§2 第二型曲线积分教学目的：掌握第二型曲线积分的定义，性质和计算公式．教学要求：(1)掌握第二型曲线积分的定义和计算公式，了解第一、二型曲线积分的差别．(2)了解两类曲线积分的联系．教学建议：(1) 要求学生必须掌握第二型曲线积分的定义和计算公式．（2）两类曲线积分的联系有一定的难度，可要求较好学生掌握，并布置这方面习题教学程序：一. 第二型曲线积分的定义:1. 力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功:一质点受变力F(x,y)的作用沿平面曲线C 运动,当质点从C 之一端点A 移动到另一端B 时,求力F(x,y)所做功W.大家知道,如果质点受常力 F 的作用沿直线运动, 位移为s.那末这个常力所做功为 W=||F||||s||cos θ其中||F||.||s||分别表示向量(矢量)的长度,θ为F 与S 的夹角现在问题的难度是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢?还是用折线逼近曲线和局部一常代变的方法来解决它(微分分析法).为此,我们对有向曲线C 作分割},,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内插入n-1个分点,,.....,,121-n M M M 与 A=n M B M =,0一起把曲线分成n 个有向 小曲线段i i M M 1-(i=1,2,……,n)以Si ∆ 记为小曲线段i i M M 1-的弧长.}max{Si ∇=λ设力F(x,y)在x 轴和y 轴方向上的投影分别为 P(x,y)与Q(x,y) 即F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))=P(x,y)i+Q(x,y)j由于),,().,(111i i i i i i y x M y x M --- 记11,---=∆-=∆i i i i i i y y y x x x 和ii m C 1-=(),(y x ∆∆)从而力F(x,y)在小曲线段i i M M 1-上所作的功i W ),(i F ηξ≈ii m C 1-= P(j i ηξ,)i x ∆+Q (j i ηξ,)i y ∆其中(j i ηξ,)为小曲线段i i M M 1-上任一点,于是力F 沿C(AB)所作的功可近似i W =∑=n i i W 1i ni i i i n i i i y s Q x S P ∆+∆≈∑∑==11),()),((ηη当0→λ时,右端积分和式的极限就是所求的功,这种类型和式极限计算上述形式的和式上极限,得(,)ABW F dx dy →=⋅⎰ , 即 ds F W L⋅=⎰.2. 稳流场通过曲线 ( 从一侧到另一侧 ) 的流量: 解释稳流场. ( 以磁场为例 ).设有流速场),(y x ()),( , ),(y x Q y x P =. 求在单位时间内通过曲线AB 从左侧到 右侧的流量E . 通过曲线AB 从左侧到右侧的总流量E 为 ⎰⎰-=ABABdx y x Q dy y x P dE ),(),(.3. 第二型曲线积分的定义: 设P,Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线C 上的函数,对任一分割T,它把C 分成n 个小弧段i i M M 1-,I=1,2,3,……,n;记),(i i i y x M ,i i M M 1-弧长为i s ∆,}max{Si ∇=λ,11,---=∆-=∆i i i i i i y y y x x x , I=1,2,3,……,n.又设 (j i ηξ,)∈ i i M M 1-,若极限lim ∑=n i i i p 1. ),(ηξxi ∆+lim ∑=ni i i Q 1. ),(ηξyi ∆存在且与分割T 与界点(j i ηξ,)的取法无关,则称此极限为函数P,Q 有线段C 上的第二类曲线积分,记为⎰cQdy Pds + or⎰ABQdy Pds +or ⎰⎰+ccQdy Pdx or⎰ABQdy Pds AB⎰+注(1)若记f(x,y)= (P(x,y),Q(x,y)) ,ds=(dx,dy)则上述记号可写成向量形式:⎰cfds(2)倘若C 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,P,Q,R 为定义在C 上的函数,则可按上述办法定义沿有向曲线C 的第二类曲线积分,并记为dz z y x R dy z y x Q dx z y x P fds cc),,(),,(),,(++=⎰⎰按这一定义 , 有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为 ⎰+=ABQdy Pdx W .