广东省汕头市金山中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学(文)试卷

2015-2016学年上海市金山中学高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分36分，共12小题，每小题满分36分）1．直线x﹣（m﹣2）y+4=0的倾斜角为，则m的值是．2．若实数x，y满足不等式组，则z=x+2y的最大值为．3．若复数z满足，则|z+1|的值为．4．已知直线5x+12y+a=0与圆（x﹣1）2+y2=1相切，则a的值为．5．已知方程+=1表示椭圆，则k的取值范围为．6．若直线l经过原点，且与直线的夹角为30°，则直线l方程为．7．过点（2，0）且方向向量为（k，1）的直线与双曲线﹣=1仅有一个交点，则实数k的值为．8．已知点P是椭圆上的在第一象限内的点，又A（2，0）、B（0，1），O是原点，则四边形OAPB的面积的最大值是．9．若点O和点F分别为双曲线﹣y2=1的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则•的取值范围为．10．双曲线﹣y2=1（n＞1）的两个焦点为F1，F2，P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|=2，则△PF1F2的面积为．11．若点P（﹣1，0）在直线2ax+（a+c）y+2c=0上的射影是Q，则Q的轨迹方程是．12．已知点P在直线x+2y﹣1=0上，点Q在直线x+2y+3=0上，PQ中点为N（x0，y0），且y0＞x0+2，则的取值范围为．二、选择题（本大题满分12分，共4小题，每小题满分12分）13．设a、b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数a+bi为纯虚数的”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件14．与双曲线=1有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线标准方程为（）A．B．C．D．15．设曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的方程为x﹣3y+2=0，则曲线C上到直线l 距离为的点的个数为（）A．1B．2C．3D．416．已知曲线C：﹣=1（a＞b＞0），下列叙述中正确的是（）A．垂直于x轴的直线与曲线C存在两个交点B．直线y=kx+m（k，m∈R）与曲线C最多有三个交点C．曲线C关于直线y=﹣x对称D．若P1（x1，y1），P2（x2，y2）为曲线C上任意两点，则有＜0三、解答题（本大题满分52分）17．求以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的标准方程．18．设z1是方程x2﹣6x+25=0的一个根．（1）求z1；（2）设z 2=a+i（其中i为虚数单位，a∈R），若z2的共轭复数满足，求．19．如图，直线y=x与抛物线y=x2﹣4交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与直线y=﹣5交于Q点．（1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B）的动点时，求△OPQ面积的最大值．20．在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？21．椭圆E1：+=1和椭圆E2：+=1满足==m（m＞0），则称这两个椭圆相似，m 称为其相似比．（1）求经过点（2，），且与椭圆+=1相似的椭圆方程；（2）设过原点的一条射线L分别与（1）中的两个椭圆交于A、B两点（其中点A在线段OB上），求的最大值和最小值；（3）对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为2的两个椭圆C1：+=1和C2：+=1交于A、B两点，P为线段AB上的一点，若|OA|，|OP|，|OB|成等比数列，则点P 的轨迹方程为+=1”．请用推广或类比的方法提出类似的一个真命题，不必证明．2015-2016学年上海市金山中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分36分，共12小题，每小题满分36分）1．直线x﹣（m﹣2）y+4=0的倾斜角为，则m的值是3．【解答】解：∵直线x﹣（m﹣2）y+4=0的倾斜角为，∴该直线的斜率为tan，即，解得：m=3．故答案为：3．2．若实数x，y满足不等式组，则z=x+2y的最大值为6．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如右图，是位于△ABO及其内部的阴影部分．将直线l：z=x+2y进行平移，可知越向上平移，z的值越大，当l经过区域的右上顶点A时，z达到最大值由解得A（2，2）∴z max=F（2，2）=2+2×2=6故答案为：63．若复数z满足，则|z+1|的值为．【解答】解：∵复数z满足，解得z====﹣i，∴z+1=1﹣i，∴|z+1|==，故答案为．4．已知直线5x+12y+a=0与圆（x﹣1）2+y2=1相切，则a的值为8或﹣18．【解答】解：圆（x﹣1）2+y2=1的圆心为（1，0），半径为1，∵直线5x+12y+a=0与圆（x﹣1）2+y2=1相切，∴，解得：a=8或a=﹣18．故答案为：a=8或a=﹣18．5．已知方程+=1表示椭圆，则k的取值范围为．【解答】解：∵方程表示椭圆，则⇒解得k∈故答案为：．6．若直线l经过原点，且与直线的夹角为30°，则直线l方程为x=0或y=x．【解答】解：∵直线的斜率为，∴倾斜角为60°，∴所求直线l的倾斜角为30°或90°，当直线l的倾斜角为90°时，直线的方程为x=0；直线l的倾斜角为30°时，直线的方程为y=x．故答案为：x=0或y=x．7．过点（2，0）且方向向量为（k，1）的直线与双曲线﹣=1仅有一个交点，则实数k的值为0或±．【解答】解：依题意可知直线l恒过（2，0）点，即双曲线的右顶点，双曲线的渐近线方程为y=±x，要使直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线相切，即垂直于x轴，即有k=0；当直线与渐近线平行，即有=±，即k=±，此时直线与双曲线仅有一个交点．故答案为：0或±．8．已知点P是椭圆上的在第一象限内的点，又A（2，0）、B（0，1），O是原点，则四边形OAPB的面积的最大值是．【解答】解：由于点P是椭圆上的在第一象限内的点，设P为（2cosa，sina）即x=2cosa y=sina（0＜a＜π），这样四边形OAPB的面积就可以表示为两个三角形OAP和OPB面积之和，对于三角形OAP有面积S1=sina对于三角形OBP有面积S2=cosa∴四边形的面积S=S1+S2=sina+cosa=sin（a+）其最大值就应该为，并且当且仅当a=时成立．所以，面积最大值．故答案为：．9．若点O和点F分别为双曲线﹣y2=1的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则•的取值范围为[3+2，+∞）．【解答】解：设P（m，n），由F（﹣2，0），O（0，0），则•=（m，n）•（m+2，n）=m2+2m+n2．由点P为双曲线右支上的任意一点，可得﹣n2=1（m≥），即n2=﹣1，则m2+2m+n2=m2+2m+﹣1=m2+2m﹣1=（m+）2﹣，由m≥＞﹣，可得函数在[，+∞）上单调递增，即有m2+2m+n2≥3+2，则•的取值范围为[3+2，+∞）．故答案为：[3+2，+∞）．10．双曲线﹣y2=1（n＞1）的两个焦点为F1，F2，P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|=2，则△PF1F2的面积为1．【解答】解：令|PF1|=x，|PF2|=y，依题意可知解得x=+，y=﹣，∴x2+y2=（+）2+（﹣）2=4n+4∵|F1F2|=2∴|F1F2|2=4n+4∴x2+y2|F1F2|2∴△PF1F2为直角三角形∴△PF1F2的面积为xy=（2+）（﹣）=1故答案为：1．11．若点P（﹣1，0）在直线2ax+（a+c）y+2c=0上的射影是Q，则Q的轨迹方程是x2+（y+1）2=2．【解答】解：直线2ax+（a+c）y+2c=0恒过定点M（1，﹣2）∵点P（﹣1，0）在直线2ax+（a+c）y+2c=0上的射影是Q∴PQ⊥直线l故△PQM为直角三角形，Q的轨迹是以PM为直径的圆．∴Q的轨迹方程是x2+（y+1）2=2．故答案为：x2+（y+1）2=2．12．已知点P在直线x+2y﹣1=0上，点Q在直线x+2y+3=0上，PQ中点为N（x0，y0），且y0＞x0+2，则的取值范围为．【解答】解：根据题意作图如下因为PQ中点为N，则点N的坐标满足方程x+2y+1=0，又y0＞x0+2，则点N在直线y=x+2的左上部，且由得N（，），则k ON=﹣，并且直线x+2y+1=0的斜率k=﹣，而可视为点N与原点O连线的斜率，故﹣＜＜﹣．二、选择题（本大题满分12分，共4小题，每小题满分12分）13．设a、b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数a+bi为纯虚数的”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若复数a+bi为纯虚数，则a=0，b≠0，∴“ab=0”是“复数a+bi为纯虚数的”必要不充分条件．故选：B．14．与双曲线=1有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线标准方程为（）A．B．C．D．【解答】解：设所求的双曲线方程为，∵所求双曲线过点（2，2），则，即λ=﹣3，∴所求双曲线方程为．故选：B．15．设曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的方程为x﹣3y+2=0，则曲线C上到直线l 距离为的点的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：曲线C的参数方程为（θ为参数），化为普通方程为圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=9，圆心为（2，1），半径为3．则圆心到直线的距离d==．则直线与圆相交，则由3﹣＞，故在直线x﹣3y+2=0的上方和下方各有两个，共4个．故选D．16．已知曲线C：﹣=1（a＞b＞0），下列叙述中正确的是（）A．垂直于x轴的直线与曲线C存在两个交点B．直线y=kx+m（k，m∈R）与曲线C最多有三个交点C．曲线C关于直线y=﹣x对称D．若P1（x1，y1），P2（x2，y2）为曲线C上任意两点，则有＜0【解答】解：当x＞0，y＞0时，曲线C的方程为，渐近线方程为y=．当x＜0，y＞0时，曲线C方程为﹣，方程无解．当x＜0，y＜0时，曲线C方程为，渐近线方程为y=．当x＞0，y＜0时，曲线C方程为．作出曲线C的图象如图所示：显然y是关于x的函数，故A错误．由图象可知当直线y=kx+m经过点（a，0）且k＞时，直线与曲线C有三个交点．∵a≠b，∴曲线C不关于直线y=﹣x对称，故C错误．由图象可知y=f（x）为增函数，∴k=＞0，故D错误．综上，故选B．三、解答题（本大题满分52分）17．求以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的标准方程．【解答】解：抛物线的焦点F（1，0），因为圆过原点，所以半径R=1所以所求的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=1．18．设z1是方程x2﹣6x+25=0的一个根．（1）求z1；（2）设z 2=a+i（其中i为虚数单位，a∈R），若z2的共轭复数满足，求．【解答】解（1）∵△=62﹣4×25=﹣64，∴，即z1=3﹣4i或z1=3+4i；（2）由z2=a+i，得．当z1=3﹣4i时，则=|（3﹣4i）3•（a﹣i）|=，得|（﹣117﹣44i）（a﹣i）|=，整理得：，∴a=±2．当z1=3+4i时，则=|（3+4i）3•（a﹣i）|=，得|（﹣117+44i）（a﹣i）|=，整理得：，∴a=±2．综上：当a=﹣2时，；当a=2时，．19．如图，直线y=x与抛物线y=x2﹣4交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与直线y=﹣5交于Q点．（1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B）的动点时，求△OPQ面积的最大值．【解答】解：（1）解方程组得或即A（﹣4，﹣2），B（8，4），从而AB的中点为M（2，1），由k AB═，直线AB的垂直平分线方程y﹣1=﹣2（x﹣2）．令y=﹣5，得x=5，∴Q（5，﹣5）．（2）直线OQ的方程为x+y=0，设P（x，x2﹣4）．∵点P到直线OQ的距离d==．=|OQ|d=，∴S△OPQ∵P为抛物线上位于线段AB下方的点，且P不在直线OQ上，∴﹣4≤x＜4﹣4或4﹣4＜x≤8．∵函数y=x2+8x﹣32在区间[﹣4，8]上单调递增，∴当x=8时，△OPQ的面积取到最大值30．20．在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？【解答】解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向．在时刻：t（h）台风中心P（x，y）的坐标为令（x′，y′）是台风边缘线上一点，则此时台风侵袭的区域是（x′﹣x）2+（y′﹣y）2≤[r（t）]2，其中r（t）=10t+60，若在t时，该城市受到台风的侵袭，则有（0﹣x）2+（0﹣y）2≤（10t+60）2，即，即t2﹣36t+288≤0，解得12≤t≤24．答：12小时后该城市开始受到台风侵袭．21．椭圆E1：+=1和椭圆E2：+=1满足==m（m＞0），则称这两个椭圆相似，m 称为其相似比．（1）求经过点（2，），且与椭圆+=1相似的椭圆方程；（2）设过原点的一条射线L分别与（1）中的两个椭圆交于A、B两点（其中点A在线段OB上），求的最大值和最小值；（3）对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为2的两个椭圆C1：+=1和C2：+=1交于A、B两点，P为线段AB上的一点，若|OA|，|OP|，|OB|成等比数列，则点P 的轨迹方程为+=1”．请用推广或类比的方法提出类似的一个真命题，不必证明．【解答】解：（1）设所求的椭圆方程为+=1，则有，解得，∴所要求的椭圆方程为+=1；（2）①当射线与y轴重合时，|OA|+=+=；②当射线不与y轴重合时，由椭圆的对称性，我们仅考察A、B在第一象限的情形．设其方程为y=kx（k≥0，x＞0），设A（x1，y1），B（x2，y2），由解得，所以；由解得所以；=+，令，，=（）在上是增函数，∴，即，由①②知，|OA|+的最大值为，的最小值为．（3）过原点的一条射线分别与两条双曲线C1：﹣=1和C2：﹣=1（m＞0）交于A、B两点，P为线段AB上的一点，若|OA|、|OP|、|OB|成等比数列，则点P的轨迹方程为﹣=1；或过原点的一条射线分别与两条抛物线C1：y2=2px（p＞0）和C2：y2=2mpx（m＞0）相交于异于原点的A、B两点，P为线段AB上的一点，若|OA|、|OP|、|OB|成等比数列，则点P的轨迹方程为y2=2px．。

