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压缩感知理论综述摘要压缩感知，又称压缩采样，压缩传感。
它作为一个新的采样理论，它通过开发信号的稀疏特性，在远小于Nyquist 采样率的条件下，用随机采样获取信号的离散样本，然后通过非线性重建算法完美的重建信号。
压缩感知理论一经提出，就引起学术界和工业界的广泛关注。
他在信息论、图像处理、地球科学、光学/微波成像、模式识别、无线通信、大气、地质等领域受到高度关注，并被美国科技评论评为2007年度十大科技进展。
本文基于压缩感知技术的研究背景以及应用进行了文献综述，首先进行了压缩感知技术理论介绍，对压缩感知技术的产生以及发展做了简单说明，然后分析了压缩感知应用的领域，最后对压缩感知技术的相关研究现状做了介绍。
关键词压缩感知，稀疏表示，稀疏信号1、引言数字图像处理技术的发展，拓宽了人类获取信息的视野范围，研究表明，人眼视觉特性决定了我们只能看到电磁波谱中的可见光部分，其余的红外波段等波谱信息对人眼来说都是不可见的。
而数字图像处理技术可以利用红外、微波等波谱信息进行数字成像，从而将人眼视觉不可感知的信息转变为可视化的图形图像信息。
数字图像处理技术现如今己经深入应用于人们生活的各个领域：经过数字技术加工处理的航空遥感和卫星遥感图像主要用于地形地质、矿藏探查，自然灾害预测预报等领域。
而目前广泛应用于临床诊断和治疗的各种成像技术，如超声波诊断、CT、核磁共振等都用到图像处理技术。
对产品及部件进行无损检测成为数字图像处理技术在工业生产方面的重要应用。
指纹识别系统在公共安全领域得到了广泛使用。
与文字信息不同，图像信息的数据量非常庞大，如果将原始图像直接存储和传输，将会给存储器的容量和通信线路的传输带宽带来巨大的压力，而一味地扩大存储器容量和通信线路带宽也是不现实的，必须采用有效的压缩手段将图像信号进行压缩，因此，图像压缩算法成为了近年来一个非常热点的研究领域。
图1 传统的信号编解码流程现代信号处理的一个关键基础是Shannon 采样理论：一个信号可以无失真重建所要求的离散样本数由其带宽决定。
奈奎斯特采样和压缩感知奈奎斯特采样和压缩感知：从理论到应用的探究引言在信息处理领域，信号的采样和压缩是两个关键的概念。
奈奎斯特采样理论和压缩感知是两种常用的方法，它们在传感器网络、通信系统、图像处理等领域都得到了广泛的应用。
本文将深入探讨奈奎斯特采样和压缩感知的原理、应用以及个人观点。
1. 奈奎斯特采样的原理和应用奈奎斯特采样是用于从连续时间信号中获取离散时间采样的方法，它基于奈奎斯特——香农采样定理。
根据这个定理，为了完全恢复原始信号，采样频率必须大于信号的最高频率的两倍。
奈奎斯特采样的原理可以简化为“至少两倍采样频率”。
采样频率低于此阈值会导致信号失真，无法完全还原。
奈奎斯特采样在实际应用中有着广泛的用途。
在通信系统中，奈奎斯特采样保证了信号的信息不会丢失。
在图像处理中，奈奎斯特采样确保图像的每个像素都得到准确的采样。
这种采样方法在模拟信号转换为数字信号时起着至关重要的作用。
2. 压缩感知的原理和应用压缩感知是一种通过从稀疏信号中获取少量线性投影来重构信号的技术。
相比于传统的采样方法，压缩感知可以实现更高效的信号采样和信号重构，从而极大地减少数据传输和存储的需求。
压缩感知的原理基于两个重要的概念：稀疏表示和随机投影。
稀疏表示指的是信号可以用较少的非零系数表示。
随机投影是指通过在信号上进行线性投影来得到一组稀疏的测量结果。
通过这种方式，压缩感知能够仅使用较少的测量结果来还原信号，从而实现高效的信号处理。
压缩感知在许多领域都有重要的应用。
在无线传感器网络中，压缩感知可以减少传感器数据的传输量，延长网络寿命。
在医学影像处理中，压缩感知能够减少医学影像数据的存储需求，提高图像传输速度。
3. 个人观点和理解奈奎斯特采样和压缩感知作为信号处理领域的两个重要概念，具有各自的优势和应用场景。
