3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量1．理解直线与平面所成角的概念．(重点)2．会用向量法求线线、线面、面面的夹角．(重点、难点) 3．正确区分向量夹角与所求线线角、面面角的关系．(易错点)[基础·初探]教材整理1直线与平面的夹角阅读教材P106～P107“例”以上部分内容，完成下列问题．1．直线与平面所成的角2．最小角定理1．已知向量m，n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－32，则l与α所成的角为_______________．【解析】设l与α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈m，n〉|＝32，∴θ＝60°.【答案】60°2．P A，PB，PC是由点P出发的三条射线，两两夹角为60°，则PC与平面P AB所成角的余弦值为________．【解析】设PC与平面P AB所成的角为θ，则cos 60°＝cos θcos 30°，得cos θ＝3 3.【答案】3 3教材整理2二面角及其度量阅读教材P108～P109“例1”以上部分内容，完成下列问题．1．二面角的相关概念(1)二面角及其平面角设二面角为α，则0°≤α≤180°.2．直二面角平面角是直角的二面角叫做直二面角．3．二面角的度量(1)分别在二面角α-l-β的面α，β内，作向量n1⊥l，n2⊥l，则可以用〈n1，n2〉来度量二面角α-l-β.(2)设m1⊥α，m2⊥β，则〈m1，m2〉与二面角α-l-β大小相等或互补．1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A1-BC-A的余弦值为()A.12B．23C．22D．33【解析】易知∠A1BA为二面角A1-BC-A的平面角，cos∠A1BA＝ABA1B＝22.【答案】 C2．已知△ABC和△BCD均为边长为a的等边三角形，且AD＝32a，则二面角A-BC-D的大小为()【导学号：15460077】A．30°B．45°C．60°D．90°【解析】如图，取BC的中点为E，连接AE，DE，由题意得AE ⊥BC ，DE ⊥BC ， 且AE ＝DE ＝32a ，又AD ＝32a ，∴∠AED ＝60°，即二面角A -BC -D 的大小为60°. 【答案】 C[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________[小组合作型]111115，试求B 1D 1与平面A 1BCD 1所成角的正弦值．【精彩点拨】 作出B 1点在平面A 1BCD 1内的射影，从而得到B 1D 1在平面A 1BCD 1内的射影．【自主解答】 作B 1E ⊥A 1B ，垂足为E ，又因为A 1D 1⊥平面ABB 1A 1， ∴A 1D 1⊥B 1E .由B 1E ⊥A 1B 及B 1E ⊥A 1D 1得B 1E ⊥平面A 1BCD 1，所以，D 1E 就是D 1B 1在平面A 1BCD 1内的射影， 从而∠B 1D 1E 就是D 1B 1与平面A 1BCD 1所成的角． 在Rt △B 1D 1E 中，有sin ∠B 1D 1E ＝EB 1D 1B 1.D 1B 1＝A 1B 21＋A 1D 21＝16＋9＝5，又S △A 1BB 1＝12A 1B ·EB 1＝12A 1B 1·BB 1， A 1B ＝25＋16＝41， ∴EB 1＝4×541＝2041，∴sin ∠B 1D 1E ＝44141.1．作直线与平面夹角的一般方法：在直线上找一点，通过这个点作平面的垂线，从而确定射影，找到要求的角．其中关键是作平面的垂线，此方法简称为“一作，二证，三计算”．2．用定义求二面角的步骤：(1)作(找)出二面角的平面角(作二面角时多用三垂线定理)； (2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角； (3)解三角形求角．[再练一题]1．如图3-2-24，ABCD 是正方形，V 是平面ABCD 外一点，且VA ＝VB ＝VC ＝AB ，求二面角A -VB -C 的余弦值．图3-2-24 【解】取VB的中点为E，连接AE，CE.∵VA＝AB＝BC＝VC，∴AE⊥VB，CE⊥VB.∴∠AEC是二面角A-VB-C的平面角．设AB＝a，连接AC，在△AEC中，AE＝EC＝32a，AC＝2a，由余弦定理可知cos∠AEC＝⎝⎛⎭⎪⎫32a2＋⎝⎛⎭⎪⎫32a2－(2a)22×32a×32a＝－13，∴所求二面角A-VB-C的余弦值为－1 3.，AB⊥AC，P A＝AC＝12AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．图3-2-25(1)证明：CM ⊥SN ；(2)求SN 与平面CMN 所成角的大小． 【精彩点拨】 (1)怎样建立坐标系？(2)向量CM→与SN →满足什么关系时有CM ⊥SN 成立？(3)SN→的坐标是多少？平面CMN 的一个法向量怎么求？SN →与平面CMN 的法向量的夹角就是SN 与平面CMN 所成的角吗？【自主解答】设P A ＝1，以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴正向建立空间直角坐标系(如图)．则P (0,0,1)，C (0,1,0)，B (2,0,0)，又AN ＝14AB ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点， ∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12，S ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0， (1)CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1，12，SN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，0， ∴CM →·SN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1，12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，0＝0， 因此CM ⊥SN .