动态几何之和差问题探讨 OK

动态几何之和差问题探讨动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。

常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。

我们从四方面进行动态几何之和差问题的探讨：（1）静态和差问题；（2）和差为定值问题；（3）和差最大问题；（4）和差最小问题。

一、静态和差问题：典型例题：例1：如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O. 过O点作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是.例2：如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为【】A．8B．4C．8 D．6例3：如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A1、D1处，则阴影部分图形的周长为【】A.15B.20C.25D.30例4：如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为【】A、14B、16C、20D、28例5：在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD 于点F，若AB＝5，BC＝6，则CE＋CF的值为【】A．11＋1132B．11－1132C．11＋1132或11－1132D．11－1132或1＋32例6：已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2．（1）求证：AB＝BC；（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE＋CD．例7：如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．（1）求证：AF﹣BF=EF；（2）将△ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F′，若正方形边长为3，求点F′与旋转前的图中点E之间的距离．例8：已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD 于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．例9：如图，线段AC=n+1（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME．当AB=1时，△AME的面积记为S1；当AB=2时，△AME 的面积记为S2；当AB=3时，△AME的面积记为S3；…；当AB=n时，△AME的面积记为S n．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=．例10：如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为【】A．6B．7C．8D．9例11：如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=【】A．150°B．210°C．105°D．75°例12：已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β－∠γ的值是【】A．45ºB．60ºC．90ºD．180º例13：（2012湖南长沙3分）如图，AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=度．趁热打铁：1.如图在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，连接AE，则△ACE的周长为【】A、16B、15C、14D、132. 如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD．将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，连接ED．若BC=10，BD=9，则△AED的周长是_ ____.3. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC = BC = 6，E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，则矩形CFEG的周长是．4. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上，EF∥HG，EH∥FG，则四边形EFGH的周长是【】A．10 B．13 C．210 D．2135.如图，已知AB为⊙O的直径，过⊙O上的点C的切线交AB的延长线于点E , AD⊥EC于点D且交⊙O于点F，连接BC , CF , AC。

（1）求证：BC=CF；（2）若AD=6 , DE=8 ，求BE的长；（3）求证：AF + 2DF = AB。

6.（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．求证：CE ＝CF；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD．（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE ＝45°，BE＝4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面积．7. 如图①，△ABC 中。

AB =AC ，P 为底边BC 上一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ， CH ⊥AB ，垂足分别为E 、F 、H ．易证PE +PF =CH ．证明过程如下：（1）如图②，P 为BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE 、PF 、CH 又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠A =300，△ABC 的面积为49，点P 在直线BC 上，且P 到直线AC 的距离为PF ，当PF =3时，则AB 边上的高CH = ．点P 到AB 边的距离PE =_______8.如图，在△ABC 中，∠C ＝70º，沿图中虚线截去∠C ，则∠1＋∠2＝【 】A ．360ºB ．250ºC ．180ºD ．140º9.如图，1∠、2∠、3∠、4∠是五边形ABCDE 的4个外角，若2A 10∠=︒，则1234∠+∠+∠+∠=_______.10. 如图，将等腰直角三角形虚线剪去顶角后，∠1+∠2=【】。

A．225°B．235°C．270°D．与虚线的位置有关11.如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是【】A．180B．220C．240D．300二、和差为定值问题：典型例题：例1：如图所示，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但点A到EF的距离AH始终保持与AB的长度相等，问在点E、F移动过程中；（1）∠EAF的大小是否发生变化？请说明理由.（2）△ECF的周长是否发生变化？请说明理由.例2：如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP 为x ，四边形EFGP 的面积为S ，求出S 与x 的函数关系式，试问S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．例3：如图，点E 是矩形ABCD 的对角线BD 上的一点，且BE =BC ，AB =3，BC =4，点P 为直线EC 上的一点，且PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BD 于点R ．（1）如图1，当点P 为线段EC 中点时，易证：PR +PQ =512（不需证明）． （2）如图2，当点P 为线段EC 上的任意一点（不与点E 、点C 重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，当点P 为线段EC 延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR 与PQ 之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．例4：如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(－2，O)、B(2，0)、C(0，－l)三点，过坐标原点O的直l、2l．线y=kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C、D(0，－2)作平行于x轴的直线1(1)求抛物线对应二次函数的解析式；(2)求证以ON为直径的圆与直线1l相切；(3)求线段MN的长(用k表示)，并证明M、N两点到直线2l的距离之和等于线段MN的长．例5：如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合.在移动过程中，边AD始终与边FG重合，连接CG，过点A 作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH的边FG、GH 的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中0≤x≤2.5.⑴试求出y关于x的函数关系式，并求出y =3时相应x的值；⑵记△DGP的面积为S1，△CDG的面积为S2．试说明S1－S2是常数；⑶当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的趁热打铁：1.已知关于x 的二次函数()20y ax bx c a ++≠＝的图象经过点C （0，1），且与x 轴交于不同的两点A 、B ，点A 的坐标是（1，0）（1）求c 的值；（2）求a 的取值范围；（3）该二次函数的图象与直线y ＝1交于C 、D 两点，设A 、B 、C 、D 四点构成的四边形的对角线相交于点P ，记△PCD 的面积为S 1，△PAB 的面积为S 2，当0＜a ＜1时，求证：S 1﹣S 2为常数，并求出该常数．2. 如图①，将菱形纸片AB （E ）CD （F ）沿对角线BD （EF ）剪开，得到△ABD 和△ECF ，固定△ABD ，并把△ABD 与△ECF 叠放在一起．（1）操作：如图②，将△ECF 的顶点F 固定在△ABD 的BD 边上的中点处，△ECF 绕点F 在BD 边上方左右旋转，设旋转时FC 交BA 于点H （H 点不与B 点重合），FE 交DA 于点G （G 点不与D 点重合）． 求证：BH •GD =BF 2（2）操作：如图③，△ECF 的顶点F 在△ABD 的BD 边上滑动（F 点不与B 、D 点重合），且CF 始终经过点A ，过点A 作AG ∥CE ，交FE 于点G ，连接DG ． 探究：FD +DG = ．请予证明．3. 如图，将—矩形OABC 放在直角坐际系中，O 为坐标原点．点A 在x 轴正半轴上．点E 是边AB 上的—个动点(不与点A 、N 重合)，过点E 的反比例函数(0)ky x x=>的图象与边BC 交于点F 。