高中数学必修五基本不等式题型(精编)复习过程

寒假必修五复习二---不等式1、 不等式的性质：（1） 同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若，则（若，则），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；（2） 左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若，则（若，则）；（3） 左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若，则或；（4）若，，则；若，，则。

如（1）对于实数中，给出下列命题：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧，则。

其中正确的命题是______（答：；（2）已知，，则的取值范围是______（3）、已知函数,满足,,那么的取值范围是 .（3）已知，且则的取值范围是______不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；(8)图象法。

其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。

如（1）设，比较的大小2）设，，，试比较的大小（3）比较1+与的大小3. 利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”如（1）下列命题中正确的是A、的最小值是2B、的最小值是2C、的最大值是D、的最小值是（2）若，则的最小值是______（答：）；（3）正数满足，则的最小值为______（答：）；4. 常用不等式有：（1） (根据目标不等式左右的运算结构选用)（2） （2）a、b、c R，（当且仅当时，取等号）；（3） 若，则（糖水的浓度问题）。

如如果正数、满足，则的取值范围是_________5、证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。

).常用的放缩技巧有：如（1）已知，求证：；(2) 已知，求证：；（3）已知，且，求证：；(4) 若a、b、c是不全相等的正数，求证：；（5）若，求证：；(7) 已知，求证：；（8）求证：。

