1.3不等式的解集2

一元二次不等式的解集一元二次不等式是指一个包含一个未知数的二次方程不等式。

解集指的是满足不等式条件的所有实数值的集合。

在本文中，我们将讨论一元二次不等式的性质、解法和解集的表示方法。

一、一元二次不等式的性质1. 一元二次不等式的基本形式为ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。

2. 当a > 0时，一元二次不等式的图像为开口向上的抛物线；当a < 0时，一元二次不等式的图像为开口向下的抛物线。

3. 一元二次不等式有零个、一个或两个解，解的个数取决于不等式的形式和系数的取值。

二、一元二次不等式的解法1. 通过图像法求解：通过绘制一元二次不等式的图像，可确定其解集的范围。

在绘制图像时，注意抛物线的开口方向和顶点的坐标。

2. 通过因式分解求解：对于特定的一元二次不等式，可以通过因式分解将其转化为多个一次因式相乘的形式，然后利用每个因式的符号确定不等式的解集。

3. 通过配方法求解：对于特定的一元二次不等式，可以通过配方法将其转化为一个平方差或完全平方式，然后利用平方差或完全平方式的性质求解不等式。

三、一元二次不等式解集的表示方法1. 解集的表示方法有三种常用形式：区间表示法、集合表示法和图像表示法。

a) 区间表示法：用区间形式表示解集，如(a, b)、[a, b]、(a, +∞)、(-∞, b]等。

b) 集合表示法：用集合的形式表示解集，如{x ∈ R | a < x < b}表示一个开区间。

c) 图像表示法：用图形的方式表示解集，通过绘制坐标轴上的区间来表示解集的范围。

2. 解集的界限问题：解集的上下界取决于不等式的形式和系数的取值。

对于开口向上的抛物线，解集的下界是抛物线的顶点坐标；对于开口向下的抛物线，解集的上界是抛物线的顶点坐标。

4. 解集的无解情况：有些一元二次不等式没有实数解，这意味着不等式在实数范围内不成立。

8.2.1不等式的解集教材分析：本节课在介绍不等式的基础上，介绍了不等式的解集。

用数轴表示不等式的解集，也为后面利用数轴确定一元一次不等式组的解集打下基础。

学情分析：通过提问，课内外的练习与作业反馈回来的信息发现：1.由于受方程思想的影响，学生对不等式的解集的接受和理解有一定的困难。

教学时要注意结合简单的不等式，让学生体会加深对不等式解集的理解。

2.用数轴表示不等式的解集掌握较好。

3.学生对于符号“”，“”的理解容易出错，即“”表示不大于，“”表示不小于。

教学目标：1.理解不等式的解集的含义，能弄清不等式的解和解集这两个概念的区别与联系。

2.使学生能够借助数轴将不等式的解集直观的表示出来。

教学重点：1.理解不等式的解集的概念。

2.用数轴表示不等式的解集。

教学难点：学生对不等式的解是一个集合可能会不大理解。

教学过程：一、提纲导学1.复习提问：什么叫不等式？什么叫不等式的解？2.出示提纲问题（一）理解解集的含义：下列各数中，哪些是不等式x+2=5的解？哪些不是？-3 ，-2，-1, 0, 1.5, 2.5, 3, 3.5, 5, 7,我们发现，都是不等式x+2＞5的解，而不是不等式x+2＞5的解。

由此可以看出，不等式有个解。

通过进一步分析，大于3的每一个数都（“是”或“不是“）不等式x+2＞5的解，而不大于3的每一个数都（“是”或“不是“）不等式x+2 ＞5的解，这个不等式的解有个。

它们组成了一个集合，称为不等式x+2＞5的（“解“或”解集“）因此一个不等式的解，组成这个不等式的解简称为这个不等式的问题（二）不等式的解集的表示方法：（1）x+2 ＞5的解集，可以表示为x＞3，也可以在数轴上直观的表示出来：x＞3不包括3，在3处画（“空心圆圈“或”实心圆点“）（2）x+3<=1的解集，可以表示为，也可以用数轴表示x<=-2包括-2，在-2处画（“空心圆圈“或”实心圆点“）问题三：完成下表不等式的解集在数轴上的表示方法有以下几种情况：结合导纲，自学课本第53-54页的内容，并把自己有疑问的地方列出来。

高中数学解三元二次不等式的方法及相关题目解析在高中数学中，解三元二次不等式是一个比较常见的题型。

解这类不等式需要掌握一定的解题方法和技巧。

本文将介绍解三元二次不等式的几种常见方法，并通过具体的题目进行解析，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

