初中九年级数学专题复习教案：动态几何之定值问题探讨

初三数学讲义 专题探究：定值类问题教学过程：一、教学衔接（课前环节）1、回收上次课的教案，了解家长的反馈意见；2、检查学生的作业，及时指点3、捕捉学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容二、知识点解析在几何问题中，当一些几何元素按照一定的规律在确定的范围内变化时,与它相关另一些几何元素的某些量或其数量关系保持不变，这种几何问题称之为几何定值问题. 定值问题由于所求证的问题不明确、具体,而使人难已下手,给问题解决带来困难.近年来,该类问题在各省市中考试题中频频出现,为便于广大师生复习教学,现对其归类例析.一、线段长度为定值例1如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上，有一个动点P ，PH ⊥OA ，垂足为H ，△OPH 的重心为G 。

（1）当点P 在弧AB 上运动时，线段GO 、GP 、GH 中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；（2）设PH ＝，GP ＝，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）如果△PGH 是等腰三角形，试求出线段PH 的长。

分析:解决此题时,首先要根据线段GH 的特征,添出辅助线,找出与其有关的长度为定值的线段间的联系,从而获得问题的解决.图一BOAGPHE二、线段长度为定值例 在给定的梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB 边上的动点，点1O 、2O 分别是AED ∆和BEC ∆的外心。

求证：21O O 的长为一定值。

变式练习 如图，在ABC ∆中，A ∠与底边BC 为一定值，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，D 、E 为垂足，连结DE 。

求证：DE 为定长。

三、角的度数为定值例 如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足。

求证：不管ST 滑到什么位置，SPM ∠是一定角。

ACB DEEDABCPM A O BS T例题．（2010广东广州，24，14分）如图，⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 上一点，弦AB 垂直平分线段OP ，点D 是 APB 上任一点（与端点A 、B 不重合），DE ⊥AB 于点E ，以点D 为圆心、DE 长为半径作⊙D ，分别过点A 、B 作⊙D 的切线，两条切线相交于点C ．（1）求弦AB 的长；（2）判断∠ACB 是否为定值，若是，求出∠ACB 的大小；否则，请说明理由； （3）记△ABC 的面积为S ，若2SDE ＝43，求△ABC 的周长.四、面积为定值例. 如图7(1),正方形ABCD 的对角线相交于点O ，O 是正方形A'B'C'O 的一个顶点,如果两个正方形的边长为a,求证：正方形A'B'C'O 绕点O 无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积总是一个定值.CP DOBAEFE 图10图9C'B'A'C'B'A'OBDBDAC C A真题练习1．（2011•广州）已知关于x的二次函数y=ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过点C（0，1），且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）（1）求c的值；（2）求a的取值范围；（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜a＜1时，求证：S1－S2为常数，并求出该常数．2．（2011•河北）如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点为 A（1，0），B（1，－5），D（4，0）．（1）求c，b（用含t的代数式表示）：（2）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N．①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值；②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，要S=218错误！未找到引用源。

20XX年中考复习专题：动态几何之定值问题探讨一、线段（和差）为定值问题：典型例题：例1：已知：在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，点P从点B出发，沿射线BC方向以每秒2cm的速度移动，同时，点Q从点D出发，沿线段DA以每秒1cm的速度向点A方向移动（当点Q到达点A时，点P与点Q同时停止移动），PQ交BD于点E．求证：在点P、Q的移动过程中，线段BE的长度保持不变．例2：如图，已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，顶点坐标为P．（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）研究二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）．①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；②是否存在实数k，使△ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由；③若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．练习题：1.如图，Rt△ABC中，∠A=30°，BC=10cm，点Q在线段BC上从B向C运动，点P在线段BA上从B向A 运动．Q、P两点同时出发，运动的速度相同，当点Q到达点C时，两点都停止运动．作PM⊥PQ交CA 于点M，过点P分别作BC、CA的垂线，垂足分别为E、F．（1）求证：△PQE∽△PMF；（2）当点P、Q运动时，请猜想线段PM与MA的大小有怎样的关系？并证明你的猜想；（3）设BP=x，△PEM的面积为y，求y关于x的函数关系式，当x为何值时，y有最大值，并将这个值求出来．2、已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在直线上，且随着点P的运动而运动，PE＝PD总成立．(1)如图(1)，当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜想PE与PB有怎样的关系？(直接写出结论不必证明)；(2)如图(2)，当点P运动到CA的延长线上时，(1)中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；(3)如图(3)，当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图(3)画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？(直接写出结论不必证明)(1)(2) (3)3、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝20cm，AD＝10cm，现有两个动点P、Q分别从B、D两点同时．．出发，点P以每秒2cm的速度沿BC向终点C移动，点Q以每秒1cm的速度沿DA向终点A移动，线段PQ与BD相交于点E，过E作EF∥BC交CD于点F，射线QF交BC的延长线于点H，设动点P、Q移动的时间为t（单位：秒，0<t<10）．（1）当t为何值时，四边形PCDQ为平行四边形？（2）在P、Q移动的过程中，线段PH的长是否发生改变？如果不变，求出线段PH的长；如果改变，请说明理由．4、已知：A、B、C不在同一直线上.（1）若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，i）如图一，当∠A=45°时，R=1，求∠BOC的度数和BC的长度；ii）如图二，当∠A为锐角时，求证sin∠A= BC2R；（2）.若定长线段．．．．BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与点A不重合）滑动，如图三，当∠MAN=60°，BC=2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为点P，试探索：在整个滑动过程中，P、A 两点的距离是否保持不变？请说明理由.二、面积（和差）为定值问题：典型例题：例1：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、DC边的中点，AB=4，∠B=60°，（1）求点E到BC边的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥BC，垂足为M，过点M作MN∥AB交线段AD于点N，连接PN、探究：当点P在线段EF上运动时，△PMN的面积是否发生变化？若不变，请求出△PMN的面积；若变化，请说明理由．例2：如图，在平面直角坐标系x O y中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0,4），现有两动点P、Q，点P 从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C运动，点Q从点C 出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动.点P，Q同时出发，同2.时停止，设运动时间为t秒，当t=2秒时PQ=5（1）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围；（2）连接AQ并延长交x轴于点E,把AE沿AD翻折交CD延长线于点F,连接EF，则△AEF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值.（3）在（2）的条件下，t为何值时，四边形APQF是梯形？练习题：1．如图1，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，F 、G 为BC 上的两点，FG=3，线段DG ，EF 的交点为O ，当线段FG 在线段BC 上移动时，三角形FGO 的面积与四边ADOE 的面积之和恒为定值，则这个定值是 ．2．如图2，在矩形ABCD 中，AD=5，AB=4，点E 、G 、H 、F 分别在AB 、BC 、CD 、AD 上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P 是直线EF 、GH 之间任意一点，连接PE 、PF 、PG 、PH ，则△PEF 和△PGH 的面积和等于 _________ ．图1 图23.如图所示，四边形OABC 是矩形．点A 、C 的坐标分别为(30-，)，(0，1)，点D 是线段BC 上的动点(与端点B 、C 不重含)，过点D 作直线12y x b =+交折线OAB 于点E 。

中考数学解法探究专题动态几何定值问题考题研究：数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。

动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。

解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。

以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。

解题攻略：动态几何形成的定值和恒等问题是动态几何中的常见问题，其考点包括线段（和差）为定值问题；角度（和差）为定值问题；面积（和差）为定值问题；其它定值问题。

解答动态几何定值问题的方法，一般有两种：第一种是分两步完成：先探求定值. 它要用题中固有的几何量表示.再证明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明.第二种是采用综合法，直接写出证明.解题思路：在中考中，动态几何形成的定值和恒等问题命题形式主要为解答题。

