2017年名校数学分析考研试题解析

S
分析： 此题直接用高斯公式解就可以了， 不过要注意中间的处理手法。
x dydz y dzdx z dxdy
2 2 2 S
=2 （x y z） dxdydz

（其中 为球体 ( x a ) 2 ( y b) 2 ( z c) 2 R 2 ） 上面的三重积分可用球面坐标、极坐标等，但只有用质心公式是最简
= 2
D xy
1 2 x2 y2
2
dxdy
（Dxy 为投影区域 x 求解可得） = 2 d
0 2 1
y 2 1，把 x 2 y 2 z 2 2 和 z x 2 y 2 联立
1 2 r2 rdr
0
= 2 (2 2 )
所以啊， xdxdydz X dxdydz a R 3 3（2017 中山大学 601 高等数学考研试题）求球面 x 圆锥面 z 由x
2
2
y2 z2 2在
x 2 y 2 上方部分的面积。
x 2 Fra Baidu bibliotek 2 上方部分 z≥0
解：圆锥面 z
y2 z 2 2 得 z 2 x2 y2
2017 年名校数学分析考研试题解析
浪花一点点
2 2 2 1（2017 山东大学数学分析考研试题）计算 y dx z dy x dz ，其 L

中 L 是曲线
x y z a
2 2 2 2 2 x y ax
2
(z≥0,a>0)，若从 x 轴正向看去，此曲
线是沿逆时针方向运行的。 分析：此题用斯托克斯公式转化为第一类曲面积分，并用对称性。 曲面的方程为 F= x y z a 1 其法向量为 ( Fx, Fy, Fz) ( x, y, z ) 2
单的。球体 ( x a ) 2 ( y b) 2 ( z c) 2 R 2 的重心为(a,b,c)
4 3 4 同理啊， ydxdydz Y dxdydz b R 3 3 4 zdxdydz Z dxdydz c R 3 3 8 因此， x 2 dydz y 2 dzdx z 2 dxdy = (a b c)R 3 3 S
a
x y 2 ax
x dxdy
求此式值，用质心公式简单（当然可用极坐标的） a a a XOY 平面投影方程为 ( x ) 2 y 2 ( ) 2 的质心坐标为（ ，0）. 2 2 2 a a 2 3 因此， 2 x dxdy = 2 dxdy = a ( ) a 2 2 4 2 2 2 2 x y ax x y ax
2 2 2 2
x y z 单位法向量为 (cos , cos , cos ) ( , , ) a a a 从 x 轴正向看去，与一般教材上用从 Z 轴正向看是一致的。 由斯托克斯公式可得
I=

S
x a x y2
y a y z2
z a 2 dS = ( yz zx xy )dS z a S 2 x
2 2 2 也即 y dx z dy x dz = L


4
a3
此题也可以用合一投影来做。 因x
2
y 2 z 2 a 2 且 z≥0
x a2 x2 y2
， z y
因此，z= a 2 x 2 y 2 那么， z x
y a2 x2 y2 x a2 x2 y2
S 2 2 2
= (2 y 2 z
x a x y
2x
)dxdy
对称,既是 y 的奇函数。 所以，I= 2 z
S
x a2 x2 y2
dxdy
= 2
2
x y 2 ax
x dxdy
2 2 2 最终的结果也即 y dx z dy x dz = L
1 1 1 , , ) 3 3 3
从 x 轴正向看去，与一般教材上用从 Z 轴正向看是一致的。 由斯托克斯公式可得
I=
S
1 3 x y
2
1 3 y z
2
1 3 dS = 3 dS z S x
2 2
而球面 x y z a 和平面 x y z 0 所围成的图形为一个圆， 此圆圆心为(0,0)，半径为 a，所以面积为 a 2 ，


4
a3
2（2017 中山大学 663 数学分析考研试题）计算 其中 C 为球面 x y z 向看去沿逆时针方向。
2 2 2 2
ydx zdy xdz ，
C
a 和平面 x y z 0 的交线， 从 x 轴正
分析：此题与上题类似，比上一题稍简单。此题用斯托克斯公式转化 为第一类曲面积分。 曲面的方程为 F= x y z 其法向量为 ( Fx, Fy, Fz) (1,1,1) 单位法向量为 (cos , cos , cos ) (
a a （因为曲面 S 在 XOY 平面投影方程为 ( x ) 2 y 2 ( ) 2 ，关于 x 2 2 轴对称） 所以 yz、xy 为奇函数，
I=
2 zxdS a S
而 cos dS dxdy ，即 dS= 因此，I= 2
2
1 dxdy = 1 dxdy z cos
x 2 x2 y2
S
那么， z x
， z y
y 2 x2 y2
而所求的面积为 dS （S 为球面 x
2
y 2 z 2 2 在圆锥面 z x 2 y 2 上方部分的曲面）
dS =
S
Dxy
2 2 1 z x z y dxdy

C
ydx zdy xdz = 3 a 2 = 3a 2
3（2017 广东工业大学 602 数学分析考研试题） S 为球 ( x a ) 2 ( y b) 2 ( z c) 2 R 2 的外表面， 求 x 2 dydz y 2 dzdx z 2 dxdy
,
选择投影到 xoy 平面，则法向量为{
y a2 x2 y2
,1}
x
I=
y
2 2

S
a x y x y2
2
a x y y z2
2 2
2
1 dxdy z x2
y
2 2 2
a x y a a 因为曲面 S 在 XOY 平面投影方程为 ( x ) 2 y 2 ( ) 2 ，关于 x 轴 2 2