一、平方根法解三元二次不等式平方根法是解三元二次不等式的常用方法之一。

具体步骤如下：1. 将不等式化简为一个关于某个变量的二次不等式；2. 对二次不等式应用平方根法，解出关于该变量的一元二次不等式；3. 根据一元二次不等式的解集，确定原不等式的解集。

下面通过一个例题来说明平方根法的具体应用。

例题：解不等式组x^2+y^2+z^2-2xy-2yz+2xz≥0。

解：首先，我们将不等式组化简为关于变量x的二次不等式：(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2≥0。

接下来，我们对该二次不等式应用平方根法，得到：x-y≥0，y-z≥0，x-z≥0。

根据这三个一元二次不等式的解集，我们得到原不等式的解集为：x≥y，y≥z，x≥z。

二、配方法解三元二次不等式配方法是解三元二次不等式的另一种常用方法。

具体步骤如下：1. 将不等式化简为一个关于某个变量的二次不等式；2. 对二次不等式应用配方法，将其转化为一个完全平方式；3. 根据完全平方式的性质，确定原不等式的解集。

下面通过一个例题来说明配方法的具体应用。

例题：解不等式组x^2+y^2+z^2+2xy-2yz+2xz≥0。

解：首先，我们将不等式组化简为关于变量x的二次不等式：(x+y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2≥0。

接下来，我们对该二次不等式应用配方法，得到：(x+y+z)^2-4yz≥0。

根据完全平方式的性质，我们得到原不等式的解集为：x+y+z≥0，yz≥0。

三、代换法解三元二次不等式代换法是解三元二次不等式的另一种常用方法。

具体步骤如下：1. 选择一个合适的代换变量，将不等式化简为关于该变量的一元二次不等式；2. 对一元二次不等式应用一元二次不等式的解法，确定原不等式的解集。

北师大版数学八年级下册《2.3 不等式的解集》教学设计
判断一个数值是否是不等式的一个解只需代入验证即可．由于不等式的解集必须符合两个条件：
(1)解集中的每一个数值都能使不等式成立；
(2)能够使不等式成立的所有数值都在解集中，因此如果解集内有一个数能够使不等式不成立或解集外有一个数能够使不等式成立，那么这个解集就不是这个不等式的解集．
请你用自己的方式将不等式 x > 5 的解集和不等式x-5 ≤-1 的解集分别表示在数轴上，并与同伴交流．
不等式 x > 5 的解集可以用数轴上表示 5 的点的右边部分来表示，在数轴上表示 5 的点的位置上画空心圆圈，表示 5 不在这个解集内．
不等式 x-5≤ - 1 的解集 x ≤ 4 可以用数轴上表示 4 的点及其左边部分来表示，在数轴上表示 4 的点的位置上画实心圆点，表示 4 在这个解集内．。

