基于区间模糊数的模糊线性回归模型及其应用

模糊数学原理及其应用目录模糊数学原理及其应用目录摘要1．模糊集的定义2．回归方程3．隶属函数的确定方法3.1 隶属函数3.2 隶属度3.3 最大隶属原则4．模糊关系与模糊矩阵5．应用案例——模糊关系方程在土壤侵蚀预报中的应用5.1 研究的目的5.2 国外研究情况5.2.15.2.25.3 国内研究情况5.3.15.3.25.4 研究的意义6，小结与展望参考文献摘要：文章给出了模糊集的定义，对回归方程式做了一定的介绍并且介绍了隶属函数，隶属度，隶属度原则，以及模糊关系与模糊矩阵的联系与区别。

本文给出了一个案例，是一个关于模糊关系方程在土壤侵蚀预报中的应用，本文提出针对影响侵蚀的各个因素进行比较，找出影响最大的一项因子进行分析应用。

关键字模糊数学回归方程隶属函数模糊关系与模糊矩阵1. 模糊集1) .模糊集的定义模糊集的基本思想是把经典集合中的绝对隶属函数关系灵活化，用特征函数的语言来讲就是：元素对“集合”的隶属度不再是局限于0或1,而是可以取从0到1的任一数值。

定义一如果X是对象x的集合，贝U X的模糊集合A：A={ ( X, A (x)) I X x}-A (x)称为模糊集合A的隶属函数(简写为MF X称为论域或域。

定义二设给定论域U,U在闭区间[0,1]的任一映射J A: U > [0,1]A (x) ,x U可确定U的一个模糊子集A。

模糊子集也简称为模糊集。

J A ( x)称为模糊集合A是隶属函数(简写为MF。

2）.模糊集的特征一元素是否属于某集合，不能简单的用“是”或“否”来回答，这里有一个渐变的过程。

[1]3）.模糊集的论域1＞离散形式（有序或无序）：举例:X=｛上海，北京，天津，西安｝为城市的集合，模糊集合C=“对城市的爱好”可以表示为：C=｛（上海，0.8）（北京，0.9）（天津，0.7）（西安，0.6）｝又: X=｛0,1,2,3,4,5,6｝为一个家庭可拥有自行车数目的集合，模糊集合C= “合适的可拥有的自行车数目的集合”C=｛（0,0.1），（1,0.3），（2,0.7），（3,1.0），（4,0.7），（5,0.3），（6,0.1）｝2＞连续形式令x=R为人类年龄的集合，模糊集合A= “年龄在50岁左右”则表示为：A={x，」A（X）,x X }式中」A（x）2. 回归方程1＞回归方程回归方程是对变量之间统计关系进行定量描述的一种数学表达式。

基于区间梯形二型犹豫模糊数的多准则决策方法及其在工程决
策中的应用
胡军华;肖可立
【期刊名称】《运筹与管理》
【年(卷),期】2016(025)005
【摘要】针对犹豫语言决策问题,提出了基于区间梯形二型犹豫模糊数的多准则决策方法.首先,给出了区间梯形二型模糊数的定义.然后,构建了区间梯形二型犹豫模糊数的期望值和贴近度函数.在此基础上,建立了区间梯形二型犹豫模糊数的排序模型,并提出了基于该排序模型的区间梯形二型犹豫模糊多准则决策方法.最后,通过工程决策实例论证了该方法的有效性和可行性.
【总页数】8页(P38-45)
【作者】胡军华;肖可立
【作者单位】中南大学商学院,湖南长沙410083;中南大学商学院,湖南长沙410083
【正文语种】中文
【中图分类】C934
【相关文献】
1.基于区间犹豫模糊数的多属性决策方法研究及应用 [J], 周毅成;姚俭
2.基于区间二型模糊数的多准则群决策方法 [J], 张砚
3.基于熵权的区间梯形直觉模糊数型VIKOR多属性群决策方法 [J], 杜康; 袁宏俊
4.基于梯形直觉模糊数的动态多准则群决策方法 [J], 王丽丽;聂飞;严雅榕;任战国
5.基于犹豫梯形模糊数相似度的多属性决策方法 [J], 穆志民;曾守桢
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电力系统中长期负荷预测的不可预知性很强，单凭一种简单的线性预测方法很难准确的预测未来值。