奈奎斯特采样保证了信号的完整性和准确性，适用于连续时间信号的离散化处理。
而压缩感知则通过提取信号的稀疏表示，实现高效的信号采样和处理，适用于稀疏信号的重构和压缩。
数字信号处理中的压缩感知算法研究1. 介绍：数字信号处理和压缩感知算法的概念说明数字信号处理是指将模拟信号转化为数字信号，并对数字信号进行处理、传输、存储和还原的过程。
随着数字信号处理技术的不断发展，各种数据的处理和传输都离不开数字信号处理。
在数字信号处理领域，压缩感知算法是一种热门的技术，被广泛应用于多媒体传输、无线通信等领域。
压缩感知算法是一种基于稀疏表示的数据压缩算法，通过采集数据并对其进行压缩，可以有效地提高数据传输效率，同时降低成本和功耗。
2. 压缩感知算法原理及基本流程介绍压缩感知算法的原理是将原始信号转化为一组稀疏表示，再进行压缩和重构。
具体过程可以分为以下几步：2.1 采样：将原始信号进行采样，得到一组观测数据。
2.2 表示：将观测数据表示为一组线性方程组的形式，其中每个方程是由原始信号的一部分组成的。
2.3 测量矩阵：测量矩阵是一个稀疏矩阵，其行数对应于观测数据的数量，列数对应于原始信号的长度。
2.4 压缩：利用测量矩阵对表示矩阵进行压缩，得到一组压缩后的数据。
2.5 重构：通过求解线性方程组，得到原始信号的稀疏表示，并进行重构。
3. 压缩感知算法的应用场景压缩感知算法可以广泛应用于各种数据处理领域，以下列举几种应用场景：3.1 多媒体传输：在多媒体传输领域，压缩感知算法可以对音频、视频等数据进行压缩和传输，减小数据尺寸，提高传输效率。
3.2 无线通信：在无线通信领域，压缩感知算法可以减少无线电频谱使用，提高信号传输的效率和可靠性。
3.3 能源管理：在能源管理领域，压缩感知算法可以降低传感器的功耗，提高电池寿命，同时提高传输效率。
4. 压缩感知算法存在的问题和研究方向4.1 稀疏矩阵构建方法不理想：当前压缩感知算法大多采用随机矩阵作为测量矩阵，但是随机矩阵中存在某些行或列的值过于集中（稀疏性不够），导致计算结果不够准确。
4.2 重构精度问题：压缩感知算法在重构原始信号时会存在误差，因此如何提高重构精度是当前算法需要解决的核心问题。
压缩感知综述
压缩感知是指用有限的数据采集、储存和传输获取更多和更好的信息的新流行研究领域，其在信号和图像处理中作用越来越重要。
压缩感知通过减少在收集和传输过程中所需的数据量而得到充分利用，这不仅实现了系统设计上的费用降低，而且能够有效减少与多媒体相关的浪费，提高系统效率。
在压缩感知中，用户可以通过例如字典学习、卷积神经网络以及其他技术来减小所需带宽，从而快速地恢复数据信号。
压缩感知的实施还加强了多媒体技术的执行效率，并可用于将不同类型的信号转换为图像和视频流，从而显著地加快实时信息传输。
２００8年第32卷第12期（总第322期）电视技术图2基于CS 理论的编解码框图编码端X 测量编码稀疏信号Y 解码端接收数据Y 解码重构恢复信号X赞文章编号：１００２－８６９２（２００8）12-0016-03压缩感知理论简介*喻玲娟1，谢晓春2，3（1.华南理工大学电子与信息学院，广东广州510640；2.赣南师范学院物理与电子信息学院，江西赣州341000；3.中国科学院空间科学与应用研究中心，北京100190）【摘要】压缩感知（CS ）理论是在已知信号具有稀疏性或可压缩性的条件下，对信号数据进行采集、编解码的新理论。
主要阐述了CS 理论框架以及信号稀疏表示、CS 编解码模型，并举例说明基于压缩感知理论的编解码理论在一维信号、二维图像处理上的应用。