在中考压轴题中，动态几何之定值（恒等）问题的重点是线段（和差）为定值问题，问题的难点在于准确应用适当的定理和方法进行探究。

例题解析1．如图，直角△ABC中，∠A为直角，AB=6，AC=8．点P，Q，R分别在AB，BC，CA边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点P由点A出发以每秒3个单位的速度向点B运动，点Q由点B出发以每秒5个单位的速度向点C运动，点R由点C出发以每秒4个单位的速度向点A运动，在运动过程中：（1）求证：△APR，△BPQ，△CQR的面积相等；（2）求△PQR面积的最小值；（3）用t（秒）（0≤t≤2）表示运动时间，是否存在t，使∠PQR=90°？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【考点】KY：三角形综合题．【分析】（1）先利用锐角三角函数表示出QE=4t，QD=3（2﹣t），再由运动得出AP=3t，CR=4t，BP=3（2﹣t），AR=4（2﹣t），最后用三角形的面积公式即可得出结论；=18（t﹣1）2+6，即可得出结（2）借助（1）得出的结论，利用面积差得出S△PQR论；（3）先判断出∠DQR=∠EQP，用此两角的正切值建立方程求解即可．【解答】解：（1）如图，在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，根据勾股定理得，BC=10，sin∠B===，sin∠C=，过点Q作QE⊥AB于E，在Rt△BQE中，BQ=5t，∴sin∠B==，∴QE=4t，过点Q作QD⊥AC于D，在Rt△CDQ中，CQ=BC﹣BQ=10﹣5t，∴QD=CQ•sin∠C=（10﹣5t）=3（2﹣t），由运动知，AP=3t，CR=4t，∴BP=AB﹣AP=6﹣3t=3（2﹣t），AR=AC﹣CR=8﹣4t=4（2﹣t），=AP•AR=×3t×4（2﹣t）=6t（2﹣t），∴S△APRS△BPQ=BP•QE=×3（2﹣t）×4t=6t（2﹣t），S△CQR=CR•QD=×4t×3（2﹣t）=6t（2﹣t），=S△BPQ=S△CQR，∴S△APR∴△APR，△BPQ，△CQR的面积相等；=S△BPQ=S△CQR=6t（2﹣t），（2）由（1）知，S△APR∵AB=6，AC=8，=S△ABC﹣（S△APR+S△BPQ+S△CQR）∴S△PQR=×6×8﹣3×6t（2﹣t）=24﹣18（2t﹣t2）=18（t﹣1）2+6，∵0≤t≤2，=6；∴当t=1时，S△PQR最小（3）存在，由（1）知，QE=4t，QD=3（2﹣t），AP=3t，CR=4t，AR=4（2﹣t），∴BP=AB﹣AP=6﹣3t=3（2﹣t），AR=AC﹣CR=8﹣4t=4（2﹣t），过点Q作QD⊥AC于D，作QE⊥AB于E，∵∠A=90°，∴四边形APQD是矩形，∴AE=DQ=3（2﹣t），AD=QE=4t，∴DR=|AD﹣AR|=|4t﹣4（2﹣t）|=|4（2t﹣2）|，PE=|AP﹣AE|=|3t﹣3（2﹣t）|=|3（2t﹣2）|∵∠DQE=90°，∠PQR=90°，∴∠DQR=∠EQP，∴tan∠DQR=tan∠EQP，在Rt△DQR中，tan∠DQR==，在Rt△EQP中，tan∠EQP==，∴，∴16t=9（2﹣t），∴t=．2．已知，点O是等边△ABC内的任一点，连接OA，OB，OC．（1）如图1，已知∠AOB=150°，∠BOC=120°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC．①∠DAO的度数是90°②用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明；（2）设∠AOB=α，∠BOC=β．①当α，β满足什么关系时，OA+OB+OC有最小值？请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由；②若等边△ABC的边长为1，直接写出OA+OB+OC的最小值．【考点】KY：三角形综合题．【分析】（1）①根据旋转变换的性质、四边形内角和为360°计算即可；②连接OD，根据勾股定理解答；（2）①将△AOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△A′O′C，连接OO′，根据等边三角形的性质解答；②根据等边三角形的性质计算．【解答】解：（1）①∵∠AOB=150°，∠BOC=120°，∴∠AOC=90°，由旋转的性质可知，∠OCD=60°，∠ADC=∠BOC=120°，∴∠DAO=360°﹣60°﹣90°﹣120°=90°，故答案为：90°；②线段OA，OB，OC之间的数量关系是OA2+OB2=OC2．如图1，连接OD．∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△ADC≌△BOC，∠OCD=60°．∴CD=OC，∠ADC=∠BOC=120°，AD=OB．∴△OCD是等边三角形，∴OC=OD=CD，∠COD=∠CDO=60°，∵∠AOB=150°，∠BOC=120°，∴∠AOC=90°，∴∠AOD=30°，∠ADO=60°．∴∠DAO=90°．在Rt△ADO中，∠DAO=90°，∴OA2+AD2=OD2．∴OA2+OB2=OC2．（2）①如图2，当α=β=120°时，OA+OB+OC有最小值．作图如图2，如图2，将△AOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△A′O′C，连接OO′．∴△A′O′C≌△AOC，∠OCO′=∠ACA′=60°．∴O′C=OC，O′A′=OA，A′C=BC，∠A′O′C=∠AOC．∴△OC O′是等边三角形．∴OC=O′C=OO′，∠COO′=∠CO′O=60°．∵∠AOB=∠BOC=120°，∴∠AOC=∠A′O′C=120°．∴∠BOO′=∠OO′A′=180°．∴四点B，O，O′，A′共线．∴OA+OB+OC=O′A′+OB+OO′=BA′时值最小；②当等边△ABC的边长为1时，OA+OB+OC的最小值A′B=．3．两个直角边为6的全等的等腰Rt△AOB和Rt△CED中，按图1所示的位置放置，A与C重合，O与E重合．（Ⅰ）求图1中，A，B，D三点的坐标；（Ⅱ）Rt△AOB固定不动，Rt△CED沿x轴以每秒2个单位长的速度向右运动，当D点运动到与B点重合时停止，设运动x秒后Rt△AOB和Rt△CED的重叠部分面积为y，求y与x之间的函数关系式；（Ⅲ）当Rt△CED以（Ⅱ）中的速度和方向运动，运动时间x=4秒时Rt△CED运动到如图2所示的位置，求点G的坐标．【考点】KY：三角形综合题．【分析】（1）Rt△AOB≌Rt△CED且直角边为6，所以有A（0，6），B（6，0），D（﹣6，0），（2）Rt△CED沿x轴以每秒2个单位长的速度向右运动，且DE=6，所以在运动过程中有两种情况，即D点仍停留在y轴左侧和D在y轴右侧，需分情况讨论．在第一种情况中，重合部分为两个全等的直角梯形，在第二种情况中，重合部分为一个等腰直角三角形，面积易求出．（3）当运动时间为4秒时，即为（2）中第二种情况，此时G（4，2）．【解答】解：（1）因为两个直角边为6的全等的等腰Rt△AOB和Rt△CED中，可得：A（0，6），B（6，0），D（﹣6，0）．（2）当0≤x＜3时，位置如图A所示，作GH⊥DB，垂足为H，可知：OE=2x，EH=x，DO=6﹣2x，DH=6﹣x，=2（S△GHD﹣S△IOD）∴y=2S梯形IOHG=2[（6﹣x）2﹣（6﹣2x）2]=2（x2+6x）=﹣3x2+12x当3≤x≤6时，位置如图B所示．可知：DB=12﹣2x=（DB）2= [（12﹣2x）]2=x2﹣12x+36∴y=S△DGB∴y与x的函数关系式为：y=；（3）图B中，作GH⊥OE，垂足为H，当x=4时，OE=2x=8，DB=12﹣2x=4，∴GH=DH=DB=2，OH=6﹣HB=6﹣DB=6﹣2=4∴G（4，2）．4．如图1，等边△ABC中，BC=4，点P从点B出发，沿BC方向运动到点C，点P关于直线AB、AC的对称点分别为点M、N，连接MN．【发现】当点P与点B重合时，线段MN的长是4．当AP的长最小时，线段MN的长是6；【探究】如图2，设PB=x，MN2=y，连接PM、PN，分别交AB，AC于点D，E．（1）用含x的代数式表示PM=x，PN=（4﹣x）；（2）求y关于x的函数关系式，并写出y的取值范围；（3）当点P在直线BC上的什么位置时，线段MN=3（直接写出答案）【拓展】如图3，求线段MN的中点K经过的路线长．【应用】如图4，在等腰△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，BC=2，点P、Q、R分别为边BC、AB、AC上（均不与端点重合）的动点，则△PQR周长的最小值是2+．（可能用到的数值：sin75°=，cos75°=，tan75°=2+）【考点】KY：三角形综合题．【分析】【发现】当点P为BC的中点时，MN最短，求出此时MN的长度，当点P与点B（或C）重合时，BN（或CM）最长，求出此时BN的长度；【探究】（1）解直角三角形即可得到结论；（2）如图2，分别过点M，N作直线BC的垂线MF，NG，垂足分别是F，G，过点M作MH⊥NG垂足为H．解直角三角形得到MF=x，PF=x，NG=（4﹣x），PG=（4﹣x），根据勾股定理即可得到结论；（3）由MN=3，得到MN2=63，把y=63时代入3（x﹣2）2+36=63，即可得到结论；【拓展】如图3，分别过点M，N作直线BC的垂线MF，NG，垂足分别是F，G，连接MG，过MN的中点K，作KT⊥BC于点T，交MG于点S．由MF∥KT∥NG，且点K为MN的中点，得到KS是△MNG的中位线，ST是△GMF的中位线，由【探究】中的过程可知，若设PB=x，则有PC=4﹣x，MF=x，NG=（4﹣x），根据三角形的中位线的性质即可得到结论；【应用】过BC的中点P作AB，AC的对称点M，N，连接MN交AB与Q，交AC 于R，则此时△PQR周长最小，根据三角形和四边形的内角和得到∠B=∠C=75°，∠MPN=150°，得到MN∥BC，PQ=PB=1，同理PR=PC=1，解直角三角形得到QR=2×PQ=，于是得到结论．【解答】解：【发现】当AP的长最小时，AP⊥BC，即点P为BC的中点时，此时E、F分别为AB、AC的中点，∴PE=AC，PF=AB，EF=BC，∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=6；当点P和点B重合时，此时G（H）为AB（AC）的中点，∴CG=2BH=2，BN=4；故答案为：4，6；【探究】（1）PM=2PD=2×PB=x，PN=2PE=2×PC=2×（4﹣x）=（4﹣x）；故答案为：x，（4﹣x）；（2）如图2，分别过点M，N作直线BC的垂线MF，NG，垂足分别是F，G，过点M作MH⊥NG垂足为H．∵在Rt△PMF中，∠MPF=30°，PM=x，∴MF=x，PF=x，同理，在Rt△PNG中，∠NPG=30°，PN=（4﹣x），∴NG=（4﹣x），PG=（4﹣x），∵四边形MFGH是矩形，则有NH=NG﹣HG=NG﹣MF=（4﹣x）﹣x=（2﹣x），MH=FG=PF+PG=x+（4﹣x）=6，∴在Rt△MNH中，由勾股定理得，MN2=NH2+MH2=3（x﹣2）2+36，则y=3（x﹣2）2+36，x=0或4时，y最大值=48，∵0≤x≤4，且当x=2时，y最小值=36；当∴36≤y≤48；（3）∵MN=3，MN2=63，∴当y=63时，即3（x﹣2）2+36=63，∴x=5或﹣1，∴当点P在B点右侧距离为5，或者在点P在B点左侧距离为1的位置处，均有线段MN=3；【拓展】如图3，分别过点M，N作直线BC的垂线MF，NG，垂足分别是F，G，连接MG，过MN的中点K，作KT⊥BC于点T，交MG于点S．∵MF∥KT∥NG，且点K为MN的中点，∴KS是△MNG的中位线，ST是△GMF的中位线，由【探究】中的过程可知，若设PB=x，则有PC=4﹣x，MF=x，NG=（4﹣x），由三角形中位线性质可得，ST=MF=x，KS=NG=（4﹣x），∴KT=ST+KS=x+（4﹣x）=，因此，在点P运动过程中，MN的中点K到BC边距离始终等于定值，且为等边△ABC高的一半，所以MN的中点K经过的路线恰为等边△ABC的中位线，其路线长为2．【应用】过BC的中点P作AB，AC的对称点M，N，连接MN交AB与Q，交AC 于R，则此时△PQR周长最小，∵∠BAC=30°，∴∠B=∠C=75°，∠MPN=150°，∴∠M=∠N=15°，∴∠MQB=∠PQB=∠B=75°，∴MN∥BC，PQ=PB=1，同理PR=PC=1，∵AP⊥BC，∴AP⊥MN．∵∠PQR=180°﹣75°﹣75°=30°，∴QR=2×PQ=，∴△PQR周长的最小值是2+．故答案为：2+．5．在学习三角形中位线的性质时，小亮对课本给出的解决办法进行了认真思考：课本研究三角形中位线性质的方法已知：如图①，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点．求证：DE∥BC，DE=BC．证明：延长DE至点F，使EF=DE，连接FC．…则△ADE≌△CFE．∴…请你利用小亮的发现解决下列问题：（1）如图③，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE=EF，求证：AC=BF．请你帮助小亮写出辅助线作法并完成论证过程：（2）解决问题：如图⑤，在△ABC中，∠B=45°，AB=10，BC=8，DE是△ABC的中位线．过点D，E作DF∥EG，分别交BC于点F，G，过点A作MN∥BC，分别与FD，GE的延长线交于点M，N，则四边形MFGN周长的最小值是8+10．【考点】KY：三角形综合题．【分析】（1）先判断出△BDF≌△CDM，得出MC=BF，再判断出AC=MC，即可得出结论（2）先判断出四边形DEGF，DENM，FGNM是平行四边形，即：MN=FG=DE=4再判断出平行四边形FGNM是矩形时，四边形MFGN的周长最小，最后用锐角三角函数求出MF=GN=5，求和即可得出结论【解答】证明：（1）如图1，延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，在△BDF和△CDM中，BD=CD，∠BDF=∠CDM，DF=DM．∴△BDF≌△CDM（SAS）．∴MC=BF，∠M=∠BFM．