模糊预测方法可以从不精确、不完全的已知信息量中抽丝剥茧，并且利用所设计的专家系统知识库，得到比较准确可靠的预测值。

并且，模糊预测不需要耗费大量的精力去建立数学预测模型，它用类似于专家的预测方法去进行推理和判断，可以与多种预测方法很好的结合。

中长期负荷预测中还经常用到回归分析法，它的特点是预测方法简单，但是由于需要较多的历史数据的自身缺陷，造成在缺少历史数据的条件下使用困难。

利用模糊预测法不需太多的历史数据的特点，将两种方法结合，用区间层次分析法赋以灵活可调的权重值并进行算例验证，证明该方法是一种行之有效的中长期负荷预测法。

回归分析法在经典的线性回归问题中，回归方程式为：i i x a x a x a a y ++++=Λ33220 ),,3,2,1(n i Λ= (1) 一般可以采用最小二乘法来求取未知参数a 的估计量，即：∑=----=ni i i i x a x a a y Q 12220)(Λ (2)求出使Q 最小的a 后，将a 代回(1)式中，即可求出预测的结果。

但是在实际的电力系统负荷预测中，往往会有参数和历史数据不足的情况，这时采用单一的回归分析法就会造成最后的预测值与实际值之间的误差过大，影响负荷预测的精度。

所以要引入一种可以弥补此类缺陷的方法，即模糊理论。

模糊预测法的出现是电力系统负荷预测的一个新发展，也是一个新补充。

模糊预测中引入了一个“隶属度”的概念，使规划决策在几个相互制约的目标中，可以选择一个恰当的比例关系以供决策者参考。

模糊预测步骤框图2.2.1模糊逻辑推理是指从一系列不太精确的、模糊的前提条件下，推导出近乎精确的结论的过程。

它的一般原则是：前提 1. 如果x 是A ，那么y 是B ； 2. x 是A '。

结论 y 是B '=A ' (A → B) 例如：1.如果电压变动率是A ，那么励磁电流调节量是B ；2.具体的电压变动量是A '。

区间回归模型区间回归模型是一种统计学中用于处理因变量为区间数据的回归分析方法。

相较于传统的回归模型，区间回归模型更适用于涉及到测量数据的不确定性或模糊性的情况。

本文将介绍区间回归模型的理论基础、建模方法以及在实际应用中的一些案例。

一、区间回归模型的理论基础：区间数据：区间回归模型的出发点是处理因变量为区间数据的情况。

所谓区间数据，指的是因变量的观测值落在一个区间内而非具体的数值。

这种情况在实际测量中常常出现，例如在一些不确定性较大的环境中，我们可能只能确定一个变量的取值范围而不是确切的数值。

概率分布假设：区间回归模型基于概率分布的假设，假定因变量的真实取值落在一个概率分布范围内。

这与传统回归模型中对于观测值的精确度要求不同，更能适应实际情况中的测量不确定性。

二、区间回归模型的建模方法：区间数据编码：区间数据需要进行适当的编码，常见的编码方式包括将区间取中值或者采用区间的上下限进行编码。

这一步骤是为了使区间数据能够参与到回归模型的计算中。

模型建立：区间回归模型的建立主要涉及到对概率分布的选择以及回归系数的估计。

常用的方法包括基于最大似然估计的方法，以及基于贝叶斯统计的方法。

