2018年全国高中数学联合竞赛一试

2018年全国高中数学联合竞赛一试(A 卷)

2018年9月9日

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分。

1.设集合A ={1,2,3.…,99}，B ={2x |x ∈A }，C ={x |2x ∈A },则B ⋂C 的元素个数为_____________答案：24

2.设点P 到平面α的距离为3，点Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30°且不大于60°，则这样的点Q 所构成的区域的面积为_____________.答案：8π

3.将1,2,3,4,5，6随机排成一行，记为a ,b ,c ，d ，e ,f ，则abc +def 是偶数的概率为____________答案：910

4.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于x 轴与y 轴，且相交于点P .已知线段PU ，PS ，PV ,PT 的长分别为1,2,3,6，则△PF 1F 2的面积为________答案：15.

5.设f (x )是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[0,1]上严格递减，且满足f (π)=1,f (2π)=2，则不等式组12{1()2

x f x ≤≤≤≤，的解集为_______.答案：[π-2，8-2π] 6.设复数z 满足|z |=1，使得关于x 的方程zx 2+2z x +2=0有实根，则这样的复数z 的和为________答案：-32

. 7.设O 为△ABC 的外心，若2AO AB AC =+，则sin ∠BAC 的值为______答案：104

8.设整数数列a 1,a 2,...,a 10满足a 10=3a 1，a 2+a 8=2a 5，且

a i+1∈{1+a i ,2+a i },i =1,2 (9)

则这样的数列的个数为____________答案：80.

二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

9.(本题满分16分)已知定义在R +上的函数f (x )为

3|log 1|,09(){49

x x f x x -<≤=-> 设a ,b ，c 是三个互不相同的实数，满足f (a )=f (b )=f (c ),求abc 的取值范围.(81,144)

10.(本题满分20分)已知实数列a 1,a 2,a 3……满足：对任意正整数n ，有a n (2S n -a n )=1，其中S n 表示数列的前n 项和.证明：(1)对任意正整数n ，有a n <2n ；(2)对任意正整数n ，有a n a n+1<1.

11.(本题满分20分)在平面直角坐标系xOy 中，设AB 是抛物线y 2=4x 的过点F (1，0)的弦，△AOB 的外接圆交抛物线于点P (不同于点O ,A ,B ).若PF 平分∠APB ，求|PF|的所有可能值.13-1

加试题

一、(本题满分40分)设n 是正整数，a 1,a 2,a 3……a n ，b 1,b 2,b 3……b n ，A ,B 均为正实数，满足a i ≤b i ,a i ≤A,i=1,2,3,...,n ，且123123......n n b b b b B a a a a A ≤，证明：1212(1)(1)...(1)1(1)(1)...(1)1n n b b b B a a a A ++++≤++++ 二、(本题满分40分)如图∆ABC 为锐角三角形，AB

三、(本题满分50分)设n ,k ,m 是正整数，满足k ≥2,且n ≤m <2k -1k

n ,设A 是{1,2,3,...,m }的n 元子集，证明:区间(0,n k-1

)中的每一个整数均可表示为a -a ’,其中a ,a ’∈A 四、(本题满分50分)数列{a n }定义如下:a 1是任意正整数，对整数n ≥1,a n +1是与

1n i i a =∑互素，且不等于a 1,a 2,...a n 的最小正整数，证明：每个正整数均在数列{a n }中出现