数值分析模拟试卷(七)

数值分析试题及答案汇总TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】数值分析试题一、 填空题（2 0×2′） 1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位有效数字。

2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]=0 。

3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____，‖AX ‖∞≤_15_ __。

4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =(x )在有解区间满足 |’(x )| <1 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。

5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。

6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。

7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=ni i x a 0)( 1 ；所以当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。

8. 要使20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。

9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 (B)<1 。

10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。

11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。

数值分析练习题及答案数值分析练习题及答案数值分析是应用数学的一个分支，它研究如何使用数值方法解决实际问题。

在数值分析的学习过程中，练习题是非常重要的一部分，通过练习题的完成，我们可以更好地理解和掌握数值分析的原理和方法。

本文将给出一些数值分析的练习题及其答案，希望对读者有所帮助。

一、插值与拟合1. 插值是指根据已知数据点的函数值，通过某种方法推导出在这些数据点之间的函数值。

请问插值的目的是什么？答案：插值的目的是通过已知数据点的函数值，推导出在这些数据点之间的函数值，以便于我们在这些数据点之间进行计算和分析。

2. 拟合是指根据已知数据点的函数值，通过某种方法找到一个函数，使得该函数与这些数据点尽可能接近。

请问拟合的目的是什么？答案：拟合的目的是通过已知数据点的函数值，找到一个函数，使得该函数与这些数据点尽可能接近，以便于我们对数据的趋势和规律进行分析和预测。

二、数值积分1. 数值积分是指通过数值方法计算一个函数在某个区间上的积分值。

请问数值积分的应用领域有哪些？答案：数值积分在科学计算、工程设计、金融分析等领域都有广泛的应用。

例如，在物理学中，数值积分可以用来计算物体的质心、重心等重要物理量；在金融分析中，数值积分可以用来计算期权的价格和风险价值等。

2. 辛普森法则是一种常用的数值积分方法，它通过将积分区间划分为若干个小区间，并在每个小区间上使用一个二次多项式来逼近被积函数。

请问辛普森法则的原理是什么？答案：辛普森法则的原理是通过将积分区间划分为若干个小区间，并在每个小区间上使用一个二次多项式来逼近被积函数。

然后，通过对这些小区间上的二次多项式进行积分，最后将这些积分值加起来，就可以得到整个积分区间上的积分值。

三、数值微分1. 数值微分是指通过数值方法计算一个函数在某个点处的导数值。

请问数值微分的作用是什么？答案：数值微分的作用是通过数值方法计算一个函数在某个点处的导数值，以便于我们对函数的变化趋势和规律进行分析和预测。

江西理工大学 大 学二 计算-- -------- ---- ---- ----号 --学线 ------2013 至 2014学年第 一 学期试卷试卷 课程数值剖析年级、专业︵B题号一二三四五六七 八九十总分︶得分第1. 给定数据表：（ 15 分）x i 1 2 f ( x i )2 3f ' (x i )------ ----------- 名- --姓封 -- -------- -------- -----------密------------- --- 级---班- -- 、 - -- 业- --专--一 填空 (每空 3 分，共 30 分)1. 在一些数值计算中，对数据只好取有限位表示，如时所产生的偏差称为 。

2. 设 f ( x)x 7 x 6 1 ， f [30 ,31 ]f [3 0 ,31, ,37]， f [3 0 ,31, ,38 ]3. 5 个节点的牛顿 -柯特斯公式代数精度是。

4. 求方程 x2cos x 根的 Newton 迭代格式为5. 设(1, 3,0,2) ，则1，2 12；设 A5 ，则 A41页 2 1.414 ，这 ︵共3页 ， ︶ 。

江 。

西理，工 大学。

大 学 教 务处(1) 结构 Hermit 插值多项式 H 2 ( x) ，并计算 f (1.5) 。

(2) 写出其插值余项，并证明之。

- ---------------------- 号- ---- 学--------线-------------------------名- 2. 已知方程x2 ln x 4 0 ，取 x0 1.5 ，用牛顿迭代法求解该方程的根，要求 x k 1 x k 1试10 3时停止迭代。