【关键词】压缩感知；稀疏表示；编码；解码；受限等距特性【中图分类号】TN919.81【文献标识码】ABrief Introduction of Compressed Sensing TheoryYU Ling-juan 1，XIE Xiao-chun 2,3（1.School of Electronic and Information Engineering,South China University of Teconology,Guangzhou 510640,China ;2.School of Physics and Electronic Information,Gannan Normal University,Jiangxi Ganzhou 341000,China ;3.Center for Space Science and Applied Research,Chinese Academy of Sciences,Beijing 100190,China ）【Abstract 】Compressed Sensing(CS)theory is a novel data collection and coding theory under the condition that signal is sparseor compressible.In this paper,the CS framework,CS coding model are introduced,after which the application of CS theory in one-dimensional signal and two-dimension image are illustrated.【Key words 】compressed sensing;sparse presentation;encoding;decoding;restricted isometry property·综述·1引言过去的几十年间，传感系统获取数据的能力不断地得到增强，需要处理的数据量也不断增多，而传统的Nyquist 采样定理要求信号的采样率不得低于信号带宽的2倍，这无疑给信号处理的能力提出了更高的要求，也给相应的硬件设备带来了极大的挑战。
压缩感知与信号重构压缩感知是一种新兴的信号处理技术，它将传统的信号采样与压缩两个步骤合为一步，能够在较少的样本数下获取信号的精确信息。
该技术随着科技的不断进步，已经被广泛应用于多个领域，例如图像处理、语音识别、医学成像等。
本文将详细介绍压缩感知与信号重构技术的原理和应用。
一、压缩感知技术的原理信号传统的采样方式是按照一定的采样率进行等间隔采样，然后再对采样的信号进行压缩，将其存储或传输。
而压缩感知技术的采样方式则非常不同，它采用稀疏表示的思想，即假设信号在某种基下的表示是稀疏的，通过选取少量的样本可以重构出完整的信号。
具体地，假设信号$x$在某个基$\Phi$下可以表示为$x=\Phi w$，其中向量$w$是$x$的稀疏表示。
那么，采用传统的等间隔采样方式只能采集到部分信号，无法准确获取$w$。
而采用压缩感知技术，则是通过选择部分样本，可以重构出完整的信号，同时能准确计算出其稀疏表示$w$。
具体实现压缩感知技术的方法有多种，例如基于随机矩阵的Compressive Sampling Matching Pursuit (CoSaMP) 算法，基于稀疏的 Bayesian 压缩感知 (Sparse Bayesian Compressive Sensing, SBCS) 等。
但无论采用何种方法，其核心思想都是利用稀疏性进行信号重构。
二、信号重构技术的应用压缩感知技术在多个领域都得到了广泛的应用，例如图像处理、语音信号处理、医学成像等。
以下将分别介绍这几个领域的应用情况。
1、图像处理在图像处理领域，采用压缩感知技术可以大幅度减少采样的样本数，同时获取高质量的图像。
对于单一像素，传统的采样需要采集 RGB 三色信息，并将其拼合成图像。
而采用压缩感知技术可以将三个步骤合并为一个步骤，从而简化了图像采集和处理的过程。
2、语音信号处理在语音信号处理领域，采用压缩感知技术可以大幅减少存储和传输的数据量，同时不会损失语音信号的信息。
第32卷第4期2011年12月
军事通信技术
JournalofMilitaryCommunieationsTeehnologyVol.32
Dee.No.4