∵EA=EF，∴∠EAF=∠EFA．∵∠AFE=∠BFM，∴∠M=∠MAC．∴AC=MC．∴BF=AC．（2）如图2，在△ABC中，∠B=45°，AB=10，BC=8，∵DE是△ABC的中位线．∴DE=BC=4，DE∥BC∵DF∥EG，MN∥BC，∴四边形DEGF，DENM，FGNM是平行四边形，∴MN=FG=DE=4，∴要四边形MFGN周长的最小只有MF=NG最小，即：MF⊥BC，∴平行四边形FGNM是矩形，过点A作AP⊥BC于P，∴AP=MF=NG，在Rt△ABP中，∠B=45°，AB=10，∴AP=5，∴MF=NG=5，即四边形MFGN周长的最小值是8+10．故答案为：8+10．6．如图，将△OAB放在平面直角坐标系中，O为原点，点A（2，4），点B（6，0）在边OB上有一动点P，过P作PC∥OA交AB于C，连接AP．（Ⅰ）求△OAB的面积；（Ⅱ）若设OP=x，△APC的面积为y，试用含x的式子表示y；=S△OAB的点P存在，求当m取得最小值时，点P的坐标（Ⅲ）若有满足S△APC（直接写出结果即可）．【考点】KY：三角形综合题．【分析】（1）先确定出AD和OB的长，最后用三角形的面积公式即可；（2）先设出C的坐标，进而表示出BC，再用相似三角形的性质即可得出CE，最后用三角形的面积的差即可得出结论；（3）借助（1）（2）得出结论，先确定出y的最大值，即可判断出m的最小值，进而求出点P的坐标．【解答】解：（1）如图1，过点A作AD⊥x轴于D，∵A（2，4），∴AD=4，∵B（6，0），∴OB=6，=OB×AD=×6×4=12，∴S△OAB（2）如图2，过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴，∵A（2，4），B（6，0），∴直线AB的解析式为y=﹣x+6，设C（a，﹣a+6）（0＜a＜6），在Rt△ABD中，AD=4，BD=OB﹣OD=6﹣2=4，∴tan∠OBA==1，在Rt△BCE中，tan∠OBA==1，∴BE=CE=﹣a+6，∴BC=BE=（﹣a+6），∵A（2，4），B（6，0），∴AB=4，∵PC∥OA，∴△BPC∽△BOA，∴，∵OP=x，OB=6，∴BP=6﹣x，∴，∴a=2+x，∴CE=﹣a+6=﹣2﹣x+6=4﹣x，=S△OAB﹣S△OAP﹣S△BPC=12﹣x×4﹣（6﹣x）×（4﹣x）=﹣x2+2x ∴y=S△ACP（0＜x＜6），=y=﹣x2+2x=﹣（x﹣3）2+3，（3）由（2）知，S△ACP当x=3时，y最大=3=12，由（1）知，S△AOB=S△OAB，∵S△APC∴的最大值为3，∴m的最小值为4，∴m最小时，P（3，0）．7．【探索发现】如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=60°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为．【拓展应用】如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别（用在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为．含a，h的代数式表示）【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．【实际应用】如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC=，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积．【考点】LO：四边形综合题．【分析】【探索发现】：由中位线知EF=BC、ED=AB、由=可得；【拓展应用】：由△APN∽△ABC知=，可得PN=a﹣PQ，设PQ=x，由S矩=PQ•PN═﹣（x﹣）2+，据此可得；形PQMN【灵活应用】：添加如图1辅助线，取BF中点I，FG的中点K，由矩形性质知AE=EH=20、CD=DH=16，分别证△AEF≌△HED、△CDG≌△HDE得AF=DH=16、CG=HE=20，从而判断出中位线IK的两端点在线段AB和DE上，利用【探索发现】结论解答即可；【实际应用】：延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，由tanB=tanC 知EB=EC、BH=CH=54，EH=BH=72，继而求得BE=CE=90，可判断中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，利用【拓展应用】结论解答可得．【解答】解：【探索发现】∵EF、ED为△ABC中位线，∴ED∥AB，EF∥BC，EF=BC，ED=AB，又∠B=90°，∴四边形FEDB是矩形，则===，故答案为：；【拓展应用】∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴=，即=，∴PN=a﹣PQ，设PQ=x，=PQ•PN=x（a﹣x）=﹣x2+ax=﹣（x﹣）2+，则S矩形PQMN∴当PQ=时，S最大值为，矩形PQMN故答案为：；【灵活应用】如图1，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，由题意知四边形ABCH是矩形，∵AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，∴EH=20、DH=16，∴AE=EH、CD=DH，在△AEF和△HED中，∵，∴△AEF≌△HED（ASA），∴AF=DH=16，同理△CDG≌△HDE，∴CG=HE=20，∴BI==24，∵BI=24＜32，∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上，过点K作KL⊥BC于点L，由【探索发现】知矩形的最大面积为×BG•BF=×（40+20）×（32+16）=720，答：该矩形的面积为720；【实际应用】如图2，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，∵tanB=tanC=，∴∠B=∠C，∴EB=EC，∵BC=108cm，且EH⊥BC，∴BH=CH=BC=54cm，∵tanB==，∴EH=BH=×54=72cm，在Rt△BHE中，BE==90cm，∵AB=50cm，∴AE=40cm，∴BE的中点Q在线段AB上，∵CD=60cm，∴ED=30cm，∴CE 的中点P 在线段CD 上，∴中位线PQ 的两端点在线段AB 、CD 上，由【拓展应用】知，矩形PQMN 的最大面积为BC•EH=1944cm 2， 答：该矩形的面积为1944cm 2．8．问题呈现：如图1，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上，AE=DG ，求证：2S 四边形EFGH =S 矩形ABCD ．（S 表示面积）实验探究：某数学实验小组发现：若图1中AH ≠BF ，点G 在CD 上移动时，上述结论会发生变化，分别过点E 、G 作BC 边的平行线，再分别过点F 、H 作AB 边的平行线，四条平行线分别相交于点A 1、B 1、C 1、D 1，得到矩形A 1B 1C 1D 1． 如图2，当AH ＞BF 时，若将点G 向点C 靠近（DG ＞AE ），经过探索，发现：2S四边形EFGH=S 矩形ABCD +S．如图3，当AH ＞BF 时，若将点G 向点D 靠近（DG ＜AE ），请探索S 四边形EFGH 、S 矩形ABCD与S 之间的数量关系，并说明理由．迁移应用：请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：（1）如图4，点E 、F 、G 、H 分别是面积为25的正方形ABCD 各边上的点，已知AH ＞BF ，AE ＞DG ，S 四边形EFGH =11，HF=，求EG 的长．（2）如图5，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=5，点E 、H 分别在边AB 、AD 上，BE=1，DH=2，点F 、G 分别是边BC 、CD 上的动点，且FG=，连接EF 、HG ，请直接写出四边形EFGH 面积的最大值．【考点】LO：四边形综合题．=S矩形AEGD，同理S△EGF=S矩形BEGC，由此可【分析】问题呈现：只要证明S△HGE=S△HGE+S△EFG=S矩形BEGC；得S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣．根据=，实验探究：结论：2S四边形EFGH=，=，=，即可证明；迁移应用：（1）利用探究的结论即可解决问题．（2）分两种情形探究即可解决问题．【解答】问题呈现：证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠A=90°，∵AE=DG，∴四边形AEGD是矩形，=S矩形AEGD，∴S△HGE=S矩形BEGC，同理S△EGF=S△HGE+S△EFG=S矩形BEGC．∴S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣．实验探究：结论：2S四边形EFGH理由：∵=，=，=，=，=+++﹣，∴S四边形EFGH=2+2+2+2﹣2，∴2S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣．∴2S四边形EFGH迁移应用：解：（1）如图4中，=S矩形ABCD﹣．∵2S四边形EFGH∴=25﹣2×11=3=A1B1•A1D1，∵正方形的面积为25，∴边长为5，∵A1D12=HF2﹣52=29﹣25=4，∴A1D1=2，A1B1=，∴EG2=A1B12+52=，∴EG=．=S矩形ABCD+．（2）∵2S四边形EFGH∴四边形A1B1C1D1面积最大时，矩形EFGH的面积最大．①如图5﹣1中，当G与C重合时，四边形A1B1C1D1面积最大时，矩形EFGH的面积最大．此时矩形A1B1C1D1面积=1•（﹣2）=②如图5﹣2中，当G与D重合时，四边形A1B1C1D1面积最大时，矩形EFGH的面积最大．此时矩形A1B1C1D1面积=2•1=2，∵2＞﹣2，∴矩形EFGH的面积最大值=．9．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8），点C的坐标为（﹣2，4），点M，N分别为四边形OABC边上的动点，动点M从点O开始，以每秒1个单位长度的速度沿O→A→B路线向中点B匀速运动，动点N从O点开始，以每秒两个单位长度的速度沿O→C→B→A路线向终点A匀速运动，点M，N同时从O点出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动，设动点运动的时间t秒（t＞0），△OMN的面积为S．（1）填空：AB的长是10，BC的长是6；（2）当t=3时，求S的值；（3）当3＜t＜6时，设点N的纵坐标为y，求y与t的函数关系式；（4）若S=，请直接写出此时t的值．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）利用勾股定理即可解决问题；（2）如图1中，作CE⊥x轴于E．连接CM．当t=3时，点N与C重合，OM=3，易求△OMN的面积；（3）如图2中，当3＜t＜6时，点N在线段BC上，BN=12﹣2t，作NG⊥OB于G，CF⊥OB于F．则F（0，4）．由GN∥CF，推出=，即=，可得BG=8﹣t，由此即可解决问题；（4）分三种情形①当点N在边长上，点M在OA上时．②如图3中，当M、N 在线段AB上，相遇之前．作OE⊥AB于E，则OE==，列出方程即可解决问题．③同法当M、N在线段AB上，相遇之后，列出方程即可；【解答】解：（1）在Rt△AOB中，∵∠AOB=90°，OA=6，OB=8，∴AB===10．BC==6，故答案为10，6．学科网（2）如图1中，作CE⊥x轴于E．连接CM．∵C（﹣2，4），∴CE=4OE=2，在Rt△COE中，OC===6，当t=3时，点N与C重合，OM=3，=•OM•CE=×3×4=6，∴S△ONM即S=6．（3）如图2中，当3＜t＜6时，点N在线段BC上，BN=12﹣2t，作NG⊥OB于G，CF⊥OB于F．则F（0，4）．∵OF=4，OB=8，∴BF=8﹣4=4，∵GN∥CF，∴=，即=，∴BG=8﹣t，∴y=OB﹣BG=8﹣（8﹣t）=t．（4）①当点N在边长上，点M在OA上时，•t•t=，解得t=（负根已经舍弃）．②如图3中，当M、N在线段AB上，相遇之前．作OE ⊥AB 于E ，则OE==，由题意 [10﹣（2t ﹣12）﹣（t ﹣6）]• =，解得t=8，同法当M 、N 在线段AB 上，相遇之后． 由题意•[（2t ﹣12）+（t ﹣6）﹣10]• =，解得t=，综上所述，若S=，此时t 的值8s 或s 或s ．10．已知：Rt △EFP 和矩形ABCD 如图①摆放（点P 与点B 重合），点F ，B （P ），C 在同一直线上，AB=EF=6cm ，BC=FP=8cm ，∠EFP=90°，如图②，△EFP 从图①的位置出发，沿BC 方向匀速运动，速度为1cm/s ，EP 与AB 交于点G ；同时，点Q 从点C 出发，沿CD 方向匀速运动，速度为1cm/s ．过点Q 作QM ⊥BD ，垂足为H ，交AD 于点M ，连接AF ，FQ ，当点Q 停止运动时，△EFQ 也停止运动．设运动时间为t （s ）（0＜t ＜6），解答下列问题： （1）当t 为何值时，PQ ∥BD ？（2）设五边形AFPQM 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使S 五边形AFPQM ：S 矩形ABCD =9：8？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使点M 在线段PG 的垂直平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）如图1中，当PQ∥BD时，=，可得=，解方程即可；=S梯形AFCD﹣S△DMQ﹣S△PQC，由此计算即（2）如图2中，当0＜t＜6时，S五边形AFPQM可解决问题；（3）假设存在，根据题意列出方程即可解决问题；（4）如图3中，连接MG、MP，作MK⊥BC于K．