对数与对数函数-高考文科数学专题练习

高考数学题：对数与对数函数试题精选（带答案）高考数学题：对数与对数函数试题精选（带答案）新人教B版1.(2011•广东高州市大井中学模拟)函数y＝＋－x2－3x＋4的定义域为()A．(－4，－1)B．(－4,1)C．(－1,1)D．(－1,1][答案] C[解析]要使函数有意义，须x＋1>0－x2－3x＋4>0，∴x>－1－40时，y＝log2x为增函数，排除D，选C.3．(2011•浙江省“百校联盟”交流联考)已知00x>01－x>x解得00时，f(x)＝lgx，则f(f(1100))的值等于()B．－1lg2C．lg2D．－lg2[答案] D[解析]当x0，则f(－x)＝lg(－x)．又函数为奇函数，f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－lg(－x)．∴f(1100)＝lg1100＝－2，f(f(1100))＝f(－2)＝－lg2.5．(文)(2011•天津文，5)已知a＝，b＝，c＝，则()A．a>b>cB．a>c>bC．b>a> cD．c>a>b[答案] B[解析]∵a＝>1，c＝c.又∵c＝>＝b.∴a>c>b.(理)(2011•重庆文，6)设a＝log13 12，b＝log13 23，c＝log334，则a、b、c的大小关系是()A．ab且a>0，b>0，又c0得x>3或xa>1；③a＝b；④，x≤0，那么不等式f(x)≥1的解集为________．[答案]{x|x≤0或x≥3}[解析]f(x)≥1化为x>0log3x≥1或∴x≥3或x≤0.(理)(2011•浙江省宁波市“十校联考”)设a>0，a≠1，函数f(x)＝ax2＋x＋1有最大值，则不等式loga(x－1)>0的解集为________．[答案]{x|10化为01，且f(22)＝1，则f[f(2)]＝________.[答案] 6[解析]∵f(22)＝loga[(22)2－1]＝loga7＝1，∴a＝7 .又f(2)＝log730，且a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域和值域；(2)若函数f(x)有最小值为－2，求a 的值．[解析](1)由1－x>0x＋3>0得－30，则01时，y≤loga4，值域为{y|y≤log a4}，当00且a≠1)．(1)证明函数f(x)的图象在y轴的一侧；(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10，得ax>1.当a>1时，解得x>0，此时f(x)的图象在y轴右侧；当00且a≠1的任意实数a，f(x)的图象总在y轴一侧．(2)①当a>1时，x>0，由00.直线AB的斜率kAB＝－－x1>0.②当0ax2>1，f(x2)－f(x1)>0.同上可得kAB>0.11.(2011•安徽省淮南市模拟)若x∈(e－1,1)，a＝lnx，b＝(12)lnx，c＝elnx，则()A．c>b>aB．b>a>cC．a>b>cD．b>c>a[答案] D[解析]∵x∈(e－1,1)，∴a＝lnx∈(－1,0)；c＝elnx＝x∈(1e，1)；b＝(12)lnx∈(1,2)．∴，若f(a)＝12，则实数a等于()A．－1C．－1或2D．1或－2[答案] C[解析]当a>0时，log2a＝12，所以a＝2，当a≤0时，2a＝12，所以a＝－1.13．(2011•丹阳一模)已知函数f(x)＝3x＋1，x≤0log2x，x>0，则使函数f(x)的图象位于直线y＝1上方的x的取值范围是________．[答案]{x|－12}[解析]由y>1得，x≤03x＋1>1或x>0log2x>1，，∴－12.14．(2011•绍兴一模)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f(lgx)＝f(1)，则x的值等于________．[答案]10或110[解析]∵f(x)在[0，＋∞)上是单调函数，且为偶函数，又f(lgx)＝f(1)，∴lgx ＝±1，∴x＝10或110.15．(文)已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋2kx(k∈R)是偶函数．(1)求k的值；(2)若方程f(x)＝m有解，求m的取值范围．[解析](1)由函数f(x)是偶函数可知，f(－x)＝f(x)，∴log4(4x＋1)＋2kx＝log4(4－x＋1)－2kx，即log44x＋14－x＋1＝－4kx，∴log44x＝－4kx，∴x＝－4kx，即(1＋4k)x＝0，对一切x∈R恒成立，∴k＝－14.(2)由m＝f(x)＝log4(4x＋1)－12x＝log44x＋12x＝log4(2x＋12x)，∵2x>0，∴2x＋12x≥2，∴m≥log42＝12.故要使方程f(x)＝m有解，m的取值范围为[12，＋∞)．(理)(2011•金华模拟)设集合A＝{x|2(log12 x)2－7log2x＋3≤0}，若当x∈A时，函数f(x)＝log2x2a •log2x4的最大值为2，求实数a的值．[解析]∵A＝{x|2(log2x)2－7log2x ＋3≤0}＝{x|12≤log2x≤3}＝{x|2≤x≤8}，而f(x)＝(log2x－a)(log2x－2)＝(log2x)2－(a＋2)log2x＋2a，令log2x＝t，∵2≤x≤8，∴12≤t≤3.∴f(x)可转化为g(t)＝t2－(a＋2)t＋2a，其对称轴为直线t＝a＋22，①当t＝a＋22≤74，即a≤32时，[g(t)]max＝g(3)＝2⇒a＝1，符合题意；②当t＝a＋22>74，即a>32时，[g(t)]max＝g(12)＝2⇒a＝116，符合题意．综上，a＝1，或a＝116.16．(2011•马鞍山市二检)设函数f(x)＝(1＋x)2－2ln(1＋x)．(1)若对任意的x∈[0,1]，不等式f(x)－m≤0都成立，求实数m的最小值；(2)求函数g(x)＝f(x)－x2－x在区间[0,2]上的极值．[解析](1)设f(x)在[0,1]的最大值为f(x)max，依题意有f(x)max≤m，∵f′(x)＝2(1＋x)－21＋x＝2x2＋4x1＋x，当x∈[0,1]时，f ′(x)≥0，故f(x)在[0,1]为增函数，f(x)max＝f(1)＝4－2ln2，于是m≥4－2ln2，即实数m的最小值为4－2ln2.(2)g(x)＝f(x)－x2－x＝1＋x－2ln(1＋x)，g′(x)＝1－21＋x＝x－1x＋1.当x>1时，g′(x)>0，当－1b>cB．a>c>bC．c>a>bD．c>b>a[答案] B[解析]∵10.∴c>b，故选B.2．已知0n>1，故应选A.3．(2011•四川文，4)函数y＝(12)x ＋1的图象关于直线y＝x对称的图象大致是()[答案] A[解析]解法一：作y＝(12)x的图象，然后向上平移1个单位，得y＝(12)x＋1的图象，再把图象关于y＝x对称即可．解法二：令x＝0得y＝2，∴对称图象过点(2,0)，排除C、D；又令x＝－1得y＝3，∴对称图象过点(3 ，－1)，排除B，故选A.4．函数f(x)＝|log12 x|的图象是()[答案] A[解析]f(x)＝|log12 x|＝|log2x|＝log2x－log2x，排除B、D，f(x)≥0，排除C，故选A.5．已知函数f(x)＝logm(x＋1)，且m>1，a>b>c>0，则，，f的大小关系是()[答案] B[解析]本题考查数形结合思想，可以转化成f(x)上的点与原点连线的斜率，据函数y＝log2(x＋1)的图象，设A(a，f(a))，B(b，f(b))，C(c，f(c))，显然kOA0时，f(x)＝2012x＋log2012x，则方程f(x)＝0的实根的个数为() A．1B．2C．3D．5[答案] C[解析]当x>0时，f(x)＝0即2012x ＝－log2012x，在同一坐标系下分别画出函数f1(x)＝2012x，f2(x)＝－log2012x 的图象(图略)，可知两个图象只有一个交点，即方程f(x)＝0只有一个实根，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x0，∴x＝5.8．(2011•上海交大附中月考)函数f(x)＝lg(x＋ax－6)(a∈R)的值域为R，则实================精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，欢迎阅读下载==============数a的取值范围是________．[答案](－∞，9][解析]①a≤0时，x＋ax－6能取遍一切正数，∴f(x)的值域为R；②a>0时，要使f(x)的值域为R，应使x＋ax－6可以取到所有正数，故x>0时，x＋ax－6的最小值2a－6≤0，∴0<a≤9，综上a≤9.--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载--------------------- ~ 11 ~。

