8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积第1课时圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积学习目标核心素养1.通过对圆柱、圆锥、圆台的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积的求法．(重点)2．会求与圆柱、圆锥、圆台有关的组合体的表面积与体积．(难点、易错点)1.借助圆柱、圆锥、圆台的表面积、体积的计算，培养数学运算素养．2．通过对圆柱、圆锥、圆台的体积的探究，提升逻辑推理的素养.1．圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝2πrl表面积：S＝2πrl＋2πr2圆锥底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝πrl表面积：S＝πrl＋πr2圆台上底面面积：S上底＝πr′2下底面面积：S下底＝πr2侧面积：S侧＝πl(r＋r′)表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)2.圆柱、圆锥、圆台的体积公式 V 圆柱＝πr 2h (r 是底面半径，h 是高)， V 圆锥＝13πr 2h (r 是底面半径，h 是高)，V 圆台＝13πh (r ′2＋r ′r ＋r 2)(r ′、r 分别是上、下底面半径，h 是高)．1．判断正误(1)圆柱的表面积就是侧面积．( )(2)在一个圆锥中，母线长度不一定相同．( ) (3)圆台是用平行于底面的平面截圆锥得到的．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√2．圆柱的侧面展开图是长12 cm ，宽8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积为( ) A.288π cm 3 B.192π cm 3 C.288π cm 3或192π cm 3D ．192π cm 3C [圆柱的高为8 cm 时，V ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122π2×8＝288π cm 3，当圆柱的高为12 cm时，V ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫82π2×12＝192π cm 3.]3．圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线长为6，则其表面积等于( ) A ．72 B ．42π C ．67πD ．72πC [表面积S ＝π(3＋4)×6＋π×32＋π×42＝67π.]圆柱、圆锥、圆台的表面积【例面积的比是( )A.1＋2π2πB.1＋4π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π(2)已知圆台的上、下底面半径分别是2,6，且侧面面积等于两底面面积之和． ①求圆台的母线长． ②求圆台的表面积．(1)A [设圆柱底面半径为r ，则高为2πr ， 表面积∶侧面积＝[(2πr )2＋2πr 2]∶(2πr )2＝1＋2π2π.](2)[解] ①设圆台的母线长为l ，则由题意得 π(2＋6)l ＝π×22＋π×62， ∴8πl ＝40π，∴l ＝5， ∴该圆台的母线长为5. ②由①可得圆台的表面积为 S ＝π×(2＋6)×5＋π·22＋π×62 ＝40π＋4π＋36π ＝80π.圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：(1)得到空间几何体的平面展开图． (2)依次求出各个平面图形的面积． (3)将各平面图形的面积相加．1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( )A ．4倍B ．3倍C .2倍D ．2倍D [由已知得l ＝2r ，S 侧S 底＝πrl πr 2＝lr ＝2，故选D.]圆柱、圆锥、圆台的体积【例2】 圆锥的过高的中点且与底面平行的截面把圆锥分成两部分的体积之比是( )A ．1∶1B ．1∶6C ．1∶7D ．1∶8C [如图，设圆锥底半径OB ＝R ，高PO ＝h ， ∵O ′为PO 中点，∴PO ′＝h2， ∵O ′A OB ＝PO ′PO ＝12，∴O ′A ＝R 2， ∴V 圆锥PO ′＝13π·⎝ ⎛⎭⎪⎫R 22·h2＝124πR 2h .V 圆台O ′O ＝π3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫R 22＋R 2＋R 2·R ·h 2＝724πR 2h . ∴V 圆锥PO ′V 圆台O ′O＝17，故选C.]求几何体体积的常用方法2．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是()A.233π B．2 3 C.736π D.733πD[S1＝π，S2＝4π，∴r＝1，R＝2，S侧＝6π＝π(r＋R)l，∴l＝2，∴h＝ 3.∴V＝13π(1＋4＋2)×3＝733π.故选D.]组合体的表面积与体积【例3】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．[解]如题图，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，∴CD＝BC－ADcos 60°＝2a，AB＝CD sin 60°＝3a，∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a，∴DO＝12DD′＝a.