下载文档原格式
学习目标 1.了解三种函数的增长特征。
2.初步认识“直线上升”“指数爆炸”和“对数增长”.3.尝试函数模型的简单应用．知识点一同类函数增长特点思考同样是增函数,当x从2变到3，y＝2x到y＝10x的纵坐标增加了多少？梳理当a〉1时，指数函数y＝a x是增函数,并且当a越大时,其函数值的增长就越快．当a>1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．当x〉0，n>1时,幂函数y＝x n是增函数，并且当x〉1时，n越大其函数值的增长就越快．知识点二指数函数、幂函数、对数函数的增长差异思考当x从1变到10，函数y＝2x,y＝x2和y＝lg x的纵坐标增长了多少?梳理一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管指数函数y＝a x(a>1）、幂函数y＝x n(n〉0)与对数函数y＝log a x（a〉1）都是增函数，但它们的增长速度不同,而且不在同一个档次上．随着x的增大，y＝a x（a>1)的增长速度越来越快，会远远超过幂函数y＝x n（n〉0)的增长速度，而对数函数y＝log a x（a>1）的增长速度越来越慢,因此总会存在一个x0，当x>x0时，就有________________________（a>1,n>0)．类型一根据图像判断函数的增长速度例1函数f（x)＝2x和g（x)＝x3的图像如图所示．设两函数的图像交于点A（x1,y1),B（x2，y2)，且x1〈x2。
(1）请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；（2)结合函数图像，判断f(6），g（6)，f(2 013)，g(2 013)的大小．反思与感悟判断函数的增长速度，一个是从x增加相同量时,函数值的增长量的变化；另一方面，也可从函数图像的变化,图像越陡，增长越快．跟踪训练1函数f(x)＝lg x，g(x)＝0。
3x－1的图像如图所示．(1）试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)以两图像交点为分界点，对f(x),g(x)的大小进行比较．类型二函数增长模型的应用例2假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元;方案三:第一天回报0。
高中数学第三章指数函数、幂函数、对数函数增长的比较教案北师大版必修1一、教学目标:1.知识与技能结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义, 理解它们的增长差异性.2.过程与方法能够借助信息技术, 利用函数图象及数据表格, 对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较, 初步体会它们的增长差异性; 收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等), 了解函数模型的广泛应用.3.情感、态度、价值观体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用.二、教学重点、难点：1.教学重点将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义2．教学难点选择合适的数学模型分析解决实际问题.三、学法与教学用具：1.学法：学生通过阅读教材，动手画图，自主学习、思考，并相互讨论，进行探索.2．教学用具：多媒体.四、教学设想：（一）引入实例，创设情景.教师引导学生阅读例1，分析其中的数量关系，思考应当选择怎样的函数模型来描述；由学生自己根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式，教师在数量关系的分析、函数模型的选择上作指导.（二）互动交流，探求新知.1.观察数据，体会模型.教师引导学生观察例1表格中三种方案的数量变化情况，体会三种函数的增长差异，说出自己的发现，并进行交流.2.作出图象，描述特点.教师引导学生借助计算器作出三个方案的函数图象，分析三种方案的不同变化趋势，并进行描述，为方案选择提供依据.（三）实例运用，巩固提高.1.教师引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要做出正确选择除了考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益.学生通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息做出推理判断，获得累计收益并给出本例的完整解答，然后全班进行交流.2.教师引导学生分析例2中三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，使学生明确问题的实质就是比较三个函数的增长情况，进一步体会三种基本函数模型在实际中广泛应用，体会它们的增长差异.3．教师引导学生分析得出：要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元，以及奖励比例是否超过25%进行分析，才能做出正确选择，学会对数据的特点与作用进行分析、判断。
