a F e e==-.1m e ∴≥-.即实数m 的取值范围是1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.故选：A【点睛】1.本题考查的是利用导数解决函数的单调性问题，属于较难题 2.恒成立问题一般通过分离变量法转化为最值问题. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.平面内不共线的三点,,O A B ，满足1OA =，2OB =，点C 为线段AB 的中点，若32OC =，则AOB ∠=__________. 【答案】120° 【解析】 【分析】由1()2OC OA OB =+平方即可算出1cos 2AOB ∠=-，然后即可得出答案 【详解】点C 为线段AB 的中点，1()2OC OA OB ∴=+，()222124OC OA OB OA OB =++⋅1(14212cos )4AOB =++⨯⨯⨯∠，解得1cos 2AOB ∠=-，120AOB ∴∠=︒.故答案为：120︒【点睛】本题考查的是数量积的有关的运算，较简单.14.已知数列{}n a 中，11a =，且1230n n a a +++=，*n N ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则6S =__________. 【答案】48- 【解析】 【分析】由123n n a a +=--得()1121n n a a ++=-+，即数列{}1n a +是以2为首项，以2-为公比的等比数列，即可求出n a ，进而求得6S【详解】因为123n n a a +=--，所以()1121n n a a ++=-+，因为1120a +=≠，所以数列{}1n a +是以2为首项，以2-为公比的等比数列，所以112(2)n n a -+=⨯-，即12(2)1n n a -=⨯--，()21(2)3nn S n =---，所以()662126483S =--=-. 故答案为：48-【点睛】本题考查的是数列通项公式及前n 项和的求法，属于基础题.15.已知直线l 经过抛物线2:4x C y =的焦点F ，与抛物线交于A 、B ，且8A B x x +=，点D是弧AOB （O 为原点）上一动点，以D 为圆心的圆与直线l 相切，当圆D 的面积最大时，圆D 的标准方程为_____．【答案】()()22445x y -+-= 【解析】 【分析】作出图形，利用两点间的斜率公式得出直线AB 的斜率，可得出直线l 的方程，再利用当点D 到直线l 的距离最大时，圆D 的面积最大，由此求出点D 的坐标，并计算出点D 到直线l 的距离，作为圆D 的半径，由此可得出圆D 的标准方程.【详解】抛物线的标准方程为24x y =，抛物线的焦点坐标为()0,1F ，直线AB 的斜率()221424A BA B A B A B A B x x y y x x k x x x x --+====--，所以，直线l 的方程为21y x =+，即210x y -+=.当点D 到直线l 的距离最大时，圆D 的面积最大，如下图所示：设点2,4t D t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点D 在直线l 的下方，则22102t t -+>，点D 到直线l 的距离为()22121544455t t t d -+--==，当4t =时，d 5 此时，点D 的坐标为()4,4，因此，圆D 的标准方程为()()22445x y -+-=.故答案为()()22445x y -+-=.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，同时也考查了抛物线上一点到直线距离的最值问题，解题的关键在于将问题转化为二次函数的最值问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16.已知正三棱柱111ABC A B C -的侧面积为12，当其外接球的表面积取最小值时，异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值等于__________.【答案】514【解析】 【分析】设正三棱柱的底面边长为a ，高为h ，球的半径为R ，先得出4ah =，然后222433h R r =+≥=，即3a h =时其外接球的表面积取最小值。

江西省2020年高三下学期期中数学试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高二下·西安期中) 已知，i是虚数单位，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2020·辽宁模拟) 已知集合，，若，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2020高三上·海淀期末) 已知、、是三个不同的平面，且，，则“ ”是“ ”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分） (2015高三上·承德期末) 将函数f（x）=sin（2x+φ）+ cos（2x+φ）（0＜φ＜π）图象向左平移个单位后，得到函数的图象关于点（，0）对称，则函数g（x）=cos（x+φ）在[﹣， ]上的最小值是（）A . ﹣B . ﹣C .D .5. （2分） (2016高二上·上杭期中) ∃x∈R，x2﹣2x+3＞0的否定是（）A . 