《概率论与数理统计》练习册

概率论与数理统计练习册答案（1-4单元）第一单元 A 卷1解（1）有两种可能性30 30 10，50 10 10 P=2112525331035712024C CC CC ?==（2）用对立事件做 P=111532310314C C CC创-=2解： 由题意产品的合格率为96%合格产品中的一等品率为75%则出厂产品的一等品率P=96%*75%=72%所以在该厂产品中任取一件是一等品的概率为72%。

3解： 乙选手输掉一分有两种情况：第一种是乙第一次回球就失误，所以P1=0.3;第二种是乙第二次回球才失误，所以P2=0.7*0.6*0.5=0.21; 因此乙选手输掉一分的概率P=P1+P2=0.51。

4. 解： P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC) =1/4+1/4+1/4-1/6-1/6=5/12则A 、B 、C 全不发生的概率为1-P(AUBUC)=1-5/12=7/12。

5解：令事件B 为被射中事件A 1表示甲射中乙没中 事件A 2表示乙射中甲没中 事件A 3表示俩人都中 则P （13()A A B+）=13()()()P A B P A B P B +=1133112233()()()()()()()()()()P B A P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A P A ? ?? =0.60.60.50.40.50.60.5?? =0.757.解：设A i 为第一次抽到的新球个数。

B 为3只球为新球。

P （A 0）=0396315C C C ，P （A 1）=1296315C CCP （A 2）=2196315C C C ´，P （A 3）=3096315C C C ´P （0A B ）=31539CC，P （1A B ）=31538CCP （2A B ）=31537CC，P （3A B ）=31536CCP （B ）=P （0A B ）´P （A 0）＋P （1A B ）´P （A 1）＋P （2AB ）´P （A 2）＋P （3AB ）´P （A 3）＝0.089四．1．证明重要公式：P(A-B)=P(A)P - (AB);(或P(AB)=P(A) -P(AB));2．设P(A)=0.7，P(A -B)=0.3，求P(AB ) 解：1．证明：因为A=A B ÈAB所以P （AB ）= P （AB AB È）= P （AB ）+P （AB ）P - (AB ÇAB)又因为ABÇAB=Æ所以P （A ）= P （AB ）+P （AB ）所以P （AB ）= P （A ）- P （AB ）即P （A -B ）=P （A ）-P （AB ） 2．由1可得，P （AB ）= P （A ）-P （A -B ）=0.4 所以P(AB )=1-P(AB)=0.6（画图可帮助解题）五．解：设事件A 为取到白球球分放在箱子中一共有四种情况：I. 一只箱子中没球，另一只箱子中4个球：P （A ）=1/2*2/4=1/4 II. 一只箱子中1只白球，另一只箱子中其他三只球：P （A ）=1/2+1/2*1/3=7/12III. 一只箱子中一只黑球，另一只箱子中其他三只球：P （A ）=1/2*2/3=1/3IV.一只箱子中2只白球，另一只箱子中两只黑球：P （A ）=1/2B 卷三、计算题1、① P=C 110C 4924/C 206=0.52 先从10双中取1双，再从剩下的9双中取4双，最后从4双中取每双中的一只② P=1-C 61026/C 620=0.653 考虑对立面，即没有两只能够配成对，先从10双中取6双，再从6双取每双的一只2解：由P(B|A )=)()(A P A B P =1.0)(A B P =0.4得()A B P =0.04，又由)(A B P =P(B)-P(AB)=0.75-P(AB)=0.04 故 P （AB ）=0.713、解：记“甲获胜”为事件A,“乙获胜”为事件B 由题意得P(A)=23211151515()()()()...()()6666666n n -++++ P(B)= 223315151515()()()()()()...()()66666666n n++++两式相比得()5()6P A P B =故65(),()1111P A P B ==4解：若采用第一种 设A 为“不产出废品”P(A ）=97%⨯96%⨯95%=0.88464若采用第二种 设B 为“不产出废品” P(B)=93%⨯93%=0.8649P(A)>P(B) 应采用第一种 5 P （A 0）=121211221122()()nnn n m n m nm n m n ?++++121212121112211221122()()()P m n nm m n n m A m n m nm n m nm n m n +=??++++++ 1212211221122()()()P m m m m A m n m nm n m n =?++++ )|(0A B P =0)|(1A B P =211)|(2=A B P P(B)=)(0A P )|(0A B P +)|()()|()(2211A A A A B P P B P P +=121221112222()()m m m n m n m n m n ++++6．解：设1A 表示取出的一只元件为正品，2A 表示取出的为次品。

第一章 随机事件及其概率练习： 1. 判断正误（1）必然事件在一次试验中一定发生，小概率事件在一次试验中一定不发生。

（B ）（2）事件的发生与否取决于它所包含的全部样本点是否同时出现。

（B ）（3）事件的对立与互不相容是等价的。

（B ） （4）若()0,P A = 则A =∅。

（B ）（5）()0.4,()0.5,()0.2P A P B P AB ===若则。

（B ） （6）A,B,C 三个事件至少发生两个可表示为AB BC AC ⋃⋃（A ） （7）考察有两个孩子的家庭孩子的性别，{()Ω=两个男孩（，两个女孩),(一个男孩，}一个女孩)，则P{}1=3两个女孩。

