材料力学轴向拉压课件

x1


Pb
Aa b
由b
+ve
-ve
压
(b) 图2-49
x2


Pa
Aa b
u

ab P
AEa b
材料力学， 土木2003， 2004年9月， 金培鹏副教授
第二章 轴向拉伸和压缩
Pa
a b
Pa
a b
青海大学建工系
当 A
E=70 GPa, A=100 mm2 时
LMax

y,Max g
3.6 km
v

g
2E

L2Max
2.6 m
横向收缩是多少？
如杆为直径为D的圆截面杆， 则有:
x

dD D

y
g y
E

dDMax


gD L
E
材料力学， 土木2003， 2004年9月， 金培鹏副教授
第二章 轴向拉伸和压缩
竖直悬挂的重力杆. 若杆的最大正应力为 Max, 杆的最大长度是多少,
LMax, 杆的伸长是多少?
RA
y
y
A
L, A, , E,
x

g
Fyy(y)
FBD:
y
B v
Fy 0
Fyy m g
Fyy Ay g Fyy Ag y y g y
图2-33
青海大学建工系
2.7.1 直接分析法
要解静定问题, 需要更多方程 力的平衡方程 变形协调条件 虎克定律
e.g. y
RAx
x
E, A

取一受轴向拉伸的等直杆，今研究与横截面成 角的斜截
面n-n，如图 a)上的应力情况。运用截面法，假想地将杆沿n-n 截面切开，并研究左段的平衡，如图b)所示，则得到此斜截面
n-n上的内力为 F 。
23
24
仿照求解横截面上正应力分布规律的过程，同样可以得到
斜截面上各点处的全应力 p 相等的结论，于是有
求各杆的变形量△Li ，如图1；
A
B
变形图严格画法，图中弧线；
L1
L2
C
变形图近似画法，图中弧之切线。L2 P L1 C' C"
35
2、写出图2中B点位移与两杆变形间的关系
A
L1
B P L1
L2 uB
L2
vB
C
图2
B'
解：变形图如图2， B点位移至B'点，由图知： uB L1
vB
L1c tg
L2
即: E
4、泊松比（或横向变形系数）
或:
32
[例5] 如图a)所示的阶梯杆，已知横截面面积AAB＝ABC＝ 400 mm2，ACD＝200 mm2，弹性模量E＝200 GPa，受力情况为 FP1＝30 kN，FP2＝10 kN，各段长度如图a)所示。试求杆的总变 形。
33
解 (1) 作轴力图 杆的轴力图如图b)所示。
(2) 计算杆的变形 应用胡克定律分别求出各段杆的变形
l AB
FN ABlAB EAAB
20103 100103 200109 400106
0.025103
m
0.025 mm
lBC
FN BClBC EABC
10103 100103 200109 400106

强度问题
轴向拉（压）的杆件，有
max
FN A
应用这一条件可以解决强度计算问题
涉及强度计算的问题有三类
校核强度 强度问题设计截面
确定许用载荷
强度问题
校核强度
根据已知的轴力FN及横截面面积A，计算出最
大的工作应力max，并和给定的许用应力[ ]
相比较，从而判断杆件是否安全可靠，是否具
有足够的强度。即判断下列条件是否成立
应力的极值与杆间的破坏形式有密切关系
许用应力
极限应力: 材料所能承受的最大应力---- u – 塑性材料u = s （屈服极限）或 u = p0.2 没
有明显屈服现象的材料)
– 脆性材料 u = b （强度极限）
工作应力：分析计算所得构件之应力
设计准则：工作应力<=极限应力 安全否？ 安全系数： ①外截的准确性 ②理论的近似性 ③制造工艺引起材料力学性能分散性
积的最小值为
x
A
qB
C
V 2 Fl
[ ]
FN
F
刚性杆为研究对象
2.7 连接部分的强度计算
剪切 挤压
概念及实例
当杆件受到两个大小相等、 方向相反的横向力F作用时， a F 如果这两个力的作用线彼此 很靠近，即两作用线的间距 比杆的横向尺寸小的很多时， F 杆的主要变形为相邻横截面 发生相对错动
强度问题
例 图示支架由两根直杆 铰接而成，杆AB和杆AC间的 夹角a=30o，两杆的横截面积 均为100mm2，材料相同。它 们的许用拉应力[t]=200MPa， 许用压应力[c]=150MPa。试 求支架在A点处所能承受的许 用载荷（AC杆受压失稳的因 素不考虑)
强度问题
解 ①受力分析 (变形前位置)