模型的选择取决于实际问题的性质和数据的特点。

不确定性估计：区间回归模型的一个重要特点是能够提供对于因变量的不确定性的估计。

这有助于在实际应用中更准确地评估模型的可靠性和预测的置信水平。

三、区间回归模型的应用案例：金融领域：在金融风险管理中，由于市场波动性等因素，对于某个资产的未来价值往往难以精确预测。

区间回归模型可以应用于估计资产未来价值的区间范围，为投资决策提供更全面的信息。

环境科学：在环境监测中，一些因素的具体数值可能受到多种影响而难以准确测量。

通过采用区间回归模型，可以更好地反映这种不确定性，并提供更可靠的预测结果。

医学研究：在一些医学研究中，由于受到实验条件的限制，某些指标的具体数值可能存在不确定性。

区间回归模型可以帮助研究人员更好地理解这种不确定性对研究结果的影响。

基于区间值的改进模糊bwm多标准决策方法及其应用一、什么是多标准决策方法呀？多标准决策方法就像是我们生活中的一个超级厉害的小助手呢。

它可以帮助我们在面对好多不同的标准和选择的时候，做出一个比较合理的决定。

比如说，我们出去旅游，要选酒店，那可能就会考虑价格、位置、环境这些标准，多标准决策方法就可以根据这些不同的标准来帮我们找到最适合的酒店。

二、模糊bwm多标准决策方法又是啥？这个模糊bwm多标准决策方法啊，它是多标准决策方法里面很特别的一种。

就像是在一群小伙伴里面有个很有个性的家伙。

它会考虑到一些模糊的因素哦。

比如说，我们评价一个餐厅的好坏，“服务态度好”这个标准其实是很模糊的，多好算好呢？模糊bwm多标准决策方法就能处理这种模糊的情况。

不过呢，它原来的方法可能有点小问题，就像一个小宝贝有点小缺点一样。

三、那区间值是怎么改进它的呢？这区间值就像是给这个模糊bwm多标准决策方法注入了新的活力。

原来可能只是一个比较固定的数值在那里判断，但是有了区间值呢，就可以把一些不确定的范围都考虑进去啦。

就好比我们说一个人的身高，不是一个准确的数字，而是一个区间，比如170 - 180厘米之间。

这样在决策的时候就更加灵活，能把更多的可能性都包含进去。

四、它在实际中的应用可多啦！在企业管理方面，假如一个公司要选择一个新的项目投资。

有很多标准要考虑，像投资回报率、风险程度、市场前景等等。

用基于区间值的改进模糊bwm多标准决策方法，就可以把这些标准按照不同的区间值和模糊的概念综合起来考虑。

然后就能找到最适合投资的项目啦。

在我们日常生活中，比如买手机。

我们会考虑手机的价格区间，性能的好坏（这个好坏也是比较模糊的概念），外观是不是好看（这也是很主观模糊的）。

通过这个方法，我们就能从众多的手机品牌和型号里面选出最适合自己的那一款。

在教育领域也能用呢。

学校要评选优秀教师，可能会有教学成果、学生满意度、师德等标准。

这些标准有的很模糊，而且可能在不同的区间有不同的评价。

概率区间值犹豫模糊集多属性群决策模型及其应用
朱国成;张娟;徐健
【期刊名称】《中国计量大学学报》
【年(卷),期】2024(35)1
【摘要】目的:研究概率区间值犹豫模糊集及应用。