(2)NC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，0，设a ＝(x ，y ，z )为平面CMN 的一个法向量，∴CM →·a ＝0，NC →·a ＝0.则⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋12z ＝0，－12x ＋y ＝0，∴⎩⎨⎧x ＝2y ，z ＝－2y . 取y ＝1，得a ＝(2,1，－2)． 因为cos<a ，SN→>＝－1－123×22＝－22. ∴〈a ，SN →〉＝34π.所以SN 与平面CMN所成的角为34π－π2＝π4.1．本题中直线的方向向量SN →与平面的法向量a 的夹角并不是所求线面角θ，它们的关系是sin θ＝|cos 〈SN→，a〉|.2．若直线l 与平面α的夹角为θ，利用法向量计算θ的步骤如下：[再练一题]2．设在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝90°，E ，F 依次为C 1C ，BC 的中点．试求A 1B 与平面AEF 的夹角的正弦值．图3-2-26【解】 以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，A 1(0,0,2)，B (2,0,0)，E (0,2,1)，F (1,1,0)，所以A 1B →＝(2,0，－2)，AE→＝(0,2,1)，AF →＝(1,1,0)． 设平面AEF 的一个法向量为n ＝(a ，b ，c )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0，n ·AF →＝0，得⎩⎨⎧2b ＋c ＝0，a ＋b ＝0，令a ＝1，可得n ＝(1，－1,2)． 设A 1B 与平面AEF 的夹角为θ，所以sin θ＝|cos 〈n ，A 1B →〉|＝|n ·A 1B →||n ||A 1B →|＝36，即A 1B 与平面AEF 的夹角的正弦值为36.[探究共研型]探究1 【提示】 当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角．只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的．探究2 在底面为平行四边形的四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥AC ，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝AB ，E 是PD 的中点，求平面EAC 与平面ABCD 的夹角．【提示】 法一 如图，以A 为原点，分别以AC ，AB ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．设P A ＝AB ＝a ，AC ＝b ，连接BD 与AC 交于点O ，取AD 中点F ，则C (b,0,0)，B (0，a,0)，BA→＝CD →. ∴D (b ，－a,0)，P (0,0，a )， ∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，－a 2，a 2，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，0，OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2，a 2，AC →＝(b,0,0)． ∵OE →·AC →＝0，∴OE →⊥AC →， OF →＝12BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2，0，OF →·AC →＝0.∴OF→⊥AC →. ∴∠EOF 为平面EAC 与平面ABCD 的夹角(或补角)． cos 〈OE →，OF →〉＝OE →·OF →|OE →||OF →|＝22.∴平面EAC 与平面ABCD 的夹角为45°. 法二 建系如方法一，∵P A ⊥平面ABCD ， ∴AP→＝(0,0，a )为平面ABCD 的法向量， AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，－a 2，a 2，AC →＝(b,0,0)． 设平面AEC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )． 由⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AE →＝0，m ·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b 2x －a 2y ＋a 2z ＝0，bx ＝0.∴x ＝0，y ＝z .∴取m ＝(0,1,1)， cos 〈m ，AP →〉＝m ·AP →|m ||AP →|＝a 2·a ＝22.∴平面AEC 与平面ABCD 的夹角为45°.如图3-2-27，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝22AB .图3-2-27(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ； (2)求二面角D -A 1C -E 的正弦值．【精彩点拨】 (1)能否运用线面平行的判定定理求解？(2)如何建立空间直角坐标系，能确定平面DA 1C 和平面A 1CE 的法向量，进而利用公式求出二面角的正弦值？【自主解答】 (1)证明：连接AC 1，交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点． 又D 是AB 的中点，连接DF ，则BC 1∥DF . 因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ， 所以BC 1∥平面A 1CD .