2015-2016学年广东省汕头市金山中学高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2﹣2x+4≤0，则¬p为（）A．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0B．C．∀x∉R，x2﹣2x+4≤0D．2．（5分）设f（x）=xe x的导函数为f′（x），则f′（1）的值为（）A．e B．e+1C．2e D．e+23．（5分）已知条件p：x2﹣3x+2＜0；条件q：|x﹣2|＜1，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（）A．B．C．D．5．（5分）如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t（分）的函数关系表示的图象只可能是（）A．B．C．D．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4D．3π+47．（5分）已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆内过点（﹣3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．10B．20C．30D．408．（5分）已知f（x）=x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，3]B．（1，3）C．（﹣∞，3）D．[3，+∞）9．（5分）若直线l：mx+ny=4和圆O：x2+y2=4没有交点，则过点（m，n）的直线与椭圆的交点个数为（）A．0个B．至多有一个C．1个D．2个10．（5分）如图所示，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线l′点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（）A．y2=9x B．y2=6x C．y2=3x D．11．（5分）如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，以下四个命题：①点H是△A1BD的垂心；②AH垂直平面CB1D1③直线AH和BB1所成角为45°；④AH的延长线经过点C1其中假命题的个数为（）A．0B．1C．2D．312．（5分）已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d（b、a、d为常数）的极大值为f（x1）、极小值为f（x2），且x1∈（0，1），x2∈（1，2），则的取值范围是（）A．B．C．D．（5，25）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知直线ax﹣by﹣2=0与曲线y=x2在点P（1，1）处的切线互相垂直，则为．14．（5分）若函数f（x）=x3+x2+ax+1既有极大值也有极小值，则实数a的取值范围是．15．（5分）已知点F是椭圆的右焦点，点B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且，则椭圆C的离心率为．16．（5分）命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0，对一切x∈R恒成立；命题q：函数f（x）=（3﹣2a）x在R上是增函数．若p或q为真，p且q为假，则实数a的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（14分）已知锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2bsinA．（1）求B的大小；（2）若a2+c2=7，三角形ABC的面积为1，求b的值．18．（14分）已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），且在x=﹣2取得极值．（1）求实数a，b的值；（2）若函数f（x）在区间（m，m+1）上单调递增，求m的取值范围．19．（14分）如图，AB是圆O的直径，C是圆O上除A、B外的一点，DC⊥平面ABC，四边形CBED为矩形，CD=1，AB=4．（1）求证：ED⊥平面ACD；（2）当三棱锥E﹣ADC体积取最大值时，求此刻点C到平面ADE的距离．20．（14分）已知函数f（x）=x2﹣lnx．（1）求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调递减区间：（3）设函数g（x）=f（x）﹣x2+ax，a＞0，若x∈（O，e]时，g（x）的最小值是3，求实数a的值．（e为自然对数的底数）21．（14分）如图，已知椭圆C：+y2=1（a＞1）的左、右顶点为A，B，离心率为，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：x=﹣分别交于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）若A为线段MS的中点，求△SAB的面积；（3）求线段MN长度的最小值．2015-2016学年广东省汕头市金山中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2﹣2x+4≤0，则¬p为（）A．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0B．C．∀x∉R，x2﹣2x+4≤0D．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x∈R，x2﹣2x+4≤0，则¬p为：．故选：B．2．（5分）设f（x）=xe x的导函数为f′（x），则f′（1）的值为（）A．e B．e+1C．2e D．e+2【解答】解：f′（x）=e x+xe x，f′（1）=e+e=2e．故选：C．3．（5分）已知条件p：x2﹣3x+2＜0；条件q：|x﹣2|＜1，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：条件p：x2﹣3x+2＜0，解得1＜x＜2；条件q：|x﹣2|＜1，∴﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3．则p是q成立的充分不必要条件．故选：A．4．（5分）已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，∴a2+b2=25，=1，∴b=，a=2∴双曲线的方程为．故选：A．5．（5分）如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t（分）的函数关系表示的图象只可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取t时，漏斗中液面下落的高度不会达到漏斗高度的，对比四个选项的图象可得结果．故选：A．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4D．3π+4【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2，故该几何体的表面积S=2×π+（2+π）×2=3π+4，故选：D．7．（5分）已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆内过点（﹣3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．10B．20C．30D．40【解答】解：圆x2+y2﹣6x﹣8y=0的圆心O（3，4），半径r==5，点（3，5）和（3，4）两点间的距离d==1＜5，∴点（3，5）在圆内，∴最长弦AC为圆的直径．设AC与BD的交点为M（3，5），∵BD为最短弦∴AC与BD相垂直，垂足为M，所以OM=d=1，∴BD=2BM=2=4，∵S=S△ABD+S△BDC=×BD×MA+×BD×MC四边形ABCD=×BD×（MA+MC）=×BD×AC=×4×10=20．∴S四边形ABCD故选：B．8．（5分）已知f（x）=x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，3]B．（1，3）C．（﹣∞，3）D．[3，+∞）【解答】解：∵a＞0，函数f（x）=x3﹣ax，∴f′（x）=3x2﹣a．由题意可得当x≥1时，f′（x）=3x2﹣a≥0，即a≤3x2．而3x2在[1，+∞）上的最小值等于3，故有a≤3．故选：A．9．（5分）若直线l：mx+ny=4和圆O：x2+y2=4没有交点，则过点（m，n）的直线与椭圆的交点个数为（）A．0个B．至多有一个C．1个D．2个【解答】解：由题意可得：＞2，即m2+n2＜4，∴点P（m，n）是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点，∵椭圆的长半轴3，短半轴为2，∴圆m2+n2=4内切于椭圆，∴点P是椭圆内的点，∴过点P（m，n）的一条直线与椭圆的公共点数为2，故选：D．10．（5分）如图所示，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线l′点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（）A．y2=9x B．y2=6x C．y2=3x D．【解答】解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，在直角三角形ACE中，∵|AE|=3，|AC|=3+3a，∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6，从而得a=1，∵BD∥FG，∴=求得p=，因此抛物线方程为y2=3x．故选：C．11．（5分）如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，以下四个命题：①点H是△A1BD的垂心；②AH垂直平面CB1D1③直线AH和BB1所成角为45°；④AH的延长线经过点C1其中假命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：∵AB=AA1=AD，BA1=BD=A1D，∴三棱锥A﹣BA1D为正三棱锥，∴点H是△A1BD的垂心，故①正确；∵平面A1BD与平面B1CD1平行，AH⊥平面A1BD，∴AH垂直平面CB1D1，∴②正确；∵AA1∥BB1，∴∠A1AH就是直线AH和BB1所成角，在直角三角形AHA1中，∵AA1=1，A1H==，∴sin∠A1AH=，∴③错误，根据正方体的对称性得到AH的延长线经过C1，∴④正确；故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d（b、a、d为常数）的极大值为f（x1）、极小值为f（x2），且x1∈（0，1），x2∈（1，2），则的取值范围是（）A．B．C．D．（5，25）【解答】解：∵f（x）=x3+bx2+cx+d，∴f′（x）=3x2+2bx+c，又∵f（x）在x=x1时取得极大值且x1∈（0，1），在x=x2时取得极小值且x2∈（1，2），∴x1、x2是方程3x2+2bx+c=0的两个根，∴；作平面区域如下，（b+）2+（c﹣3）2的几何意义是阴影内的点与点B（﹣，3）的距离，点B到直线3+2b+c=0的距离的平方为=5，由解得，E（﹣，6）；故|BE|2=（﹣+）2+（6﹣3）2=25；故（b+）2+（c﹣3）2的取值范围是（5，25）；故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知直线ax﹣by﹣2=0与曲线y=x2在点P（1，1）处的切线互相垂直，则为﹣．【解答】解：设曲线y=x2在点P（1，1）处的切线斜率为k，则k=f′（1）=2因为直线ax﹣by﹣2=0与曲线y=x2在点P（1，1）处的切线互相垂直故两直线的斜率乘积为﹣1，即2×=﹣1所以=﹣故答案为：﹣14．（5分）若函数f（x）=x3+x2+ax+1既有极大值也有极小值，则实数a的取值范围是（﹣∞，）．【解答】解：求导函数：f′（x）=3x2+2x+a，∵函数f（x）既有极大值又有极小值，∴△=4﹣12a＞0，∴a＜，故答案为：（﹣∞，）．15．（5分）已知点F是椭圆的右焦点，点B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且，则椭圆C的离心率为．【解答】解：如图，BF==a，作DD1⊥y轴于点D1，则由=2，得：==，所以，||=||=c，即x D=c，由椭圆的第二定义得||=e（﹣c）=a﹣，又由||=2||，得a=2（a﹣），a2=3c2，解得e==，故答案为：．16．（5分）命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0，对一切x∈R恒成立；命题q：函数f（x）=（3﹣2a）x在R上是增函数．若p或q为真，p且q为假，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[1，2）．【解答】解：关于x的不等式x2+2ax+4＞0，对一切x∈R恒成立，则△=4a2﹣16＜0，即a2＜4，解得﹣2＜a＜2；命题q为真命题，则3﹣2a＞1⇒a＜1，根据复合命题真值表知：若p或q为真，p且q为假，则命题p、q一真一假，当p真q假时，，则1≤a＜2；当p假q真时，，则a≤﹣2，∴实数a的取值范围是a≤﹣2或1≤a＜2，故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[1，2）三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（14分）已知锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2bsinA．（1）求B的大小；（2）若a2+c2=7，三角形ABC的面积为1，求b的值．【解答】解：（1）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，（2分）又sinA＞0，所以，（3分）再由△ABC为锐角三角形得．（5分）（2）由于△ABC的面积为1，可得（6分）又，∴ac=4．（8分）再由余弦定理得a2+c2﹣2accosB=b2 ，（9分）又，，（11分）∴．（12分）18．（14分）已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），且在x=﹣2取得极值．（1）求实数a，b的值；（2）若函数f（x）在区间（m，m+1）上单调递增，求m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），∴a+b=4 ①式f′（x）=3ax2+2bx，则f′（﹣2）=0，即﹣6a+2b=0 ②式由①②式解得a=1，b=3；（2）f（x）=x3+3x2，f′（x）=3x2+6x，令f'（x）=3x2+6x≥0得x≥0或x≤﹣2，∵函数f（x）在区间（m，m+1）上单调递增∴（m，m+1）⊆（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）∴m≥0或m+1≤﹣2∴m≥0或m≤﹣3．19．（14分）如图，AB是圆O的直径，C是圆O上除A、B外的一点，DC⊥平面ABC，四边形CBED为矩形，CD=1，AB=4．（1）求证：ED⊥平面ACD；（2）当三棱锥E﹣ADC体积取最大值时，求此刻点C到平面ADE的距离．【解答】解：（1）证明：∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，又DC⊥平面ABC，BC⊂平面ACD，∴DC⊥BC，又AC∩DC=D，AC⊂平面ACD，DC⊂平面ACD，∴BC⊥平面ACD；又四边形CBED为矩形，∴BC∥ED，∴ED⊥平面ACD；（2）解：由（1）知，V三棱锥C﹣ADE=V三棱锥E﹣ACD=S△ACD•DE=••AC•CD•DE=•AC•BC≤•（AC2+BC2）=•AB2=×42=，当且仅当AC=BC=2时等号成立；∴当AC=BC=2时，三棱锥C﹣ADE的体积最大，为；此时，AD==3，S△ADE=•AD•DE=3，设点C到平面ADE的距离为h，则V三棱锥C﹣ADE=S△ADE•h=；∴h=÷（×3）=．20．（14分）已知函数f（x）=x2﹣lnx．（1）求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调递减区间：（3）设函数g（x）=f（x）﹣x2+ax，a＞0，若x∈（O，e]时，g（x）的最小值是3，求实数a的值．（e为自然对数的底数）【解答】解：（1）∵f（x）=x2﹣lnx∴f′（x）=2x ﹣．∴f'（1）=1．又∵f（1）=1，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=x﹣1．即x﹣y=0．（2）因为函数f（x）=2x2﹣lnx的定义域为（0，+∞），由f′（x）=2x ﹣＜0，得0＜x ＜．所以函数f（x）=x2﹣lnx的单调递减区间是（0，）．（3）∵g（x）=ax﹣lnx，∴g′（x）=，令g′（x）=0，得x=，①当≥e时，即0＜a ≤时，g′（x）=≤0在（0，e]上恒成立，则g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，a=（舍去），②当0＜＜e时，即a ＞时，列表如下：，）由表知，g（x）min=g（）=1+lna=3，a=e2，满足条件．综上，所求实数a=e2，使得当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．21．（14分）如图，已知椭圆C：+y2=1（a＞1）的左、右顶点为A，B，离心率为，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：x=﹣分别交于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）若A为线段MS的中点，求△SAB的面积；（3）求线段MN长度的最小值．【解答】（本小题满分14分）解：（1）∵椭圆的离心率为，∴，…（1分）∴，…（2分）∴a2=4，∴椭圆C的方程为．…（3分）（2）由（1）知A（﹣2，0），B（2，0），设S（x0，y0），∵A为线段MS的中点，∴，…（4分）∴，∴，…（5分）∴△SAB的面积为：．…（7分）（3）设直线AS的斜率为k（k＞0），则…（8分）由，消得y得x2+4[k（x+2）]2=4，即（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0，…（9分）∴，∴，…（10分）将x S代入y=k（x+2），得，即，∴，∴直线BS的方程为：，…（11分）∴，∴…（12分）=，…（13分）当且仅当即k=1时等号成立，∴|MN|的最小值为．…（14分）。