方法:将概率区间值犹豫模糊数,用区间值隶属度的中位数、区间值隶属度的清晰度以及概率构成的三维点坐标进行刻画,在此基础上提出了概率区间值犹豫模糊元的相关运算。

根据概率区间值犹豫模糊元的相关运算采用熵值法计算属性权重。

最后基于TOPSIS思想给出了一个新的贴近度公式,并利用新的贴近度公式对方案排序。

结果:建立的概率区间值犹豫模糊集多属性群决策模型可以有效排序方案。

结论:将概率区间值犹豫模糊集采用区间值隶属度的中位数、区间值隶属度的清晰度以及概率来表示不仅可行,而且可以用来解决多属性群决策问题。

【总页数】10页(P106-115)
【作者】朱国成;张娟;徐健
【作者单位】广东创新科技职业学院通识教育学院;广东创新科技职业学院科技处【正文语种】中文
【中图分类】O159
【相关文献】
1.区间值对偶犹豫模糊集的距离测度及其在多属性决策中的应用
2.一种犹豫模糊集多属性群决策模型及应用
3.加权概率区间值犹豫模糊集及决策应用
4.区间值犹豫模糊集群决策模型及其应用
5.加权概率犹豫模糊集多属性群决策算法及应用
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模糊线性分式规划的标准型及其最优值区间吴丽;孙玉华【摘要】针对一类目标函数和约束条件均含有模糊系数的线性分式规划问题,利用模糊数的最佳逼近区间设计了一种新的求解模糊线性分式规划的解法.首先,提出了模糊线性分式规划的标准型及其最优值区间的定义,将模糊线性分式规划问题转化为基于模糊数最佳逼近区间的区间线性分式规划问题.其次,将区间线性分式规划问题的最优值求解转化为求解4 个确定型的线性分式规划问题,进而利用 Gilmore-Gomory算法求解.最后给出的数值算例,验证了该方法的有效性与可行性.%Aiming at a class of linear fractional programming problems that both obj ective function and constraint conditions had fuzzy coefficients,a new method to solve fuzzy linear fractional programming was proposed by using the optimal approximation interval of fuzzy numbers.Firstly,the standard form and optimal obj ective value interval of fuzzy linear fractional programming were defined,and the prob-lem of fuzzy linear fractional programming was transformed into the linear fractional programming of in-terval based on the optimal approximation interval of fuzzy numbers.Secondly,the linear fractional pro-gramming model with interval coefficients was converted into four deterministic models.Then,the Gil-more-Gomory algorithm was used to solve these four deterministic models.Finally,a numerical example in practical application was given to verify the validity and feasibility of the proposed method.【期刊名称】《中北大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(039)004【总页数】7页(P380-386)【关键词】模糊线性分式规划;区间线性分式规划;最佳逼近区间;最优值区间【作者】吴丽;孙玉华【作者单位】北京科技大学数理学院,北京 100083;北京科技大学数理学院,北京100083【正文语种】中文【中图分类】O2210 引言分式规划在实际问题中有着广泛的应用. 例如，在经济管理领域中，若分母表示总生产成本，分子表示总产值，则目标函数表示产出率；若分母表示投资额，分子表示总收益，则目标函数表示盈利率. 此外，分式规划在运输问题、经济效应问题、排队论、聚簇分析等问题中也有着广泛的应用. 而且，在处理双目标规划时，分式规划也是一种很好的选择，它不仅可以将双目标问题转化为比例目标问题，避免了给各个目标直接或者间接地设置权重，还为平衡两个目标之间的关系提供了更多有价值的关键信息[1]. 目前，分式规划方法已经在很多领域得到了较多的应用. 例如： Lara等[2]开发了一个应用于农业系统的多目标线性分式规划(MLFP)模型，其目标是获得单位用水量下系统利润的最大值. Gomez等[3]将分式规划模型应用于古巴森林采伐作业调度问题的研究中，来平衡该地区木材年龄层的分布问题. 此外， Zhu等[4-5]在2013年和2014年分别讨论了动态随机分式规划(DSFP)模型和区间参数分式规划(IMIF-EP)模型，并应用于电力系统规划中. 在线性分式规划的求解问题上，何文汉等[6]提出了一个直接处理一般形式线性分式规划的算法，并且证明了算法在有限步后终止于原问题的最优解. 