(2)由AC ＝CB ＝22AB ， 得AC ⊥BC .以C 为坐标原点，CA →，CB →，CC 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz .设CA ＝2，则D (1,1,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,2)，CD →＝(1,1,0)，CE →＝(0,2,1)，CA 1→＝(2,0,2)． 设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0，n ·CA 1→＝0，即⎩⎨⎧x 1＋y 1＝0，2x 1＋2z 1＝0.可取n ＝(1，－1，－1)．同理，设m ＝(x 2，y 2，z 2)是平面A 1 CE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CE →＝0，m ·CA 1→＝0，即⎩⎨⎧2y 2＋z 2＝0，2x 2＋2z 2＝0.可取m ＝(2,1，－2)．从而cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝33，故sin 〈n ，m 〉＝63. 即二面角D -A 1C -E 的正弦值为63.用向量法求二面角的大小，可以避免作出二面角的平面角这一难点，转化为计算两半平面法向量的夹角问题，具体求解步骤如下：(1)建立空间直角坐标系；(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量； (3)求两个法向量的夹角；(4)判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角； (5)确定二面角的大小．[再练一题]3．如图3-2-28，在空间直角坐标系Cxyz 中，AB 是圆O 的直径，AC ＝BC ＝22，DC ∥EB ，DC ＝EB ，tan ∠EAB ＝14，求二面角D -AE -B 的余弦值．图3-2-28【解】 由题可知AB ＝4，tan ∠EAB ＝14，可得CD ＝EB ＝1，∴D (0,0,1)，E (0,22，1)，A (22，0,0)，B (0，22，0)，则AB →＝(－22，22，0)，BE →＝(0,0,1)，DA→＝(22，0，－1)，DE →＝(0,22，0)， 设平面DAE 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DE →＝0，n 1·DA →＝0，即⎩⎨⎧22y 1＝0，22x 1－z 1＝0.∴y 1＝0，令x 1＝1，则z 1＝22，∴平面DAE 的一个法向量为n 1＝(1,0,22)． 设平面ABE 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BE →＝0，n 2·AB →＝0，即⎩⎨⎧z 2＝0，－22x 2＋22y 2＝0，∴z 2＝0，令x 2＝1，则y 2＝1，∴平面ABE 的一个法向量为n 2＝(1,1,0)， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝12×9＝26. 由图可以判断二面角D -AE -B 为钝角， ∴二面角D -AE -B 的余弦值为－26.[构建·体系]1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为侧面BCC1B1的中心，则AO与平面ABCD 所成角的正弦值为()A.33B．12C．66D．36【解析】取BC中点M，连接AM，OM，易知∠OAM即为AO与平面ABCD所成的角，可求得sin∠OAM＝6 6.【答案】 C2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD 所成的角的正弦值为()A．－105B．105C．－155D．155【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，E(0,2,1)．∴BD →＝(－2，－2,0)，BB 1→＝(0,0,2)， BE→＝(－2,0,1)． 设平面B 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∵n ⊥BD →，n ⊥BB 1→， ∴⎩⎨⎧ －2x －2y ＝0，2z ＝0，∴⎩⎨⎧x ＝－y ，z ＝0. 令y ＝1，则n ＝(－1,1,0)． ∴cos 〈n ，BE →〉＝n ·BE →|n ||BE→|＝105，设直线BE 与平面B 1BD 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，BE→〉|＝105.【答案】 B3．在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为________.【导学号：15460078】【解析】 两向量夹角与二面角相等或互补，则二面角的余弦值为156. 【答案】1564.如图3-2-29，P A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，P A ＝AC ＝1，BC ＝2，求二面角A -PB -C 的余弦值为________．图3-2-29【解析】 如图建立空间直角坐标系，则 A (0,0,0)，B (2，1,0)，C (0,1,0)，P (0,0,1)，AP→＝(0,0,1)，AB →＝(2，1,0)， CB→＝(2，0,0)， CP→＝(0，－1,1)． 设平面P AB 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AP →＝0，m ·AB →＝0，即⎩⎨⎧(x ，y ，z )·(0，0，1)＝0，(x ，y ，z )·(2，1，0)＝0，解得⎩⎨⎧y ＝－2x ，z ＝0.令x ＝1，则m ＝(1，－2，0)．设平面PBC 的法向量为n ＝(x ′，y ′，z ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB →＝0，n ·CP →＝0，即⎩⎨⎧(x ′，y ′，z ′)·(2，0，0)＝0，(x ′，y ′，z ′)·(0，－1，1)＝0，解得⎩⎨⎧x ′＝0，y ′＝z ′.