专题基本不等式【知识导图】【目标导航】1.记住基本不等式；2．会用基本不等式证明简单的不等式；3．会用基本不等式求代数式的最值.【重难点精讲】重点一、重要不等式当a、b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．重点二、基本不等式当a>0，b>0时有ab≤a＋b2，当且仅当a＝b时，等号成立．重点三、基本不等式与最值已知x、y都是正数．(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值．(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值．重点四、基本不等式与最值x ＋y ＝s (定和)⇒xy ≤s 24(当且仅当x ＝y 时取等号) xy ＝p (定积)⇒x ＋y ≥2p (当且仅当x ＝y 时取等号)【典题精练】考点1、利用基本不等式求函数的最值例1．函数1(2)2y x x x =+>-的最小值为__________． 【答案】4【解析】∵2x >，∴20x ->．∴111(2)22(2)24222y x x x x x x =+=-++≥-⨯+=--- ，当且仅当122x x -=-，即3x =时等号成立．∴函数1(2)2y x x x =+>-的最小值为4． 答案：4考点点睛：1.利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即(1)一正：符合基本不等式a ＋b 2≥ab 成立的前提条件，a >0，b >0； (2)二定：化不等式的一边为定值；(3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．以上三点缺一不可．2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分或配凑因式． 考点2、变形技巧：“1”的代换例2．【浙江省七彩联盟2018-2019学年第一学期高三11月期中】若正数a ，b 满足121a b +=，则2b a+的最小值为( )A ．42B ．82C ．8D ．9 【答案】D【解析】0a Q >，0b >，且121a b +=， 则2212252549b b a ab a a b ab ⎛⎫⎛⎫+=++=++=≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当22ab ab =即13a =，3b =时取等号． 故选D ．考点点睛：1.应用基本不等式求最值时，经常要对所给式子进行变形，配凑，变形的目标是能配凑出“和”或“积”为定值的条件．2．若条件式是ax ＋by ＝c (a ，b ，c 都是正常数)，常常进行常数代换(或乘除常数)．如x ＋y ＝1(x >0，y >0)求1x＋2y 的最值时，可以将1＝x ＋y,2＝2(x ＋y )代入，也可以变形1x ＋2y ＝(1x ＋2y )·1＝(1x ＋2y)·(xy )．两种方法本质相同，若已知条件为2x ＋y ＝3(x >0，y >0)，求3x ＋2y 的最值时，可利用3x ＋2y ＝13(3x ＋2y)(2x ＋y )变形． 3．求二元函数最值时，可以用代入消元法转化，但要注意根据被代换的变量的范围，对保留下的变量的范围加以限制．考点3、忽视等号成立的条件而致误例3．已知正数x 、y 满足x ＋2y ＝1，求1x ＋1y 的最小值．【答案】3＋2 2【解析】[错解]由1＝x ＋2y ≥22xy ，得1xy ≥22， ∴1x ＋1y ≥21xy ＝2xy ≥42，即1x ＋1y 的最小值为42． [辨析]两个等号不能同时取到，前一个不等式等号成立的条件是x ＝2y ＝12，后一个不等式等号则是当x ＝y 时成立．[正解]∵x 、y 为正数，且x ＋2y ＝1．∴1x ＋1y ＝(x ＋2y )(1x ＋1y )＝3＋2y x ＋x y ≥3＋22，当且仅当2y x ＝x y ，即当x ＝2－1，y ＝1－22时等号成立． ∴1x ＋1y 的最小值为3＋22．考点4、利用基本不等式比较数的大小例4．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m 、n 之间的大小关系是 ． 【答案】m >n 【解析】 ∵a >2，∴a －2>0.又∵m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2， ∴m ≥2a －2×1a －2＋2＝4，即m ∈[4，＋∞)． 由b ≠0，得b 2≠0，∴2－b 2<2，∴22－b 2<4，即n <4，∴n ∈(0,4)．综上易得m >n ．考点5、不等式的证明技巧—字母轮换不等式的证法例5．已知,,a b c 是全不相等的正实数，证明：3b c a a c b a b c a b c +-+-+-++>. 【答案】详见解析【解析】（方法一） ∵a,b,c 全不相等，∴,,b a c a c b a b a c b c 与与与全不相等 ∴b a a b +＞2，c a a c +＞2，c b b c+＞2 三式相加得，b c c a a b a a b b c c+++++＞6 ∴(1)(1)(1)b c c a a b a a b b c c+-++-++-＞3 即b c a a c b a b c a b c+-+-+-++＞3 （方法二）要证b c a a c b a b c a b c+-+-+-++＞3 只需证明111b c c a a b a a b b c c+-++-++-＞3 即证b c c a a b a a b b c c+++++＞6 而事实上，由a,b,c 是全不相等的正实数，∴b a a b +＞2，c a a c +＞2，c b b c+＞2 ∴b c c a a b a a b b c c+++++＞6 ∴b c a a c b a b c a b c+-+-+-++＞3得证考点点睛：证明不等式时，要注意观察分析其结构特征选取相应的证明方法．若不等式中字母具有轮换对称关系，则常常连用几个形式相同字母不同的不等式迭加获证．考点6、求参数的取值范围问题例6．【河南省开封市五县联考2019-2020学年高二上学期期末】已知0m >，0n >，141m n+=，若不等式22m n x x a +≥-++对已知的m ，n 及任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)8,+∞B ．[)3,+∞C ．(],3-∞D ．(],8-∞ 【答案】D【解析】∵()1445n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++⎪⎝⎭4529n m m n ≥+⨯=， 当且仅当4n m m n=时等号成立， ∴229x x a -++≤，即()222918a x x x ≤-+=-+，∴8a ≤.故选：D考点点睛：1.恒成立问题求参数的取值范围，常用“分离参数”转化为函数最值问题求解；2.解题思路来源于细致的观察，丰富的联想和充分的知识、技能的储备，要注意总结记忆．考点7、均值不等式在实际问题中的应用例7．如图，金砂公园有一块边长为2的等边ABC V 的边角地，现修成草坪，图中DE 把草坪分成面积相等的两部分，D 在AB 上，E 在AC 上.（Ⅰ）设AD x =，DE y =，求y 关于x 的函数关系式；（Ⅱ）如果DE 是灌溉水管，我们希望它最短，则DE 的位置应在哪里？请予以证明.【答案】（Ⅰ）2242(12)y x x x=+-≤≤；（Ⅱ）//DE BC ，且2DE =. 【解析】 （Ⅰ）在ADE V 中，222222cos60y x AE x AE x AE x AE =+-⋅⋅=+-⋅o ①， 又12ADE ABC S S =V V ，即11sin 6022sin 6024x AE ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅o o ，即2AE x=②， 将②代入①，得222222422y x x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭， 又2x ≤，若1x <，则22AE x=>不符合题意，所以1x ≥， 因此2242(12)y x x x =+-≤≤； （Ⅱ）如果DE 是水管， 因为2242422y x x =+-≥-=， 当且仅当224x x=，即2x =时“＝”成立， 故//DE BC ，且2DE =.。

一对一个性化辅导教案数学11-031 x‘ —4x >02 22 (x -1) (x -5x 6) ：： 022x x -12x 1-0 3A (1,2) u (3，址)B(710,畑)C. (1,2) u (710,畑)D (1,2)123x—5 >2x 2 2x -32(2x-1)2(x-7)3(3_2x)(x-4)6 . 0211 2x —1 > J x +12 x + 2 < .x 2-12小x _3 x24log 。

2）一02x 4 c2e , x ：： 2, log 3(x 2 -1),x —2,题型4:不等式恒成立问题1 2例1 ：若关于x 的不等式一^ x+2x>mx 的解集是｛x|0cxc2｝，则m 的值是 _______________________练习：一兀二次不等式 2ax bx 20的解集是 1 1(-一,—)，则a b 的值是(2 3 A . 10 B -10 C.14 D .-142log a 3 :: 10 ::: a2 <3D 0®|a 1f (x) =f(x) 2例2:已知不等式x^(a 1)x a ::: 0，(1) __________________________________________________ 若不等式的解集为(1,3)，则实数a 的值是______________________________________________________ 。

(2) ________________________________________________________ 若不等式在(1,3)上有解，则实数a的取值范围是________________________________________________ 。

