§5.2 中心极限定理

解: 设Xk为第k次炮击炮弹命中的颗数(k=1,2,…,100),
在100次炮击中炮弹命中的总颗数
100
X = ∑ Xk k =1
相互独立地服从同一分布，
E(Xk)=2, D(Xk)=1.52 (k=1,2,…,100)
随机变量
∑ 1
100 × 1.5
100 k =1
(
X
k
−
2)
=
1 15
(
X
−
200)
2. 伯努利定理 事件发生的频率依概率收敛于事件的概率
3. 辛钦定理 （随机变量序列独立同分布且数学期望存在）
n个随机变量的算术平均值以概率收敛于算术 平均值的数学期望。
给出了“频率稳定性”的严格数学解释. 提供了通过试验来确定事件概率的方法. 是数理统计中参数估计的重要理论依据之一.
§5.2 中心极限定理
望 E( Xk ) = µ (k = 1,2,"),则对于任意ε > 0,有
∑ lim
n→∞
P {|
1 n
n k =1
Xk
−
µ
|<
ε
}
=
1
说明
伯努利大数定理是辛钦定理的特殊情
况。n个随机变量的算术平均值以概率收敛于算
术平均值的数学期望。
三 小结
1、切比雪夫(Chebyshev)定理的特殊情况 算术平均值依概率收敛于数学期望
= 1 − P { V − 100 ≤ 0.387 } (10 12 ) 20
∫ 0.387
≈ 1−
1
e − t 2 dt
−∞ 2π
= 1 −Φ (0.387) = 0.348
所以 P{V > 105} ≈ 0.348

n
的分布函数 F (对任意 满足 x) x
n
X k n k 1 lim Fn ( x) lim P x n n n
n


x
1 e 2

t2 2
dt Φ ( x )
第五章 大数定律与中心极限定理
§2
, 对于均值为 方差
中心极限定理
4/11
(n 1, 2, )
则
k 1
k 1
x F对任意 若 Z 的分布函数 满足 n ( x) n n nN (0,1) {Z n }的极限分布是否为 Xk k k 1 k 1 一般地，答案是否定的 ！ lim Fn ( x) lim P n n n 2 k 取 X n 0 (n 2, 3, ), 则 k 1
O
拉普拉斯
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
k
第五章 大数定律与中心极限定理
§2
中心极限定理
7/11
高尔顿( Francis Galton,18221911) 英国人类 学家和气象学家
共15层小钉
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8
x
记 则
Xk
1, 1,
t2 X1 1 1 Z (n Φ 1,( 2, ) n e 2 dt x) 2 1 x
E ( Z n ) 0, D( Zn ) 1 (n 1, 2, ) 部分和标准化 r.v
x
除非 服从正态分布，否则结论就不真 . X 1 n} X 则称 { 服从中心极限定理 第五章 大数定律与中心极限定理

(
n
=
1
,
2
,
)存在，方差
D(n
)
=
2 n
存在且
有公共上界，即存在常数 c 0 ，使
D(n
)
=
2 n
c
(n = 1, 2,
) ，则 0 ，有
lim P n→
1 n
n
i
i =1
−
1 n
n
Ei
i =1
=
0
．
证 由切比雪夫不等式， 0 ，有
0
P
1 n
n i =1
i
−
E
1 n
n
A
发生的频率的稳定性”，即
nA n
P
→
p
．正是由于这种稳定性，
概率的概念才有客观意义．
此外，定理还提供了通过试验的方法来确定事件发生的 概率的方法，即统计概率——通过大量重复试验确定某事件 发生的频率，并把它作为相应概率的估计值.
定理2 （泊松大数定律）
设n (n = 1, 2, )为相互独立的随机序列，且 P (n = 1) = pn , P (n = 0) = qn ,
以概率为1收敛 依概率收敛 依分布收敛.
上述之逆均不真. 但，当极限分布是退化分布时，
依分布收敛 依概率收敛 .
定理 n ⎯P⎯→ c (c为常数) Fn ( x) ⎯W⎯→ F ( x),
这里F
( x)是
c 的分布函数：F
(x)
=
1, 0,
xc xc
只需证 ： 0,有
P( n − c ) = P (n c + ) + P (n c − )
设要供给这个车间r千瓦电才能以99.9%的概率保 证这个车间不会因供电不足而影响生产.由题意有：

i1
n
Var i1 Xi
的极限分布。
n
n
Xi E(Xi)
考虑 Zn i1
i1
n
Var i1 Xi
的极限分布。
可以证明：当{ Xn } 满足一定条件时, Zn的极限分布是 标准正态分布。
概率论中，常把独立同分布的随机变量之和的标准化 随机变量收敛于标准正态分布的定理称为中心极限定理。
中心极限定理的几种简单情形。
E
1
X E(X ) E(bX ab) bE( X ) E(ab)
Var ( X )
Var ( X )
ab ab 0
回顾：性质2 Var aX c a2Var(X ).
Var (Y ) Var
1
X
E(X )
Var(bX ab) b2Var( X )
Var ( X )
Xi n
lim P{ i1
x}
x
1
其中 Φ(x) 是标准
t2
e 2 dt
(x) ，正态分布 N(0, 1)
n
n
- 2
的分布函数。
n
Xi n
设Yn
i 1
n
知lnimPYn
x
( x)，即 lim n
FYn
x (x),
即：当n 时, Yn ~ N(0,1)
n
Xi n
n
n
Xi E( Xi)
根据定理5.2.1 X E ( X )近似 N (0,1)
n 所以要求E
n
Xi
i 1
( X ),
记做 X . Var(X )
Var(X )
∴ E(Xi)= (-0.5+0.5)/2=0， Var(Xi)=[0.5-(-0.5)]2/12=1/12