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1
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2
目录
§2-1 轴向拉伸、压缩及工程实例
§2-2 轴力和轴力图
§2-3 横截面上的应力
§2-4 斜截面上的应力
§2-5 拉、压杆的变形
§2-6 材料在拉伸、压缩时的力学性质
§2-7 强度计算、许用应力和安全因数
§2-8 拉伸和压缩超静定问题
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3
§2–1 轴向拉伸、压缩及工程实例
PB
PC
N3
C
PC N4
轴力图如右图
N
5P
2P +
+
P
–
可3编P辑课件PPT
D PD D PD D PD
x
14
轴力图的特点：突变值 = 集中载荷 轴力(图)的简便求法： 自左向右:
遇到向左的P， 轴力N 增量为正； 遇到向右的P ， 轴力N 增量为负。
8kN
5kN
3kN
5kN + 8kN
–
可编3辑k课N件PPT
16
[例3] 一等直杆受四个轴向外力作用，如图所示，试求杆 件横截面l-l、2-2、3-3上的轴力，并作轴力图。
可编辑课件PPT
17
问题提出：
§2–3 横截面上的应力
P
P
P
P
1. 内力大小不能衡量构件强度的大小。 2. 强度：① 内力在截面的分布集度应力；
② 材料承受荷载的能力。
一、应力的概念
1. 定义：由外力引起的内力集度。
一、概念
轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。 轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩，伴随横向 缩扩。 轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。 轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。

FN4
20kN
第二章 轴向拉伸和压缩
§2.2 内力计算
40kN A B 300 50
55kN 25kN C 500 D 400
20kN E
FN
(kN) 10
FN1=10kN （拉力） FN2=50kN （拉力） FN3= - 5kN （压力） FN4=20kN （拉力）
+
20
+
5
FNmax 50( kN ) 发生在BC段内任一横截面上
寸。）
第二章 轴向拉伸和压缩 圣维南原理：
§2.3 拉压杆的应力
在静力等效条件下，不同的加载方式只对加载处附近区 域的应力分布有影响，离开加载处较远的部分，其应力分布 并没有显著的差别。
第二章 轴向拉伸和压缩
§2.3 拉压杆的应力
例题2-3 试求此正方 形砖柱由于荷载引起的横 截面上的最大工作应力。 已知F = 50 kN。
FN
O
x
第二章 轴向拉伸和压缩
§2.2 内力计算
例题1
一等直杆其受力情况如图所示， 作杆的轴力图.
40kN A 600 B 300
55kN 25kN C 500 D 400
20kN E
第二章 轴向拉伸和压缩
40kN
§2.2 内力计算
55kN 25kN
300
20kN D 400
E
A
600
B
C
500
§2.2 内力计算
1、截面法
截开 在求内力的截面m-m 处， 假想地将杆截为两部分. 代替 取左部分为研究对象。弃去 右部分。弃去部分对研究对 象的作用，以截开面上的内 m F m FN m
F
m

代入上式，得：
p
P A
Pcos
A
0
cos
斜截面上全应力： p 0cos
35
斜截面上全应力： p 0cos P
k
分解：
p cos 0cos2
k
k
p
P
p
sin
0
cos
sin
0
2
sin2
k
反应：经过构件上一点不同截面上应力变化情况。
P
P
当 = 0°时，( )max 0 (横截面上存在最大正应力)
大拉力,角值应为多大?(要求: 在0~60度之间)。
m P
P
解：
Pcos A
2
[
](1)
P
n
Psin
A
cos[
](2)
联立(1)、(2)得： B
B 26.6,PB 50kN
40
30
60
(1)、(2)式旳曲线如图(2)，显然，B点左 侧由剪应力控制杆旳强
度，B点右侧由正应力控制杆旳强度，当=60°时，由(2)式得
X 0 N1 PA PB PC PD 0
N1 5P 8P 4P P 0 N1 2P 16
同理，求得AB、
N2
BC、CD段内力分
别为：
N2= –3P
N3= 5P
N4= P
轴力图如右图 N
2P + –
3P
BC
PB
PC
N3
C
PC N4
5P
+
P
D PD D PD D PD
x
17
轴力图旳特点：突变值 = 集中载荷 轴力(图)旳简便求法： 自左向右:

内力、截面法、轴力及轴力图
1、内力的概念
固有内力：分子内力.它是由构成物体的材料的物理性 质所决定的.(物体在受到外力之前，内部就存在着内力)
附加内力：在原有内力的基础上，又添加了新的内力
内力与变形有关
内力特点：
1、有限性 2、分布性 3、成对性
2、轴力及其求法——截面法
轴向拉压杆的内力称为轴力.其作用线与杆
FN 2
FN1 0 1
FN2 40kN
例题 2.2
求图示直杆1-1和2-2截面上的轴力
1
2
2F
2F
F
F
1
2
2F
2
F
2
课堂练习：
1F
2F
3
1
2
3
10KN
10KN 1
2
6KN
1
2
3 6KN
3
3、轴力图
轴力与截面位置关系的图线称为轴力图.
9KN 3KN
F
1 3F
2 2F
4KN
2KN
A 1B
2C
F
4KN
2F
2KN
5KN
例题 2.3F F2F Nhomakorabea2F
2F
10KN 100KN
10KN
A=10mm2
100KN
A=100mm2
哪个杆先破坏?
的轴线重合,用符号 ＦＮ 表示
1、切开； 2、代力； 3、平衡。
F
FN
FN F
FN F
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭

第二章
应力非均布区
轴向拉伸与压缩
应力均布区 应力非均布区
圣维南原理 力作用于杆端的分 布方式，只影响杆端 局部范围的应力分布， 影响区约距杆端 1～2 倍杆的横向尺寸。
端镶入底座，横向变形 受阻，杆应力非均匀分布。
第二章 2.2 杆的变形
轴向拉伸与压缩
h1
F
h
b b1
F
l 1.纵向变形 （1）纵向变形 （2） 纵向应变
第二章
轴向拉伸与压缩
3. 拉压杆横截面上的应力
问题提出：
P P P P
1）内力大小不能衡量构件强度的大小。
2）强度：①内力在截面分布集度应力；
②材料承受荷载的能力。 3）定义：由外力引起的内力集度。
第二章
轴向拉伸与压缩
轴向拉伸变形
第二章
轴向拉伸与压缩
工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义 不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度
1 2 1 2 2 2
第二章
轴向拉伸与压缩
FN 1 8 103 1 Pa 159MPa A1 0.0082 4
BC 段横截面上的正应力为
FN 2 15 103 2 Pa 191MPa A2 0.0102 4
第二章
4、圣维南原理 杆端应力分布
轴向拉伸与压缩
第二章
轴力的正负规定:
轴向拉伸与压缩
N N N > 0
N 与外法线同向,为正轴力(拉力) N与外法线反向,为负轴力(压力)
N N
N < 0
2. 轴力图—— N (x) 的图象表。
意 义
①反映出轴力与截面位置变化关系，较直观； ②确定出最大轴力的数值

Q235钢的主要强度指标：s = 240 MPa，
b = 390 MPa
低碳钢拉伸试件图片
试件拉伸破坏断口图片
结合压缩曲线得到结论：颈缩过程，材 料的力学性质发生变化
塑性指标
1.延伸率
l1 l 100%
l
2.断面收缩率


A A1 A
100%
l1----试件拉断后的长度
A1----试件拉断后断口处的最小 横截面面积
F 用截面法取节点B为研究对象
Fx 0 FN1 cos 45 FN 2 0
x
Fy 0 FN1 sin 45 F 0
FN1 28.3kN
FN 2 20kN
A
FN1 28.3kN FN 2 20kN
1
2、计算各杆件的应力。
45° B
C
2
FN1
F
y
FN 2 45° B x
F
a
c
b
d
F FN dA
bd
A
dA A
A
FN
A
A 1
45°
C
2
FN1
y
FN 2 45° B
F
例题2.2
图示结构，试求杆件AB、CB的
应力。已知 F=20kN；斜杆AB为直
径20mm的圆截面杆，水平杆CB为 15×15的方截面杆。
B 解：1、计算各杆件的轴力。 （设斜杆为1杆，水平杆为2杆）
≥5%—塑性材料 ＜5%—脆性材料 σ
Q235钢： 20% ~ 30% ≈60%
冷作硬化
O
应力-应变（σ-ε）图

注意：
(1) 低碳钢的s，b都还是以相应的抗力除以试

第二章 轴向拉伸和压缩
钢拉杆
A
F
连杆
A
B
F
B
F
F
F
F
F
F
F
F
F
受力(简)图
受力变形特点: 外力或其合力的作用线沿杆件的轴线(轴载),
主要变形为轴向伸缩。这样的杆件称拉压杆。
编辑ppt
1
2.1 拉压杆的内力 轴力及轴力图
横截面是杆件内最有代表性的截面，
其上的内力可用截面法求出。
F
Ⅰm Ⅱ
F
x
由隔离体的平衡条件截面上只 有截面法向的内力分量 FN(x), 称为轴力。
FN
拉应力为正
F
A
压应力为负
拉压杆横截面上正应力计算公式
F 公式适用于轴载作用的杆件。
变截面杆或分布轴载作 (x) FN (x)
编辑用p下pt 横截面正应力计算
A(x) 6
2.2 拉压杆的应力
二、斜截面上的应力
σ
σ
F
2
2
2
单向(单轴)应力状态
2
n
m
F
α
F
mm
F
p Fα
m
n
m
α
p
m
t
2
F
2
2
2
x
切讨力应的论规力定关任以方系一使位，方隔角位斜离α体截截以有面面x轴作上上为顺各的起时处应始针力法边转向及逆动时线与的针横应趋转势变截为为和面正正上切；。应应
变横相截同面，上 即变形是m 均a 匀x0 的 。因此内0力均0匀分
斜FA 布p纵α切截=。截应±c面面力o45A上FA上成so截的对p面全上A dFA应Ac力mmm oia 可nxp9s i分0AAn 4α4 解5——A59 ——为d0 2c 正斜 横Ao20 截截应s面面力p面面9 和积积A0 4切4 550 应2F力2