§1.3 集类

以下部分不作为课堂讲授内容, 必要时仅介绍其主要结果, 不讲证明.
π 类与 λ 类
定义 9 设C 是一个非空集类. (1) 称C 为 π 类, 若C 对有限交运算封闭. (2) 称C 为 λ 类, 若C 满足
(i) . X ∈ C .
(ii) .若 A, B ∈ C 并且 A ⊃ B, 则 A − B ∈ C (对包含差运算封闭).
(iii) .若 { An } ⊂ F 并且 An ↑, 则 ∪ An ∈C (对单调增加的集列的并运算封闭).
n =1
∞
设 C 是一个非空集类. 类似于 σ − 代数的情形, 存在一个包含 C 的最小 λ 类, 称之为 由C 生成的 λ 类, 记为 λ (C ). 定理 10 集类 F 是 σ − 代数当且仅当 F 既是 π 类又是 λ 类. 证明 必要性是显然的. 往证充分性. 因为 F 既是 π 类又是 λ 类, 因此 F 对余运算和 有限交运算封闭. 于是由 De Morgan 公式推出 F 对有限并运算封闭. 设 { An } 是 F 中的一
设C 是一个非空集类. 若 F 是一个 σ -代数并且C ⊂ F , 则必有 σ (C ) ⊂ F . 这是因 为 σ (C ) 是包含的C 的最小的 σ -代数. 由此得到测度论中常用的一种证明方法如下: 设我 们要证明由集类C 生成的 σ − 代数 σ (C ) 中所有的集都具有某种性质 P. 令
F = { A : A具有性质P}.
然后证明(i). C ⊂
F . (ii). F 是一个 σ -代数. 于是由 σ (C ) 的最小性知道 σ (C ) ⊂ F . 即
σ (C ) 中所有的集都具有性质 P.
在上述证明方法中, 具有性质 P 的集可以通俗的称为“好集”, 上述证明方法可以称为 “好集原理”.
1 1
(1) ∅ ∈ C (2) 若 A, B ∈C , 则A ∩ B ∈C . (3) 若 A, B ∈C , 则存在C 中有限个互不相交的集 C1 ,
, C n , 使得
A − B = ∪ Ci .
i =1
n
则C 称为半环. 例 1 设C = {( a, b] : −∞ < a ≤ b < +∞} 是直线上左开右闭有界区间的全体. 则C 是一 个半环. 定义 2 设 R 是一个非空集类. 若 R 对并运算和差运算封闭, 则称 R 为环. 定理 3 设 R 是一个非空集类. 则 (1) 若 R 对不相交并和差运算封闭, 则 R 是环. (2) 若 R 是一个环. 则 ∅ ∈ R 并且 R 对交运算封闭 证明 由于 A ∪ B = A ∪ ( A − B), 故集的并可以通过差运算和不相交并运算得到. 因
A1 − B1
A 2 − B2
A1
B1
B2
A2
A = A1 ∪ A2 B = B1 ∪ B2
19
图 3—1 我们称由(1)定义的环 R 为由C 生成的环, 记为 R (C ). 由定理 4 知道, 的最小的环. 例3 设
R (C ) 是包含C
R = { ∪ (ai , bi ] : (ai , bi ] ∩ (a j , b j ] = ∅ (i ≠ j ), k ≥ 1}.
C = { A : A是X的有限子集},
C1 = { A : A或A c 是X的有限子集}.
则
σ (C ) = σ (C1 ).
证明 由 于 C ⊂ C1 ⊂
σ (C1 ) , 并 且 σ (C ) 是 包 含 C 的 最 小 σ - 代 数 , 因 此
c
σ (C ) ⊂ σ (C1 ) . 往证相反的包含关系. 设 A ∈ C1 . 则 A 或者 A c 是有限集. 若 A 是有限集,
∞
运算封闭.■ 以上定义的四种集类的关系是, 半环. 思考题: 1.分别举例说明半环不必是环, 环不必是代数, 代数不必是 σ -代数. 2. 举例说明 σ -代数对任意多个集的并运算不一定封闭. 由集类生成的 σ -代数 在定理 4 中我们已经知道, 给定一个非空集类C , 存在一个包含 每个 σ -代数都是代数, 每个代数都是环, 每个环都是
m j =1
( Ai − B j ) : i = 1,
, n 中的集互不相交并且 R 对不相交并运算封闭 , 由 (2) 知道
}
A − B ∈ R . 即 R 对差运算封闭. 所以 R 是一个包含C 的环. 显然,若 R ′ 是任意包含C 的
环,则 R ⊂ R ′. 即 R 是包含C 的最小的环(图 3—1 是当C 是例 1 中的半环的情形). ■
i =1 j =1 i =1 j =1
n
m
n
m
(2)
由于 C 是半环, 故 Ai − B j 可以表示为C 中的有限个集的不相交并, 因此由 R 的定义知道
Ai − B j ∈ R . 上 面 已 证 R 对 交 运 算 封 闭 , 因 此
∩
m j =1
( Ai − B j ) ∈ R . 由 于
{∩
F = ∩{F ′ : F ′ 是包含C 的σ − 代数}.