不存在x∈R，使∃x2﹣2x+3≥0B . ∃x∈R，x2﹣2x+3≤0C . ∀x∈R，x2﹣2x+3≤0D . ∀x∈R，x2﹣2x+3＞06. （2分） (2019高三上·凉州期中) 设函数，若实数满足，则（）A .B .C .D .7. （2分）函数f(x)的定义域为R，f(－1)=2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x+4的解集为（）A . (－1，1)B . (－1，+∞)C . (－∞，－1)D . (－∞，+∞)8. （2分）函数的部分图象如右图所示，设P是图象的最高点，A,B是图象与x轴的交点，则= （）A . 10B . 8C .D .9. （2分） (2016高一下·天全期中) 若向量 =（1，1）， =（2，5）， =（3，x）满足条件（8 ﹣）• =30，则x=（）A . 6B . 5C . 4D . 310. （2分） (2019高二上·石门月考) 等比数列的各项均为正数，且，则（）A . 1B .C . 15D . 3011. （2分） (2018高一上·南昌月考) 已知函数是R上的增函数，则的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高三上·西藏月考) 下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝ x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)等于（）A .B . －C .D . －或二、填空题 (共4题；共6分)13. （1分） (2019高三上·如皋月考) 已知，则 ________．14. （2分） (2019高一下·慈溪期中) 设数列满足，且，则数列的通项公式 ________，数列的前项和为________.15. （2分）(2019·北京模拟) 已知平面向量的夹角为 ,且满足则________；________.16. （1分） (2017高二下·新余期末) 如图，阴影部分的面积是________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2017高一下·荔湾期末) 已知平面向量，满足| |=1，| |=2．（1）若与的夹角θ=120°，求| + |的值；（2）若（k + ）⊥（k ﹣），求实数k的值．18. （10分） (2016高三上·湖北期中) 如图所示，△ABC中，D为AC的中点，AB=2，BC= ，∠A= ．（1）求cos∠ABC的值；（2）求BD的值．19. （10分） (2019高二上·吉林月考) 已知，，其中．（1）若，且为真，求x的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围．20. （10分） (2016高一下·天津期末) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，满足3an﹣2Sn﹣1=0．（1）求数列{an}的通项公式；（2） bn= ，数列{bn}的前n项和为Tn ，求f（n）= （n∈N+）的最大值．21. （10分） (2015高二下·哈密期中) 已知函数f（x）=x2+xlnx．（1）求f′（x）；（2）求函数f（x）图像上的点P（1，1）处的切线方程．22. （10分）(2016·绵阳模拟) 已知a∈R，函数f（x）=ex+ax2 ， g（x）是f（x）的导函数，（1）当a＞0时，求证：存在唯一的x0∈（﹣，0），使得g（x0）=0；（2）若存在实数a，b，使得f（x）≥b恒成立，求a﹣b的最小值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共6分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共60分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。

2020届江西省名校学术联盟高三教学质量检测数学（文）试题一、单选题 1．已知集合(){}2,1A x y y ==，(){}2,B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．4【答案】C【解析】求出方程组221y y x ⎧=⎨=⎩的公共解个数，即可得出A B I 中元素的个数. 【详解】解方程组221y y x⎧=⎨=⎩，得11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=⎩，()(){}1,1,1,1A B ∴⋂=-， 故选：C. 【点睛】本题考查交集元素个数的计算，解题的关键就是求出方程组公共解的个数，考查计算能力，属于基础题.2．已知()()12ai i x yi +-=+（a 、x 、y ∈R ，i 是虚数单位），则（ ） A ．20x y -= B ．230x y +-= C ．250x y --= D ．220x y ++=【答案】C【解析】利用复数的乘法法则以及复数相等得出等式组，消去参数a 即可得出结果. 【详解】()()()()12221ai i a a i x yi +-=++-=+Q ，221x a y a =+⎧∴⎨=-⎩，消去参数a 得()22125y x x =--=-，即250x y --=. 故选：C. 【点睛】本题考查利用复数相等得出未知数所满足的关系式，涉及复数乘法法则的应用，考查运算求解能力，属于基础题.3．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线的方程为20x y +=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．