（B ）（8）若P(A)P(B)≤，则⊂A B 。

（B ） （9）n 个事件若满足,,()()()i j i j i j P A A P A P A ∀=，则n 个事件相互独立。

（B ）（10）只有当A B ⊂时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。

（A ） 2. 选择题（1）设A, B 两事件满足P(AB)=0，则©A. A 与B 互斥B. AB 是不可能事件C. AB 未必是不可能事件D. P(A)=0 或 P(B)=0 （2）设A, B 为两事件，则P(A-B)等于(C)A. P(A)-P(B)B. P(A)-P(B)+P(AB)C. P(A)-P(AB)D. P(A)+P(B)-P(AB) （3）以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为(D)A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销”B. “甲乙两种产品均畅销”C. “甲种产品滞销”D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销”（4）若A, B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是(A) A. P(A ∪B)=P(A) B. P(AB)=P(A) C. P(B|A)=P(B) D. P(B-A)=P(B)-P(A) （5）设(),(),()P A B a P A b P B c ⋃===，则()P AB 等于(B)A. ()a c c + B . 1a c +-C.a b c +- D. (1)b c -（6）假设事件A 和B 满足P(B|A)=1, 则(B)A. A 是必然事件 B . (|)0P B A = C. A B ⊃ D. A B ⊂ （7）设0<P(A)<1，0<P(B)<1, (|)(|)1P A B P A B += 则(D)A. 事件A, B 互不相容B. 事件A 和B 互相对立C. 事件A, B 互不独立 D . 事件A, B 互相独立8.,,.,,.D ,,.,,.,,1419.(),(),(),(),()37514131433.,.,.,.,37351535105A B A AB A B B AB A B C AB A B D AB A B P B A P B A P AB P A P B A B C φφφφ≠=≠====对于任意两个事件必有（C ）若则一定独立；若则一定独立；若则有可能独立；若则一定不独立；已知则的值分别为：(D)三解答题1.(),(),(),(),(),(),().P A p P B q P AB r P A B P AB P A B P AB ===设求下列事件的概率：解：由德摩根律有____()()1()1;P A B P AB P AB r ⋃==-=-()()()();P AB P B AB P B P AB q r =-=-=-()()()()(1)()1;P A B P A P B P AB p q q r r p ⋃=+-=-+--=+-________()()1[()()()]1().P AB P A B P A P B P AB p q r =⋃=-+-=-+-2.甲乙两人独立地对同一目标射击一次，命中率分别是0.6和0.5，现已知目标被命中，求它是甲射击命中的概率。

概率论与数理统计练习册答案第一章概率论的基本概念一、选择题4. 答案：（C ）注:C 成立的条件:A 与B 互不相容.5. 答案：（C ）注:C 成立的条件:A 与B 互不相容,即AB φ=.6. 答案：（D ）注:由C 得出A+B=Ω. 8. 答案：（D ）注：选项B 由于11111()1()1()1()1(1())nn n n n i i i i i i i i i i P A P A P A P A P A ======-=-==-=--∑∑∏∏9.答案：（C ）注：古典概型中事件A 发生的概率为()()()N A P A N =Ω. 10.答案：（A ）解：用A 来表示事件“此r 个人中至少有某两个人生日相同”，考虑A的对立事件A “此r 个人的生日各不相同”利用上一题的结论可知365365!()365365r r r rC r P P A ?==，故365()1365rrP P A =-.12.答案：（B ）解：“事件A 与B 同时发生时,事件C 也随之发生”，说明AB C ?，故()()P AB P C ≤；而()()()()1,P A B P A P B P AB ?=+-≤ 故()()1()()P A P B P AB P C +-≤≤.13.答案：（D ）解：由(|)()1P A B P A B +=可知2()()()1()()()1()()()(1())()(1()()())1()(1())()(1())()(1()()())()(1())()()()()()()(())()()()P AB P AB P AB P A B P B P B P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P AB P B P B P A P B P B P B P AB P B -?+=+--+--+==-?-+--+=-?-+--+=2(())()()()P B P AB P A P B -?=故A 与B 独立. .16.答案：（B ）解：所求的概率为()1()1()()()()()()()11111100444161638P ABC P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =-??=---+++-=---+++-= 注：0()()0()0ABC AB P ABC P AB P ABC ??≤≤=?=. 17.答案：（A ）解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 箱”1.2.3i =，则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)11131553353638120P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.18.答案：（C ）解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 类箱子” 1.2.3i =，则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)213212765636515P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.19.答案：（C ）解：即求条件概率2(|)P B A .由Bayes 公式知3263222711223315()(|)5(|)()(|)()(|)()(|)7P B P A B P B A P B P A B P B P A B P B P A B ===++. 二、填空题2.;ABC ABC ABC ABC ABC 或AB BC AC3．0.3，0.5 解：若A 与B 互斥，则P （A+B ）=P （A ）+P （B ），于是 P （B ）=P （A+B ）-P （A ）=0.7-0.4=0.3；若A 与B 独立，则P （AB ）=P （A ）P （B ），于是由P （A+B ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=P （A ）+P （B ）-P （A ）P （B ），得()()0.70.4()0.51()10.4P A B P A P B P A +--===--.4.0.7 解：由题设P （AB ）=P （A ）P （B|A ）=0.4，于是P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=0.5+0.6-0.4=0.7.解：因为P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ），又()()()P AB P AB P A +=，所以()()()0.60.30.3P AB P A B P B =-=-= .6.0.6 解：由题设P （A ）=0.7，P （AB ）=0.3，利用公式AB AB A +=知()()()P AB P A P AB =-=0.7-0.3=0.4，故()1()10.40.6P AB P AB =-=-=. 7.7/12 解：因为P （AB ）=0，所以P （ABC ）=0，于是()()1()1[()()()()()()()]13/42/67/12P ABC P A B C P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ==-=-++---+=-+= . 10.11260解：这是一个古典概型问题，将七个字母任一种可能排列作为基本事件，则全部事件数为7！，而有利的基本事件数为12121114=，故所求的概率为417!1260=. 11.3/7 解：设事件A={抽取的产品为工厂A 生产的}，B={抽取的产品为工厂B 生产的}，C={抽取的是次品}，则P （A ）=0.6，P （B ）=0.4，P （C|A ）=0.01，P （C|B ）=0.02，故有贝叶斯公式知()()(|)0.60.013(|)()()(|)()(|)0.60.010.40.027P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ?====+?+?. 12.6/11解：设A={甲射击}，B={乙射击}，C={目标被击中}，则P （A ）=P （B ）=1/2，P （C|A ）=0.6，P （C|B ）=0.5，故()()(|)0.50.66 (|)()()(|)()(|)0.50.60.50.511P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ?====+?+?. 四、 )(,21)|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?===求。

