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限时集训(九) 函数的图象(限时：50分钟 满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x <0，2x－1x ≥0的图象大致是( )2．函数y ＝lg1|x ＋1|的大致图象为( )3．(2013·某某模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x＋m (m 为常数)，则函数f (x )的大致图象为( )4．已知函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )·g (x )的图象可能是( )5．已知函数f (x )＝ax －2，g (x )＝log a |x |(a >0，且a ≠1)，且f (2 011)·g (－2 012)<0，则y ＝f (x )，y ＝g (x )在同一坐标系内的大致图象是( )6．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位长度后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c7．我们定义若函数f (x )为D 上的凹函数须满足以下两条规则：(1)函数在区间D 上的任何取值有意义；(2)对于区间D 上的任意n 个值x 1，x 2，…，x n ，总满足f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )≥nf ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，那么下列四个图象中在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上满足凹函数定义的是( )8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f x ＋1，x <0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.5]＝－2，[1.5]＝1，若直线y ＝k (x ＋1)(k >0)与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，则k 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤14，13B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，13 二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ≤0，log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19，x >0的图象如图所示，则a ＋b ＋c ＝________.10．已知y ＝f (x )是R 上的增函数，A (0，－1)，B (3,1)是其图象上两个点，则不等式|f (x ＋1)|<1的解集是________．11．若对任意x ∈R ，不等式|x |≥ax 恒成立，则实数a 的取值X 围是________． 12．(2013·平湖模拟)若关于x 的不等式2－x 2>|x －a |至少有一个负数解，则实数a 的取值X 围是________．13．若方程2a ＝|a x－1|(a >0，a ≠1)有两个实数解，则实数a 的取值X 围为________． 14．已知函数y ＝f (x )(x ∈R)满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则函数y ＝f (x )与y ＝log 5x 的图象交点的个数为________．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．设函数f (x )＝x ＋1x的图象为C 1，C 1关于点A (2,1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)若直线y ＝m 与C 2只有一个交点，求m 的值和交点坐标．16．当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，某某数a 的取值X 围．17．(1)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且当x ∈R 时，f (m ＋x )＝f (m －x )恒成立，求证y ＝f (x )的图象关于直线x ＝m 对称；(2)若函数y ＝log 2|ax －1|的图象的对称轴是x ＝2，求非零实数a 的值．答 案 [限时集训(九)]1．B 2.D 3.B 4.A 5.B 6.D 7.A 8.D 9．解析：由图象可求得直线的方程为y ＝2x ＋2.又函数y ＝log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19的图象过点(0,2)， 将其坐标代入可得c ＝13，所以a ＋b ＋c ＝2＋2＋13＝133.答案：13310．解析：|f (x ＋1)|<1⇔－1<f (x ＋1)<1⇔f (0)<f (x ＋1)<f (3)，又y ＝f (x )是R 上的增函数，∴0<x ＋1<3.∴－1<x <2. 答案：{x |－1<x <2} 11．解析：如图所示由图可知，当－1≤a ≤1时不等式恒成立．答案：[－1,1]12．解析：在同一坐标系中画出函数f (x )＝2－x 2，g (x )＝|x －a |的图象，如图所示．若a ≤0，则其临界情况为折线g (x )＝|x －a |与抛物线f (x )＝2－x 2相切，由2－x 2＝x －a 可得x 2＋x －a －2＝0，由Δ＝1＋4·(a ＋2)＝0，解得a ＝－94；若a >0，则其临界情况为两函数图象的交点为(0,2)，此时a ＝2.结合图象可知，实数a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，2. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，2 13．解析：当a >1时，函数y ＝|a x－1|的图象如图①所示，显然直线y ＝2a 与该图象只有一个交点，故a >1不合适；当0<a <1时，函数y ＝|a x－1|的图象如图②所示，要使直线y ＝2a 与该图象有两个交点，则0<2a <1， 即0<a <12.综上所述，实数a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 14．解析：根据f (x ＋1)＝f (x －1)，得f (x )＝f (x ＋2)，则函数f (x )是以2为周期的函数，分别作出函数y ＝f (x )与y ＝log 5x 的图象(如图)，可知函数y ＝f (x )与y ＝log 5x 的图象的交点个数为4.答案：415．解：(1)设点P (x ，y )是C 2上的任意一点，则P (x ，y )关于点A (2,1)对称的点为P ′(4－x,2－y )，代入f (x )＝x ＋1x，可得2－y ＝4－x ＋14－x，即 y ＝x －2＋1x －4.∴g (x )＝x －2＋1x －4. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m ，y ＝x －2＋1x －4，消去y ，得x 2－(m ＋6)x ＋4m ＋9＝0，Δ＝(m ＋6)2－4(4m ＋9)，∵直线y ＝m 与C 2只有一个交点， ∴Δ＝0，解得m ＝0或m ＝4.当m ＝0时，经检验合理，交点为(3,0)； 当m ＝4时，经检验合理，交点为(5,4)． 16．解：设f (x )＝(x －1)2，g (x )＝log a x ， 在同一直角坐标系中画出f (x )与g (x )的图象，要使x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需函数f (x )的图象在g (x )的图象下方即可．当0<a <1时，由两函数的图象知，显然不成立；当a >1时，如图，使x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需f (2)≤g (2)，即(2－1)2≤log a 2，解得1<a ≤2. 综上可知，1<a ≤2.17．解：(1)设P (x 0，y 0)是y ＝f (x )图象上任意一点， 则y 0＝f (x 0)．又P 点关于x ＝m 的对称点为P ′， 则P ′的坐标为(2m －x 0，y 0)． 由已知f (x ＋m )＝f (m －x )， 得f (2m －x 0)＝f [m ＋(m －x 0)] ＝f [m －(m －x 0)]＝f (x 0)＝y 0.即P ′(2m －x 0，y 0)在y ＝f (x )的图象上．∴y ＝f (x )的图象关于直线x ＝m 对称． (2)对定义域内的任意x ， 有f (2－x )＝f (2＋x )恒成立．∴|a (2－x )－1|＝|a (2＋x )－1|恒成立， 即|－ax ＋(2a －1)|＝|ax ＋(2a －1)|恒成立． 又∵a ≠0，∴2a －1＝0，得a ＝12.。