利用勾股定理，根据MG=MP，列出方程即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，当PQ∥BD时，=，∴=，∴t=，∴t=s时，PQ∥BD．（2）如图2中，当0＜t ＜6时，S 五边形AFPQM =S 梯形AFCD ﹣S △DMQ ﹣S △PQC=（8+8﹣t +8）•6﹣•（6﹣t ）•（6﹣t ）﹣•（8﹣t ）•t =t 2﹣t +．（3）如图2中，假设存在，则有（t 2﹣t +．）：48=9：8，解得t=2或18（舍弃），∴t=2s 时，S 五边形AFPQM ：S 矩形ABCD =9：8．（4）存在．理由：如图3中，连接MG 、MP ，作MK ⊥BC 于K ．易知：AG=6﹣t ．DQ=6﹣t ，DM=KC=（6﹣t ），PK=8﹣t ﹣（6﹣t ），MK=CD=6， ∵点M 在PG 的垂直平分线上， ∴MG=MP ，∴AG 2+AM 2=PK 2+MK 2，∴（6﹣t ）2+[8﹣（6﹣t ）]2=62+[8﹣t ﹣（6﹣t ）]2，解得t=或0（舍弃），∴t=s时，点M在线段PG的垂直平分线上11．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=2，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）设AE=x，四边形DEFG的面积为S，求出S与x的函数关系式．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）作出辅助线，得到EN=EM，然后判断∠DEN=∠FEM，得到△DEM ≌△FEM，则有DE=EF即可；（2）同（1）的方法判断出△ADE≌△CDG得到CG=AE，即：CE+CG=CE+AE=AC=4；（3）由正方形的性质得到∠DAE=45°，表示出AM=EM，再表示出DM，再用勾股定理求出DE2．【解答】解：（1）如图，作EM⊥BC，EN⊥CD∴∠MEN=90°，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM=EN，∵∠DEF=90°，∴∠DEN=∠MEF，在△DEM和△FEM中，，∴△DEM≌△FEM，∴EF=DE，∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；（2）CE+CG的值是定值，定值为4，∵正方形DEFG和正方形ABCD，∴DE=DG，AD=DC，∵∠CDG+∠CDE=∠ADE+∠CDE=90°，∴∠CDG=∠ADE，∴△ADE≌△CDG，∴AE=CG．∴CE+CG=CE+AE=AC=AB=×2=4，（3）如图，∵正方形ABCD中，AB=2，∴AC=4，过点E作EM⊥AD，∴∠DAE=45°，∵AE=x，∴AM=EM=x，在Rt△DME中，DM=AD﹣AM=2﹣x，EM=x，根据勾股定理得，DE2=DM2+EM2=（2﹣x）2+（x）2=x2﹣4x+8，∵四边形DEFG为正方形，=DE2=x2﹣4x+8．∴S=S正方形DEFG12．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠A=45°，∠ADB=90°，点E从点B 出发，以每秒1个单位的速度向终点D运动．点G在射线BD上，且EG=2BE（点G在E上方），以EG为对角线作正方形EFGH，设点E的运动时间为t（秒）．（1）用含t的代数式表示DG的长；（2）求点H落在AD上时t的值；（3）设正方形EFGH与平行四边形ABCD的重叠部分图形的面积为S，求S与t 之间的函数关系式；（4）连结FH，直接写出运动过程中线段FH扫过的图形面积．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）由于点E在射线BD上移动，所以点G有两种情况：①点G在线段BD上，②点G在BD的延长线上；（2）正方形EFGH与平行四边形ABCD的重叠部分图形共有三种情况，需要分别计算出点H在AD上、点G与点D重合、点E与D重合所对应的t值；（3）线段FH扫过的图形为△BHF，所以当点E与点D重合时，计算出△BHF的面积即可．【解答】解：（1）由题意知：△ABD是等腰直角三角形，∴AD=BD，由勾股定理可知：BD=4，当点G在线段BD上时，DG=4﹣3t，当点G在线段BD的延长线上时，DG=3t﹣4；（2）在等腰直角△DHE中，DE=4﹣t∴DH=DE=4﹣t，在等腰直角△DHG中，DG=3t﹣4，∴DH=DG=3t﹣4∴4﹣t=3t﹣4∴t=2；（3）当点G与点D重合时，此时，BE+EG=BD∴t+2t=4∴t=，当点H在AD上时，由（2）可知：t=2，当点E与D重合时，此时，BE=BD=4∴t=4，如图2，当0≤t≤时，此时，HE=EG=t，∴S=HE2=2t2，如图3，当时，此时，HE=GE=t，DE=4﹣t，DG=3t﹣4正方形EFGH的面积为：HE2=2t2，∴S=2t2﹣（3t﹣4）2﹣ [+t][t﹣] =t2+10t﹣4，如图4，当2＜t≤4时，此时，DE=4﹣t，∴S=+（4﹣t）2=t2﹣6t+12，（4）当点E到达点D时，连接BH，BF，∴线段FH扫过的图形为△BHF，此时，GD=HF=8，BD=4，∴△BHF的面积为：×8×8=32．13．如图所示，在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴；（2）求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；（3）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a 的值；（4）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．学科网【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）解方程即可得到结论；（2）根据直线l：y=kx+b过A（﹣1，0），得到直线l：y=kx+k，解方程得到点D 的横坐标为4，求得k=a，得到直线l的函数表达式为y=ax+a；（3）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），得到F（x，ax+a），求出EF=ax2﹣3ax﹣4a，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（4）令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，得到D（4，5a），设P（1，m），①若AD是矩形ADPQ的一条边，②若AD是矩形APDQ的对角线，列方程即可得到结论．【解答】解：（1）当y=0时，ax2﹣2ax﹣3a=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），对称轴为直线x==1；（2）∵直线l：y=kx+b过A（﹣1，0），∴0=﹣k+b，即k=b，∴直线l：y=kx+k，∵抛物线与直线l交于点A，D，∴ax2﹣2ax﹣3a=kx+k，即ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k=0，∵CD=4AC，∴点D的横坐标为4，∴﹣3﹣=﹣1×4，∴k=a，∴直线l的函数表达式为y=ax+a；（3）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），则F（x，ax+a），EF=ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a=ax2﹣3ax﹣4a，=S△AFE﹣S△CEF=（ax2﹣3ax﹣4a）（x+1）﹣（ax2﹣3ax﹣4a）x=（ax2∴S△ACE﹣3ax﹣4a）=a（x﹣）2﹣a，∴△ACE的面积的最大值=﹣a，∵△ACE的面积的最大值为，∴﹣a=，解得a=﹣；（4）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，解得：x1=1，x2=4，∴D（4，5a），∵抛物线的对称轴为直线x=1，设P（1，m），①若AD是矩形ADPQ的一条边，则易得Q（﹣4，21a），m=21a+5a=26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ是矩形，∴∠ADP=90°，∴AD2+PD2=AP2，∴52+（5a）2+32+（26﹣5a）2=22+（26a）2，即a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P（1，﹣）；②若AD是矩形APDQ的对角线，则易得Q（2，﹣3a），m=5a﹣（﹣3a）=8a，则P（1，8a），∵四边形APDQ是矩形，∴∠APD=90°，∴AP2+PD2=AD2，∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）+（8a﹣5a）2=52+（5a）2，即a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P（1，﹣4），综上所述，点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P（1，﹣）或（1，﹣4）．14．如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）把A点坐标代入直线解析式可求得c，则可求得B点坐标，由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）①由M点坐标可表示P、N的坐标，从而可表示出MA、MP、PN、PB的长，分∠NBP=90°和∠BNP=90°两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于m 的方程，可求得m的值；②用m可表示出M、P、N的坐标，由题意可知有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，可分别得到关于m的方程，可求得m的值．【解答】解：（1）∵y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，∴0=﹣2+c，解得c=2，∴B（0，2），∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B，∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；（2）①由（1）可知直线解析式为y=﹣x+2，∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，∴P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），∴PM=﹣m+2，AM=3﹣m，PN=﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）=﹣m2+4m，∵△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM，∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°，当∠BNP=90°时，则有BN⊥MN，∴BN=OM=m，∴=，即=，解得m=0（舍去）或m=2.5，∴M（2.5，0）；当∠NBP=90°时，则有=，∵A（3，0），B（0，2），P（m，﹣m+2），∴BP==m，AP==（3﹣m），∴=，解得m=0（舍去）或m=，∴M（，0）；综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（2.5，0）或（，0）；②由①可知M（m，0），P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），∵M，P，N三点为“共谐点”，∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，当P为线段MN的中点时，则有2（﹣m+2）=﹣m2+m+2，解得m=3（三点重合，舍去）或m=；当M为线段PN的中点时，则有﹣m+2+（﹣m2+m+2）=0，解得m=3（舍去）或m=﹣1；当N为线段PM的中点时，则有﹣m+2=2（﹣m2+m+2），解得m=3（舍去）或m=﹣；综上可知当M，P，N三点成为“共谐点”时m的值为或﹣1或﹣．15．如图，抛物线y=ax2+bx﹣a﹣b（a＜0，a、b为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，直线AB的函数关系式为y=x+．（1）求该抛物线的函数关系式与C点坐标；（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？（3）在（2）问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M 相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；i：探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出P点坐标；若不存在，请说明理由；ii：试求出此旋转过程中，（NA+NB）的最小值．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）根据已知条件得到B（0，），A（﹣6，0），解方程组得到抛物线的函数关系式为：y=﹣x2﹣x+，于是得到C（1，0）；（2）由点M（m，0），过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，得到D（m，m+），当DE为底时，作BG⊥DE于G，根据等腰三角形的性质得到EG=GD=ED，GM=OB=，列方程即可得到结论；（3）i：根据已知条件得到ON=OM′=4，OB=，由∠NOP=∠BON，特殊的当△NOP∽△BON时，根据相似三角形的性质得到=，于是得到结论；ii：根据题意得到N在以O为圆心，4为半径的半圆上，由（i）知，=，得到NP=NB，于是得到（NA+NB）的最小值=NA+NP，此时N，A，P三点共线，根据勾股定理得到结论．。

