高中数学人教B版必修五第二单元 数列：2.3.1 等比数列(一)
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2．3.1 等比数列(一)
学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．
知识点一 等比数列的概念
思考 观察下列4个数列，归纳它们的共同特点．
①1,2,4,8,16，…；
②1，12，14，18，116，…；
③1,1,1,1，…；
④－1,1，－1,1，….
梳理 等比数列的概念和特点．
(1)文字定义：一般地，如果一个数列从第____项起，每一项与它的____一项的____都等于________常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的______，通常用字母q(q≠0)表示．
(2)递推公式形式的定义anan－1＝q(n>1，n∈N＋)(或an＋1an＝q，n∈N＋)．
(3)等比数列各项均________为0.
知识点二 等比中项的概念
思考 在2,8之间插入一个数，使之成等比数列．这样的实数有几个？
梳理 等差中项与等比中项的异同，对比如下表：
对比项 等差中项 等比中项
定义 若x，A，y成等差数列，则A叫做x与y的等差中项 若x，G，y成等比数列，则G叫做x与y的等比中项
定义式 A－x＝y－A Gx＝yG
公式 A＝x＋y2 G＝±xy
个数 x与y的等差中项唯一 x与y的等比中项有____个，且互为______
备注 任意两个数x与y都有等差中项 只有当xy＞0时，x与y才有等比中项
知识点三 等比数列的通项公式
思考 等差数列通项公式是如何推导的？你能类比推导首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式吗？
梳理 等比数列{an}首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1.
类型一 证明等比数列
例1 已知f(x)＝logmx(m＞0且m≠1)，设f(a1)，f(a2)，…，f(an)，…是首项为4，公差为2的等差数列，
求证：数列{an}是等比数列．
反思与感悟 判断一个数列是否为等比数列的方法是利用定义，即an＋1an＝q(与n无关的常数)．
跟踪训练1 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝13(an－1)(n∈N＋)．
(1)求a1，a2；
(2)证明：数列{an}是等比数列．
类型二 等比数列通项公式的应用
命题角度1 方程思想
例2 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项．
反思与感悟 已知等比数列{an}的某两项的值，求该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a1和q的两个方程，从而解出a1和q，再求其他项或通项．
跟踪训练2 在等比数列{an}中．
(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；
(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.
命题角度2 等比数列的实际应用
例3 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长？(精确到1年，放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期)
反思与感悟 等比数列应用问题，在实际应用问题中较为常见，解题的关键是弄清楚等比数列模型中的首项a1，项数n所对应的实际含义．
跟踪训练3 某制糖厂2011年制糖5万吨，如果从2011年起，平均每年的产量比上一年增加20%，那么到哪一年，该糖厂的年制糖量开始超过30万吨？(保留到个位，lg 6≈0.778，lg
1.2≈0.079)
类型三 等比中项
例4 若1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，则ab的值为( )
A．±12 B.12
C．1 D．±1
反思与感悟 (1)任意两个实数都有唯一确定的等差中项；(2)只有同号的两个实数才有实数等比中项，且一定有2个． 跟踪训练4 2＋1与2－1的等比中项是( )
A．1 B．－1
C．±1 D.12
1．在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a3等于( )
A．16 B．16或－16
C．32 D．32或－32
2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( )
A．4 B．8 C．6 D．32
3．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于( )
A．64 B．81 C．128 D．243
4．45和80的等比中项为________．
1．等比数列的判断或证明
(1)利用定义：an＋1an＝q(与n无关的常数)．
(2)利用等比中项：a2n＋1＝anan＋2(n∈N＋)．
2．两个同号的实数a、b才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±ab)，而不是一个(ab)，这是容易忽视的地方．
3．等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量． 答案精析
问题导学
知识点一
思考 从第2项起，每项与它的前一项的比是同一个常数．
梳理 (1)2 前 比 同一个 公比
(3)不能
知识点二
思考 设这个数为G.则G2＝8G，G2＝16，G＝±4.所以这样的数有2个．
梳理 两 相反数
知识点三
思考 等差数列通项公式的推导是借助叠加消去中间项，等比数列则可用叠乘．根据等比数列的定义得
a2a1＝q，a3a2＝q，a4a3＝q，…，anan－1＝q
(n≥2)．
将上面n－1个等式的左、右两边分别相乘，
得a2a1·a3a2·a4a3·…·anan－1＝qn－1，化简得ana1＝qn－1，即an＝a1qn－1(n≥2)．
当n＝1时，上面的等式也成立．
∴an＝a1qn－1(n∈N＋)．
题型探究
类型一
例1 证明 由题意知f(an)＝4＋2(n－1)＝2n＋2＝logman，
∴an＝m2n＋2，
∴an＋1an＝m2n＋1＋2m2n＋2＝m2，
∵m＞0且m≠1，
∴m2为非零常数，
∴数列{an}是等比数列． 跟踪训练1 (1)解 ∵a1＝S1＝13(a1－1)，
∴a1＝－12.
又a1＋a2＝S2＝13(a2－1)，
∴a2＝14.
(2)证明 ∵Sn＝13(an－1)，
∴Sn＋1＝13(an＋1－1)，
两式相减得an＋1＝13an＋1－13an，
即an＋1＝－12an，
∴数列{an}是首项为－12，公比为－12的等比数列．
类型二
命题角度1
例2 解 设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么
a1q2＝12， ①a1q3＝18， ②
②÷①，得q＝32，
将q＝32代入①，
得a1＝163.
因此，a2＝a1q＝163×32＝8.
综上，这个数列的第1项与第2项分别是163与8.
跟踪训练2 (1)a6＝－96，
(2)an＝5×2n－1(n∈N＋)．
命题角度2
例3 解 设这种物质最初的质量是1，经过n年，剩余量是an， 由条件可得，数列{an}是一个等比数列．
其中a1＝0.84，q＝0.84，
设an＝0.5，则0.84n＝0.5.
两边取常用对数，得nlg 0.84＝lg 0.5，
用计算器算得n≈4.
所以这种物质的半衰期大约为4年．
跟踪训练3 解 记该糖厂每年制糖产量依次为a1，a2，a3，…，an，….则依题意可得a1＝5，anan－1＝1.2(n≥2且n∈N＋)，
从而an＝5×1.2n－1，这里an＝30，
故1.2n－1＝6，
即n－1＝log1.26＝lg 6lg 1.2
＝0.7780.079≈9.85.故n＝11.
所以从2021年开始，该糖厂年制糖量开始超过30万吨．
类型三
例4 D [∵1，a,3成等差数列，
∴a＝1＋32＝2，
∵1，b,4成等比数列，
∴b2＝1×4，b＝±2，
∴ab＝2±2＝±1.]
跟踪训练4 C
当堂训练
1．C 2.C 3.A 4.－60或60
