图形认识初步-中考复习知识点及典型例题(含答案解析)

第七讲 图形初步认识专项一 点、线、面、角知识清单1. 两个基本事实：（1）两点确定一条直线；（2）两点之间，线段最短.2. 线段的中点：如图1，B 是线段AC 的中点，则AB=BC= .图1 图23. 线段的和与差：如图2，在线段AC 上取一点B ，则AB+BC= ；AB=AC- ；BC= .4. 角的定义：具有 的两条射线组成的几何图形叫做角，角也可以看作是一条射线绕其端点旋转而形成的几何图形.5. 1周角= º，1平角= º，1直角= º；1º= ′，1′= ″.6. 如果两个角之和等于 ，那么这两个角互为余角（互余）；如果两个角之和等于 ，那么这两个角互为补角（互补）.同角（或等角）的余角 ；同角（或等角）的补角 . 考点例析例1 互不重合的A ，B ，C 三点在同一直线上，已知AC =2a +1，BC =a +4，AB =3a ，这三点的位置关系是（ ） A. 点A 在B ，C 两点之间 B. 点B 在A ，C 两点之间 C. 点C 在A ，B 两点之间D. 无法确定分析：分三种情况讨论：①点A 在B ，C 之间；②点B 在A ，C 之间；③点C 在A ，B 之间.再根据a>0判断. 例2 已知∠α=25°30′，则它的余角为（ ） A. 25°30′B. 64°30′C. 74°30′D. 154°30′分析：根据“互为余角的两个角之和为90 º”直接计算即可. 跟踪训练1. 如图，已知四条线段a ，b ，c ，d 中的一条与挡板另一侧的线段m 在同一直线上，请借助直尺判断该线段是（ ） A. aB. bC. cD. d① ②第1题图 第2题图第4题图2. 小光准备从A 地去往B 地，打开导航、显示两地距离为37.7 km ，但导航提供的三条可选路线长分别为45 km ，50 km ，51 km （如图）.能解释这一现象的数学知识是（ ） A. 两点之间，线段最短B. 垂线段最短C. 三角形两边之和大于第三边D. 两点确定一条直线3. 已知线段AB =4，在直线AB 上作线段BC ，使得BC =2.若D 是线段AC 的中点，则线段AD 的长为（ ） A. 1B. 3C. 1或3D. 2或34.七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，如图①所ABC ABC示.19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”），图②是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中抬起的“腿”（即阴影部分）的面积为（）A. 3B. 72C. 2D.525.74°19′30″=°.6.若∠A=34°，则∠A的补角的度数是.专项二相交线知识清单1. 对顶角定义：两角有一个公共顶点，且两角的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角.举例：如图，∠1与∠3，∠2与∠4，∠5与，∠6与∠8.性质：对顶角.2. 三线八角（如图）同位角：∠1与∠5，∠2与，∠3与∠7，∠4与.内错角：∠2与∠8，∠3与.同旁内角：∠2与∠5，∠3与.3. 垂线定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，它们的交点叫做.性质：①在同一平面内，过一点有且只有直线与已知直线垂直；②垂线段最短.考点例析例 1 如图1，AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，且OC恰好平分∠EOB，则∠AOD的度数是.图1 图2分析：根据角平分线的定义得出∠AOE=∠COE，∠COE=∠BOC，利用∠AOE+∠COE+∠BOC=180°求得∠BOC的度数，再由对顶角相等求得∠AOD的度数.例2 如图2，设P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为Q，T是直线l上的一个动点，连接PT，则（）A. PT≥2PQB. PT≤2PQC. PT≥PQD. PT≤PQ分析：根据垂线段最短即可得到结论.跟踪训练1. 如图，与∠1是内错角的是（）A. ∠2B. ∠3C. ∠4D. ∠5第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2. 如图，直线a ，b 相交于点O ，∠1=110°，则∠2的度数是（ ） A. 70°B. 90°C. 110°D. 130°3. 如图，下列两个角是同旁内角的是（ ） A. ∠1与∠2B. ∠1与∠3C. ∠1与∠4D. ∠2与∠44. 如图，点O 在直线AB 上，OC ⊥OD .若∠AOC =120°，则∠BOD 的度数为（ ） A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°专项三 平行线知识清单1. 定义：在同一平面内， 的两条直线叫做平行线．2. 公理：经过直线外一点，有且只有 直线与这条直线平行. 推论：如果a ∥b ，c ∥a ，那么 .3. 性质与判定：考点例析例1 如图1，直线l 1∥l 2，直线l 3交l 1于点A ，交l 2于点B ，过点B 的直线l 4交l 1于点C .若∠3=50°，∠1+∠2+∠3=240°，则∠4的度数是（ ） A. 80°B. 70°C. 60°D. 50°图1 图2分析：根据“两直线平行，同旁内角互补”得∠1+∠3=180°，从而得到∠2的度数，再求得∠3+∠2的度数.利用“两直线平行，同旁内角互补”得到∠4对顶角的度数，从而得到∠4的度数.例2 （鞍山）如图2，直线a ∥b ，将一个含30°角的三角尺按图中所示的位置放置.若∠1=24°，则∠2的度数为（ ） A. 120°B. 136°C. 144°D. 156°分析：过60°角的顶点作c ∥a ，如图所示.根据平行线的性质，先求出∠4的度数，进而求得∠3的度数.再由“两直线平行，同旁内角互补”求得∠2的度数.归纳：将三角尺放在平行线中，三角尺中各内角的度数是隐含条件，结合平行线的性质，把所求角度转化为已知角同旁内角__________ 两直线平行 判定性质 内错角____________ 两直线平行 判定 性质 同位角____________ 两直线平行 判定 性质度或隐含角度的和或差.跟踪训练1. 某同学的作业如下框：如图，已知直线l1，l2，l3，l4.若∠1=∠2，则∠3=∠4.请完成下面的说理过程.解：已知∠1=∠2，根据（内错角相等，两直线平行），得l1∥l2.再根据（※），得∠3=∠4.第1题图其中※处填的依据是（）A. 两直线平行，内错角相等B. 内错角相等，两直线平行C. 两直线平行，同位角相等D. 两直线平行，同旁内角互补2. 如图，AM∥BN，∠ACB=90°，∠MAC=35°，则∠CBN的度数是（）A. 35°B. 45°C. 55°D. 65°第2题图第3题图第4题图3. 如图，AB∥CD，∠1=45°，∠2=35°，则∠3的度数为（）A. 55°B. 75°C. 80°D. 105°4. 一块含30°角的直角三角尺和直尺如图放置.若∠1=146°33′，则∠2的度数为（）A. 64°27′B. 63°27′C. 64°33′D. 63°33′5. 将一副三角尺如图所示摆放，则∥，理由是.第5题图6. 如图，AB∥CD，∠B=∠D，直线EF与AD，BC的延长线分别交于点E，F，求证：∠DEF=∠F.第6题图专项四线段垂直平分线与角平分线知识清单1. 线段的垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的相等.判定：到线段两端点距离相等的点在该线段的上.2. 角平分线定义：从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个的角，这条射线叫做这个角的平分线.性质：角平分线上的点到角两边的距离.判定：角内部到角两边距离相等的点在上.考点例析例1如图1，在△ABC中，AC=4，∠A=60°，∠B=45°，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接CD，则AB的长为.图1 图2分析：根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC，进而可得∠DCB=∠B.利用三角形的外角性质得到∠ADC=90°.由含30°角的直角三角形的性质求出AD，再利用勾股定理求出DC，进而求得AB.归纳：有线段垂直平分线就有等腰三角形，这样不仅有两组相等线段，还有两组相等的角，一组垂直关系.例2 如图2，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（）A. 8 B. 7.5 C. 15 D. 无法确定分析：过点D作DE⊥BC于点E，如图2所示.根据角平分线的性质得到DE=DA=3，然后利用三角形的面积公式计算.跟踪训练1.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，连接AE.若AE=4，EC=2，则BC的长是（）A. 2B. 4C. 6D. 8第1题图第2题图2.如图，DE是△ABC的边BC的垂直平分线，分别交边AB，BC于点D，E，且AB=9，AC=6，则△ACD的周长是（）A. 10.5B. 12C. 15D. 183.