(3)若不等式在(1,3)上恒成立，则实数a的取值范围是 _________________例3 :若一兀二次不等式ax2 -4x + a兰0的解集是R则a的取值范围是___________________ 。

高中数学必修五：基本不等式经典题型的解析
不等式在高考中是考得比较多的一个知识点，并且最后一道简答题肯定是与不等式有关的，但是除了最后一题，其它与不等式有关的题目，我们是务必要做对的，因为并没有那么难，因为你要上一个好的大学。

一、知识点：
二、题型解解题方法：
1、求最值：
1）凑项：
2）凑系数：
3）换元法：
4）凑系数法：当不能去等好号时，双钩函数的应用：
5）整体代换法：
6）基本公式的整体应用：
7）函数与不等式结合法：
8）平方法：
2、均值不等式的应用：
1）利用均值不等式证明不等式：
2）均值不等式与恒成立的问题：
3）均值不等式在比较大小中的应用：。

基本不等式知识点：1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）4.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注意：(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值例：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2（2）y ＝x ＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x 2≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧技巧一：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

高中数学《不等式》复习不 等 式 不等式的概念 不等关系 不等关系文字语言与符号语言的转换：大于、小于、不等于，不超过等 与不等式比较实数的大小 依据、比较方法 不等式不等式的性质：解证不等式问题的依据一元二次不等式：含有一个未知数，未知数的最高次数是2的不等式 一元二次 不等式及 其解法三个“二次”的关系：方程，函数，不等式 一元二次不等式的解法 三个二次之间的关系、含参数 求不等式的解集一元二次不等式问题 分式不等式及高次不等式的解法：转化法，穿根法二元一次 不等式 组 与简单的线性规划问题二元一次不等式 二元一次不等式 组 ：解集，几何意义 组 与平面区域平面区域：以线定界，以点定域简单的线性 相关概念：约束条件，目标函数，可行解，可行域，最优解规划问题解法 图解法 应用种类：效益最大，利润最大，耗材最少基本不等式及其应用基本不等式：常见的变形，重要不等式链 应用：最值问题，比较实数的大小，不等式的证明专题一 ⇨不等关系与不等式的性质 (1)不等式的性质是比较数的大小，求代数式的取值范围，证明不等式等的主要依据．尤 其注意“同向不等式”才可加，运用可乘性(乘除、乘方)时一定要注意符号． (2)比较数的大小是主要题型之一，常见方法有作差法、作商法、介值法(a>b，b>c⇒ a>c)， 注意解题过程中，配方、乘方、因式分解、配凑、放缩等技巧的运用． (3)证明不等式是常见题型，对于简单不等式的证明可直接由已知条件，利用不等式的 性质，通过对不等式变形得证． 对于不等式两边都比较复杂的式子，直接利用不等式的性质不易得证，可考虑将不等式 的两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式(式子)的符号，利用符号法则判断最 终的符号，完成证明． (4)求代数式的取值范围也是常见题型．解题时可借助性质、基本不等式、函数值域等 知识综合考虑，特别注意限制条件．例题 1 已知 a、b 为正实数，试比较 a ＋ b 与 a＋ b的大小． ba[分析] 利用作商法或作差法进行比较．[解析]ab 解法一：( ＋ )－(a＋b)baa ＝( －b)＋( b －a)＝a－b＋b－ababa＝ a－ba－ b ＝ aba＋ ba－ b 2ab∵a、b 为正实数，∴ a＋ b>0， ab>0，( a－ b)2≥0，∴ a＋ ba－b2≥0，当且仅当 a＝b 时，等号成立，abab ∴＋≥a＋b．baab＋bab 3＋ a 3解法二：＝a＋ b ab a＋ ba＋ b a＋b－ ab ＝ab a＋ b＝a＋b－ab ＝aba－ b 2＋ ab ＝1＋aba－ b 2 ≥1．ab当且仅当 a＝b 时，等号成立．ab 又∵ ＋ >0，a＋b>0，∴ a ＋ b ≥a＋b．baba『规律总结』 作差法是比较两式大小最常用的方法，作商法是必要的补充，无论是作差还是作商，都要进行合理地变形，以利于比较．专题二 ⇨一元二次不等式的应用(1)直接求解一元二次不等式常与集合运算相结合．(2)抓住三个二次之间的关系是解决一元二次不等式问题的关键．(3)含参数的一元二次不等与恒成立问题是常见题型，关键是等价转化与合理分类．构造函数法与判别式、根与系数的关系是常见思考方向．(4)高次不等式、分式不等式要等价转化． 例题 2 已知函数 y＝lg[(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1]的定义域是 R，求实数 a 的取值范围．[分析] 本题考查一元二次不等式与二次函数的关系，以及对数函数的性质．解题的关 键是由题意得出(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1>0 的解集是 R，从而转化为解决一元二次不等式问题．[解析] 由对数函数定义及题设条件，知(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1>0 的解集是 R． 当 a2－1＝0 时，a＝±1． 若 a＝1，则不等式(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1>0 可化简为 2x＋1>0，解得 x>－12，与已知矛 盾． 若 a＝－1，则不等式(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1>0 可化简为 1>0，此式恒成立，符合题意． 当 a2－1≠0 时，根据题意，有a2－1>0 Δ＝ a＋12－4a2－1<0，即a32a－2－1>20a－5>0a>1或a<－1 ，解得a>53或a<－1，即 a<－1，或 a>53．