对数与对数函数同步测试 一、选择题： 1．3log 9log 28的值是（ ） A ．32 B ．1 C ．23 D ．22．若log 2)](log [log log )](log [log log )](log [log 55153313221z y x ===0，则x 、y 、z 的大小关系是（ ）A ．z ＜x ＜yB ．x ＜y ＜zC ．y ＜z ＜xD ．z ＜y ＜x3．已知x =2+1,则lo g 4(x 3－x －6)等于（ ）A.23 B.45 D.21 4．已知lg2=a ，lg3=b ，则15lg 12lg 等于（ ）A ．b a b a +++12 B ．b a b a +++12 C．ba ba +-+12D ．ba ba +-+125．已知2 lg(x －2y )=lg x ＋lg y ，则yx 的值为 ( ）A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．4 或y =)12(log 21-x 的定义域为（ ）A ．(21，＋∞) B ．［1，＋∞) C ．(21，1] D ．(－∞，1)7．已知函数y =log 21 (ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＞ 1 B ．0≤a ＜ 1 C ．0＜a ＜1 D ．0≤a ≤1 f (e x )=x ，则f (5)等于（ ）A ．e 5 B ．5e C ．ln5 D ．log 5e 9．若1()log (01),(2)1,()a f x x a a f f x -=>≠<且且则的图像是（ ）A B C D10．若22log ()y x ax a =---在区间(,13)-∞-上是增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．[223,2]- B ．)223,2⎡-⎣ C ．(223,2⎤-⎦D ．()223,2- O yOy O yO y11．设集合B A x x B x x A ⋂>=>-=则|},0log |{},01|{22等于（ ） A ．}1|{>x x B ．}0|{>x x C ．}1|{-<x x D ．}11|{>-<x x x 或12．函数),1(,11ln+∞∈-+=x x x y 的反函数为 （） A ),0(,11+∞∈+-=x e e y x xB ．),0(,11+∞∈-+=x e e y x xC ．)0,(,11-∞∈+-=x e e y x xD ．)0,(,11-∞∈-+=x e e y x x 二、填空题： 13．计算：log 2.56.25＋lg1001＋ln e ＋3log 122+= ． 14．函数y =log 4(x －1)2(x ＜1＝的反函数为 ． 15．已知m ＞1，试比较(lg m )0.9与(lg m )0.8的大小 ． 16．函数y =(log 41x )2－log 41x 2＋5 在 2≤x ≤4时的值域为 ．三、解答题：17．已知y =log a (2－ax )在区间{0，1}上是x 的减函数，求a 的取值范围．18．已知函数f (x )=lg[(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1]，若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围.19．已知f (x )=x 2＋(lg a ＋2)x ＋lg b ，f (－1)=－2，当x ∈R 时f (x )≥2x 恒成立，求实数a 的值，并求此时f (x )的最小值?20．设0＜x＜1，a＞0且a≠1，试比较|log a(1－x)|与|log a(1＋x)|的大小。