精 品 教 学 设 计《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》设计理念：以建构主义理论为支持，以问题思考——实践认知———实验探究————巩固知识为主线，注重新课引入，通过分析比较降次思想,构造商式函数二种方法比较函数增长的快慢更好的掌握这节课的内容教学目标：知识目标：会用二种方法比较函数增长的快慢，明确指数函数增长的快慢特点能力目标：渗透分类、比较、归纳的数学思想情感目标：注重数学知识与实际生活得紧密联系，增强数学的趣味性，提高学生学习数学的兴趣教学重点：函数增长快慢的比较教学难点：降次思想,构造商式函数教学准备：制作ppt,几何画板,学生提前预习教学过程：一、问题思考1.指数函数x y a = (1a >)，对数函数log a y x =(1a >)和幂函数n y x = (n>0)在区间(0,)+∞上的单调性如何？2、对于这三种增加的函数，它们的函数值的增长快慢有何差别呢？二、实践认知观察函数2x y =，100(0)y x x =>，2log y x =的自变量与函数值（取近似值）的对应表，思考这三个函数的增长快慢如何？三、实验探究利用几何画板画出指数函数、幂函数和对数函数的图象，观察图象比较函数增长的快慢.1、观察函数2x y =，2(0)y x x =>，2log y x =的图像，这三个函数的增长快慢如何？2、观察函数2x y =，2(0)y x x =>的图像，有几个交点？3、比较2x y =，3(0)y x x =>增长的快慢.4、比较2x y =，100(0)y x x =>增长的快慢.四、降次思想采用降次的方法可以比较函数增长的快慢：对于函数2x y =与100(0)y x x =>，由图象知不便于比较，若分别对函数2x y =，100(0)y x x =>两边取以2为底的对数，则得到函数y x =和2100log y x =，这样就只需比较函数y x =和2100log y x =的增长情况.五、构造商式函数 构造商式函数1002()(0)xh x x x=>，只需观察函数()h x 与1的大小关系. 六、归纳总结若1,0a n >>，那么当x 足够大时，一定有log .x n a a x x >>。
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较[教学目标]1、知识与技能（1）由前面学习指数函数的图像、幂函数的图像和对数函数的图像的基础上,列表画出函数的图像．（2）会利用指数函数、幂函数的图像和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢．（1）让学生借助表格和图形了解指数函数的图像、幂函数的图像和对数函数的图像之间的关系，以及变化．（2）学会类比研究问题,利用数性结合的思想研究函数的性质．3、情感．态度与价值观使学生通过学习指数函数、幂函数的图像和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢，在学习的过程中体会“指数爆炸”的含义,增强学习函数的积极性和自信心．[教学重点]:列表观察指数函数的图像、幂函数的图像和对数函数的图像的增长快慢[教学难点]：指数函数的图像、幂函数的图像和对数函数的图像．[课时安排]:1课时[学法指导]：学生思考、探究． [讲授过程] 【新课导入】 [互动过程1]复习:1．指数函数、幂函数、对数函数的图像与性质． 请你画出函数x 22y 2,y x ,y log x ===的草图,并观察比较函数图像的变化．你能判断出哪个函数的函数值随x 的增长速度增长的比较快吗? [互动过程2]提出问题：当a 1>时，指数函数xy a =是增函数，并且当a 越大时，其函数值的增长就越快．当a 1>时，指数函数a y log x =是增函数，并且当a 越大时，其函数值的增长就越快．当x 0,n 1>>时,幂函数ny x =显然也是增函数,并且当n 越大时,其函数值的增长就越快．那么对于这三种增加的函数,它们的函数值的增长快慢有何差别呢?我们通过对三个具体函数x y 2,=100y x (x 0),=>2y log x =的函数值（取近似值）的比较,来体会它们增长的快慢．1．完成下表（借助科学计算器或设计程序通过计算机完成）．自变量函数值xy2=100y x(x0)=>2y log x=…………1 2 1 0 1．0070044 2．0097338 2．0097258 0．010070010 1024 10100100 1．