5BC ．54D 【答案】D【解析】求出b a 的值，然后利用离心率公式e =可求出双曲线C 的离心率. 【详解】直线20x y +=的斜率为12-，12b a ∴=，因此，双曲线C 的离心率为e ===故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，在涉及双曲线的渐近线时，利用公式e =能够较为方便地求出双曲线的离心率，考查计算能力，属于基础题. 4．sin300cos600⋅=o o （ ）A ．14B ．4C ．14-D ．4-【答案】B【解析】利用诱导公式可求出所求代数式的值. 【详解】()()sin 300cos 600sin 36060cos 36018060sin 60cos 60=-++==o o o o o o o o o . 故选：B. 【点睛】本题考查利用诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题.5．已知()()2f x x n =-，[)()21,21x n n n ∈-+∈Z ，则()2019f =（ ）A ．21008B ．21009C ．21010D ．21011【答案】B【解析】由2101012019210101⨯-≤<⨯+，结合函数()y f x =的解析式，可得出()2019f 的值.【详解】()()2f x x n =-Q ，[)()21,21x n n n ∈-+∈Z ，且有2101012019210101⨯-≤<⨯+，因此，()()222019201910101009f =-=. 故选：B. 【点睛】本题考查函数值的计算，考查计算能力，属于基础题.6．毕达哥拉斯定理又称勾股定理，历史上有不少人研究过毕达哥拉斯定理的证明，汇总后有数百种证明方法，如图是按加法全等证明毕达哥拉斯定理的一个图形，其中阴影部分是四个全等的直角三角形，假设这四个直角三角形的两直角边的长分别为3、4，在该图形内任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ）A ．12B ．1237C ．23D ．2437【答案】D【解析】计算出整个图形的面积以及阴影部分区域的面积，利用几何概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】 如下图所示：整个图形可视为两个直角三角形与两个正方形拼接而成，由图中数据可知，整个图形的面积为22143243372++⨯⨯⨯=，阴影部分的区域面积为1434242⨯⨯⨯=. 因此，所求事件的概率为2437P =. 故选：D. 【点睛】本题考查几何概型概率的求解，求出平面区域的面积是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.7．已知如图为函数()f x 的图象，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()2sin 1xf x x =-B ．()2221x xf x x --=- C ．()31x f x x =-D ．()ln 1xf x x =- 【答案】B【解析】根据图象分析函数()y f x =的奇偶性、在()1,+∞上的单调性、最小值、零点，利用排除法可得出正确选项. 【详解】由图象可知，函数()y f x =为奇函数，在()1,+∞上先减后增，当1x >时，()0f x >，函数()y f x =在()1,+∞上无零点. 对于D 选项，函数()ln 1x f x x =-定义域为{0x x ≠且}1x ≠±，()()ln ln 11x x f x f x x x --===---，该函数为偶函数，不合乎题意；对于A 选项，()2sin 1xf x x =-，当1x >时，令()0sin 0f x x =⇒=，则()x k k N π*=∈，不合乎题意；对于C 选项，当1x >时，()31x f x x =-，则()()()22231x x f x x '-=-. 当312x <<时，()0f x '<，当32x >时，()0f x '>，则函数()31x f x x =-在31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，()min 32724f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，与图象不符.故选：B. 【点睛】本题考查利用函数图象辨别函数解析式，一般从函数的定义域、单调性、奇偶性、零点以及函数值符号进行分析，结合排除法得出结果，考查推理能力，属于中等题.8．已知向量()sin ,2cos a θθ=-r ，()1,1b =-r ，若a b ⊥r r，则()2a a b ⋅-=r r r （ ）A ．85B C ．1 D ．5【答案】A【解析】利用0a b ⋅=r r可得出tan 2θ=，然后利用正、余弦齐次式（弦化切）的求法可计算出()2a a b ⋅-r r r的值.【详解】a b ⊥r r Q ，sin +2cos 0tan 2a b θθθ∴⋅==⇒=-r r ，()222222222sin 4cos tan 4822sin 4cos sin cos tan 15a ab a a b θθθθθθθθ++∴⋅-=-⋅=+===++r r r r r r . 故选：A. 【点睛】本题是平面向量与三角函数的综合问题，考查向量垂直的坐标表示以及正、余弦齐次式的计算，考查计算能力，属于中等题.9．