插值拟合

15 题库分类 填空题 1. 绪论部分 (1). 设x=3.214, y=3.213，欲计算u=yx, 请给出一个精度较高的算式u= . u=yxyx

(2). 设y=f (x1,x2) 若x1,x2,的近似值分别为x1*, x2*,令y*=f(x1*,x2*)作为y的近似值,其绝对误差限的估计式为:  | |f(x1*,x2*)|x1-x*1|+ |f(x1*,x2*)|x2-x*2|

(3). 要使20的近似值的相对误差限0.1%, 应至少取_______位有效数字？

20＝0.4…10, a1=4, r121a10-(n-1)< 0.1% 故可取n4, 即4位有效数字。 (4). 要使17的近似值的相对误差限0.1%, 应至少取_________位有效数字？

17＝0.4…10, a1=4, r121a10-(n-1)< 0.1% 故可取n3.097, 即4位有效数字。 (5). 对于积分In=e-110xnexdx试给出一种数值稳定的递推公式_________。 In-1=(1-In)/n , In0 易知 I0=1-e-1 In=1-nIn-1 故In-1=(1-In)/n

0取In0

选择填空

(6). 计算 f=(2-1)6 , 取2＝1.4 , 利用下列算式，那个得到的结果最好？(C)

(A) 6121)(, (B) (3-22)2,

(C) 32231)(, (D) 99-702 2. 方程的根 (1). 用Newton法求方程f(x)=x3+10x-20=0 的根，取初值x0= 1.5, 则x1= (3) x1=1.5970149 (2). 迭代公式xk+1=xk(xk2+3a)/(3xk2+a)是求a1/2的 (12) 阶方法 (3).

3. 方程组直接解法 4. 迭代解法 (1). 设线性方程组的系数矩阵为

A=6847153131483412,全主元消元法的第一次可选的主元素为 (13) ，第二次可选的主元素为 (14) .列主元消元法的第一次主元素为 (15) ；第二次主元素为(用小数表示) (16) ; 记此方程组的高斯-塞德尔迭代矩阵为BG=(aij)44，则a23= (17) ； -8，或8； 8+7/8或-8-7/8； -8； 7 .5； 16

第 1 章 插值 §1. 填空 (1). 设Pk(xk,yk) , k=1,2,…,5 为函数y=x2-3x+1上的5个互异的点，过P1,…,P5且次数不超过4次的插值多项式是 ______ 。 y=x2-3x+1 (2). 设x0, x1,x3是区间[a, b]上的互异节点，f(x)在[a, b]上具有各阶导数，过该组节点的2次插值多项式的余项为： ______ .

R2(x)= )(!3)(20)3(kkxxf (3). 设

)())(()()())(()()(110110niiiiiiniiixxxxxxxxxxxxxxxxxl







(i=0,1,…,n)，则nkkkxlx0)(＝ ______ , 这里（xixj,ij, n2）。 x (4). 三次样条插值与一般分段3次多项式插值的区别是_____ 三次样条连续且光滑，一般分段3次连续不一定光滑。 (5). 插值多项式与最小二乘拟合多项式都是对某个函数f(x)的一种逼近，二者的侧重点分别为 ________ 。

用1n+个作不超过n次的多项值插值，分别采用Lagrange插值方法与Newton插 值方法所得多项式 相等 (相等, 不相等) (6).

§2. 计算题 (1). (a10分)依据下列函数值表，建立不超过3次的lagrange 插值多项式L3(x). x 0 1 2 3 f(x) 1 9 23 3

解：基函数分别为 l0(x)=-81x3+87x2-47x+1

l1(x)=xxx3823123 l2(x)=xxx

23

454

1

l2(x)=xxx1218124123 Lagrange 插值多项式 L3(x)=

nkkkxlxf0)()(

=12144541123xxx.

(2). (b10分)已知由插值节点(0,0),(0.5,y),(1,3)和(2,2)构造的3次插值多项式P3(x)的x3的系数为6，试确定数据y.

解：P3(x)＝nkkkxlxf0)()( 故最高次项系数为

))()(()())()(()())()(()())()(()(2313033321202231210113020100xxxxxxxfxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxxxxf

带入数值解得y=4.25. (3). (c15分)设lk(x)是关于互异节点x0, x1,…, xn, 的Lagrange 插值基函数，证明







1 11,2,..., 0,0 10100njxxxnjjlxnnnkkjk...)(,

)(

证明： 11101)()!()()()()(xwnfxlxxfnnknknk 其中，wn+1(x)=njjxx0)( 17

故当0jn时， nkkjkxlx0)(=xj, 当j=n+1时，xn+1=)()()(101xwxlxxfnknknk 将x=0带入ok! (4). (c10分)设lk(x)是关于互异节点x0, x1,…, xn, 的Lagrange 插值基函数，证明

)()(xlxxfknknk01是n次多项式，且最高次系数为x0+…+ xn, 证：查 111011)()!()()()(xwnfxlxxnnknknkn--5分 注意余项 111)()!()()(xwnfnn=njjnxxxw01)()( )(xlxxknknkn011=xn+1-wn+1(x) ---5分 ok! (5). (c10分)设函数f(x)是k次多项式，对于互异节点x1,…, xn,， 证明当n>k时，差商f [x, x1,…,xn]0，当nk时，该差商是k-n次多项式。 证明：因 1!)(],,,[)(nfxxxfnn 注意到n>k时， f(n)(x)=0， n=k时， f(n)(x)=k!ak，ak为f(x)的k次项系数。(7f) nk-1 由差分定义递推,查n=k-1,k-2,… (3f) ok! (6). (c10分)设g(x)和h(x)分别是f(x)关于互异节点x1,…, xn-1以及互异节点x2,…, xn的插值多项式，试用g(x)和h(x)表示f(x)关于互异节点x1,…, xn的插值多项式. 解：令q(x)=Ag(x)(x-xn)+Bh(x)(x-x1) 为待定n次多项式，A,B为待定系数，注意到 g(xk)=f(xk), k=1,…,n-1 h(xk)=f(xk), k=2,…,n -------(7f) 带入得A=1/x1-xn,B=1/xn-x1, 带入ok! (7). (a10f)设lk(x)是关于互异节点x0, x1,…, xn, 的Lagrange 插值基函数，证明 (1) mnkkmkxxlx0)( m=0,1,…,n (2) nkkmkxlxx0)()(0 m=1,2,…,n 证明：由插值唯一性定理知(1)。展开知（2） (8). (a10f)证明对于不超过k次的多项式p(x)有

),()()(xpxlxpnkkk0 kn

lk(x)是关于互异节点x0, x1,…, xn, 的Lagrange 插值基函数 证明：由插值唯一性定理知。 (9). (a10f)设p(x)是任意首次项系数为1的n+1次多项式，lk(x)是关于互异节点x0, x1,…, xn, 的Lagrange 插值基函数

证明 nknkkxwxlxpxp01)()()()(

其中njjnxxxw01)()( 证明：插值余项直接计算ok! (10). (a10f)已知函数y=f(x)在点x0的某邻域内有n阶连续导数，记xk=x0+kh (k=1,2,…,n), 证明

0100!)(],,,[lim)(nxfxxxfnnh

证明：因!)(],,,[)(nfxxxfnn10 (x0,x0+nh)注意到n阶导数连续性，两边取极限ok! (11). (c10f)用等节距分段二次插值函数在区间[0,1]上近似函数ex, 如何估算节点数目使插值误

差2110-6 .