综上，a5 的取值范围是(－∞，－1]∪(3，＋∞)．『规律总结』 对有关复合函数的问题，我们往往采用“化复合函数为基本函数”的办法，使之一步步转化为我们熟知的题型．此题就是把一个复合函数求范围的问题转化为不等式恒成立的问题．专题三 ⇨简单的线性规划问题(1)求平面区域的面积通过“直线定界，特殊点定域”准确确定平面区域形状及分界点是解题关键，割补计算是主要方法．(2)线性规划问题求解方法是图解法．关键环节是：图形尽量准确，注意目标函数对应直线与图形边界线斜率大小关系，弄清所求最值与“目标函数”直线纵截距关系．(3)非线性目标函数最值，关键搞清“目标函数”表达式的几何意义．(4)整点问题，特别注意最优解不是边界点的找法．(5)含参数的问题．若约束条件中含有参数：此时可行域是可变的，应分情况作出可行域，结合条件求出不同情况下的参数值．若目标函数中含有参数：此时目标函数对应的直线是可变的，如果斜率一定，则对直线作平移变换；如果斜率可变，则要利用斜率与倾斜角间的大小关系分情况确定最优解的位置，从而求出参数的值．(6)实际应用问题，解答时关键是读懂题意，准确设出变量，抓住体现不等关系的词语列出不等式组与目标函数．确定最优解时，注意实际意义． x＋y≤4 例题 3 ：若变量 x、y 满足约束条件x－y≤23x－y≥0，则 3x＋y 的最大值是__10__．[解析] 首先根据题意所给的约束条件画出其表示的平面区域如下图所示，然后根据图 象可得：目标函数 z＝3x＋y 过点 B(3,1)时 z 取得最大值，即 zmax＝3×3＋1＝10，故应填 10．『规律总结』 求目标函数的最值一般采用图解法：①求二元一次函数 z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数 z＝ax＋by 转化为直线的斜截式：y＝－abx＋zb，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值．一般地，当b>0时，截距z b取最大值时，z 取最大值；截距zb取最小值时，z 也取最小值；当 b<0 时，截距zb取最大值时，z取最小值；截距zb取最小值时，z 取最大值.②目标函数 z＝ax＋by＋c 的最值的求解，可先求 ax＋by 的最值，再求 z＝ax＋by＋c的最值．专题四 ⇨基本不等式基本不等式的常见应用有：求最值、证明不等式、比较数的大小，解题关键是注意“一正、二定、三相等”的条件和合理变形、配凑、等价转化．例题 4 已知 x、y 都是正实数，且 x＋y－3xy＋5＝0，求 xy 的最小值．[分析] 合理变形，但应注意等号成立的条件．[解析] ∵x＋y－3xy＋5＝0∴3xy＝x＋y＋5≥2 xy＋5，∴3xy－2 xy－5≥0，∴( xy＋1)(3 xy－5)≥0，∴ xy≥53，即 xy≥295，等号成立的条件是 x＝y＝53， 故 xy 的最小值是295． 专题五 ⇨不等式与函数、方程的问题 例题 5 设 a∈R，关于 x 的一元二次方程 7x2－(a＋13)x＋a2－a－2＝0 有两个实根 x1、 x2，且 0<x1<1<x2<2，求 a 的取值范围． [分析] 令 f(x)＝7x2－(a＋13)x＋a2－a－2，它的图象是开口向上的抛物线，它在(0,1) 和(1,2)区间内与 x 轴相交，则有 f(0)>0，f(1)<0，f(2)>0，所以只需解关于 a 的不等式组f 0 >0 f 1 <0 f 2 >0，即可求得 a 的取值范围．[解析] 设 f(x)＝7x2－(a＋13)x＋a2－a－2，图象如图．∵x1、x2 是方程 f(x)＝0 的两个实根， 且 0<x1<1,1<x2<2．f 0 >0 ∴f 1 <0f 2 >0 a2－a－2>0 ⇒ 7－ a＋13 ＋a2－a－2<028－2 a＋13 ＋a2－a－2>0 a2－a－2>0 ⇒ a2－2a－8<0a2－3a>0 a<－1，或a>2 ⇒ －2<a<4a<0，或a>3⇒ －2<a<－1，或 3<a<4． ∴a 的取值范围是{a|－2<a<－1，或 3<a<4}． 『规律总结』 设一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)对应的二次函数为 f(x)＝ax2＋bx ＋c(a>0)．结合图象可得：Δ>0 (1)方程 f(x)＝0 在区间(－∞，k)内有两个不等的实根，则有 －2ba<k f k >0k 为常数，Δ＝b2－4ac，以下同)．(其中Δ>0 (2)方程 f(x)＝0 在区间(k，＋∞)内有两个不等的实根，则有 －2ba>k．f k >0(3)方程 f(x)＝0 有一根大于 k，另一根小于 k，则有 f(k)<0． (4)方程 f(x)＝0 在区间(k1，k2)内有且只有一根(不包括重根)，则有 f(k1)·f(k2)<0(k1、 k2 为常数，以下同)． (5) 方 程 f(x) ＝ 0 在 区 间 (k1 ， k2) 内 有 两 个 不 等 的 实 根 ， 则 有Δ>0k1<－2ba<k2．f k1 >0，且f k2 >0 Δ>0 (6)方程 f(x)＝0 在区间(k1，k2)外有两个不等的实根，则有f k1 <0 ．f k2 <0专题六 ⇨数学思想方法的应用 例题 6 解关于 x 的不等式 x2－ax－2a2<0(a∈R)． [分析] 先将不等式左边分解因式，然后对两根的大小比较，分类求解不等式． [解析] 原不等式转化为(x－2a)(x＋a)<0． 对应的一元二次方程的根为 x1＝2a，x2＝－a． (1)当 a>0 时，x1>x2， 不等式的解集为{x|－a<x<2a}； (2)当 a＝0 时，原不等式化为 x2<0，无解； (3)当 a<0 时，x1<x2， 不等式的解集为{x|2a<x<－a}． 综上所述，当 a>0 时，原不等式的解集为{x|－a<x<2a}， 当 a＝0 时，原不等式的解集为∅， 当 a<0 时，原不等式的解集为{x|2a<x<－a}． 『规律总结』 解含参数不等式需分类的情况：(1)二次项系数为字母且没有给出具体范围时，要分大于 0、等于 0、小于 0 三类讨论． (2)利用单调性解题时，抓住使单调性变化的参数值，进行讨论． (3)对应方程的根无法判断大小时，要分类讨论． (4)若判别式含参数，则在确定解的情况时需分Δ>0、Δ＝0、Δ<0 三种情况进行讨论． 