三棱柱111ABC A B C -中，若存在点P ，使得点P 到三棱柱111ABC A B C -所有面所在平面的距离相等，则该三棱柱的侧面积与表面积之比为（ ） A ．23B ．67C ．89D ．1213【答案】A【解析】设三棱柱的表面积为S ，ABC ∆的面积为ABC S ∆，可知点P 为该三棱柱的内切球球心，设内切球的半径为r ，则三棱柱的高为2r ，利用等体积法可得出ABCS S∆的值，进而可得出该三棱柱的侧面积与表面积之比. 【详解】设三棱柱的表面积为S ，ABC ∆的面积为ABC S ∆，由题意可知点P 为该三棱柱的内切球球心，设内切球的半径为r ，则三棱柱的高为2r ，该三棱柱的体积为123ABC V r S rS ∆=⋅=，所以，16ABC S S ∆=. 因此，该三棱柱的侧面积与表面积之比为221211263ABC ABC S S S S S ∆∆-=-=-⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查三棱柱侧面积与表面积比值的计算，涉及内切球性质的应用，解题的关键就是利用等体积法建立等式，考查计算能力，属于中等题.10．执行如图所示的程序框图，若输入的100N =，则输出S 的值为（ ）A ．1-B ．32-C ．3D ．3-【答案】A【解析】列举出前几次的循环，观察M 值的周期性：即每3个循环M 之积为1-，再结合循环结构框图可计算出输出的S 的值. 【详解】第一次循环，1100i =≤，13S =⨯，11132M ==--，123i =+=； 第二次循环，3100i =≤，132S ⎛⎫=⨯-⎪⎝⎭，121312M ==⎛⎫-- ⎪⎝⎭，325i =+=； 第三次循环，5100i =≤，123123S ⎛⎫=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭，13213M ==-，527i =+=； 第四次循环，7100i =≤，13S =-⨯，11132M ==--，729i =+=. 由上可知，M 值的变化呈周期性，且以3次循环为一个周期，且每3个循环M 之积为1-，且第n 次循环，由21100i n =->，得1012n >，即该程序框图共执行51次循环， 因此，输出的S 的值为()1711-=-. 故选：A. 【点睛】本题考查根据程序框图计算输出结果，考查了循环结构的周期性，考查推理能力与计算能力，属于中等题．11．过点()2,2P 作圆()()()222:220C x y r r +++=>的两条切线，切点分别为A 、B ，给出下列四个结论：①0r <<②若PAB ∆为直角三角形，则4r =； ③PAB ∆外接圆的方程为224x y +=； ④直线AB 的方程为244160x y r ++-=. 其中所有正确结论的序号为（ ） A ．②④ B ．③④ C ．②③ D ．①②④【答案】A【解析】由题意可得P 在圆C 外，()()2222222r +++>，计算可判断①；由PAB ∆为直角三角形，则四边形PACB 为边长为r 的正方形，计算可判断②；由四点共圆的判定和圆的方程的求法，可判断③；由两圆的方程相减可得直线AB 的方程可判断④．综合可得出结论. 【详解】由题意可得P 在圆C 外，()()2222222r +++>，解得042r <<，命题①错误； 若PAB ∆为直角三角形，则四边形PACB 为边长为r 的正方形， 可得()()222222422PC r =+++==，则4r =，命题②正确；由PA AC ⊥，PB BC ⊥及四点共圆的判定可得P 、A 、C 、B 是以PC 为直径的圆上四点，而42PC =PC 的中点为原点，所以，PAB ∆的外接圆方程为228x y +=，命题③错误；由③可得PAB ∆的外接圆和圆C 相交于AB ，由228x y +=和()()22222x y r +++=，两式相减可得244160x y r ++-=，即为直线AB 的方程，故④正确． 故选：A. 【点睛】本题考查圆的方程及运用，考查直线与圆的位置关系，以及切点弦方程的求法，考查圆的切线的性质，化简整理的运算能力，属于中档题． 12．函数()3cos cos 23f x x x x π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭在[]0,π上的值域为（ ）A ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,1-C ．[]1,3-D ．[]2,1-【答案】C【解析】利用辅助角公式可将函数()y f x =的解析式化简为()22sin 12sin 66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，换元sin 6t x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由[]0,x π∈，可得出[]0,1t ∈，于是将问题转化为二次函数2221y t t =+-在区间[]0,1上的值域求解，利用二次函数的基本性质可得出结果.【详解】由()2cos cos 22sin 12sin 366f x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设sin 6t x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，[]0,x π∈Q ，则7666x πππ≤+≤，可得1sin 126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，[]0,1t ∴∈，二次函数2221y t t =+-图象的开口方向向上，对称轴为直线12t =-，所以，二次函数2221y t t =+-在区间[]0,1上单调递增，当0t =时，min 1y =-，当1t =时，max 3y =， 因此，函数()y f x =在[]0,π上的值域为[]1,3-. 