2012.9目录综合练习一 (1)综合练习二 (5)综合练习三 (7)综合练习四 (9)综合练习五 (11)综合练习六 (13)综合练习七 (15)综合练习八 (17)综合练习一一、填空题(3×4＝12分)1. 设3.0)(=A P ，5.0)(=B P ，7.0)(=B A P ，则=)|(B A P _____________.2. 设随机变量ξ服从参数为λ的泊松分布，且}2{}1{===ξξP P ，则=≥}1{ξP _________.3. 从标有号码1，2，…，9的9张卡片中任取2张，用ξ表示取到的号码的平均值，则=)(ξE _______.4.设总体)3.0,0(~2N ξ，nξξξ,,,21 是总体样本，则=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>∑=44.11012i i P ξ________________. 二、选择题(3×4＝12分)1. 设321,,x x x 是总体ξ的样本，则下列统计量中，是总体均值的最小方差无偏估计的是[ ]. (A)321613121x x x ++； (B) )(31321x x x ++； (C) 321x x x -+； (D) )(2121x x +. 2. 设A ，B 是两个事件，则“这两个事件至少有一个没发生”可表示为[ ]. (A) AB ； (B) B A B A ； (C) B A ； (D) B A .3. 设随机变量ξ在[0，5]上服从均匀分布，则方程02442=+++ξξx x 有实根的概率为[ ]. (A)53； (B) 52； (C) 1； (D) 31. 4. 设随机变量ξ与η相互独立，其概率分布为和则下列式子中，正确的是[ ].(A) ηξ=； (B) 1}{==ηξP ； (C) 95}{==ηξP ； (D) 0}{==ηξP . 三、完成下列各题(6×8＝48分)1. 已知10个元件中有7个合格品及3个次品，每次随机抽取1个测试，测试后不放回，直至将3个次品都找到为止，求需要测试次数ξ的概率分布.2. 设),0(~2σξN ，求||ξη=的概率密度.3. 甲、乙、丙3门炮向某一目标射击，每次射击时，甲、乙、丙击中目标的概率分别是0.l ，0.2，0.3，问3门炮需齐射多少次，方能使目标被击中的概率不小于99％？(设各炮各次射击时是否击中目标是相互独立的.)4. 某厂生产的某种设备的寿命ξ(单位：年)服从指数分布，其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0041)(4x x ex f x，工厂规定，若出售的设备在1年内损坏，则可予以调换，已知工厂售出1台设备获利100元，调换1台设备厂方需花费300元，试求厂方出售1台设备净获利的数学期望.5. 设某厂生产的灯泡的寿命),1600(~2σξN ，如要求975.0}1200{≥>ξP ，问σ应满足什么条件？6. 设某种零件的长度服从正态分布),(2σμN ，测得8个零件长度(单位：mm)为97，99，94，102，103，97，98，102. (1)若已知μ=100，求2σ的置信区间； (2)未知μ，求2σ的置信区间.(均取α=0.05)7. 计算机在做加法运算时，对每个加数取整(取为最接近它的整数)，设所有的取整数误差是相互独立的，且它们都在(－0.5，0.5)上服从均匀分布，如将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？8. 设总体ξ的样本观察值为n x x x ,,,21 ，证明：∑-=+--=11212)()1(21ˆn i i i x x n σ是总体方差的无偏估计.四、(9分)设(ξ，η)的概率密度⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他,00,10,15),(2xy x xy y x ϕ，(1)求ξ，η的边缘概率密度，说明ξ，η是否独立；(2)求ξ，η的协方差.五、(9分)在长度为L 的线段上随机取一点，这点把该线段分成两段，求较短的一段与较长的一段长度之比小于41的概率. 六、(10分)在8件产品中，次品数从0到4是等可能的，检查其中任意4件，发现3件是合格品，l 件是次品，问在剩下的4件产品中，再任取2件来检查，这2件都是合格品的概率是多少？综合练习二一、填空题(3×4＝12分)1. 设事件A ，B 相互独立2.0)(=A P ，4.0)(=B P ，则=)(B A B A P _____________. 2. 设),(~2σμξN ，k ，h 为常数，0≠k ，h k +=ξη，则相关系数=||ξηρ____________.3. 将3个球随机放到5个盒子中去，则有球的盒子数的数学期望为_______________.4. 将6张同排连号的电影票随机分给3个男生，3个女生，则男女生相间而坐的概率为_______________. 