§2.6 对数与对数函数1．对数的概念如果a x＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中__a __叫做对数的底数，__N __叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log am M n＝n mlog a M . (2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b(a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .3．对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若log2(log3x)＝log3(log2y)＝0，则x＋y＝5. ( √)(2)2log510＋log50.25＝5. ( ×)(3)已知函数f(x)＝lg x，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝2. ( √)(4)log2x2＝2log2x. ( ×)(5)当x>1时，log a x>0. ( ×)(6)当x>1时，若log a x>log b x，则a<b. ( ×) 2．(2013·课标全国Ⅱ)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( ) A．c>b>a B．b>c>aC．a>c>b D．a>b>c答案 D解析a＝log36＝1＋log32＝1＋1log23，b＝log510＝1＋log52＝1＋1log25，c＝log714＝1＋log72＝1＋1log27，显然a>b>c.3．(2013·浙江)已知x，y为正实数，则( )A ．2lg x ＋lg y ＝2lg x＋2lg yB ．2lg(x ＋y )＝2lg x·2lg yC ．2lg x ·lg y＝2lg x＋2lg yD ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y答案 D 解析 2lg x·2lg y＝2lg x ＋lg y＝2lg(xy )．故选D.4．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．答案 (－12，＋∞)解析 函数f (x )的定义域为(－12，＋∞)，令t ＝2x ＋1(t >0)．因为y ＝log 5t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝2x ＋1在(－12，＋∞)上为增函数，所以函数y ＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是(－12，＋∞)．5．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则不等式f (log 18x )>0的解集为________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)解析 ∵f (x )是R 上的偶函数，∴它的图象关于y 轴对称． ∵f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∴f (x )在(－∞，0]上为减函数，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0. ∴f (log 18x )>0⇒log 18x <－13或log 18x >13⇒x >2或0<x <12，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞).题型一 对数式的运算例1 (1)若x ＝log 43，则(2x－2－x )2等于( )A.94B.54C.103D.43(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f (log 312)的值是( )A ．5B ．3C ．－1D.72思维启迪 (1)利用对数的定义将x ＝log 43化成4x＝3； (2)利用分段函数的意义先求f (1)，再求f (f (1))；f (log 312)可利用对数恒等式进行计算．答案 (1)D (2)A解析 (1)由x ＝log 43，得4x＝3，即2x＝3，2－x ＝33，所以(2x －2－x )2＝(233)2＝43.(2)因为f (1)＝log 21＝0，所以f (f (1))＝f (0)＝2. 因为log 312<0，所以f (log 312)＝3－log 312＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3.所以f (f (1))＋f (log 312)＝2＋3＝5.思维升华 在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x ，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (2＋log 23)的值为________．答案124解析 因为2＋log 23<4， 所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)， 而3＋log 23>4，所以f (3＋log 23)＝(12)3＋log 23＝18×(12)log 23＝18×13＝124. 题型二 对数函数的图象和性质例2 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )(2)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 213)，c ＝f (0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c <a <b B ．c <b <a C ．b <c <aD ．a <b <c思维启迪 (1)结合函数的定义域、单调性、特殊点可判断函数图象；(2)比较函数值的大小可先看几个对数值的大小，利用函数的单调性或中间值可达到目的． 答案 (1)C (2)B解析 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ； 又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.选C. (2)log 213＝－log 23＝－log 49，b ＝f (log 213)＝f (－log 49)＝f (log 49)，log 47<log 49,0.2－0.6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－35＝5125>532＝2>log 49， 又f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数， 且在(－∞，0]上是增函数，故f (x )在[0，＋∞)上是单调递减的，∴f (0.2－0.6)<f (log 213)<f (log 47)，即c <b <a .思维升华 (1)函数的单调性是函数最重要的性质，可以用来比较函数值的大小，解不等式等；(2)函数图象可以直观表示函数的所有关系，充分利用函数图象解题也体现了数形结合的思想．(1)已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a(2)已知函数f (x )＝log a (x ＋b ) (a >0且a ≠1)的图象过两点(－1，0)和(0,1)，则a ＝________，b ＝________. 答案 (1)A (2)2 2解析 (1)b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8＝20.8<21.2＝a ，c ＝2log 52＝log 522<log 55＝1<20.8＝b ，故c <b <a .(2)f (x )的图象过两点(－1,0)和(0,1)．则f (－1)＝log a (－1＋b )＝0且f (0)＝log a (0＋b )＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧b －1＝1b ＝a，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ＝2.题型三 对数函数的应用例3 已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．思维启迪 f (x )恒有意义转化为“恒成立”问题，分离参数a 来解决；探究a 是否存在，可从单调性入手．解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )最小值为3－2a ，当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立．∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数， ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数， ∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0log a (3－a )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32a ＝32，故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 思维升华 解决对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质 (1)要分清函数的底数是a ∈(0,1)，还是a ∈(1，＋∞)；(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．已知f (x )＝log 4(4x－1)．(1)求f (x )的定义域；(2)讨论f (x )的单调性；(3)求f (x )在区间[12，2]上的值域．解 (1)由4x－1>0，解得x >0， 因此f (x )的定义域为(0，＋∞)． (2)设0<x 1<x 2，则0<4x 1－1<4x 2－1，因此log 4(4x 1－1)<log 4(4x 2－1)，即f (x 1)<f (x 2)， 故f (x )在(0，＋∞)上递增．(3)f (x )在区间[12，2]上递增，又f (12)＝0，f (2)＝log 415，因此f (x )在[12，2]上的值域为[0，log 415]．利用函数性质比较幂、对数的大小典例：(15分)(1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．a <b <c C ．b <a <cD ．a <c <bA ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b(3)已知函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，a ＝(20.2)·f (20.2)，b ＝(log π3)·f (log π3)，c ＝(log 39)·f (log 39)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b >a >cB ．c >a >bC ．c >b >aD ．a >c >b思维启迪 (1)利用幂函数y ＝x 0.5和对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，结合中间值比较a ，b ，c 的大小；(2)化成同底的指数式，只需比较log 23.4、log 43.6、－log 30.3＝log 3103的大小即可，可以利用中间值或数形结合进行比较；(3)先判断函数φ(x )＝xf (x )的单调性，再根据20.2，log π3，log 39的大小关系求解．解析 (1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性，可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1； 根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1. 所以b <a <c .方法一 在同一坐标系中分别作出函数y ＝log2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 4x 的图象，如图所示． 由图象知：log 23.4>log 3103>log 43.6.方法二 ∵log 3103>log 33＝1，且103<3.4，∴log 3103<log 33.4<log 23.4.∵log 43.6<log 44＝1，log 3103>1，∴log 43.6<log 3103.∴log 23.4>log 3103>log 43.6.(3)因为函数y ＝f (x )关于y 轴对称，所以函数y ＝xf (x )为奇函数． 因为[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )，且当x ∈(－∞，0)时，[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )<0，则函数y ＝xf (x )在(－∞，0)上单调递减； 因为y ＝xf (x )为奇函数，所以当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝xf (x )单调递减． 因为1<20.2<2,0<log π3<1，log 39＝2， 所以0<log π3<20.2<log 39， 所以b >a >c ，选A. 答案 (1)C (2)C (3)A温馨提醒 (1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数单调性两种方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.方法与技巧1．对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为{x |x >0}．对数函数的单调性和a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论．2．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性． 3．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定． 失误与防范1．在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N ＋，且α为偶数)．2．指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．3．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值A 组 专项基础训练一、选择题 1．函数y ＝2－xlg x的定义域是( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |0<x <1或1<x <2}C ．{x |0<x ≤2}D ．{x |0<x <1或1<x ≤2}答案 D解析 要使函数有意义只需要⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥0x >0lg x ≠0，解得0<x <1或1<x ≤2，∴定义域为{x |0<x <1或1<x ≤2}． 2．函数y ＝lg|x －1|的图象是( )答案 A解析 ∵y ＝lg|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (x －1)，x >1lg (1－x )，x <1.∴A 项符合题意．3．已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e 21-，则 ( )A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x答案 D解析 ∵x ＝ln π>ln e ，∴x >1.∵y ＝log 52<log 55，∴0<y <12.∵z ＝e21-＝1e >14＝12，∴12<z <1.综上可得，y <z <x .4．A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)答案 C⇒a >1或－1<a <0.5．函数f (x )＝log a (ax －3)在[1,3]上单调递增，则a 的取值范围是 ( )A ．(1，＋∞)B ．(0,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13D ．(3，＋∞)答案 D解析 由于a >0，且a ≠1，∴u ＝ax －3为增函数， ∴若函数f (x )为增函数，则f (x )＝log a u 必为增函数， 因此a >1.又y ＝ax －3在[1,3]上恒为正， ∴a －3>0，即a >3，故选D. 二、填空题 6．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________________．答案 {x |－1<x ≤0或x >2}解析 当x ≤0时，3x ＋1>1⇒x ＋1>0，∴－1<x ≤0；当x >0时，log 2x >1⇒x >2，∴x >2.综上所述，x 的取值范围为－1<x ≤0或x >2.8．若log 2a 1＋a 21＋a<0，则a 的取值范围是____________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析 当2a >1时，∵log 2a 1＋a 21＋a<0＝log 2a 1， ∴1＋a 21＋a<1.∵1＋a >0，∴1＋a 2<1＋a ， ∴a 2－a <0，∴0<a <1，∴12<a <1. 当0<2a <1时，∵log 2a 1＋a 21＋a<0＝log 2a 1， ∴1＋a 21＋a>1.∵1＋a >0，∴1＋a 2>1＋a ， ∴a 2－a >0，∴a <0或a >1，此时不合题意．综上所述，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 三、解答题9．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1.(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．解 (1)要使函数f (x )有意义．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1. 故所求函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}．(2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}内是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x>1，解得0<x <1. 所以使f (x )>0的x 的解集是{x |0<x <1}．10．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2)＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12(log a x ＋32)2－18.当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32.又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)．∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．若12(log a 2＋32)2－18＝1，则a ＝2－13，＝2∉[2,8]，舍去．若12(log a 8＋32)2－18＝1，则a ＝12，此时f (x )取得最小值时，x ＝(12)－32＝22∈[2,8]，符合题意，∴a ＝12.B 组 专项能力提升1．设f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是 () A ．(－1,0) B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)答案 A解析 由f (x )是奇函数可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x1－x ，定义域为(－1,1)．由f (x )<0，可得0<1＋x1－x <1，∴－1<x <0.2．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有()A ．f (13)<f (2)<f (12) B ．f (12)<f (2)<f (13) C ．f (12)<f (13)<f (2) D ．f (2)<f (12)<f (13) 答案 C解析 由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x 2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大，∵|2－1|>|13－1|>|12－1|，∴f (12)<f (13)<f (2)． 3．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 015)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 015)＝________.答案 16解析 f (x 1x 2…x 2 015)＝log a (x 1x 2…x 2 015)＝8，f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 015) ＝log a x 21＋log a x 22＋…＋log a x 22 015＝log a (x 1x 2…x 2 015)2＝2log a (x 1x 2…x 2 015)＝16.4．设f (x )＝|lg x |，a ，b 为实数，且0<a <b .(1)求方程f (x )＝1的解；(2)若a ，b 满足f (a )＝f (b )，求证：a ·b ＝1，a ＋b 2>1. (3)在(2)的条件下，求证：由关系式f (b )＝2f (a ＋b 2)所得到的关于b 的方程g (b )＝0，存在b 0∈(3,4)，使g (b 0)＝0.(1)解 由f (x )＝1得，lg x ＝±1，所以x ＝10或110. (2)证明 结合函数图象，由f (a )＝f (b )可判断a ∈(0,1)，b ∈(1，＋∞)，从而－lg a ＝lg b ，从而ab ＝1.又a ＋b 2＝1b ＋b 2>21b ·b 2＝1(因1b≠b )． (3)证明 由已知可得b ＝(a ＋b 2)2，得4b ＝a 2＋b 2＋2ab ，得1b 2＋b 2＋2－4b ＝0， g (b )＝1b 2＋b 2＋2－4b ， 因为g (3)<0，g (4)>0，根据零点存在性定理可知，函数g (b )在(3,4)内一定存在零点，即存在b 0∈(3,4)，使g (b 0)＝0.5．已知函数y ＝log 21 (x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，求a 的取值范围．解 函数y ＝log 21 (x 2－ax ＋a )是由函数y ＝log 21t 和t ＝x 2－ax ＋a 复合而成．因为函数y ＝log 21t 在区间(0，＋∞)上单调递减，而函数t ＝x 2－ax ＋a 在区间(－∞，a 2)上单调递减， 故函数y ＝log 21 (x 2－ax ＋a )在区间(－∞，a 2]上单调递增． 又因为函数y ＝log 21 (x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2≤a 2，(2)2－2a ＋a ≥0，解得⎩⎨⎧ a ≥22，2－2a ＋a ≥0，即22≤a ≤2(2＋1)．。

