江西省新余一中2015届高中毕业年级第二次模拟考试数学(理科)试题及答案

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数学（理）试卷 2014年10月

第I卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合2{|}Mxxx，4{|,}2xNyyxM，则MN ( B )

A、{x｜0＜x＜12} B、{x｜12＜x＜1} C、{x｜0＜x＜1} D、{x｜1＜x＜2}

2. 下列有关命题的说法正确的是 ( C )．

A．命题“若21x，则1x”的否命题为：“若21x，则1x”．

B．“1x” 是“2560xx”的必要不充分条件.

C．命题“若xy，则sinsinxy”的逆否命题为真命题.

D．命题“xR使得210xx”的否定是：“xR均有210xx”．

3．函数3()24xfxx的零点所在区间为（ C ）

A、(1,0) B、(0,1) C、(1,2) D、(2,3)

4. 已知各项均为正数的等比数列}{na中，13213a,a,2a2成等差数列，则1081311aaaa（ A ）

A. 27 B.3 C. 1或3 D.1或27

5.函数)(xf的定义域为]1,0(，则函数)2(lg2xxf的定义域为( D )

A．]4,5[ B．)2,5[ C． ]4,1[]2,5[ D．]4,1()2,5[

6.设2log3a，4log6b，8log9c，则下列关系中正确的是( A )

A．abc B．acb C．cba D．cab

7. 已知33)6cos(x,则)3cos(cosxx（ C ）

A．332 B．332 C．1 D．1 [Z.

8. 已知函数()yfx对任意的(,)22x满足'()cos()sin0fxxfxx（其中'()fx第 2 页 共 9 页 是函数()fx的导函数），则下列不等式成立的是( D )

A．2()()34ff B．2()()34ff

C．(0)2()4ff D． (0)2()3ff

9. 若函数)(log)(3axxxfa)1,0(aa在区间21(，0)内单调递增，则a取值范围是( B )

A.[41，1) B.[43，1) C.49(，) D.(1，49)

10. 如图，长方形ABCD的长2ADx，宽(1)ABxx，线段MN的长度为1，端点NM,在长方形ABCD的四边上滑动，当NM,沿长方形的四边滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G的周长与G围成的面积数值的差为y，则函数()yfx的图象大致为（ C ）

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分.

11. 已知数列na是等差数列，且1472aaa，则35tan()aa的值为 .

12. 若函数fx在R上可导，321fxxxf，则20fxdx .

13. 已知52)tan(， 41)4tan(，那么)4tan(的值是 _ .

14. 已知映射:fAB，其中[0,1]A，BR，对应法则是121:log(2)()3xfxx，对于实数kB，在集合A中不存在原象，则k的取值范围是 .

第 3 页 共 9 页 15. 已知函数3,83103130|,log|)(23xxxxxxf，若存在实数dcba,,,，满足)()()()(dfcfbfaf，其中0abcd，则abcd的取值范围是 .

三、解答题：本大题共六个大题，满分75分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.（本小题12分）

已知集合)0}(221|{},510|{axRxBaxRxA.

（1）BA,能否相等？若能，求出实数a的值；若不能，试说明理由；

（2）若命题Axp:，命题Bxq:，且p是q充分不必要条件，求实数a的取值范围.

解析：（1）由题意可得，当且仅当0a时，BA,相等，所以2a； 第 4 页 共 9 页 （2）8a或2a.

17. （本小题12分）

（1）已知1411)cos(,71cos，且)2,0(,，求cos的值；

（2）已知为第二象限角，且42sin，求1)2sin(2cos)4cos(的值.

18．（本小题12分）

设数列}{na是等差数列，数列}{nb的前n项和nS满足)1(23nnbS且2512,baba

（Ⅰ）求数列}{na和}{nb的通项公式：

（Ⅱ）设nT为数列}{nS的前n项和，求nT． 第 5 页 共 9 页 （Ⅱ）nnb3，所以数列}{nb其前n项和)13(23)1(23nnnbS，

)963(41)333(23221nnTnnn. （12分）

19．（本小题12分）

已知函数()sinfxaxxb（,ab均为正常数），设函数()fx在3x处有极值.