故选C. 【点睛】本题考查三角函数的值域问题，同时也考查了二倍角余弦公式的应用，解题的关键就是将问题转化为二次函数在定区间上的值域问题求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.二、填空题13．曲线1x y e =+在0x =处的切线方程为______． 【答案】2y x =+【解析】求得1xy e =+的导数，可得切线的斜率和切点，由斜截式方程可得切线方程． 【详解】解：1xy e =+的导数为'xy e =，可得曲线1xy e =+在0x =处的切线斜率为1k =，切点为()0,2，即有切线方程为2y x =+． 故答案为2y x =+． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查导数的几何意义，直线方程的运用，考查方程思想，属于基础题．14．在ABC ∆中，若1sin cos sin sin 2A B C B =+，且2AB =，3AC BC =，则ABC ∆的面积为_______． 【答案】33【解析】由已知利用()sin sin A B C =+结合两角和的正弦公式可得出C 的值，利用余弦定理求出2a 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】在ABC ∆中，设内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则2c =，3b a =.()1cos sin sin sin sin sin cos cos sin 2B C B A B C B C B C +==+=+，1sin cos sin 2B C B ∴=，0B Q π<<，sin 0B ∴>，1cos 2C ∴=，又0C π<<Q ，3C π∴=，由余弦定理得2222212cos 1023742c a b ab C a a a a =+-=-⨯⨯==，247a ∴=， 因此，ABC ∆的面积为211333433sin 3227ABC S ab C a ∆==⨯⨯=⨯=. 故答案为：33. 【点睛】本题主要考查了余弦定理、三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．15．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两位学生5次体育测试的成绩，若这两组数据的平均值相等，极差也相等，则学生乙体育测试的最高成绩为___________．【答案】77【解析】根据两组数据的平均值相等，极差也相等列出关于x 、y 的方程组，解出这两个未知数的值，由此可得出学生乙体育测试的最高成绩. 【详解】 由平均值相等得5662657470596167657055x y++++++++++=，得5y x -=①，因为5594y x y x x -=⇒=+≤⇒≤，又已知两组数据的极差相等，所以74567059y -=+-②，联立①②得27x y =⎧⎨=⎩，所以学生乙体育测试的最高成绩为77.故答案为：77. 【点睛】本题考查了茎叶图的识别和应用，考查了平均值，极差的求法，属于基础题． 16．已知长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，点M 为1AA 的中点，且1MB MC ⊥，则平面1MBC 被长方体1111ABCD A B C D -截得的平面图形的周长为___________． 【答案】225+【解析】首先利用几何体中的垂直关系求出几何体的高，进一步求出截面，再求出周长． 【详解】长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，点M 为1AA 的中点，且1MB MC ⊥，如图所示：则设长方体的高为2x ，由于点M 为1AA 的中点，则AM x =，由于1MB MC ⊥，利用勾股定理22211MB MC BC +=，即()()2221214xxx +++=+，解得1x =，故长方体的高为2，则平面1MBC 被长方体1111ABCD A B C D -截得的平面图形为1BMNC ，连接1AD ，由于平面11//AA D D 平面11BB C C ，平面1MBC I 平面11AA D D MN =，平面1MBC I 平面111BB C C BC =，1//MN BC ∴，易知11//AD BC ，1//MN AD ∴，M Q 为1AA 的中点，N ∴为11A D 的中点，所以，BM =2MN =，12C N =，1BC =，2+=. 【点睛】本题考查的知识要点：几何体的截面问题的应用，勾股定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中等题型．三、解答题17．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知322a S =+，342S a =+． （1）求n a ；（2）若1212,,,,,,n k k k a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅成等比数列，求{}n k 的前n 项和n T ．