流速场),(y x v ()),( , ),(y x Q y x P =在单位时间内通过曲线AB 从左侧到右侧的总流量E 为 ⎰-=ABQdx Pdy E .第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对二型曲线积分有 ⎰⎰-=BAAB,因此, 定积分是第二型曲线积分中当曲线为X 轴上的线段时的特例.可类似地考虑空间力场()),,( , ),,( , ),,(),,(z y x R z y x Q z y x P z y x =沿空间曲线AB 所作的功. 导出空间曲线上的第二型曲线积分 ⎰++ABdz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(.4. 第二型曲线积分的性质:第二型曲线积分可概括地理解为向量值函数的积累问题 . 与我们以前讨论过的积分相比,除多了一层方向性的考虑外, 其余与以前的积累问题是一样的, 还是用Riemma 的思想建立的积分 . 因此 , 第二型曲线积分具有(R )积分的共性 , 如线性、关于函数或积分曲线的可加性 . 但第二型曲线积分一般不具有关于函数的单调性 , 这是由于一方面向量值函数不能比较大小, 另一方面向量值函数在小弧段上的积分还与弧段方向与向量方向之间的夹角有关.(1)线性性 设C 为有向曲线,⎰cfds ,⎰cgds 存在, 则,,R ∈∀βα则ds f f c)(⎰+βα存在,且⎰⎰⎰+=+cccgds fds ds f f βαβα)((2)可加性:设⎰cfds 存在,,21C C C ⋃=⎰⎰⇒21,c c fds fds 存在,且⎰⎰⎰+=21c c cfds fds fds(1)平面上光滑闭曲线如何规定方向呢?此时无所谓”起点””终点”,若为封闭有向线段,则记为⎰cfds(2)设C -是C 的反向曲线(即C -和C 方向相反),则⎰cfds =-⎰cfds即是说第二类曲线积分与曲线的方向有关(注意第一类曲线积分表达示是函数f 与弧长的乘机,它与曲线C 的方向无关),这是两种类型曲线积分的一个重要差别. 二. 第二型曲线积分的计算:曲线的自然方向: 设曲线L 由参数式给出. 称参数增大时曲线相应的方向为自然方向.设L 为光滑或按段光滑曲线 , L : βαψϕ≤≤==t t y t x , )( , )(.A ())( , )(αψαϕ,B ())( , )(βψβϕ; 函数),(y x P 和),(y x Q 在L 上连续, 则沿L 的自然方向( 即从点A 到点B 的方向)有()()[]⎰⎰'+'=+Ldt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P βαψψϕϕψϕ)()( , )()()( , )(),(),(.(证略)注：起点参数值作下限，终点参数值作上限．例1计算()⎰-+Ldy x y xydx ，其中L 分别沿以下路线从点()1,1A 到点()3,2B ⅰ）直线ABⅱ）抛物线ACB ：()1122+-=x y ⅲ）三角形周界ADBA解ⅰ）直线AB :[]⎩⎨⎧∈+=+=1,0,21,1t t y t x 故()⎰-+ABdy x y xydx =()()[]dt t t t ⎰+++12211=625 ⅱ）抛物线ACB ：()1122+-=x y ，21≤≤x()⎰-+ACBdy x y xydx =()[]()[](){}dx x x x x x ⎰--+-++-12214112112=310ⅲ）三角形周界ADBA ：()⎰-+ADBAdy x y xydx =()⎰-+ADdy x y xydx +()⎰-+DBdy x y xydx +()⎰-+Bady x y xydx=⎰21xdx +()⎰-312dy y +()()[]dt t t t ⎰+++012211=625023-++=38- 注：这里沿不同路径积分值不同，而沿封闭曲线的值不为0． 例2计算⎰+Lydx xdy ，这里L ：ⅰ）沿抛物线从O 到B ⅱ）沿直线段O B ：x y 2= ⅲ）沿封闭曲线OABO解ⅰ）沿抛物线从O 到B ：⎰+Lydx xdy =()[]dx x x x ⎰+1224=2ⅱ）沿直线段O B ：x y 2=，⎰+Lydx xdy =()dx x x ⎰+122=2注：这里不同路径积分值相同 ⅲ）沿封闭曲线OABO ：⎰+Lydx xdy =⎰+OAydx xdy +⎰+ABydx xdy +⎰+BOydx xdy =()0220=-++注：由于这里不同路径积分值相同，造成沿封闭曲线的值为0 空间曲线时有：设有空间光滑曲线L ：()()()[]βα,,,,∈⎪⎩⎪⎨⎧===t t z z t y y t x x 起点为()()()()αααz y x ,,，终点为()()()()βββz y x ,,则有：⎰++L Rzy Qdy Pdx =()()()()()()()()()()()()()()()[]⎰'+'+'βαdt t z t z t y t x R t y t z t y t x Q t x t z t y t x P ,,,,,, 注：仍为起点参数作下限，终点参数作上限．