对数函数专题

1/17 专题27 对数函数的图像和性质（一）

题组1

对数函数的图像

1.已知函数f (x)＝133,1log,1xxxx则函数y＝f (1－x)的大致图象是（ ）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】先画出函数f (x)＝133,1log,1xxxx的草图，

令函数f (x)的图象关于y轴对称，得函数f (－x)的图象，

再把所得的函数f (－x)的图象，向右平移1个单位，得到函数y＝f (1－x)的图象，

故选：D. 2/17

2.函数f（x）=10x与函数g（x）=lgx的图象

A.关于x轴对称 B.关于y轴对称

C.关于原点对称 D.关于y=x对称

【答案】D

【解析】因为f（x）=10x与函数g（x）=lgx是一对反函数，所以其图象关于y=x对称.

故选D.

3.函数f（x）=ln|11xx|的大致图象是（ ） A.B.C.D.

【答案】D 【解析】因为11lnln11xxfxfxxx，所以函数fx是奇函数，图象关于原点对称，可排除,AC ；由2ln30f,可排除B ，故选D.

4.函数f（x）=log2（x+1）与g（x）=2﹣x+1在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】定义域为，函数为增函数；定义域为，函数为减函数，所以结合指数函数对数函数的性质可知B图像正确

5.已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝log2|x|，则函数F(x)＝f(x)·g(x)的图象大致为( )

A. B. C. D.

【答案】B 3/17

【解析】由题意得，函数,fxgx为偶函数，

∴函数Fxfxgx为偶函数，其图象关于y轴对称，

故只需考虑0x时的情形即可.

由函数,fxgx的取值情况可得，当0x时，函数Fx的取值情况为先负、再正、再负，

专题37 对数函数的性质及其应用

知识点一 对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的性质

(1)定义域： (0，＋∞)．

(2)值域： (－∞，＋∞)．

(3)定点： (1,0)．

(4)单调性：a>1时，在(0，＋∞)上是增函数；0

(5)函数值变化

当a>1，x>1时，y∈ (0，＋∞)；0

当01时，y∈ (－∞，0)；0

可简记为“底真同，对数正；底真异，对数负”，“同”指同大于1或同小于1，“异”指一个大于1一个小于1.

(6)复合函数的单调性，按照“同增异减”的性质求解．

知识点二 反函数的概念

对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与指数函数y＝ax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．对数函数y＝logax的定义域是指数函数y＝ax的值域，而y＝logax的值域是y＝ax的定义域．

(1)并非任意一个函数y＝f(x)都有反函数，只有定义域和值域满足“一一对应”的函数才有反函数．

(2)一般来说，单调函数都有反函数，且单调函数的反函数与原函数有相同的单调性．

(3)若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．

(4)求反函数的步骤：

①求出函数y＝f(x)的值域；

②由y＝f(x)解出x＝f－1(y)；

③把x＝f－1(y)改写成y＝f－1(x)，并写出函数的定义域(即原函数的值域)．

题型一 比较对数值的大小

1．比较下列各组值的大小：

(1)log534与log543；(2)log132与log152；(3)log23与log54.

[解析](1)法一(单调性法)：对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，所以log534

法二(中间值法)：因为log534<0，log543>0，所以log534

(2)法一(单调性法)：由于log132＝1log213，log152＝1log215，

又因对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且13>15，所以0>log213>log215， 所以1log213<1log215，所以log132

试卷第1页，总24页 求对数函数解析式 专题含答案

学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________

1. 已知幂函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象经过点(2, 4)，则𝑓(𝑥)的解析式（ ）

A.𝑓(𝑥)=2𝑥 B.𝑓(𝑥)=𝑥2 C.𝑓(𝑥)=2𝑥 D.𝑓(𝑥)=𝑥+2

2. 已知函数𝑔(𝑥)=log𝑎(𝑥−3)+2(𝑎>0, 𝑎≠1)的图象经过定点𝑀，若幂函数𝑓(𝑥)=𝑥𝛼的图象过点𝑀，则𝛼的值等于（ ）

A.−1 B.12 C.2 D.3

3. 如果对数函数𝑦=log𝑎𝑥的图象经过点𝑃(18, 3)，则底𝑎=( )

A.2 B.−2 C.12 D.−12

4. 已知幂函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象过点(2,14)，则log2𝑓(4)的值为（ ）

A.2 B.−4 C.4 D.−2

5. 函数𝑓(𝑥)=(𝑎2−3𝑎+3)log𝑎𝑥是对数函数，则𝑎的值是（ ）

A.𝑎=1或𝑎=2 B.𝑎=1 C.𝑎=2 D.𝑎>0或𝑎≠1

6. 若函数𝑦=𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥(𝑎>0,𝑎≠1)的图象过点(4,−2),且函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象与函数𝑦=𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥(𝑎>0,𝑎≠1)的图象关于直线𝑦=𝑥对称，则𝑓(𝑥)=________.

7. 已知函数𝑔(𝑥)=(𝑎+1)𝑥−2+1(𝑎>0)的图象恒过定点𝐴，且点𝐴又在函数𝑓(𝑥)=log3(𝑥+𝑎)的图象上．则实数𝑎=________．

8. 若对数函数𝑦=𝑓(𝑥)图象过点(4, 2)，则其解析式是________．

9. 函数𝑓(𝑥)={𝑎𝑥+𝑏(𝑥≤0)，log𝑐(𝑥+19)(𝑥>0)，的图象如图所示，则𝑎+𝑏+𝑐=________.

对数函数的图像与性质（一）

考向一 对数函数的概念

1、下列函数是对数函数的是( )

A．3log(1)yx B．log(2)(0ayxa，且1)a

C．ylnx D．2(0,1)aylogxaa且

【分析】根据对数函数的定义即可得出．

【解答】解：根据对数函数的定义可得：只有ylnx为对数函数．

故选：C．

2、若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________.

【解析】因为函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，

所以 2a－1>0，2a－1≠1，a2－5a＋4＝0，解得a＝4.

3、对数函数𝑓(𝑥)的图象经过点(14，2)，则𝑓(𝑥)= ．

【答案】𝑙𝑜𝑔12𝑥

【解析】设数函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥，(𝑎>0且𝑎≠1)

∵图象经过点(14，2)，

得𝑎=12

∴𝑓(𝑥)=𝑙𝑜𝑔12𝑥

故答案为：𝑙𝑜𝑔12𝑥 4、已知 𝑓(𝑥6)=log2𝑥，那么 𝑓(8)等于 ( )

A．

43

B．

8

C．

18

D．

12

【答案】D

【解析】由题可知，𝑥>0，令𝑥6=8，得𝑥=816=212，所以𝑓(8)=log2⁡212=12．

考向二 对数函数的图像

1、（1）如图是对数函数logayx的图象，已知a值取3，43，35，110，则相应于1C，2C，3C，4C的a值依次是（ ）．

A．3，43，35，110 B．3，43，110，35

C．43，3，35，110 D．43，3，110，35

（2）当1a时，在同一坐标系中，函数xya与logayx的图象是（ ）

（3）若函数0,1xyaaa的值域为1yy，则函数logayx的图象大致是( )

【答案】⑴A ⑵D⑶B 2、同一直角坐标系中，当时，函数与的图象是