令y ′＝－1，则n ＝(0，－1，－1)， ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝33. 故二面角A -PB -C 的余弦值为33. 【答案】 335.如图3-2-30，在三棱锥P -ABQ 中，PB ⊥平面ABQ ，BA ＝BP ＝BQ ，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，AQ ＝2BD ，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH .图3-2-30(1)求证：AB ∥GH ；(2)求二面角D -GH -E 的余弦值．【解】 (1)证明：因为D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，所以EF ∥AB ，DC ∥AB .所以EF ∥DC .又因为EF ⊄平面PCD ，DC ⊂平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD .又因为EF ⊂平面EFQ ，平面EFQ ∩平面PCD ＝GH ， 所以EF ∥GH .又因为EF ∥AB ，所以AB ∥GH . (2)在△ABQ 中，AQ ＝2BD ，AD ＝DQ ， 所以∠ABQ ＝90°.又因为PB ⊥平面ABQ ， 所以BA ，BQ ，BP 两两垂直．以点B 为坐标原点，分别以BA ，BQ ，BP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设BA ＝BP ＝BQ ＝2，则E (1,0,1)，F (0,0,1)，Q (0,2,0)，D (1,1,0)，C (0,1,0)，P (0,0,2)，所以EQ→＝(－1,2，－1)，FQ →＝(0,2，－1)，DP →＝(－1，－1,2)，CP →＝(0，－1,2)．设平面EFQ 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 由m ·EQ →＝0，m ·FQ→＝0， 得⎩⎨⎧ －x 1＋2y 1－z 1＝0，2y 1－z 1＝0，取y 1＝1，得m ＝(0,1,2)． 设平面PDC 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 由n ·DP →＝0，n ·CP→＝0， 得⎩⎨⎧－x 2－y 2＋2z 2＝0，－y 2＋2z 2＝0，取z 2＝1，得n ＝(0,2,1)． 所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝45. 因为二面角D -GH -E 为钝角， 所以二面角D -GH -E 的余弦值为－45.我还有这些不足：(1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l 与平面α所成的角等于( )A ．120°B ．60°C ．30°D ．以上均错【解析】 设直线l 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 120°|＝12. 又∵0<θ≤90°，∴θ＝30°. 【答案】 C2．若直线l 与平面α所成角为π3，直线a 在平面α内，且与直线l 异面，则直线l 与直线a 所成角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2【解析】 由最小角定理知直线l 与直线a 所成的最小角为π3，又l ，a 为异面直线，则所成角的最大值为π2.【答案】 D3．正方形ABCD 所在平面外一点P ，P A ⊥平面ABCD ，若P A ＝AB ，则平面P AB 与平面PCD 的夹角为( )【导学号：15460079】A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，设P A ＝AB ＝1.则A (0,0,0)，D (0,1,0)，P (0,0,1)．于是AD→＝(0,1,0)． 取PD 中点为E ， 则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，易知AD →是平面P AB 的法向量，AE →是平面PCD 的法向量，∴cos<AD →，AE →>＝22，∴平面P AB 与平面PCD 的夹角为45°. 【答案】 B4．如图3-2-31，在空间直角坐标系Dxyz 中，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1为长方体，AA 1＝AB ＝2AD ，点E ，F 分别为C 1D 1，A 1B 的中点，则二面角B 1-A 1B -E 的余弦值为( )图3-2-31A ．－33B ．－32 C.33D ．32【解析】 设AD ＝1，则A 1(1,0,2)，B (1,2,0)，因为E ，F 分别为C 1D 1，A 1B 的中点，所以E (0,1,2)，F (1,1,1)，所以A 1E →＝(－1,1,0)，A 1B →＝(0,2，－2)，设m ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧A 1E →·m ＝0，A 1B →·m ＝0，所以⎩⎨⎧－x ＋y ＝0，2y －2z ＝0，所以⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝z ，取x ＝1，则y ＝z ＝1，所以平面A 1BE 的一个法向量为m ＝(1,1,1)，又DA ⊥平面A 1B 1B ，所以DA →＝(1,0,0)是平面A 1B 1B 的一个法向量，所以cos 〈m ，DA →〉＝m ·DA →|m ||DA →|＝13＝33，又二面角B 1-A 1B -E 为锐二面角，所以二面角B 1-A 1B -E 的余弦值为33，故选C.【答案】 C5．