第八节 函数的图象[备考方向要明了]考 什 么怎 么 考1.在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数．2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题．3.会用数形结合思想、转化与化归思想解决函数问题.高考对本节内容的考查主要以选择题或填空题的形式考查函数图象的判断及应用．1.对图象的判断主要有以下两种：(1)根据所给函数解析式，利用其与基本初等函数的关系以及它们之间的变化规律，根据图象变换得出所求函数的图象，如2012年某某T5，新课标全国T10等．(2)根据函数的性质(如：奇偶性、单调性、周期性等)或函数图象的特殊点得出所求函数的图象，如2012年某某T9等． 2.图象的应用主要有以下几个方面：求函数的值域、单调区间，求参数的取值X 围，判断非常规解的个数等，如2012年某某T15，某某T14等.[归纳·知识整合]1．利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换：y ＝f (x )―――――――――――→a >0，右移a 个单位a <0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )； y ＝f (x )―――――――――→b >0，上移b 个单位b <0，下移|b |个单位y ＝f (x )＋b . (2)伸缩变换：y ＝f (x )1011ωωωω−−−−−−−−→＜＜，伸长为原来的倍＞1，缩短为原来的 y ＝f (ωx )；y ＝f (x )―――――――――→A >1，伸为原来的A 倍0<A <1，缩为原来的A 倍y ＝Af (x )．(3)对称变换：y ＝f (x )―――――→关于x 轴对称 y ＝－f (x )； y ＝f (x )―――――→关于y 轴对称 y ＝f (－x )； y ＝f (x )――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )． (4)翻折变换：y ＝f (x )――――――――――――――→去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图将y 轴右边的图象翻折到左边去y ＝f (|x |)； y ＝f (x )―――――――――→留下x 轴上方图将x 轴下方图翻折上去y ＝|f (x )|. [探究] 1.函数y ＝f (x )的图象关于原点对称与函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点对称一致吗？提示：不一致，前者是本身的对称，而后者是两个函数图象间的对称． 2．一个函数的图象关于y 轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称有何区别？ 提示：一个函数的图象关于y 轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称不是一回事．函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称是自身对称，说明该函数为偶函数；而函数y ＝f (x )与函数y＝f (－x )的图象关于y 轴对称，是两个函数的图象对称．3．若函数y ＝f (x )的图象关于点(a,0)(a >0)对称，那么其图象如何变换才能使它变为奇函数？其解析式变为什么？提示：向左平移a 个单位即可；解析式变为y ＝f (x ＋a )．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车行驶的路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( )解析：选B 汽车在启动、加速行驶的过程中，路程变化越来越快，图象呈下凸趋势；匀速行驶过程，图象呈直线上升趋势；减速行驶过程，路程变化越来越慢，图象呈上凸趋势．2．函数y ＝x |x |的图象经描点确定后的形状大致是( )解析：选A y ＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >00，x ＝0－x 2，x <0为奇函数，奇函数图象关于原点对称．3．函数y ＝ln(1－x )的图象大致为( )解析：选C y ＝ln(1－x )＝ln[－(x －1)]，其图象可由y ＝ln x 关于y 轴对称的图象向右平移一个单位得到．4．已知下图(1)中的图象对应的函数为y ＝f (x )，则下图(2)中的图象对应的函数在下列给出的四个式子中，可能是________(填序号)．①y ＝f (|x |)；②y ＝|f (x )|；③y ＝－f (|x |)；④y ＝f (－|x |)．解析：由图(1)和图(2)的关系可知，图(2)是由图(1)在y 轴左侧的部分及其关于y 轴对称图形构成的，故选④.答案：④5．(2012·某某模拟)函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f xcos x<0的解集为________．解析：利用函数f (x )的图象关于y 轴对称和余弦函数y ＝cos x 的图象可知不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎪⎫1，π2作函数的图象[例1] 分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg(x －1)|；(2)y ＝2x ＋1－1；(3)y ＝x 2－|x |－2.[自主解答] (1)首先作出y ＝lg x 的图象C 1，然后将C 1向右平移1个单位，得到y ＝lg(x －1)的图象C 2，再把C 2在x 轴下方的图象作关于x 轴对称的图象，即为所求图象C 3：y ＝|lg(x －1)|.如图(1)所示(实线部分)．(2)y ＝2x ＋1－1的图象可由y ＝2x 的图象向左平移1个单位，得y ＝2x ＋1的图象，再向下平移一个单位得到，如图(2)所示．(3)y ＝x 2－|x |－2＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2 x ≥0x 2＋x －2x <0，其图象如图(3)所示．———————————————————画函数图象的一般方法(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．2图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.3描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法.为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论.1．分别画出下列函数的图象． (1)y ＝|x 2－4x ＋3|；(2)y ＝2x ＋1x ＋1；(3)y ＝10|lg x |. 解：(1)先画函数y ＝x 2－4x ＋3的图象，再将其x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，如图(1)．(2)y ＝2x ＋1x ＋1＝2x ＋1－1x ＋1＝2－1x ＋1.可由函数y ＝－1x向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图(2)．(3)y ＝10|lg x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x，0<x <1，如图(3).识图与辨图[例2] (1)(2012·某某高考)函数y ＝cos 6x2x －2－x 的图象大致为( )(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )[自主解答] (1)∵y ＝f (x )＝cos 6x 2x －2－x ，∴f (－x )＝cos －6x2－x －2x＝－f (x )．∴f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，排除选项A ；当x 从正方向趋近0时，y ＝f (x )＝cos 6x2x －2－x 趋近＋∞，排除选项B ；当x 趋近＋∞时，y ＝f (x )＝cos 6x2x －2－x 趋近0，排除选项C.(2)法一：由y ＝f (x )的图象知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x0≤x ≤1，11<x ≤2.当x ∈[0,2]时，2－x ∈[0,2]，所以f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10≤x ≤1，2－x 1<x ≤2，故y ＝－f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－10≤x ≤1，x －21<x ≤2.图象应为B.法二：当x ＝0时，－f (2－x )＝－f (2)＝－1；当x ＝1时，－f (2－x )＝－f (1)＝－1.观察各选项，可知应选B.[答案] (1)D (2)B ——————————————————— 寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法(1)知图选式：①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域； ②从图象的变化趋势，观察函数的单调性； ③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性； ④从图象的循环往复，观察函数的周期性． 利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项． (2)知式选图：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③从函数的奇偶性，判断图象的对称性． ④从函数的周期性，判断图象的循环往复． 利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．2．函数y ＝x2－2sin x 的图象大致是( )解析：选C 当x ＝0时，y ＝0，由此排除选项A ；当x ＝2π时，y ＝π<4，由此排除B ；当x →＋∞时，y >0，由此排除选项D.3．(2013·某某模拟)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可能是( )A ．f (x )＝x 2－2ln |x | B ．f (x )＝x 2－ln |x | C ．f (x )＝|x |－2ln |x | D ．