27×1030 10200300 2．04×1090 5．15×10247500 3．27×10150 7．89×10269700 5．26×10210 3．23×10234900 8．45×10270 2．66×10295996 6．70×10299 6．70×10299 9．961000 1．07×10301 103001100 1．36×10331 1．38×103041200 1．72×10361 8．28×10307…………2．利用上表中的数据完成下表函数值自变量 x y 2= 100y x (x 0)=>2y log x=（1,10） （10,100） （100,300） （300,500） （500,700） （700,900） （900,1000） （1000,1100） （1100,1200）[互动过程3]1．谈谈你对这三个函数值增长快慢的体会．说明:由于指数函数值增长非常快,人们常称这种现象为“指数爆炸”．练习:1．已知函数f （x ）的图象如下图，试写出一个可能的解析式:y=___________2lg +xx2．三个变量y1、y2、y3、随变量x变化的数据如下表Array其中，x呈对数型函数变化的变量是＿＿＿;呈指数型函数变化的变量是＿＿＿;呈幂函数型变化的变量是＿＿＿＿。
4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较-北师大版高中数学必修第一册（2019版）教案1. 教学目标•了解指数函数、幂函数、对数函数的定义和特征；•掌握指数函数、幂函数、对数函数的图像和性质；•掌握指数函数、幂函数、对数函数的增长速度及其比较方法；•掌握指数函数、幂函数、对数函数的应用。
2. 教学重点和难点2.1 教学重点•指数函数、幂函数、对数函数的定义和特征；•指数函数、幂函数、对数函数的图像和性质；•指数函数、幂函数、对数函数的增长速度及其比较方法。
2.2 教学难点•对数函数的性质和增长速度比较；•指数函数和幂函数的增长速度比较。
3. 教学内容及方法3.1 指数函数的基本性质1.指数函数的定义；2.指数函数的图像和性质；3.指数函数的增长速度及其比较方法；4.指数函数的应用。
教学方法：讲解、演示、练习。
3.2 幂函数的基本性质1.幂函数的定义；2.幂函数的图像和性质；3.幂函数的增长速度及其比较方法；4.幂函数的应用。
教学方法：讲解、演示、练习。
3.3 对数函数的基本性质1.对数函数的定义；2.对数函数的图像和性质；3.对数函数的增长速度及其比较方法；4.对数函数的应用。
教学方法：讲解、演示、练习。
3.4 比较指数函数、幂函数、对数函数的增长速度1.指数函数和幂函数的比较；2.对数函数的增长速度比较。
教学方法：讲解、演示、练习。
3.5 应用综合运用指数函数、幂函数、对数函数的特性，解决实际问题。
教学方法：案例分析和讨论。
4. 教学资源教材：北师大版高中数学必修第一册（2019版）5. 教学步骤及时间安排5.1 第一课时（40分钟）课时内容：指数函数的基本性质1.讲解指数函数的定义及性质（10分钟）；2.演示指数函数的图像和性质（10分钟）；3.练习指数函数的增长速度及其比较方法（15分钟）；4.介绍指数函数的应用（5分钟）。
5.2 第二课时（40分钟）课时内容：幂函数的基本性质1.讲解幂函数的定义及性质（10分钟）；2.演示幂函数的图像和性质（10分钟）；3.练习幂函数的增长速度及其比较方法（15分钟）；4.介绍幂函数的应用（5分钟）。
《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》教学设计1．认识增长的概念，通过数表的直观，体会幂函数、指数函数、对数函数增长速度的差异． 2．通过函数增长的比较过程，学习比较的方法，积累选择直观方式和比较大小(快慢)的经验．重点：三类函数增长的结论，函数增长快慢比较的常用方法． 难点：通过数据分析表述函数增长快慢的理由．一、新课导入我们已经知道，给定常数a ，b ，c ，指数函数y =a x (a >1)、对数函数y =log b x (b >1)、幂函数y =x c (x >0，c >0)都是增函数；而且当x 的值趋近于正无穷大时，y 的值都是趋近于正无穷大的．那么，这3个增函数的函数值的增长快慢有什么差别呢?如果把自变量看作时间，我们来个函数增长快慢的赛跑，怎么样?设计意图：开门见山，永上启下，温故知新；以赛跑的生活化场景，拉近数学与生活的距离，增强趣味性和探究欲.二、新知探究问题1 怎么比较三个函数增长得快慢呢?（经过短时讨论，确定：先猜增长快慢的关系，再利用猜想的中间量，分别比较另外两个量，试图印证猜想.）猜想：三类函数的增长，指数函数最快，对数函数最慢． 追问 怎样实现两个函数增长的比较呢?经过短时讨论，一致认为要借助直观，要从具体的函数入手研究． 