（1）若对任意的[0,]2x，不等式()sincosfxxx总成立，求实数b的取值范围；

（2）若函数()fx在区间121(,)33mm上单调递增，求实数m的取值范围.

解析：∵bxxaxfsin)(，∴1cos)('xaxf，由题意，得0)3('f，解得2a. 2分

（1）不等式xxxfcossin)(等价于sixxxbcos对于一切]2,0[x恒成立. 4分

记xxxxgsincos)(，则)4sin(21cossin1)('xxxxg 5分

∵]2,0[x，∴]43,4[4x，∴2)4sin(21x，

∴0)('xg，从而)(xg在]2,0[上是减函数.

∴1)0()(maxgxg，于是1b. 6分 第 6 页 共 9 页 （2）1cos2)('xxf，由21)('xf，得，即Zkkxk,2323. 7分

∵函数()fx在区间)312,31(mm上单调递增，

∴]23,23[)312,31(kkmm，

则有Zkmmkmkm,312312331223319分，即0,136mZkkmk，∴0k时，10m

12分

20. （本小题13分）

如图，分别过椭圆E：)0(12222babyax左右焦点1F、2F的动直线21,ll相交于P点，与椭圆E分别交于DCBA、与、不同四点，直线ODOCOBOA、、、的斜率1k、2k、3k、4k满足4321kkkk．

已知当xl与1轴重合时，32||AB，334||CD．

（1）求椭圆E的方程；

（2）是否存在定点NM、，使得||||PNPM为定值．若存在，求出NM、点坐标并求出此定值，若不存在，说明理由．

解：（1）当1l与x轴重合时，04321kkkk，即43kk， „„„2分

∴ 2l垂直于x轴，得322||aAB，3342||2abCD，（4分）

得3a，2b， ∴ 椭圆E的方程为12322yx．„„„5分

（2）焦点1F、2F坐标分别为(—1，0)、(1，0)．

当直线1l或2l斜率不存在时，P点坐标为(—1，0)或(1，0)．„„„6分

当直线1l、2l斜率存在时，设斜率分别为1m，2m，设),(11yxA，),(22yxB， AOPDCBxy1l2l1F2F（第20题） 第 7 页 共 9 页 由)1(123122xmyyx得：0636)32(2121221mxmxm，

∴ 212121326mmxx，21223623mxxm．（7分）

)2()11(2121122111221121xxxxmxxxxmxyxykk24)222(21121211mmmmm，

同理43kk24222mm．„„„9分

∵4321kkkk， ∴2424222211mmmm，即0))(2(1221mmmm．

由题意知21mm， ∴0221mm．

设),(yxP，则0211xyxy，即)1(1222xxy，„„„11分

由当直线1l或2l斜率不存在时，P点坐标为(—1，0)或(1，0)也满足此方程，

∴),(yxP点椭圆1222xy上，„„„12分

21. （本小题14分）

已知函数()lnfxxax在1x处的切线l与直线20xy垂直，函数21()()2gxfxxbx．

（Ⅰ）求实数a的值；

（Ⅱ）若函数()gx存在单调递减区间，求实数b的取值范围；

（Ⅲ）设1212,()xxxx是函数()gx的两个极值点，若72b，求12()()gxgx的最小值．

解：（Ⅰ）∵()lnfxxax，∴()1afxx.-----------------------1分

∵l与直线20xy垂直，∴112xkya，∴1a.-----------------3分 第 8 页 共 9 页 第 9 页 共 9 页 22222212()422444tthttttt≥0--------------------------12分

()ht在5(,)2上为增函数.当52t时,15()2ln2.8ht 故所求最小值为152ln28------------14分