2011
编者按:信息技术的飞速发展使得人们对信息的需求量急剧增加"现实世界的模拟化和信号处理工具的数字化决定了信号采样是从模拟信源获取数字信息的必经之路,/奈奎斯特0采样定理是指导如何进行数字采样的重要理论基础"该定理指出,采样速率必须达到信号带宽的两倍以上才能精确地重构原始信号"然而,随着人们对信息需求量的不断增长,携带信息的信号带宽越来越宽,以此为基础的信号处理框架所要求的采样速率和处理速度也越来越高,因而对宽带信号处理的困难日益加剧"例如,高分辫率地理资源观测,其巨童数据传输和存储就是一个艰难的工作"另一方面,在实际应用中,为了降低处理!存储和传输的成本,常采用压缩的方式以较少的比特数表示原始信号,大蚤的非重要的数据被抛弃(如语音与图像信号压缩等)"这种高速采样再压缩的过程浪费了大童的采样资源"于是,很自然地引出一个问题:能否利用其他变换空间描述信号,建立新的信号描述和处理的理论框架,使得在保证信.息不损失的情况下,用远低于奈奎斯特采样定理要求的速率采样信号,同时又可以完全恢复信号?/压缩感知0理论表明这是可能的"只要原始信号满足/稀疏0的条件,/压缩感知0可以极大地降低信号的采样频率,显著地降低信号处理时间和计算成本"/压缩感知0理论将引领信号处理进入一个新的时代"因此,我们开设关于/压缩感知0的专题讲座,向从事信息与通信工程!计算机应用等领域的研究人员和工程技术人员以及研究生介绍压缩感知理论的有关知识,以达到紧跟学科前沿!拓展知识面,共同推动压缩感知理论与技术的发展和应用的作用"本讲座内容涉及压缩感知的基本理论!研究进展!关健技术以及压缩感知理论在语音!图像和通信系统中的应用等方面"
1114.l:J一o;ts=三今+1,一"工l.we竺-
压缩感知新技术专题讲座(一)第1讲信息处理领域的创新理论)压缩感知张雄伟.,黄建军2,朱涛3(l.解放军理工大学指挥自动化学院信息作战系,江苏南京210007;2.解放军理工大学指挥自动化学院研究生2队;3.解放军理工大学通信工程学院电子信息工程系,江苏南京210007)
摘要:近年来提出的压缩感知cs(compressivesensing)理论突破了传统信号处理理论中采样定理的极限,实现了从信号采样到信息采样的飞跃"文章对比了传统的信号处理框架与压缩感知理论指导下的信号处理框架,介绍了压缩感知的基本理论框架,分析了其中三个方面的关键技术"最后,展望了压缩感知理论的应用前景"关键词:压缩感知;采样定理;稀疏表示;信号重构中图分类号:TN911.7文献标识码:A文章编号:eN32一1259(2011)04一0053一05
COmPressiveSensing:InnovativeTheoryinInformationProeessingFieldZHANGXiong一wei-,HUANGJia,一jun.,ZHUTao3(1.DepartmentofInformationOperationStudiesICA,PLAUST,Nanjing210007,China;2.PostgraduateTeam2ICA,PLAUST;3#DepartmentofEleetronieInformationEngineeringICE,PLAUST,NanjingZ一0007,China)
Abstraet:ThereeentproposedCompressiveSensing(CS)theoryprovidesagoldenopportu-收稿日期:2011一06一30;修回日期:2011一09一28甚金项目:江苏省自然科学基金资助项目(BKZ""9059)
作者简介:张雄伟(1965一),男,博士,教授.军事通信技术2011年
nitytobreakthelimitationofthesamplingtheoreminthetraditionalsignalproeessingtheory.BasedonCS,eompressiblesignalseanbeeapturedandrepresentedatasamplingratesignifieant-