答案：图表是直观的，利用图表分析具体函数的增长． (1)先比较具体的y =x 12和y =log 2x ，观察下表． x 20 22 23 24 26 28 210 212 214 216 y =x 12 1 2 2√2 4 8 16 32 64 128 256 y =log 2x2346810121416（学生分析数表得出增长结论．）◆教学目标◆教学重难点 ◆◆教学过程结论：可以看出，当x的取值充分大时，幂函数y=x 12比对数函数y=log2x增长快，而且快很多．(2)再比较具体的y=2x和y=x100，观察下表：结论：可以看出，当x的取值充分大时，指数函数y=2x比幂函数y=x100增长快，而且快很多．设计意图：通过数形结合分析，形成全方位的直观感受．问题2：试着总结指数函数、对数函数、幂函数图象的特征．答案：追问：试对指数函数y=a x(a>1)、对数函数y=log b x(b>1) 、幂函数y=x c(x>0，c>0)的不同增长情况进行比较．答案：随着x的增大，y=a x的函数值增长远远大于y=x c的函数值增长；而y=x c的函数值增长又远远大于y=log b x的函数值增长．在区间(0，+∞)上，当a>1，c>0时，当x足够大时，随着x的增大，y=a x的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=x c的增长速度，而y=log b x的增长速度则越来越慢．因此，总会存在一个x0，使得当x>x0时，一定有a x>x c>log b x，指数函数值增长非常快，因而常称这种现象为”指数爆炸”．总结：（1）当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．（2）当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长很大时，常常选用对数函数模型．（3）函数值的大小不等同于增长速度快慢，数值大不一定增长速度快，增长速度体现在函数值的变化趋势上．三、应用举例例1 从前，有一个国王特别喜爱一项称为“国际象棋”的游戏，于是他决定奖赏国际象棋的发明者，满足他的一个心愿．“陛下，我深感荣幸，我的愿望是你赏我几粒米．”发明者说．“只是几粒米?”国王回答说．“是的，只要在棋盘的第一格放上一粒米，在第二格放上两粒米，在第三个加倍放上四粒米…,以此类推，每一格均是前一格的两倍，直到放慢棋盘为止，这就是我的愿望．”国王很高兴．“如此廉价便可以换的如此好的游戏，我的祖辈们一定是恩泽于我了．"国王想．于是国王大声地说“好!把棋盘拿出来让我的臣子们一起见证我们的协议”．国王真的能够满足围棋发明者的愿望吗?解第x格放的米粒数显然符合指数函数f(x)=2x−1(x∈{1，2，3，…，64})，本题实际上是求64个函数值的和，我们不妨求f(64)=263≈9．22×1018．假定每1000颗麦子重40克，f(64)=3500亿吨．显然国王不能满足发明者的要求．例2 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案?解令第x天，回报为y元方案一：y=40方案二：y=10x(x∈N+)方案三：y=2x−1∙0.4(x∈N+)投资7天及以下选择方案一投资8-10天选择方案二投资11天及以上选择方案三．)内恒成立，求实数m的取值范围．例3若不等式x2−log m x<0在(0，12解分析：由x2−log m x<0得x2<log m x，把不等式的两边分别看做两个函数，利用数形结合的方法，通过图像进行转化．在同一坐标系中作y=x2和y=log m x的图象，要使x2<log m x在(0，12)内恒成立，只需y=log m x在y=x2的图像的上方，于是0<m<1，∵x=12时，y=x2=14，∴只要x=12时，y=log m12⩾14=log m m14∴12⩽m14，即116⩽m，又0<m<1，所以116⩽m<1，故m取值范围为[116，1)．四、课堂练习1．对于函数y=3x与y=x3：(1)通过计算或借助绘图工具求这两个函数图象的交点个数；(2)y=3x比y=x3增长得快，通过分析它们的图象解释其含义．参考答案：1．（1）通过软件绘图可以得到两个函数有两个交点．(2)这两个函数有两个交点，在第一个交点前，y=3x的图象一直在y=x3的图象上方，过了第一个交点直至第二个交点之间y=x3在y=3x的图象的上方，多了第二个交点后y=3x图象一直在y=x3的上面．五、课堂小结当b>l，c>0 时，即使b很接近于1，c很接近于0，都有y=x c比y=log b x增长快．当a>1，c>0时，即使a很接近于1，c很大，都有y=a x比y=x c增长快．y=a x(a>1) 随着自变量x的增大，y=a x的函数值增长远远大于y=x c的函数值增长；而y=x c的函数值增长又远远大于y=log b x的函数值增长．当a>1时指数函数值增长非常快，因而常称这种现象为”指数爆炸”．六、布置作业教材第113页习题4-3A 组第1-6题﹒。