高中数学-对数与对数函数测试题及答案高中数学-对数与对数函数测试题满分150分，时间120分钟）班级：__________ 姓名：__________ 成绩：__________ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（共12小题，60分）1.对数式loga 25a)b中，实数a的取值范围是（）A。

(∞,5) B。

(2,5) C。

(2,+∞) D。

(2,3)∪(3,5)2.如果lgx lga3lgb5lgc，那么（）A。

x=a+3b-c B。

x=ab/33 C。

x=a+b/3-c/3 D。

x=a-b/3+c/53.设函数y=lg(x^2-5x)的定义域为M，函数y=XXX(x-5)+lgx的定义域为N，则（）A。

M∪N=R B。

M=N C。

M⊊N D。

M⊆N4.已知a = log0.70.8，b = log1.10.9，c = 1.1^9，则a，b，c的大小关系是（）A。

a<c<b B。

b<a<c C。

a<b<XXX<c<a5.若函数y=log2kx^2+4kx+3)的定义域为R，则k的取值范围是（）A。

(3/4,2) B。

(3/4,3/2) C。

(3/4,∞) D。

(-∞,3/4]∪[2,∞)6.设a，b，c∈R，且3a= 4b= 6c，则（）。

A。

a=b+c B。

b=a+c C。

c=a+b D。

a+b+c=0 7.下列函数中，在(0,2)上为增函数的是（）A。

y=log1x+1) B。

y=log2x^2-1) C。

y=log21/x D。

y=log1x^2-4x+5)8.已知函数f(x)=log3x+1)，若f(a)=1，则a=（）A。

2 B。

1 C。

-1 D。

-29.已知loga21，则a的取值范围是（）A。

(0,2/3) B。

(2/3,1) C。

(1,2) D。

(2,∞)10.函数y=34x-3)log0.5的定义域为（）A。

(0,1) B。

对数和对数函数练习题1 求下列各式中的x 的值:(1）313x =；(2）6414x =；(3)92x =； (4）1255x 2=；（5）171x 2=-．2 有下列5个等式，其中a 〉0且a ≠1，x 〉0 , y>0①y log x log )y x (log a a a +=+，②y log x log )y x (log a a a ⋅=+， ③y log x log 21y x log a a a -=,④)y x (log y log x log a a a ⋅=⋅, ⑤)y log x (log 2)y x (log a a 22a -=-,将其中正确等式的代号写在横线上_____________．3 化简下列各式：（1)51lg 5lg 32lg 4-+； （2)536lg 27lg 321240lg 9lg 211+--+；(3）3lg 70lg 73lg -+； （4)120lg 5lg 2lg 2-+．4 利用对数恒等式N a N loga =，求下列各式的值: （1）5log 4log 3log354)31()51()41(-+ （2）2log 2log 4log 7101.0317103-+(3）6lg 3log 2log100492575-+ （4)31log 27log 12log 2594532+-5 化简下列各式:（1))2log 2(log )3log 3(log 9384+⋅+； (2)6log ]18log 2log )3log 1[(46626⋅⋅+-6 已知a 5log 3=，75b =,用a 、b 的代数式表示105log 63=________．7 (1）)1x (log y 3-= 的定义域为_________值域为____________。