如图，在□ABCD中，AD=4，对角线BD=8，分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线EF，交对角线BD于点G，连接GA，GA恰好垂直于边AD，则GA的长是（）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5第3题图第4题图第5题图第6题图4. 如图，AD是△ABC的角平分线.若∠B=90°，BD D到AC的距离是.5. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E.若BC=4，DE=1.6，则BD的长为.6.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E.若CD=3，BD=5，则BE的长为.专项五命题、定理与反证法知识清单1. 命题：判断的语句，叫做命题；命题由和两部分组成，可写成“”的形式.命题分为真命题和命题.判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可.2. 定理：经过推理论证，可以作为推理依据的命题叫做定理.3. 互逆命题和互逆定理：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的，而第一个命题的结论是第二个命题的，那么这两个命题叫做互逆命题.如果一个定理的逆命题能被证明是命题，那么就叫它是原定理的逆定理.4. 反证法：在证明一个命题时，人们有时先假设命题，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件，或者与定义、基本事实、定理等，从而得出假设命题不成立，即所求证的命题正确. 这种证明方法叫做反证法.考点例析例1 下列命题是真命题的是（）A. 正六边形的外角和大于正五边形的外角和B. 正六边形的每一个内角为120°C. 有一个角是60°的三角形是等边三角形D. 对角线相等的四边形是矩形分析：由多边形的外角和都是360º对选项A作出判断；根据多边形的内角和公式及正多边形各内角度数相等对选项B作出判断；利用等边三角形的判定、矩形的判定对选项C，D作出判断.例2 能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（）A. -1B. x+1C. x=D. x分析：当x2是有理数时，就是反例，所以应求出各选项中x2的值，再判断.归纳：要判断一个命题是真命题，必须经过推理论证；要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可.跟踪训练1.下列命题中，假命题是（）A. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半B. 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合C. 若AB=BC，则B是线段AC的中点D. 三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心2. 下列命题中，假命题是（）A. 两组对边平行的四边形是平行四边形B. 三个角是直角的四边形是矩形C. 四条边相等的四边形是菱形D. 有一个角是直角的平行四边形是正方形3.下列命题：的算术平方根是2；②菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；③天气预报明天的降水概率是95%，则明天一定会下雨；④若一个多边形的各内角都等于108°，则它是正五边形.其中真命题的个数是（）A. 0 B. 1 C. 2 D. 34. 用反证法证明“在△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”时，应先假设（）A. ∠A=60°B. ∠A＜60°C. ∠A≠60°D. ∠A≤60°5.下列命题中，真命题的个数为.①所有的正方形都相似；②所有的菱形都相似；③边长相等的两个菱形相似；④对角线相等的两个矩形相似.6. 写出命题“全等三角形对应边相等”的逆命题：.专项六尺规作图知识清单1. 在几何中，把只能使用和这两种工具作图的方法称为尺规作图．2. 五种基本尺规作图：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；③作角的平分线；④作线段的垂直平分线；⑤过一个点（这个点在直线上或直线外）作已知直线的垂线.考点例析例1 如图1，已知直线l1∥l2，直线l3分别与l1，l2交于点A，B.请用尺规作图法，在线段AB上求作一点P，使点P到l1，l2的距离相等.（保留作图痕迹，不写作法）图1 图2分析：作线段AB的垂直平分线得到线段AB的中点，则该中点即为所求作的点P.解：例2 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.已知：如图2，∠O及其一边上的两点A，B，求作：Rt△ABC，使∠C=90°，且点C在∠O内部，∠BAC=∠O.分析：先在∠O的内部作∠DAB=∠O，再过点B作AD的垂线，垂足为C.解：跟踪训练1. 如图，已知直线AB和AB上一点C，过点C作直线AB的垂线，步骤如下：第一步：以点C为圆心，以任意长为半径作弧，交直线AB于点D，E；第二步：分别以点D，E为圆心，以a为半径画弧，两弧交于点F；第三步：作直线CF，直线CF即为所求.下列关于a的说法正确的是（）A. a≥12DE的长 B. a≤12DE的长 C. a>12DE的长 D. a<12DE的长第1题图第2题图2. 如图，在△ABC中，∠BAC=70°，∠C=40°，分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB上一点，且AC=AD.（1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，连接DE，求证：DE⊥AB.①②第3题图第4题图4.已知△ABC和△CDE都为正三角形，点B，C，D在同一直线上，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹.（1）如图①，当BC=CD时，作△ABC的中线BF；（2）如图②，当BC≠CD时，作△ABC的中线BG.专项七平行线中的转化思想知识清单转化思想就是把陌生的问题转化为熟悉的问题，把复杂的问题转化为简单的问题.利用转化思想可以解决平行线中的“折线问题”，转化方法为过折点作平行线，把折角转化为两角的和或者差，图形转化为两条直线平行，利用平行线的性质解答.考点例析例如图，AB∥CD，EF⊥CD于点F.若∠BEF=150°，则∠ABE的度数为（）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°分析：过点E作EG∥AB，如图所示.由垂直的定义，得∠EFD=90°，利用平行线的性质得∠GEF的度数，结合∠BEF=150°得到∠BEG的度数，再根据平行线的性质得∠ABE的度数.跟踪训练1. 如图，将一块含有60°角的直角三角尺放置在两条平行线上.若∠1=45°，则∠2的度数为（）A. 15°B. 25°C. 35°D. 45°第1题图第2题图第3题图第4题图2. 一把直尺与一块直角三角尺按图中方式摆放.若∠1=47°，则∠2的度数为（）A. 40°B. 43°C. 45°D. 47°3. 一副三角尺如图所示放置，两三角尺的斜边互相平行，每个三角尺的直角顶点都在另一个三角尺的斜边上，则图中∠α的度数为（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 85°4. 如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上.若∠1=19°，则∠2的度数为（）A. 41°B. 51°C. 42°D. 49°参考答案专项一点、线、面、角例1 A 例2 B1. A2. A3. C4. A5. 74.3256. 146°专项二相交线例1 60 例2 C1. C2. C3. B4. A专项三平行线例1 B 例2 C1. C2. C3. C4. B5. BC ED 内错角相等，两直线平行6. 证明：因为AB∥CD，所以∠DCF=∠B.因为∠B=∠D，所以∠DCF=∠D.所以AD∥BC.所以∠DEF=∠F.专项四线段垂直平分线与角平分线例1 2+例2 B1. C2. C3. B4.5. 2.46. 4专项五命题、定理与反证法例1 B 例2 C1. C2. D3. B4. D5. 16. 三组对应边相等的两个三角形全等专项六尺规作图例1 如图1，点P即为所求作．图1 图2例2 如图2，Rt△ABC即为所求作．1. C2. A3. （1）解：如图，AE即为所求作.①②第3题图第4题图（2）证明：因为AE平分∠BAC，所以∠CAE=∠DAE.在△ACE和△ADE中，AC=AD，∠CAE=∠DAE，AE=AE，所以△ACE≌△ADE（SAS）. 所以∠ADE=∠C=90°.所以DE⊥AB.4. 解：（1）如图①，线段BF即为所求作.（2）如图②，线段BG即为所求作.专项七平行线中的转化思想例 D1. A2. B3. C4. A。