时凌[7]讨论了线性分式规划问题的最优性条件，证明了它的局部最优解一定是整体最优解，并且局部最优解一定在约束条件的基本可行解处达到. 谢政[8]介绍了线性分式规划的原始单纯形法，说明了LFP性质，并引进了Gilmore-Gomory方法和Charnes-Cooper方法. Rafael Caballero和Monica Hernandez[9]用一种简单可行的检验方法验证了线性分式目标规划问题是否有解，如果存在解，怎样通过线性规划问题找到最优解. 薛声家等[10]使用多面集的表示定理，导出了线性分式规划最优解集的结构，给出了确定全部最优解的计算步骤. 郭晓芳等[11]针对一类上层为线性规划、下层为线性分式规划的区间系数双层规划问题，提出了一种基于系数取值区间搜索的遗传算法. 王国栋等[12]针对一类非光滑多目标分式优化问题，建立了此类优化问题有效解的必要条件和充分条件，并研究了其Mond-Weir对偶模型. 汪春峰等[13]针对极大极小分式规划问题，给出了一个新的线性松弛化技巧，构造了一种新的分支定界算法.目前对线性分式规划的研究一般仅限于确定型问题，然而在实际问题中，由于数据的非精确性与模糊性，很多信息往往无法精确得到，对于这类更具有柔性与现实意义的不确定型线性分式规划的研究则更有意义. 本文在模糊数的最佳逼近区间的基础上，提出了一种新的求解模糊线性分式规划的方法. 首先，提出了模糊数的最好最优解、最差最优解及其最优值区间的定义，将模糊线性分式规划问题转化为基于模糊数最佳逼近区间的区间线性分式规划问题. 其次，将区间线性分式规划问题的最优值求解转化为求解4个确定型的线性分式规划问题，进而利用Gilmore-Gomory算法求解. 最后给出该方法在实际中的数值算例，验证了该方法的有效性与可行性.1 预备知识定义 1[14] 设R为实数域，称闭区间[aL,aR]为区间数，其中aL, aR∈R, aL≤aR, 用A来表示A=[aL,aR], aL, aR分别称为A的左端点和右端点, 当aL=aR=a时，区间数A就退化为实数a.定义 2[14] 对于两个区间数A=[aL,aR], B=[bL,bR], k为确定数，定义A+B=[aL+bL,aR+bR],A-B=[aL-bR,aR-bL],定义 3[15] 对区间数A=[aL,aR], B=[bL,bR], 记len(A)=aR-aL, len(B)=bR-bL, 则称P(A≤B)=为A≤B的可能度；考虑约束条件Ax≤B，则称λ=P(Ax≤B) 为约束条件下的满意水平.定义 4[16] 设U为论域，则U上的一个模糊集合A由U上的一个实值函数μA∶U→[0,1],u|μA(u)来表示. 对于u∈U，函数值μA(u)称为u对于A的隶属度，而μA称为A的隶属函数. 当论域U为无限集时， U上的模糊集合A可表示为定义 5[16] U上的正规凸模糊集称为模糊数. 模糊数的α-截集定义为模糊数的支撑集核定义 6[17] 一个模糊数的最佳逼近算子满足下列条件：⊂⊂3)∀ε>0, ∃其中dF(R)表示任意两个模糊数之间的距离， H表示两个区间之间的距离.模糊数的最佳逼近算子是的逼近算子中最优的, 并且区间称为模糊数的最佳逼近区间[17].引理 1[15] 在满意水平λ下，约束条件可转化为确定型约束考虑如下形式的线性分式规划(LFP):s.t. Ax=b, x≥0,其中， A为m×n矩阵, p,q,x∈En, b∈E1. 不失一般性，可设rank(A)=m≤n. 记(LFP)的可行集为S.给出Gilmore-Gomory算法[18]：Step 1 给定一个初始可行基B，写出相应的单纯形表；Step 2 计算r(xN)，如果r(xN)≥0，则关于B的基本可行解x*为最优解，停止计算；否则，转Step 3；Step 3 确定进基变量. 令-rk=max{-rj|rj<0, j∈N}则xk以为进基变量；Step 4 确定离基变量. 由确定xr为离基变量；Step 5 以brk为主元作旋转变换，得到新的可行基B, 以代替B，转Step 2.2 模糊线性分式规划模型的建立本文定义如下一种标准类型的模糊线性分式规划(FLFP)：xj≥0, j=1,2,…,n.对于求解模糊规划问题，一般做法是利用模糊隶属函数的α-截集，将模糊数转化为区间数，从而求解区间规划. 然而，由于α取值不同，结果往往也不同，为此需要考虑最优的解. 基于文献[17]中模糊数最佳逼近区间的定义，首先把模糊线性分式规划转化为如下区间线性分式规划(ILFP)：xj≥0, j=1,2,…,n,其中，且是模糊数的α截集的左端点，是模糊数的α截集的右端点.假设(ILFP)目标函数的分母大于零，否则可将目标函数的分子分母同时乘以-1. 由引理1，在约束条件满意度为λi的情况下， (ILFP)问题可以转化为xj≥0, j=1,2,…,n.3 模糊线性分式规划问题的求解对任意的记相应的线性分式规划模型为(LFP)：i=1,2,…,m, xj≥0, j=1,2,…,n.定义 7(最优解) 在(LFP)中，对任意的x=(x1,x2,…,xn)∈Rn, 若存在使得成立，则称x*是(LFP)问题的最优解，也是原模糊线性分式规划(FLFP)问题的一个最优解；相应地，称为原模糊线性分式规划(FLFP)问题的一个最优值.定义 8 (最好最优解) 若(LFP)的最优解x*满足：对任意(FLFP)的最优解x，有成立，则称x*是原模糊线性分式规划(FLFP)问题的最好最优解；相应地，称为原模糊线性分式规划(FLFP)问题的最好最优值.定义 9(最差最优解) 若(LFP)的最优解x*满足：对任意(FLFP)的最优解x，有成立，则称x*是原模糊线性分式规划(FLFP)的最差最优解；相应地，称为原模糊线性分式规划(FLFP)的最差最优值.