例3计算第二型曲线积分()⎰+++Ldz x dy y x xydx 2，L 是螺旋线：t a x cos =，t a y sin =，bt z =从0=t 到π=t 上的一段解 ()⎰+++Ldz x dy y x xydx 2=()⎰+-+-π2222223cos cos sin cos sin cos dt t b a t t a t a t t a=()πb a +1212 例4求力F ()z y x x y ++-,,作用下ⅰ）质点由A 沿螺旋线 1L 到B 所做的功，其中1L ：t a x cos =，t a y sin =，bt z =，π20≤≤t ,ⅱ）质点由A 沿直线 2L 到B 所做的功 解 ⅰ）W =()⎰+++-Ldz z y x xdy ydx=()⎰+++--π2022222sin cos cos sin dt t b t ab t ab t a t a=()222a b -ππⅱ）W =()⎰+++-Ldz z y x xdy ydx=()⎰+π20dt t a =()b a b ππ+2注：这里不同路径积分值不同．第二十章 习题课1§1第一型曲线积分例1 求⎰++Lds zx yz xy )(，其中L 是球面2222a z y x =++与平面0=++z y x 的交线.解法1 ⎰++Lds zx yz xy )(⎰++=Lds zx yz xy )(221⎰++-++=Lds z y x z y x )]()[(212222 ⎰++-=L ds z y x )(21222⎰-=-=La ds a 322π 解法2 求曲线L 的参数方程.由2222a z y x =++，0=++z y x 消去y ，得2222)(a z z x x =+++即 )231(2)2(2222z aa z x -=+ 令t a z sin 32=，则)231(22222z aa z x -±-=t a t a sin 6cos 2-±= t at a z x y sin 6cos 2)(-=+-=于是得到两组参数方程⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=-=t a z t a t a y t a t a x sin 32sin 6cos 2sin 6cos 2⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=t a z t a t a y t a t a x sin 32sin 6cos 2sin 6cos 2 我们可任选一组，例如第一组.显然，被积函数和L 都具有轮换对称性，则⎰++Lds zx yz xy )(⎰=Lzxds 3⎰=π202sin 3t a dt t z t y t x t t )()()()sin 31(cos 222'+'+'-⎰=π203sin 3t adt t t )sin 31(cos -32023sin a dt t aππ-=-=⎰解法 3 作坐标旋转.就坐标是),(y x ，新坐标是),(Y X ，旋转角为θ，则旋转变换的一般公式为θθsin cos Y X x -=， θθcos sin Y X y +=因为平面0=++z y x 的单位法矢为}1,1,1{31=n ，则它与z 轴的夹角余弦为31cos =φ.下面分两步进行旋转，先将Oxy 平面旋转4π，得新坐标系vz u O '；再将u Oz '平面旋转φ，得新坐标系Ouvw .即Oxyz → vz u O ' → Ouvw 由旋转公式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+'=-'=)(21)(21v u y v u x ⎩⎨⎧+='-=φφφφcos sin sin cos u w u u w z 于是得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=++=+-=φφφφφφsin cos )sin cos (21)sin cos (21u w z w v u y w v u x 在这组变换下，曲线L ：2222a z y x =++，0=++z y x 变为2222a w v u =++，0=w ，故⎰++L ds zx yz xy )(⎰=L xyds 3⎰+-=Lds v u v u )cos )(cos (23φφ ⎰-=L ds v u )cos (23222φds v u L)3(2122-=⎰ ds v v u L]4)([21222-+=⎰320233sin 2a tdt a a πππ-=-=⎰ 注1 三种解法各具特点：解法1技巧性强，直接利用了几何意义，而不必化为定积分. 