矩阵范数

ABx 1 = A( Bx) 1 ≤ A 1 Bx 1 ≤ A 1 B 1 x 1 ，
5
因此， AB 1 ≤ A 1 B 1 。 ② 矩阵的 ∞ − 范数 称由向量的 ∞ − 范数诱导出来的矩阵范数为矩阵的 ∞ − 范数，记为 • ∞ 。
∀A = (aij ) ∈ C m×n , x ∈ C n , x ( Ax)i =
p i =1 j =1
p →∞
m
n
将 C m×n 上的矩阵拉伸开来，即 m × n 维向量。因此，与之前常用向量范数之 间的等价关系，同样的有：
A ′∞ ≤ x ′1 ≤ mn x ∞ ， A ′2 ≤ A ′1 ≤ mn A ′2 ， A ′∞ ≤ A ′2 ≤ mn A ′∞
我们将 A 按列分块，记 A = (a1 , a2 , ⋅⋅⋅, an ) ，则 A
x∈C , x
max (n) n
=1
Ax
(m)
证明：取 K = x ∈ C n x 得 lim xk = x ，则 lim xk
k →∞
k →∞
{
(n)
= 1 ，则 K 为闭集。事实上，任取 K 中序列 { xk } ，使 = x
(n)
}
(n)
(定理 1)。另一方面， Ax
(m)
是 x 的连续函数。
≤ A
F
b F ， ∀b ∈ C n 。为此，我们将 A 按行分块，
2 F
T T T ⎛ a1 ⎞ ⎛ a1 ⎞ ⎛ a1 b⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 记为 A = ⎜ # ⎟ ， 则 Ab = ⎜ # ⎟ b = ⎜ # ⎟ ， Ab T ⎟ T ⎟ T ⎟ ⎜ am ⎜ am ⎜ am ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ b⎠
(m)
≤ c1 x F 。再根据 F − 范数的相容性，有
F
(n)
Ax x
(m) (n)
≤
c1 Ax x
≤
c1 A x
(n)
F (n)
x
F
再根据范数的等价性，存在常数 c2 > 0 ，使得 x
≤ c2 x F 。因此，
(n)
Ax x
因此， sup
0 ≠ x∈C n
(m) (n)
≤
c1 A x
F (n)
Ax x
(m) (n)
= 0 。于
是，
Ax x
(m) (n)
= 0 ， Ax
(m)
= 0 ，即 Ax = 0 ， ∀0 ≠ x ∈ C n 。因此， A = 0 。
(2) 齐次性 kA (3) 三角不等式
任取 A, B ∈ C m×n ，则
( m,n )
= sup
0 ≠ x∈C n
kAx x
(m)
(n)
n n
∞
= 1，
n n n n
∑ aij x j ≤ ∑ aij x j ≤ ∑ aij ⋅1 = ∑ aij ≤ max ∑ aij ，
j =1 j =1 j =1 j =1 1≤i ≤ m j =1
因此， A 1 ≤ max ∑ aij 。
1≤ i ≤ m j =1
另一方面，假设 A 的第 i0 行为行所有元素模之和最大的一行。取 x ∈ C n ，
A( x, 0, ⋅⋅⋅, 0) ≤ A ⋅ ( x, 0, ⋅⋅⋅, 0)
但另一方面，
A( x, 0, ⋅⋅⋅, 0) = ( Ax, 0, ⋅⋅⋅, 0) = (λ x, 0, ⋅⋅⋅, 0) = λ ( x, 0, ⋅⋅⋅, 0) = λ ⋅ ( x, 0, ⋅⋅⋅, 0)
因此， λ ⋅ ( x, 0, ⋅⋅⋅, 0) ≤ A ⋅ ( x, 0, ⋅⋅⋅, 0) 。 x ≠ 0 ，( x, 0, ⋅⋅⋅, 0) ≠ 0 ， ( x, 0, ⋅⋅⋅, 0) > 0 ，
另一方面，
4
A
因此， A 推论 2
A
( m,n )
( m,n )
= sup
0 ≠ x∈C
n
Ax x
(m) (n)
= sup A
0 ≠ x∈C
n
x x
(n)
(m)
≤
sup
y∈C , y
n (n)
Ay
=1
(m)
=
=
sup
x∈C n , x
(n)
Ax
=1
(m)
。 ，也就是说上确界是可以取到的。
( m,n )
(m)
,•
(n)
分别为 C m , C n 上的范数，定义
A
则 •
( m,n )
( m,n )
= sup
0 ≠ x∈C n
Ax x
(m) (n)
为 C m×n 上的范数。
证明： 首先，我们说明其有意义，也就是 sup
0 ≠ x∈C n
Ax x