第一讲不等式的基本性质【学习目标】1．了解不等式的意义,认识不等式和等式都可以用来刻画现实世界中的数量关系.2. 知道不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.3. 理解不等式的三条基本性质,并会简单应用.【知识总结】一、不等式的概念一般地,用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子,叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系,它们具有方向性,不等号的开口所对的数较大．(2)五种不等号的读法及其意义：(3)有些不等式中不含未知数,如3＜4,-1＞-2；有些不等式中含有未知数,如2x＞5中,x表示未知数,对于含有未知数的不等式,当未知数取某些值时,不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系,我们说不等式成立,否则,不等式不成立．二、不等式的解及解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解．2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式,它的所有解组成这个不等式的解集．不等式的解是具体的未知数的值,不是一个范围不等式的解集是一个集合,是一个范围．其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立②能够使不等式成立的所有数值都在解集中3.不等式的解集的表示方法（1）用最简的不等式表示:一般地,一个含有未知数的不等式有无数个解,其解集是一个范围,这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来,形象地表明不等式的无限个解．如图所示：要点诠释：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来,在应用数轴表示不等式的解集时,要注意两个“确定”：一是确定“边界点”,二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解,则用实心圆点,若边界点不是不等式的解,则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言,x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言,x＜a或x≤a 向左画．注意：在表示a的点上画空心圆圈,表示不包括这一点．三、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b,那么a±c＞b±c．不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b,c＞0,那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b,c＜0,那么ac＜bc(或a bc c <)．要点诠释：不等式的基本性质的掌握注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据,是学习不等式的基础,它与等式的两条性质既有联系,又有区别,注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时,要特别注意性质2和性质3的区别,在乘(或除以)同一个数时,必须先弄清这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号的方向要改变． 【典型例题】【类型】一、不等式的概念例1．给出下列表达式：①()a b c ab ac +=+；②20-<；③5x ≠；④21a b >+；⑤222x xy y -+；⑥236x ->,其中属于不等式的是______．（填序号） 【答案】②③④⑥【分析】根据不等式的定义判断即可． 解：①a （b+c ）=a b+ac 是等式；②-2＜0是用不等号连接的式子,故是不等式； ③x≠5是用不等号连接的式子,故是不等式； ④2a ＞b+1是用不等号连接的式子,故是不等式； ⑤x 2-2xy+y 2是代数式；⑥2x-3＞6是用不等号连接的式子,故是不等式, 故答案为：②③④⑥．【点拨】本题考查的是不等式的定义,即用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子,叫做不等式,用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．【训练】下列式子：①－1＞2；②3x≥－1；③x －3；④s ＝vt ；⑤3x －4＜2y ；⑥3x －5＝2x ＋2；⑦a 2＋2≥0；⑧a 2＋b 2≠c 2.其中是不等式的是___________________．(只填序号) 【答案】①②⑤⑦⑧ 【解析】【分析】根据不等式的定义即可得出结论．解：根据不等式的定义：①－1＞2,②3x ≥－1,⑤3x －4＜2y ,⑦a 2＋2≥0,⑧a 2＋b 2≠c 2是不等式；③x －3,④s =vt ,⑥3x －5=2x ＋2不是不等式． 故答案为：①②⑤⑦⑧．【点拨】本题考查了不等式的概念．掌握不等式的概念是解题的基础． 【训练】下列式子属于不等式的是_______________．① 50-< ② 2x 3= ③ 3x 12-> ④4x 2y 0-≤ ⑤ 2x 3x 20-+> ⑥ x 2y - ⑦ 57x ≠ ⑧54< ⑨ x y 0+≥【答案】①③④⑤⑦⑧⑨【解析】【分析】根据不等式的概念即可解题. 解：∵不等式要求用不等号连接 ∴排除②⑥∴不等式的有①③④⑤⑦⑧⑨【点拨】本题考查了不等式的识别,属于简单题,熟悉不等式的概念是解题关键.