（10分）卷︵B︶第2页︵共4．用Euler方法求解初值问题y'x yy(0) 0---封姓- ------------------------密------------- 级---- 班--- 、- -- 业-- 专-1 33. 确立求积公式 f ( x)dx Af (0) Bf ( x1 ) Cf (1)0页︶中的待定参数A, B,C , x1，使其代数精度尽可能高，并指出其代数精度。

第七章习题解答2、试确定系数a ，b 的值使220[()cos ]ax b x dx π+-⎰达到最小 解：设220(,)[()cos ]I a b ax b x dx π=+-⎰确定a ，b 使(,)I a b 达到最小，必须满足0,0I I a b ∂∂==∂∂ 即3222222000022222000012[cos ]0cos 248212[cos ]0cos 82a b ax b x xdx a x dx b xdx x xdx a b ax b x dx a xdx b dx xdx πππππππππππππ⎧⎧⎧+=-+-=+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪+=+-=+=⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解得：0.6644389, 1.1584689a b ≈-≈5、试用Legendre 多项式构造()f x x =在[-1, 3]上的二次最佳平方逼近多项式 解：作变量代换，将区间[-1, 3]变为[-1, 1]，令21x t =+，即12x t -= 则()()(21)21(11)F t f x f t t t ==+=+-≤≤对()F t 利用Legendre 多项式求其在}{21,,span t t上的最佳平方逼近多项式20()()j j j S t C P t ==∑，其中11(,)21()()(0,1,2)(,)2j j j j jP f j C F t P t dt j P P -+===⎰ 则有：1121012112111212212121215[(21)(21)]24311[(21)(21)]285(31)(31)45[(21)(21)]22264C t dt t dt C t dt t dt t t C t dt t dt ---------=--++==--++=--=--++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰01151145()()()()4864S t P t P t P t ∴=++则()f x 在[-1, 3]上的最佳二次逼近多项式 2*0121511114514051061081()()()()()()2421226421536x x x x x x S t S t S P P P -----+===++= 7、确定一条经过原点的二次曲线，使之拟合下列数据并求平方误差2δ 解：设2012()1,(),()x x x x x ϕϕϕ===由题，拟合函数须过原点则令001122()()()()f x C x C x C x ϕϕϕ=++，其中00C =，即212()f x C x C x =+12000.2110.5,,24 1.039 1.2Y φφ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11122122(,)(,)1436(,)(,)3698G φφφφφφφφ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12(,) 6.1(,)15.3Y F Y φφ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得法方程GC F =121436 6.1369815.3C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 解方程得：120.61840.0711C C ≈≈-2()0.61840.0711f x x x ∴=-误差222121(,) 2.730.6184(,)0.0711(,)0.04559j j j Y C Y Y Y δφφφ==-=-⨯+⨯=∑8、已知一组数据试用拟合函数21()S x a bx=+拟合所给数据 解：令2()f x a bx =+ 201()1,()x x x ϕϕ==01()()()f x a x b x ϕϕ=+则123113111114,219213y A F y y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ T T a A A A F b ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，即331422514983a b ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭解方程组得0.3095,0.0408a b == 即210.30950.0408()x f x y=+= 从而有21()0.30950.0408S x x=+补充题：用插值极小化法求()sin f x x =在[0, 1]上的二次插值多项式2()P x ，并估计误差 解：作变量替换1(1)2x t =+，将[0, 1]变换[-1, 1]取插值点 11(21)cos 0,1,2222(1)K K x K n π+=+=+0120.933001270.50.0669873x x x === 利用这些点做插值商表i x i y 一阶插商 二阶插商0.9330127 0.80341740.5 0.479425 0.74863250.0669873 0.0659372 0.9549092 -0.23818779则：20.9330127()0.80)0.2341740.743818779(0.9330127)(0.5)86325(x P x x x ---=+-同时误差213322()()()22(1)!3!24n n M M M R x f x P x n --+=-≤==+其中(3)3max ()M f ξ= 由于1(1)2x t =+，即21t x =- 则(3)(3)3max (21)max sin (21)8max cos(21)8[0,1]M f x x x x =-=-=-=∈ 281()243R x ∴≤=。

