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正项级数的常用审敛法和推广比值审敛法的比较摘要数项级数是数的加法从有限代数和到无限和的自然推广．由于无限次相加，许多有限次相加的性质便在计算无限和时发生了改变．首先，有限次相加的结果总是客观存在的，而无限次相加则可能根本不存在有意义的结果。
这就是说，一个级数可能是收敛或发散的．因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。
在通常的微积分学教程中，审敛正项级数的敛散性有许多有效的方法，比如达朗贝尔审敛法，拉贝审敛法等，本文就达朗贝尔审敛法和拉贝审敛法与几个新审敛法进行一些适当的比较总结，另对其应用做一些举例验证。
关键词数学分析正项级数推广比值审敛法一.预备知识1.正项级数的定义如果级数的各项都是非负实数，即则称此级数为正项级数2..收敛定理正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有上界。
若正项级数的部分和数列无上界，则其必发散到例级数是正项级数。
它的部分和数列的通项，所以正项级数收敛。
在正项级数敛散性的各种审敛法中，达郎贝尔比值审敛法是最简单而又最常用的审敛法。
二.常规审敛法：1.达朗贝尔审敛法…………，若，当L<1，级数收敛，当L>1，级数发散，L=1，不能审敛。
例 1 考虑级数则；所以级数收敛2.拉贝审敛法…………，若，则当L<1，级数收敛，L>1，级数发散，L=1，不能审敛。
例 2 判断级数的敛散性解设则，（达朗贝尔审敛法不可用）所以级数三.常规审敛法的比较由以上两种正向级数的审敛法我们不难看出，相对于达朗贝尔审敛法，拉贝审敛法要更加精细，简洁，这两种审敛法中，达朗贝尔审敛法更为基础，拉贝审敛法的应用相比较之下更为广泛。
但是以上两种审敛法只适用于那种收敛较快或发散较快的正项级数。
但实际上，这个审敛法之可能对那些与几何级数的收敛速度或发散速度相当的正项级数有效，而对正项级数来说，如果时，则比值审敛法就无法对级数的敛散性作出审敛。
例如，我们不难证明，当为n的有历史时，总有，也就是说此时比值判定法必定失效。
级数收敛的判别法与应用级数是数学中重要的概念之一，它由一系列的项组成，可以用来描述许多实际问题。
在求解级数时，我们需要判断级数的收敛性，即确定级数的和是否有限。
为了判断级数的收敛性，我们可以应用一些判别法。
本文将介绍几种常见的级数收敛的判别法，并讨论它们在实际问题中的应用。
一、正项级数的收敛性判别法对于一个级数，如果它的每一项都是非负数，并且随着项数的增加递减或保持不变，那么该级数称为正项级数。
对于正项级数，我们可以利用以下几种方法来判断其收敛性：1.比较判别法比较判别法是判定正项级数收敛性的常用方法之一。
其基本思想是将待判级数与已知级数进行比较。
如果待判级数的每一项都小于等于已知级数的对应项，并且已知级数收敛，则待判级数也收敛。
如果待判级数的每一项都大于等于已知级数的对应项，并且已知级数发散，则待判级数也发散。
2.比值判别法比值判别法是另一种常用的判别法。
对于正项级数，我们可以计算相邻两项的比值，并观察其极限值。
如果极限值小于1，则级数收敛；如果极限值大于1，则级数发散；如果极限值等于1，则该方法无法判断。
3.根值判别法根值判别法也是一种常见的方法。
对于正项级数，我们可以计算相邻两项的根号值，并观察其极限值。
如果极限值小于1，则级数收敛；如果极限值大于1，则级数发散；如果极限值等于1，则该方法无法判断。
二、交错级数的收敛性判别法交错级数是由一系列交替正负的项组成的级数，可以表示为S=a1-a2+a3-a4+...。
判断交错级数收敛性时，可以应用以下方法：1.莱布尼茨判别法莱布尼茨判别法是判定交错级数收敛性的常用方法。
对于交错级数S=a1-a2+a3-a4+...，如果交错级数的绝对值序列|an|严格递减趋于零，并且该序列的极限为零，那么交错级数收敛。
三、应用案例级数收敛的判别法在物理、工程、经济学等领域中具有广泛的应用。
以下是一些相关应用案例的简要介绍：1.经济学中的应用在经济学中，级数的收敛性判别法可以用来分析经济指标的变化趋势。