二、选择题(3×4＝12分)1. 袋中有3个白球，2个红球，现从中依次取出2个(取后不放回)，则第2次取到红球的概率为[ ].(A)52; (B) 43; (C) 42; (D) 53. 2. 已知事件A 及B 的概率都是21，则下列结论中，一定正确的是[ ].(A) 1)(=B A P ; (B) 41)(=AB P ; (C) )()(B A P AB P =; (D)21)(=AB P .3. 设随机变量),(~p n B ξ，已知E (ξ)＝0.5，D (ξ)＝0.45，则n ，p 的值为[ ]. (A) n =5，p =0.3; (B) n =10，p =0.05; (C) n =1，p =0.5; (D) n =5，p =0.1.4. 若随机变量ξ与η满足D (ξ＋η)=D (ξ－η)，则下列式子中，正确的是[ ].(A) ξ与η相互独立; (B) ξ与η不相关; (C) D (ξ)=0; (D) D (ξ)·D (η)＝0.三、完成下列各题(6×8=48分)1. 猎人在距离100m 处射击一动物，击中的概率为0.6，如果第1次未击中，则进行第2次射击，但由于动物逃跑而使距离变为150m ，如果第2次又未击中，则进行第3次射击，这时距离变为200m ，假定击中的概率与距离成反比，求猎人击中动物的概率.2. 测量到某一目标的距离时发生的随机误差ξ(m)具有概率密度3200)20(22401)(--=x ex πϕ，求在3次测量中，至少有一次误差的绝对值不超过30m 的概率.3. 每次射击时，击中目标的炮弹数的数学期望为2，标准差为1.5，求在100次射击中，有180到220发炮弹命中目标的概率.4. 设随机变量ξ，η相互独立，)21,2(~B ξ，)32,2(~B η，求ξ＋η的概率分布及P {ξ>η}. 5. 设总体ξ的概率密度为)(21);(||+∞<<-∞=-x e x x θθθϕ，其中θ>0，若样本观测值为n x x x ,,,21 ，求θ的极大似然估计.6. 两批导线，从第一批中抽取4根，从第二批中抽取5根，测得它们的电阻(单位：Ω)如下第一批：0.143，0.142，0.143，0.137； 第二批：0.140，0.142，0.136，0.138，0.140.设两批导线的电阻分别服从正态分布),(211σμN 及),(222σμN ，其中，1μ，2μ，1σ，2σ都是未知参数，求这两批导线电阻的均值差1μ－2μ对应于置信概率0.95的置信区间(假定1σ=2σ).7. 为了估计灯泡使用时数的数学期望μ及标准差σ，试验10个灯泡，得到x =1500h ，s ＝20h ，设灯炮使用时数服从正态分布，求 (1)求μ的置信区间；(2)求σ的置信区间.(均取α=0.05)8. 设三事件A ，B ，C 相互独立，证明A －B 与C 也相互独立.四、(9分)甲、乙、丙3人各自加工1个产品，检验的结果是在3个产品中发现1个次品，设甲、乙、丙加工产品的次品率分别是0.1，0.2，0.3，分别求这个次品是甲、乙、丙加工的概率.五、(9分)甲、乙两人约定某日上午8:00~12:00在某地相会，设两人到达该地的时间是相互独立的，求两人相会前等待时间的数学期望及方差.六、(10分)甲、乙两人在某一局乒乓球比赛时，双方得分打成20:20平，按规定，在后面的比赛中，只有当某一方连得2分时，方能取得该局的胜利. 设在后面的比赛中，甲每个球得分的概率均为0.6，乙均为0.4，各球的胜负是相互独立的，求甲在该局获胜的概率.综合练习三一、填空题(3×4=12分)1. 设事件A ，B ，C 相互独立，P (A )=0.2，P (B )=0.4，P (C )=0.7，则)(C B A P =_______________.2. 设ξ～B (10，0.3)，则在P {ξ=m }(m =0，l ，…，10)中，最大的值是_________________.3. 设ξ～N (2，σ2)，P {2<ξ<4}=0.3，则P {ξ<0}=_____________.4. 设ξ服从泊松分布P (λ)，抽取样本1x ，2x ，…，n x ，则样本均值x 的概率分布为_____________.二、选择题(3×4=12分)l. 从5双不同型号的鞋中任取4只，则至少有2只鞋配成1双的概率为[ ].(A) 211； (B) 2112； (C) 218； (D) 2113. 2. 设总体ξ～N (μ，σ2)，其中σ2已知，则总体均值μ的置信区间长度L 与置信度1－α的关系是[ ].(A) 当1－α缩小时，L 缩短； (B) 当1－α缩小时，L 增长；(C) 当1－α缩小时，L 不变； (D) 以上说法都不对.3. 设离散型随机变量ξ的分布律为P {ξ=k }=αβk (k =1，2，…)，且α>0，则β为[ ].(A) 11-=αβ； (B) 1+=ααβ； (C) 11+=αβ； (D) 1+=αβ. 4. 