阶乘幂多项式及其基本恒等式

= 0(k > n). 再证引理 2. 7 由性质 1. 2 有 kx ! n = k( x + n - 1) ! n, 再由引理 2. 8 即得; 要证引理 2. 9 与 2. 10, 只要利用性质 2. 6 化为 k 阶向前差分, 再由引理 2. 7 与 2. 8 可得. ( 证明从略)
3 阶乘幂多项式
假设 P! n ( x ) Q ! n( x ) , 对任意的 k ( 0 k n) , 考虑 k 阶向前差分有
kP ! n( x ) =
n
n
n
k ajx ! j =
aj kx ! j =
aj ! jxj- k , 注意到
j= 0
j= 0
j= k
1, j = k ;
x !( j- k ) x = 0 = 0, j
( x - n + k ) - ( y + k ) x ! n- ky ! k
k= 0
k= 0
n
n
n
n
=
( x - n + k ) x ! n- ky ! k -
x ! n- ky ! k ( y + k) =
x ! n+ 1- ky ! k -
x ! n- ky ! k+ 1
k= 0
k= 0
k= 0
k x!jy !(k+ 1- j) + k x!0y !( k+ 1) = k+ 1 k + 1 x!jy!(k+ 1- j).
k
j= 1 j - 1
j= 1 j
0
j= 0
j
对于递降阶乘幂也有类似的二项式定理, 证明从略.
定理 4. 2 设 x 与 y 为变元, n 为正整数, 则有
nn ( x + y ) ! n = j= 0 j x ! jy !( n- j ) .
定义 2. 3 所谓 k 阶向前差分是指: kf ( x ) = ( k- 1f ( x ) ) , k > 1;
定义 2. 4 所谓 k 阶向后差分是指: kf ( x ) = ( k- 1f ( x ) ) , k > 1;
我们约定: 0f ( x ) = 0f ( x ) = f ( x ) ;
k= 0
n
n+ 1
=
x ! n+ 1- ky ! k -
x ! n+ 1- ky ! k = x ! n+ 1 y !0 - x !0y ! n+ 1 = x ! n+ 1 - y ! n+ 1.
k= 0
k= 1
利用性质 1. 2 及 可得
x ! n+ 1 - y ! n+ 1 = ( x + n) ! n+ 1 - y ! n+ 1 = n ) ! n- ky ! k ;
定理 3. 4 设 P! n ( x ) =
ajx ! j , Q ! n ( x ) =
bjx !j , 则这两个多项式等价的充分必要条件是它们
的同次阶乘幂的系数全相等, 即
P !n( x ) Q!n( x)
aj = bj ( j = 0, 1, 2, , n ) .
证明: 充分性显然成立, 只证明必要性.
k < n;
引理 2. 8
k( x!n) =
0, k > n. n! kx ! n- k , k < n;
n!, k = n;
引理 2. 9
k(x!n) =
0, k > n. n! kx ! n- k ,
n!,
k < n; k = n;
引理 2. 10
k( x!n) =
0,
k > n.
n! k ( x - k ) ! n- k, k < n;
定义 3. 1 所谓变元 x 的 n 阶递升阶乘幂多项式是指:
n
P !n( x ) =
akx ! k = anx ! n + an- 1x ! n- 1 +
k= 0
+ a1x + a0( an 0) .
定义 3. 2 所谓变元 x 的 n 阶递降阶乘幂多项式是指:
P !n( x ) = 定义 3. 3
n!,
k = n;
证明: 先证引理 2. 8.
0,
k > n.
x ! n = ( x + 1) x ( x - 1) ( x - n + 2) - x ( x - 1)
( x - n + 2) ( x - n + 1)
= x ( x - 1) ( x - n + 2) ( x + 1) - ( x - n + 1) = n x ( x - 1) ( x - n + 2) = n! 1 x ! n- 1, 知 k = 1 时命题成立; 假设 1 < k < n, 若 k- 1x ! n = n! k- 1x ! n- k+ 1, 则有 kx ! n = ( k- 1x ! n ) = ( n! k- 1x ! n- k+ 1) = n! k- 1 x ! n- k+ 1 = n! k- 1( n- k + 1) x ! n- k = n! k x ! n- k ; 当 k = n 时, x ! n- k = x !0 = 1, 于是 n( x ! n) = n! n 1 = n!; 因为 n! = n! - n! = 0, 可知 k( x ! n)
n
x - ( y - n) - n
x ! n- k ( y - n) ! k
k= 0
第7期
孙建新: 阶乘幂多项式及其基本恒等式
37
x ! n+ 1 - y ! n+ 1 = ( x + n) ! n+ 1 - ( y - n) ! n+ 1 =
n
= ( x - y + n) ( x + n) ! n- k ( y - n) ! k .
定义 1. 1 设 x 为实变元, n 为非负整数, 则称 x ! n = x ( x + 1) ( x + 2) ( x + n - 1) 为 n 次递升阶乘幂; 而称 x ! n = x ( x - 1) ( x - 2) ( x - n + 1) 为 n 次递降阶乘幂. 并且约定: x !0 = x !0 = 1. 由定义 1 易知如下性质成立: 性质 1. 2 x ! n = ( x + n - 1) ! n; 性质 1. 3 x ! n = ( x - n + 1) ! n.
第 24 卷 第 7 期 2004 年 3 月
绍兴文理学院学报 JOURNAL OF SHAOXING UNIVERSITY
Vol. 24 No. 7 M ar. 2004
阶乘幂多项式及其基本恒等式
孙建新
( 绍兴文理学院 信息与计算机系, 浙江 绍兴 312000)
摘 要: 考虑两类阶乘幂多项式, 由向前或向后差分公式 1- 2 , 得到两个同类阶乘幂多 项式等价 的充分必要 条件. 给出并证
g(x) .