f (x )＝|x |－ln |x |解析：选B 由函数图象可得，函数f (x )为偶函数，且x >0时，函数f (x )的单调性为先减后增，最小值为正，极小值点小于1，分别对选项中各个函数求导，并求其导函数等于0的正根，可分别得1，22，2,1，由此可得仅函数f (x )＝x 2－ln |x |符合条件．函数图象的应用[例3] (2012·某某高考)已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值X 围是________．[自主解答] 先去掉绝对值符号，在同一直角坐标系中作出函数的图象，数形结合求解．根据绝对值的意义，y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x >1或x <－1，－x －1－1≤x <1.在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示．根据图象可知，当0<k <1或1<k <4时有两个交点．[答案] (0,1)∪(1,4)若将“y ＝kx －2”改为“y ＝kx ”，k 的取值X 围是什么？解：函数可表示为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >1或x <－1，－x －1，－1≤x <1，图象为如图所示的实线部分，数形结合可知，要使两函数图象有两个交点，则k ∈(0,1)∪(1,2)．———————————————————1.利有函数的图象研究函数的性质从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等.2.利用函数的图象研究方程根的个数有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值.4．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f x ＝(x 2－2)⊗(x－1)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值X 围是( )A ．(－1,1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1,2]C ．(－∞，－2)∪(1,2]D ．[－2，－1] 解析：选B ∵a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1，∴函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x ≤2，x －1，x <－1或x >2.结合图象可知，当c ∈(－2，－1]∪(1,2]时，函数f (x )与y ＝c 的图象有两个公共点， ∴c 的取值X 围是(－2，－1]∪(1,2]．5．已知a >0，且a ≠1，f (x )＝x 2－a x，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )<12，则实数a 的取值X 围是________．解析：由题知，当x ∈(－1,1)时，f (x )＝x 2－a x <12，即x 2－12<a x .在同一坐标系中分别作出二次函数y ＝x 2－12，指数函数y ＝a x的图象，如图，当x ∈(－1,1)时，要使指数函数的图象均在二次函数图象的上方，需12≤a ≤2且a ≠1.故实数a 的取值X 围是12≤a ＜1或1＜a ≤2.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1,2]1个易错点——图象变换中的易错点在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x ，y 变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．3个关键点——正确作出函数图象的三个关键点 为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点： (1)正确求出函数的定义域；(2)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋1x的函数；(3)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．3种方法——识图的方法对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布X 围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：(1)定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征来分析解决问题；(2)定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题.易误警示——作图不准确或数与形不吻合致误[典例] (2011·新课标全国卷)函数y ＝11－x 的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 由题意知y ＝11－x ＝－1x －1的图象是双曲线，且关于点(1,0)成中心对称，又y ＝2sin πx 的周期为T ＝2ππ＝2，且也关于点(1,0)成中心对称；因此两图象的交点也一定关于点(1,0)成中心对称，再结合图象(如图所示)可知两图象在[－2,4]上有8个交点，因此8个交点的横坐标之和x 1＋x 2＋…＋x 8＝4×2＝8.[答案] D [易误辨析]1．如果作出的函数图象比较粗糙，极易造成区间(1,2)上的两个交点遗漏，从而误选B.2．如果作函数y ＝11－x 的图象不够准确，只注意到图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－1，极易忽视区间⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2上的交点，从而误选C.3．如果不能正确地挖掘函数y ＝11－x 及y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象均关于点(1,0)对称，从而无法求出交点横坐标的和．4．解决此类问题，避免在解题过程中出现失误，应关注以下几点：(1)平时涉及函数图象的问题时，要规X 准确地画出图象，切忌不用尺规草草完成． (2)加强通过解析式分析其图象的对称性、周期性等性质的训练以提高解决这类问题的能力．(3)训练由图分析其函数性质的解题技巧． [变式训练]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x－1|，x <2，3x －1，x ≥2，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则实数a 的取值X 围为( )A ．(1,3)B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1)解析：选D 因为方程f (x )－a ＝0的根，即是直线y ＝a 与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x－1|，x <2，3x －1，x ≥2，的图象交点的横坐标，画出函数图象进行观察可以得知，a 的取值X围是(0,1)．2．已知a ，b ，c 依次是方程2x＋x ＝0，log 2x ＝2－x 和log 12x ＝x 的实数根，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：由2x＋x ＝0，得2x＝－x ，分别作出y ＝2x ，y ＝－x 的图象，如图(1)， 两图象交点的横坐标即为a ，可得a <0. 同理，对于方程log 2x ＝2－x ，可得图(2)， 得1<b <2；对于方程log 12x ＝x ，可得图(3)，得0<c <1，所以a <c <b .答案：a <c <b一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x <0，2x－1x ≥0的图象大致是( )解析：选B 当x <0时，函数的图象是抛物线；当x ≥0时，只需把y ＝2x的图象在y 轴右侧的部分向下平移1个单位即可，故大致图象为B.2．函数y ＝log 2 |x |x的大致图象是( )解析：选C 由于log 2 |－x |－x ＝－log 2 |x |x ，所以函数y ＝log 2 |x |x 是奇函数，其图象关于原点对称．当x >0时，对函数求导可知函数图象先增后减，结合选项可知选C.3．(2013·某某模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x＋m (m 为常数)，则函数f (x )的大致图象为( )解析：选B 由函数f (x )是定义在R 上的奇函数知，函数f (x )的图象过原点且关于原点对称，故可排除A 、C ，由f (x )在[0，＋∞)上为增函数，可排除D ，由题意知，f (0)＝0，得m ＝－1，即当x ≥0时，f (x )＝3x －1；设x <0，则－x >0，f (x )＝－f (－x )＝－(3－x－1)＝－3－x＋1.故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x－1x ≥0，－3－x＋1x <0.4．已知函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )·g (x )的图象可能是( )解析：选A 观察图象可知，y ＝f (x )有两个零点x 1＝－π2，x 2＝π2，且y ＝g (x )在x ＝0时，函数值不存在，所以函数y ＝f (x )·g (x )在x ＝0时，函数值也不存在，故可以排除选项C ，D.当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，y ＝f (x )·g (x )的函数值为负，故排除选项B.5．