北京邮电大学2015—2016学年第2学期
3学时《概率论与随机过程》期末考试试题（B ）
考试注意事项：学生必须将答题内容做在试题答题纸上，做在试题纸上一律无效
一、 填空题（45分，每空3分）
1. 袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从
袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是_____________.2/5
2. 设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为,A 发生B 不发生的概率与
B 发生A 不发生的概率相等,则=_____________.1/3
3. 若随机变量在（0,5）上服从均匀分布,则方程有实根的概率
是____________. 3/5
4. 设X 是连续型随机变量，其分布函数F(x)严格单调，则随机变量Y=2F(X)的
分布函数F Y (y)= . 0,<0,
2,02,1,2y y y y ⎧⎪
≤<⎨⎪≥⎩
5. 设随机变量X 和Y 相互独立，且X~N (1,4),Y~N(3,5)，则2X-3Y+1的分布服
从 ，P(−86. 设相互独立的两个随机变量X,Y 具有同一分布律,且X 的分布律为
则随机变量Z =max*X,Y+的分布律为_________.P (Z =0)=1
4,P (Z =1)=3
4 7. 设随机变量X 和Y 的相关系数为0.5，X 的概率密度函数为
()P A ξ210x x ξ++=
2
1,0,()2
0,0x
e x
f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩
，
Y~B(18,1
3 ). 则E(XY)= . 1
4 8. 设随机变量序列12
50
,,,X X
X ⋯独立同参数(0.02λ=)的泊松分布，记
50
1i
i Y X ==∑，利用中心极限定理近似计算(2)P Y ≥= . 0.1587
9. 设X ～)4,0(U ，Y ～)5.0,2(B ，且X 与Y 相互独立，则=≥+}3{Y X P 5.0 10. 设()sin cos ,(),X t U t V t t =+-∞<<+∞其中,U V 是互不相关，且都是服从标准
正态分布的随机变量，则{()}X t 的一维概率密度为(;)f x t =
.22
x - 11. 设{(),0}W t t ≥是参数为2σ的维纳过程，(0)0W =。定义X (t )=aW.t a
/, a >0，
则自协方差函数C X (s,t )= ασ2min *s,t+
12. 设{(),0}N t t ≥服从强度为λ的泊松过程，则P*N (7)=9|N (3)=4+=
(4λ)5e −4λ/5!
13. 设离散时间离散状态齐次马尔可夫链{}n X 的状态空间是*1,2,4+,平稳分布为π
=
*23,16,1
6
+,
若P (X 0=1)=23
,P (X 0=2)=16
,P (X 0=4)=
16
, 则方差
D(X n )= 11/9
14. 设}),({+∞<<-∞t t X 为平稳随机过程，功率谱密度为
2
12)(ωω+=
X S , 则其平均功
率为 1
设随机变量X 的概率分布密度为 f (x )=1
2e −|x |, −∞(1)求X 的数学期望E(X)和方差D(X) （5分） (2)求X 与|X|的协方差,并问X 与|X|是否相关? （5分） (3)问X 与|X|是否相互独立?为什么? （5分）
解：(1) E (X )=
∫xf (x )dx =0+∞
−∞
（2分）
方差D (X )=∫x 2f (x )dx −0=∫x 2e −x dx =2+∞
+∞
−∞ （5分）
(2)Cov (X,|X |)=E (X,|X |)−E (X )E (|X |)=∫x|x|f (x )dx −0+∞
−∞
=0 所以X 与|X|不相关 （10分）
(3)对给定00，所以P *X 设随机变量X 与Y 相互独立, X 的概率分布为P *X =i +=13
(i =−1,0,1)，Y
的概率密度为f Y (y)={
a 0≤y ≤10 其它
, 记Z=X+Y ,
(1) 求常数a 的值 （3分） (2) 求P*Z ≤
12
|X =0+. （5分）
(3) 求Z 的概率密度. （7分）
解：(1) ∫f Y (y )dy =∫ady =1
01+∞
−∞，解得：a=1 （3分） (2) P {Z
≤12
|X =0}=P {X +Y ≤12
|X =0}=P {Y ≤1
2
|X =0}
=P*Y ≤12
+ = 12
（8分）
(3)F Z (z )=P *Z ≤z +=P *X +Y ≤z +
=P *X +Y ≤z,X =−1++P *X +Y ≤z,X =0++P *X +Y ≤z,X =1+ = P *Y ≤z +1,X =−1++P *Y ≤z,X =0++P *Y ≤z −1,X =1+ = P *Y ≤z +1+P*X =−1++P *Y ≤z+P*X =0++P *Y ≤z −1+P* X =1+ =1
3,F Y (z +1)+F Y (z )+F Y (z −1)- （11分）
f Z (z )=F Z ′(z) （12分）
=1
3,f Y (z +1)+f Y (z )+f Y (z −1)-={1
3
,−1≤z ≤2
0, 其它
（15分）