解法2常规的方法，即写出参数方程 → 套公式 → 计算定积分这里主要难在第一步，写参数方程.通过解法2，给出了一种求参数方程的方法.解法3先通过坐标旋转，将问题转化为另一个与之等价的问题，再按常规的方法计算.Oxyz 坐标系下的线积分 → Ouvw 坐标系下的线积分 → 写出参数方程 → 套公式 → 计算定积分在新的坐标下，曲线有简单的参数方程.这个解法表明，可以适当地转化问题，例如作坐标旋转，从而获得简单的参数方程.第二十章习题课2§2 第二型曲线积分例1 计算曲线积分⎰-+-+-=Ldz y x dy x z dx z y I )()()(222222，（1）L 是球面三角形1222=++z y x ，0>x ，0>y ，0>z 的边界线，从球的外侧看去，L 的方向为逆时针方向；（2）L 是球面2222a z y x =++和柱面)0(22>=+a ax y x 的交线位于Oxy 平面上方的部分，从x 轴上))(0,0,(a b b >点看去，L 是顺时针方向.解 （1）显然，L 具有轮换对称性，且被积表达式也具有轮换对称性，将L 分为三段1L ：122=+y x ，0=z （0>x ，0>y ） 2L ：122=+z y ，0=x （0>y ，0>z ） 3L ：122=+z x ，0=y （0>x ，0>z ）则 ⎰-+-+-=Ldz y x dy x z dx z y I )()()(222222⎰-+-+-=1)()()(3222222L dz y x dy x z dx z y⎰-=1223L dy x dx y 4)1(3)1(312012-=---=⎰⎰dy y dx x或 ⎰-+-+-=Ldz y x dy x z dx z y I )()()(222222⎰-=Ldx z y )(322⎰⎰⎰-++=312))((322L L L dx z y⎰⎰-+=132233L L dx z dx y 4)1(3)1(312012-=---=⎰⎰dx x dx x注1 这里利用轮换对称性使计算化简，都是写为某积分的3倍.它们的区别在于第一种方法：积分表达式不变，积分化为1L 上的积分的3倍.第二种方法：积分曲线L 不变，积分化为表达式中第一项积分的3倍.问题1 是否可化为既是1L 上的积分的3倍，又是表达式中第一项积分的3倍，即⎰-+-+-=Ldz y x dy x z dx z y I )()()(222222⎰-=1)(922L dx z y（2）曲线关于Ozx 平面对称，且方向相反⎰-Ldx z y )(22⎰≥-=0,22)(y L dx z y ⎰≤=-+0,220)(y L dx z y 同理 ⎰-Ldz y x )(22⎰≥-=,22)(y L dz y x 0)(0,22=-=⎰≤y L dz y x 故 ⎰-+-+-=L dz y x dy x z dx z y I )()()(222222⎰-=Ldy x z )(22下面求曲线L 的参数方程. 方法1 利用球面的参数方程φθsin cos a x =，φθsin sin a y =，φcos a z =，代入柱面方程ax y x =+22得θφcos sin =，于是得L 的参数方程θ2cos a x =， θθcos sin a y =， |sin |θa z =， θ从2π到2π-方法2 利用柱面的参数方程θcos 22a a x +=，θsin 2a y =，代入球面方程2222a z y x =++，得L 的参数方程 θcos 22a a x +=， θsin 2a y =， |2sin |θa z =， θ从π2到0不妨取方法1中的参数方程进行计算， ⎰-=Ldy x z I )(22⎰---=2/2/22422)sin (cos ]cos [sin ππθθθθθd a a ⎰---=02/2423)1cos 2](cos cos 1[2πθθθθd a⎰--+--=2/06423)cos 2cos cos 31(2πθθθθd a332]224635222434321[2a a ππ=⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅-+--=注2 这里利用对称性（不是轮换对称性），立即可知前两项的积分为0.值得注意的是第二型的曲线积分与第一型的曲线积分对称性的应用是不同的.例如第一项积分，曲线关于Ozx平面对称，且方向相反，而被积函数关于y是偶函数（不是奇函数），则⎰-Ldx zy)(22⎰≥-=,2 2)( y Ldxzy⎰≤=-+,220)(yLdxzy上面等式中，两项恰好相差一个符号，负号的出现是由于方向相反产生的. [作业] 教材P203:1;2;3.。