设两个相互独立的随机变量ξ和η的方差分别为6和3，则随机变量2ξ－3η的方差是[ ].(A) 51l ； (B) 21； (C) －3； (D) 36.三、完成下列各题(6×8=48分)1. 射击运动中，1次射击最多能得10环，设某运动员在1次射击中得10环的概率为0.4，得9环的概率为0.3，得8环的概率为0.2，求该运动员在5次独立射击中得到不少于48环的概率.2. 设ξ在[－2，2]上服从均匀分布，η=ξ2，求η的概率密度及D (η).3. 设二维随机变量(ξ，η)的概率密度为])()[(2122221221),(μμσπσϕ-+--=y x e y x ，其中σ>0，求随机变量U =a ξ＋b η，V =a ξ－b η的相关系数r uv ，其中a ，b 为常数.4. a ，b ，c 3个盒子，a 盒中有1个白球和2个黑球，b 盒中有1个黑球和2个白球，c 盒中有3个白球和3个黑球，扔一骰子以决定选盒；若出现1，2，3点，则选a 盒；若出4点，则选b 盒；若出现5，6点，则选c 盒. 在选中的盒中任选1球，试求(1)选中白球的概率；(2)当选中的是白球时，问此自球来自a 盒的概率.5. 某系统备有30个电子元件a l ，a 2，…，a 30，先使用a l ，若a l 损坏，立即使用a 2；若a 2损坏，则立即使用a 3；…直至30个元件用尽. 设a i 的寿命(单位：h)服从参数为λ=0.1的指数分布，ξ为30个元件使用的总时间，求ξ超过350h 的概率.6. 设η服从参数为1的指数分布，ξ1，ξ2是0-l 分布， ⎩⎨⎧>≤=1,11,01ηηξ； ⎩⎨⎧>≤=.2,1;2,02ηηξ 求(ξ1，ξ2)的概率分布及E (ξ1ξ2).7. 在半径为R 的圆的某一直径上任取一点，过该点做垂直于该直径的弦，求弦长的数学期望及方差.8. 设随机变量ξ的数学期望为E (ξ)，方差为D(ξ)，证明对任意实数C ，均有)(])[(2ξξD C E ≥-.四、(9分)化工试验中要考虑温度对产品断裂力的影响，在70℃及80℃的条件下分别进行8次试验，测得产品断裂力(单位：kg)的数据如下70℃时，20.5，18.8，19.8，20.9，21.5，19.5，21.0，21.2；80℃时，17.7，20.3，20.0，18.8，19.0，20.1，20.2，19.1.已知产品断裂力服从正态分布，检验(1)两种温度下，产品断裂力的方差是否相等；(取α=0.05)(2)两种温度下，产品断裂力的平均值是否有显著差异. (取α=0.05)五、(9分)设ξ，η相互独立，ξ在[0，1]上服从均匀分布，η服从参数21=λ的指数分布，求方程022=++ηξt t 有实根的概率.六、(10分)甲、乙两排球队进行比赛，若有一队胜4场，则比赛结束. 假定甲队在每场比赛中获胜的概率均为0.6，乙均为0.4，求比赛场数的数学期望及甲队胜4场的概率.综合练习四一、填空题(3×4=12分)1. 一批产品，其中有10个正品和2个次品，任意抽取2次，每次抽1个，抽出后不再放回，则第2次抽出的是次品的概率为_______________.2. 在区间(0，l)中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为_____________________. 3. ξ的分布函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=≤=.3,1;31,8.0;11,4.0;1,0}{)(x x x x x P x F ξ 则ξ的分布列为_________________________.4. ξ与η独立，且都服从N (0，32)分布，ξ1，ξ2，…，ξ9和η1，η2，…，η9分别是来自于总体ξ和η的随机样本，则统计量292191ηηξξ++++= U 服从______________分布.二、选择题(3×4=12分)1. 对于任意两个事件A ，B ，有P (A －B )=[ ].(A) P (A )－P (B )； (B) P (A )－P (B )＋P (AB )；(C) P (A )－P (AB )； (D) P (A )＋P (B )－P (A B ).2. 设随机变量ξ~N (μ，σ2)，则随σ的增大，P {|ξ−μ|<σ}[ ].(A) 单调增加； (B) 单调减小； (C) 保持不变； (D) 增减不定.3. 设两个随机变量ξ与η相互独立，且服从同分布P {ξ=－1}=P {η=－1}=21，P {ξ=1}=P {η=1}=21，则下面各式中，成立的是[ ]. (A) P {ξ=η}=21； (B) P {ξ=η}=1； (C) P {ξ+η=0}=41； (D) P {ξη}=41. 4. 设ξ和η的方差存在且不为零，则D (ξ+η)=D (ξ)+D (η)是ξ和η[ ].(A) 不相关的充分条件，但不是必要条件； (B) 独立的充分条件，但不是必要条件；(C) 不相关的充分必要条件； (D) 独立的充分必要条件.