【类型】二、不等式的解及解集例2.（2018·安徽全国·七年级单元测试）下列数值中哪些是不等式3x-1≥5的解？哪些不是？ 100, 98, 51, 12, 2, 0, -1, -3, -5.【答案】100, 98, 51, 12, 2是不等式3x-1≥5的解；0,-1,-3,-5不是不等式3x-1≥5的解. 【解析】试题分析：把上述各数分别代入不等式315x -≥的左边计算出左边的值,看是否大于或等于5即可. 试题解析：∵在不等式315x -≥中,当100x =时,左边=312995x -=>； 当98x =时,左边=312935x -=>； 当51x =时,左边=311525x -=>； 当12x =时,左边=31355x -=>； 当2x =时,左边=315x -=；当0x =时,左边=3115x -=-<； 当1x =-时,左边=3145x -=-<； 当3x =-时,左边=31105x -=-<； 当5x =-时,左边=31165x -=-<;∴上述各数中,100,98,51,12,2是不等式315x -≥的解；0,－1,－3,－5不是不等式315x -≥的解. 例3. 把下列不等式的解集在数轴上表示出来． (1)x≥－3； (2)x ＞－1； (3)x≤3；(4)x<－32. 【答案】(1)(2) (3)(4)【解析】将上述不等式的解集规范的表示在数轴上即可. 试题解析：（1）将3x ≥-表示在数轴上为：（2）将1x >-表示在数轴上为：（3）将3x ≤表示在数轴上为：（4）将32x <-表示在数轴上为：点拨：将不等式的解集表示在数轴上时,需注意两点：（1）“大于（大于或等于）向右,小于（小于或等于）向左”；（2）“x a >或（x a <）时”,数轴上表示数“a ”的点用“空心圆圈”,“x a ≥（或x a ≤）时”,数轴上表示数“a ”的点用“实心圆点”. 【训练】在数轴上表示不等式﹣3≤x ＜6的解集和x 的下列值：﹣4,﹣2,0,142,7,并利用数轴说明x 的这些数值中,哪些满足不等式﹣3≤x ＜6,哪些不满足？ 【答案】﹣2,0,142满足不等式；﹣4,7不满足不等式 【分析】根据“大于向右,小于向左,包括端点用实心,不包括端点用空心”的原则将不等式的解集和x 的下列值：﹣4,﹣2,0,142,7在数轴上表示出来,这些值如果在解集范围内则表示满足不等式,否则就是不满足不等式．解：根据图可知：x 的下列值：﹣2,0,142满足不等式；x 的下列值：﹣4,7不满足不等式．【点拨】不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞,≥向右画；＜,≤向左画）,数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示；“＜”,“＞”要用空心圆点表示．【类型】三、不等式的性质例4.根据不等式的基本性质,把下列不等式化成x a >或x a <的形式．（1）x 15-<． （2）4x 13-≥． （3）1x 142-+≥． （4）4x 10-<-． 【答案】（1）x 6<；（2）x 1≥；（3）x 6≤-；（4）5x 2>．【分析】（1）利用不等式的性质将两边加上1即可求解；（2）利用不等式的性质先将两边加上1,再两边同除以4即可求解； （3）利用不等式的性质先将两边减去1,再两边同除以12-即可求解； （3）利用不等式的性质将两边同除以-4即可求解； 解：（1）x 15-<,两边加上1得：x 1151-+<+, 解得：x 6<； （2）4x 13-≥,两边加上1得：4x 1131-+≥+,即4x 4≥, 两边除以4得：x 1≥； （3）1x 142-+≥, 两边减去1得：1x 11412-+-≥-,即1x 32-≥, 两边除以12-得：x 6≤-； （4）4x 10-<-, 两边除以4-得：5x 2>． 【点拨】本题考查不等式的性质,解题的关键是熟练掌握不等式的性质．【训练】根据不等式的基本性质,把下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式：（1）5x>4x+8 （2）x+2<-1 （3）-23x>-1（4）10-x>0 （5）-15x<-2 （6）3x+5<0【答案】（1）x>8；（2）x<-3；（3）x<32；（4）x<10；（5）x>10；（6）x<-53．【分析】根据不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子）,不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数,不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数,不等号的方向改变；依次分析各小题即可．解：（1）根据不等式性质1,不等式两边都减4x,不等号的方向不变,得5x-4x>4x+8-4x,即x>8；（2）根据不等式性质1,不等式两边都减去2,不等号的方向不变,得x+2-2<-1-2即x<-3；（3）根据不等式性质3,不等式两边同除以-23,不等号的方向改变,得-23x÷（-23）<-1÷（-23）即x<32；（4）根据不等式性质1,不等式两边同减10,不等号的方向不变,得10-x-10>0-10即-x>-10,再根据不等式性质3,不等式两边同除以-1,不等号的方向改变,得x<10；（5）根据不等式性质3,不等式两边同乘以-5,不等号的方向改变,得-15x·（-5）>-2×（-5）即x>10；（6）根据不等式性质1,不等式两边都减去5,不等号的方向不变得3x+5-5<0-5即3x<-5,再根据不等式性质2,不等式两边同除以3,不等号的方向不变,得3x÷3<-5÷3即x<-53．【点拨】本题主要考查了不等式的基本性质,本题重在考查不等式的三条基本性质,特别是性质3,两边同乘以（•或除以）同一个负数时,一定要改变不等号的方向!•这条性质是初学者最易出错也经常出错的地方．。