《中考动态几何专题复习》教学设计一、学习内容分析本节课是中考二轮复习的专题课，动态几何问题一直是我们数学教学中的重点和难点，当然也是中考热点。

二、学习者分析由于初中生空间想象能力和抽象思维能力有限，理解动态几何有一定的难度，所以在教学过程中尽可能让学生自己动手操作，观看动画演示，自主地探索出动态几何的有关思想方法。

三、教学目标1、知识目标：让学生掌握动态几何的一般思想方法，会运用思想方法解决简单的问题。

2、能力目标：用运动与变化的眼光观察和研究图形，解决动态几何问题，进一步发展学生的合情推理能力。

3、情感目标：用运动与变化的眼光观察和研究图形，解决动态几何问题，逐步培养学生主动探索的意识和合作交流的习惯。

四、教学重点、难点及解决的措施1、重点：把握图形运动与变化的全过程，抓住界点，分类研究。

2、难点：用运动与变化的眼光观察和研究图形3、解决的措施：主要通过动画演示的方法帮助学生直观分析和探索出动态几何的全过程。

五、教学过程设计教学过程：首先在《问题导学》中，设计了这样一道较简单的动点问题；如图：已知边长为2cm的正方形ABCD，一动点P从点B出发，以1cm/s的速度沿着B→C→D→A方向运动，当点P到达点A时运动停止，连接AP，设点P运动的时间为t秒，△ABP的面积为S cm2，（1）S与t的函数关系的大致图象为（）（2）若△ABP的面积为1 cm2，则t=_________.设计意图：目的是让学生知道我们一般如何处理动态几何问题，可以从运动的角度去处理，也可以从静止的角度去处理(例如解决第2小问时可以用函数图象)，也就是以静制动。

接着在《问题探究》中设计了这样一道探究问题，如图，已知Rt△ABC和正方形DEFH，边BC和边EF在同一直线上，其中∠ACB=90°，AC=BC=2cm，正方形的边长为2cm，BE=2cm，Rt△ABC以1cm/s的速度沿着该直线自左向右匀速运动，当点C到达点F处运动停止．1．观察Rt△ABC移动过程中，Rt△ABC和正方形DEFH的重叠部分的图形形状有几种情况？设计意图：可以采用设计教学工具----纸质的三角形和正方形，让学生在课堂上通过实验操作，发现其中的变化的规律，当然老师也可以借助动画演示这一运动过程，一开始没有重叠部分，然后重叠部分图形是等腰直角三角形，最后重叠部分图形是直角梯形；教师在此基础上追问：什么时间段没有重叠部分？什么时间段重叠部分图形是等腰直角三角形？什么时间段重叠部分图形是直角梯形？目的为后面如何给自变量取值范围分段打下铺垫。

动点与定值问题初三一、动点与定值问题解析动点与定值问题是一种常见的数学问题，主要考察学生的空间思维能力和代数运算能力。

这类问题通常涉及到几何图形中的动点和定点，通过给定的条件和关系，求出动点的轨迹或定值。

解决动点与定值问题的关键在于理解问题的几何背景和代数关系。

首先，要明确动点和定点的位置关系，以及它们之间的距离、角度等关系。

其次，要运用代数方法，将几何关系转化为代数方程或不等式，通过求解方程或不等式得到答案。

二、例题讲解例题1：在直角坐标系中，点A的坐标为(0,1)，点B的坐标为(2,0)，点C的坐标为(4,3)。

若点P是x轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，求点P的坐标。

分析：首先，我们可以通过平移的方式找到点P的位置。

由于点A和点B关于x轴对称，我们可以将点A关于x轴的对称点设为点P，这样△PAB的周长最小。

解：设点P的坐标为(x,0)。

由于点A和点B关于x轴对称，因此，我们有：AP = BP根据点到点的距离公式，我们可以得到：AP = √(x^2 + 1)BP = √((x-2)^2 + 1)因为AP=BP，所以：x^2 + 1 = (x-2)^2 + 1解这个方程，我们得到：x = 1所以，当△PAB的周长最小时，点P的坐标为(1,0)。

例题2：在矩形ABCD中，AB=2, BC=4, 点E是BC的中点。

将△ABE沿AE折起，使得AB=BE=2, 求二面角B-AE-D的平面角的余弦值。

分析：首先，我们需要找到二面角B-AE-D的平面角所在的三角形。

通过观察和计算，我们可以发现平面角所在的三角形是△BAE。

因此，我们需要求出△BAE 的三边长度，然后利用余弦定理求出余弦值。

解：由于AB=BE=2，AE=2√2（根据勾股定理）。

我们可以得到△BAE的三边长度分别为2、2√2、4。

根据余弦定理，我们可以得到：cos∠BAE = (AB^2 + AE^2 - BE^2) / (2 ×AB ×AE)= (4 + 8 - 4) / (2 ×2 ×2√2)= √2/2所以，二面角B-AE-D的平面角的余弦值为√2/2。

中考数学专题 动向几何问题 第一部分 真题精讲【例 1】如图，在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， AD3 ， DC 5 ， BC 10 ，梯形的高为4 ．动点 M 从 B 点出发沿线段 BC 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 C 运动；动点 N 同时从 C 点 出发沿线段 CD 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 D 运动．设运动的时间为 t （秒）．（ 1）当 MN ∥ AB 时，求 t 的值；（ 2）试试究： t 为何值时， △MNC 为等腰三角形．【思路解析1】本题作为密云卷压轴题，自然有必然难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。