（2)22x log y = 的定义域为__________值域为_____________．8 求下列函数的定义域：（1）)2x 3(log x 25y a 2--=；（2）)8x 6x (log y 2)1x 2(+-=-;（3）)x (log log y 212=．9 （1）已知3log d 30log c 3b 30a 303303....====，，，，将a 、b 、c 、d 四数从小到大排列为_____________________．(2)若02log 2log m n >>时，则m 与n 的关系是（ )A ．m>n>1B ．n 〉m>1C ．1>m>n>0D ．1〉n>m>010 (1)若a>0且a ≠1，且143log a<，则实数a 的取值范围是( ） A ．0〈a 〈1 B ．43a 0<< C ．43a 043a <<>或 D ．43a 0<<或a 〉1 （2）若1<x 〈d ，令)x (log log c x log b )x (log a d d 2d 2d ===，，,则( ）A ．a<b 〈cB ．a 〈c 〈bC ．c<b 〈aD ．c 〈a<b11 已知函数)x 35(log y )4x 2(log y 3231-=+=，．（1）分别求这两个函数的定义域；（2)求使21y y =的x 的值；(3)求使21y y >的x 值的集合．12 已知函数)x 1x lg()x (f 2-+=(1）求函数的定义域;(2)证明f(x)是减函数．【同步达纲练习】一、选择题1．3log 9log 28的值是( ） A ．32 B ．1 C ．23 D ．2 2．函数)1x 2x (log )x (f 22+-=的定义域是（ ）A ．RB ．（－∞，1）∪(1，＋∞）C ．(0，1)D ．［1，＋∞]3．若函数x 2)x (f =，它的反函数是)x (f 1-，)(f c )4(f b )3(f a 111π===---，，,则下面关系式中正确的是( ）A ．a<b 〈cB ．a 〈c< bC ．b 〈c<aD ．b 〈a<c4．4log 33的值是（ ） A ．16 B ．4 C ．3 D ．25．)2x 2x (log )x (f 25+-=，使f(x)是单调增函数的x 值的区间是（ )A ．RB ．(－∞，1)C ．［1,＋∞]D ．（－∞，1）∪（1，＋∞） 6．2log 3log 3log 2log )3log 2(log 3223223--+的值是（ ） A ．6log 2 B ．6log 3 C ．2 D ．17．命题甲：a 〉1且x>y>0 命题乙：y log x log a a >那么甲是乙的（ )A ．充分而非必要条件B ．必要而非充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．如果0<a<1，那么下列不等式中正确的是( ）A ．2131)a 1()a 1(-<- B ．1)a 1(a 1>-+C ．0)a 1(log )a 1(>+-D ．0)a 1(log )a 1(<-+9．5log 222的值是( ） A ．5 B ．25 C ．125 D ．62510．函数)x 2(log )x (f 3-=在定义域区间上是（ )A ．增函数B ．减函数C ．有时是增函数有时是减函数D ．无法确定其单调性11．x log )x (f 2=,若142)a (f 1=--，则实数a 的值是( ）A ．4B ．3C ．2D ．112．在区间（0，＋∞）上是增函数的函数是( ）A ．1x )32()x (f +=B ．)1x (log )x (f 232+=C ．)x x lg()x (f 2+=D ．x 110)x (f -= 13．3log 15log 15log 5log 52333--的值是（ ） A ．0 B ．1 C ．5log 3 D ．3log 514．函数2x log y 5+=（x ≥1）的值域是（ )A ．RB ．［2，＋∞]C ．［3，＋∞］D ．（－∞，2）15．如果)x 2(log )x (f a -=是增函数，则实数a 的取值范围是( ）A ．(1，＋∞）B ．(2，＋∞）C ．（0，1)D ．(0，2)16．函数)3x 2x (log y 23--=是单调增函数的区间是（ )A ．（1,＋∞）B ．(3,＋∞)C ．(－∞，1）D ．(－∞，－1）17．如果02log 2log b a >>，那么下面不等关系式中正确的是( )A ．0〈a<b 〈1B ．0〈b 〈a 〈1C ．a 〉b>1D ．b>a>1二、填空题1．函数f(x)的定义域是［－1，2］，则函数)x (log f 的定义域是_____________．2．若412x log 3=，则x ＝_____________．3．若)1x (log )x (f 3-=使f(a)＝2，那么a ＝_____________．4．函数)a ax x (log )x (f 23-+=的定义域是R(即(－∞，＋∞))，则实数a 的取值范围是_____________．5．函数x )31(y =的图象与函数x log y 3-=的图象关于直线_____________对称． 6．函数)1x (log )x (f 24-=，若f(a)〉2,则实数a 的取值范围是_____________．7．已知1313)x (f x x +-=,则)21(f 1-＝_____________． 8．x log )x (f 21=，当]a a [x 2，∈时，函数的最大值比最小值大3,则实数a ＝_____________．9．])2(log )41)[(log 2(lg 15121--+＝_____________．三、解答题1．试比较22x lg )x (lg 与的大小．2．已知)1a (log )x (f x a -=(a>1）(1) 求f （x)的定义域; （2）求使)x (f )x 2(f 1-=的x 的值．3．实数x 满足方程5)312(log x x 2=-+，求x 值的集合．4．已知b 5log a 7log 1414==，,求28log 35(用a 、b 表示)．。