幂函数对数函数指数函数增长速度比较幂函数、对数函数和指数函数是高中数学中经常涉及的三种基本函数类型。
这三种函数具有不同的定义和性质，它们的增长速度也各不相同。
下面，我将从三个方面分别阐述幂函数、对数函数和指数函数的增长速度及其比较。
一、幂函数的增长速度幂函数的一般形式为y=x^a，其中a为正实数，x为自变量，y为因变量。
当a>1时，幂函数的增长速度比线性函数快，而当0<a<1时，则比线性函数慢。
幂函数随着x的增大而增大，增长速度越来越快，但增长速度的大小与指数a的大小有关。
例如，y=x^2和y=x^3的增长速度比y=x和y=x^1.5快，因为x^2和x^3比x和x^1.5的增长速度更快。
另一方面，y=x^0.5和y=x^0.3的增长速度比y=x慢，因为x^0.5和x^0.3比x的增长速度更慢。
二、对数函数的增长速度对数函数的一般形式为y=loga(x)，其中a为正实数且a ≠ 1，x为正实数。
对数函数随着x的增大而增加，但增长速度非常缓慢。
例如，y=log2(x)和y=log3(x)的增长速度比y=log5(x)和y=log10(x)慢，因为以2或3为底的对数的增长速度比以5或10为底的对数慢。
三、指数函数的增长速度指数函数的一般形式为y=a^x，其中a为正实数且a ≠ 1，x为自变量。
指数函数随着x的增大而快速增加。
例如，y=2^x和y=3^x的增长速度比y=1.5^x和y=1.1^x快，因为2和3比1.5和1.1更大。
比较三种函数的增长速度根据上述三种函数的增长速度特性，我们可以得出以下结论：1. 当x越来越大时，指数函数的增长速度最快，其次是幂函数，最慢的是对数函数。
2. 如果幂函数和指数函数的底相同，那么指数函数的增长速度比幂函数快。
例如，y=2^x的增长速度比y=x^2的增长速度快。
3. 如果对数函数和指数函数的底相同，那么对数函数的增长速度比指数函数慢。
例如，y=log2(x)的增长速度比y=2^x的增长速度慢。
6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较1．指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(1)指数函数、对数函数、幂函数为增函数的前提条件当a＞1时，指数函数y＝a x是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．当a＞1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．当x＞0，n＞0时，幂函数y＝x n显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就越快．(2)具体的指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(只考虑x＞0的情况)在同一直角坐标系内利用几何画板软件作出函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x的图像(如图)．从图中可以观察出，y＝2x与y＝x2有两个交点：(2,4)和(4,16)，当0＜x＜2时，2x＞x2；当2＜x＜4时，2x＜x2；当x＞4时，2x＞x2恒成立，即y＝2x比y＝x2增长得快；而在(0，＋∞)上，总有x2＞log2x，即y＝x2比y＝log2x增长得快．由此可见，在(0,2)和(4，＋∞)上，总有2x＞x2＞log2x，即y＝2x增长得最快；在(2,4)上，总有x2＞2x＞log2x，即y＝x2增长得最快．(3)一般的指数函数、幂函数、对数函数增长的比较改变指数函数、对数函数的底数和幂函数的指数，重新作图，观察图像会发现这三种函数的增长情况具有一定的规律性．一般地，对于指数函数y＝a x(a＞1)和幂函数y＝x n(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论a比n小多少，尽管在x的一定范围内，a x会小于x n，但由于a x的增长快于x n 的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有a x＞x n；同样的，对于对数函数y＝log a x(a＞1)和幂函数y＝x n(n＞0)，随着x的增大，log a x增长得越来越慢，图像就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定区间内，log a x可能会大于x n，但由于log a x的增长慢于x n的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x n.