【答案】（1）32n a n =-；（2）246169n n ++- 【解析】(1)由题可设等差数列{}n a 的公差为d ,根据题目条件利用基本量法求解即可. (2)由题可先根据1212,,,,,,n k k k a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅成等比数列求得n k a 的通项公式,再分析通项公式与n k 的关系求得n k 的通项公式,最后再求前n 项和n T 即可. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ,由322a S =+,342S a =+得11112223332a d a d a d a d +=++⎧⎨+=++⎩解得11a =,3d =． 所以1(1)32n a a n d n =+-=-．（2）由（1）知,11a =,24a =,所以数列1212,,,,,,n k k k a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅的首项为1,公比为4,n k a 是该等比数列的第2n +项,所以14nn k a +=,又32n k n a k =-,所以1324n n k +-=,1423n n k ++=,所以()()222314141224616444333(14)39n n n n n T n n ++-+-=++++=+=-L ． 【点睛】(1)已知数列为等差数列,可利用基本量法进行通项公式求解. (2)考查等比等差综合运用时,注意分析通项公式与项数的关系.18．我们把活跃网店数量较多的村庄称为淘宝村，随着电子商务在中国的发展，不少农村出现了一批专业的淘宝村，已知某乡镇有多个淘宝村，现从该乡镇淘宝村中随机抽取100家商户，统计他们某一周的销售收入，结果统计如下：（1）从这100家商户中按该周销售收入超过6万元与不超过6万元分为2组，按分层抽样从中抽取10家参加经验交流会，并从这10家中选2家进行发言，求选出的2家恰有1家销售收入超过6万元的概率；（2）若这100家商户中有70家商户入驻两家网购平台，其中18家销售收入高于6万元，完成下面的22⨯列联表，并判断能否有95%的把握认为“销售收入是否高于6万元与入驻两家网购平台有关”？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++.【答案】（1）1645；（2）有95%的把握认为“销售收入是否高于6万元与入驻两家网购平台有关”．【解析】（1）由题意可得100家商户中周销售收入不超过6万元与超过6万元的户数，利用分层抽样计算出抽取10家中不超过6万元和超过6万元的商家数，列出基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率；（2）由题意填写22⨯列联表，求得2K的观测值，结合临界值表得结论．【详解】（1）这100家商户中周销售收入不超过6万元的有80户，超过6万元的有20户，按分层抽样从中抽取10家，不超过6万元的有80108100⨯=家，分别记为a、b、c、d、e、f、g、h，超过6万元的有20102100⨯=家，分别记为A、B，从这10家中选2家进行发言，所有的基本事件有：(),a b、(),a c、(),a d、(),a e、(),a f、(),a g、(),a h、(),a A、(),a B、(),b c、(),b d、(),b e、(),b f、(),b g、(),b h、(),b A、(),b B、(),c d、(),c e、(),c f、(),c g、(),c h、(),c A、(),c B、(),d e、(),d f、(),d g、(),d h、(),d A、(),d B、(),e f、(),e g、(),e h、(),e A、(),e B、(),f g、(),f h、(),f A、(),f B、(),g h、(),g A、(),g B、(),h A、(),h B、(),A B，共45种，记事件:E 选出的2家恰有1家销售收入超过6万元，则事件E 包含的基本事件有：(),a A 、(),a B 、(),b A 、(),b B 、(),c A 、(),c B 、(),d A 、(),d B 、(),e A 、(),e B 、(),f A 、(),f B 、(),g A 、(),g B 、(),h A 、(),h B ，共16种，由古典概型的概率公式得()1645P E =； （2）22⨯列联表如下：入驻两家网购平台仅入驻一家网购平台合计销售收入高于6万元 182 20销售收入不高于6万元 52 28 80 合计 7030100()221001828522100 4.762 3.8417030208021K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以，有95%的把握认为“销售收入是否高于6万元与入驻两家网购平台有关”． 【点睛】本题考查古典概型概率的求法，考查独立性检验，考查计算能力，是基础题． 19．如图，菱形ABCD 所在平面与ABE ∆所在平面垂直，且5AB BE ==，3cos cos 5ABC ABE ∠=∠=.（1）求证：AB CE ^； （2）求点A 到平面CDE 的距离. 【答案】（1）见解析；（2）2【解析】（1）作EO AB ⊥，垂足为O ，连接CO ，证明出EBO CBO ∆≅∆，可得出2EOB π∠=，从而得出CO AB ⊥，再结合EO AB ⊥，利用直线与平面垂直的判定定理可证明出AB ⊥平面COE ，由此可证明出AB CE ^；（2）由（1）得知OE 为三棱锥E ACD -的体积，由锥体的体积公式可求出三棱锥E ACD -的体积，由//CD AB 以及AB CE ^，可得出CD CE ⊥，可计算出CDE ∆的面积，并设点A 到平面CDE 的距离为h ，由等体积法可计算出点A 到平面CDE 的距离. 