三、完成下列各题(6×8=48分)1. 设有一群高射炮，每一门击中飞机的概率都是0.6，今有一架敌机入侵领空，欲以99％的概率击中它，问需要多少高射炮射击.2. 把4个球随机地放入3个盒子中去，设ξ，η可分别表示第1个、第2个盒子中的球数，求(l)(ξ，η)的分布；(2)边缘分布；(3)已知η=1时ξ的条件分布.3. 做一件事情，一次成功的概率p =0.1，若进行100次重复独立试验，问事情最可能成功多少次，并求出其概率.4. 设ξ服从泊松分布 P {ξ=k }=!k e k λλ-(k =0，1，2，…)，问当k 取何值时，P {ξ=k }为最大.5. 已知一本300页的书中每页印刷错误的个数服从泊松分布P (0.2)，求这本书印刷错误的总数不超过70的概率.6. 已知高度表的误差的标准差σ=15m ，求飞机上应该有多少这样的仪器，才能使得以概率0.98保证平均高度x 的误差的绝对值小于30m ？假定高度表的误差服从正态分布.7. 求抛硬币多少次，才能使子样均值x 落在0.4和0.6之间的概率至少为0.9？8. 设(ξ，η)在区域D ：0<x <1，|y |<x 内服从均匀分布，求(1)关于ξ的边缘分布密度；(2) η=2ξ+l 的方差．四、(9分)某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80，10和10件，现在从中随机抽取1件，记⎩⎨⎧=.,0;,1其他等品若抽取i i ξ (i ＝l ，2，3) 试求(1) ξ1和ξ2的联合分布；(2) ξ1和ξ2的相关系数.五、(9分)设ξ，η独立，证明D (ξ－η)=D (ξ)+D (η).六、(10分)某城市每天的耗电量不超过100万kW ·h ，每天的耗电量与百万kW ·h 的比值称为耗电率，设该城市的耗电率为ξ，其分布密度为 ⎩⎨⎧<<-=.0;10),1()(2其他x x A x ϕ 如果发电厂每天的供电量为80万kW ·h ，问任意一天供电量不足的概率为多少？综合练习五一、填空题(3×4=12分)1. 已知P (A )=P (B )=P (C )=41，P (AB )=0，P (AC )=P (BC )=81，则A ，B ，C 全不发生的概率为_________________.2. 设ξ的密度121)(-+-=x x e x πϕ，则ξ的期望为_______________，方差为_____________________.3. 设ξ服从参数为1的指数分布，则)(2ξξ-+e E =_______________________________.4. 设ξ1，ξ2，ξ3相互独立，其中ξ1在[0，6]上服从均匀分布，ξ2服从正态分布N (0, 22)，ξ3服从参数λ=3的泊松分布，记η=ξ1+2ξ2+3ξ3，则D(η)=_________________________.二、选择题(3×4=12分)1. 设A ，B 为任意两个事件，且B A ⊂，P (B )>0，则下列选项中，必然成立的是[ ].(A) P (A )＜P (A |B )； (B) P (A )≤P (A |B )；(C) P (A )＞P (A |B )； (D) P (A )≥P (A |B ).2. 设两个相互独立的随机变量ξ和η分别服从正态分布N (0, 1)和N (1, l)，则[ ].(A) P {ξ+η≤0}=21； (B) P {ξ+η≤1}=21； (C) P {ξ－η≤0}=21； (D) P {ξ－η≤1}=21. 3. 设两个相互独立的随便机变量ξ和η的方差分别为4和2，则3ξ－2η的方差是[ ].(A) 8； (B) 16； (C) 28； (D)44.4. 设x 1，…，x n 是母体ξ的n 个子样. 21)(σ=x D ，∑==n i i x n x 11，∑=--=n i i x x n s 122)(11，则[ ].(A) s 是σ的无偏估计量； (B) s 是σ的极大似然会计量；(C) s 是σ的一致估计量； (D) s 与x 相互独立.三、完成下列各题(6×8=48分)1. 任取两个真分数，求它们乘积不大于41下的概率.2. 设ξ在]2,2[ππ-上服从均匀分布，求η=cos ξ的概率密度. 3. 一电子仪器由两个部件构成，以ξ和η分别表示两个部件的寿命(单位：h)，已知ξ和η的联合分布函数为⎩⎨⎧≥≥+--=+---.,0;0,0,1),()(5.05.05.0其他y x e e e y x F y x y x 问(1) ξ与η是否独立；(2)求两个部件的寿命都超过100h 的概率．4. 在长为L 的线段上任取两点，求两点间距离的数学期望及均方差.5. 为了确定事件A 的概率，需要进行一系列的试验，在100次试验中，A 发生了36次；如果取频率0.36作为A 的概率p 的近似值，求误差小于0.05的概率.6．