(m) (n)
< +∞ 。根据范数等价性，存
在常数 c1 > 0 ，使得 ∀x ∈ C m ，有 x
2 2
要指出 A ′2 = tr ( AH A) = tr ( AAH ) 。事实上， AH A 的 i 行 i 列元素为
2
∑ aki aki = ∑ aki 。因此， tr ( AH A) = ∑∑ aki = A ′2 。于是，
2 2 2
k =1 k =1 i =1 k =1
m
m
n
Hale Waihona Puke m2 2 A ′2 = AH ′ = tr (( AH ) H AH ) = tr ( AAH ) 。 2
上述论述用到了相似矩阵迹相等这个事实。
1
• ′2 有如此良好的性质，我们单独将其拿出来研究，又称其为 Frobenius 范
数，记为 • F 。 2.相容矩阵范数 任取 A ∈ C m×n , B ∈ C n×l ， AB 有意义。 • 上的范数。我们希望 AB 定义 4 •
( m,n ) ( m ,l ) ( m,n )
⎧1, ai0 j ≠ 0 ⎪ ⎪ x j = ⎨ ai0 , j , j = 1, 2, ⋅⋅⋅, n ，则 x ≠ , 0 a ⎪ i0 j ⎪ ⎩ ai0 , j
2 F
∑b
j =1
l
2 1 F
= A
2 F
B
2 F
因此， AB
F
≤ A
F
B F ，结论得证！
相容矩阵范数的具有如下重要的性质： 定理 5 设 • 为 C n×n 上相容的矩阵范数，则 ρ ( A) ≤ A ， ∀A ∈ C n×n 。 证明：任取 A 的特征值 λ ，设 x 为相应的特征向量，则 Ax = λ x 。则
k =1 1≤ j ≤ n i =1 1≤ j ≤ n i =1
m
m
因此， A 1 ≤ max ∑ aij 。
1≤ j ≤ n i =1
m
另一方面，我们假设 A 第 j0 列为 A 的 1-范数最大的列， e j 为 n 阶单位阵的 第 j 列， j = 1, ⋅⋅⋅, n ， e j0
m
1
= 1 ，而 Ae j0
2
因此， λ ≤ A 。结论得证！ 如下的定理指出相容矩阵范数和向量范数之间的关系。 定理 6 设 • 为 C n×n 上相容的矩阵范数，必存在与 • 相容的矩阵范数。 证明： 任取 x ∈ C n ，定义 •
(n)
： x
(n)
= ( x, 0, ⋅⋅⋅, 0) ， ∀x ∈ C n 。对任意 A ∈ C n×n ，
=
x∈C , x
闭集上的连续函数必最大值，即上确界可取得。因此， A 4.常见的诱导矩阵范数 ① 矩阵 1 − 范数
( m,n )
max (n) n
=1
Ax
(m)
。
称由向量的 1-范数诱导出来的矩阵范数为矩阵的 1-范数，记为 • 1 。
∀A = (aij ) ∈ C m×n , x ∈ C n , x 1 = 1 ， ( Ax)i =
(n)
Ax
结论得证！
(n)
= ( Ax, 0, ⋅⋅⋅, 0) = A( x, 0, ⋅⋅⋅, 0) ≤ A ⋅ ( x, 0, ⋅⋅⋅, 0) = A ⋅ x
定理 4 就指出了 • F 范数和 Euclid 范数 • 2 是相容的。 3.诱导矩阵范数 如下讲述一种相容矩阵范数的构成方式——诱导矩阵范数。 定理 7 设 •
m n m n
∑ aij x j ≤ ∑ aij x j ，
j =1 j =1
n
n
Ax 1 = ∑ ∑ aik xk ≤ ∑∑ aik xk = ∑∑ aik xk = ∑ xk
i =1 k =1 n i =1 k =1 k =1 i =1 k =1
n
m
n
∑a
i =1
m
ik
≤ ∑ xk (max ∑ aij ) = max ∑ aij
1
= a j0
1
= ∑ aij0 = max ∑ aij 。因此，
i =1 1≤ j ≤ n i =1
m
m
A 1 ≥ Ae j0 = max ∑ aij 。
1≤ j ≤ n i =1
这样， A 1 = max ∑ aij 。
1≤ j ≤ n i =1
m
矩阵的 1 − 范数为相容矩阵范数。事实上， ∀A ∈ C m×n , B ∈ C n×l , x ∈ C l ，有
( m ,l )
≤ A
( m,n )
B
( n ,l )
，则称这些范数是相容的。特别
地，若 C n×n 上的范数 • 是相容的，则称其为相容矩阵范数，简称矩阵范数。
Frobenius 范数具有相容性，也就是：