数值分析试卷及答案**注意：以下是一份数值分析试卷及答案，试卷和答案分别按照题目和解答的格式排版，以确保整洁美观，语句通顺。

**---数值分析试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 数值分析是研究如何用计算机处理数值计算问题的一门学科。

以下哪个选项不是数值分析的应用领域？A. 金融风险评估B. 天气预测C. 数据挖掘D. 图像处理2. 在数值计算中，稳定性是指算法对于输入数据的微小扰动具有较好的性质。

以下哪个算法是稳定的？A. 高斯消元法B. 牛顿迭代法C. 不动点迭代法D. 雅可比迭代法二、填空题（每题3分，共30分）1. 下面关于插值多项式的说法中，不正确的是：一般情况下，插值多项式的次数等于插值点的个数减1。

2. 线性方程组中，如果系数矩阵A是奇异的，则该方程组可能无解或有无穷多解。

......三、解答题（共50分）1. 请给出用割线法求解非线性方程 f(x) = 0 的迭代格式，并选择合适的初始值进行计算。

解：割线法的迭代公式为：x_(k+1) = x_k - f(x_k) * (x_k - x_(k-1)) / (f(x_k) - f(x_(k-1)))选择初始值 x0 = 1，x1 = 2 进行计算：迭代1次得到：x2 = x1 - f(x1) * (x1 - x0) / (f(x1) - f(x0))迭代2次得到：x3 = x2 - f(x2) * (x2 - x1) / (f(x2) - f(x1))继续迭代直至满足精度要求。

2. 对于一个给定的线性方程组，高斯消元法可以用来求解其解空间中的向量。

请简要描述高斯消元法的基本思想并给出求解步骤。

高斯消元法的基本思想是通过一系列的行变换将线性方程组化为上三角形式，然后再通过回代求解方程组的未知数。

求解步骤如下：步骤1：将方程组表示为增广矩阵形式，即将系数矩阵和常数向量连接在一起。

步骤2：从第一行开始，选取第一个非零元素作为主元，然后通过行变换将其它行的该列元素消去。

模 拟 试 卷（一）一、填空题（每小题3分，共30分）1．有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是 次的.2．设152210142-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A ，342⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭x ，则 ∞A = .， 1x = ______.3．已知y =f (x )的均差（差商）01214[,,]3f x x x =，12315[,,] 3f x x x =，23491[,,]15f x x x =，0238[,,] 3f x x x =, 那么均差423[,,]f x x x = .4．已知n =4时Newton －Cotes 求积公式的系数分别是：,152,4516,907)4(2)4(1)4(0===C C C 则)4(3C ＝ .5．解初始值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进的Euler 方法是 阶方法；6．求解线性代数方程组123123123530.13260.722 3.51x x x x x x x x x --=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩的高斯—塞德尔迭代公式为 ，若取(0)(1,1,1)=-x, 则(1)=x .7．求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是 . 8．1(), (),, ()n x x x 是以整数点01, ,, ,n x x x 为节点的Lagrange 插值基函数，则()n kjk k xx =∑= .9．解方程组=Ax b 的简单迭代格式(1)()k k +=+xBx g 收敛的充要条件是 .10．设(-1)1,(0)0,(1)1,(2)5f f f f ====，则()f x 的三次牛顿插值多项式为 ，其误差估计式为 . 二、综合题（每题10分，共60分）1．求一次数不超过4次的多项式()p x 满足：(1)15p =，(1)20p '=，(1)30p ''=(2)57p =，(2)72p '=.2．构造代数精度最高的形式为10101()()(1)2xf x dx A f A f ≈+⎰的求积公式，并求出 其代数精度.3．用Newton 法求方程2ln =-x x 在区间) ,2(∞内的根, 要求8110--<-kk k x x x .4．用最小二乘法求形如2的经验公式拟合以下数据：5．用矩阵的直接三角分解法解方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡71735 30103421101002014321x x x x .6 试用数值积分法建立求解初值问题0(,)(0)y f x y y y '=⎧⎨=⎩的如下数值求解公式1111(4)3n n n n n hy y f f f +-+-=+++，其中(,),1,,1i i i f f x y i n n n ==-+.三、证明题（10分）设对任意的x ，函数()f x 的导数()f x '都存在且0()m f x M '<≤≤,对于满足20Mλ<<的任意λ，迭代格式1()k k k x x f x λ+=-均收敛于()0f x =的根*x . 参考答案 一、填空题1．5； 2. 8, 9 ; 3.9115； 4. 1645； 5. 二； 6. (1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312(330.1)/5(220.7)/6(12)*2/7k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪=+-⎨⎪=--⎩, (0.02，0.22，0.1543) 7. 1()1()k k k k k x f x x x f x +-=-'-; 8. j x ; 9. ()1B ρ<; 10.32(4)11,()(1)(1)(2)/24(1,2)66x x x f x x x x ξξ+-+--∈-二、综合题 1．差商表：其他方法：设233()1520(1)15(1)7(1)(1)()p x x x x x ax b =+-+-+-+-+ 令(2)57p =，(2)72p '=，求出a 和b. 2．取()1,f x x =，令公式准确成立，得：0112A A +=, 011123A A +=, 013A =, 116A =. 2()f x x =时，公式左右14=；3()f x x =时，公式左15=, 公式右524=∴ 公式的代数精度2=. 3．此方程在区间) ,2(∞内只有一个根s ，而且在区间（2，4）内。