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位长度后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c解析：选D 由题意得f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，则f (x )的图象关于x ＝1对称，满足f (x )＝f (2－x )，∴a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.又由已知得f (x )在(1，＋∞)上为减函数，∴f (2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f (3)，即b >a >c .6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，fx ＋1，x <0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.5]＝－2，[1.5]＝1，若直线y ＝k (x ＋1)(k >0)与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，则k 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤14，13B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，13D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，13 解析：选D 依题意作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f x ＋1，x <0与直线y ＝13(x ＋1)，y ＝14(x＋1)的部分图象，如下图所示．从图象中我们可以看出当k ＝14时，函数f (x )与直线y ＝14(x＋1)的图象有三个交点，当k ＝13时，函数f (x )与直线y ＝13(x ＋1)的图象有两个交点，所以当14≤k <13时，直线y ＝k (x ＋1)与函数y ＝f (x )的图象恰有三个交点．二、填空题7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ≤0，log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19，x >0的图象如图所示，则a ＋b ＋c ＝________.解析：由图象可求得直线的方程为y ＝2x ＋2.又函数y ＝log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19的图象过点(0,2)，将其坐标代入可得c ＝13，所以a ＋b ＋c ＝2＋2＋13＝133.答案：1338．(2013·某某模拟)若关于x 的不等式2－x 2>|x －a |至少有一个负数解，则实数a 的取值X 围是________．解析：在同一坐标系中画出函数f (x )＝2－x 2，g (x )＝|x －a |的图象，如图所示．若a ≤0，则其临界情况为折线g (x )＝|x －a |与抛物线f (x )＝2－x 2相切，由2－x 2＝x －a 可得x 2＋x －a －2＝0，由Δ＝1＋4·(a ＋2)＝0，解得a ＝－94；若a >0，则其临界情况为两函数图象的交点为(0,2)，此时a ＝2.结合图象可知，实数a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，2. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，2 9．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则函数y ＝f (x )与y ＝log 5x 的图象交点的个数为________．解析：根据f (x ＋1)＝f (x －1)，得f (x )＝f (x ＋2)，则函数f (x )是以2为周期的函数，分别作出函数y ＝f (x )与y ＝log 5x 的图象(如图)，可知函数y ＝f (x )与y ＝log 5x 的图象的交点个数为4.答案：4三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)某某数m 的值； (2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间； (4)根据图象写出不等式f (x )>0的解集； (5)求当x ∈[1,5)时函数的值域． 解：(1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0， 即m ＝4.(2)f (x )＝x |4－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x x －4＝x －22－4，x ≥4，－x x －4＝－x －22＋4，x <4.f (x )的图象如图所示．(3)f (x )的单调递减区间是[2,4]．(4)由图象可知，f (x )>0的解集为{x |0<x <4，或x >4}． (5)∵f (5)＝5>4，∴由图象知，函数在[1,5)上的值域为[0,5)．11．当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，某某数a 的取值X 围． 解：设f (x )＝(x －1)2，g (x )＝log a x ， 在同一直角坐标系中画出f (x )与g (x )的图象，要使x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需函数f (x )的图象在g (x )的图象下方即可．当0<a <1时，由两函数的图象知，显然不成立；当a >1时，如图，使x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需f (2)≤g (2)，即(2－1)2≤log a 2，解得1<a ≤2. 综上可知，1<a ≤2.12．(1)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且当x ∈R 时，f (m ＋x )＝f (m －x )恒成立，求证y ＝f (x )的图象关于直线x ＝m 对称；(2)若函数y ＝log 2|ax －1|的图象的对称轴是x ＝2，求非零实数a 的值． 解：(1)设P (x 0，y 0)是y ＝f (x )图象上任意一点， 则y 0＝f (x 0)．又P 点关于x ＝m 的对称点为P ′， 则P ′的坐标为(2m －x 0，y 0)． 由已知f (x ＋m )＝f (m －x )， 得f (2m －x 0)＝f [m ＋(m －x 0)] ＝f [m －(m －x 0)]＝f (x 0)＝y 0.即P ′(2m －x 0，y 0)在y ＝f (x )的图象上． ∴y ＝f (x )的图象关于直线x ＝m 对称． (2)对定义域内的任意x ， 有f (2－x )＝f (2＋x )恒成立．∴|a (2－x )－1|＝|a (2＋x )－1|恒成立， 即|－ax ＋(2a －1)|＝|ax ＋(2a －1)|恒成立． 又∵a ≠0，∴2a －1＝0，得a ＝12.1．为了得到函数y ＝4·2x 的图象，可以把函数y ＝2x的图象上所有的点( ) A ．向上平移2个单位长度 B ．向下平移2个单位长度 C ．向左平移2个单位长度 D ．向右平移2个单位长度 解析：选C y ＝4·2x ＝2x ＋2，把y ＝2x 的图象向左平移2个单位长度，可以得到y ＝2x＋2的图象．2．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( )解析：选D 函数f (x )的最小正周期T ＝2π|a |，故当|a |>1时，T <2π，当0<|a |<1，T >2π.经观察图中的振幅A 与周期的关系可以发现，A 中0<a <1，T >2π，B 中，a >1，T <2π，C 中，a ＝0，故D 不正确．3．作出下列函数的图象．(1)y ＝|x －2|(x ＋1)；(2)y ＝|x 2－2|x |－3|. 解：(1)函数化为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94x ≥2，－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94x <2，图象如图(1)所示．(2)y ＝x 2－2x －3→y ＝x 2－2|x |－3→y ＝|x 2－2|x |－3|.图象变换如图(2)所示．。