广东省汕头市金山中学2015-2016学年高二数学上学期10月月考试题（扫描版）参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12C CD B D D C B A C A A填空题：13. 6π 14.(3√13)/13 15. 6 16. 错误!未找到引用源。

解答题：17. （Ⅰ）错误!未找到引用源。

由错误!未找到引用源。

得错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

的递增区间为错误!未找到引用源。

；由错误!未找到引用源。

得错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

的递增区间为错误!未找到引用源。

.（Ⅱ）在锐角错误!未找到引用源。

中，错误!未找到引用源。

,错误!未找到引用源。

,而错误!未找到引用源。

由余弦定理可得错误!未找到引用源。

，当且仅当错误!未找到引用源。

时等号成立，即错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，故错误!未找到引用源。

面积的最大值为错误!未找到引用源。

18. O是垂心证明：∵PC⊥平面APBAB∈平面APB∴AB⊥PC∵PC⊥ABPO⊥AB根据三垂线定理∴CO⊥AB同理BC⊥AO,AC⊥BO∴O是三角形ABC的垂心19.【考点】直线的一般式方程．【专题】直线与圆．【分析】（1）设C（m，n），利用点与直线的位置关系、相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出；（2）利用中点坐标公式、点斜式即可得出．【解答】解：（1）设C（m，n），∵AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．∴，解得．∴C（4，3）．（2）设B（a，b），则，解得．∴B（﹣1，﹣3）．∴k BC==∴直线BC的方程为y﹣3=（x﹣4），化为6x﹣5y﹣9=0．【点评】本题考查了点与直线的位置关系、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、点斜式，考查了计算能力，属于基础题．20. （Ⅰ）设数列错误!未找到引用源。