第四章 图形的初步认识4.1生活中的立体图形球体点：点动成线 线：线动成面 面：面动成体直线：两点确定一条直 平面图形 线段：两点之间线段最 射线：线段向一方无限 2. 立体图形的面是平的面，像这样的立体图形，又称为多面体。

欧拉公式：顶点 +面数-棱数 =2（V+F-E ）4.2 画立体图形 三视图：从正面、上面、侧面（左面或右面）三个不同的方向看一个物体，然后描绘所看 到的图即 视图 这样就把一个物体转化为平面图形。

从正面看到的图形称为正视图 从上面看到的图形称为俯视图 从侧面看到的图形称为侧视图4.3 立体图形的表面展开图多面体是由平面图形围成的立体图形，设想沿着多面体的一些棱将他剪开，可以把多面体 的表面展开成一个平面图形。

圆柱的侧面展开 ----- 长方形 圆锥的侧面展开 ----- 扇形4.4 平面图形 在多边形中，三角形是最基本的图形。

每一个多边形都可以分割成 N-2 个三角形（ N 是 多边形的边数）4.5 最基本的图形 --- 点和线一1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短1. 基本几何图形立方体的展开图柱体棱柱 圆柱 立体图形 锥体圆锥 棱锥线短延伸就得到一条射3. 把线段向一方无限延伸所形成的图形叫做射线4. 把线段向两方无限延伸所形成的图形叫做直线5. 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。

4.6 角1. 角是由两条有公共端点的射线组成的图形。

角平分线：从一个角顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线2 定义：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。

射线的端点叫做角的顶点。

起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。

一周角=二平角=四直角一周角=360° —平角=180°1° =60' 1' =60〃3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 定理三角形两边的和大于第三边6 推论三角形两边的差小于第三边7 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°8 推论1 直角三角形的两个锐角互余9 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和10 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角11.角的大小比较：度量法和叠合法二．两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，有这种关系的两个角，互为邻补角1. 两直线相交所成的四个角中，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角对顶角的性质：对顶角相等4.7 相交线1. 两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线相互垂直.它们的交点叫做垂足垂线的性质：⑴过一点有且只有一条直线与已知直线垂直•⑵连接直线外一点与直线上各点的所在线段中，垂线段最短.2. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做—点至U直线的距离线段AB叫做点A到直线BC的垂线段它的长度就是点A到直线BC的距离3. 两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中，⑴如果两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做同位角：⑵如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做内错角：⑶如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做_同旁内角4.8 平行线1. 在同一平面内，不相交的两条直线互相平行.同一平面内的两条直线的位置关系只有相交与平行两种.2. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两直线互相平行平行线的判定：⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简单说成：同位角相等两直线平行；⑵两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等两直线平行；⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角互补两直线平行.3. 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线_ 平行.4. 平行线的性质：⑴两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行同位角相等•⑵两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等•简单说成：两直线平行•内错角相等⑶两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补•简单说成：两直线平行. 同旁内角互补5. 判断一件事情的语句，叫做命题.命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项命题常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.如果题设成立，那么结论一定成立.像这样的命题叫做真命题如果题设成立时，不能保证结论一定成立，像这样的命题叫做假命题.定理都是真命题.6. 把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新图形，图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移.图形平移的方向不一定是水平的.平移的性质：⑴把一个图形整体平移得到的新图形与原图形的形状与大小完全相同.⑵新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点•连接各组对应点的线段平行且相等熟悉以下各题:如图，BC AC,CB 8cm, AC 6cm, AB 10cm,那么点A到BC的距离是_13.6cm，点B到AC的距离是8cm,点A、B两点的距离是10cm,点C到AB的距离是4.8cm..设a、b、c为平面上三条不同直线,a）若a//b,b//c，则a与c的位置关系是_平行;b）若a b,b c，则a与c的位置关系是平行；c）若a//b，b c，则a与c的位置关系是_垂直.如图，已知AB、CD、EF相交于点O , AB 丄CD , OG 平分/ AOE，/ FOD = 28 °，求/ COE、/ AOE、/ AOG 的度数.OD、OE分别是如图, AOC与BOC是邻补角,OD与OE的位置关系，并说明理由. ODLOE如图，AB// DE,试问/ B、/ E、/ BCE有什么关系.解：/ B+/ E =/ BCE过点C作CF // AB,贝U B __1__ （两直线平行，内错角相等又••• AB / DE , AB // CF,••• DE// CF （平行于同一直线的两条直线平行•••/ E =/ 2 （两直线平行，内错角相等））B+/E=/1+/2即/ B +/ E = / BCE .⑴如图，已知/ 1 = / 2 求证：a / b.⑵直线a//b，求证： 1 2 .⑴•.•/ 1 = / 2 ，又•.•/ 2 = / 3 （对顶角相等），•/ 1 = / 3「. a/ b （同位角相等两直又•••/ 2 = Z 3 （对顶角相等） 1 = Z 2.阅读理解并在括号内填注理由：如图，已知 AB // CD ，/ 1 = Z 2,试说明 EP // FQ . 证明：••• AB // CD ,•••/MEB =Z MFD （两直线平行，同位角相等又•••/ 1 = Z 2，•/ MEB -Z 1 = Z MFD -Z 2,/ MEP = Z MFQ. EP // FQ （同位角相等两直线平行 ） 已知 DB // FG // EC , A 是 FG 上一点，Z ABD = 60°, ⑴Z BAC 的大小；⑵Z PAG 的大小.第五章 相交线与平行线线平行） ⑵t a // b •••/ 1 = Z 3（两直线平行，同位角相等） Q AD BC, FE BCEF //AD 2 3 1 2.如图，已知 ABC , ADEFB ADB 90oQ DG // BA, 3 1BC 于D , E 为AB 上一点,EF BC 于F , DG // BA 交CA 于G.求证 12.Q AD BC, FE BCEFB ADB 90oEF // AD1 2.Q DG // BA, 3已知：如图Z 1 = Z 2,Z C=Z D ，问Z A 与Z F 相等吗？试说明理 由.Z A =Z F. tZ 1 = Z DGF （对顶角相等）又Z 1 = Z 2 DGF=Z 2「.DB/ EC （同位角相等，两直线平行） •••/ DBA=Z C（两直线平行，同位角相等）又tZ C =Z D •••/ DBA=Z D•DF// AC （内错角相等，两直线平行）.「Z A =Z F （两直线平行，,求:D E FAE C1. 两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为 ______________ .2. 两直线相交所成的四个角中，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为 _______________ . 对顶角的性质：______3. 两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线相互___________垂线的性质：⑴过一点 _____________ 一条直线与已知直线垂直.⑵连接直线外一点与直线上各点的所在线段中， _________________ .4. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做______________________________ .5. 两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中，⑴如果两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做:⑵如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做 ______________ :⑶如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做 ____________________ .6. 在同一平面内，不相交的两条直线互相_______________ .同一平面内的两条直线的位置关系只有_______ 与 ________ 两种.7. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线____________ .推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么 ___________________________ .8. 平行线的判定：⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：________________________________________ . ⑵两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：____________________________ .⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行•简单说成：9. 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线 ______ .10. 平行线的性质：⑴两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等•简单说成： _________.⑵两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：•⑶两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补•简单说成:11. _______________________________ 判断一件事情的语句，叫做 ___ •命题由 和 两部分组成•题设是已知事项，结论是 ________________________ •命题常可以写成 “如果……那么……” 的 形式，这时“如果”后接的部分是 _________ ,“那么”后接的部分是 _________ •如果题设成立，那么结论一定成立 •像这样的命题叫做 ______________ •如果题设成立时，不能 保证结论一定成立，像这样的命题叫做 _______________ •定理都是真命题• 12・把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新图形，图形的这种移动，叫做平移变换，简称 ______ •图形平移的方向不一定是水平的•平移的性质：⑴把一个图形整体平移得到的新图形与原图形的形状与大小完全 _____ ,⑵新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点 •连接各组对应点的线段 ___________________ • 熟悉以下各题：求/ COE 、/ AOE 、/ AOG 的度数.如图， AOC 与 BOC 是邻补角，OD 、OE 分别是 AOC 与 BOC 的平分线，试判断OD 与OE 的位置关系，并说明理由.13. 如图，BC AC, CB 8cm, AC 6cm, AB 10cm,那么点A 到BC 的距离是 ，点B 到AC 的距离是 14. 15. B 两点的距离是，点C 至U AB 的距离是设a 、b 、c 为平面上三条不同直线,a) b) c)若a//b,b//c ，则a 与c 的位置关系是 若a b,b c ,则a 与c 的位置关系是 若a//b , b c ,贝U a 与c 的位置关系是如图，已知 AB 、CD 、EF 相交于点 O , AB 丄CD , OG 平分/AOE ,/ FOD = 28°,16. A、BB17. 如图，AB // DE,试问/ B、/ E、/ BCE有什么关系.解：/ B+Z E =Z BCE过点C作CF // AB,则B _______ (又••• AB// DE，AB // CF,二____________ (「•Z E =Z ____ (•••Z B +Z E = Z 1 + Z 2 即Z B +Z E = Z BCE .18. ⑴如图，已知Z 1 = Z 2 求证：a // b.⑵直线a//b，求证：12 .19•阅读理解并在括号内填注理由：如图，已知AB// CD , Z 1 = Z 2,试说明EP // FQ. 证明：••• AB // CD ,•Z MEB =Z MFD ( )又T Z 1 = Z 2,•Z MEB -Z 1 = Z MFD -Z 2,即Z MEP =Z ________• EP// ____ .(MA------ Ba/20.已知DB // FG // EC, A 是FG 上一点, Z ABD = 60°, Z ACE = 36 ,AP 平分Z BAC ,求：⑴Z BAC的大小；⑵Z FAG的大小.交CA于G.求证1 2.22.已知：如图/ 仁/2，/ C=Z D,问/ A与/ F相等吗？试说明理由.21.如图，已知ABC, AD BC于D, E为AB上一点，EF BC 于F, DG // BA11。