专题3.6 对数与对数函数1．（2021·安徽高三其他模拟（理））函数()ln ||f x x x =+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】确定函数的奇偶性，排除两个选项，再由0x >时的单调性排除一个选项，得正确选项． 【详解】易知()ln ||f x x x =+是非奇非偶函数，所以排除选项A ，C ； 当x >0时，()f x 单调递増､所以排除选项B. 故选：D ．2．（2021·江西南昌市·高三三模（文））若函数()3log ,12,1x x x f x x ≥⎧=⎨<⎩．则()0f f ⎡⎤=⎣⎦（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】A 【解析】利用函数()f x 的解析式由内到外逐层计算可得()0f f ⎡⎤⎣⎦的值.练基础()3log ,12,1x x x f x x ≥⎧=⎨<⎩，则()0021f ==，因此，()()301log 10f f f ===⎡⎤⎣⎦. 故选：A.3．（2021·浙江高三其他模拟）已知a 为正实数，则“1a >”是“32212log log a a ->”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】利用充分、必要条件的定义，即可推出“1a >”与“32212log log a a ->”的充分、必要关系.【详解】因为32212log log a a ->等价于3222log log a a >，由a 为正实数且1a >，故有32a a >，所以3222log log a a >成立；由a 为正实数，3222log log a a >且函数2log y x =是增函数，有32a a >，故()210a a ->，所以1a >成立. 故选：C ．4．（2021·浙江高三专题练习）已知函数f (x )＝1331,,log 1x x x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩则函数y ＝f (1－x )的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由()f x 得到()1f x -的解析式，根据函数的特殊点和正负判断即可.因为函数()f x 133,1log ,1x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，所以函数()1f x -()1133,0log 1,0x x x x -⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，当x ＝0时，y ＝f (1)＝3，即y ＝f (1－x )的图象过点(0，3)，排除A ； 当x ＝－2时，y ＝f (3)＝－1，即y ＝f (1－x )的图象过点(－2，－1)，排除B ； 当0x <时，()1311,(1)log 10x f x x ->-=-<，排除C ，故选：D ．5．（2021·江苏南通市·高三三模）已知1331311log 5,,log 26a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】D 【解析】 由于1331log g 66lo c ==，再借助函数3log y x =的单调性与中间值1比较即可. 【详解】1331log g 66lo c ==，因为函数3log y x =在()0,∞上单调递增， 所以333131log 31log 5log 6log 6a c =<=<<=， 因为函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以10312112b <⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎝⎭=⎭，所以c a b >> 故选：D6．（2021·辽宁高三月考）某果农借助一平台出售水果，为了适当地给鲜杏保留空气呼吸，还会在装杏用的泡沫箱用牙签戳上几个小洞，同时还要在鲜杏中间放上冰袋，来保持泡沫箱内部的温度稳定，这样可以有效延长水果的保鲜时间．若水果失去的新鲜度h 与其采摘后时间t （小时）满足的函数关系式为t h m a =⋅．若采摘后20小时，这种杏子失去的新鲜度为10%，采摘后40小时，这种杏子失去的新鲜度为20%．在这种条件下，杏子约在多长时间后会失去一半的新鲜度（ ）（已知lg 20.3≈，结果取整数） A ．42小时 B ．53小时 C ．56小时 D ．67小时【答案】D 【解析】利用指数的运算得出1202a =，再利用对数的运算即可求解. 【详解】由题意可得200010m a =⋅，①400020m a =⋅，②②÷①可得202a =，解得1202a =，所以0050tm a =⋅，③③÷①可得205t a -=， 所以202025t -=，即20lg 2lg51lg 20.720t -==-=， 解得67t ≈（小时）. 故选：D7．【多选题】（2021·辽宁高三月考）已知2log 3a =，34b =，22log 31c =+，则下列结论正确的是（ ） A ．a c < B ．2ab = C ．1abc a =+ D ．22bc b =+【答案】BCD 【解析】先判断1a >，即可判断A ； 利用222log 3b a==判断B ；利用B 的结论判断C ；利用C 的结论判断D. 【详解】因为2log 31a =>，所以22log 3112c a a c a =+=+<⇒<，即A 不正确； 因为33222log 42log 2log 3b a====，所以2ab =，即B 正确； 由2ab =可知，21abc c a ==+，C 正确；由1abc a =+可知，2ab c ab b =+，则22bc b =+，即D 正确． 故选：BCD.8．【多选题】（2021·山东日照市·高三一模）已知113log 0x x +=，222log 0xx +=，则（ ） A ．2101x x <<< B ．1201x xC ．2112lg lg 0x x x x -<D ．2112lg lg 0x x x x ->【答案】BC 【解析】根据对数函数的性质可判断AB 正误，由不等式的基本性质可判断CD 正误. 【详解】由131log 0x x =->可得101x <<，同理可得201x <<， 因为(0,1)x ∈时，恒有23log log x x <所以122231log log 0x x x x -=-<，即12x x <，故A 错误B 正确； 因为1201x x ，所以12lg lg 0x x <<，即210lg lg x x <-<-，由不等式性质可得1221lg lg x x x x -<-，即2112lg lg 0x x x x -<，故C 正确D 错误. 故选：BC9．（2021·浙江高三期末）已知2log 3a =，则4a =________． 【答案】9 【解析】把2log 3a =代入4a 可得答案. 【详解】因为2log 3a =，所以222log 3log 34429a ===.故答案为：9.10．（2021·河南高三月考（理））若41log 32a =，则39a a +=___________； 【答案】6 【解析】首先利用换底公式表示3log 2a =，再代入39a a +求值.【详解】 由条件得331log 4log 22a ==，所以3333log 2log 2log 2log 4393933246a a +=+=+=+=. 故答案为：61．（2021·浙江高三专题练习）如图，直线x t =与函数()3log f x x =和()3log 1g x x =-的图象分别交于点A ，B ，若函数()y f x =的图象上存在一点C ，使得ABC 为等边三角形，则t 的值为（ ）A B C D ．3【答案】C 【解析】由题意得()3,log A t t ，()3,log 1B t t -，1AB =，根据等边三角形的性质求得C 点的横坐标x t =-，结合A ，B 两点的纵坐标和中点坐标公式列方程t ，解方程即可求得t 的值. 【详解】由題意()3,log A t t ，()3,log 1B t t -，1AB =. 设()3,log C x x ，因为ABC 是等边三角形， 所以点C 到直线AB 所以t x -=x t =根据中点坐标公式可得练提升33333log log 11log log log 22t t t t ⎛+-==-= ⎝⎭，所以t -=，解得t =故选：C2．（2021·安徽高三其他模拟（文））已知函数()()14,12ln 1,1xx f x x x ⎧⎛⎫-≤-⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+>-⎩，若()0f f x <⎡⎤⎣⎦，则x 的取值范围为（ ） A ．()2,0-B ．21,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．212,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．()212,11,0e ⎛⎫--⋃-⎪⎝⎭【答案】D 【解析】先由()0f f x <⎡⎤⎣⎦可得出()20f x -<<，然后再分1x ≤-、1x >-两种情况解不等式()20f x -<<，即可得解. 【详解】若()1f x ≤-，则()()1402f x f f x ⎛⎫=-<⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，解得()2f x >-，此时，()21f x -<≤-；若()1f x >-，则()()ln 10f f x f x =+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，可得()011f x <+<，解得()10f x -<<. 综上，()20f x -<<.若1x ≤-，由()20f x -<<可得12402x ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，可得1242x⎛⎫<< ⎪⎝⎭，解得21x -<<-，此时21x -<<-；若1x >-，由()20f x -<<可得()2ln 10x -<+<，可得2111x e <+<，解得2110x e -<<，此时，2110x e-<<.综上，满足()0f f x <⎡⎤⎣⎦的x 的取值范围为()212,11,0e ⎛⎫--⋃- ⎪⎝⎭. 故选：D.3．（2021·全国高三三模）已知函数()x x f x e e -=+，若()()4561log ,log 6,log 45a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ）A ．b a c >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】B 【解析】先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，最后根据对数函数的性质，结合基本不等式、比较法进行判断即可. 【详解】 因为()()xx f x ee f x --=+=，所以()f x 为偶函数，()21x xxxe x eef e --=='-， 当0x >时，()0f x '>，函数单调递增，当0x <时，()0f x '<，函数单调递减，()()()()444561log log 5log 5,log 6,log 45a f f f b f c f ⎛⎫==-=== ⎪⎝⎭，因为lg4lg6+>故2222lg4lg6lg 24lg25lg4lg6(lg5)242+⎛⎫⎛⎫⋅<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭245lg5lg6lg 5lg4lg6log 5log 60lg4lg5lg4lg5-⋅-=-=>⋅所以456log 5log 61log 40>>>>，则.a b c >> 故选：B.4．【多选题】（2021·辽宁高三月考）若1a b >>，则（ ） A ．log 3log 3a b <B ．