下面给出模糊线性分式规划(FLFP)的最优值区间定义以及最好最优值、最差最优值的求解．定义 10 设(FLFP)问题的最优值集合为S，称ZL=min{Z|Z∈S}为(FLFP)问题的最好最优值；称ZR=max{Z|Z∈S}为(FLFP)问题的最差最优值；称[ZL,ZR]为(FLFP)问题的最优值区间.定理 1 (FLFP)的最好最优值在(ILFP)的目标函数分子取左端点，分母取左端点或右端点处达到.证明对(ILFP)的任意可行解x，分子有可能大于零，也有可能小于零.若分子大于零，则对任意的c1,c2,d1,d2，有则因此即当分子大于零时，为(FLFP)的最好最优值.若分子小于零，则对任意的c1,c2,d1,d2，有则因此即当分子小于零时，为(FLFP)的最好最优值.由定理1， (FLFP)的最好最优值可以转化为求解如下两个确定型的线性分式规划j=1,2,…,n,(1)j=1,2,…,n.(2)将式(1)和式(2)中的不等式约束通过增加松弛变量使其变为等式，再利用修改的凸单纯形法分别进行求解，取较小的最优值作为(FLFP)的最好最优值.定理 2 (FLFP)的最差最优值在(ILFP)的目标函数分子取右端点，分母取左端点或右端点处达到.证明与定理1类似,此处略.由定理2， (FLFP)的最差最优值可以转化为求解如下两个确定型的线性分式规划j=1,2,…,n.(3)j=1,2,…,n.(4)将式(3)和式(4)中的不等式约束通过增加松弛变量使其变为等式，再利用修改的凸单纯形法分别进行求解，取较大的最优值作为(FLFP)的最差最优值.4 数值算例下面通过数值算例检验模型和算法的有效性与可行性.如下是一个实际问题中的简化模型xi≥0, i=1,2,3,(5)其中，模糊数利用模糊数的最佳逼近区间定义，模糊数模糊数等等. 故模糊线性分式规划问题可以转化为下列区间线性分式规划问题：s.t. [5,6.25]x1+[2.2,3.2]x2+[2.6,3.1]x3<0.8[9.4,12.4],[8.6,10.6]x1+[2.3,3.3]x2+[4.5,9.5]x3≤0.7[9.7,10.7], xi≥0, i=1,2,3.(6)1) 根据定理1，求解式(5)的最好最优值可以转化为求解如下两个确定型线性分式规划(7)用Gilmore-Gomory算法[18]解式(7)，得最优单纯形表如表 1 所示.表 1 最优单纯形表Tab.1 The best simplextablex1x2x3x4x5bx11121216053x50-23-531-203r(xN)0582 80958 427162 8090由于所有r(xN)≥0，所以式(7)的最优解为最优值为0.937 107.同理可得，式(8)的最优解为最优值为0.712 963. 故模糊线性分式规划的最好最优解为最好最优值为min{0, 937 107,0.712 963}=0.712 963.2) 根据定理2，求解式(5)的最差最优值可以转化为求解如下两个确定型线性分式规划(9)(10)用Gilmore-Gomory算法[18]求解式(9)和式(10)，得式(9)的最优解为最优值为1.138 365；式(10)的最优解为最优值为0.947 644. 故模糊线性分式规划的最差最优解为最差最优值为max{1.138 365,0.947 644}=1.138 365.综合(1)和(2)，模糊线性分式规划式(5)的最好最优解为最差最优解为最优值区间为[0.712 963,1.138 365]，即表明模糊线性分式规划的最优解介于0.712 963和1.138 365之间. 由文献[19]，当精度为ε=10-6时，确定型线性分式规划的最优值为0.963 636∈[0.712 963,1.138 365]，验证了模型和算法的有效性和可行性.5 结论线性分式规划问题在现实生活中具有广泛的应用，特别是在经济问题，运输问题以及排队问题上，而具有柔性的模糊线性分式规划则具有更为广泛的现实意义. 本文定义了模糊线性分式规划的标准型及其最优值区间，并给出了一种新的求解模糊线性分式规划的方法. 然而对于模糊线性分式规划的其他求解方法以及模糊非线性分式规划的求解问题，还有待进一步探讨.参考文献：【相关文献】[1] Zhu H, Huang G H. SLFP: a stochastic linear fractional programming approach for sustainable waste management[J]. Waste Management， 2011， 31(12)： 2612-2619. [2] Lara P， Minasian I S. Fractional programming： a tool for the assessment of sustainability[J]. Agricultural Systems， 1999， 62(2)： 131-141.[3] Gomez T， Hernandez M， Leon M A， et al. A forest planning problem solved via a linear fractional goal programming model[J]. Forest Ecology and Management， 2006，227(1-2)： 79-88.[4] Zhu H， Huang G H. Dynamic stochastic fractional programming for sustainable management of electric power systems[J]. International Journal of Electrical Power & Energy Systems， 2013， 53(1)： 553-563.