第35讲：《同号（正项）级数敛散性判定法》内容小结、课件与典型例题与练习适用于正项(同号)常数项级数的判别法以下常值级数(数项级数)敛散性的判别法适用于正项级数，也适用于全部项都小于的级数，只要提出一个负号即转换为正项级数，而级数的项乘以负，级数的敛散性不发生变化.另外，由于不对级数的敛散性与和产生影响，因此，一般正项级数仅仅考虑大于的项.1、比较判别法用比较判别法判定级数的敛散性需要有比较收敛或发散的级数，因此，对于常见级数，尤其是之前列出的几何级数、调和级数、p-级数以及和为e的阶乘级数的敛散性要记牢.比较判别法有不等式形式和极限形式，具体结论参见下面列出的课件.【注1】一般依据通项结构寻找比较级数，比如通项中包含有次方项，考虑几何级数比较；包好有的幂级数结构或者n的有理式结构考虑级数（一般值的选取为分母的最高次幂减去分子的最高次幂），有阶乘项可以考虑的阶乘级数比较。
【注2】对于已知了级数收敛、发散或数列收敛、发散条件的抽象级数敛散性的判定与证明一般使用的方法过为比较法的不等式形式，或者拆项的部分和数列判定方法。
2、比值、根值判别法比值、根值判别法只与级数本身的通项有关！当通项中包含有阶乘项一般考虑比值判别法，包含有次方项考虑根值判别法，具体结论参见下面列出的课件.【注1】当两种方法求出的极限都存在时，则极限值相等；当比值判别法极限不存在时，可以考虑根值判别法. 并且有比值法极限存在，则根值法极限一定存在并且相等；但根值法极限存在，比值法极限不一定存在！【注2】特别注意：极限值等于时，敛散性不确定！3、积分判别法积分判别法包括两个方面的处理方式，一种是将级数项转换为积分区间端点为正整数，长度为的积分描述形式，一般再借助比较法，或者部分和数列方法来讨论；一种是将级数通项的替换为，转换为积分区间为上单调递减的非负函数的反常积分来判定其敛散性.一般判定思路如下图所示：参考课件【注】课件中例题与练习参考解答请参见对应的后续推文，直接点击文首的话题“无穷级数内容总结、课件、典型例题与练习”查看该章节内容列表！相关推荐●高等数学、线性代数、概率统计、数学分析、高等代数等课程完整推送内容参见公众号底部菜单下的各选项，主要内容包括各章节内容总结、课件，题型、知识点与典型题分析、典型习题讲解、知识点扩展与延伸和单元测试题等！●历届考研真题及详细参考解答浏览菜单中选项●全国、省、市、校竞赛真题、模拟试卷请参见公众号底部下选项。
级数审敛法小结不好意思，又要打扰大家一下了，针对本学期期中考试而言，大致分为两大部分：级数，常微分方程。
其中级数(应该都已经讲完了)占得比重相对少些大概有45%左右，还希望大家能抽空复习一下，毕竟这一章的内容有些难度.下面的内容是从一些资料书中总结的一些小内容,希望大家能抽空看一下,谢谢.首先:针对常数项级数而言要明白它的分类:正项级数,任意项级数(其中,包含特殊的交错级数).对于不同的级数,他们有不同的审敛法.第一节:正项级数(当然我们有时也会遇到一些负项级数,他们的判断敛散性的方法和正项级数相同,只是需要我们在运用前,把他们所有的项全部变成正的就可以了)(注意以下方法要求大家在判断出Un的极限为0的时候用哦，若Un的极限不为0，级数发散。
)A.定义法(注意这个方法适用于所有的级数,但不一定解得出.):首先,了解一个充要条件:∑∞Un收敛⇔部分和数列{Sn}有界，针对n=1这个东西，用的地方不多后面会有介绍。
B.比较审敛法：（这里首先强调一下这里介绍的方法完全是针对正项级数而言，不能滥用）。
对于比较审敛法，也许不要按书上的用起来会更方便一点。
简单一句话：我们的目的就是要找要判断的级数的等价无穷小，或是证明这个级数是一个已知收敛级数的高阶无穷小也可。
（当然这是证明级数收敛时用的，这里就要求我们要有能一眼猜出级数敛散性的能力，下面会教大家如何第一眼就可以看出绝大多数级数的敛散性） 例1：设k ，m 为正整数，.0,000>>b a（这里主要是保证以下的多项式恒为正）是推导出级数∑∞=--++++++1110110......n kk km m m b nb n b a n a n a 收敛的充要条件。
解：设kk km m mnb nb n b a na n a u (1)10110+++++=--。
取mk nnv -=1，因为00limb a v u nn n =∞→，所以∑∑∞=∞=11,n nn nv u 具有相同的敛散性，由Vn 收敛的充要条件是k-m>1，所以所求级数的收敛的充要条件是k-m>1.（这是一个简单的例题，可是他说明了两个问题：1，凡是一般项Un 是有理分式的，我们一眼就能看出级数是否收敛例如级数∑∞=---+13235523)()12()1(n n n n n n 是收敛的，这因为分子的最高次幂是13，分母的是15,15-13=2>1,故收敛。