要求某种导线电阻的标准差不得超过0.005(Ω)，今在生产的一批导线中取样品9根，测得s ＝0.007(Ω)，设总体服从正态分布，问在水平α=0.05下，能否认为这批导线的标准差显著地偏大.7. 过半径为R 的圆周上的一点，任意做圆的弦，求这些弦的平均长度.8. 从南郊乘汽车前往北郊火车站乘火车，有两条路线可走．第一条穿过市区，路程较短，但交通拥挤，所需时间(单位：min)服从正态分布N (50, 102)；第二条路沿环城公路走，路程较长，但意外阻塞较少，所需时间服从正态分布N (60, 42)，若有70min 时间可用，问应走哪条路？四、(9分)2台同样的自动记录仪，每台记录仪无故障工作的时间服从参数为5的指数分布．首先开动其中1台，当其发生故障时，停用，而另1台自动开动．试求2台记录仪无故障工作的总时间T 的概率密度．五、(9分)设总体ξ服从指数分布，其密度 ⎩⎨⎧≤>=-.0,0;0,)(x x ae x ax ϕ (a>0为常数) 求子样均值x 的分布． 六、(10分)设一大型设备在任何长为t 的时间内发生故障的次数N (t )服从参数为λt 的泊松分布，试求(1)相继两次故障的时间间隔T 的概率分布；(2)求在设备已经无故障工作8h 的情况下，再无故障运行8h 的概率.综合练习六一、填空题(3×4=12分)1. 已知P (A)=0.5, P (B )=0.6, 以及P (B |A )=0.8, 则P (B A )=____________.2. 若ξ在(1, 6)上服从均匀分布, 则x 2+ξx +1=0有实根的概率是______________.3. 某灯泡使用时数在1000h 以上的概率为0.2, 今3个灯泡在使用1000h 以后最多只坏1个的概率为________.4. 设由来自正态总体ξ~N (μ, σ2), 容量为9的简单随机样本得样本均值x =5, 则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是___________________________.二、选择题(3×4=12分)1. 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则[ ].(A) A 和B 互不相容; (B) AB 是不可能事件; (C) AB 未必是不可能事件; (D) P (A )=0或P (B )=0.2. 设随机变量ξ的密度函数φ(x ), 且φ(－x )=φ(x ), F (x )是ξ的分布函数, 则对任意数a , 有[ ].(A) F (－a )=1－⎰a dx x 0)(ϕ; (B) F (－a )=211－⎰a dx x 0)(ϕ; (C) F (－a )= F (a ); (D) F (－a )= F (a )－1.3. 设随机变量ξ与η相互独立, 其概率分布为和 则下式中, 正确的是[ ].(A) ξ=η; (B) P {ξ=η}=0; (C) P {ξ=η}=21; (D) P {ξ=η}=1. 4. 设x 1, …, x n 是来自正态总体N (μ, σ2)的简单随机样本, x 是平均值, 记∑=--=n i i x x n s 1221)(11; ∑=-=n i i x x n s 1222)(1; ∑=--=n i i x n s 1223)(11μ; ∑=-=ni i x n s 1224)(1μ. 则服从自由度为n －1的t 分布的随机变量是[ ].(A) 11--=n s x t μ; (B) 12--=n s x t μ; (C) n s x t 3μ-=; (D) n s x t 4μ-=.三、完成下列各题(6×8=48分)1. 第一箱中有10个球, 其中有8个白球和2个黑球. 第二箱中有20个球, 其中有4个白球和16个黑球. 现从每箱中任取1球, 然后从这两球中任取1球. 问取到白球的概率是多少？2. 某种型号的电子管的寿命ξ(单位：h)具有以下的概率密度: ⎪⎩⎪⎨⎧>=.,0;1000,1000)(2其他x x x ϕ现有一大批此种管子, 任取5只, 问其中有2只寿命大于1500h 的概率是多少？3. 某工厂生产过程中, 出现次品的概率为0.05, 每100个产品为一批. 检查产品质量时, 在每批中任取一半来检查, 若发现次品不多于1个, 则认为这批产品是合格的, 求一批产品被认为是合格的概率.4. 点随机地落在中心在原点, 半径为R 的圆周上, 并且对弧长是均匀分布的. 求这点的横坐标的概率密度.5. 设x 和y 分别是取正态总体N (μ, σ2)的容量为n 的两组子样(x 1, …, x n )和(y 1, …, y n )的均值, 试确定n , 使两组子样的均值之差超过σ的概率大约为0.01.6. 某计算机系统有120个终端, 每个终端有5%时间在使用, 若各个终端使用与否是相互独立的, 试求有10个或更多终端在使用的概率.7. 某转炉炼某特种钢, 每一炉钢的合格率为0.7, 现有若干个转炉同时冶炼, 若要求至少能够炼出一炉合格钢的把握为99％, 问同时至少要有几个转炉炼钢？