的公差为错误!未找到引用源。

，依条件有错误!未找到引用源。

2015-2016学年广东省汕头市金山中学高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|x＜﹣1或x＞4}，那么集合A∩（∁U B）等于（）A．[﹣1，3]B．{x|x≤3或x≥4}C．[﹣2，﹣1）D．[﹣2，4）2．（5分）若z＝（i表示虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知变量x，y的取值如表所示：如果y与x线性相关，且线性回归方程为，则的值为（）A．1B．C．D．4．（5分）用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（）A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个偶数5．（5分）双曲线﹣＝1的渐近线与圆x2+（y﹣2）2＝1相切，则双曲线离心率为（）A．B．C．2D．36．（5分）设条件p：|x﹣2|＜3，条件q：0＜x＜a，其中a为正常数，若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是（）A．（0，5]B．（0，5）C．[5，+∞）D．（5，+∞）7．（5分）函数y＝sin（x+）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到图象C1，再把图象C1向右平移个单位，得到图象C2，则图象C2对应的函数表达式为（）A．y＝sin2x B．y＝sin（x+）C．y＝sin x D．y＝sin（x+）8．（5分）阅读如图所示的程序框图，若输出的S是126，则①处应填（）A．n≤5B．n≤6C．n≥7D．n≤89．（5分）对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…，仿此，若m3的“分裂数”中有一个是59，则m的值为（）A．6B．7C．8D．910．（5分）在△ABC中，若|+|＝|﹣|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC边的三等分点，则•＝（）A．B．C．D．11．（5分）已知抛物线C的方程为y2＝2px（p＞0），一条长度为4p的线段AB的两个端点A、B在抛物线C上运动，则线段AB的中点D到抛物线C的准线的距离的最小值为（）A．p B．2p C．p D．3p12．（5分）已知函数f（x）＝2ax3﹣3ax2+1，g（x）＝﹣，若对任意给定的m∈[0，2]，关于x的方程f（x）＝g（m）在区间[0，2]上总存在两个不同的解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．[﹣1，1]二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若复数（a2﹣3a+2）+（a﹣1）i是纯虚数，则实数a＝．14．（5分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．15．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a cos B+b cos A）＝2c sin C，a+b＝4，则△ABC的面积的最大值为．16．（5分）已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，动点Q在C上，圆Q的半径为1，过点F 的直线与圆Q切于点P，则的最小值为．三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设f（）＝，α∈（，），求sin（2α+）的值．18．（12分）已知等比数列{a n}满足：a1＝，a1，a2，a3﹣成等差数列，公比q∈（0，1）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝2na n，求数列{b n}的前n项和S n．19．（12分）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4将△CBD沿BD 折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD．（I）求证：AB⊥DE（Ⅱ）求三棱锥E﹣ABD的侧面积．20．（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，，求证：λ1+λ2＝﹣10．21．（12分）设函数f（x）＝lnx+，m∈R．（Ⅰ）当m＝e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）＝f′（x）﹣零点的个数；（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．请考生从第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-1：平面几何证明选讲]22．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB为直径的⊙O交AC于D，过点D作⊙O 的切线交BC于E，AE交⊙O于点F．（1）证明：EB＝EC；（2）证明：AD•AC＝AE•AF．[选修4—4：极坐标与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）＝3，射线OM：θ＝与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）＝|x+1|+|x﹣a|．（1）当a＝2时，解不等式：f（x）≥5；（2）若存在x0∈R，使得f（x0）＜2，试求实数a的取值范围．2015-2016学年广东省汕头市金山中学高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：∵U＝R，B＝{x|x＜﹣1或x＞4}，∴∁U B＝{x|﹣1≤x≤4}，∵A＝{x|﹣2≤x≤3}，∴A∩（∁U B）＝{x|﹣1≤x≤3}＝[﹣1，3]．故选：A．2．【解答】解：＝．所以复数Z对应的点为，位于第四象限．故选：D．3．【解答】解：根据所给的三对数据，得到＝＝5，＝＝7，∴这组数据的样本中心点是（5，7）∵线性回归直线的方程一定过样本中心点，∴7＝5+2，∴＝1．故选：A．4．【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”．即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选：B．5．【解答】解：∵双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线为bx±ay＝0，依题意，直线bx±ay＝0与圆x2+（y﹣2）2＝1相切，设圆心（0，2）到直线bx±ay＝0的距离为d，则d＝＝＝1，∴双曲线离心率e＝＝2．故选：C．6．【解答】解：由|x﹣2|＜3，得﹣3＜x﹣2＜3，即﹣1＜x＜5，即p：﹣1＜x＜5，∵q：0＜x＜a，a为正常数∴要使若p是q的必要不充分条件，则0＜a≤5，故选：A．7．【解答】解：函数y＝sin（x+）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y＝sin（x+）的图象C1，再把图象C1向右平移个单位，得到y＝sin[（x﹣）+]的图象C2，则图象C2对应的函数表达式为y＝sin（x+）．故选：D．8．【解答】解：第一次循环，s＝0+21＝2，n＝1+1＝2，进入下一次循环；第二次循环，s＝2+22＝6，n＝2+1＝3，进入下一次循环；第三次循环，s＝6+23＝14，n＝3+1＝4，进入下一次循环；第四次循环，s＝14+24＝30，n＝4+1＝5，进入下一次循环；第五次循环，s＝30+25＝62，n＝5+1＝6，进入下一次循环；第六次循环，s＝62+26＝126，n＝6+1＝7，循环结束，即判断框中的条件不成立了，所以框中的条件应该是n≤6，故选：B．9．【解答】解：由题意，从23到m3，正好用去从3开始的连续奇数共2+3+4+…+m＝个，59是从3开始的第29个奇数当m＝7时，从23到73，用去从3开始的连续奇数共＝27个当m＝8时，从23到83，用去从3开始的连续奇数共＝35个故m＝8故选：C．10．【解答】解：若|+|＝|﹣|，则＝，即有＝0，E，F为BC边的三等分点，则＝（+）•（+）＝（）•（）＝（+）•（+）＝++＝×（1+4）+0＝．故选：B．11．【解答】解：由题意可得抛物线的准线l：x＝﹣分别过A，B，M作AC⊥l，BD⊥l，MH⊥l，垂足分别为C，D，H在直角梯形ABDC中，MH＝，由抛物线的定义可知AC＝AF，BD＝BF（F为抛物线的焦点）MH＝≥＝2p，即AB的中点M到抛物线的准线的最小距离为2p，故选：B．12．【解答】解f′（x）＝6ax2﹣6ax＝6ax（x﹣1）．①当a＝0时，f（x）＝1，g（x）＝，显然不可能满足题意；②当a＞0时，当a＜0时，f'（x）＝6ax2﹣6ax＝6ax（x﹣1）．又因为当a＞0时，g（x）＝﹣上是减函数，对任意x∈[0，2]，g（x）∈[﹣+，]不合题意；②当a＜0时，f'（x）＝6ax2﹣6ax＝6ax（x﹣1）．又∵当a＜0时，g（x）＝﹣x+在[0，2]上是增函数，∴对任意x∈[0，2]，g（x）∈[，﹣+]，由题意，必有g（x）max＜f（x）max，∴﹣+＜1﹣a，解得a＜﹣1故a的取值范围为（﹣∞，﹣1）．故选：A．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．【解答】解：∵复数（a2﹣3a+2）+（a﹣1）i是纯虚数，所以即得a＝2故答案为：214．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是1，，侧棱与底面垂直，侧棱长是∴几何体的体积是＝1故答案为：1．15．【解答】解：∵（a cos B+b cos A）＝2c sin C，∴（sin A cos B+sin B cos A）＝2sin2C，即sin（A+B）＝2sin2C，∴sin C＝2sin2C，且sin C＞0，∴sin C＝，∵a+b＝4，可得：4≥2，解得：ab≤4，（当且仅当a＝b＝2成立），∴S△ABC＝ab sin C≤＝，（当且仅当a＝b＝2成立），故答案为：．16．【解答】解：如图，；由抛物线的定义知：为点Q到准线的距离，易知，抛物线的顶点到准线的距离最短，；∴；即的最小值为3．故答案为：3．三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．【解答】解：（1）由图可得A＝1，且T＝4（﹣），从而ω＝2．再根据五点法作图可得2•+φ＝π，求得φ＝，∴f（x）＝sin（2x+）．（2）由（1）可知f（）＝sin（）＝，α∈（，），∴α+∈（，π），cos（）＝﹣＝﹣，∴sin（2α+）＝sin2（α+）＝2sin（）cos（）＝2••（﹣）＝﹣．18．【解答】解：（1）设等比数列{a n}公比为q，∵，成等差数列，∴，即，整理得4q2﹣8q+3＝0，解得或．又∵q∈（0，1），∴，∴．（2）根据题意得b n＝2na n＝，，①，②②﹣①得：＝＝＝．19．【解答】解：（I）证明：在△ABD中，∵AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°∴∴AB2+BD2＝AD2，∴AB⊥DB，又∵平面EBD⊥平面ABD平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面EBD，∵DE⊂平面EBD，∴AB⊥DE．（Ⅱ）解：由（I）知AB⊥BD，CD∥AB，∴CD⊥BD，从而DE⊥DB 在Rt△DBE中，∵，DE＝DC＝AB＝2∴又∵AB⊥平面EBD，BE⊂平面EBD，∴AB⊥BE，∵BE＝BC＝AD＝4，∴，∵DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD∴ED⊥平面ABD而AD⊂平面ABD，∴ED⊥AD，∴综上，三棱锥E﹣ABD的侧面积，20．【解答】解：（1）解：设椭圆C的方程为（a＞b＞0），抛物线方程化为x2＝4y，其焦点为（0，1）则椭圆C的一个顶点为（0，1），即b＝1由，∴a2＝5，所以椭圆C的标准方程为（2）证明：易求出椭圆C的右焦点F（2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0），显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k（x﹣2），代入方程并整理，得（1+5k2）x2﹣20k2x+20k2﹣5＝0∴，又，，，，，而，，即（x1﹣0，y1﹣y0）＝λ1（2﹣x1，﹣y1），（x2﹣0，y2﹣y0）＝λ2（2﹣x2，﹣y2）∴，，所以21．【解答】解：（Ⅰ）当m＝e时，f（x）＝lnx+，∴f′（x）＝；∴当x∈（0，e）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，e）上是减函数；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（e，+∞）上是增函数；∴x＝e时，f（x）取得极小值为f（e）＝lne+＝2；（Ⅱ）∵函数g（x）＝f′（x）﹣＝﹣﹣（x＞0），令g（x）＝0，得m＝﹣x3+x（x＞0）；设φ（x）＝﹣x3+x（x＞0），∴φ′（x）＝﹣x2+1＝﹣（x﹣1）（x+1）；当x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，1）上是增函数，当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上是减函数；∴x＝1是φ（x）的极值点，且是极大值点，∴x＝1是φ（x）的最大值点，∴φ（x）的最大值为φ（1）＝；又φ（0）＝0，结合y＝φ（x）的图象，如图；可知：①当m＞时，函数g（x）无零点；②当m＝时，函数g（x）有且只有一个零点；③当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点；④当m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；综上，当m＞时，函数g（x）无零点；当m＝或m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点；（Ⅲ）对任意b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；设h（x）＝f（x）﹣x＝lnx+﹣x（x＞0），则h（b）＜h（a）．∴h（x）在（0，+∞）上单调递减；∵h′（x）＝﹣﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，∴m≥﹣x2+x＝﹣+（x＞0），∴m≥；对于m＝，h′（x）＝0仅在x＝时成立；∴m的取值范围是[，+∞）．请考生从第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-1：平面几何证明选讲]22．【解答】证明：（1）连接BD，如图所示，∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AC，又∵∠ABC＝90°，∴CB切⊙O于点B，且ED且⊙O于点E，∴EB＝ED，∴∠EBD＝∠EDB，∠CDE+∠EDB＝90°＝∠EBD+∠C，∴∠CDE＝∠C，∴ED＝EC，∴EB＝EC；（2）证明：∵AB＝2OD，∴AB2＝4OD2，连接BF，∵AB是⊙O的直径，∴BF⊥AE，∴△ABE∽△AFB，∴，∴AB2＝AE•AF，同理可得，AB2＝AD•AC，∴AB2＝AD•AC＝AE•AF，即AD•AC＝AE•AF．[选修4—4：极坐标与参数方程]23．【解答】解：（I）利用cos2φ+sin2φ＝1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2＝1，∴ρ2﹣2ρcosθ＝0，即ρ＝2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1＝θ2，∴|PQ|＝|ρ1﹣ρ2|＝2．∴|PQ|＝2．[选修4-5：不等式选讲]24．【解答】解：（Ⅰ）|x+1|+|x﹣2|≥5，x≤﹣1时，﹣x﹣1﹣x+2≥5，解得：x≤﹣2，﹣1＜x＜2时，x+1﹣x+2≥5，无解，x∈∅，x＞2时，x+1+x﹣2＞5，解得：x＞3，∴x∈{x|x≤﹣2或x≥3}；（Ⅱ）∵|x+1|+|x﹣a|＞|（x+1）﹣（x﹣a）|＝|a+1|，若存在x0∈R，使得f（x0）＜2，只需f（x）的最小值|a+1|＜2即可，由|a+1|＜2，得﹣2＜a+1＜2，∴﹣3＜a＜1．。