lybelowtheNyquistrate.CSeanleadthetraditionsamplingtheoryfromAnalog一to一Digitaleon-
versiontoAnalog一to一Informationeonversion.TheoretiealframeworkandthreekeyaspeetsofCSwerereviewed,andsomeofitsmilitaryapplieationsbrieflypresented.Keywords:CS;samplingtheory;sparserepresentation;signalreeonstruetion
信息技术的飞速发展使得人们对信息的需求量剧增"海量数据是当今世界/信息爆炸0的一个重要表现"特别是采集原始数据的海量性,更使现在的通信和存储系统无法承载"在Shannon/Nyqulst采样理论的框架下,从信号获取信息的过程不可避免地要经过五个步骤:采样!压缩!传输!解压缩和处理,如图1所示"其中,采样是现实信号的模拟性和被处理信号数字化的重要桥梁"Shannon/Nyqulst定理一方面从模拟信号的角度决定了采样频率必须至少是信号最大频率的两倍,才能不发生频谱混叠,完美地重构信号;另
一方面从数字信号的角度说明了在频域中必须获得与时域中相同的样点数,才能不失真地重构信号"这一定理虽然保证了信号的重构,却对信号的采集提出了很高的要求"
例如,对高频信号的采样,需要昂贵的高频采集器件;在医学的核f(x,v)磁共振检查中,对获取数据的时间要求很高"为减轻信道和存储的负荷,必须对采集到的信号进行压缩,并在使用信号前进行解压缩,这两个过程需要有较强的计算能力的支持"这一压缩和解压的过程说明了基于Shannon/Nyquist定理的采样所得到的数据具
命采样卜今压缩传输/存储接收卜卡解压缩f(x,,)遥
图1传统的信号获取及处理流程有很大的冗余性"于是,研究人员开始探究是否存在可以直接从信号获取信息的途径,实现节省大量的采样和计算资源的目的"采样信号的压缩编码本质上是寻找某种方法或某个函数空间,能以尽可能少的数据来表示信号的问题,其中最理想的就是信号的稀疏表示"从最开始的傅立叶变换,余弦变换,到小波变换,脊波变换,到稀疏字典和多尺度分析,总是能发现在某些/基0或/原子0上,信号存在着能体现信号结构化特点的稀疏表示"并且,针对不同的信号特点及所使用的/基0或/原子0,大多都能找到信号的重构算法"显然,如果能直接找到信号在这些基上的稀疏表示,并实现对其进行适当的/采样0,就能实现直接从信号获取信息的目的,这就是压缩感知的出发点"在现有的信号调和分析!稀疏表示与最优重构等理论的基础上,Donoho!Cand忱及Tao等人经过严格数学论证与分析,逐步建立了压缩感知(或压缩采样)这一新的信息获取指导理论"压缩感知理论尽管也是一种/采样0理论,但与传统的Shannon/Nyquist定理最大的不同在于:它使采样直接从全局上去探究信号的本质结构与内容,而不是局部地去测量信号的物理表征量,脱离了与信号的具体物理测度(如频率)之间的联系"它指出:只要信号具有某个可压缩的表示域(可称为稀疏域),那么就可使用一个与稀疏域的基/不相关0且维数与信号相比低很多的感知矩阵,把
系f(x,y)-图2压缩感知厂鲤奥坦一麒,t竺些时州卫竺)竺竺些甘ee争j(x,v)嗯俐阳
压缩感知的信号获取及处理流程信号直接投影到一个低维空间上,得到包含重构信号足够信息的采样值,实现低速率的采样,突破了Shan-
non/Nyqulst定理的限制;而信号的重构可以归结为求解一个最优化问题,就可从少量的采样值中以极高的概率重构出原始信号"可见,压缩感知把信息的获取过程减少为三个步骤:感知!传输和重构(或处理),如