8. 对某一目标连续射击, 直到命中n 次为止, 设每次射击的命中率为p , 求子弹消耗量的数学期望.四、(9分)设二维随机变量(ξ, η)的密度为 ⎩⎨⎧≤≤=.,0;1,),(22其他y x y cx y x ϕ (1)试确定常数c ; (2)求边缘概率密度.五、(9分)设总体ξ~P (λ), 抽取样本x 1, …, x n , 求样本均值x 的概率分布、数学期望及方差.六、(10分)设随机变量ξ1, ξ2, ξ3, ξ4, 相互独立, 且同分布. P (ξi =0)=0.6, P (ξi =1)=0.4(i =1, 2, 3, 4), 求行列式4321ξξξξη=的概率分布.综合练习七一、填空题1.已知P (A)=0.5, P (B )=0.6, 以及P (B |A )=0.8, 则P (B A )=____________.2.设事件A ，B ，C 相互独立，P (A )=0.2，P (B )=0.4，P (C )=0.7，则)(C B A P =_______________.3.一批产品，其中有10个正品和2个次品，任意抽取2次，每次抽1个，抽出后不再放回，则第2次抽出的是次品的概率为_______________.4.将3个球随机放到5个盒子中去，则有球的盒子数的数学期望为_______________.5.设X ～N (2，σ2)，P {2<X <4}=0.3，则P {X <0}=_____________.6.设X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分布，X 2服从正态分布N (0, 22)，X 3服从参数λ=3的泊松分布，记Y =X 1+2X 2+3X 3，则D (Y )=_________________________.7.在区间(0，l)中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为_____________________.二、选择题1.对于任意两个事件A ，B ，有P (A －B )=[ ].(A) P (A )－P (B )； (B) P (A )－P (B )＋P (AB )； (C) P (A )－P (AB )； (D) P (A )＋P (B )－P (A B ).2.设随机变量X 在[0，5]上服从均匀分布，则方程02442=+++X Xx x 有实根的概率为[ ].(A) 53； (B) 52； (C) 1； (D) 31. 3.设随机变量X 与Y 相互独立, 其概率分布为和 (A)X =Y ; (B) P {X =Y }=0; (C) P {X =Y }=21; (D) P {X =Y }=1. 4.设A ，B 为任意两个事件，且B A ⊂，P (B )>0，则下列选项中，必然成立的是[ ].(A) P (A )＜P (A |B )； (B) P (A )≤P (A |B )； (C) P (A )＞P (A |B )； (D) P (A )≥P (A |B ).5.设两个相互独立的随便机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则3X －2Y 的方差是[ ].(A) 8； (B) 16； (C) 28； (D)44.6.若随机变量X 与η满足D (X ＋Y )=D (X －Y )，则下列式子中，正确的是[ ].(A) X 与Y 相互独立; (B) X 与Y 不相关; (C) D (X )=0; (D) D (X )·D (Y )＝0.7.设总体X ～N (μ，σ2)，其中σ2已知，则总体均值μ的置信区间长度L 与置信度1－α的关系是[ ].(A) 当1－α缩小时，L 缩短； (B) 当1－α缩小时，L 增长；(C) 当1－α缩小时，L 不变； (D) 以上说法都不对.8.设随机变量),(~p n B X ，已知E (X )＝0.5，D (X )＝0.45，则n ，p 的值为[ ].(A) n =5，p =0.3; (B) n =10，p =0.05; (C) n =1，p =0.5; (D) n =5，p =0.1.三、完成下列各题1.a ，b ，c 3个盒子，a 盒中有1个白球和2个黑球，b 盒中有1个黑球和2个白球，c 盒中有3个白球和3个黑球，扔一骰子以决定选盒；若出现1，2，3点，则选a 盒；若出4点，则选b 盒；若出现5，6点，则选c 盒. 在选中的盒中任选1球，试求(1)选中白球的概率；(2)当选中的是白球时，问此自球来自a 盒的概率.2.某计算机系统有120个终端, 每个终端有5%时间在使用, 若各个终端使用与否是相互独立的, 试求有10个或更多终端在使用的概率.3.已知(X ,Y )的概率密度函数为 ⎩⎨⎧<<<<+=其它010,10),(y x y x y x f ，求：（１）相关系数XY ρ；（２）判断X 与Y 的独立性。