但是解决动点问题，第一就是要找谁在动，谁没在动，经过分析动向条件和静态条件之间的关系求解。

关于大多数题目来说，都有一个由动转静的刹时，就本题而言， M ， N 是在动，意味着 BM,MC 以及 DN,NC 都是变化的。

但是我们发现，和这些动向的条件亲近相关的条件 DC,BC 长度都是给定的，而且动向条件之间也是相关系的。

所以 当题中设定MNtD DE ∥ AB BC E ABED AB ∥ DE AB ∥ MN DE ∥ MNMC NC10 2t tM NECCD10 3 5t50 MN NC NF BCBCFMC 2FC sin CDF4 cos C 310 2t2 3t17CD555t25 MN MC M MHCD CN 2CH t 2 10 2t 3 t 60 MC CN 10 2t t8 25 6010△5 17t 10 MNC 4 2 BC 3 x x（ ）过点 A 作 ⊥ 交 CB 的延长线于点t8 17 3 3 AQ BC3 Q ，①点 D 在线段 BC 上运动时，∵∠ BCA=45o ，可求出 AQ= CQ=4．∴ DQ=4-x ，易证△ AQD ∽△ DCP ，∴CPCD ， ∴ CP x ，DQAQ4 x4CPx 2x ．4②点 D 在线段 BC 延长线上运动时，∵∠ BCA=45o ，可求出 AQ= CQ=4，∴ DQ=4+x ．过A 作AGAC 交 CB 延长线于点 G ，则 AGDACF ．CF ⊥BD ，△ AQD ∽△ DCP ，∴CPCD ， ∴ CPx ，DQAQ4 x4CPx 2x ．4【例 3】已知如图，在梯形中，点是的中点，是等边三角形．（ 1）求证：梯形是等腰梯形；（ 2）动点、分别在线段和上运动，且保持不变．设求与的函数关系式；（ 3）在（ 2）中，当取最小值时，判断的形状，并说明原因．MA D60QBP【思路解析 1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在察看几何方面。

动态几何问题教学设计教学目标知识技能1. 掌握几何计算的两种主要途径：①借助于解直角三角形；②借助于三角形的相似性质；2. 知道几何计算是研究图形的动点问题、图形的变换及运动等问题的基础。

数学思考1.渗透数学中的动静转化思想,感悟数形结合的数学方法；2.经历探索数学问题的过程,体验观察猜想、分析思考的过程。

解决问题会用几何基本计算方法进行分析和推理。

情感态度1.从思维上培养学生用转化的方法展开学习，感悟两种主要的几何基本计算方法与作用，体验事物间特殊与一般的关系；２.通过观察、思考、讨论等实践活动，培养学生获得数学结论的经验，激发学生探索知识的兴趣。

重点掌握几何计算的两种主要途径在动态几何中的应用。

难点探究图形的动点问题，图形的变换及运动等问题。

教学流程安排活动1 基础练习了解动态问题中常见的两种计算方法活动2 例题1的探索与分析师生共同探索解题思路与方法活动3 例题2的探索与分析师生共同探索解题思路与方法活动4 学生展示解题方法师生总结归纳几何计算方法活动5 小结，布置作业回顾本节内容，反思总结，巩固知识，提高能力。

教学过程设计教学活动师生活动设计意图活动1：基础练习1、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为6，sinB=13，则线段AC的长是（）A、3B、4 1、C、5D、6 1、如何巧妙地将非直角三角形中的锐角转化到直角三角形中？以便求等角的三角函数值；从回顾解直角三角形的有关知识和两个三角形相似的方法入手，帮助学生建立新旧知识间的联系，知道这节课学习的内容是什么，在方法上借助了什么知识点来解决问题，为动态综合问题的学习作铺垫。

教学活动师生活动设计意图2、如图，在△ABC 中，∠C=900，D 、E 分别为AC 、AB 上的点，AC=8，BC=6，AD=4，若△ABC 与△ADE 相似,则AE 的长为___________ 2、利用同角的三角函数值或相似可以建立数量关系，从而得到关系式； 总结：通过以上可以看出，凡涉及到几何图形中量的计算时，应当首先考虑借助于解直角三角形或相似三角形。

中考数学动态几何题中的“定值型”问题赏析在动态几何问题中，当一些元素按照一定的规律在确定的范围内变化时，与它相关的另一些几何元素的某些量或其数量关系保持不变，这类问题称为几何定值问题。

定值问题由于有时甚至不知道定值的结果，而使人难以下手，给问题解决带来困难。

解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在“可变”的元素中寻求“不变”的量．一般可采用特殊值或特殊的位置，探得定值，如果需要的话再考虑证明；或直接推理、计算，并在计算中消去变量，从而得到定值。

以下以2010年中考题为例说明具体的求解策略 一、长度定值 例1．（2010山东聊城）如图，点P 是矩形ABCD 的边AD 的一个动点，矩形的两条边AB 、BC 的长分别为3和4，那么点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是（ ）A ．125B ．65C ．245D ．不确定解析：因为四边形ABCD 是矩形，由勾股定理得AC =BD =5.过点P 分别作AC 、BD 的垂线PE 、PF ，容易得△PDF ∽△BDA ， ∴PD PF BD AB =，即53PD PF =，∴35PF PD =， 同理35PE PA =，∴PE +PF ＝312()55PA PD +=．故答案为A 。

点评：本题属于矩形中动点定值问题，在选择题中，可以采取特殊点法求解，譬如P 与A 重合、P 与B 重合或P 为AD 的中点等特殊情形下，求出PE ＋PF 的值探求答案． 二、角度定值 例2．（2010年广东广州）如图，⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 上一点，弦AB 垂直平分线段OP ，点D 是APB 上任一点（与端点A 、B 不重合），DE ⊥AB 于点E ，以点D 为圆心、DE 长为半径作⊙D ，分别过点A 、B 作⊙D 的切线，两条切线相交于点C ．（1）求弦AB 的长；（2）判断∠ACB 是否为定值，若是，求出∠ACB 的大小；否则，请说明理由； （3）略分析：（1）连接OA ，OP 与AB 的交点为F ，则△OAF 为直角三角形，且OA ＝1，OF ＝12，借助勾股定理可求得AF 的长，根据垂径定理求得AB ；（2）要判断∠ACB 是否为定值，只需判定∠CAB ＋∠ABC 的值是否是定值，由于⊙D 是△ABC 的内切圆，所以AD 和BD 分别为∠CAB 和∠ABC 的角平分线，因此只要∠DAE ＋∠DBA 是定值，而∠DAE ＋∠DBA 等于弧AB 所对的圆周角，这个值等于∠AOB 值的一半，只需看∠AOB 值即可。

教案：初中数学动态几何问题讲解教学目标：1. 理解动态几何问题的基本概念和特点；2. 学会分析和解决动态几何问题的方法；3. 能够运用动态几何问题的解题策略解决实际问题。

教学内容：1. 动态几何问题的定义和特点；2. 动态几何问题的分类及解题方法；3. 动态几何问题的实际应用。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾静态几何问题的解决方法，如勾股定理、相似三角形的性质等；2. 提问：静态几何问题与动态几何问题有什么区别？二、讲解动态几何问题的基本概念和特点（10分钟）1. 解释动态几何问题的定义：随着图形某一元素的运动变化，导致问题的结论或变或不变的几何题；2. 强调动态几何问题的特点：运动变化、条件变化、结论变化；3. 举例说明动态几何问题的常见形式，如动点问题、动线问题、动形问题等。

三、讲解动态几何问题的分类及解题方法（10分钟）1. 分类介绍动态几何问题的类型及解题方法：a) 动点问题：利用坐标系、参数方程等方法解决；b) 动线问题：利用直线方程、圆的方程等方法解决；c) 动形问题：利用几何图形的性质、相似三角形等方法解决；2. 引导学生理解解题方法的选择依据：问题的类型、条件的特点、结论的要求等。

四、动态几何问题的实际应用讲解（10分钟）1. 举例讲解动态几何问题在实际中的应用，如物理中的运动问题、工程中的设计问题等；2. 引导学生学会将实际问题转化为动态几何问题，运用解题方法进行求解。

五、课堂练习与讲解（10分钟）1. 布置练习题，让学生独立解决；2. 选取学生的解答进行讲解，分析解题过程中的优点和不足；3. 针对学生的疑惑进行解答，巩固所学知识。

六、总结与布置作业（5分钟）1. 总结本节课所讲的内容，强调动态几何问题的解题方法及实际应用；2. 布置作业：解决一道动态几何问题，要求运用所学解题方法并写出解题过程。

教学反思：本节课通过讲解动态几何问题的基本概念、分类和解题方法，使学生掌握了解决动态几何问题的基本思路。

动态题是近年來中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题來解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。

常见的题型包括最值问题、而积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。

前面我们已经对最值问题、面积问题、和差问题进 行了探讨，本专题对定值问题进行探讨。

结合2011年和2012年全国各地中考的实例，我们从三方而进行动态几何之定值问题的探讨：（1）线段（和差）为定值问题；（2）面积（和差）为定值问题；（3）具它定值问题。

一、线段（和差）为定值问题：典型例题：例1： （2012黑龙江绥化8分）如图，点E 是矩形ABCD 的对角线BD ±的一点，且BE=BC, AB=3, BC=4, 点P 为直线EC±的一点，且PQ 丄BC 于点Q, PR 丄BD 于点R.12（1） ill 图1,当点P 为线段EC 中点时，易证：PR+PQ 二一（不需证明）. 5（2） 如图2,当点P 为线段EC±的任意一点（不与点E 、点C 重合）时，其它条件不变，则（I ）中的 结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理山.（3）如图3,当点P 为线段EC 延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR 与PQ 之间又具有怎样的【2013年中考攻略】 专题19：动态几何之定值问题探讨【答案】解（2）图2中结论PR+PQ=y仍成立。