中考数学复习----《图形初步认识之几何体》知识点总结与练习题（含答案解析）知识点总结1.几何体的三视图：①正视图：从正面看几何体得到的平面图形。

②侧视图：从左面看几何体得到的平面图形。

③俯视图：从上面看几何体得到的平面图形。

在三视图中，看不到但存在的线用虚线表示。

2.几何体的展开图：①常见几何体的展开图：②正方体的十一种展开图：3.正方体张开图找相对面：在同一直线上若存在三个或四个面，则中间间隔一个面的两个面是相对面；“Z”字形的两端的面试相对面。

练习题1、（2022•阜新）在如图所示的几何体中，俯视图和左视图相同的是（）A．B．C．D．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：A．俯视图是带圆心的圆，左视图是等腰三角形，故本选项不合题意；B．俯视图是圆，左视图是矩形，故本选项不合题意；C．俯视图与左视图都是正方形，故本选项符合题意；D．俯视图是三角形，左视图是矩形，故本选项不合题意．故选：C．2、（2022•襄阳）襄阳牛杂面因襄阳籍航天员聂海胜的一句“最想吃的还是我们襄阳的牛杂面”火爆出圈，引发了全国人民的聚焦和关注．襄阳某品牌牛杂面的包装盒及对应的立体图形如图所示，则该立体图形的主视图为（）A．B．C．D．【分析】根据主视图的意义，从正面看该立体图形所得到的图形进行判断即可．【解答】解：从正面看，是一个矩形，故选：A．3、（2022•鄂尔多斯）下列几何体的三视图中没有矩形的是（）A．B．C．D．【分析】根据长方体、三棱柱、圆柱以及圆锥的三视图进行判断即可．【解答】解：A．该长方体的主视图、左视图、俯视图都是矩形，因此选项A不符合题意；B．该三棱柱的主视图、左视图是矩形，因此选项B不符合题意；C．该圆柱体的主视图、左视图是矩形，因此选项C不符合题意；D．该圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆、所以它的三视图没有矩形，因此选项D符合题意；故选：D．4、（2022•河池）下列几何体中，三视图的三个视图完全相同的几何体是（）A．B．C．D．【分析】根据三视图的概念做出判断即可．【解答】解：A，三棱柱的三视图既有三角形又有长方形，故不符合题意；B，圆柱的三视图既有圆又有长方形，故不符合题意；C，圆锥的三视图既有三角形又有圆，故不符合题意；D，球的三视图都是圆，故符合题意；故选：D．5、（2022•贵港）一个圆锥如图所示放置，对于它的三视图，下列说法正确的是（）A．主视图与俯视图相同B．主视图与左视图相同C．左视图与俯视图相同D．三个视图完全相同【分析】根据圆锥的三视图进行判定即可．【解答】解：圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，所以主视图与左视图相同，故选：B．6、（2022•攀枝花）如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从上面看第一列是一个小正方形，第二列是两个小正方形，第三列居上是一个小正方形．故选：C．7、（2022•内蒙古）由5个相同的小正方体组成的几何体，如图所示，该几何体的左视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解答】解：从左边看，底层是三个小正方形，上层的中间是一个小正方形，故选：D．8、（2022•黄石）由5个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，它的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形，故选：B．9、（2022•菏泽）沿正方体相邻的三条棱的中点截掉一部分，得到如图所示的几何体，则它的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据主视图的定义，画出这个几何体的主视图即可．【解答】解：这个几何体的主视图如下：故选：A．10、（2022•安顺）某几何体如图所示，它的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】根据俯视图的意义，从上面看该几何体所得到的图形结合选项进行判断即可．【解答】解：从上面看该几何体，是两个同心圆，故选：D．11、（2022•济南）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．球C．圆锥D．正四棱柱【分析】根据简单几何体的三视图的特征进行判断即可．【解答】解：该几何体的主视图、左视图都是长方形，而俯视图是圆形，因此这个几何体是圆柱，故选：A．12、（2022•牡丹江）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体三视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（）A．3B．4C．5D．6【分析】根据三视图画出小正方体搭成的几何体即可作出判断．【解答】解：由三视图画出小正方体搭成的几何体如下：则搭成这个几何体的小正方体的个数是4，故选：B．13、（2022•包头）几个大小相同，且棱长为1的小正方体所搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图的面积为（）A．3B．4C．6D．9【分析】根据俯视图中正方体的个数画出左视图即可得出结论．【解答】解：由俯视图可以得出几何体的左视图为：则这个几何体的左视图的面积为4，故选：B．14、（2022•黑龙江）如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是（）A．7B．8C．9D．10【分析】由左视图和俯视图可以猜想到主视图的可能情况，从而得到答案．【解答】解：从俯视图可看出前后有三层，从左视图可看出最后面有2层高，中间最高是2层，要是最多就都是2层，最前面的最高是1层，所以最多的为：2+2×2+1×2＝8．故选：B．15、（2022•扬州）如图是某一几何体的主视图、左视图、俯视图，该几何体是（）A．四棱柱B．四棱锥C．三棱柱D．三棱锥【分析】根据三视图即可判断该几何体．【解答】解：由于主视图与左视图是三角形，俯视图是正方形，故该几何体是四棱锥，故选：B．16、（2022•广州）如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是（）A．圆锥B．圆柱C．棱锥D．棱柱【分析】根据基本几何体的展开图判断即可．【解答】解：∵圆锥的侧面展开图是扇形，∴判断这个几何体是圆锥，故选：A．17、（2022•常州）下列图形中，为圆柱的侧面展开图的是（）A．B．C．D．【分析】从圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，可以得到圆柱的侧面展开图的是长方形．【解答】解：根据题意，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开展在一个平面上，得到其侧面展开图是对边平行且相等的四边形；又有母线垂直于上下底面，故可得是长方形．故选：D．18、（2022•临沂）如图所示的三棱柱的展开图不可能是（）A．B．C．D．【分析】根据题意和各个选项中的图形，可以判断哪个图形不可能是三棱柱的展开图．【解答】解：如图所示的三棱柱的展开图不可能是，故选：D．19、（2022•绥化）下列图形中，正方体展开图错误的是（）A．B．C．D．【分析】根据正方体的展开图得出结论即可．【解答】解：由展开图的知识可知，四个小正方形绝对不可能展开成田字形，故D选项都不符合题意．故选：D．20、（2022•宿迁）下列展开图中，是正方体展开图的是（）A．B．C．D．【分析】根据正方体的展开图得出结论即可．【解答】解：由展开图的知识可知，四个小正方形绝对不可能展开成田字形，故A选项和D选项都不符合题意；四个连成一排的小正方形可以围成前后左右四面，剩下的两面必须分在上下两面才能围成正方体，故B选项不符合题意，C选项符合题意，故选：C．21、（2022•广元）如图是某几何体的展开图，该几何体是（）A．长方体B．圆柱C．圆锥D．三棱柱【分析】根据由两个圆和一个长方形可以围成圆柱得出结论即可．【解答】解：由两个圆和一个长方形可以围成圆柱，故选：B．22、（2022•六盘水）如图，裁掉一个正方形后能折叠成正方体，但不能裁掉的是（）A．①B．②C．③D．④【分析】根据正方体的表面展开图，即可解答．【解答】解：如图，裁掉一个正方形后能折叠成正方体，但不能裁掉的是①，故选：A．23、（2022•淄博）经过折叠可以围成正方体，且在正方体侧面上的字恰好环绕组成一个四字成语的图形是（）A．B．C．D．【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，一线隔一个，“Z”字两端是对面，即可解答．【解答】解：A、因为图中两个空白面不是相对面，所以图中的四个字不能恰好环绕组成一个四字成语，故A不符合题意；B、因为图中两个空白面不是相对面，所以图中的四个字不能恰好环绕组成一个四字成语，故B不符合题意；C、因为金与题是相对面，榜与名是相对面，所以正方体侧面上的字恰好环绕组成一个四字成语金榜题名，故C符合题意；D、因为图中两个空白面不是相对面，所以图中的四个字不能恰好环绕组成一个四字成语，故D不符合题意；故选：C．24、（2022•徐州）如图，已知骰子相对两面的点数之和为7，下列图形为该骰子表面展开图的是（）A．B．C．D．【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，A、1点6点是相对面，3点与5点是相对面，2点与4点是相对面，所以不可以折成符合规则的骰子，故本选项不符合题意；B、4点与3点是相对面，2点与6点是相对面，1点与5点是相对面，所以不可以折成符合规则的骰子，故本选项不符合题意；C、3点与4点是相对面，2点与6点是相对面，1点与5点是相对面，所以不可以折成符合规则的骰子，故本选项不符合题意；D、2点与5点是相对面，3点与4点是相对面，1点与6点是相对面，所以可以折成符合规则的骰子，故本选项符合题意．故选：D．25、（2022•资阳）如图是正方体的表面展开图，每个面内都分别写有一个字，则与“创”字相对面上的字是（）A．文B．明C．城D．市【分析】先以“文”字为底，则左边的是“建”字，右边的是“明”字，上面的是“城”字，正面的是“市”字，后面的是“创”字，再判断与“创”字相对的字即可．【解答】解：将正方体的表面展开图还原成正方体，以“文”字为底，则左边的是“建”字，右边的是“明”字，上面的是“城”字，正面的是“市”字，后面的是“创”字，可知“创”字与“市”字相对．故选：D．26、（2022•恩施州）如图是一个正方体纸盒的展开图，将其折叠成一个正方体后，有“振”字一面的相对面上的字是（）A．“恩”B．“乡”C．“村”D．“兴”【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．【解答】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“振”与“兴”是对面，故选：D．27、（2022•遂宁）如图是正方体的一种展开图，那么在原正方体中与“我”字所在面相对的面上的汉字是（）A．大B．美C．遂D．宁【分析】根据图形，可以写出相对的字，本题得以解决．【解答】解：由图可知，我和美相对，爱和宁相对，大和遂相对，故选：B．。