§2.7 函数的图像2014高考会这样考 1.考查基本初等函数的图像；2.考查图像的性质及变换；3.考查图像的应用．复习备考要这样做 1.会画一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数的图像；2.掌握常见的平移、伸缩、对称三种图像变换；3.利用图像解决一些方程解的个数，不等式解集等问题，巩固数形结合思想．1． 描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图像． 2． 图像变换(1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x (a >0且a ≠1)――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)． (3)翻折变换①y ＝f (x )――――――――――→保留x 轴上方图像将x 轴下方图像翻折上去y ＝|f (x )|. ②y ＝f (x )――――――――――――→保留y 轴右边图像，并作其关于y 轴对称的图像y ＝f (|x |)． (4)伸缩变换①y ＝f (x )y ＝f (ax )．②y ＝f (x )y ＝af (x )． [难点正本 疑点清源]1． 数形结合的思想方法是学习函数内容的一条主线，也是高考考查的热点．作函数图像首先要明确函数图像的形状和位置．2． 图像的每次变换都针对自变量而言，如从f (－2x )的图像到f (－2x ＋1)的图像是向右平移12个单位．其中的x 变成x －12.3． 要理解一个函数的图像自身的对称性和两个不同函数图像对称关系的不同．1． 函数y ＝1－1x －1的图像是( )答案 B解析 将y ＝－1x 的图像向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y ＝1－1x －1的图像． 2． 已知图①中的图像对应的函数为y ＝f (x )，则图②的图像对应的函数为( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (|x |)答案 C解析 y ＝f (－|x |)＝⎩⎪⎨⎪⎧f (－x )，x ≥0f (x )，x <0.3． 函数y ＝2x －x 2的图像大致是( )答案 A解析 由于2x －x 2＝0在x <0时有一解；在x >0时有两解，分别为x ＝2和x ＝4.因此函数y ＝2x －x 2有三个零点，故应排除B 、C.又当x →－∞时，2x →0，而x 2→＋∞，故y ＝2x －x 2→－∞，因此排除D.故选A.4． (2012·湖北)已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图像如图所示，则y ＝－f (2－x )的图像为( )答案 B解析 当x ＝1时，y ＝－f (1)＝－1，排除A 、C. 当x ＝2时，y ＝－f (0)＝0，故选B.5． 若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( )A.[]－1，1＋22B.[]1－22，1＋22C.[]1－22，3D.[]1－2，3答案 C解析 由y ＝3－4x －x 2， 得(x －2)2＋(y －3)2＝4(1≤y ≤3)．∴曲线y ＝3－4x －x 2是半圆，如图中实线所示． 当直线y ＝x ＋b 与圆相切时， |2－3＋b |2＝2. ∴b ＝1±2 2. 由图可知b ＝1－2 2.∴b 的取值范围是[]1－22，3.题型一 作函数图像例1 分别画出下列函数的图像：(1)y ＝|lg x |； (2)y ＝2x ＋2；(3)y ＝x 2－2|x |－1; (4)y ＝x ＋2x －1.思维启迪：根据一些常见函数的图像，通过平移、对称等变换可以作出函数图像．解 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x (x ≥1)，－lg x (0<x <1)图像如图①.(2)将y ＝2x 的图像向左平移2个单位．图像如图②.(3)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1 (x ≥0)x 2＋2x －1 (x <0).图像如图③.(4)因y ＝1＋3x －1，先作出y ＝3x 的图像，将其图像向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y ＝x ＋2x －1的图像，如图④.探究提高 (1)熟练掌握几种基本函数的图像，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋1x 的函数；(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．作出下列函数的图像： (1)y ＝|x －2|(x ＋1)；(2)y ＝10|lg x |. 解 (1)当x ≥2，即x －2≥0时， y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝⎝⎛⎭⎫x －122－94； 当x <2，即x －2<0时，y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋94.∴y ＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫x －122－94，x ≥2，－⎝⎛⎭⎫x －122＋94，x <2.这是分段函数，每段函数的图像可根据二次函数图像作出(如图)． (2)当x ≥1时，lg x ≥0，y ＝10|lg x |＝10lg x ＝x ；当0<x <1时，lg x <0，y ＝10|lg x |＝10－lg x＝10lg 1x ＝1x.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x ，0<x <1.这是分段函数，每段函数的图像可根据正比例函数或反比例函数图像作出(如图)． 题型二 识图、辨图例2 函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝21－x 在同一直角坐标系下的图像大致是( )思维启迪：在同一坐标系中判断两个函数的图像，可利用两个函数的单调性、对称性或特征点来判断． 答案 C解析 f (x )＝1＋log 2x 的图像由函数f (x )＝log 2x 的图像向上平移一个单位而得到，所以函数图像经过(1,1)点，且为单调增函数，显然，A 项中单调递增的函数经过点(1,0)，而不是(1,1)，故不满足；函数g (x )＝21－x ＝2×⎝⎛⎭⎫12x ，其图像经过(0,2)点，且为单调减函数，B 项中单调递减的函数与y 轴的交点坐标为(0,1)，故不满足；D 项中两个函数都是单调递增的，故也不满足．综上所述，排除A ，B ，D.故选C.探究提高 函数图像的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性； (4)从函数的周期性，判断图像的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图像．(1)函数y ＝x ＋cos x 的大致图像是( )(2)定义在R 上的偶函数f (x )的部分图像如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f (x )的单调性不同的是 ( )A ．y ＝x 2＋1B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥0x 3＋1，x <0D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥0e －x ，x <0答案 (1)B (2)C解析 (1)∵y ′＝1－sin x ≥0， ∴函数y ＝x ＋cos x 为增函数，排除C. 又当x ＝0时，y ＝1，排除A ，当x ＝π2时，y ＝π2，排除D.∴选B.(2)f (x )在(－2,0)上为减函数，可逐个验证． 题型三 函数图像的应用 例3 已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}．思维启迪：利用函数的图像可直观得到函数的单调性，方程解的问题可转化为函数图像交点的问题．解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)2－1， x ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)－(x －2)2＋1， x ∈(1，3) 作出函数图像如图．(1)函数的增区间为[1,2]，[3，＋∞)； 函数的减区间为(－∞，1]，[2,3]．(2)在同一坐标系中作出y ＝f (x )和y ＝m 的图像，使两函数图像有四个不同的交点(如图)． 由图知0<m <1，∴M ＝{m |0<m <1}．探究提高 (1)利用图像，可观察函数的对称性、单调性、定义域、值域、最值等性质． (2)利用函数图像可以解决一些形如f (x )＝g (x )的方程解的个数问题．(1)(2011·课标全国)已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝|lg x |的图像的交点共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个(2)直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________． 答案 (1)A (2)1<a <54解析 (1)观察图像可知，共有10个交点．(2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋a ，x ≥0，x 2＋x ＋a ，x <0，作出图像，如图所示．此曲线与y 轴交于(0，a )点，最小值为a －14，要使y ＝1与其有四个交点，只需a －14<1<a ，∴1<a <54.高考中的函数图像及应用问题1. 已知函数解析式确定函数图像典例：(5分) (2012·课标全国)已知函数f (x )＝1ln (x ＋1)－x，则y ＝f (x )的图像大致为( )考点分析 本题考查识图能力，考查对函数性质的灵活应用． 求解策略 策略一 (函数性质法)函数f (x )满足x ＋1>0，ln(x ＋1)－x ≠0，即x >－1且ln(x ＋1)－x ≠0，设g (x )＝ln(x ＋1)－x ，则g ′(x )＝1x ＋1－1＝－x x ＋1.由于x ＋1>0，显然当－1<x <0时，g ′(x )>0，当x >0时，g ′(x )<0，故函数g (x )在x ＝0处取得极大值，也是最大值，故g (x )≤g (0)＝0，当且仅当x ＝0时，g (x )＝0，故函数f (x )的定义域是(－1,0)∪(0，＋∞)，且函数g (x )在(－1,0)∪(0，＋∞)上的值域为(－∞，0)，故函数f (x )的值域也是(－∞，0)，且在x ＝0附近函数值无限小，观察各个选项中的函数图像，只有选项B 中的图像符合要求． 策略二 (特殊值检验法)当x ＝0时，函数无意义，排除选项D 中的图像，当x ＝1e －1时，f ⎝⎛⎭⎫1e －1＝1ln ⎝⎛⎭⎫1e －1＋1－⎝⎛⎭⎫1e －1＝－e<0，排除选项A 、C 中的图像，故只能是选项B 中的图像．