[5] Zhu H， Huang W W， Huang G H. Planning of regional energy systems： an inexact mixed-integer fractional programming model[J]. Applied Energy， 2014， 113(6)： 500-514.[6] 何文汉，薛声家. 一般形式线性分式规划的一个解法[J]. 广州师院学报， 1994(2)： 64-69.He Wenhan， Xue Shengjia. Solution for linear fractional programming in general form[J]. Journal of Guangzhou Teachers College， 1994(2)： 64-69. (in Chinese)[7] 时凌. 线性分式规划问题的最优性条件[J]. 工程数学， 1995(4)： 18-22.Shi Ling. The conditions for optimality of linear fractional programming problem[J]. Journal of Mathematics for Technology， 1995(4)： 18-22. (in Chinese)[8] 谢政，李建平. 非线性最优化[M]. 湖南：国防科技大学出版社， 2003.[9] Caballero R， Hernandez M. Restoration of efficiency in a goal programming problem with linear fractional criteria[J]. European Journal of Operational Research， 2006， (172)：31-39.[10] 薛声家，薛学明. 线性分式规划最优解集的求法[J]. 应用数学， 2001(S1)： 163-166.Xue Shengjia， Xue Xueming. A way to find the set of optimal solutions in linear fractionalprogramming[J]. Mathematics Applicata， 2001(S1)： 163-166. (in Chinese)[11] 郭晓芳，李和成. 线性-线性分式型区间系数双层规划问题的遗传算法[J]. 计算机应用，2015(S1)： 98-100.Guo Xiaofang， Li Hecheng. Genetic algorithm for solving linear-linear fractional bilevel programming problems with interval coefficients[J]. Journal of Computer Applications，2015(S1)： 98-100. (in Chinese)[12] 王国栋，陈林. 一类非光滑分式优化问题的最优性条件和对偶[J]. 华东师范大学学报(自然科学版)， 2016(1)： 43-50.Wang Guodong， Chen Lin. Optimality conditions and duality for a class of non-smooth fractional optimization problems[J]. Journal of East China Normal University(Natural Science)， 2016(1)： 43-50. (in Chinese)[13] 汪春峰，蒋妍，申培萍. 求极小极大分式规划问题的一个新的分支定界算法(英文)[J]. 数学杂志， 2018, 38(1)： 113-123.Wang Chunfeng， Jiang Yan， Shen Peiping. A new branch-and-bound algorithm for solving minimax linear fractional programming[J]. Journal of Math， 2018, 38(1)： 113-123. (in Chinese)[14] 侯勇超，曹炳元. 区间系数非线性规划问题的模型和解法[D]. 汕头：汕头大学， 2007.[15] 达庆利，刘新旺. 区间数线性规划及其满意解[J]. 系统工程理论与实践， 1999, 19(4)： 3-7. Da Qingli， Liu Xinwang. Interval number linear programming and its satisfactory solution[J]. Systems Engineering-Theory&Practice， 1999, 19(4)： 3-7. (in Chinese)[16] 陈水利，李敬功，王向公. 模糊集理论及其应用[M]. 北京：科学出版社， 2005.[17] Grzegorewski P. Nearest interval approximation of a fuzzy number[J]. Fuzzy Sets and Systems， 2002(130)： 321-330.[18] Bazaraa M S， Shetty C M. Nonlinear programming： theory and algorithms[M]. New York： John Wiley & Sons， 1979.[19] 林洪伟. 两类分式规划问题的算法研究[D]. 银川：北方民族大学， 2005.。