不等式的解集1. 引言在数学中，不等式是描述数值之间大小关系的工具。

不等式的解集是满足给定不等式的所有实数值的集合。

解集的求解是解决不等式问题的关键步骤，对于理解和应用不等式具有重要意义。

本文将介绍不等式解集的概念、求解方法和常见类型的不等式，并提供一些实例来帮助读者更好地理解和应用不等式解集的求解过程。

2. 不等式解集的定义给定一个不等式，解集是满足此不等式的所有实数值组成的集合。

通常用数学符号表示如下：解集：{x | 不等式}其中，x表示满足不等式的实数值，竖线表示“使得”或“满足的条件”，不等式表示约束条件。

例如，解集 {x | x > 0} 表示所有大于0的实数构成的集合。

3. 不等式解集的求解方法解不等式的一般方法是通过分析和推导找出满足不等式的数值范围。

以下是一些常见的不等式解集求解方法：3.1. 一元一次不等式的解集求解一元一次不等式是指表达式中只含有一次幂的单个未知数的不等式。

解一元一次不等式的步骤如下：1.将不等式转化为等式。

2.根据等式的解集，绘制数轴并进行标记。

3.根据不等式的类型（大于、小于、大于等于、小于等于），确定解集的位置。

例如，对于不等式2x + 3 < 7，我们可以将其转化为等式2x + 3 = 7，解得 x = 2。

由于不等式为小于关系，解集为{x | x < 2}。

3.2. 一元二次不等式的解集求解一元二次不等式是指表达式中含有二次项的单个未知数的不等式。

解一元二次不等式的步骤如下：1.将不等式转化为等式。

2.根据等式的解集，绘制二次函数的图像。

3.根据不等式的类型（大于、小于、大于等于、小于等于），确定解集的位置。

例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以将其转化为等式x^2 - 4x + 3 = 0。

解得 x = 1 或 x = 3。

通过绘制函数图像，我们可以确定解集为{x | x < 1 或 x > 3}。

教学目的和要求:1.使学生正确理解不等式的解，不等式的解集，解不等式的概念，掌握在数轴上表示不等式的解的集合的方法；2.培养学生观察、分析、比较的能力，并初步掌握对比的思想方法；3.在本节课的教学过程中，渗透数形结合的思想，并使学生初步学会运用数形结合的观点去分析问题、解决问题.教学重点和难点：重点：不等式的解集的概念及在数轴上表示不等式的解集的方法.难点：不等式的解集的概念.课堂教学过程设计快速反应：1. 你能举出不等式2x+4＞0的三个解吗？这个不等式的解有多少个？它的解集是什么？有多少个解集？2. 1-=x 是不等式（ ）的解.A ．2+x ＜0B ．43-x ＞0C ．12+x ＜0D ．25+-x ＞03. 将不等式的解集3≤x 表示在数轴上。

自主学习：1. 某市自来水公司按如下标准收取水费，若每户每月用水不超过5m 3则每立方米收费1.5元；若每户每月用水超过5m 3,，则超出部分每立方米收费2元。

小颖家某月的水费不少于15元，那么她家这个月的用水量至少是多少？答案：设小颖家这个朋的用水量是xm 3,由于15＞1.5×5，所以即：155.2215)5(255.1≥-≥-+⨯x x 2. （1）你能找出几个使不等式155.22≥-x 成立的x 的值吗？（2）9,6,3=x 能使不等式155.22≥-x 成立吗？答案：（1）可以找出许多使不等式155.22≥-x 成立的x 的值，比如：取10=x ，则5.175.2102=-⨯＞15不等式成立，取2.10=x 则9.175.22.102=-⨯＞15不等式成立，取12=x ，则，5.215.2122=-⨯＞15不等式成立，等等。

（2）当3=x 时，5.35.232=-⨯＜15不等式不成立。

当6=x 时，5.95.262=-⨯＜15不等式不成立。

当9=x ，5.155.292=-⨯＞15不等式成立。

3. 判断下列说法是否正确：（1）2=x 是不等式3+x ＜4的解；（2）2=x 是不等式x 3＜7的解集；（3）不等式x 3＜7的解是2=x ；（4）3=x 是不等式93≥x 的解。

不等式的解集观评课报告引言不等式是数学中的一个基本概念，它描述了两个数或两个式子之间的大小关系。

不等式的解集是指能够满足不等式的一组实数解，这个解集在数学中有着广泛的应用。

本篇报告将从两个角度出发，分别是解集的直观感受和解集的计算方法，来讨论不等式的解集。

观感知觉首先，我们可以通过图像来感性地了解不等式的解集。

下面以一元一次不等式为例，探讨不等式解集的图像表示。

对于形如ax+b>0的不等式，我们将其转化为一元一次方程ax+b=0，并找出其根$(x=\\frac{-b}{a})$。

接着我们将数轴上$x<\\frac{-b}{a}$的部分标记为A，它表示所有能够使得x小于$\\frac{-b}{a}$的实数点。

我们还可以通过在数轴上的一个区间图示解集，红色区间表示解集，如下图所示：———o-------------x------------>A当ax+b<0时，我们可以用同样的方法求出$x>\\frac{-b}{a}$的解集B，如下图所示：———x-------------o------------>B对于不等式$ax+b\\ge 0$的解集，则是数轴上A和$\\frac{-b}{a}$两个点组成的闭区间，如下图所示：———o-------------x------------>A $\\frac{-b}{a}$不难发现，利用图像表示不等式的解集方便易懂，但这种方式只适用于简单的一元一次不等式，对于更复杂的不等式，则需通过计算来求解。

解集求解在实际应用中，我们需要使用数学方法计算出不等式的解集。

对于海量数据的解集计算，手算方法显然不能胜任，我们需要使用相关的计算工具，比如数学软件或计算器。

以求解不等式3x2−5x+1>0为例，我们可以使用如下方式来计算其解集：首先，将不等式转化为3x2−5x+1=0的形式，求出方程的根为$x_1=\\frac{1}{3}$和x2=1。