由于以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥．由上述计算知，圆柱母线长3a，底面半径2a，圆锥的母线长2a，底面半径a.∴圆柱的侧面积S1＝2π·2a·3a＝43πa2，圆锥的侧面积S2＝π·a·2a＝2πa2，圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2，圆锥的底面积S4＝πa2，∴组合体上底面积S5＝S3－S4＝3πa2，∴旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(43＋9)πa2.又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积．V 柱＝Sh＝π·(2a)2·3a＝43πa3，V锥＝13S′h＝13·π·a2·3a＝33πa3，∴V＝V柱－V锥＝43πa3－33πa3＝1133πa3.如果将例题的梯形绕着BC边所在直线旋转一周，如何求旋转体的表面积和体积？表面积和体积又分别为多少？[解]如图所示旋转体为一个圆锥和与它同底的一个圆柱组成，由条件可得：AD＝BO＝OC＝a，DO＝AB＝3a，DC＝2a，所以该旋转体的表面积为：S＝S圆柱底＋S圆柱侧＋S圆锥侧＝π·(3a)2＋2π3a·a＋π·3a·2a＝3πa2＋23πa2＋23πa2＝(3＋43)πa2，该旋转体的体积为V＝V圆锥＋V圆柱＝12·a＋π(3a)2a3π(3a)＝4πa3.求组合体的表面积和体积，首先要认清组合体是由哪些简单几何体构成的．组合体的表面积是可见的围成组合体的所有面的面积之和，但不一定是组成组合体的几个简单几何体的表面积之和；组合体的体积是构成组合体的几个简单组合体的体积之和(差)．1．圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键．2．计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．1．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为()A．1∶2B．1∶ 3C ．1∶ 5 D.3∶2C [设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝5r .∴S 侧＝πrl ＝5πr 2，S 底＝πr 2.则S 底∶S 侧＝1∶ 5.]2．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D ．3A [设圆台较小底面半径为r ，则另一底面半径为3r .由S ＝π(r ＋3r )·3＝84π，解得r ＝7.]3．已知圆台上、下底面半径分别为1,2，高为3，则圆台体积为 ． 7π [由已知圆台上、下底面积分别为 S 上＝π，S 下＝4π.则V 圆台＝13·(π＋π·4π＋4π)·3＝7π.]4．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为 ． 6π [由底面周长为2π可得底面半径为1.S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝4π，所以S 表＝S 底＋S 侧＝6π.]5．已知圆锥的底面半径为2，高为5，求这个圆锥的体积． [解] 由题意V 锥体＝13Sh ＝13πr 2·h ＝20π3.。
人教A版必修第二册第八章第三节基本立体图形8.3.2 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积圆柱、圆锥、圆台与棱柱、棱锥、棱台的体积栏目安排上有异曲同工之妙，不仅有利于把前一节课所蕴含的转化、类比、一般化与特殊化等数学思想方法和“思考——总结——归纳”的学习方法再次渗透、应用到本节课程的学习中，更有利于进行一般化推广，得到柱体、锥体、台体的体积公式.1.了解圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算公式.2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系,并能利用计算公式求出几何体的表面积与体积.1.数学运算：解圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算；问题驱动式五彩生态课堂多媒体.1.若圆锥的底面半径为√3,高为1,则圆锥的体积为().A.π3B.π2C.πD.2π答案 C解析V=13Sh=13×π×3×1=π.2.圆台的上、下底面半径分别为3,4,母线长为6,则其表面积等于( ).A.72B.42πC.67πD.72π答案 C解析S表=π(32+42+3×6+4×6)=67π.故选C.3.一个高为2的圆柱,底面周长为2π.该圆柱的表面积为.答案6π解析由底面周长为2π,可得底面半径为1,所以S底=2πr2=2π,S侧=2πr·h=4π,所以S表=S底+S侧=6π.圆柱、圆锥、圆台的表面积问题1:回顾棱柱、棱锥、棱台的表面积计算方法,你认为旋转体——圆柱、圆锥、圆台的表面积又是怎样计算的呢?答案棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和,即侧面积与底面积的和.圆柱、圆锥、圆台的表面积也是围成它们的各个面的面积的和,即侧面积与底面积的和.问题2:我们已经知道圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图,如何计算它们的侧面积呢?