专题15 图形的初步认识【专题目录】技巧1：活用判定两直线平行的六种方法技巧2：与相交线、平行线相关的四类角的计算技巧3：应用平行线的判定和性质的几种常用作辅助线的方法【题型】一、线段的中点【题型】二、角的计算【题型】三、与角平分线有关的相关计算【题型】四、余角与补角的相关计算【题型】五、对顶角相等进行相关计算【题型】六、邻补角相等求角的度数【题型】七、平行线的判定【题型】八、平行线的应用【题型】九、求平行线间的距离【考纲要求】1、了解直线、线段、射线的相关性质以及线段中点和两点间距离的意义．2、理解角的有关概念，熟练进行角的运算．3、掌握相交线与平行线的定义，熟练运用垂线的性质，平行线的性质和判定.【考点总结】一、直线、射线、线段与角【技巧归纳】技巧1：活用判定两直线平行的六种方法【类型】一、利用平行线的定义1．下面的说法中，正确的是()A．同一平面内不相交的两条线段平行B．同一平面内不相交的两条射线平行C．同一平面内不相交的两条直线平行D．以上三种说法都不正确【类型】二、利用“同位角相等，两直线平行”2．如图，已知∠ABC＝∠ACB，∠1＝∠2，∠3＝∠F，试判断EC与DF是否平行，并说明理由．【类型】三、利用“内错角相等，两直线平行”3．如图，已知∠ABC＝∠BCD，∠1＝∠2，试说明BE∥CF.【类型】四、利用“同旁内角互补，两直线平行”4．如图，∠BEC＝95°，∠ABE＝120°，∠DCE＝35°，则AB与CD平行吗？请说明理由．【类型】五、利用“平行于同一条直线的两条直线平行”5．如图，已知∠B＝∠CDF，∠E＋∠ECD＝180°.试说明AB∥EF.【类型】六、利用“垂直于同一条直线的两条直线平行(在同一平面内)”6．如图，AB⊥EF于B，CD⊥EF于D，∠1＝∠2.(1)试说明：AB∥CD；(2)试问BM与DN是否平行？为什么？参考答案1．C点拨：根据定义判定两直线平行，一定要注意前提条件：“同一平面内”，同时要注意在同一平面内，不相交的两条线段或两条射线不能判定其平行．2．解：EC∥DF，理由如下：∵∠ABC＝∠ACB，∠1＝∠2，∴∠3＝∠ECB.又∵∠3＝∠F，∴∠ECB＝∠F.∴EC∥DF(同位角相等，两直线平行)．3．解：因为∠ABC＝∠BCD，∠1＝∠2，所以∠ABC－∠1＝∠BCD－∠2，即∠EBC＝∠FCB，所以BE∥CF(内错角相等，两直线平行)．4．解：AB∥CD，理由如下：延长BE，交CD于点F，则直线CD，AB被直线BF所截．因为∠BEC＝95°，所以∠CEF＝180°－95°＝85°.又因为∠DCE＝35°，所以∠BFC＝180°－∠DCE－∠CEF＝180°－35°－85°＝60°.又因为∠ABE＝120°，所以∠ABE＋∠BFC＝180°.所以AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．点拨：本题利用现有条件无法直接判断AB与CD是否平行，我们可考虑作一条辅助线，架起AB 与CD之间的桥梁．5．解：因为∠B＝∠CDF，所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．因为∠E＋∠ECD＝180°，所以CD∥EF(同旁内角互补，两直线平行)．所以AB∥EF(平行于同一条直线的两直线平行)．6．解：(1)∵AB⊥EF，CD⊥EF，∴AB∥CD(在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行)．(2)BM∥DN.理由如下：∵AB⊥EF，CD⊥EF，∴∠ABE＝∠CDE＝90°.又∵∠1＝∠2，∴∠ABE－∠1＝∠CDE－∠2.即∠MBE＝∠NDE，∴BM∥DN(同位角相等，两直线平行)．点拨：∠1和∠2不是同位角，不能误认为∠1和∠2是同位角，直接得出BM∥DN，要得到BM∥DN，可说明∠MBE＝∠NDE.技巧2：与相交线、平行线相关的四类角的计算【类型】一、利用平角、对顶角转换求角1．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，若∠EOC∶∠EOD＝2∶3，求∠BOD的度数．解：由∠EOC∶∠EOD＝2∶3，设∠EOC＝2x°，则∠EOD＝3x°.因为∠EOC＋∠________＝180°(____________)，所以2x ＋3x ＝180，解得x ＝36.所以∠EOC ＝72°.因为OA 平分∠E OC(已知)，所以∠AOC ＝12∠EOC ＝36°. 因为∠BOD ＝∠AOC(______________)，所以∠BOD ＝________．【类型】二、利用垂线求角2．如图，已知FE ⊥AB 于点E ，CD 是过点E 的直线，且∠AEC ＝120°，则∠DEF ＝________°.3．如图，MO①NO 于点O ，OG 平分①MOP ，①PON ＝3①MOG ，则①GOP 的度数为________．4．如图，两直线AB ，CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，∠AOC ∶∠AOD ＝7∶11.(1)求∠COE 的度数；(2)若OF ⊥OE ，求∠COF 的度数．【类型】三、直接利用平行线的性质求角5．如图，已知AB ∥CD ，∠AMP ＝150°，∠PND ＝60°.试说明：MP ⊥PN.【类型】四、综合应用平行线的性质与判定求角6．如图，∠1与 ∠2互补，∠3＝135°，则∠4的度数是( )A ．45°B ．55°C ．65°D ．75°7．如图，∠1＝72°，∠2＝72°，∠3＝60°，求∠4的度数．参考答案1．EOD ；平角的定义；对顶角相等；36° 2.303．54° 点拨：设∠GOP ＝x°，则∠MOG ＝x°，∠PON ＝3x°，由题意得x ＋x ＋3x ＝360－90，解得x ＝54.∴∠GOP ＝54°.4．解：(1)∵∠AOC ∠AOD ＝711，∠AOC ＋∠AOD ＝180°，∴∠AOC ＝70°，∠AOD ＝110°.又∵OE 平分∠BOD ，∴∠DOE ＝12∠DOB ＝12∠AOC ＝12×70°＝35°.∴∠COE ＝180°－∠DOE ＝180°－35°＝145°.(2)∵OF ⊥OE ，∴∠FOE ＝90°.又∵∠DOE ＝35°，∴∠FOD ＝90°－∠DOE ＝90°－35°＝55°.∴∠COF ＝180°－∠FOD ＝180°－55°＝125°.5．解：如图，过点P 向左侧作PE ∥AB ，则∠AMP ＋∠MPE ＝180°.∴∠MPE ＝180°－∠AMP ＝180°－150°＝30°.∵AB ∥CD ，PE ∥AB ，∴PE ∥CD ，∴∠EPN ＝∠PND ＝60°.∴∠MPN ＝∠MPE ＋∠EPN ＝30°＋60°＝90°，[来源:学,科,网Z,X,X,K]即MP ⊥PN.6．A7．解：∵∠1＝72°，∠2＝72°，∴∠1＝∠2.∴a∥b.∴∠3＋∠4＝180°.又∵∠3＝60°，∴∠4＝120°.技巧3：应用平行线的判定和性质的几种常用作辅助线的方法【类型】一、加截线(连接两点或延长线段相交)1．如图，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC＝50°，则∠ACD＝()A．120°B．130°C．140°D．150°【类型】二、过“拐点”作平行线a．“”形图2．如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠2＝28°，∠BPC＝58°，求∠1的度数．b．“”形图3．(1)如图①，若AB∥DE，∠B＝135°，∠D＝145°.求∠BCD的度数．(2)如图①，在AB∥DE的条件下，你能得出∠B，∠BCD，∠D之间的数量关系吗？请说明理由．(3)如图②，AB∥EF，根据(2)中的猜想，直接写出∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．c．“”形图4．如图，AB∥DE，则∠BCD，∠B，∠D有何关系？为什么？d．“”形图5．