广东省汕头市金山中学2014-2015学年高二上学期第二次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣3x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x≤2}，则A∩B=（）A．[﹣2，﹣1] B．[﹣1，﹣1] C．[﹣1，2）D．[1，2）2．（5分）若p：∀x∈R，sin x≤1，则（）A．¬p：∃x0∈R，sin x0＞1 B．¬p：∀x∈R，sin x＞1C．¬p：∃x0∈R，sin x0≥1D．¬p：∀x∈R，sin x≥13．（5分）已知向量=（x，1），=（3，6），∥，则实数x的值为（）A．B．﹣2 C．2 D．﹣4．（5分）“x，y∈R，x2+y2=0”是“xy=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f （﹣1）=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．36．（5分）已知直线m、l与平面α、β、γ满足β∩γ=l，l∥α，m⊂α，m⊥γ，则下列命题一定正确的是（）A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ7．（5分）等差数列{a n}中，a1=1，a2=3，数列{}的前n项和为，则n的值为（）A．15 B．16 C．17 D．188．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则ω的值是（）A．4 B．2 C．D．9．（5分）如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2+（y+2）2=1上，那么|PQ|的最大值为（）A．5 B．+1 C．2+1 D．﹣110．（5分）若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为（）A．±2B．C．D．11．（5分）如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（）A．3 B．2 C．D．12．（5分）已知函数f（x）=e x﹣mx的图象为曲线C，若曲线C不存在与直线垂直的切线，则实数m的取值范围是（）A．B．C．m≤2D．m＞2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数y=的定义域为．14．（5分）抛物线y=2x2的焦点坐标是．15．（5分）如图，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为．16．（5分）定义方程f（x）=f'（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，如果函数g（x）=x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=cosx（）的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是．三、解答题17．（10分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．（Ⅰ）求cos（A+B）的值；（Ⅱ）设，求△ABC的面积．18．（12分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在 [50，60），[90，100]的数据）．（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，求所抽取的2名同学来自不同组的概率．19．（12分）已知函数f（x）=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1，x∈R，其中t∈R．（1）当t=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）当t≠0时，求f（x）的单调区间．20．（12分）如图，E为矩形ABCD所在平面外一点，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，AC∩BD=G．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求三棱锥C﹣BGF的体积．21．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，3S n+1是6与2S n的等差中项（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在正整数k，使不等式k（﹣1）n a n2＜S n（n∈N*）恒成立，若存在，求出k的最大值；若不存在，请说明理由．22．（12分）如图，椭圆的离心率为，直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD的面积为8．（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；（Ⅱ）设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T．求的最大值及取得最大值时m的值．广东省汕头市金山中学2014-2015学年高二上学期第二次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣3x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x≤2}，则A∩B=（）A．[﹣2，﹣1] B．[﹣1，﹣1] C．[﹣1，2）D．[1，2）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：先求出不等式x2﹣2x﹣3≥0的解集，即求出集合A，再由交集的运算求出求出A∩B．解答：解：由x2﹣2x﹣3≥0得，x≤﹣1或x≥3，则A={x|x≤﹣1或x≥3}，又B={x|﹣2≤x≤2}，则A∩B={x|﹣2≤x≤﹣1}=[﹣2，﹣1]，故选：A．点评：本题考查了交集及其运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题．2．（5分）若p：∀x∈R，sin x≤1，则（）A．¬p：∃x0∈R，sin x0＞1 B．¬p：∀x∈R，sin x＞1C．¬p：∃x0∈R，sin x0≥1D．¬p：∀x∈R，sin x≥1考点：全称命题；命题的否定．专题：规律型．分析：根据全称命题的否定为特称命题，分别对量词和命题的结论分别进行否定即可求解解答：解：根据全称命题的否定为特称命题可知，∀x∈R，sin x≤1的否定为：∃x∈R，sin x＞1故选A点评：本题主要考查了全称命题的否定，属于基础试题3．（5分）已知向量=（x，1），=（3，6），∥，则实数x的值为（）A．B．﹣2 C．2 D．﹣考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据平面内两个向量平行的充要条件，得存在非零实数μ，使=μ．由此建立关系式并解之，可得实数x的值．解答：解：∵向量=（x，1），=（3，6），∥，∴存在非零实数μ，使=μ，得，解之得x=故答案为：A点评：本题给出两个向量互相平行，求未知数x的值，着重考查了平面向量共线（平行）的充要条件及其表示式的知识，属于基础题．4．（5分）“x，y∈R，x2+y2=0”是“xy=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：由x2+y2=0得x=y=0，则xy=0成立，若x=1，y=0，满足xy=0，但x2+y2=0不成立，故“x，y∈R，x2+y2=0”是“xy=0”的充分不必要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．5．（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f （﹣1）=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3考点：奇函数．专题：函数的性质及应用．分析：首先由奇函数性质f（0）=0求出f（x）的解析式，然后利用定义f（﹣x）=﹣f（x）求f（﹣1）的值．解答：解：因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（0）=20+2×0+b=0，解得b=﹣1，所以当x≥0时，f（x）=2x+2x﹣1，又因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（21+2×1﹣1）=﹣3，故选A．点评：本题考查奇函数的定义f（﹣x）=﹣f（x）与基本性质f（0）=0（函数有意义时）．6．（5分）已知直线m、l与平面α、β、γ满足β∩γ=l，l∥α，m⊂α，m⊥γ，则下列命题一定正确的是（）A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ考点：平面的基本性质及推论．专题：计算题．分析：由m⊂α，m⊥γ，知α⊥γ，由β∩γ=l，知l⊂γ，故l⊥m．解答：解：∵m⊂α，m⊥γ，∴α⊥γ，∵β∩γ=l，∴l⊂γ，∴l⊥m，故A一定正确．故选A．点评：本题考查平面的基本性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．7．（5分）等差数列{a n}中，a1=1，a2=3，数列{}的前n项和为，则n的值为（）A．15 B．16 C．17 D．18考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：求出数列的通项公式，利用裂项法求法数列的和，求出n即可．解答：解：等差数列{a n}中，a1=1，a2=3，d=2，a n=2n﹣1，数列==．数列{}的前n项和为，∴==，解得n=15．故选：A．点评：本题考查等差数列通项公式的求法，数列求和的方法，考查计算能力．8．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则ω的值是（）A．4 B．2 C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由图象可得T==，从而可解得T的值，由周期公式即可求得ω的值．解答：解：由图象可得T==．故可解得：T=π．故有：ω===2．故选：B．点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，属于基础题．9．（5分）如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2+（y+2）2=1上，那么|PQ|的最大值为（）A．5 B．+1 C．2+1 D．﹣1考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式度对应的平面区域，利用点和圆的位置关系即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：则A（0，2），圆心D（0，2），∴由图象可知当P位于A，Q在E（0，﹣3）处，|PQ|的距离最大，最大为2﹣（﹣3）=5．故选：A点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合，以及点与圆的位置关系，结合距离公式是解决本题的关键．10．（5分）若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为（）A．±2B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线的离心率为，可得，解得即可．解答：解：∵双曲线的离心率为，∴，解得．∴其渐近线的斜率为．故选：B．点评：本题考查了双曲线的标准方程及其性质，属于基础题．11．（5分）如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（）A．3 B．2 C．D．考点：圆锥曲线的共同特征．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据M，N是双曲线的两顶点，M，O，N将椭圆长轴四等分，可得椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍，利用双曲线与椭圆有公共焦点，即可求得双曲线与椭圆的离心率的比值．解答：解：∵M，N是双曲线的两顶点，M，O，N将椭圆长轴四等分∴椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍∵双曲线与椭圆有公共焦点，∴双曲线与椭圆的离心率的比值是2故选B．点评：本题考查椭圆、双曲线的几何性质，解题的关键是确定椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍．12．（5分）已知函数f（x）=e x﹣mx的图象为曲线C，若曲线C不存在与直线垂直的切线，则实数m的取值范围是（）A．B．C．m≤2D．m＞2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：由曲线C：f（x）=e x﹣mx，知f′（x）=e x﹣m，由曲线C不存在与直线垂直的切线，知m≠2+e x＞2，由此能求出结果．解答：解：∵曲线C：f（x）=e x﹣mx，∴f′（x）=e x﹣m，∵曲线C不存在与直线垂直的切线，∴f′（x）=e x﹣m≠﹣2，∴m≠2+e x＞2，观察题设中的四个选项，C最符合，故选C．点评：本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数y=的定义域为{x|0＜x＜1}．考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：函数y=的定义域为{x|}，由此能求出结果．解答：解：函数y=的定义域为：{x|}，解得{x|0＜x＜1}．故答案为：{x|0＜x＜1}．点评：本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．14．（5分）抛物线y=2x2的焦点坐标是（0，）．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：先将方程化成标准形式，即，求出 p=，即可得到焦点坐标．解答：解：抛物线y=2x2的方程即 x2=y，∴p=，故焦点坐标为（0，），故答案为：（0，）．点评：本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，把抛物线y=2x2的方程化为标准形式，是解题的突破口．15．（5分）如图，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知原几何体是一个如图所示平行六面体，据此即可计算出体积．解答：解：由三视图可知：原几何体是一个平行六面体，如图所示，底面是一个边长为3的正方形，平行六面体的高，∴V平行六面体==．故答案为点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．16．（5分）定义方程f（x）=f'（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，如果函数g （x）=x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=cosx（）的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是γ＞α＞β．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：新定义．分析：分别对g（x），h（x），φ（x）求导，令g′（x）=g（x），h′（x）=h（x），φ′（x）=φ（x），则它们的根分别为α，β，γ，即α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，然后分别讨论β、γ的取值范围即可．解答：解：∵g′（x）=1，h′（x）=，φ′（x）=﹣sinx，由题意得：α=1，ln（β+1）=，cosγ=﹣sinγ，①∵ln（β+1）=，∴（β+1）β+1=e，当β≥1时，β+1≥2，∴β+1≤＜2，∴β＜1，这与β≥1矛盾，∴0＜β＜1；②∵cosγ=﹣sinγ，∴γ＞1．∴γ＞α＞β．故答案为：γ＞α＞β．点评：函数、导数、不等式密不可分，此题就是一个典型的代表，其中对对数方程和三次方程根的范围的讨论是一个难点．三、解答题17．（10分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．（Ⅰ）求cos（A+B）的值；（Ⅱ）设，求△ABC的面积．考点：解三角形；两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由A，B，C分别为三角形的内角，及cosA与cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA和sinB的值，然后利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A+B），将各自的值代入即可求出值；（Ⅱ）由cos（A+B）的值，利用特殊角的三角函数值求出A+B的度数，进而求出C的度数，得出sinC的值，再由a，sinA及sinB的值，利用正弦定理求出b的长，由a，b及sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．解答：（本小题共13分）解：（Ⅰ）∵A，B，C为△ABC的内角，且cosA=，cosB=，∴sinA==，sinB==，…（4分）∴cos（A+B）=cosAcosB﹣sinAsinB=×﹣×=；…（7分）（Ⅱ）由（I）知，A+B=45°，∴C=135°，即sinC=，…（8分）又a=，∴由正弦定理=得：b===，…（11分）∴S△ABC=absinC=×××=．…（13分）点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：同角三角函数间的基本关系，两角和与差的余弦函数公式，正弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．18．（12分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，求所抽取的2名同学来自不同组的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图；茎叶图；等可能事件的概率．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图的性质求得样本容量n和频率分布直方图中x、y的值．（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）有5人，分别记为a，b，c，d，e，分数在[90，100）有2人，分别记为F，G，用列举法求得所有的抽法有21种，而满足条件的抽法有10种，由此求得所求事件的概率．解答：解析：（Ⅰ）由题意可知，样本容量，，x=0.1﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.04=0.030．（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）有5人，分别记为a，b，c，d，e，分数在[90，100）有2人，分别记为F，G．从竞赛成绩是8（0分）以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有如下种情形：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，F），（a，G），（b，c），（b，d），（b，e），（b，F），（b，G），（c，d），（c，e），（c，F），（c，G），（d，e），（d，F），（d，G），（e，F），（e，G），（F，G），共有21个基本事件；其中符合“抽取的2名同学来自不同组”的基本事件有（a，F），（a，G），（b，F），（b，G），（c，F），（c，G），（d，F），（d，G），（e，F），（e，G），共10个，所以抽取的2名同学来自不同组的概率．（12分）点评：本题主要考查等可能事件的概率，频率分布直方图的应用，属于中档题．19．（12分）已知函数f（x）=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1，x∈R，其中t∈R．（1）当t=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）当t≠0时，求f（x）的单调区间．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：（1）当t=1时，求出函数f（x），利用导数的几何意义求出x=0处的切线的斜率，利用点斜式求出切线方程；（2）根据f'（0）=0，解得x=﹣t或x=，讨论t的正负，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0求出单调区间即可．解答：解：（1））当t=1时，f（x）=4x3+3x2﹣6x，f（0）=0，f'（x）=12x2+6x﹣6（2分）f'（0）=﹣6．所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=﹣6x．（4分）（2）解：f'（x）=12x2+6tx﹣6t2，令f'（x）=0，解得x=﹣t或．（5分）因为t≠0，以下分两种情况讨论：（i）若t＜0，则t＜0，则，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣t，+∞）f'（x）+ ﹣+f（x）↑↓↑所以，f（x）的单调递增区间是的单调递减区间是．（8分）（ii）若，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，t）f'（x）+ ﹣+f（x）↑↓↑所以，f（x）的单调递增区间是的单调递减区间是．（12分）点评：本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数零点、解不等式等基础知识，考查了计算能力和分类讨论的思想．20．（12分）如图，E为矩形ABCD所在平面外一点，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，AC∩BD=G．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求三棱锥C﹣BGF的体积．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：证明题．分析：（1）通过AD⊥平面ABE，得到AE⊥BC，证明AE⊥BF．然后证明AE⊥平面BCE；（2）得G是AC的中点，连FG，推出CE⊥BF．通过F是EC的中点，然后证明FG⊥平面BCF 求出S△CFB．然后求出体积．解答：解：（1）证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC．∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC．…（3分）又∵BF⊥平面ACE，则AE⊥BF．…（5分）又BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE．…（7分）（2）由题意，得G是AC的中点，连FG，∵BF⊥平面ACE，则CE⊥BF．而BC=BE，∴F是EC的中点…（9分）∴AE∥FG，且．而AE⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCF．…（11分）∴．∴．∴．…（13分）点评：本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查计算能力．21．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，3S n+1是6与2S n的等差中项（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在正整数k，使不等式k（﹣1）n a n2＜S n（n∈N*）恒成立，若存在，求出k的最大值；若不存在，请说明理由．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知条件推导出，从而得到对n≥2都成立，由此能求出数列{a n}的通项公式．（2），n∈N*恒成立，令，则等价于2kt2+t﹣3＜0恒成立，由此能求出存在符合要求的正整数k，且其最大值为11．解答：解：（1）因为3S n+1是6与2S n的等差中项，所以6+2S n+6S n﹣1（n∈N*），即，（n∈N*）当n≥2时有．得，即对n≥2都成立，又，即，所以，所以．（n∈N*）．（2）存在正整数k，使不等式k（﹣1）n a n2＜S n（n∈N*）恒成立，等价于，n∈N*恒成立，当n为奇数时，对任意正整数k，不等式恒成立；当n为偶数时，等价于恒成立，令，则等价于2kt2+t﹣3＜0恒成立，因为k为正整数，故只须，解得0＜k＜12，k∈N*，所以存在符合要求的正整数k，且其最大值为11．点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．22．（12分）如图，椭圆的离心率为，直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD的面积为8．（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；（Ⅱ）设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T．求的最大值及取得最大值时m的值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）通过椭圆的离心率，矩形的面积公式，直接求出a，b，然后求椭圆M的标准方程；（Ⅱ）通过，利用韦达定理求出|PQ|的表达式，通过判别式推出的m的范围，①当时，求出取得最大值．利用由对称性，推出，取得最大值．③当﹣1≤m≤1时，取得最大值．求的最大值及取得最大值时m的值．解答：解：（I）…①矩形ABCD面积为8，即2a•2b=8…②由①②解得：a=2，b=1，∴椭圆M的标准方程是．（II），由△=64m2﹣20（4m2﹣4）＞0得．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，．当l过A点时，m=1，当l过C点时，m=﹣1．①当时，有，，其中t=m+3，由此知当，即时，取得最大值．②由对称性，可知若，则当时，取得最大值．③当﹣1≤m≤1时，，，由此知，当m=0时，取得最大值．综上可知，当或m=0时，取得最大值．点评：本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题，考查分类讨论思想，转化思想，韦达定理以及判别式的应用，设而不求的解题方法，考查分析问题解决问题，计算能力．。