综上所述，尽管函数y＝a x(a＞1)，y＝log a x(a＞1)和y＝x n(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝a(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(x＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x＜a.由于指数函数值增长非常快，人们常称这种现象为“指数爆炸”．析规律三种函数模型的性质【例1．解析：根据表格中数据可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，其中变量y4的值随变量x的增长越来越小，故变量y4不关于x呈指数函数增长，变量y1，y2，y3的值都随变量x的增长越来越大，其中变量y2的值增长速度最快，所以变量y2关于x呈指数型函数增长．答案：y2析规律函数值的增加量在指数函数、幂函数、对数函数三种增加的函数中，当自变量增加相同的量时，指数函数的函数值增加量最大．【例1－2】在给出的四个函数y＝3x，y＝x3，y＝3x，y＝log3x中，当x∈(3，＋∞)时，其中增长速度最快的函数是()．A．y＝3x B．y＝3xC．y＝x3D．y＝log3x解析：随着x的增大，函数y＝a x(a＞1)的增速会远远超过y＝x n(n＞0)的增速，而函数y ＝log a x(a＞1)的增长速度最慢．故选B.答案：B2．增长型函数模型在实际问题中的应用根据题意，选用合适的增长型函数模型，进行一些简单的应用是本节重点，其选择的标准是：指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律．我们要熟悉指数函数、对数函数和幂函数的图像及性质，对题目的具体要求进行抽象概括，灵活地选取和建立数学模型．例如，根据统计资料，我国能源生产自1986年以来发展很快，下面是我国能源生产总量(折合亿吨标准煤)的几个统计数据：1986年8.6亿吨，5年后的1991年10.4亿吨，10年后的1996年12.9亿吨．有关专家预测，到2011年我国能源生产总量将达到25.6亿吨，则专家是选择下列哪一种类型函数作为模型进行预测的()．A．一次函数B．二次函数C．指数函数D．对数函数解答：本题不需要写出函数解析式，只需根据函数值的变化规律作出判断即可．从1986年起第一个五年增长了1.8亿吨，第二个五年增长了2.5亿吨，每五年的增长速度不同，故不是一次函数；假设是指数函数，由“指数爆炸”以及前五年的增长速度可知，从1986年到2011年25年的时间，2011年的产值将很大，故不是指数函数；对数函数的增长速度较慢，不符合题意．由以上分析，此函数模型可能是幂函数类型，结合本题的数字特点，可判断是二次函数．故选B.【例2】某公司为了实现1 000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不能超过5万元，同时奖金不能超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？分析：某个奖励模型符合公司要求，即当x∈[10,1 000]时，能够满足y≤5，且yx≤25%，可以先从函数图像得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果．解：借助计算器或计算机作出函数y＝5，y＝0. 25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图像如下图所示：观察图像发现，在区间[10,1 000]上模型y＝0.25x，y＝1.002x的图像都有一部分在y＝5的上方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励才能符合公司要求，下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元．对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1 000]上是单调递增的，当x∈(20,1 000)时，y＞5，因此该模型不符合要求．对于模型y＝1.002x，利用计算器，可知1.002806≈5.005，由于y＝1.002x是增函数，故当x∈(806,1 000]时，y＞5，因此，也不符合题意．对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1 000]上单调递增且当x＝1 000时，y＝log71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合资金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，资金是否超过利润x的25%，即当x∈[10,1 000]时，利用计算器或计算机作f(x)＝log7x＋1－0.25x的图像，由图像可知f(x)是减函数，因此f(x)＜f(10)≈－0.316 7＜0，即log7x＋1＜0.25x.