(注：这里选取特殊值x ＝⎝⎛⎭⎫1e －1∈(－1,0)，这个值可以直接排除选项A 、C ，这种取特值的技巧在解题中很有用处) 答案 B解后反思 (1)确定函数的图像，要从函数的性质出发，利用数形结合的思想． (2)对于给出图像的选择题，可以结合函数的某一性质或特殊点进行排除． 2. 函数图像的变换问题 典例：(5分)若函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图像大致为()考点分析本题考查图像的变换问题，函数图像的变换有平移变换、伸缩变换、对称变换，要理解函数图像变换的实质，每一次变换都针对自变量“x”而言．求解策略要想由y＝f(x)的图像得到y＝－f(x＋1)的图像，需要先将y＝f(x)的图像关于x 轴对称得到y＝－f(x)的图像，然后再向左平移一个单位得到y＝－f(x＋1)的图像，根据上述步骤可知C正确．答案 C解后反思对图像的变换问题，从f(x)到f(ax＋b)，可以先进行平移变换，也可以先进行伸缩变换，要注意变换过程中两者的区别．三、图像应用典例：(10分)讨论方程|1－x|＝kx的实数根的个数．考点分析本题考查绝对值的意义，考查分类讨论思想和数形结合思想．求解策略可以利用函数图像确定方程实数根的个数．规范解答解设y＝|1－x|，y＝kx，则方程的实根的个数就是函数y＝|1－x|的图像与y＝kx的图像交点的个数．[3分]由右边图像可知：当－1≤k<0时，方程没有实数根；[6分]当k＝0或k<－1或k≥1时，方程只有一个实数根；[8分]当0<k<1时，方程有两个不相等的实数根．[10分]解后反思利用函数图像确定方程或不等式的解，形象直观，体现了数形结合思想；解题中要注意对方程适当变形，选择适当的函数作图．方法与技巧1． 列表描点法是作函数图像的辅助手段，要作函数图像首先要明确函数图像的位置和形状：(1)可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等等；(2)可通 过函数图像的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换等；(3)可通过方程的同解变形，如作函数y ＝1－x 2的图像． 2． 合理处理识图题与用图题(1)识图对于给定函数的图像，要从图像的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图像与函数解析式中参数的关系． (2)用图函数图像形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．常用函数图像研究含参数的方程或不等式解集的情况． 失误与防范1．作图要准确、要抓住关键点．2．当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合的数学思想方法的运用.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． 为了得到函数y ＝12log 2(x －2)的图像，可将函数y ＝log 2x 的图像上所有点的( )A ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向右平移2个单位长度B ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向左平移2个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移2个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移2个单位长度答案 A解析 由y ＝log 2x ，y ＝12log 2x ，y ＝12log 2(x －2)可知，需将y ＝log 2x 图像上的点的纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向右平移2个单位长度得到函数y ＝12log 2(x －2)的图像．2． 把函数y ＝(x －2)2＋2的图像向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图像对应的函数的解析式是( )A ．y ＝(x －3)2＋3B ．y ＝(x －3)2＋1C ．y ＝(x －1)2＋3D ．y ＝(x －1)2＋1 答案 C解析 函数y ＝(x －2)2＋2的图像向左平移1个单位，将其中的x 换为x ＋1，得到函数y ＝(x －1)2＋2的图像；再向上平移1个单位，变成y ＝(x －1)2＋3的图像．3． 若函数f (x )＝log a (x ＋b )的大致图像如图所示，其中a ，b (a >0且a ≠1)为常数，则函数g (x )＝a x ＋b 的大致图像是( )答案 B解析 由f (x )＝log a (x ＋b )的图像知0<a <1,0<b <1，则g (x )＝a x ＋b 为减函数且g (x )的图像是在y ＝a x 图像的基础上上移b 个单位，只有B 适合．4．(2011·陕西)设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )的图像可能是( )答案 B解析 由于f (－x )＝f (x )，所以函数y ＝f (x )是偶函数，图像关于y 轴对称，所以A 、C 错误；由于f (x ＋2)＝f (x )，所以T ＝2是函数y ＝f (x )的一个周期，D 错误．所以选B. 二、填空题(每小题5分，共15分) 5．已知下列曲线：以及编号为①②③④的四个方程：①x －y ＝0；②|x |－|y |＝0；③x －|y |＝0；④|x |－y ＝0.请按曲线A 、B 、C 、D 的顺序，依次写出与之对应的方程的编号________． 答案 ④②①③解析 按图像逐个分析，注意x 、y 的取值范围．6．(理)如图所示，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝1，M ，N 分别在AD 1，BC 上移动，始终保持MN ∥平面DCC 1D 1，设BN ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图像大致是________．答案 ③解析 过M 作ME ⊥AD 于E ，连接EN . 则BN ＝AE ＝x ，ME ＝2x ，MN 2＝ME 2＋EN 2，即y 2＝4x 2＋1，y 2－4x 2＝1 (0≤x ≤1，y ≥1)，图像应是焦点在y 轴上的双曲线的一部分． 7． (2011·北京)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ≥2，(x －1)3， x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．答案 (0,1)解析 画出分段函数f (x )的图像如图所示，结合图像可以看出，若f (x )＝k 有两个不同的实根，也即函数y ＝f (x )的图像与y ＝k 有两个不同的交点，k 的取值范围为(0,1)． 三、解答题(共22分)8． (10分)已知函数f (x )＝x1＋x.(1)画出f (x )的草图；(2)指出f (x )的单调区间．解 (1)f (x )＝x 1＋x ＝1－1x ＋1，函数f (x )的图像是由反比例函数y ＝－1x 的图像向左平移1个单位后，再向上平移1个单位得到，图像如图所示．(2)由图像可以看出，函数f (x )有两个单调递增区间： (－∞，－1)，(－1，＋∞)．9． (12分)已知函数f (x )的图像与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图像关于点A (0,1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋ax，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围．解 (1)设f (x )图像上任一点P (x ，y )，则点P 关于(0,1)点的对称点P ′(－x,2－y )在h (x )的图像上，即2－y ＝－x －1x ＋2，∴y ＝f (x )＝x ＋1x (x ≠0)．(2)g (x )＝f (x )＋ax ＝x ＋a ＋1x ，g ′(x )＝1－a ＋1x 2.∵g (x )在(0,2]上为减函数，∴1－a ＋1x 2≤0在(0,2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0,2]上恒成立，∴a ＋1≥4，即a ≥3，故a 的取值范围是[3，＋∞)．B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，log 13x ，x >1，则y ＝f (x ＋1)的图像大致是( )答案 B解析 将f (x )的图像向左平移一个单位即得到y ＝f (x ＋1)的图像． 2． 函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图像如图则函数y ＝f (x )·g (x )的图像可能是( )答案 A解析 从f (x )、g (x )的图像可知它们分别为偶函数、奇函数，故f (x )·g (x )是奇函数，排除B 项．又g (x )在x ＝0处无意义，故f (x )·g (x )在x ＝0处无意义，排除C 、D 两项． 3． (2011·课标全国)函数y ＝11－x的图像与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 D解析 令1－x ＝t ，则x ＝1－t .由－2≤x ≤4，知－2≤1－t ≤4，所以－3≤t ≤3. 又y ＝2sin πx ＝2sin π(1－t )＝2sin πt .在同一坐标系下作出y ＝1t和y ＝2sin πt 的图像．由图可知两函数图像在[－3,3]上共有8个交点，且这8个交点两两关于原点对称． 因此这8个交点的横坐标的和为0，即t 1＋t 2＋…＋t 8＝0.也就是1－x 1＋1－x 2＋…＋1－x 8＝0， 因此x 1＋x 2＋…＋x 8＝8. 