如图，已知AB∥DE，∠BCD＝30°，∠CDE＝138°，求∠ABC的度数．e．“”形图6．(1)如图，AB∥CD，若∠B＝130°，∠C＝30°，求∠BEC的度数；(2)如图，AB∥CD，探究∠B，∠C，∠BEC三者之间有怎样的数量关系？试说明理由．【类型】三、平行线间多折点角度问题探究7．(1)在图①中，AB∥CD，则∠E＋∠G与∠B＋∠F＋∠D有何关系？(2)在图②中，若AB∥CD，又能得到什么结论？参考答案1．C2．解：方法一：过点P作射线PN∥AB，如图①.∵PN∥AB，AB∥CD，∴PN∥CD.∴∠4＝∠2＝28°.∵P N∥AB，∴∠3＝∠1.又∵∠3＝∠BPC－∠4＝58°－28°＝30°.∴∠1＝30°.方法二：过点P作射线PM∥AB，如图②.∵PM∥AB，AB∥CD，∴PM∥C D.∴∠4＝180°－∠2＝180°－28°＝152°.∵∠4＋∠BP C＋∠3＝360°，∴∠3＝360°－∠BPC－∠4＝360°－58°－152°＝150°.∵AB∥PM，∴∠1＝180°－∠3＝180°－150°＝30°.3．解：(1)过点C向左作CF∥AB，∴∠B＋∠BCF＝180°.又∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠FCD＋∠D＝180°，∴∠B＋∠BCF＋∠FCD＋∠D＝180°＋180°，即∠B＋∠BCD＋∠D＝360°，∴∠BCD＝360°－∠B－∠D＝360°－135°－145°＝80°.(2)∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.理由如下：过点C向左作CF∥AB，∴∠B＋∠BCF＝180°.又∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠FCD＋∠D＝180°，∴∠B＋∠BCF＋∠FCD＋∠D＝180°＋180°，即∠B ＋∠BCD＋∠D＝360°.(3)∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝540°.4．解：∠BCD＝∠B－∠D.理由如下：如图，过点C作CF∥AB.∵CF∥AB，∴∠B＝∠BCF(两直线平行，内错角相等)．∵AB∥DE，CF∥AB，∴CF∥DE(平行于同一条直线的两条直线平行)．∴∠DCF ＝∠D(两直线平行，内错角相等)．∴∠B－∠D＝∠BCF－∠DCF.∵∠BCD＝∠BCF－∠DCF，∴∠BCD＝∠B－∠D.点拨：已知图形中有平行线和折线或拐角时，常过折点或拐点作平行线，构造出同位角、内错角或同旁内角，这样就可利用角之间的关系求解了．5．解：如图，过点C作CF∥AB.∵AB∥DE，CF∥AB，∴DE∥CF.∴∠DCF＝180°－∠CDE＝180°－138°＝42°.∴∠BCF＝∠BCD＋∠DCF＝30°＋42°＝72°.又∵AB∥CF，∴∠ABC＝∠BCF＝72°.6．解：(1)过点E向左侧作EF∥AB，∴∠B＋∠BEF＝180°，∴∠BEF＝180°－∠B＝50°，又∵AB∥CD，且EF∥AB，∴EF∥CD，∴∠FEC＝∠C＝30°，∴∠BEC＝∠BEF＋∠FEC＝50°＋30°＝80°.(2)∠B＋∠BEC－∠C＝180°.理由如下：过点E向左侧作EF∥AB，又∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FEC＝∠C，又∵∠BEF＝∠BEC－∠FEC，∴∠BEF＝∠BEC－∠C.∵AB∥EF，∴∠B＋∠BEF＝180°，∠B＋∠BEC－∠C＝180°.7．解：(1)∠E＋∠G＝∠B＋∠F＋∠D.理由：过折点E，F，G分别作EM∥AB，FN∥AB，GH∥AB，如图所示，由A B∥CD，得AB∥EM∥FN∥GH∥CD，这样∠1＝∠B，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠D.因此∠BEF＋∠FGD＝∠1＋∠2＋∠5＋∠6＝∠B＋∠3＋∠4＋∠D＝∠B＋∠EFG＋∠D.(2)∠E1＋∠E2＋∠E3＋…＋∠E n＝∠B＋∠F1＋∠F2＋…＋∠F n－1＋∠D.【题型讲解】【题型】一、线段的中点例1、如图，已知AB＝8cm，BD＝3cm，C为AB的中点，则线段CD的长为_____cm．【答案】1【提示】先根据中点定义求BC的长，再利用线段的差求CD的长．【详解】解：①C为AB的中点，AB＝8cm，①BC＝12AB＝12×8＝4（cm），①BD＝3cm，①CD＝BC﹣BD＝4﹣3＝1（cm），则CD的长为1cm；故答案为：1．【题型】二、角的计算例2、如图，直线m①n，直角三角板ABC的顶点A在直线m上，则①α的余角等于（）A．19°B．38°C．42°D．52°【答案】D【解析】试题分析：过C作CD①直线m，①m①n，①CD①m①n，①①DCA=①FAC=52°，①α=①DCB，①①ACB=90°，①①α=90°﹣52°=38°，则①a的余角是52°．故选D．考点：平行线的性质；余角和补角． 【题型】三、与角平分线有关的相关计算例3、如图，AB ①CD ，①EFD ＝64°，①FEB 的角平分线EG 交CD 于点G ，则①GEB 的度数为（ ）A ．66°B ．56°C ．68°D ．58°【答案】D 【提示】根据平行线的性质求得①BEF ，再根据角平分线的定义求得①GEB ． 【详解】 解：①AB①CD ， ①①BEF+①EFD ＝180°， ①①BEF ＝180°﹣64°＝116°； ①EG 平分①BEF ， ①①GEB ＝58°． 故选：D ．【题型】四、余角与补角的相关计算例4、如图，E 是直线CA 上一点，40FEA ∠=︒，射线EB 平分CEF ∠，GE EF ⊥．则GEB ∠=（ ）A ．10︒B ．20︒C ．30D ．40︒【答案】B 【提示】先根据射线EB 平分CEF ∠，得出①CEB=①BEF=70°，再根据GE EF ⊥，可得①GEB=①GEF -①BEF 即可得出答案． 【详解】 ①40FEA ∠=︒， ①①CEF=140°，①射线EB 平分CEF ∠， ①①CEB=①BEF=70°， ①GE EF ⊥，①①GEB=①GEF -①BEF=90°-70°=20°， 故选：B ．【题型】五、对顶角相等进行相关计算例5、如图，AB 和CD 相交于点O ，则下列结论正确的是（ ）A ．①1=①2B ．①2=①3C ．①1＞①4+①5D ．①2＜①5【答案】A【提示】根据对顶角性质、三角形外角性质分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：由两直线相交，对顶角相等可知A 正确； 由三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和可知 B 选项为①2＞①3， C 选项为①1=①4+①5，D 选项为①2＞①5． 故选：A ．【题型】六、邻补角相等求角的度数例6、如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE CD ⊥，垂足为点O ．若40BOE ∠=︒，则AOC ∠的度数为（ ）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．140︒【答案】B 【提示】已知OE CD ⊥，40BOE ∠=︒，根据邻补角定义即可求出AOC ∠的度数． 【详解】 ①OE CD ⊥ ①90COE ∠=︒ ①40BOE ∠=︒①180?180904050AOC COE EOB ∠=-∠-∠=︒-︒-︒=︒ 故选：B【题型】七、平行线的判定例7、如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB 的垂线a 和b ，得到a ①b ，理由是（ ）A ．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短B ．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行C ．