正项级数审敛法的比较与应用1.引言正项级数作为数学分析中重要内容之一是我们必须要掌握的知识。
因其有着几百年发展的历史，正项级数理论也已经很成熟。
我们在课本中已经学习了很多种判断正项级数敛散性的法方法，但在具体的解题过程时往往不知道该选用哪种判断方法较为适宜。
也就是说，不同的正项级数敛散性判断方法都有其局限性，每个正项级数定理运用在不同的题目上时会有其优缺点。
那么我们在解决具体正项级数敛散性题目时到底该选用哪种方法合适呢？这是本文所讨论的。
2正项级数的相关概念2.1定义如果级数u n的各项都是非负实数，即x n>0,n=1,2⋯则称此级数为正项级数。
1. 1.2正项级数的收敛原理正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有上界。
若正项级数的部分和数列无上届，则其必发散到+∞。
2.2正项级数收敛判定定理2. 2.1比较判别法2.1.1比较判别法定理设u n和v n是两个正项级数，如果存在某正数N，对一切n>N都有u n≤v n,若级数u n收敛，则级数v n收敛若级数u n发散，则级数v n发散2.1.2比较判别法的应用例1判断1的收敛性n2+2n+2解因为1 2<12而由级数的柯西准则可知1n中 u m+1+u m+2+⋯+u m+p=1(m+1)2+1(m+2)2+⋯+1(m+p)2<1m m+1+1m+1m+2+⋯+1m+p−1m+p<1/m因此，对任给正数ε，取N=[1ε],使当m>N及对任意正整数p,由上式有u m+1+u m+2+⋯+u m+p<1<ε则级数1n是收敛的。
所以由比较法可知1n+2n+2是收敛的。
2.1.3小结在运用比较判别法判断正向级数收敛时，可考虑运用p级数收敛与发散的结论来简化证明。
即1n p ,当0<p≤1时，1n p发散；当p>1时，1n p收敛。
2.1.4比较判别法推论设u1+u2+⋯+u n+⋯,（1）v1+v2+⋯+v n+⋯,（2）是两个正项级数，若lim n→∞u nv n=l,当0<l<+∞时，级数（1）、（2）同时收敛或同时发散;当l=0且级数收敛时（2）收敛时，级数（1）也收敛；当l=∞且级数（2）发散时，级数（1）也发散。
引言初等数学中，我们研究有限个实数相加，其结果是一个实数，如果延伸至无限个实数相加（无穷级数），其和是否存在？由于在实际应用中，往往是在给定的误差范围内，用部分和代替级数的和，因此判断级数的敛散性是要着力解决的问题.但用级数收敛、发散的定义来判别级数敛散性是十分困难的，因此有必要寻找判别级数敛散性的简单有效的方法.本文讨论正项级数的敛散性问题，并在教材的基础上加以进一步的研究.判断正项级数的敛散性的主要方法有：定义法、比较判别法、比式判别法、根式判别法、拉贝判别法以及积分判别法六种方法.本文给出了这六种方法的证明.定义法是正项级数敛散性的基本判别法则；比较判别法常用几何级数、调和级数、P—级数作为与其它级数相比较的标准；比式判别法与根式判别法都是基于把正项级数与等比级数比较而得到的；拉贝判别法补充了比式与根式判别法的不足，但仍有其局限性；积分判别法有两种证明方法，一种放入无穷级数里处理，另一种放入定积分中处理，同时给出这种判别法的一个推广.另外，我们采用四种不同的方法讨论了P—级数的敛散性：一是利用P—级数的部分和是否有界来判别的，此法较为简单、直观；二是利用比较判别法来判别的，需要参照物作为比较，从而根据参照物的敛散性来判定P—级数的敛散性；三是利用积分判别法来判别的，需要微积分作为工具；四是利用积分判别法的推广来判别的，该推广比积分判别法有着更广泛的应用.正项级数敛散性的判别法设0(1,2,3,)n u n >=⋅⋅⋅，则称级数1n n u ∞=∑为正项级数.正项级数的特点是部分和数列n S {}单调递增，而单调递增数列收敛的充分必要条件是该数列有上界，这一点正是正项级数收敛判别法的基础.其常用的性质是： （1）若级数1n n u ∞=∑收敛于s ，常数0a ≠，则级数1n n au ∞=∑收敛于as .（2）如果级数1n n u ∞=∑发散，常数0a ≠，则级数1n n au ∞=∑发散.