高二文科数学期末考试试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集R ，M={}R x x x ∈≤,1，N={}4,3,2,1，则N M C R⋂)(等于 ( )A ．{}4B ．{}4,3C ．{}4,3,2D ．{}4,3,2,1 2．x x f 2sin 21)(=是（ ）A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数 3. 如果命题“p 且q ”是假命题，“q ⌝”也是假命题，则( ) A ．命题“⌝p 或q ”是假命题 B ．命题“p 或q ”是假命题 C ．命题“⌝p 且q ”是真命题D ．命题“p 且q ⌝”是真命题4．用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（ ） A.B.C.D.5. 以抛物线24y x =的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（ ） A. 22(1)1x y ++= B.22(1)1x y -+= C.2211()24x y ++= D. 2211()24x y -+=6．如图，四棱锥ABCD P -的底面是︒=∠60BAD 的菱形，且PC PA =，PD PB =， 则该四棱锥的主视图（主视方向与平面PAC 垂直）可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．设R a ∈，则1>a 是11<a 的 ( )A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件CABD P．设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，真命题为（ ）A ．若与所成角相等，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则9．如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍，那么这个椭圆的离心率为（ ）A ．45 B. 23 C.22D.2110．已知函数1()ln f x x x =-，正实数a 、b 、c 满足()0()()f c f a f b <<<，若实数d 是函数()f x 的一个零点，那么下列四个判断：①a d <；②b d >；③c d <；④c d >．其中可能成立的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411.曲线x x y 23+-=在横坐标为1-的点处的切线为l ，则点（3,2）到l 的距离是（ ） A ．227 B ．229 C ．2211 D ．1010912．如图所示，,,A B C 是圆O 上的三个点，CO 的延长线与线段AB 交于圆内一点D ,若OB y OA x OC +=，则 （ ）A ．01x y <+<B ．1x y +>C ．1x y +<-D ．10x y -<+<二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知3=x 是函数x x x a x f 10ln )(2-+=的一个极值点，则实数a ＝________. 14．在ABC ∆中, o60=∠A ，2=AB ，且ABC ∆的面积为2，则BC 的长为15. 等差数列{}n a 中，已知458a a +=，则=8S .16. 设实数,x y 满足不等式组110y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩, 则2yx +的取值范围是________.三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17．（本小题满分10分）某公司欲招聘员工，从1000名报名者中筛选200名参加笔试，按笔试成绩择优取50名面试，再从面试对象中聘用20名员工． （1）随机调查了24名笔试者的成绩如下表所示：分数段 [60，65) [65，70) [70，75) [75，80) [80，85) [85，90) 人数126951请你预测面试的切线分数（即进入面试的最低分数）大约是多少？（2）公司从聘用的四男a 、b 、c 、d 和二女e 、f 中选派两人参加某项培训，则选派结果为一男一女的概率是多少？18．(本小题满分12分)已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示.(1) 求函数()f x 的解析式；(2) 若4(),0253f απα=<<，求cos α的值.19．（本题满分12分）如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠=o，2===CA BC PB ，E 为PC 的中点，点F 在PA 上，且FA PF =2.（1）求证：BE ⊥平面PAC ； （2）求点E 到平面PBF 的距离.20. （本小题满分12分）设函数()()210x f x x x +=>，数列{}n a 满足11=a ，11()n n a f a -=，()*,2n N n ∈≥且。