33a b <C ．11log ()log 21ab ab a b+≥-D ．11+11a b <+ 【答案】ACD 【解析】由已知，A 选项，借助对数换底公式及对数函数单调性可判断；B 选项，利用幂函数单调性可判断；C 选项，利用对数函数单调性可判断；D 选项，利用反比例函数单调性可判断. 【详解】对于A 选项：3log y x =在(0,+∞)上单调递增，1a b >>，则333311log log 0log log a b a b>>⇒<，即log 3log 3a b <，A 正确；对于B 选项：函数y =x 3在R 上递增，则33a b >，B 错误； 对于C 选项：1a b >>，则ab >1，a +b >2，11log ()log log ()1ab abab a ba b a b ab++==+-log 21ab >-， 有11log ()log 21ab ab a b+≥-成立，即C 正确；对于D 选项：1112a b a b >>⇒+>+>，而函数1y x =在(0,+∞)上递减，则有11+11a b <+，即D 正确.故选：ACD5．【多选题】（2021·全国高三专题练习（理））已知0a b >>，且4ab =，则（ ） A ．21a b -> B ．22log log 1a b -> C ．228a b +> D ．22log log 1a b ⋅<【答案】ACD 【解析】利用不等式的性质和基本不等式的应用，结合指数函数与对数函数的单调性，对选项逐一分析判断. 【详解】因为0a b >>，且4ab =，对A ，0a b ->，所以0221a b ->=，故A 正确；对B ，取83,32a b ==，所以2222216log log log log log 219a ab b -==<=，故B 错误；对C ，22a b ≥+，当且仅当a b =取等号，又因为4a b +≥=，当且仅当a b =取等号，所以228a b ≥≥=+，当且仅当a b =取等号，因为0a b >>，所以不能取等号，故C 正确；对D ，当10>>>a b ，22log 0,log 0a b ><，所以22log log 1a b ⋅<；当1a b >>，22log 0,log 0a b >>，所以()()2222222log log log log log 144a b ab a b +⋅≤==，当且仅当a b =取等号，因为0a b >>，所以不能取等号，故D 正确. 故选：ACD.6．【多选题】（2021·湖南高三二模）若正实数a ，b 满足a b >且ln ln 0a b ⋅>，下列不等式恒成立的是（ ） A ．log 2log 2a b > B ．ln ln a a b b ⋅>⋅ C ．122ab a b ++> D ．log 0a b >【答案】CD 【解析】由已知不等式，求出,a b 之间的关系，结合选项一一判断即可． 【详解】由ln ln 0a b ⋅>有01b a <<< 或1a b >> ，对于选项A ，当01b a <<<或1a b >>都有log 2log 2a b < ，选项A 错误；对于选项B ，比如当11,24a b == 时，有211111111ln ln 2ln ln 44424222⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭故ln ln a a b b ⋅>⋅不成立，选项B 错误；对于C ，因为()()1110ab a b a b +--=-->，所以1ab a b +>+ ，则122ab a b ++> ，选项C 正确； 对于选项D ，因为ln ln 0a b ⋅>，所以ln log 0ln a bb a=>，选项D 正确， 故选：CD ．7．【多选题】（2021·山东临沂市·高三二模）若5log 2a =，1ln 22b =，1ln55c =，则（ ）A ．a b >B ．b c >C ．c a >D ．2a b >【答案】AB 【解析】对四个选项一一验证：对于A ：利用换底公式，化为同底结构，利用函数的单调性比较大小； 对于B ：利用换底公式，化为同底结构，利用函数的单调性比较大小； 对于C ：利用不等式的传递性比较大小；对于D ：利用换底公式，化为同底结构，利用函数的单调性比较大小； 【详解】对于A ：522221111ln o 21l g 2,log 522log log a b e e ====⨯=， 又25e >，且2log y x =为增函数，所以222l l g 5og o e <，所以22251l og 1l og e <，即a b >.故A 正确；对于B：1ln 2ln 2b ==1ln 55c ==因为101052232,525,ln y x =====为增函数，所以b c >；故B 正确；对于C ：因为a b >，b c >，所以a c >，故C 错误； 对于D ：因为1ln 22b =，所以212ln 2log b e ==，而521log 2,log 5a == 又5e <，所以22log log 5e <，所以2211log log 5e >，所以2b a >，故D 错误. 故选：AB.8．（2021·浙江高三专题练习）已知函数()f x 满足()(1)f x f x =-+，当(0,1)x ∈时，函数()3xf x =，则13(log 19)f =__________．【答案】2719- 【解析】由()(1)f x f x =-+得函数的周期为2，然后利用周期和()(1)f x f x =-+对13(log 19)f 化简可得13(log 19)f 33927(log 1)(log )1919f f =-+=-，从而可求得结果【详解】解：由题意，函数()f x 满足()(1)f x f x =-+，化简可得()(2)f x f x =+， 所以函数()f x 是以2为周期的周期函数，又由(0,1)x ∈时，函数()3xf x =，且()(1)f x f x =-+，则133339(log 19)(log 19)(log 192)(log )19f f f f =-=-+= 327log 193392727(log 1)(log )3191919f f =-+=-=-=-．故答案为：2719-． 9．（2021·千阳县中学高三其他模拟（文））已知函数()()()11330log 0x x f x x x +⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则不等式()1f x >的解集为___________. 【答案】11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】根据分段函数的定义，分段讨论即可求解. 【详解】解：()()()11330log 0x x f x x x +⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，()10131x x f x +≤⎧∴>⇔⎨>⎩或130log 1x x >⎧⎪⎨>⎪⎩，解得10-<≤x 或103x <<，即113x -<<， ∴不等式()1f x >的解集为11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.10．（2021·浙江丽水市·高三期末）已知()()()1log 1log 01a a a a a ++<<<，则a 的取值范围是__________.【答案】12⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】通过作差将()()()1log 1log 01a a a a a ++<<<转化为(1)log (1)log 0++-<a a a a ，利用换底公式计算可得[][](1)lg(1)lg lg(1)lg log (1)log lg lg(1)++-+++-=+a a a a a a a a a a ，分别判断每个因式的正负，最终转化为211()124+->a 成立，结合二次函数图像，即可求得a 的取值范围.【详解】∵(1)lg(1)lg log (1)log lg lg(1)a a a aa a a a +++-=-+ 22lg (1)lg lg (1)a aalg a +-=+[][]lg(1)lg lg(1)lg lg lg(1)a a a a a a +-++=+而当01a <<时，lg 0a <，g(0)l 1a +>，1lg(1)lg lglg10a a a a++-=>= 211lg(1)lg lg (1)lg ()24a a a a a ⎡⎤++=+=+-⎢⎥⎣⎦，所以()()()1log 1log 01a a a a a ++<<<即为211lg ()024⎡⎤+->⎢⎥⎣⎦a ，由于lg u 单调递增，所以211()124+->a .211()24u a =+-的图象如图，当1u =时，0a =，1a <<时，12u <<，lg 0u >， 可得()()log 1log 10a a a a a +-+<.故答案为：⎫⎪⎪⎝⎭1.（2020·全国高考真题（文））设3log 42a =，则4a-=（ ）A ．116B ．19C ．18 D ．16【答案】B 【解析】由3log 42a =可得3log 42a=，所以49a =，所以有149a-=， 故选：B.2.（2020·全国高考真题（理））设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D 【解析】 由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称， 又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；练真题当11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--， ()ln 21y x =+在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭， 2121x μ=+-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确. 故选：D.3．（2020·天津高考真题）设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】D 【解析】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<. 故选：D.4.（2019年高考全国Ⅲ卷理）设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314）D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）【答案】C 【解析】()f x 是定义域为R 的偶函数，331(log )(log 4)4f f ∴=．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>，又()f x 在(0，+∞)上单调递减，∴23323(log 4)22f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C ．5.（2020·全国高考真题（理））若2233x y x y ---<-，则（ ） A ．ln(1)0y x -+> B ．ln(1)0y x -+< C ．ln ||0x y -> D ．ln ||0x y -<【答案】A 【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-， 令()23t t f t -=-，2x y =为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.6.（2019·天津高考真题（文））已知a =log 27，b =log 38，c =0.30.2，则a,b,c 的大小关系为（ ） A.c <b <a B.a <b <c C.b <c <a D.c <a <b【答案】A【解析】c=0.30.2<0.30=1；log27>log24=2；1<log38<log39=2. 故c<b<a.故选A.。