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线D ．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】B【提示】根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可．【详解】解：①由题意a①AB ，b①AB ， ①①1=①2 ①a①b所以本题利用的是：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行， 故选：B ．【题型】八、平行线的应用例8、如图，//AB CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，EG 平分BEF ∠，若64EFG ∠=︒，则EGD ∠的大小是（ ）A ．132︒B ．128︒C ．122︒D ．112︒【答案】C【提示】利用平行线的性质求解FEB ∠，利用角平分线求解BEG ∠，再利用平行线的性质可得答案． 【详解】解：//AB CD ，180,EFG FEB ∴∠+∠=︒ 64,EFG ∠=︒18064116,FEB ∴∠=︒-︒=︒EG 平分BEF ∠，58,FEG BEG ∴∠=∠=︒//AB CD180,BEG EGD ∴∠+∠=︒ 18058122.EGD ∴∠=︒-︒=︒故选C．【题型】九、求平行线间的距离例9、设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12cm，EF与CD 的距离是5cm，则AB与EF的距离等于_____cm．【答案】7或17．【提示】分两种情况讨论，EF在AB，CD之间或EF在AB，CD同侧，进而得出结论．【详解】解：分两种情况：①当EF在AB，CD之间时，如图：①AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，①EF与AB的距离为12﹣5＝7（cm）．①当EF在AB，CD同侧时，如图：①AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，①EF与AB的距离为12+5＝17（cm）．综上所述，EF与AB的距离为7cm或17cm．故答案为：7或17．图形的初步认识（达标训练）一、单选题1．如图所示，下列条件中能说明a b ∥的是（ ）A ．12∠=∠B ．34∠=∠C ．24180∠+∠=︒D ．14180∠+∠=︒【答案】B【分析】利用平行线的判定定理对各选项进行分析即可．【详解】解：A ．当①1＝①2时，不能判定a ①b ，故选项不符合题意； B ．当①3＝①4时，①3与①4属于同位角，能判定a ①b ，故选项符合题意；C ．当①2+①4＝180°时，①2与①4属于同旁内角，能判定c ①d ，故选项不符合题意；D ．当①1+①4＝180°时，不能判定a ①b ，故选项不符合题意； 故选：B ．【点睛】此题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定条件并灵活运用． 2．如图，a b ∥，143∠=︒，则2∠的度数是（ ）A ．137°B ．53°C ．47°D ．43°【答案】D【分析】根据两直线平行，同位角相等即可得． 【详解】解：1,43a b ∠=︒，2143∴∠=∠=︒，故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 3．如图，若AB CD ，CD EF ，那么①BCE ＝（ ）A ．180°－①2＋①1B ．180°－①1－①2C ．①2＝2①1D ．①1＋①2【答案】A【分析】先利用平行线的性质说明①3、①1、①4、①2间关系，再利用角的和差关系求出①BCE ． 【详解】解：如图，①AB CD ，CD EF ， ①①1＝①3，①2+①4＝180°， ①①4＝180°－①2，①①BCE ＝①4+①3＝180°﹣①2＋①1． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”是解决本题的关键．4．如图，AB CD ∥，GH 平分AGF ∠，166∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．114︒B ．66︒C ．75︒D ．57︒【答案】D【分析】根据平行的性质可得①1=①BGF ，则可求出①AGF ,再根据HG 平分①AGF ，即可求出①2． 【详解】①AB CD ∥，①1=66°， ①①1=①BGF =66°，①①AGF =180°-①BGF =180°-66°=114°， ①HG 平分①AGF ，①①2=12①AGF =114°×12=57°， 故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质，根据平行线的性质得到①1=①BGF 是解答本题的关键．5．如图，AB CD ，140CDE ∠=︒，则A ∠的度数为（ ）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．140︒【答案】A【分析】根据补角的定义，两直线平行内错角相等，计算求值即可； 【详解】解：①AB ①CD ， ①①A =①CDA ，①①CDA =180°-①CDE =180°-140°=40°， ①①A =40°， 故选：A ．【点睛】本题考查了相交线和平行线，掌握平行线的性质是解题关键． 6．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则1∠的度数为（ ）A ．75︒B ．105︒C ．120︒D ．135︒【答案】B【分析】利用直角三角形的两锐角互余先求出2∠和3∠的度数，再根据平角的定义求出4∠的度数，最后由平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：如图， ①2906030∠=︒-︒=︒，3904545∠=︒-︒=︒，①41803045105∠=︒-︒-︒=︒， ①a b ∥，①14105∠=∠=︒． 故选：B ．【点睛】本题考查平行线的性质，直角三角形的两锐角互余，平角的定义．关键是根据两直线平行，同位角相等进行解答．二、填空题7．如图，直线a b ∥，则1 的度数为______．【答案】30°##30度【分析】根据两直线平行，内错角相等，即可求解． 【详解】解：①a b ∥， ①①1=30°． 故答案为：30°【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． 8．如图，AB ①CD ，点E 在CA 的延长线上．若①BAE ＝50°，则①ACD 的大小为 _____．【答案】130°##130度【分析】延长DC ，根据平行线的性质得①ECF ＝①BAE ＝50°，即可得． 【详解】解：如图所示，延长DC ，，①AB ①CD ，①①ECF ＝①BAE ＝50°，①①ACD ＝180°﹣①ECF ＝180°﹣50°＝130°． 故答案为：130°．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质“两直线平行，同位角相等”．三、解答题9．已知，ABC ∠和DEF ∠中，AB DE ∥，BC EF ∥．试探究：(1)如图1，B 与E ∠的关系是______，并说明理由； (2)如图2，写出B 与E ∠的关系，并说明理由； (3)根据上述探究，请归纳得到一个真命题． 