【详解】（1）作EO AB ⊥，垂足为O ，连接CO ，由3cos cos 5ABC ABE ∠=∠=，BE BC =，BO BO =，可得EBO CBO ∆≅∆， 所以2COB EOB π∠=∠=，CO AB ∴⊥，因为CO EO O =I ，所以AB ⊥平面COE ，因为CE ⊂平面COE ，所以AB CE ^； （2）由（1）知，OE ⊥平面ABCD ，所以OE 是三棱锥E ACD -的高，且4OE =， 由5AD CD ==，3cos cos 5ADC ABC ∠=∠=，得4in 5s ADC ∠=， 所以ADC ∆的面积11sin 102S AD DC ADC =⋅∠=， 三棱锥E ACD -的体积1114033V OE S =⋅=，由（1）知，AB CE ^，又//AB CD ，所以CD CE ⊥， 由4OC OE ==，OC OE ⊥，可得42CE =， 因为5CD =，所以CDE ∆的面积211022S CD CE =⋅= 设点A 到平面CDE 的距离为h ，则三棱锥A CDE -的体积2211023hV h S =⋅=， 由21V V =102403h =，22h =A 到平面CDE 的距离为22【点睛】本题考查异面直线垂直的证明，同时也考查了点到平面距离的计算，一般利用等体积法计算出三棱锥的高，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，焦点为2F 的抛物线2:4D y x =的准线被椭圆C．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点1F 、2F 到直线:l y mx n =+的距离之积为1，求证：直线l 与椭圆C 相切．【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析.【解析】（1）根据抛物线的焦点坐标，求得c ，根据题意可得知点1,2P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C上，利用椭圆的定义可求出a 的值，进而得出b 的值，即可求得椭圆C 的标准方程； （2）根据（1）中的椭圆方程，求得两个焦点，利用点到直线的距离公式求得m 和n 的关系，再将直线方程代入椭圆方程，计算出0∆=，即可证明直线l 与椭圆C 相切． 【详解】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，抛物线D 的焦点为()21,0F ，则1c =，抛物线D 的准线方程为1x =-，由于抛物线D 的准线被椭圆C，则点1,2P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，由椭圆的定义得122a PF PF =+==a ∴=，则1b ==，因此，椭圆C 的标准方程为2212x y +=；（2）点()11,0F -到直线l的距离1d =，点()21,0F 到直线l的距离为2d =则22222122111m n d d m n m m -==⇒-=++.①若2221m m n +=-，则21n =-，显然不成立； ②若2221m n m +=-，则2221n m =+.将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立2212y mx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y 得()()222214210m x mnx n +++-=，则()()()22222216421218210m n m n m n ∆=-⨯+⨯-=-+=， 因此，直线l 与椭圆C 相切. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的应用，考查计算能力，属于中档题．21．已知函数()e ln (1)x f x x a x =---．（其中e 为自然对数的底数） （1）若e a =，求()f x 的单调区间； （2）若1a =，求证：33()ln 22f x >+． 【答案】（1）递减区间为（0，1），递增区间为()1,+∞；（2）见解析【解析】(1)对()e ln (e 1)x f x x x =---进行求导,再分析导函数的正负进行原函数的单调性分析.(2)代入1a =得()e ln x f x x =-,再求导分析单调性.注意1()e xf x x'=-零点求不出来,故设零点为0x 分析其大致范围,再根据单调性求()e ln xf x x =-的最小值表达式,分析其取值范围即可. 【详解】（1）若e a =,则()e ln (e 1)xf x x x =---,所以1()e e 1(0)x f x x x'=--+>, ()f x '在(0,)+∞上是增函数,且()01f '=,所以()0,1x ∈时()0f x '<,()f x 是减函数；()1,x ∈+∞时,()0f x '>,()f x 是增函数, 所以()f x 的递减区间为（0,1）,递增区间为()1,+∞．