广东省汕头市金山中学2015-2016学年高二10月月考数学试题一、选择题（12个小题，每题5分，共60分） 1、若直线l 的倾斜角为120︒，则直线的斜率是（ ）A.B.C. D. 【答案】C 【解析】试题分析：直线的斜率tan120k ==-故C 正确. 考点：倾斜角的定义.2、已知平面α和直线l ，则α内至少有一条直线与l ( ) A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．异面 【答案】C考点：1线面位置关系;2线线位置关系.【易错点晴】本题主要考查的是线面位置关系与线线位置关系,属容易题.本题在分析问题时应先讨论直线l 与平面α的位置关系再得直线l 与平面α内直线的位置关系,容易忽略直线异面时也有垂直的可能而错选.3、已知直线1l 经过不同两点(3,)A a 、(2,3)B a -，直线2l 经过不同两点(3,)A a 、(6,5)C ，且12l l ⊥，则实数a 的值是（ ）A. 0B. 5C. 5-D. 0或5 【答案】D【解析】试题分析：(1)当直线1l 的斜率不存在时23a -=,解得5a =.此时()()3,5,6,5A C ,直线2l 的斜率为0,满考点：直线垂直.【易错点晴】本题主要考查的是直线垂直问题,属容易题.本题易错点在于只考虑两直线垂直斜率相乘等于1-,而忽视一条直线斜率不存在另一条直线斜率为0时两直线也垂直. 4、甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则56是（ ） A ．乙胜的概率 B ．乙不输的概率 C ．甲胜的概率 D ．甲不输的概率 【答案】B 【解析】试题分析：乙不输的概率为115236+=,故B 正确. 考点：互斥事件至少有一个发生的概率.【方法点晴】本题主要考查的是互斥事件至少有一个发生的概率,难度一般. ,A B 为互斥事件时, ,A B 至少有一个发生的概率公式为()()()P AB P A P B =+.5、入射光线l 从P （2，1）出发，经x 轴反射后，通过点Q （4，3）,则入射光线l 所在直线的方程为（ ） A ． 0y = B ． 1(5)2y x =+ C ．25y x =+ D ． 25y x =-+ 【答案】D 【解析】试题分析：点()4,3Q 关于x 轴的对称点为()'4,3Q -,由对称性可知()'4,3Q -也在直线l 上,所以直线l 的斜率()13224k --==--,又因为直线l 过点()2,1P ,所以直线l 方程为()122y x -=--,即25y x =-+.故D 正确. 考点：直线方程.6、设D 为ABC ∆所在平面内一点，CD BC 3=，则 ( )A. 1433AD AC AB =-+uuu r uuur uu u r B. 1433AD AB AC =-uuu r uu u r uuu rC. 4133AD AB AC =+uuu r uu u r uuu rD. 4133AD AC AB=-uuu r uuu r uu u r【答案】D考点：平面向量的加减法.7、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数12,x x ，不等式()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+恒成立，则不等式()10f x -<的解集为（ ）A ．)0,(-∞B ．()+∞,0C ．)1,(-∞D ．()+∞,1 【答案】C 【解析】试题分析：()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+恒成立等价于()()()()12120x x f x f x --<恒成立,由单调性的定义可知函数()f x 在R 上单调递减. 因为数()f x 在R 上为奇函数,所以()00f =,()10f x ∴-<即()()10f x f -<.10x ∴->,解得1x <.故C 正确.考点：1函数的奇偶性;2单调性的定义.【思路点晴】本题主要考查的是函数的奇偶性和单调性的定义,难度中等.应已知条件()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+变形,由单调性的定义判断函数()f x 在R 上的单调性.在利用单调性解不等式()10f x -<时应将0转化为函数值.关键在于奇函数的图像关于原点对称,所以0在定义域内时必有()00f =.8、如图，在侧棱与底面边长均相等的正四棱锥P -ABCD 中，点E 是PC 的中点，则下列结论正确的是（ ）A 、BE ∥平面P AD ，且BE 到平面P AD ；B 、BE 与平面P AD 不平行，且BE 与平面P AD 所成角小于30°；C 、BE ∥平面P AD ，且BE 到平面P AD ； D 、BE 与平面P AD 不平行，且BE 与平面P AD 所成角大于30°. 【答案】Bsin3θ∴==1sin 2θ=<, 030θ∴<<. 故B 正确.考点：1线面平行;2线面角. 9、如果直线12:220,:840l x y l x y -+=--=与x 轴正半轴,y 轴正半轴围成的四边形封闭区域（含边界）中的点,使函数()0,0z abx y a b =+>>的最大值为8, 求a b +的最小值（ ）A 、4B 、3C 、2D 、0 【答案】A考点：1线性规划;2基本不等式.【方法点晴】本题主要考查的是线性规划，基本不等式,属于中档题．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误．10、ABC ∆中三边上的高依次为111,,13511，则ABC ∆为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不存在这样的三角形 【答案】C考点：余弦定理.【思路点晴】根据三角形面积相等由高可得三边长之比,根据余弦定理可判断角的大小,从而可判断三角形形状.11、下列各图是正方体，A，B，C，D分别是所在棱的中点，这四个点中共面的图有（）A、①②③B、①③④C、①③D、①②④【答案】A【解析】AD BC相交,则四点共面;试题分析：①中易证得AD BC,则四点共面; ②中易证得,B C D在其中一个侧面内,而A在垂直于该③中易证得AB DC,则四点共面; ④中显然,,侧面的一条棱上,则四点不共面.故A正确.考点：证明多点共面.12、下面四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB//平面MNP的图形是（）A ．①②；B ．①④；C ．②③；D ．③④ 【答案】A考点：线面平行.二、填空题（4个小题，每题5分，共20分）13、在长方体1111111,ABCD A B C D AB BC A C -==中，过、、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体111ABCD AC D -，且这个几何体的体积为53．则长方体外接球的表面积是 ．【答案】6π 【解析】试题分析：该几何体的体积111151111323V AA AA ⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭,解得12AA =.=,所以该长方体外接球的半径r=,则该球的表面积为246ππ⨯=⎝⎭.考点：长方体的外接球.【方法点睛】本题主要考查的是长方体的外接球问题,属容易题.长方体的外接球的球心在长方体的体对角线的交点处,且长方体的体对角线即为其外接球的直径.14、如图1-3，四棱锥P -ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，若AP＝1，AD＝3，三棱锥P -ABD的体积V＝34，则A到平面PBC的距离是．考点：1点到面的距离;2棱锥的体积.15、已知正三棱锥V－ABC的正视图和俯视图如右上图所示，则该正三棱锥侧视图的面积是 ．【答案】6考点：三视图.【思路点睛】本题主要考查的是三视图,难度中等.正三棱锥顶点在底面上的射影即为底面正三角形的中心也为其重心.重心分中线的比为2:1,从而可得AO 的值,既而可得棱锥的高.即可求侧视图面积. 16、如图为函数2()1xf x x =+的部分图像，ABCD 是矩形，A 、B 在图像上，将此矩形（AB 边在第一象限）绕x 轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为 .【答案】4π 【解析】考点：1用导数求极值;2二次函数求最值. 三、解答题（5个小题，每题14分，共70分） 17、设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.【答案】（Ⅰ）函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦； 单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦;. 【解析】试题分析：（Ⅰ）将已知函数解析式用二倍角公式化简可得()1sin 22f x x =-,将整体角2x 分别代入正弦函数的单调增区间和单调减区间内,求得x 的范围即为所求. （Ⅱ）由02A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可得sin A 的值,从而可得cos A .由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-,由基本不等式可得bc 的范围,从而可得三角形面积的最大值.试题解析：解：（Ⅰ）由题意知()1cos 2sin 2222x x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=- sin 21sin 21sin 2222x x x -=-=- 4分 由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 可得,44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 可得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦8分考点：1正弦函数的单调性;2余弦定理;3基本不等式.18、如图，三棱锥-P ABC 的三条侧棱两两垂直，即：PA PB ⊥、PB PC ⊥、PC PA ⊥，且PO ⊥平面ABC 并交平面ABC 于点O ，请问点O 是ABC ∆的什么心（内心、外心、垂心、重心、中心等）？ 并证明你的结论.【答案】垂心.=，故有BC⊥平面PAE11分由①②及PA PO P⊥12分AE⊂平面PAE，故BC AE⊥同理：AB CF∆的垂心14分因而点O是ABC考点：1线线垂直;2线面垂直.【方法点晴】本题主要考查的是线面垂直,属于中档题．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是线面垂直得线线垂直、直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线．19、已知的顶点(5,1)A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为250x y --= ，AC 边上的高BH 所在直线方程为250x y --= . (1)求顶点C 的坐标； (2)求直线BC 的一般方程.【答案】(1) (4,3)C ;(2) 390x y --=.考点：1直线垂直;2直线的方程.20、已知数列{}n a 是各项均为正数的等差数列，其中11a =，且2462a a a +、、成等比数列；数列{}n b 的前n 项和为n S ，满足21n n S b +=． （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）如果n n n c a b =，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：14n n T S <+． 【答案】（1）n a n =,13n nb =;（2）详见解析. （2）由（1）知，3n n n nn c a b ==， 所以2311111233333n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯ ① 23411111112333333n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯ ② 得3311323144323443n n n n n n T +=-⨯-⨯=-⨯．又11(1)1133122313n n n S -==-⨯-．所以121114434n n nnT S+-=-⨯<，所以14n nT S<+．14分考点：1等差数列的通项公式;2等比数列的定义,通项公式;3错位相减法求和.21、如图①正方形ABCD沿着对角线BD对折，并使平面ABD⊥平面CBD，从而构成如图②三棱锥A BCD-，点E、F分别是线段BC、DA的中点. 请在图②的三棱锥中解答如下问题：（1）求二面角A BC D--的正切值；（2）求异面直线DE与CF所成角的余弦值.【答案】（1（2）6.设2AB =，因此112CE CB ==DE ===在（1）中，O A OC ==，且O A OC ⊥，故2AC ===，2AC CD AD ===因此CF ===，12PE CF ==在PFD ∆中，112FD AD ==，1122PF BF DE ===cos cos AF PFD PFA BF ∠=-∠=-= 故：2222cos PD PF FD PF FD PFD =+-⋅⋅∠2213121(4=+-⋅=222cos 2DE PE PD PED DE PE +-∠==⋅⋅ 14分 考点：1二面角;2异面直线所成的角.。

广东省汕头市金山中学2015—2016学年高二上学期期末考试数学（理)试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．1．已知条件()2:log 11p x -<;条件:21q x -<，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既充分不又不必要条件 2．设()ln f x x x =的导数为()f x '，若()2f a '=，则a 等于（ ） A ．2e B ．e C ．ln 22D ．ln 23．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱1111,2ABC A B C CA CCCB -==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（ )A ．55B ．53C ．255D ．354．已知双曲线221x y -=的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在双曲线上，且1260F PF∠=︒，则12PF PF ⋅=（ ）A ．2B ．4C ．6D ．86．已知圆的方程22680xy x y +--=．设该圆过点()3,5P 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ,则四边形ABCD 的面积为（ ） A ．106B ．206C ．306D ．4067．设12F F 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，21F PF ∆是底角为30︒的等腰三角形，则E 的离心率为( ）A ．12B ．23C ．34D ．458．过抛物线24yx =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点,若3AF =；则AOB ∆的面积为（ ) A ．22B ．2C ．322D ．229．已知不等式组422x x x y y -≥-≥≤+⎧⎪⎨⎪⎩，表示的平面区域为D ,点()()0,0,1,0O A ．若点M 是D 上的动点，则OA O O M M⋅的最小值是（ ）A ．22B ．55C ．1010D ．3101010．某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的各个面中，最大的面积是（ ） A ．62B ．1C ．22D ．6411．定义在()(),00,-∞+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}(){},n n a f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”．现有定义在()(),00,-∞+∞上的如下函数：①()2f x x =；②()2xf x =；③()f x x=；④()ln f x x =．则其中是“保等比数列函数”的()f x 的个数为（ ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．312．下列4个命题()111:0,,23xxp x ⎛⎫⎛⎫∃∈+∞< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()21123:0,1,log log p x x x ∃∈>()3121:0,,log 2x p x x ⎛⎫∀∈+∞> ⎪⎝⎭41311:0,,log 32xp x x ⎛⎫⎛⎫∀∈< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中的真命题是（ ）A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p二、填空题（每空5，共计20分） 13．函数21ln 2y xx =-的单调减区间为______．14．若函数()()323321f x xax a x =++++有极大值也有极小值，则实数a 的取值范围是______．15．正三棱锥A BCD -的底面BCD ∆的边长为M是AD 的中点,且BM AC ⊥，则该棱锥外接球的表面积为______．16．已知两个非零平面向量a 、b 满足1b =，且a 与b a -的夹角为120︒，则a 的取值范围是______．三、解答题（共5小题，每题14分)17．已知函数()()2cos 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的最小正周期为π,直线24x π=-为它的图象的一条对称轴．(1)当55,2424x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域; （2)在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对应边,若32A f a ⎛⎫-== ⎪⎝⎭,求b c +的最大值．18．已知递增的等差数列{}na 中，2a 、5a 是方程212270xx -+=的两根，数列{}nb 的前n 项和为nS ,且()*112nn Sb n N =-∈．(1)求数列{}{},nna b 的通项公式；（2）记nn n ca b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ．求证：2n T <．19．如图，ABCD 是边长为3的正方形,DE ⊥平面,,3,ABCD AF DE DE AF BE =与平面ABCD 所成角为60︒．（1）求二面角F BE D --的余弦值；（2)使点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置,使得AM 平面BEF ,并证明你的结论．20．已知函数()1xa f x x e =-+（,a R e ∈为自然对数的底数）．（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线平行于x 轴，求a 的值; （2）求函数()f x 的极值．21．如图，已知圆()222:2G x y r -+=是椭圆22116x y +=的内接ABC ∆的内切圆，其中A 为椭圆的左顶点． （Ⅰ）求圆G 的半径r ；（Ⅱ)过点()0,1M 作圆G 的两条切线交椭圆于,E F 两点,证明:直线EF 于圆G 相切．。