例题 7 若不等式 x2＋ax＋3－a>0 对于满足－2≤x≤2 的一切实数 x 恒成立，求实数 a的取值范围． [分析] 因为(x－1)的符号不确定，所以参变量 a 不能分离，只好研究二次函数 y＝x2＋ax＋3－a． [解析] 设 f(x)＝x2＋ax＋3－a，其函数图象为开口向上的抛物线，要使得对于满足－2≤x≤2 的一切实数 x 恒有 f(x)>0，只需满足： (1)Δ＝a2－4(3－a)<0；Δ＝a2－4 3－af 2 ＝7＋a>0(2)－a2>2≥0Δ＝a2－4 3－a ≥0f －2 ＝7－3a>0，或－a2<－2，解(1)(2)得，当－7<a<2 时，不等式 x2＋ax＋3－a>0 对于满足－2≤x≤2 的一切实数 x恒成立．『规律总结』 一元二次不等式恒成立可以转化为判别式Δ和开口方向应满足不等式组，也可利用函数最值进行转化，即转化为求函数的最值问题．第三章 学业质量标准检测一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设 M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，则有( A )A．M＞NB．M≥NC．M＜ND．M≤N[解析] M－N＝(2a2－4a＋7)－(a2－5a＋6)＝a2＋a＋1＝(a＋12)2＋34＞0，∴M＞N.故选 A．2．设集合 A＝{x|(x＋1)(x－2)<0}，集合 B＝{x|1<x<3}，则 A∪B＝( A )A．{x|－1<x<3}B．{x|－1<x<1}C．{x|1<x<2}D．{x|2<x<3}[解析] A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，∴A∪B＝{x|－1<x<3}，选 A．3．若 a＞b＞c，则下列不等式成立的是( B )A．a－1 c＞b－1 cB．a－1 c＜b－1 cC．ac＞bcD．ac＜bc[解析] ∵a＞b＞c，∴a－c＞b－c>0，11 ∴a－c＜b－c，故选 B．4．不等式1x<12的解集是( D )A．(－∞，2)B．(2，＋∞)C．(0,2)D．(－∞，0)∪(2，＋∞)[解析] 因1x<12，得1x－12＝22－xx<0，即 x(x－2)>0，解得 x<0 或 x>2，故选 D．5．不等式(x＋5)(3－2x)≥6 的解集是( D )A．x|x≤－1，或x≥92B．x|－1≤x≤29C．x|x≤－92或x≥1D.x|－92≤x≤1[解析] 解法一：取 x＝1 检验，满足排除 A；取 x＝4 检验，不满足排除 B、C；∴选 D．解法二：原不等式化为：2x2＋7x－9≤0，即(x－1)(2x＋9)≤0，∴－92≤x≤1，选 D．6．(2018－2019 学年度吉林省德惠市实验中学高二月考)已知关于 x 的不等式 x2－ax＋2a＞0 在 R 上恒成立，则实数 a 的取值范围是( A )A．(0,8)B．(1,8)C．(0,10) [解析] 由题意得 a2－8a＜0，D．(1,10)∴0＜a＜8，故选 A． 7．若关于 x 的不等式 2x2－8x－4－a≥0 在 1≤x≤4 内有解，则实数 a 的取值范围是(A)A．a≤－4B．a≥－4C．a≥－12D．a≤－12[解析] ∵y＝2x2－8x－4(1≤x≤4)在 x＝4 时，取最大值－4，当 a≤－4 时，2x2－8x－4≥a 存在解．故选 A．8．(2018－2019 学年度江西戈阳一中高二月考)设 f(x)＝ex,0＜a＜b，若 p＝f( ab)，q＝f(a＋2 b)，r＝ f a f b ，则下列关系正确的是( C )A．q＝r＜pB．p＝r＜qC．q＝r＞p [解析] f(x)＝ex 是增函数，D．p＝r＞q∵0＜a＜b，∴ ab＜a＋2 b，∴f( ab)＜f(a＋2 b)∴p＜q又 f(a＋2 b)＝ea＋2 b＝ eab，f a f b ＝ ea·eb＝ ea＋b，∴r＝q，故选 C．9．不等式(x－2a)(x＋1)(x－3)<0 的解集为(－∞，－1)∪(3,4)，则 a 的值为( D )A．－4B．－2C．4D．2[解析] 当 2a＝4 时，用穿针引线法易知不等式的解集满足题意，∴a＝2．10．下列函数中，最小值是 4 的函数是( C )A．y＝x＋4xB．y＝sinx＋si4nx(0<x<π) C．y＝ex＋4e－x(其中 e 为自然对数的底数)D．y＝log3x＋logx81 [解析] 当 x＜0 时，y＝x＋4x≤－4，排除 A；∵0＜x＜π，∴0＜sinx＜1.y＝sinx＋si4nx≥4.但 sinx＝si4nx无解，排除 B；ex＞0，y＝ex＋4e－x≥4.等号在 ex＝e4x即 ex＝2 时成立．∴x＝ln2，D 中，x＞0 且 x≠1，若 0＜x＜1，则 log3x＜0，logx81＜0，∴排除 D．11．(2016·全国卷Ⅰ理，8)若 a>b>1,0<c<1，则( C )A．ac<bcB．abc<bacC．alogbc<blogacD．logac<logbc[解析] 对于选项 A，考虑幂函数 y＝xc，因为 c>0，所以 y＝xc 为增函数，又 a>b>1，所以 ac>bc，A 错．对于选项 B，abc<bac⇔(ba)c<ba，又 y＝(ba)x 是减函数，所以 B 错．对于选项 D，由对数函数的性质可知 D 错，故选 C． 12．(2018－2019 学年度吉林省德惠市实验中学高二月考)函数 y＝xx2－＋12(x＞1)的最小值是( A )A．2 3＋2B．2 3－2C．2 3D．2[解析]y＝xx2－＋12＝x－12＋2 x－1 x－1＋3＝(x－1)＋x－3 1＋2，∵x＞1，∴(x－1)＋x－3 1＋2≥2x－1·3 x－1＋2＝2 3＋2，当且仅当 x－1＝x－3 1，即(x－1)2＝3，x－1＝ 3，x＝ 3＋1 时，等号成立．二、填空题(本大题共 4 个小题，每个小题 5 分，共 20 分，将正确答案填在题中横线上)13．不等式 2x2＋2x－4≤12的解集为__[－3,1]__．[解析] 不等式 2x2＋2x－4≤12化为 2x2＋2x－4≤2－1，∴x2＋2x－4≤－1，∴x2＋2x－3≤0，∴－3≤x≤1，∴原不等式的解集为[－3,1]． 14．函数 y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx＋ny－1＝0(m、n>0)上，则1m＋1n的最小值为__4__．[解析] 由题意知 A(1,1)，∴m＋n＝1，∵m>0，n>0，∴1m＋1n＝(1m＋1n)·1＝(1m＋1n)·(m＋n)＝nm＋mn＋2≥4．等号在nm＝mn时成立，由mnm＋ ＝mnn＝1，得 m＝n＝12．∴1m＋1n的最小值为 4．15．