图2所示"经过Donoho!Candos!Romberg和TaJ-一.2等人的开创性研究,这一理论的坚实性和巨大的应用前景已经得到证明"从理论上讲,任何信号都具有可压缩性,只要能找到其相应的稀疏表示空间,就可以有效地进行压缩采样,这一理论必将给信号采样方法带来一次新的革命"本文概述了压缩感知理论的基本理论框架,说明了稀疏性对压缩感知理论的意义,分析了感知矩阵的构造所需的重要特性,对主流的重建算法进行了分类简介;最后展望了压缩感知的应用前景,并对压缩感知理论的新发展进行了总结"第4期张雄伟等:信息处理领域的创新理论)压缩感知
1CS理论的基本框架压缩感知所涉及的全部问题可通过图3表示,图中白色小方框表示该位置的值为零"考虑一个信号x任RNx.,若存在某个正交变换少任R心N,使得在此变换域中x是K稀疏的,则可通过一个线性的测量过程巾任RMxN,产生一个测量向量y任R椒.,其中K镇M5N"这个测量向量y就是x的/采样0值,显然由于y的维数大大小于x的维数,就实现了以远低于信号的实际维数实现信号采样的目的"/采样0成功的关键是能否从采样值重构信号"Shannon/Nyquist定理指出采样频率必须大于或等于信号的最大频率的2倍才可完美重构信号;而压缩感知理论却把信号的重构归结为寻求一个约束条件下的最优解的问题,可表述为:Inin11511,"s#t#"少一,s=夕(1)其中l"范数是指取得-中非0元素的个数,只要解此最优问题,就可实现压缩感知意义上的信号精确重构"由于x的那K个稀疏位置上的数据及其位置完全表征了x及其中的信息,并且测量向量y的维数足以保证其能包含这些数据,所以这就实现了压缩感知最终的理论出发点:直接从信号中获取信息"如果只关注式(l)约束条件中的矩阵求解,显然从M个方程中求解出N个未知数,这是一个解欠定的线性方程组的问题,是不可解的;从组合方法的角度,需要在信号空间中进行穷尽搜索,这一问题也是NP难的"但是在压缩感知理论中,信号的结构性稀疏要求!感知矩阵的特性和重构算法的设计却为此问题的求解开辟了新的道路"因此,与这三方面相对应,压缩感知理论主要包括信号的稀疏表示!感知矩阵的设计与重构算法三个部分[4]"
测量重构算法法图3压缩感知的处理过程信号的稀疏表示是信号可压缩感知的先决条件,感知矩阵是获取信号结构化表示的手段,重构算法则是实现信号重构的保证"
1.1信号的稀疏表示尽管Donoho给出了稀疏信号的数学定义,但通常意义上的/稀疏0可表述为:若信号x经某种变换后,只有K个非O项,且K5N,则称x在少中是K项稀疏的,少称为x的稀疏域"从式(1)中,也可得到压缩感知意义上的稀疏:保证信号精确重构的条件下,使-中非"元素的个数最小,那么-就尽可能地稀疏"稀疏域能够/稀疏0地表示信号的程度是压缩感知理论所关心的重要问题,Cand色s和Tao提出若变换系数的衰减具有幂次特性,则可利用压缩感知理论重构原始信号,并给出了重构误差的上限"许多变换基下的系数都满足这一准则,如光滑信号的F"盯ier系数和小波系数,因此都具有足够的稀疏性,可使用压缩感知理论重构信号"由于x在稀疏域中只有某K维上有非"值,所以x必定是属于R心-中C夯个子空间中的一个"在理论上,对所有的巾,只要M)K+1,就可捕获足够的信息,再进行穷尽搜索,就可得到式(1)的解"但是要搜索的子空间的数量也可能相当的巨大,并随N的增加而呈指数级的增长;另外,在实际问题中,K是未知的,这些都使这个问题实际上是不可解的"尽管如此,信号的稀疏性说明了可用少量的结构化信息数据来表征信号,只要提取到这些结构化信息,就可能重构信号,这样就可突破Shannon/Nyquist定理的瓶颈,使得超高分辨率的信号获取成为可能"所以,稀疏域的寻找是压缩感知理论的第一要务"寻找一个一般的!普适的稀疏域是信号稀疏表示研究的终极目标"目前,信号稀疏表示的研究主要关注两个方面:正交稀疏表示和冗余字典稀疏分解"前者的思想是寻找正交的函数空间,后者的思想则是在超完备的冗余函数库中找到合适数目的原子,并使这些原子是表示信号的最佳组合圈"信号的稀疏方式不同,重构信号的途径肯定也就不同"因此,为信号寻找一个合适的稀疏域,从根本上决定了信号重构算法的设计思路"