2015-2016学年金山中学高二上学期期终考（2016年1月）数学（理）参考答案一、选择题：二、填空题13. 14.15. 16.三、解答题：17. 【考点】余弦定理；三角函数的周期性及其求法；余弦函数的单调性【专题】三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】（1）由f（x）的最小正周期为π，可求ω，由x=﹣为它的图象的一条对称轴．可得2×+φ=kπ，（0＜φ＜），解得φ，可得函数解析式，由2kπ﹣π≤2x+≤2kπ，解得f（x）的单调递增区间．（2）由已知可求cos（A﹣）=，结合范围＜A﹣＜，可求A，利用余弦定理及基本不等式可得：（b+c）2=9+3bc≤9+3（）2，解得b+c≤6，当且仅当b=c=3时取等号．【解答】解：（1）∵f（x）的最小正周期为π，∴ω=2，∵x=﹣为它的图象的一条对称轴．∴2×+φ=kπ，（0＜φ＜），∴φ=，∴f（x）=2cos（2x+），令2kπ﹣π≤2x+≤2kπ，解得：k≤x≤k，故函数f （x ）的单调递增区间为：，k ∈Z ， 求得单调递增区间后，可知：在55[,]2424x ππ∈-内， 当max min 5()2()02424x f x f x ππ=-==时，; x=时， 55[,]2424x ππ∴∈-当时，函数的值域为()[0,2]f x ∈ （2）∵f （﹣）=2cos （A ﹣）=， ∴cos （A ﹣）=，∵＜A ﹣＜，∴A ﹣=，∴A=， ∵a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=（b+c ）2﹣3bc ，∴（b+c ）2=9+3bc≤9+3（）2， ∴b+c≤6，当且仅当b=c=3时取等号，故b+c 的最大值为6．【点评】本题主要考查了余弦函数的图象和性质，考查了三角函数周期公式，余弦定理，基本不等式的应用，熟练掌握和灵活应用相关公式及定理是解题的关键，属于基本知识的考查．18.已知a 2，a 5是方程x 2﹣12x+27=0的两根，数列{a n }是公差为正的等差数列，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n =1﹣b n （n ∈N ）．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）记c n =a n b n ，若数列{c n }的前n 项和S n ，求证：S n ＜2．【考点】数列与不等式的综合；数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由韦达定理得a 2=3，a 5=9．由此利用等差数列的性质能求出a n =2n ﹣1；在T n =1﹣中，令n=1，得b 1=．当n≥2时，b n =﹣，由此能求出b n =． （2）由c n =a n b n =（2n ﹣1）•=，利用错位相减法能证明S n =2﹣＜2． 【解答】（1）解：∵a 2，a 5是方程x 2﹣12x+27=0的两根，数列{a n }是公差为正的等差数列， ∴，解得a 2=3，a 5=9．∴d==2，a1=1．∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．（n∈N*）．在T n=1﹣中，令n=1，得b1=．当n≥2时，T n=1﹣，T n﹣1=1﹣，两式相减得b n=﹣．∴=，n≥2．∴b n==．（n∈N*）．（2）证明：c n=a n b n=（2n﹣1）•=，∴S n=2（），①=2（）．②①﹣②得=2=2=2（）=．∴S n=2﹣＜2．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．19. 如图，如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成的角为60°．（Ⅰ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）以D为坐标原点，DA，DC，DE方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，由已知中M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．根据AM∥平面BEF，则直线AM的方向向量与平面BEF法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程，解方程，即可确定M点的位置．（Ⅱ）分别求出平面BEF和平面BDE的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角F﹣BE﹣D的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，所以=．由AD=3，可知DE=3，AF=．则A（3，0，0），F（3，0，），E（0，0，3），B（3，3，0），C（0，3，0），所以=（0，﹣3，），=（3，0，﹣2）．设平面BEF的法向量为n=（x，y，z），则，令z=，则=（4，2，）．点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则=（t﹣3，t，0）．因为AM∥平面BEF，所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．此时，点M坐标为（2，2，0），即当BM时，AM∥平面BEF．（Ⅱ）因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，=（3，﹣3，0）．所以cos＜，＞==．因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．【点评】本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，空间中直线与平面垂直的判定，向量法确定直线与平面的位置关系．20．已知函数f（x）=x﹣1+（a∈R，e为自然对数的底数）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；（2）求函数f（x）的极值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值【专题】导数的综合应用．【分析】（1）依题意，f′（1）=0，从而可求得a的值；（2）求出导数，对a讨论，分a≤0，a＞0，求出单调区间，判断极值．【解答】解：（1）由f（x）=x﹣1+，得f′（x）=1﹣，又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，∴f′（1）=0，即1﹣=0，解得a=e．（2）导数f′（x）=1﹣，①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）是R上的增函数，无极值；②当a＞0时，e x＞a时即x＞lna，f′（x）＞0；e x＜a，即x＜lna，f′（x）＜0，故x=lna为f（x）的极小值点，且极小值为lna﹣1+1=lna，无极大值．综上，a≤0时，f（x）无极值；a＞0时，f（x）有极小值lna，无极大值．【点评】本题主要考查导数在函数中的综合应用，求切线方程和求极值，同时考查分类讨论的思想方法，属于中档题．21．如图，已知圆G：（x﹣2）2+y2=r2是椭圆的内接△ABC的内切圆，其中A为椭圆的左顶点，（1）求圆G的半径r；（2）过点M（0，1）作圆G的两条切线交椭圆于E，F两点，证明：直线EF与圆G相切．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；综合题；压轴题．【分析】（1）可取BC⊥X轴时来研究，则可设B（2+r，y0），过圆心G作GD⊥AB于D，BC交长轴于H由即，再由点B（2+r，y0）在椭圆上，建立关于r的方程求解．（2）设过点M（0，1）与圆相切的直线方程为：y﹣1=kx，由圆心到直线的距离等于半径求，与椭圆方程联立，表示出E，F和坐标，从而得到EF所在的直线的方程，再探讨圆心到直线的距离和半径的关系．【解答】解：（1）设B（2+r，y0），过圆心G作GD⊥AB于D，BC交长轴于H由得，即（1）而点B（2+r，y0）在椭圆上，（2）由（1）、（2）式得15r2+8r﹣12=0，解得或（舍去）（2）设过点M（0，1）与圆相切的直线方程为：y﹣1=kx（3）则，即32k2+36k+5=0（4）解得将（3）代入得（16k2+1）x2+32kx=0，则异于零的解为设F（x1，k1x1+1），E（x2，k2x2+1），则则直线FE的斜率为：于是直线FE的方程为：即则圆心（2，0）到直线FE的距离故结论成立．【点评】本题主要是通过圆和椭圆来考查直线和圆，直线和椭圆的位置关系．。

2015-2016学年广东省汕头市金山中学高二上学期12月月考文科数学试卷 命题人：本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、抛物线x y 42=的准线方程为（ ）A ．1=xB ．1-=xC ．2=xD ．2-=x 2．椭圆221y x m +=的焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ） A ．14 B ．12C ．2D ．4 3、下列命题中正确的是（ ）A ．若q p ∨为真命题，则q p ∧为真命题B ．“5=x ”是“0542=--x x ”的充分不必要条件C ．命题“若1-<x ，则0322>--x x ”的否定为：“若1-≥x ，则0322≤--x x ”D ．已知命题p ：01,2<-+∈∃x x R x ，则p ⌝：01,2≥-+∈∃x x R x4、若、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列结论正确的是A ．//,,l n αβαβ⊂⊂⇒//l nB ．,l αβα⊥⊂⇒l β⊥C ．,l n m n ⊥⊥⇒//l mD ．,//l l αβ⊥⇒βα⊥5、1:<-m x p ，0128:2<+-x x q ，且q 是p 的必要不充分条件，则m 的取值范围是 A ．35m << B ．35m ≤≤ C ．53m m ><或 D ．53m m ≥≤或6、已知正四棱柱1111D C B A ABCD -中，AB AA 21=,E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所成角的余弦值为（ ） A.1010 B.51 C. 10103 D. 537、对任意的实数k ，直线1+=kx y 与圆222x y +=的位置关系一定是A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心8．已知椭圆1121622=+y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，M 是椭圆上一点，N 是1MF 的中点，若1=ON ，则1MF 的长等于（ ）A.2B.4C.6D.59、已知斜率为1=k 的直线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>交于B A ,两点，若B A ,的中点为)3,1(M ，则双曲线的渐近线方程为( ) A. 03=±y x B.03=±y x C. 02=±y x D. 02=±y x 10、已知点P 是抛物线x y 22=上的一个动点，则点P 到点D ），（323,2的距离与点P 到该y 轴的距离之和的最小值为（ ）A.2B. 25C. 3D. 27 11、如图，动点P 在正方体1111D C B A ABCD -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面D D BB 11的直线，与正方体表面相交于M ,N ．设x BP =，y MN =，则函数)(x f y =的图像大致是（ ）12、已知抛物线281x y =与双曲线)0(1222>=-a x ay 有共同的焦点F ，O 为坐标原点，P 在轴上方且在双曲线上，则FP OP ⋅的最小值为（ ）A ．323-B ．332-C ．47-D ．43第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13、过点)2,1(且与012=+-y x 平行的直线方程为14、已知点F ）（0,2是椭圆1322=+y kx 的一个焦点，则实数k 的值是15、双曲线1-2222=by a x )0,0(>>b a 的一条渐近线被圆M :015822=+-+y y x 截得的弦长为2，则双曲线的离心率为 _________16、已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3，2AB =， 60,1=∠=BAC AC ，则此球的表面积等于 _______________．三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17、已知{}n a 为等差数列，且84=a ,2073=+a a ．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）设11+=n n n a a b ,求数列}{n b 的前n 项和n S ．18、已知命题p ：方程012=+-mx x 无实数解；命题q ：椭圆122=+y m x 焦点在x 轴上；若“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，求实数m 的取值范围．19、已知顶点在原点，焦点F 在x 轴上的抛物线过点A ）（6,9 （1）求抛物线方程（2）M 是该抛物线异于A 的一点，且M 在第一象限，满足FM FA ⊥，延长AM 交x 轴于点B ，求MFB ∆的面积20、如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD=1，AB=3，点E 为PD 的中点，点F 在棱DC 上移动。