（2）若1a =,则()e ln xf x x =-,1()e x f x x'=-,()f x '在(0,)+∞上是增函数,且1202f ⎛⎫'=< ⎪⎝⎭, ()12132332327e e328f ⎛⎫⎛⎫'=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由227e 48>>,可得203f ⎛⎫'> ⎪⎝⎭,所以存在012,23x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使得()00f x '=,即01e x x =, ()00,x x ∈时,()0f x '<,()f x 是减函数；()0,x x ∈+∞时,()0f x '>,()f x 是增函数,所以()000001()e ln ln x f x f x x x x ≥=-=-, 设112()ln 23g x x x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭,则()g x 在12,23⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数, 所以233()ln 322g x g ⎛⎫>=+ ⎪⎝⎭,所以()033()ln 22f x f x ≥>+． 【点睛】(1)本题主要考查函数的单调性,求导之后为超越方程,但仍然有能够观察出来的根,再根据导函数的单调性进行正负的分析从而求得原函数的单调性.(2)本题主要考查隐零点的问题,若求导之后极值点不能求解,则可设为0x ,得出关于0x 的关系式,再在后面的运算中利用0x 的关系式进行最值分析即可.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1232x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数且0t ≠）．在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为222cos 24sin 3ρθρθ+=．（1）求直线l 的极坐标方程及曲线C 的直角坐标方程； （2）若点P 在直线l 上，点Q 在曲线C上，求证：PQ ≥【答案】（1）:cos sin 4l ρθρθ+=，22:13x C y +=；（2）证明见解析. 【解析】（1）先将直线l 的参数方程化为普通方程，再将直线l 的普通方程转化为极坐标方程，利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）设点Q的坐标为),sin αα，利用点到直线的距离公式以及三角函数的有界性可证明出PQ ≥【详解】（1）在直线l的参数方程123x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数且0t ≠）中消去参数t 得4x y +=，所以，直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθρθ+=. 曲线C 的极坐标方程为222cos 24sin 3ρθρθ+=，即()22222cos sin 4sin 3ρθθρθ-+=，即2222cos 3sin 3ρθρθ+=，转化为直角坐标方程为2233x y +=，即2213x y +=；（2）曲线C的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），设点Q的坐标为),sin αα，则点Q 到直线l的距离为d=42sin πα⎛⎫-+ ⎪==≥=因此，PQ d ≥≥【点睛】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中等题型．23．已知函数()21f x x x =+-． （1）求不等式()2f x x >的解集；（2）若()f x 的最小值为M ，且(),,a b c M a b c ++=∈R，求证：1≥．【答案】（1）()31,22⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭U ；（2）证明见解析. 【解析】（1）分0x ≤、01x <<、1x ≥三种情况解不等式()2f x x >，综合可得出该不等式的解集；（2）先求出1M =，可得出1a b c ++=，然后利用配方法与放缩法可证明出第 21 页 共 21 页1≥成立.【详解】（1）当0x ≤时，()()2123f x x x x =-+-=-，由()2f x x >，得2320x x +-<，解得3322x --<<，此时302x -<≤； 当01x <<时，()()212f x x x x =+-=-，由()2f x x >，得220x x +-<，解得21x -<<，此时，01x <<；当1x ≥时，()()2132f x x x x =+-=-，由()2f x x >，得2320x x -+<， 解得12x <<，此时，12x <<.综上所述，不等式()2f x x >的解集为()31,22⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭U ；（2）当0x ≤时，函数()23f x x =-单调递减，则()()02f x f ≥=；当01x <<时，函数()2f x x =-单调递减，则()12f x <<；当1x ≥时，函数()32f x x =-单调递增，则()()11f x f ≥=.综上所述，()11M f ==，1a b c ∴++=.2b a =≥≥+，同理2b c ≥+，122b b a c a b c ⎛⎫⎛⎫≥+++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】 本题考查了解绝对值不等式和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和计算能力，属中档题．。