§2 第二型曲线积分教学目的与要求：掌握第二型曲线积分的定义和计算公式.教学重点：第二型曲线积分的定义和计算.教学难点：第二型曲线积分的计算公式.教学过程一、第二型曲线积分的定义:（一）、力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功:一质点受变力F(x,y)的作用沿平面曲线C 运动,当质点从C 之一端点A 移动到另一端B 时,求力F(x,y)所做功W.大家知道,如果质点受常力 F 的作用沿直线运动, 位移为s.那末这个常力所做功为 W=||F||||s||cos θ, 其中||F||.||s||分别表示向量(矢量)的长度,θ为F 与S 的夹角.现在问题的难度是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢?还是用折线逼近曲线和局部一常代变的方法来解决它(微分分析法).为此,我们对有向曲线C 作分割},,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内插入n-1个分点,,.....,,121-n M M M 与A=n M B M =,0一起把曲线分成n 个有向小曲线段i i M M 1-(i=1,2,……,n),以Si ∆记为小曲线段i i M M 1-的弧长.}max{Si ∇=λ.设力F(x,y)在x 轴和y 轴方向上的投影分别为 P(x,y)与Q(x,y),即F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))=P(x,y)i+Q(x,y)j,由于),,().,(111i i i i i i y x M y x M --- 记11,---=∆-=∆i i i i i i y y y x x x 和ii m C 1-=(),(y x ∆∆)从而力F(x,y)在小曲线段i i M M 1-上所作的功i W ),(i F ηξ≈ii m C 1-= P(j i ηξ,)i x ∆+Q (j i ηξ,)i y ∆,其中(j i ηξ,)为小曲线段i i M M 1-上任一点,于是力F 沿C(AB)所作的功可近似i W =∑=ni i W 1ini i i i ni i i y s Q x S P ∆+∆≈∑∑==11),()),((ηη当0→λ时,右端积分和式的极限就是所求的功,这种类型和式极限计算上述形式的和式上极限,得),(dy dx W AB⋅=⎰⋂ , 即 W L⋅=⎰.（二）、稳流场通过曲线 ( 从一侧到另一侧 ) 的流量: 解释稳流场. ( 以磁场为例 ).设有流速场),(y x v ()),( , ),(y x Q y x P =. 求在单位时间内通过曲线AB 从左侧到右侧的流量E . 通过曲线AB 从左侧到右侧的总流量E 为⎰⎰-=ABABdx y x Q dy y x P dE ),(),(.（三）、第二型曲线积分的定义: 设P,Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线C 上的函数,对任一分割T,它把C 分成n 个小弧段i i M M 1-,I=1,2,3,……,n;记),(i i i y x M ,i i M M 1-弧长为i s ∆,}max{Si ∇=λ,11,---=∆-=∆i i i i i i y y y x x x , I=1,2,3,……,n.又设 (j i ηξ,)∈ i i M M 1-,若极限lim ∑=n i i i p 1. ),(ηξxi ∆+lim ∑=ni i i Q 1. ),(ηξyi∆存在且与分割T 与界点(j i ηξ,)的取法无关,则称此极限为函数P,Q 有线段C 上的第二类曲线积分,记为⎰cQdy Pds + 或⎰ABQdy Pds +,也可以记为⎰⎰+ccQdy Pdx 或 ⎰AB Qdy Pds AB⎰+.注:(1)若记f(x,y)= (P(x,y),Q(x,y)) ,ds=(dx,dy)则上述记号可写成向量形式:⎰cfds(2)倘若C 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,P,Q,R 为定义在C 上的函数,则可按上述办法定义沿有向曲线C 的第二类曲线积分,并记为dz z y x R dy z y x Q dx z y x P fds cc),,(),,(),,(++=⎰⎰.