若mm2xx＋－11＜0(m≠0)对一切x≥4恒成立，则实数m1 的取值范围是__(－∞，－2)__．[解析] 依题意，对任意的 x∈[4，＋∞)，有 f(x)＝(mx＋1)(m2x－1)＜0 恒成立，结合图象分析可知⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0－1m＜41m 2＜4，由此解得m ＜－12，即实数m 的取值范围是(－∞，－12)．16．某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a 、b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ≥5a －b ≤2a <7，设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x ＝__13__．[解析] 由题意得x ＝a ＋b ，如图所示，画出约束条件所表示的可行域，作直线l ：b ＋a ＝0，平移直线l ，再由a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，x 取最大值，∴x ＝a ＋b ＝13．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)若函数f (x )＝lg(8＋2x －x 2)的定义域为M ，函数g (x )＝1－2x －1的定义域为N ，求集合M 、N 、M ∩N ．[解析] 由8＋2x －x 2>0，即x 2－2x －8<0， ∴(x －4)(x ＋2)<0， ∴－2<x <4． ∴M ＝{x |－2<x <4}． 由1－2x －1≥0，得x －3x －1≥0， ∴x <1或x ≥3． ∴N ＝{x |x <1或x ≥3}．∴M ∩N ＝{x |－2<x <1或3≤x <4}．18．(本题满分12分)不等式(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1<0对一切x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．[解析] 由m 2－2m －3＝0，得m ＝－1或m ＝3． 当m ＝3时，原不等式化为－1<0恒成立； 当m ＝－1时，原不等式化为4x －1<0，∴x <14，故m ＝－1不满足题意．当m 2－2m －3≠0时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3<0Δ＝[－m －3]2＋4m 2－2m －3<0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<m <3－15<m <3，∴－15<m <3．综上可知，实数m 的取值范围是－15<m ≤3．19．(本题满分12分)(2018－2019学年度福建莆田一中高二月考)解关于x 的不等式m 2x 2＋2mx －3＜0(m ∈R )．[解析] 当m ＝0时，原不等式化为－3＜0，∴x ∈R ． 当m ≠0时，原不等式化为(mx －1)(mx ＋3)＜0， ∵m 2＞0，∴(x －1m )(x ＋3m)＜0．当m ＞0时，－3m ＜x ＜1m ，当m ＜0时，1m＜x ＜－3m．综上所述，当m ＝0时，原不等式的解集为R ； 当m ＞0时，原不等式的解集为(－3m ，1m )；当m ＜0时，原不等式的解集为(1m，－3m)．20．(本题满分12分)某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ．已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？[解析] (1)依题意得y ＝[1.2×(1＋0.75x )－1×(1＋x )]×1 000×(1＋0.6x )(0<x <1)． 整理，得：y ＝－60x 2＋20x ＋200(0<x <1)． ∴本年度年利润与投入成本增加的比例的关系式为y ＝－60x 2＋20x ＋200(0<x <1)．(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧y － 1.2－1×1 000>00<x <1，即⎩⎪⎨⎪⎧－60x 2＋20x >00<x <1，解得：0<x <13，所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x 应满足0<x <13．21．(本题满分12分)若a ＜1，解关于x 的不等式axx －2>1 ．[解析] a ＝0时，不等式的解集为∅，ax x －2>1⇔a －1x ＋2x －2＞0 ⇔[(a －1)x ＋2](x －2)＞0． ∵a ＜1，∴a －1＜0． ∴化为(x －21－a)(x －2)＜0， 当0<a <1时，21－a >2，∴不等式的解为2<x <21－a ；当a <0时，1－a >1， ∴21－a<2， ∴不等式解为21－a<x <2，∴当0＜a ＜1时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2＜x ＜21－a ；当a ＜0时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |21－a ＜x ＜2；当a ＝0时，解集为∅． 22．(本题满分12分)已知关于x 的方程(m ＋1)x 2＋2(2m ＋1)x ＋1－3m ＝0的两根为x 1、x 2，若x 1<1<x 2<3，求实数m 的取值范围．[解析] 设f (x )＝(m ＋1)x 2＋2(2m ＋1)x ＋1－3m ，显然m ＋1≠0． (1)当m ＋1>0时，可画简图：则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1>0f 1<0f 3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m >－1m <－2m >－89，不等式组无解．(2)当m ＋1<0时，可画简图：则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0f 1>0f 3<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <－1m >－2m <－89.得－2<m <－1．由(1)、(2)知m 的取值范围是(－2，－1)．。