数值分析试题一、填空题（2 0×2′） 1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=32,1223X A 设x =0.231是精确值x *=0.229的近似值，则x 有 2 位有效数字。

2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ，f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。

3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____，‖AX ‖∞≤_15_ __。

4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。

5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。

6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。

7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=ni i x a 0)( 1 ；所以当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。

8. 要使20的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取 4 位有效数字。

9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。

10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。

11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。

12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。

一、填空1.近似数x*=0.4231关于真值x=0.4229有 位有效数字.2.设f(x)可微，则求方程x 2=f(x)根的牛顿迭代格式为 .3.对f(x)=x 3+3x 2-x+5,差商f[0,1,2,3,4]= .4.方阵A 的谱半径是指 .5.求积分⎰ba dx x f )(的近似值，其辛卜生公式为 .二、已知观测数据（1，-5），（2，0），（4，5），（5，6），试用最小二乘法求形如xb ax x +=)(ϕ的经验公式。

（10分）三、求一个次数不高于4的多项式p 4(x)，满足下列插值条件 x 0 1 2f(x) 0 1 1)(x f ' 0 1四、写出计算线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+-272135223121321x x x x x x x 的高斯一赛德尔迭代格式，并分析此格式的敛散性.五、用预估一校正法求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤-='1)0(102y x y x y y在x=0.2处的数值解，步长取h=0.1。

（要求保留小数点后4位）六、把区间分成两等份，用复化辛卜生公式计算 dx x ⎰+10214的近似值。

保留小数点后四位，并说明误差是多少.七、在求非线性f(x)=0根的近似值时，论证简单迭代法一般为线性收敛，而牛顿迭代法为平方收敛.1．近似数x*=0.4231关于真值x=0.4229有 位有效数字.2．设643()35f x x x x =-+-，则差商[0,1,2,3,4,5,6]f = 3．求积分()baf x dx ⎰的近似值，其复化梯形公式为4．5点高斯求积公式，其代数精度为5．设f(x)可微，则求方程x 2=f(x)根的近似值的牛顿迭代格式为 6．利用二分法求()0f x =在[,]a b 上根的近似值，误差限为 7．方阵A 的谱半径是指 8．矩阵A 的条件数是指 9．能用高斯消元法求解Ax b =的充要条件是10．设215314278A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1||||A = 二 给定线性方程组1231231232231242122316x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩1. 用列主元消元法求解所给线性方程组。