答案根据它们展开图计算,圆柱的侧面积利用矩形的面积公式计算,圆锥的侧面积利用扇形的面积公式计算,圆台的侧面积利用大扇形面积减去小扇形面积计算.问题3:圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系?答案当圆台的上底面半径等于下底面半径时,圆台的表面积公式为圆柱的表面积公式;当圆台的上底面半径等于0时,圆台的表面积公式为圆锥的表面积公式.新知生成与多面体的表面积一样,圆柱、圆锥、圆台的表面积也是围成它的各个面的面积和.图形侧面积与表面积公式圆柱侧面积:S侧= 2πrl.表面积:S= 2πr(r+l)圆锥侧面积:S侧= πrl.表面积:S= πr(r+l)圆台侧面积:S侧= πl(r'+r).表面积:S= π(r'2+r2+r'l+rl)新知运用例1如图所示,在边长为4的正△ABC中,E,F分别是AB,AC的中点,D为BC的中点,H,G分别是BD,CD的中点,若将正△ABC绕AD旋转180°,求阴影部分形成的几何体的表面积.方法指导先确定旋转体的类型,然后根据旋转体的表面积公式计算.解析该旋转体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的几何体.令BD=R,HD=r,AB=l,EH=h,则R=2,r=1,l=4,h=√3.所以圆锥的表面积S1=πR2+πRl=π×22+π×2×4=12π,圆柱的侧面积S2=2πrh=2π×1×√3=2√3π.所以所求几何体的表面积S=S1+S2=12π+2√3π=(12+2√3)π.方法总结：圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这些曲面展开为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.圆柱的一个底面的面积是S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是( ).A.4πSB.2πSC.πSD.2√3π3S答案 A解析设底面半径为r,则πr2=S,解得r=√Sπ,∴底面周长为2πr=2π√Sπ,又侧面展开图为一个正方形,∴侧面积为2π√Sπ2=4πS.探究2 圆柱、圆锥、圆台的体积下面两图为同一个健身哑铃,它是由两个全等的大圆柱和中间一个连杆圆柱构成的,中间的连杆圆柱为实心.问题1:你能计算出健身哑铃的体积吗? 答案 根据圆柱的体积公式计算即可.问题2:结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式,你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗?答案 V 柱体=Sh(S 为底面积,h 为柱体高);V 锥体=13Sh(S 为底面积,h 为锥体高);V 台体=13(S'+√S ′S +S)h(S',S 分别为上、下底面面积,h 为台体高). 新知生成1.圆柱: V 圆柱=πr 2h (r 是底面半径,h 是高).2.圆锥: V 圆锥=13πr 2h (r 是底面半径,h 是高).3.圆台: V 圆台=13πh(r 2+rr'+r'2) (其中r',r 分别是上、下底面的半径,h 是高). 新知运用例2 (1)(多选题)已知圆柱的侧面展开图是长为12 cm,宽为8 cm 的矩形,则这个圆柱的体积可能是( ).A .288π cm 3B .192π cm 3 C .288π cm 3 D .192π cm 3(2)某圆锥的轴截面是等腰直角三角形,侧面积是16√2π,则圆锥的体积是( ).A.64π3B.128π3 C.64π D.128√2π 答案 (1)AB (2)A解析 (1)当圆柱的高为8 cm 时,V=π×122π2×8=288π(cm 3);当圆柱的高为12 cm 时,V=π×82π2×12=192π(cm 3).(2)作圆锥的轴截面,如图所示:由题意知,在△PAB 中,∠APB=90°,PA=PB.设圆锥的高为h,底面半径为r, 则h=r,PB=√2r.由S 侧=π·r ·PB=16√2π,即√2πr 2=16√2π,解得r=4,则h=4.故圆锥的体积V 圆锥=13πr 2h=64π3.方法总结：求几何体的体积时,要注意利用好几何体的轴截面,准确求出几何体的高和底面积.已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4,母线长为10,则圆台的体积为.答案 224π解析 设上底面半径为r ,则下底面半径R=4r ,高h=4r ,如图.由题意得,102=(4r)2+(4r-r)2,解得r=2. ∴R=h=8,∴V 圆台=13π(r 2+rR+R 2)h=224π.1.将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是( ).A.4πB.3πC.2πD.π答案 C解析易知该几何体为圆柱,且底面圆半径为1,母线长为1,故侧面积S=2πrl=2π×1×1=2π.故选C.2.若圆锥的高等于底面直径,则它的底面积与侧面积之比为( ).A.1∶2B.1∶√3C.1∶√5D.√3∶2答案 C解析设圆锥底面半径为r,则高h=2r,∴其母线长l=√5r.∴S侧=πrl=√5πr2,S底=πr2,∴S底∶S侧=1∶√5.故选C.3.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为( ).A.7B.6C.5D.3答案 A解析设圆台较小底面的半径为r,则另一底面半径为3r.由S=π(r+3r)×3=84π,解得r=7.。