基本不等式【知识梳理】．重要不等式当，是任意实数时，有＋≥，当且仅当＝时，等号成立．．基本不等式（）有关概念：当，均为正数时，把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数，的几何平均数．（）不等式：当，是任意正实数时，，的几何平均数不大于它们的算术平均数，即≤，当且仅当＝时，等号成立．()变形：≤，＋≥(其中＞，＞，当且仅当＝时等号成立)．【常考题型】题型一、利用基本不等式证明不等式【例】已知，，∈，求证：＋＋≥＋＋.[证明]由基本不等式可得：＋＝()＋()≥，同理：＋≥，＋≥，∴(＋)＋(＋)＋(＋)≥＋＋，从而＋＋≥＋＋.【类题通法】．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．．注意多次运用基本不等式时等号能否取到．【对点训练】．已知，是正数，求证≤.证明：∵＞，＞，∴＋≥＞，∴≤＝，即≤(当＝时取“＝”).题型二、利用基本不等式求最值【例】()已知，＞，且＋＝，求的最大值．()已知＞，求()＝＋的最小值；()设＞，＞，且＋＝，求＋的最小值．[解]()∵，＞且＋＝，所以由基本不等式可得≤＝＝，当且仅当＝＝时，取到最大值.∴的最大值为.()∵＞，∴－＞，＞，于是()＝＋＝－＋＋≥＋＝，当且仅当－＝即＝时，()取到最小值.()法一：∵＞，＞＋＝，∴＋＝＋＝＋＋≥＋＝＋，当且仅当＝，即＝时，等号成立，解得＝－，＝－，∴当＝－，＝－时，＋有最小值＋.法二：＋＝·＝(＋)＝＋＋≥＋＝＋，以下同解法一．【类题通法】．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即()一正：符合基本不等式≥成立的前提条件，>，>；()二定：化不等式的一边为定值；()三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．以上三点缺一不可．．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式．【对点训练】．()已知＋＝，求＋的最小值；()已知＞，＞，且＋＝，求的最大值．。