收稿日期: 2003- 10- 23 作者简介: 孙建新( 1946- ) , 男, 浙江绍兴人, 副教授, 从事 CAD、离散数学及数学建模等研究.
第7期
孙建新: 阶乘幂多项式及其基本恒等式
35
引理 2. 7
k( x!n) =
n! k ( x + k ) ! n- k , n!, k = n;
k= 0
n
( x + n) - ( y - n) - n ( x + n ) ! n- k ( y - n) ! k
k= 0
参考文献: 1 李岳生等. 数值逼近 M . 北京: 人民教育出版社, 1978, 40- 52. 2 方开泰. 有限差算子及其应用 J . 应用数学与计算数学, 1984( 4) : 22- 31. 3 孙建新. n 元集 r- 可重复排列数 J . 绍兴文理学院学报, 2002, 22( 3) : 29- 32. 4 孙建新. Stirling 数的一个计算公式 J . 绍兴师专学报, 1986( 2) : 46- 51.
定理 4. 3 ( 阶乘幂的乘方差公式) 设 x 与 y 为变元, n 为正整数, 则有
n
x ! n+ 1 - y ! n+ 1 = ( x - y - n) x ! n- ky ! k ;
k= 0
n
x ! n+ 1 - y ! n+ 1 = ( x - y ) ( x + n) ! n- ky ! k ;
n
akx ! k = anx ! n + an- 1x ! n- 1 +
k= 0
+ a1x + a0( an 0) .
所谓两个 n 阶递降阶乘幂多项式等价( 恒等) 是指对所有复数 x , 两多项式之值都相等, 即
P !n( x ) Q!n( x)
P!n ( x) = Q!n( x) x K .
类似地可以定义两个 n 阶递升阶乘幂多项式的等价.
文章编号: 1008- 293X( 2004) 07- 0034- 04
1 两类阶乘幂
普通代数学中的代数多项式, 是普通幂的积和式. 所谓变量 x 的n 次普通幂就是x 自乘n 次所得之积. 专门研究数与形的连续状态的渐变规律性的微积分比较适宜于处理普通幂. 但是自然界还有许多离散状 态阶梯式变化的量, 需要考虑阶乘幂以及阶乘幂多项式, 并且适宜于用差分来处理. 文 3 中已经用到两 类阶乘幂, 下面给出两类阶乘幂的定义与记号.
k.
于是 kP ! n( 0) = akk! , 同理 kQ ! n( 0) = bkk! . 由假设可得 akk ! = bk k! ( 0 k
n) . 从而 ak = bk ( 0
k n).
36
绍兴文 理学院学报( 自然科学)
第 24 卷
定理 3. 4 对递升阶乘幂多项式也成立.
4 阶乘幂恒等式
立, 可以证明 n = k + 1 时命题也成立. 事实上,
( x + y ) !( k+ 1) = ( x + y ) ! k ( x + y + k ) = k k x !jy !( k- j ) j=0 j
(x + j) + (y + k- j)
= k k x !( j+ 1) y !( k- j ) + k k x ! jy ! ( k+ 1- j )
k= 0
n
x ! n+ 1 - y ! n+ 1 = ( x - y ) x ! n- k ( y - n ) ! k ;
k= 0
n
x ! n+ 1 - y ! n+ 1 = ( x - y + n) ( x + n) ! n- k( y - n) ! k.
k= 0
证明:
n
n
( x - y - n) x ! n- ky ! k =
n
n
( x + n) - y - n ( x + n) ! n- ky ! k = ( x - y ) ( x +
k= 0
k= 0
x ! n+ 1 - y ! n+ 1 = x ! n+ 1 - ( y - n) ! n+ 1 =
n
= ( x - y ) x ! n- k( y - n) ! k;
k= 0
明了阶乘幂代数系统的两类基本恒等式, 一类是阶乘幂 的二项式定理; 另 一类是同 阶阶乘 幂之差 的因式 分解定 理( 乘方差 定理) . 关键词: 递升阶乘幂; 递减阶乘幂; 阶乘幂多项式; 阶乘幂二项式定理; 乘方差因子分解 factorial powers 定理
中图分类号: O157
文献 标识码: A
j= 0 j
j= 0 j
=
k x !( k+ 1) y !0 + k- 1 k x !( j+ 1) y ! ( k- j) + k
k x ! jy !( k+ 1- j ) +
k x ! 0y !( k+ 1 j
0
= k x !(k+ 1)y !0 + k k
k
x !jy !( k+ 1- j ) +
定理 4. 1
( 阶乘幂二项式定理) 设 x 与 y 为变元, n 为正整数, 则有 ( x + y ) ! n = n n x ! jy ! ( n- j ) j=0 j
证明: 用数学归纳法证之.
注意到 x !0 = 1, 则( x + y ) !1 = x + y = 1 1 x ! jy !1- j , 当 n = 1 时命题成立; 假设 n = k 时命题成 j= 0 j
1f ( x ) =
f (x) ;
1f ( x ) =
f( x).
由定义容易验证如下性质成立:
性质 2. 5 性质 2. 6
af ( x ) + bg ( x ) = a f ( x ) + b g( x ) ; kf ( x ) = kf ( x - k ) .
af ( x ) + bg ( x ) = a f ( x ) + b
2 两类差分
定义 2. 1 所谓函数 f ( x ) 的跳跃间隔( hop - st ep) 为 1 的向前差分是指:
f ( x ) = f ( x + 1) - f ( x ) ;
定义 2. 2 所谓函数 f ( x ) 的跳跃间隔为 1 的向后差分是指:
f ( x ) = f ( x ) - f ( x - 1) ;