二、填空题(每小题5分，共15分)4． (2012·课标全国改编)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫22，1解析 易知0<a <1，则由函数y ＝4x 与y ＝log a x 的大致图像知，只需满足log a 12>2，解得a >22，∴22<a <1. 5． 用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________． 答案 6解析 f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)的图像如图．令x ＋2＝10－ x ，得x ＝4.当x ＝4时，f (x )取最大值，f (4)＝6.6． 设b >0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图像为下列之一，则a 的值为________．答案 －1解析 先根据条件对图像进行判断是解题的关键．因为b >0，所以对称轴不与y 轴重合，排除图像①②；对第三个图像，开口向下，则a <0，对称轴x ＝－b2a >0，符合条件，图像④显然不符合．根据图像可知，函数过原点，故f (0)＝0，即a 2－1＝0，又a <0，故a ＝－1. 三、解答题7． (13分)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，并对一切实数x ，都满足f (2＋x )＝f (2－x )．(1)证明：函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称； (2)若f (x )是偶函数，且x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －1， 求x ∈[－4,0]时f (x )的表达式．(1)证明 设P (x 0，y 0)是函数y ＝f (x )图像上任一点，则y 0＝f (x 0)，点P 关于直线x ＝2的对称点为P ′(4－x 0，y 0)． 因为f (4－x 0)＝f [2＋(2－x 0)]＝f [2－(2－x 0)]＝f (x 0)＝y 0， 所以P ′也在y ＝f (x )的图像上，所以函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称． (2)解 当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]， 所以f (－x )＝－2x －1.又因为f (x )为偶函数， 所以f (x )＝f (－x )＝－2x －1，x ∈[－2,0]． 当x ∈[－4，－2]时，4＋x ∈[0,2]， 所以f (4＋x )＝2(4＋x )－1＝2x ＋7， 而f (4＋x )＝f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝2x ＋7，x ∈[－4，－2]．所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋7，x ∈[－4，－2]，－2x －1，x ∈[－2，0].。
2.7 幂函数与函数的图象典例精析题型一 幂函数的图象与性质【例1】点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，14)在幂函数g(x)的图象上. (1)求f(x)、g(x)的解析式；(2)问当x 为何值时，有：①g(x)＜f(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)＜g(x).【解析】(1)设f(x)＝xa ，因为点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，将(2，2)代入f(x)＝xa 中，得2＝(2)a ，解得a ＝2，即f(x)＝x2.设g(x)＝xb ，因为点(－2，14)在幂函数g(x)的图象上，将(－2，14)代入g(x)＝xb 中，得14＝(－2)b ，解得b ＝－2，即g(x)＝x －2.(2)在同一坐标系中作出f(x)和g(x)的图象，如图所示，由图象可知：①当x ＞1或x ＜－1时，g(x)＜f(x)；②当x ＝±1时，f(x)＝g(x)；③当－1＜x ＜1且x≠0时，f(x)＜g(x).【点拨】(1)求幂函数解析式的步骤：①设出幂函数的一般形式y ＝xa(a 为常数)；②根据已知条件求出a 的值；③写出幂函数的解析式.本题的第(2)问采用了数形结合的思想，即在同一坐标系下画出两函数的图象，借助图象求出不等式和方程的解.这一问也可用分类讨论的思想.x2＝1x2，即x4＝1，x ＝±1，以x ＝1，－1为分界点分x ＞1，－1＜x ＜1，x ＜－1，x ＝±1五种情况进行讨论，也能得到同样的结果.【变式训练1】函数f(x)＝(m2－m －1) 322--m m x 是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时是减函数，求实数m.【解析】因为f(x)为幂函数，所以m2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，f(x)＝x －3在(0，＋∞)上是减函数；当m ＝－1时，f(x)＝x0在(0，＋∞)上不是减函数.所以m ＝2.题型二 作函数图象【例2】作下列函数图象：(1)y ＝1＋log2x ；(2)y ＝2|x|－1；(3)y ＝|x2－4|.【解析】(1)y ＝1＋log2x 的图象是：(2)y ＝2|x|－1的图象是：(3)y ＝|x2－4|的图象是：【变式训练2】在下列图象中，二次函数y ＝ax2＋bx 与指数函数y ＝(b a )x 的图象只可能是( ) 【解析】A. 题型三 用数形结合思想解题 【例3】已知f(x)＝|x2－4x ＋3|.(1)求f(x)的单调区间；(2)求m 的取值范围，使方程f(x)＝mx 有4个不同实根.【解析】递增区间为[1,2]，[3，＋∞)；递减区间为(－∞，1)，(2,3).(2)设y ＝mx 与y ＝f(x)有四个公共点，过原点的直线l 与y ＝f(x)有三个公共点，如图所示.令它的斜率为k ，则0＜m ＜k.由⎩⎨⎧-+-==342x x y kx y⇒x2＋(k －4)x ＋3＝0.①令Δ＝(k －4)2－12＝0⇒k ＝4±2 3.当k ＝4＋23时，方程①的根x1＝x2＝－3∉(1,3)，舍去；当k ＝4－23时，方程①的根x1＝x2＝3∈(1,3)，符合题意.故0＜m ＜4－2 3.【点拨】(1)作出f(x)的图象；(2)利用(1)的图象，研究函数y ＝mx 与y ＝f(x)的交点情况.【变式训练3】若不等式x2－logax ＜0对x ∈(0，12)恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.0＜a ＜1 B.116≤a ＜1 C.a ＞1 D.0＜a≤116【解析】原不等式为x2＜logax ，设f(x)＝x2，g(x)＝logax ，因为0＜x ＜12＜1，而logax ＞x2＞0，所以0＜a ＜1，作出f(x)在x ∈(0，12)内的图象，如图所示.因为f(12)＝14，所以A(12，14)，当g(x)图象经过点A 时，14＝loga 12⇒a ＝116，因为当x ∈(0，12)时，logax ＞x2，g(x)图象按如图虚线位置变化，所以116≤a ＜1，故答案为B.题型四 有关图象的对称问题【例4】设函数f(x)＝x ＋1x，x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)的图象为C1，C1关于点A(2,1)对称的图象为C2，C2对应的函数为g(x).(1)求函数y ＝g(x)的解析式，并确定其定义域；(2)若直线y ＝b 与C2只有一个交点，求b 的值，并求出交点的坐标.【解析】(1)设P(u ，v)是y ＝x ＋1x 上任意一点，所以v ＝u ＋1u .① 设P 关于A(2,1)对称的点为Q(x ，y)，所以⎩⎨⎧=+=+2,4y v x u ⇒⎩⎨⎧-=-=.2,4y v x u 代入①得2－y ＝4－x ＋14－x ⇒y ＝x －2＋1x －4. 所以g(x)＝x －2＋1x －4，其定义域为(－∞，4)∪(4，＋∞). (2)联立方程得 ⎪⎩⎪⎨⎧-+-==412,x x y b y ⇒x2－(b ＋6)x ＋4b ＋9＝0， 所以Δ＝(b ＋6)2－4×(4b ＋9)＝b2－4b ＝0⇒b ＝0或b ＝4.所以，当b ＝0时，交点为(3,0)；当b ＝4时，交点为(5,4).【变式训练4】函数f(x)的定义域为R ，且满足：f(x)是偶函数，f(x －1)是奇函数.若f(0.5)＝9，则f(8.5)等于( )A.－9B.9C.－3D.0【解析】因为f(－x)＝f(x)，f(－x －1)＝－f(x －1)，所以f(－2＋x)＝－f(－x)＝－f(x)，则f(4＋x)＝－f(x ＋2)＝f(x)，即4是函数f(x)的一个周期，所以f (8.5)＝f(0.5)＝9，故应选B.本题考查了抽象函数周期性的判断及其函数值的求解问题，合理进行转化是解题的关键. 总结提高掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法.函数图象为研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题提供了一种直观方法，用数形结合思想、分类讨论思想和转化变换的思想分析解决数学问题.函数的图象是沟通“数”与“形”的一个重要桥梁.应用函数图象法解数学问题往往具有直观易懂、运算量小的优点，但用图象法求变量的取值范围时，要特别注意端点值的取舍和特殊情况.。