则
F 是一个包含C 的σ -代数. 事实上, 显然 F 非空并且 F ⊃ C .设
. 往证
An ∈ F , n = 1, 2, An ∈ F ′, n = 1, 2,
∪ A ∈F .
n n =1
∞
设
F ′ 是任意一个包含C 的 σ -代数. 则
A1 ∪ ∪ A n = A1 ∪ ∪ An ∪ An
,
证明 由于
即有限并可以表示成可数并. 由于 F 对可数并运算封闭, 因此 F 对有限并运算封闭. 因此
F 是代数，由代数的性质知道 X , ∅ ∈ F 并且 F 对有限交运算和差运算封闭。 由 De
20
Morgan 公式得到
∩A
n =1
∞
n
C C = ( ∪ An ) , 由于 F 对可数并和余运算的封闭性知道 F 对可数交 n =1
21
c c 算封闭 , 因此 A ∈ F ′. 若 A 是至多可数集 , 则 A ∈ F ′. 由于 F ′ 对余运算封闭 , 因此
A = ( A c ) c ∈ F ′. 这表明 F ′ ⊃ F . 综上所证, F 是包含 C 的最小的 σ - σ -代数. 因此
σ (C ) = F . ■
例 8 设
则 A ∈ C ⊂ σ (C ). 若 A 是有限集, 则 A ∈ C ⊂ σ (C ). 由于 σ (C ) 对余运算封闭, 因此
c
A= ( A ) ∈ σ (C ). 这表明C1 ⊂ σ (C ). 因此 σ (C1 ) ⊂ σ (C ). 这就证明了 σ (C ) = σ (C1 ). ■
c c
18
此若 R 对不相交并和差运算封闭, 则 R 对并运算也封闭, 因而 R 是一个环. 设 R 是一个 环. 由于 R 非空, 故存在 A ∈ R . 于是 ∅ = A − A ∈ R . 由于
A ∩ B = ( A ∪ B) − (( A − B) ∪ ( B − A)),
即交运算可以通过并运算和差运算得到, 因此 R 对交运算封闭.■ 例 2 设 R = { A : A是X的有限子集}, 则 R 是一个环. 定理 4 设C 是一个半环. 令
∞ ∞
. 由于 F ′ 是 σ -代数, 因此 ∪ An ∈ F ′. 这表明 ∪ An ∈ F . 因此 F
n =1 n =1
对可数并运算封闭. 类似可以证明 F 对余运算封闭. 因此 F 是一个包含C 的 σ − 代数 .由
F 的定义知道, 对任何包含C 的 σ − 代数 F ′, 必有 F ′ ⊃ F . 因此存在性得证.唯一性
(3)
证明 将 (3)的右边所定义的集类记为 F . 显然 F ⊃ C . 不难验证 F 是一个 σ - 代数 (具体验证过程留作习题). 另一方面, 设 F ′ 是任意一个包含C 的 σ -代数. 若 A 是至多可数 集, 则 A 可以表示成单点集的有限并或可数并. 既然 F ′ 包含 C 并且对有限并和可数并运
R = { ∪ Ci : C1 , , C k 属于C 并且互不相交, k ≥ 1}.
i =1
k
(1)
则 R 是一个环. 并且 R 是包含C 的最小的环. 证明 显然C ⊂ R . 由定理 3, 为证 R 是一个环, 只需证明 R 对不相交并和差运算封闭 即可. 显然 R 对不相交并算封闭. 往证 R 对差运算封闭. 设 A = 是 R 中任意两个集. 则
c
(2) 若 An ∈ F , n = 1, 2,
, 则 ∪ An ∈ F .
n =1
∞
则称 F 为一个 σ -代数(或 σ -域).. 例 4 设 F = { X , ∅}, 则 F 是 X 上的 σ -代数. 这是 X 上的最小的 σ -代数. 例 5 设 P ( X ) 是由 X 的全体子集所成的集类. 则 P ( X ) 是一个 σ -代数. 这是 X 上的 最大的 σ -代数. 例 6 设 X 是一个无限集. 令 A = { A : A. 或者 A 是有限集}. 则 A 是 X 上的一个代
集类 设 X 为一固定的非空集. 以 X 的一些子集为元素的集称为 X 上的集类. 集类一般 用花体字母如 A , B ,C 等表示. 例如, 由直线 R 上开区间的全体所成的集就是 R 上的一 个集类. 本节若无特别申明, 均设所考虑的集类都是 X 上的集类. 在测度论中经常要用到具有某些运算封闭性的集类. 对集类要求不同的运算封闭性就 得到不同的集类. 本节介绍常见的几种集类, 主要包括半环, 环, 代数和 σ -代数. 这几种集 类对运算封闭性的要求一个比一个强. I 半环与环 定义 1 设C 是一集类, 若C 满足条件
∪
n i =1