【答案】(1)B E ∠=∠，理由见解析 (2)180B E ∠+∠=︒，理由见解析(3)如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补【分析】（1）根据平行线的性质得出①B =①1，①1 =①E ，即可得出答案； （2）根据平行线的性质得出①B +①1 = 180°，①1=①E ，即可得出答案；（3）根据(1) (2)可推出，如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补． （1）解：B E ∠=∠，理由如下： 如下图，①AB ①DE ， ①①B =①1， 又①BC ①EF ， ①①1=①E ， ①①B =①E ；故答案为：B E ∠=∠； （2）解：180B E ∠+∠=︒，理由如下： 如下图，①AB ①DE ， ①①B +①1=180°， 又①BC ①EF ， ①①E =①1， ①①B +①E =180°故答案为：180B E ∠+∠=︒； （3）解：由题意得：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补．【点睛】本题主要考查平行线的性质、命题与证明，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．图形的初步认识（提升测评）一、单选题1．如图，直线12l l ∥，等腰直角ABC 的两个顶点A 、B 分别落在直线1l 、2l 上，90ACB ∠=︒，若118∠=︒，则2∠的度数是（ ）A ．35︒B ．30C ．27︒D ．20︒【答案】C【分析】根据等腰直角三角形的性质可得45CAB ∠=︒，根据平行线的性质可得23∠∠=，进而可得答案．【详解】解：如图标记①3，ABC ∆是等腰直角三角形， 45CAB ∴∠=︒，12//l l ，23∴∠=∠， 118∠=︒，2451827∴∠=︒-︒=︒，故选：C ．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等，等腰直角三角形的性质．2．如图，ABD ∠为ABC ∆的外角，BE 平分ABD ∠，EB ∥AC ，65A ∠=︒，则EBD ∠的度数为（ ）A ．50︒B ．65︒C ．115︒D ．130︒【答案】B【分析】根据平行线的性质，得到65A EBA ∠=∠=︒，再根据BE 平分ABD ∠，即可得到EBD ∠的度数． 【详解】解：①EB ∥AC ，65A ∠=︒，65EBA ∴∠=︒，又BE 平分ABD ∠，65EBD EBA ∴∠=∠=︒，故选：B ．【点睛】此题考查了平行线的性质：两直线平行内错角相等，以及角平分线的定义，熟记平行线的性质是解题的关键．3．如图，AB CD ∥，EF 交AB 、CD 于点E 、F ，FG 平分EFD ∠，若=70AEF ∠︒，则EGF ∠的度数为（ ）A ．70︒B ．35︒C ．50︒D ．55︒【答案】B【分析】根据平行线的性质，求出EFD ∠的度数，再根据角平分线的定义求出GFD ∠的度数，再由平行线的性质得出结论即可． 【详解】解：AB CD ，①==70AEF EFD ∠∠︒FG 平分EFD ∠交AB 于点G ，①11==?70=3522GFD EFD ∠∠︒︒AB CD ，==35∠∠︒EGF GFD故选：B．【点睛】本题考查平行线的性质：两直线平行，内错角相等，熟练掌握该性质是解决本题的关键．4．将一副直角三角尺按如图所示放置（其中①GEF＝①GFE＝45°，①H＝60°，①EFH＝30°），满足点E在AB上，点F在CD上，AB①CD，①AEG＝20°，则①HFD的大小是（）A．70°B．40°C．35D．65°【答案】C【分析】由角的和差可求解①AEF的度数，结合平行线的性质可求解①EFD的度数，利用三角形的内角和定理可求解①EFH的度数，进而可求解．【详解】解：①①AEG＝20°，①GEF＝45°，①①AEF＝20°+45°＝65°，①AB①CD，①①EFD＝①AEF＝65°，①①EFH＝30°，①①HFD＝65°﹣30°＝35°．故选：C．【点睛】本题主要考查平行线的性质，求解①EFD的度数是解题的关键．5．如图，已知直线a，b，c，d中，c a⊥，直线b，c，d交于一点，若236⊥，c b∠等∠=︒，则1于（）A．34︒B．36︒C．56︒D．54︒【答案】D【分析】首先根据同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行，得出a，b互相平行，再运用平行线的性质，得出13∠=∠，再根据平角定义，可得出2390∠+∠=︒，结合已知可求出1∠的度数． 【详解】如图，①c a ⊥，c b ⊥， ①a b ∥ ①13∠=∠ ①c b ⊥ ①490∠=︒①234180∠+∠+∠=︒， ①2390∠+∠=︒， ①1290∠+∠=︒ ①236∠=︒①190254∠=︒-∠=︒． 故选：D【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂直定义和平角定义，熟练掌握平行线的性质与判定是解本题的关键．二、填空题6．已知12l l ∥，一个含有30角的三角尺按照如图所示的位置摆放，若165∠=︒，则2∠=__________度．【答案】25【分析】先利用平行线的性质得出13∠=∠，24∠∠=，最后利用直角三角形的性质即可．【详解】解：如图，过直角顶点作直线1//l l ，12//l l ，12////l l l ∴，13∠∠∴=，24∠∠=， 3490∠+∠=︒，2190∴∠+∠=︒，又165︒∠=，2906525∴∠=︒-︒=︒．故答案为：25．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，三角板的特征，解题的关键是作出辅助线，是一道基础题目． 7．如图所示，AB CD ∥，点E 在CD 上，BE DF ⊥，垂足为B ，已知34BED ∠=︒，则ABF ∠的度数为________．【答案】56°【分析】先根据平行线的性质求出①ABE 的度数，然后根据角的和差关系求①ABF 度数即可． 【详解】解：①AB CD ∥， ①①ABE =①BED =34°， ①BE DF ⊥，即①EBF =90°， ①①ABF =①EBF -①ABE =90°-34°=56°． 故答案为：56°．【点睛】本题考查了平行线的性质，角的和差与垂直的定义，解题的关键是根据平行线的性质求出①ABE 的度数．三、解答题8．（1）课题研究：“尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线”．做法一：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点E，F；①以C为圆心，BE长为半径作弧，交BC的延长线于点M；①再以M为圆心，EF长为半径作弧，与前弧交于点N；①连接CN，则CN AB∥．做法二：①以A为圆心，BC长为半径作弧；①以C为圆心，AB长为半径作弧；两弧交于点D，连接CD；则CD AB∥．请根据以上作法，写出这两种方法用到的数学定理或基本事实：（各写出一个即可）做法一：____________________________________做法二：____________________________________（2）如图，ABCD中，DE BF，请你再加一个条件，使四边形AECF为菱形，并证明．【答案】（1）做法一：同位角相等，两直线平行做法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（2）AF=FC，见解析【分析】（1）利用平行线的判定定理，平行四边形的判定定理即可．（2）根据平行四边形的性质，菱形的判定定理解答即可．【详解】（1）做法一：同位角相等，两直线平行．做法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（2）添加条件：AF=FC，理由如下：① 四边形ABCD是平行四边形，①AB=CD，AB∥CD，①DE=BF，①EC=AF，AF∥CE，①四边形AFCE是平行四边形，① FC=AF，①四边形AFCE是菱形．【点睛】本题考查了平行线的判定，平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握各种判定定理是解题的关键．。