所以当x∈[10,1 000]时，y＜0.25x.这说明，按模型y＝log7x＋1奖励不超过利润的25%.综上所述，模型y＝log7x＋1确实符合公司要求．析规律不同函数类型增长的含义从这个例题我们看到，底数大于1的指数函数模型比一次项系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多，而后者又比真数大于1的对数函数模型增长速度要快，从这个实例我们可以体会到对数增长，直线上升，指数爆炸等不同函数类型增长的含义．3．利用三种函数的图像解决与方程和不等式有关的问题利用指数函数、对数函数和幂函数图像的直观性，可解决与方程和不等式有关的问题，如判断方程是否有解、解的个数，方程根的分布情况等．把解方程和不等式问题转化为函数问题，这是函数思想和转化与化归思想的运用．例如，方程log2(x＋4)＝3x解的个数是()．A．0B．1C．2D．3我们可以在同一坐标系中画出对数型函数y ＝log 2(x ＋4)和指数函数y ＝3x 的图像(其中，y ＝log 2(x ＋4)的图像由y ＝log 2x 的图像向左平移4个单位长度得到)，如图所示．由图像可以看出，它们有两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，即方程log 2(x ＋4)＝3x 的解为x＝x 1或x ＝x 2，因此，方程的解有两个．又如，若x 满足－3＋log 2x ＝－x ，则x 属于区间( )．A ．(0,1)B ．(1,2)C ．[2,3)D ．(3,4)由－3＋log 2x ＝－x ，得log 2x ＝3－x ，在同一坐标系中作出对数函数y ＝log 2x 和一次函数y ＝3－x 的图像，如图所示．观察图像可知，若log 2x ＝3－x ，则x 的取值在1与3之间，又知log 22＝1,3－2＝1，故选C.【例3－1】已知x 1是方程x ＋lg x ＝3的解，x 2是方程x ＋10x ＝3的解，则x 1＋x 2＝( )．A ．6B ．3C ．2D ．1解析：方程x ＋lg x ＝3可化为lg x ＝3－x ，方程x ＋10x ＝3可化为10x ＝3－x .在同一直角坐标系中画出函数y ＝lg x ，y ＝10x 和y ＝3－x 的图像，由于y ＝lg x 与y ＝10x 互为反函数，所以它们的图像关于直线y ＝x 对称．又因为直线y ＝3－x 与y ＝x 垂直，由3,y x y x =-⎧⎨=⎩得，两直线的交点P 的坐标为33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.由题意知，y ＝lg x 与y ＝3－x 交点A 的横坐标为x 1，y ＝10x 与y ＝3－x 交点B 的横坐标为x 2.因为点A ，B 关于P 对称，所以，由线段的中点坐标公式得12322x x +=，即x ＋x 2＝3. 答案：B谈重点 线段AB 的中点坐标公式在平面直角坐标系中，若点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)，则线段AB 的中点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.【例3－2】若x 2＜log m x 在x ∈10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，求实数m 的取值范围． 解：设y 1＝x 2，y 2＝log m x .若x 2＜log m x 在x ∈10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，则0＜m ＜1.两个函数的图像如图所示．当12x =时，211124y ⎛⎫== ⎪⎝⎭.若两函数图像在12x =处相交，则214y =， 由11log 24m =得1412m =，即411216m ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 又x 2＜log m x 在x ∈10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，根据底数m 对函数y ＝log m x 图像的影响可知，实数m 的取值范围为1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【例3－3】方程2x ＝x 2有多少个实数根？解：在同一直角坐标系中画出函数y ＝2x 和y ＝x 2的图像．可以看出，在y 轴左侧，两个函数的图像有一个交点，而在y 轴右侧有两个交点(2,4)和(4,16)．当x ＞4时，指数函数y ＝2x 的增长快于幂函数y ＝x 2的增长，这就是说在x ＞4时，指数函数y＝2x与幂函数y＝x2的图像没有交点，因此方程2x＝x2有3个实数根．。