按这一定义 , 有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为⎰+=ABQdy Pdx W . 流速场),(y x ()),( , ),(y x Q y x P =在单位时间内通过曲线AB 从左侧到右侧的总流量E 为⎰-=ABQdx Pdy E .第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对二型曲线积分有⎰⎰-=BAAB,因此, 定积分是第二型曲线积分中当曲线为X 轴上的线段时的特例.可类似地考虑空间力场()),,( , ),,( , ),,(),,(z y x R z y x Q z y x P z y x =沿空间曲线AB 所作的功. 导出空间曲线上的第二型曲线积分⎰++ABdz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(.（四）、第二型曲线积分的性质:第二型曲线积分可概括地理解为向量值函数的积累问题 . 与我们以前讨论过的积分相比, 除多了一层方向性的考虑外, 其余与以前的积累问题是一样的, 还是用Riemma 的思想建立的积分 . 因此 , 第二型曲线积分具有(R )积分的共性 , 如线性、关于函数或积分曲线的可加性 . 但第二型曲线积分一般不具有关于函数的单调性 , 这是由于一方面向量值函数不能比较大小, 另一方面向量值函数在小弧段上的积分还与弧段方向与向量方向之间的夹角有关.(1)线性性 设C 为有向曲线,⎰cfds ,⎰cgds 存在, 则,,R ∈∀βα则ds f f c)(⎰+βα存在,且⎰⎰⎰+=+cccgds fds ds f f βαβα)(.(2)可加性:设⎰cfds 存在,,21C C C ⋃=⎰⎰⇒21,c c fds fds 存在,且⎰⎰⎰+=21c c cfds fds fds .注: (1)平面上光滑闭曲线如何规定方向呢?此时无所谓”起点””终点”,若为封闭有向线段,则记为⎰cfds(2) 设C -是C 的反向曲线(即C -和C 方向相反),则⎰cfds =-⎰cfds即是说第二类曲线积分与曲线的方向有关(注意第一类曲线积分表达示是函数f 与弧长的乘机,它与曲线C 的方向无关),这是两种类型曲线积分的一个重要差别.二、第二型曲线积分的计算:曲线的自然方向: 设曲线L 由参数式给出. 称参数增大时曲线相应的方向为自然方向.设L 为光滑或按段光滑曲线 , L : βαψϕ≤≤==t t y t x, )( , )(.A ())( , )(αψαϕ,B ())( , )(βψβϕ; 函数),(y x P 和),(y x Q 在L 上连续, 则沿L 的自然方向( 即从点A 到点B 的方向)有()()[]⎰⎰'+'=+Ldt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P βαψψϕϕψϕ)()( , )()()( , )(),(),(.(证略)注：起点参数值作下限，终点参数值作上限．例1 计算()⎰-+Ldyx y xydx ,其中L 分别沿以下路线从点()1,1A 到点()3,2B ,ⅰ）直线AB ；ⅱ）抛物线ACB ：()1122+-=x y ；ⅲ）三角形周界ADBA ．解ⅰ）直线AB :[]⎩⎨⎧∈+=+=1,0,21,1t t y t x ，故()⎰-+ABdyx y xydx =()()[]dtt t t ⎰+++12211=625．ⅱ）抛物线ACB ：()1122+-=x y ，21≤≤x ，()⎰-+ACBdyx y xydx =()[]()[](){}dx x x x x x ⎰--+-++-12214112112=310．ⅲ）三角形周界ADBA ：()⎰-+ADBA dy x y xydx =()⎰-+ADdy x y xydx +()⎰-+DB dy x y xydx +()⎰-+Badyx y xydx=⎰21xdx+()⎰-312dy y +()()[]dtt t t ⎰+++012211=625023-++=38-．注：这里沿不同路径积分值不同，而沿封闭曲线的值不为0．例2计算⎰+L ydx xdy ，这里L ：ⅰ）沿抛物线从O 到B ：I ） 沿抛物线22y x =；ⅱ）沿直线段O B ：x y 2=；ⅲ）沿封闭曲线OABO ．解 ⅰ）沿抛物线从O 到B ：⎰+Lydxxdy =()[]dxx x x ⎰+1224=2．ⅱ）沿直线段O B ：x y 2=，⎰+L ydx xdy =()dxx x ⎰+122=2．注：这里不同路径积分值相同ⅲ）沿封闭曲线OABO ：⎰+Lydx xdy =⎰+OAydx xdy +⎰+AB ydx xdy +⎰+BOydxxdy=()0220=-++．注：由于这里不同路径积分值相同，造成沿封闭曲线的值为0。