2.7函数图象考情分析1．考查函数图象的识辨． 2．考查函数图象的变换．3．利用函数图象研究函数性质或求两函数的图象的交点个数． 基础知识1．函数图象的变换 2.图象变换:(1)平移变换:熟记口决:左加右减,上加下减()y f x =的图象向左平移(0)a a >个单位得到函数()y f x a =+的图象; ()y f x =的图象向右平移(0)b b >个单位得到函数()y f x b =-的图象;()y f x =的图象向上(下)平移(0)h h >个单位得到函数()y f x h =±的图象.(2)对称变换:()y f x =-与()y f x =的图象关于y 轴对称; ()y f x =-与()y f x =的图象关于x 轴对称; ()y f x =--与()y f x =的图象关于原点对称;(3)翻折变换：①|()|y f x =的图象：先画出()y f x =的图象，然后保留x 轴上方部分，并把x 轴下方部分翻折到x 轴的上方即可.②(||)y f x =的图象：先画出()y f x =的图象，然后保留y 轴右侧部分，并把y 轴右侧部分翻折到y 轴的左侧即可. 2．等价变换例如：作出函数y ＝1－x 2的图象，可对解析式等价变形y ＝1－x 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ≥01－x 2≥0y 2＝1－x 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y 2＝1－x2⇔x 2＋y 2＝1(y ≥0)，可看出函数的图象为半圆．此过程可归纳为：(1)写出函数解析式的等价组；(2)化简等价组；(3)作图． 3．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象． 注意事项1.数形结合的思想方法是学习函数内容的一条主线，也是高考考查的热点．作函数图象首先要明确函数图象的形状和位置，而取值、列表、描点、连线只是作函数图象的辅助手段，不可本末倒置．2．(1)一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称不同，前者是自身对称，且为奇函数，后者是两个不同的函数对称．(2)一个函数的图象关于y 轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称也不同，前者也是自身对称，且为偶函数，后者也是两个不同函数的对称关系． 3．明确函数图象形状和位置的方法大致有以下三种途径． (1)图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换． (2)函数解析式的等价变换． (3)研究函数的性质． 题型一 作函数图象【例1】►分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg x |； (2)y ＝2x ＋2；(3)y ＝x 2－2|x |－1； (4)y ＝x ＋2x －1. 解 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧lg xx，－lg x＜x ＜图象如图①.(2)将y ＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图②.(3)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1x x 2＋2x －1 x ＜.图象如图③.(4)因y ＝1＋3x －1，先作出y ＝3x的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y ＝x ＋2x －1的图象，如图④.【变式1】 作出下列函数的图象：(1)y ＝2x ＋1－1；(2)y ＝sin|x |； (3)y ＝|log 2(x ＋1)|. 解 (1)y ＝2x ＋1－1的图象可由y ＝2x 的图象向左平移1个单位，得y ＝2x ＋1的图象，再向下平移一个单位得到y ＝2x ＋1－1的图象，如图①所示．(2)当x ≥0时，y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图象完全相同，又y ＝sin|x |为偶函数，其图象关于y 轴对称，如图②所示．(3)首先作出y ＝log 2x 的图象c 1，然后将c 1向左平移1个单位，得到y ＝log 2(x ＋1)的图象c 2，再把c 2在x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，即为所求图象c 3：y ＝|log 2(x ＋1)|.如图③所示(实线部分)．题型二 函数图象的识辨【例2】►函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝21－x在同一直角坐标系下的图象大致是( )．解析 f (x )＝1＋log 2x 的图象由函数f (x )＝log 2x 的图象向上平移一个单位而得到，所以函数图象经过(1,1)点，且为单调增函数，显然，A 项中单调递增的函数经过点(1,0)，而不是(1,1)，故不满足； 函数g (x )＝21－x＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，其图象经过(0,2)点，且为单调减函数，B 项中单调递减的函数与y轴的交点坐标为(0,1)，故不满足；D 项中两个函数都是单调递增的，故也不满足． 综上所述，排除A ，B ，D.故选C. 答案 C【变式2】函数y ＝2x－x 2的图象大致是( )．解析 当x ＞0时，2x ＝x 2有两根x ＝2,4；当x ＜0时，根据图象法易得到y ＝2x 与y ＝x 2有一个交点，则y ＝2x －x 2在R 上有3个零点，故排除B 、C ；当x →－∞时，2x →0.而x 2→＋∞，故y ＝2x －x 2＜0，故选A. 答案 A题型三 函数图象的应用【例3】►已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|. (1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}．解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2－1， x ∈－∞，1]∪[3，＋，－x －2＋1， x ∈，，作出图象如图所示．(1)递增区间为[1,2]和[3，＋∞)，递减区间为(－∞，1]和[2,3]． (2)由图象可知，y ＝f (x )与y ＝m 图象，有四个不同的交点，则0＜m ＜1， ∴集合M ＝{m |0＜m ＜1}．【变式3】 (2013湖北模拟)若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( )． A ．[－1,1＋22] B ．[1－22，1＋22] C ．[ 1－22，3]D ．[1－2，3]解析 在同一坐标系下画出曲线y ＝3－4x －x 2(注：该曲线是以点C (2,3)为圆心、2为半径的圆不在直线y ＝3上方的部分)与直线y ＝x 的图象，平移该直线，结合图形分析可知，当直线沿y 轴正方向平移到点(0,3)的过程中的任何位置相应的直线与曲线y ＝3－4x －x 2都有公共点；注意到与y ＝x 平行且过点(0,3)的直线的方程是y ＝x ＋3；当直线y ＝x＋b 与以点C (2,3)为圆心、2为半径的圆相切时(圆不在直线y ＝3上方的部分)，有|2－3＋b |2＝2，b ＝1－2 2.结合图形可知，满足题意的只有C 选项． 答案 C 重难点难点突破 一、零点个数【例1】设定义在R 上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，()f x '是f(x)的导函数，当[]0,x π∈时，0＜f(x)＜1；当x ∈（0，π） 且x ≠2π时 ，()()02x f x π'->，则函数y=f(x)-sinx 在[-2π，2π] 上的零点个数为 ( ) A .2 B .4 C.5 D. 8 【答案】Ｂ【解析】由当x ∈（0，π） 且x ≠2π时 ，()()02x f x π'->，知二、借助图像就参量 【例2】已知函数211x y x -=-的图像与函数y kx =的图像恰有两个交点，则实数k 的取值范围是 .三、图象对称问题【例3】函数y＝log2|x|的图象大致是( )．巩固提高1．为了得到函数y ＝lgx ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( )．A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 解析 y ＝lgx ＋310＝lg(x ＋3)－1可由y ＝lg x 的图象向左平移3个单位长度，向下平移1个单位长度而得到． 答案 C2．若点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，a ≠1，则下列点也在此图象上的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，b B ．(10a,1－b ) C.⎝⎛⎭⎪⎫10a ，b ＋1D ．(a 2,2b )解析 本题主要考查对数运算法则及对数函数图象，属于简单题．当x ＝a 2时，y ＝lg a 2＝2lga ＝2b ，所以点(a 2,2b )在函数y ＝lg x 图象上．答案 D 3．函数y ＝1－1x －1的图象是( )．解析 将y ＝－1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y ＝1－1x －1的图象． 答案 B4．函数y ＝x 13的图象是( )．解析 该题考查幂函数的图象与性质，解决此类问题首先是考虑函数的性质，尤其是奇偶性和单调性，再与函数y ＝x 比较即可．由(－x )13＝－x 13知函数是奇函数．同时由当0＜x ＜1时，x 13＞x ，当x ＞1时，x 13＜x ，知只有B 选项符合． 答案 B5．已知图①中的图象对应的函数为y ＝f (x )，则图②的图象对应的函数为( )．A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (|x |)解析 y ＝f (－|x |)＝⎩⎪⎨⎪⎧f－x ，x ≥0，f x ，x ＜0.答案 C。
