高考数学一轮复习 第二章 函数的概念及其基本性质 2.3.1 函数的奇偶性课件 理

那么函数 f(x)就叫做偶函数
如果对于函数 f(x)的定义域内任 奇函数 意一个 x，都有 f(－x)＝－f(x) ，关于 原点 对称
那么函数 f(x)就叫做奇函数
2．函数的周期性 (1)周期函数
对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定 义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x) ，那么就称函数 f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个 最小的正数 ， 那么这个 最小正数 就叫做 f(x)的最小正周期．
3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不 是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．
[小题纠偏] 1．已知 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么
a＋b＝________. 解析：因为 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数， 所以 a－1＋2a＝0，所以 a＝13.又 f(－x)＝f(x)，所以 b＝0， 所以 a＋b＝13. 答案：13
为[－1，1]，因此[－1，a－2]⊆[－1,1]⇒－1＜a－2≤1⇒
1＜a≤3.
答案：(1,3]
角度三：周期性与奇偶性结合
3．(2019·江阴期中)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，并满足
f(x＋2)＝－f1x，当 1≤x≤2 时 f(x)＝x－2，则 f(6.5)＝ ________. 解析：∵f(x＋2)＝－f1x，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－fx＋1 2 ＝f(x)，即函数 f(x)的周期为 4. ∵f(x)是定义在 R 上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)， ∴f(6.5)＝f(－1.5)＝f(1.5)＝－0.5. 答案：－0.5

定有f(0)=0.
(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x)=f(|x|).
(3)若函数满足f(x)=0或解析式可化简为f(x)=0(x∈D),其中定义
域D是关于原点对称的非空数集,则函数既是奇函数又是偶函数.
(4)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×
偶=偶,奇×偶=奇.



所以函数 f(x)是以 2 为周期的周期函数,f( )=f( -2)=f(- )= .



故选 C.
3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=
2x3-3x+1,则f(-3)=-(-54+9+1)=44.

是奇函数,且单调递增,

故原不等式等价于 f(x)- ≤ -f(a-2x),





即(-) ≤-(--) =(2x-a+1)

,
所以 x-1≤2x-a+1,
所以 x+2≥a 在任意的 x∈[2,3]上恒成立,故 a≤4.故选 D.
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值,求解的关键在
定义域为 R,g(-x)=ln( + -x),
而 g(-x)+g(x)=ln( + -x)+ln( + +x)=0,符合题意.故选 ABD.
判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称,否则为非奇非偶函数.
(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可
5.已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=x2+x-1,则函数

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(2)如图，圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线 OA，终边为射线 OP，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M，将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f(x)，则 y＝f(x)在[0， π]上的图象大致为( )
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学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理 2．函数 y＝log2|x|的图象大致是( )
解析 函数 y＝log2|x|为偶函数，作出 x>0 时 y＝log2x 的图象，图象关于 y 轴对称，应选 C.
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(3)对称变换
y＝f(x)―――关―于―x―轴―对―称――→ y＝－f(x) ；
y＝f(x)―――关―于―y―轴―对―称――→ y＝f(－x) ；
关于原点对称 y＝f(x)――――――――――→y＝
－f(－x)
．
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考点一 函数图象的识辨
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答案：D
考向 2 周期性与奇偶性的综合问题 通性通法：此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性 及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解 析式的函数定义域内求解.
[例 4](2021 年全国甲)设函数 f(x)的定义域为 R，f(x＋
1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当 x∈[1,2]时，f(x)＝ax2＋
2
＝－log2a，所以 f(log2a)＋f(log 1 a)＝f(log2a)＋f(－log2a)＝
2
2f(log2a)≤2f(1)，即 f(log2a)≤f(1)，因为函数在区间[0， ＋∞)单调递增，所以 f(|log2a|)≤f(1)，即|log2a|≤1，所以 －1≤log2a≤1，解得12≤a≤2，即 a 的取值范围是12，2， 故选 C.
f(1＋x)＝f(－x).若 f－13＝13，则 f53＝(
A.－53
B.－13
1 C.3
) 5
D.3
答案：C
5.(2021 年新高考Ⅱ)写出一个同时具有下列性质①② ③的函数 f(x)：________.
①f(x1x2)＝f(x1)f(x2)；②当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0； ③f′(x)是奇函数.
【名师点睛】函数周期性常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x： (1)若 f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2a(a>0). (2)若 f(x＋a)＝f1x，则 T＝2a(a>0). (3)若 f(x＋a)＝－f1x，则 T＝2a(a>0).
题组一 走出误区 1.(多选题)下列结论正确的为( ) A.若函数 f(x)是奇函数，则必有 f(0)＝0 B.若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，则函数 y＝f(x)的图象 关于直线 x＝a 对称 C.若函数 y＝f(x＋b)是奇函数，则函数 y＝f(x)的图象 关于点(b,0)中心对称 D.2π是函数 f(x)＝sin x，x∈(－∞，0)的一个周期 答案：BCD