（3）添加或去掉有限项不改变级数的敛散性. （4）级数收敛的必要条件：0()n u n →→∞. 下面着重讨论正项级数敛散性的判别法.一 定义法定理1 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界. 证明 如果正项级数1n n u ∞=∑的部分和数列n S {}有界，即存在正数M ，使n S M n ≤(=1,2,3,⋅⋅⋅)，又n S {}单调增加，由单调有界数列必有极限的准则知，n S {}必有极限：lim n n S s →∞=，从而级数1n n u ∞=∑收敛且其和为s .反之，如果正项级数1n n u ∞=∑收敛于和s ，即有lim n n S s →∞=，由收敛数列必有界的性质知，级数的部分和数列有界.例1.1 P −级数1111123P P p p n p n n∞=1+++⋯++⋯= (>0)∑的部分和为111111,23n p p p pk S kk ∞===+++⋅⋅⋅+∑就1p p p >1,0<<1=和三种情况分别加以讨论.命题1 当p >1时，n S {}有界.证明 由实数的性质，当 p >1时，一定存在两个正整数m 、h ，且h m >使得：1hp m≥>，于是对于正整数2n ≥，有 11111111111111123211211111211(1)()[(1)][(1)](1)(1)()()[(1)]()[(1)][(1)]()11()[](1)()1[(m m m m m mh h h pm m m m m m m m m m m m m m m m h m m m h mmm n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n m n n n n m n --------------≤=<=⋅--+-+-+⋅⋅⋅+- <-⋅- ≤ 111](21).1)m mh m n - -≤--因此，对任何正整数n ，有11123n P P pS n =1+++⋯+11111111111111[][][]1223(1)11[1]1m m m m m mmm m m n n m m n <+-+-+⋯+--=+-<+ .即n S {}有界.命题2 当01p <<时，n S {}无界.证明 由实数的性质，当01p <<时，一定存在两个正整数m 、h ，且h m <，使得01hp m<≤<，于是对于正整数n ，有11111111111232111(1)[(1)]()[(1)][(1)][(1)][(1)]()()m mm m m m h h h p m m mm m m m m m m m m m h mn n n n n n nn n n n n n n n n n----+-+-≥===+-⋅++++++⋅⋅⋅+11111()[(1)][(1)](1).m mm mh mmmm n n n nm n n h m ->+-≥ +- ≥-因此，对于任何正整数n ，有11123n P P pS n =1+++⋯+11111111[21][32][(1)][(1)1].mmmmmmmm m m n n m n >+-+-+⋯++-=+-这样，当n →∞时，n S →∞，即n S {}无界.命题3 当1p =时，n S {}无界.（此时P −级数为调和级数）. 证明 对于任意正整数m 、n ，有1111112111111111111(1)[(1)][(1)(1))][(1)]1[(1)1]m m mmmmm m m m m m m mmm m m m m m mmm mmmn n n n n n n nn n n n n n n nn n mnn n m n-------+-+-+-===⋅++++⋯+(+- >=+- .由于上式对任意大的正整数m 都成立，所以111(1)111lim[(1)1]lim 1m m m m n m n nm→∞→∞+-≥+-=122111(1)ln(1)()lim11ln(1)ln(1)ln .m m n n m mn n n→∞++-=-=+=+- 于是，对任何正整数n ，有111123(ln 2ln1)(ln 3ln 2)[ln(1)ln ]ln(1).n S nn n n =+++⋯+≥-+-+⋯++- =+ 这样，当n →∞时，n S →∞，即n S {}无界.有了以上三个结论，再由正项级数收敛与发散的充要条件，立即得到：当01p <≤时，P −级数发散；当1p >时，P −级数收敛.二 比较判别法定理2 设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑是两个正项级数，如果存在某正数N ，对一切n N >都有：n n u v ≤，那么（1） 若级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑也收敛；（2） 若级数1n n u ∞=∑发散，则级数1n n v ∞=∑也发散.证明 （1）由于级数前加上或去掉有限项不改变其敛散性，因此不妨设对一切自然数n 都有n n u v ≤成立。