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AB ，C 1D 1的中点，则A 1B 1与平面A 1EF 夹角的正弦值为( )A.62 B ．63 C.64D ． 2【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1， 则A 1(1,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1，B 1(1,1,1)． A 1B 1→＝(0,1,0)，设平面A 1EF 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1E →＝0，n ·A 1F →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12y －z ＝0，－x ＋y 2＝0.令y ＝2，则⎩⎨⎧x ＝1，z ＝1，∴n ＝(1,2,1)，cos 〈n ，A 1B 1→〉＝26＝63， 即线面角的正弦值为63. 【答案】 B 二、填空题6．等腰Rt △ABC 的斜边AB 在平面α内，若AC 与α成30°角，则斜边上的中线CM 与平面α所成的角为________．【解析】 作CO ⊥α，O 为垂足，连接AO ，MO ，则∠CAO ＝30°，∠CMO 为CM 与α所成的角．在Rt △AOC 中，设CO ＝1，则AC ＝2.在等腰Rt △ABC 中，由AC ＝2得CM ＝ 2.在Rt △CMO 中，sin ∠CMO ＝CO CM ＝12＝22，所以∠CMO ＝45°. 【答案】 45°7．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A (1，－2,0)，B (2,1，6)，则向量AB →与平面xOz 的法向量的夹角的正弦值为________．【解析】 设平面xOz 的法向量为n ＝(0，t,0)(t ≠0)，AB →＝(1,3, 6)，所以cos 〈n ，AB →〉＝n ·AB →|n |·|AB →|＝3t 4|t |，因为〈n ，AB →〉∈[0，π]，所以sin 〈n ，AB →〉＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 4|t |2＝74.【答案】 748．已知点E ，F 分别在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则平面AEF 与平面ABC 所成的二面角的正切值等于________．【解析】 如图，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，平面ABC 的法向量为n 1＝(0,0,1)，平面AEF 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )．所以A (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，13，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，23，所以AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，13，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，13，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AE →＝0，n 2·EF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋13z ＝0，－x ＋13z ＝0.取x ＝1，则y ＝－1，z ＝3.故n 2＝(1，－1,3)． 所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝31111.所以平面AEF 与平面ABC 所成的二面角的平面角α满足cos α＝31111，sin α＝2211，所以tan α＝23.【答案】 23 三、解答题9.如图3-2-32所示，在四面体ABCD 中，O ，E 分别是BD ，BC 的中点，CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝ 2.图3-2-32(1)求证：AO ⊥平面BCD ；(2)求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值． 【解】 (1)证明：连接OC ， 由题意知BO ＝DO ，AB ＝AD ，∴AO ⊥BD .又BO ＝DO ，BC ＝CD ，∴CO ⊥BD .在△AOC 中，由已知可得AO ＝1，CO ＝3， 又AC ＝2，∴AO 2＋CO 2＝AC 2，∴∠AOC ＝90°，即AO ⊥OC . ∵BD ∩OC ＝O ，∴AO ⊥平面BCD . (2)以O 为坐标原点建立空间直角坐标系， 则B (1,0,0)，D (－1,0,0)，C (0, 3，0)，A (0,0,1)， E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0， ∴BA→＝(－1,0,1)，CD →＝(－1，－3，0)， ∴cos 〈BA →，CD →〉＝BA →·CD →|BA →|·|CD →|＝24.∴异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为24.10．四棱锥P -ABCD 的底面是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上． (1)求证：平面AEC ⊥平面PDB ；(2)当PD ＝2AB 且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小． 