证明如下：连接BP,过（：点作CK丄BD于点K。

V四边形ABCD为矩形，・•・ZBCD=90°。

又•・• CD=AB=3, BC=4, BD = VcD2+BC2 = ^32 +42 = 5。

I S ABCD= - BC・CD= - BD・CK, Z. 3x4=5CK, Z. CK=—。

2 2 5边），与y 轴交于点C.（1） 写出二次函数L|的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2） 研究二次函数 L2： y=kx 2 - 4kx+3k （k#））.① 写出二次函数L 2与二次函数Li 有关图彖的两条相同的性质;② 是否存在实数k,使AABP 为等边三角形？如果存在，请求出k 的值；如不存在，请说明理山;③ 若直线y=8k 与抛物线L2交于E 、F 两点，问线段EF 的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF 的长 度；如果会，请说明理山.【答案】解（1） J 抛物线y = X 2-4X + 3 = （X -2）2-1,V S ABCE = — BE ・CK, S ABH >= — PR ・BE, S ABCP = — PQ ・BC, JIL S ABCE 二S/\BEP +S Z \BCP ， 2 2 2・•・-BE ・CK= - PR ・BE+ - PQ ・BC 。

初中数学动态问题教案一、教学目标1. 让学生理解动态问题的概念，能够识别和分析动态问题。

2. 培养学生运用几何知识解决动态问题的能力。

3. 发展学生的空间想象能力和思维能力。

二、教学内容1. 动态问题的定义和特点2. 动态问题的解决方法3. 典型动态问题分析三、教学重点与难点1. 重点：动态问题的识别和解决方法。

2. 难点：对动态问题中的变化规律的理解和应用。

四、教学准备1. 课件或黑板2. 动态问题实例3. 学习材料和练习题五、教学过程1. 导入a. 引入动态问题的概念，让学生初步了解动态问题。

b. 展示一些日常生活中的动态问题，让学生感受到动态问题的实际意义。

2. 教学动态问题的特点a. 引导学生观察和分析动态问题的特点，如变化元素、变化规律等。

b. 让学生通过实例体验动态问题的解决过程，总结解决动态问题的方法。

3. 教学动态问题的解决方法a. 引导学生运用几何知识解决动态问题，如利用几何图形的性质、变换、坐标等。

b. 让学生通过练习题，运用所学方法解决实际问题，巩固解题技巧。

4. 典型动态问题分析a. 分析动态问题的常见类型，如动点问题、动线问题等。

b. 引导学生运用所学方法，分析解决典型动态问题。

5. 课堂练习a. 提供一些动态问题练习题，让学生独立解决。

b. 引导学生互相交流解题思路，讨论解题方法。

6. 总结与反思a. 让学生回顾本节课所学内容，总结动态问题的特点和解决方法。

b. 鼓励学生反思自己在解决动态问题时的优点和不足，提出改进措施。

六、教学评价1. 课堂练习的完成情况。

2. 学生对动态问题的理解和解决能力。

3. 学生对动态问题学习的态度和合作意识。

七、教学延伸1. 进一步研究动态问题的解决方法，如利用计算机辅助教学。

2. 结合其他学科，探讨动态问题的实际应用。

八、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生解决动态问题的能力。

同时，关注学生的学习兴趣和积极性，激发学生学习数学的内在动力。

专题九动态几何定值问题【考题研究】数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。

动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。

解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。

以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。

【解题攻略】动态几何形成的定值和恒等问题是动态几何中的常见问题，其考点包括线段（和差）为定值问题；角度（和差）为定值问题；面积（和差）为定值问题；其它定值问题。

解答动态几何定值问题的方法，一般有两种：第一种是分两步完成：先探求定值. 它要用题中固有的几何量表示.再证明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明.第二种是采用综合法，直接写出证明.【解题类型及其思路】在中考中，动态几何形成的定值和恒等问题命题形式主要为解答题。

在中考压轴题中，动态几何之定值（恒等）问题的重点是线段（和差）为定值问题，问题的难点在于准确应用适当的定理和方法进行探究。

【典例指引】类型一【线段及线段的和差为定值】【典例指引1】已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E．（1）如图1，当∠CA′D＝15°时，作∠A′EC的平分线EF交BC于点F．①写出旋转角α的度数；②求证：EA′+EC＝EF；（2）如图2，在（1）的条件下，设P是直线A′D上的一个动点，连接P A，PF，若AB＝2，求线段P A+PF 的最小值．（结果保留根号）【答案】（1）①105°，②见解析；（2）626+【解析】（1）①解直角三角形求出∠A′CD即可解决问题，②连接A′F，设EF交CA′于点O，在EF时截取EM=EC，连接CM．首先证明△CF A′是等边三角形，再证明△FCM≌△A′CE（SAS），即可解决问题．（2）如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．证明△A′EF≌△A′EB′，推出EF=EB′，推出B′，F关于A′E对称，推出PF=PB′，推出P A+PF=P A+PB′≥AB′，求出AB′即可解决问题．【详解】①解：由∠CA′D＝15°，可知∠A′CD=90°-15°=75°，所以∠A′CA=180°-75°=105°即旋转角α为105°．②证明：连接A′F，设EF交CA′于点O．在EF时截取EM＝EC，连接CM．∵∠CED＝∠A′CE+∠CA′E＝45°+15°＝60°，∴∠CEA′＝120°，∵FE平分∠CEA′，∴∠CEF＝∠FEA′＝60°，∵∠FCO＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∴∠FCO＝∠A′EO，∵∠FOC＝∠A′OE，∴△FOC∽△A′OE，∴OFA O'＝OCOE，∴OFOC＝A OOE'，∵∠COE＝∠FOA′，∴△COE∽△FOA′，∴∠F A′O＝∠OEC＝60°，∴△A′CF是等边三角形，∴CF＝CA′＝A′F，∵EM＝EC，∠CEM＝60°，∴△CEM是等边三角形，∠ECM＝60°，CM＝CE，∵∠FCA′＝∠MCE＝60°，∴∠FCM＝∠A′CE，∴△FCM≌△A′CE（SAS），∴FM＝A′E，∴CE+A′E＝EM+FM＝EF．（2）解：如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．由②可知，∠EA′F＝′EA′B′＝75°，A′E＝A′E，A′F＝A′B′，∴△A′EF≌△A′EB′，∴EF＝EB′，∴B′，F关于A′E对称，∴PF＝PB′，∴P A+PF＝P A+PB′≥AB′，在Rt△CB′M中，CB′＝BC2AB＝2，∠MCB′＝30°，∴B′M＝12CB′＝1，CM3∴AB ′＝22AM B M '+＝22(23)1++＝626+． ∴P A +PF 的最小值为626+． 【名师点睛】本题属于四边形综合题，考查旋转变换相关，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质以及三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题，难度较大． 【举一反三】如图（1），已知∠=90MON o ,点P 为射线ON 上一点，且=4OP ，B 、C 为射线OM 和ON 上的两个动点（OC OP >），过点P 作PA ⊥BC ，垂足为点A ，且=2PA ，联结BP ．（1）若12PAC ABOPS S ∆=四边形时，求tan BPO ∠的值； （2）设PC x =，ABy BC=求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域； （3）如图(2)，过点A 作BP 的垂线，垂足为点H ，交射线ON 于点Q ，点B 、C 在射线OM 和ON 上运动时，探索线段OQ 的长是否发生变化？若不发生变化，求出它的值。

最新2020届中考数学专题复习-动态几何之定值问题探讨动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。

常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。

前面我们已经对最值问题、面积问题、和差问题进行了探讨，本专题对定值问题进行探讨。

结合2018年和2019年全国各地中考的实例，我们从三方面进行动态几何之定值问题的探讨：（1）线段（和差）为定值问题；（2）面积（和差）为定值问题；（3）其它定值问题。

一、线段（和差）为定值问题：典型例题： 例1：（2019黑龙江绥化8分）如图，点E 是矩形ABCD 的对角线BD 上的一点，且BE=BC ，AB=3，BC=4，点P 为直线EC 上的一点，且PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BD 于点R ．（1）如图1，当点P 为线段EC 中点时，易证：PR+PQ= 512（不需证明）． （2）如图2，当点P 为线段EC 上的任意一点（不与点E 、点C 重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，当点P 为线段EC 延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR 与PQ 之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．【答案】解：（2）图2中结论PR ＋PQ=125仍成立。

证明如下： 连接BP ，过C 点作CK ⊥BD 于点K 。

∵四边形ABCD 为矩形，∴∠BCD=90°。

又∵CD=AB=3，BC=4，∴2 2 22BD CD BC 345=+=+=。

∵S △BCD =12BC•CD=12BD•CK ，∴3×4=5CK ，∴CK=125。

∵S △BCE =12BE•CK ，S △BEP =12PR•BE ，S △BCP =12PQ•BC ，且S △BCE =S △BEP ＋S △BCP ， ∴12BE•CK=12PR•BE ＋12PQ •BC 。

课题：动态几何专题复习【教学目标】1、知识目标：能够用运动与变化的眼光去观察和研究点、线、面的运动变化过程，初步掌握动态几何的一般解题方法。

2、能力目标：进一步发展学生的空间想象与操作能力，渗透分类讨论、数形结合、转化等数学思想。

3、情感目标：在探究活动的过程中培养学生的参与意识，通过“分类讨论”、“数形结合”，让学生体验动态几何的无穷魅力。

【重点难点】1、教学重点：点、线、面的运动变化过程中有关各种图形的面积计算。

2、教学难点：运动变化过程中对临界点的分类讨论。

【教学方法】实践操作、引导探究【教学用具】多媒体、几何画板软件【教学过程】图形中的点、线、面的运动，构成了数学中的一个新问题——动态几何。

动态几何题是近几年来中考命题的热点题型，而求运动中一些重叠图形的面积常常作为压轴题。

今天这节课就让我们一起感受动态几何的魅力。

一、点的运动变化引起面积的变化例1、如图，在边长为4cm 的正方形ABCD 中，现有一动点P ，从点A 出发，以2cm/秒的速度，沿正方形的边经A-B-C-D 到达点D 。