2012.3.264.公式： 1.两实数大小的比较⎪⎩⎪⎨⎧<-⇔<=-⇔=>-⇔>0b a b a 0b a b a 0b a b a 一. 不等式(精简版）3.基 本不等式定理⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-≤+⇒<≥+⇒>≥+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≤+≥+⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤+≥+≥+2a 1a 0a 2a 1a 0ab ,a (2b aa b )b a (2b a ab 2b a 2b a ab 2b a ab )b a (21b a ab 2b a 2222222222倒数形式同号）分式形式根式形式整式形式1122a b a b --+≤≤≤+2.不等式的性质：8条性质.3.解不等式(1)一元一次不等式 (2)一元二次不等式：一元二次不等式的求 解流程：一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根.⎪⎪⎨⎧<<>>≠>)0a (bx )0a (a bx )0a (b ax四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集. (3)解分式不等式：高次不等式：(4)解含参数的不等式：（1） (x – 2)(ax – 2)>0（2）x 2 –(a +a 2)x +a 3>0；（3）2x 2 +ax +2 > 0；注:解形如ax 2+bx+c>0的不等式时分类讨论的标准有：1、讨论a 与0的大小；2、讨论⊿与0的大小；3、讨论两根的大小；二、运用的数学思想：1、分类讨论的思想；2、数形结合的思想；3、等与不等的化归思想(4)含参不等式恒成立的问题：⎪⎩⎪⎨⎧用图象分离参数后用最值函数、、、321例1．已知关于x 的不等式在(–2，0)上恒成立，求实数a 的取值范围． 例2．关于x 的不等式22(3)210x a x a +-+-<)1(log 22++-=ax ax y ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤>⋅⇔>0)x (g 0)x (g )x (f 0)x (g )x (f 0)x (g )x (f 0)x (g )x (f 0)())((21>---n a x a x a x对所有实数x ∈R 都成立，求a 的取值范围.(5)一元二次方程根的分布问题：方法：依据二次函数的图像特征从：开口方向、判别式、对称轴、函数值三个角度列出不等式组，总之都是转化为一元二次不等式组求解. 二次方程根的分布问题的讨论：20,31xx a x x >≤++恒成立，例3.若对任意则 的取值范围.a()02f kbka>⎧⎪⎪-<⎨⎪∆>⎪⎩1．x1< x2< k()02f kbka>⎧⎪⎪->⎨⎪∆>⎪⎩2．k < x1< x()0f k<3．x1< k < x24．k1 < x1 < x2 < k25．x1 < k1 < k2 < x21212()0()002f k f k b k k a >⎧⎪>⎪⎪⎨∆>⎪⎪<-<⎪⎩12()0()0f k f k >⎧⎨>⎩6．k 1 <x 1 < k 2 < x 2< k 3122()0()0()0f k f k f k >⎧⎪<⎨⎪>⎩ 4解线性规划问题的一般步骤：第一步：在平面直角坐标系中作出可行域； 第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。

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含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式,通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种:一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ；例1 解不等式:()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论.解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax分析 因为0≠a ,0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。

解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x 二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0，故只需考虑∆与根的情况。