【解】 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系Dxyz ，设AB ＝a ，PD ＝h ，则A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，D (0,0,0)，P (0,0，h )，(1)∵AC→＝(－a ，a,0)，DP →＝(0,0，h )，DB →＝(a ，a,0)，∴AC →·DP →＝0，AC →·DB→＝0， ∴AC ⊥DP ，AC ⊥DB ，又DP ∩DB ＝D ， ∴AC ⊥平面PDB ，又AC ⊂平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面PDB .(2)当PD ＝2AB 且E 为PB 的中点时，P (0,0，2a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，12a ，22a ，设AC ∩BD ＝O ，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，0，连接OE ，由(1)知AC ⊥平面PDB 于O ，∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所成的角，∵EA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，－12a ，－22a ，EO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，－22a ，∴cos ∠AEO ＝EA →·EO →|EA →|·|EO→|＝22，∴∠AEO ＝45°，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45°.[能力提升]1．已知在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，E 是侧棱BB 1的中点，则直线AE 与平面A 1ED 1所成角的大小为( )A ．60°B ．90°C ．45°D ．以上都不对【解析】 以点D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图．由题意知，A 1(1,0,2)，E (1,1,1)，D 1(0,0,2)，A (1,0,0)，所以A 1E →＝(0,1，－1)，D 1E →＝(1,1，－1)，EA →＝(0，－1，－1)．设平面A 1ED 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1E →＝0，n ·D 1E →＝0，得⎩⎨⎧y －z ＝0，x ＋y －z ＝0.令z ＝1，得y ＝1，x ＝0，所以n ＝(0,1,1)， cos 〈n ，EA →〉＝n ·EA →|n ||EA →|＝－22·2＝－1.所以〈n ，EA →〉＝180°.所以直线AE 与平面A 1ED 1所成的角为90°. 【答案】 B2.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )图3-2-33A.55 B ．53 C.255D ．35【解析】 不妨设CA ＝CC 1＝2CB ＝2， 则AB 1→＝(－2,2,1)，C 1B →＝(0，－2,1)， 所以cos 〈AB 1→，C 1B →〉＝AB 1→·C 1B →|AB 1→||C 1B →|＝(－2)×0＋2×(－2)＋1×19×5＝－55.因为直线BC 1与直线AB 1的夹角为锐角，所以所求角的余弦值为55. 【答案】 A3．在空间中，已知平面α过(3,0,0)和(0,4,0)及z 轴上一点(0,0，a )(a ＞0)，如果平面α与平面xOy 的夹角为45°，则a ＝________.【导学号：15460080】【解析】 平面xOy 的法向量为n ＝(0,0,1)，设平面α的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧－3x ＋4y ＝0，－3x ＋az ＝0，即3x ＝4y ＝az ，取z ＝1，则u ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a 4，1.而cos 〈n ，u 〉＝1a 29＋a 216＋1＝22，又∵a ＞0，∴a ＝125.【答案】 1254.如图3-2-34，在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．图3-2-34(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值； (2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值． 【解】(1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，A 1(0,0,4)，C 1(0,2,4)，所以A 1B →＝(2,0，－4)，C 1D →＝(1，－1，－4).因为cos 〈A 1B →，C 1D →〉＝A 1B →·C 1D →|A 1B →||C 1D →|＝1820×18＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.(2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AD →＝(1,1,0)，AC 1→＝(0,2,4)，所以n 1·AD →＝0，n 1·AC 1→＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以n 1＝(2，－2,1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面AA 1B 的一个法向量为n 2＝(0,1,0)，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由|cos θ|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝29×1＝23，得sin θ＝53.5因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为3.。