设运动时间为x 秒。

（1）当点P 运动3.5秒时，点P 到达什么位置？当点P 运动多少秒时，点P 到点A 的距离为5cm ； （2）连结始点A 、动点P 、终点D 形成△APD ，设其面积为S ，求S 与x 的函数关系式；（3）如图，另有一动点Q ，以1cm/秒的速度从点D 出发，沿正方形的边经D-C-B 到达点B ，点P 、Q 分别从点A 、D 同时出发。

连结AP 、PQ 、QA ，设△PAQ 的面积为W ，试求在点P 、Q 相遇前，W 与x 之间的关系式。

CD﹒CDQ思路点拨：点在直线图形上运动，随着时间的变化，点的位置也会发生改变，与之相关的图形也在发生改变，所以解题时要动手操作，整体感知，找准界点，分类讨论，化静为动。

根据点的运动情况，正确画出各种位置下的图形，对自变量的取值X 围进行分类，从而解决问题。

初中数学竞赛专题选讲(初三.19)动态几何的定值一、内容提要1. 动态几何是指用运动的观点研究几何图形的位置、大小的相互关系. 用动的观点看几何定理，常可把几个定理归为一类. 例如：① 梯形的中位线，当梯形的上底逐渐变小，直到长度为零时，则为三角形的中位线； ② 两圆相交，两个公共点关于连心线对称，所以连心线垂直平分公共弦，当两个交点距离逐渐变小，直到两点重合时，则两圆相切，这时切点在连心线上；③ 相交弦定理由于交点位置、个数的变化，而演变为割线定理，切割线定理，切线长定理等等.2. 动态几何的轨迹、极值和定值. 几何图形按一定条件运动，有的几何量随着运动的变化而有规律变化，这就出现了轨迹和极值问题，而有的量却始终保持不变，这就是定值问题. 例如：半径等于R A 的圆A 与半径为R B (R B >R A ) 的定圆B 内切.那么：动点A 有规律地变化，形成了一条轨迹：以B 为圆心，以R B －R A 的长为半径的圆.而A ，B 两点的距离，却始终保持不变：AB=R B －R A .若另有一个半径为R C 的圆 C 与圆B 外切，则A ，C 两点的距离变化有一定的范围：R B +R C －(R B －R A )≤AC ≤R B +R C +(R B －R A ).即R C +R A ≤AC ≤2R B +R C －R A .所以AC 有最大值：2R B +R C －R A ； 且有最小值：R C +R A .3. 解答动态几何定值问题的方法，一般有两种： 第一种是分两步完成 ：① 先探求定值. 它要用题中固有的几何量表示.② 再证明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明.第二种是采用综合法，直接写出证明. 二、例题例1. 已知：△ABC 中，AB ＝AC ，点P 是BC 上任一点，过点P 作BC 的垂线分别交AB ，AC 或延长线于E ，F.求证：PE ＋PF 有定值. 分析：（探求定值）用特位定值法.① 把点P 放在BC 中点上. 这时过点P 的垂线与AB ，AC 的交点都是点A ， PE ＋PF ＝2PA ，从而可确定定值是底上的高的2倍因此原题可转化：求证：PA ＋PB ＝2AD （AD 为底边上的高）. 证明：∵AD ∥PF ， ∴BD BP AD PE ＝；BD PD CD CD CP AD PF ＋＝.∴2BDBD 2BDPDCD BDBP ADPF ADPE ＋＝＋.同一道题的定值，可以有不同的表达式，只要是用题中固有的几何量表示均可. 例2. 已知：同心圆为O 中，AB 是大圆的直径，点P 在小圆上求证：PA 2＋PB 2有定值.分析：用特位定值法.设大圆，小圆半径分别为R，r. ① 点P 放在直径AB 上.得PA 2＋PB 2＝（R ＋r ）2＋（. R －r ）2＝2（R 2＋r 2）. ② 点P 放在与直径AB 垂直的另一条直径上 也可得PA 2＋PB 2＝ R 2＋r 2＋R 2＋r 2＝2（R 2＋r 2）.证明： 设∠POA ＝α，根据余弦定理，得PA 2＝R 2＋r 2－2RrCos α， PB 2＝R 2＋r 2－2RrCos(180 －α). ∵Cos(180 －α)＝Cos α. ∴PA 2＋PB 2＝2（R 2＋r 2）.本题一般知道定值是用两个圆的半径来表示的，所以可省去探求定值的步骤，直接列出PA ，PB 与R, r 的关系式，关键是引入参数α.例3. 已知：△ABC 中，AB ＝AC ，点P 在中位线MN 上，BP ，CP 的延长线分别交AC ，AB 于E ，F.求证：CE1BF1＋有定值，分析： 本题没有明显的特殊位置，不过定值一般是用三角形边长a, b, c 来表示的, 为便于计算引入参数t, 用计算法证明. 证明：设MP 为t, 则NP=21a －t.∵MN ∥BC ， ∴BFMF BCMP =，CENE BCNP =.BCAA即=at BF ac t a BF ca t a c BF 12121BF21=-⇒=-⇒-； CE ab ta CE bat a CEbCE at a 1212121212121=+⇒=+⇒-=- ∴CE1BF1＋=cacta t a 32121=++-∵c 是定线段，∴c3是定值. 即CE1BF1＋有定值c3.例4. 已知：在以AB 为弦的弓形劣弧上取一点M(不包括A 、B 两点)，以M 为圆心作圆M 和AB 相切，分别过A ，B 作⊙M 的切线，两条切线相交于点C.求证：∠ACB 有定值. 分析： ⊙M 是△ABC 的内切圆，∠AMB 是以定线段AB 为弦的定弧所含的圆周角，它是个定角.(由正弦定理Sin ∠AMB=R2AB )，所求定值可用它来表示.证明：在△ABC 中，∠MAB+∠MBA=180 －∠AMB ，∵M 是△ABC 的内心，∴∠CAB+∠CBA=2(180 －∠AMB). ∴∠ACB=180 －（∠CAB+∠CBA ）=180－2(180－∠AMB)= 2∠AMB －180.由正弦定理R 2AMBS AB =∠in ， ∴Sin ∠AMB=R2AB .∵弧AB 所在圆是个定圆，弦AB 和半径R 都有定值，∴∠AMB 有定值.∴∠ACB 有定值2∠AMB －180 .BC三、练习1. 用固有的元素表示下列各题中所求的定值 (不写探求过程和证明)： ①.等腰三角形底边上的任一点到两腰距离的和有定值是___________. ②.等边三角形内的任一点到三边距离的和有定值是＿＿＿＿＿＿＿＿. ③.正n 边形内的任一点到各边距离的和有定值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.④.延长凸五边形A 1A 2A 3A 4A 5的各边，相交得五个角：∠B 1，∠B 2，∠B 3，∠B 4，∠B 5它们的度数和是________，延长凸n 边形 (n ≥5)的各边相交，得n 个角，它们的度数和是___________. (2001年希望杯数学邀请赛初二试题) ⑤.两个定圆相交于A ，B ，经过点B 任意作一条直线交 一圆于C ，交另一圆于D ， 则.ADAC 有定值是_____________.⑥.在以AB 为直径的半圆内，任取一点P ，AP ，BP 的延长线分别交半圆于C ，D ，则AP ×AC+BP ×BD 有定值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ⑦.AB 是定圆O 的任意的一条弦，点P 是劣弧AB 上的任一点(不含A 和B)，PA ，PB 分别交AB 的中垂线于E ，F.则OE ×OF 有定值是__________.2. 已知：点P 是⊙O 直径AB 上的任一点，过点P 的弦CD 和AB 相交所成的锐角45 .求证：PC 2+PD 2有定值.3. 已知：点O 是等腰直角三角形ABC 斜边BC 的中点，点P 在BC 的延长线上，PD⊥BA 交BA 延长线于D ，PE ⊥AC 交AC 的延长线于E.求证：∠DOE 是定角4. 已知：点P 是线段AB 外一点，PD ⊥AB 于D ，且PD=AB ，H 是△PAB 的垂心，C 是AB 的中点.求证：CH+DH 是定值.5. 已知：AB ，CD 是⊙O 的两条直径，点P 是⊙O 上任一点(不含A ，B ，C ，D). . 求证：点P 在AB ，CD 的射影之间的距离是个定值.6. 经过∠XOY 的平分线上的任一点A ，作一直线与OX ，OY 分别交于P ，Q 则OP ，OQ 的倒数和是一个定值.7. △ABC 中，AB=AC=2，BC 边有100个不同点P 1，P 2，……，P 100， 记m i =AP i 2+Bp i ×P i C (i=1,2,3,……,100).则m 1+m 2+……+m 100=＿＿＿＿＿＿＿＿. (1990年全国初中数学联赛题)8.. 直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DA ⊥AB ，AB ＝26cm,CD=24cm,AD=8cm,有两个动点P 和Q ，点P 在CD 上，由D 向C 以每秒1cm 的速度移动，点Q 在AB 上由B 向A 以每秒3cm 的速度移动.问时间t 经过几秒时，①BCPQ 为平行四边形？等腰梯形？②PQ 与以AD 为直径的圆O 相切？相离？相交？练习题参考答案1 ①腰上的高. ②一边上的高或3r 3 . ③ nr n. ④ 180度，(n －4)180度. ⑤两圆半径比. ⑥AB 2⑦⊙O 的半径的平方.2. 定值是AB 平方的一半， 证Rt △COM ≌Rt △OBD ， OM=DN.3. 定值是直角， 以PA 为直径的圆经过A ，O ，E ，P ，D 五点， PE=AD ， ∠AOD=∠POE .4. 定值是AB 的一半，证明 仿例3.5. 定值是⊙O 的半径与两直径夹角的正弦的积，证明仿例4.6. 定值是OAos αC 2(∠xoy=2α)，证明 作AR ∥OQ 交Dx 于R ，AR1OP1OQ1=+.7. 4×100.。