正项级数敛散性的判别方法摘要:正项级数是级数内容中的一种重要级数，它的敛散性是其基本性质。
正项级数敛散性的判别方法虽然较多，但是用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数敛散性判别的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型判别法的特点及其适用的正项级数的特征。
根据不同级数的特点分析、判断选择适宜的方法进行判别，才能事半功倍。
关键词:正项级数；收敛；方法；比较；应用1引言数项级数是伴随着无穷级数的和而产生的一个问题，最初的问题可以追溯到公元前五世纪，而到了公元前五世纪，而到了公元17、18世纪才有了真正的无穷级数的理论。
英国教学家Gregory J （1638—1675）给出了级数收敛和发散两个术语从而引发了数项级数敛散性广泛而深入的研究，得到了一系列数项级数的判别法。
因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。
我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理，但书上没有做过多的分析。
我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性。
因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢？定理与定理之间会有些什么联系和区别呢？做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢？这就是本文所要讨论的。
2正项级数敛散性判别法2.1判别敛散性的简单方法由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数1nn u∞=∑收敛⇔0,,,,N N n N p N ε+∀>∃∈∀>∀∈有12n n n p u u u ε++++++<。
取特殊的1p =，可得推论：若级数1nn u∞=∑收敛，则lim 0n n u →∞=。
2.2比较判别法定理一（比较判别法的极限形式）： 设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑为两个正项级数，且有limnn nu l v →∞=，于是（1）若0l <<+∞，则1nn u∞=∑与1nn v∞=∑同时收敛或同时发散。
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正项级数审敛法的应用探析
作者：阳平华
来源：《新一代》2019年第02期
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摘 要：本文对正项级数审敛法特点，对其应用进行了探讨，尤其是对比较审敛法的应用
给出了具体的实用方法.
关键词：正项级数;比较审敛法;比值审敛法;根植审敛法
一、引言
正项级数是无穷级数的重点内容，更是后面的幂级数的基础，因此正项级数的审敛法尤
为重要.但在教学过程中发现，学生在学习中一知半解，没有理解定理的内容，以致在做题时
不知如何下手.下面我们就来剖析正项级数的审敛法.
二、审敛法回顾
在一般的教材中，正项级数的审敛法有比较审敛法、比值审敛法
定理1 （比较审敛法，比较判别法）
定理2 （比值审敛法，比值判别法 达朗贝尔判别法）
三、审敛法的应用探析
1.比较审斂法
参考文献：
[1]阳平华.高等数学（下）[M].北京：航空工业出版社，2018.
[2]同济大学数学系.高等数学（下）[M].第7版，北京：高等教育出版社，2014.