高三数学对数与对数函数试题1.函数y＝lnx＋ax有两个零点，则a的取值范围是________．【答案】(－，0)【解析】因为函数y＝lnx＋ax，所以y′＝＋a，若函数存在两个零点，则必须a<0，令y′＝＋a＝0得x＝－.当0<x<－时，y′>0，函数单调递增；当x>－时，y′<0，函数单调递减，因为函数y＝lnx＋ax有两个零点，故ln－1>0，得－<a<0.2.将函数的图象向左平移1个单位长度，那么所得图象的函数解析式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以将其图象向左平移1个单位长度所得函数解析式为.故C正确.【考点】1对数函数的运算；2函数图像的平移.3.设,则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】.【考点】对数的运算及性质.4.设a, b, c均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是A．B．C．D．【答案】B【解析】a, b,c≠1. 考察对数2个公式: ，对选项A: ,显然与第二个公式不符，所以为假。

对选项B: ,显然与第二个公式一致，所以为真。

对选项C: ,显然与第一个公式不符，所以为假。

对选项D: ,同样与第一个公式不符，所以为假。

所以选B5.（2013•浙江）已知x，y为正实数，则（）A．2lgx+lgy=2lgx+2lgy B．2lg（x+y）=2lgx•2lgyC．2lgx•lgy=2lgx+2lgy D．2lg（xy）=2lgx•2lgy【答案】D【解析】因为a s+t=a s•a t，lg（xy）=lgx+lgy（x，y为正实数），所以2lg（xy）=2lgx+lgy=2lgx•2lgy，满足上述两个公式，故选D．6.若，则a的取值范围是．【答案】【解析】由题中隐含条件可得：，可得，则由，根据对数函数的单调性可得，可解得.【考点】1.对数函数的性质;2.解不等式7.函数，的值域是 .【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，令，是增函数，又，故当时，取得最大值为1，∴函数值域为.【考点】1.三角函数的最值；2.对数函数的最值.8.函数，的值域是 .【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，令，是增函数，又，故当时，取得最大值为1，∴函数值域为.【考点】1.三角函数的最值；2.对数函数的最值.9.设a是实数，讨论关于x的方程lg(x－1)＋lg(3－x)＝lg(a－x)的实数解的个数．【答案】两个【解析】原方程等价于方程组即在同一坐标系下作直线y＝a 与抛物线y＝－x2＋5x－3(1<x<3)的图象，由图可知，当1<a≤3或a＝时，原方程只有一个实数解；当3<a< 时，原方程有两个不同的实数解．10.不等式lg(x－1)<1的解集为________.【答案】(1，11)【解析】由0<x－1<10，∴1<x<11.11.已知实数a、b满足等式a＝b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中所有不可能成立的关系式为________．(填序号)【答案】③④【解析】条件中的等式Û2a=3bÛa lg2=b lg3．若a≠0，则∈（0，1）．（1）当a＞0时，有a＞b＞0，即关系式①成立，而③不可能成立；（2）当a＜0时，则b＜0，b＞a，即关系式②成立，而④不可能成立；若a=0，则b=0，故关系式⑤可能成立．12.已知a＝log36，b＝log510，c＝log714，则a、b、c的大小关系为________．【答案】a>b>c【解析】a＝log36＝1＋log32，b＝1＋log52，c＝1＋log72，由于log32>log52>log72，所以a>b>c.13.已知f(x)是定义域为实数集R的偶函数，∀x1≥0，∀x2≥0，若x1≠x2，则＜0.如果f＝，4f()＞3，那么x的取值范围为()A．B．C．∪(2，＋∞)D．∪【答案】B【解析】依题意得，函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，不等式4f()＞3等价于f()>，f(||)＞f，||＜，即－＜＜，由此解得＜x＜2，故选B.14.已知函数y＝log2(ax－1)在(1,2)上单调递增，则a的取值范围为________．【答案】[1，＋∞)【解析】根据复合函数的单调性及对数函数的定义域求解．因为y＝log2(ax－1)在(1,2)上单调递增，所以u＝ax－1在(1,2)单调递增，且恒大于0，即⇒a≥1.15.已知函数若函数与的图象有三个不同交点，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】根据题意,可作函数的图象如下图所示,又作图象如下图中的虚线所示,由图显然知,要有三个不同的交点,就要满足: ,得【考点】1.函数的图象;2.指数不等式16.函数f(x)＝lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】将题中所给的函数画出如下：，根据图像，易知有2个交点.【考点】1.函数的零点；2.函数的图像画法.17.函数的递减区间为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令，则在是减函数.由及其在为减函数，在是增函数，得，函数的递减区间为，故选D.【考点】对数函数的性质，复合函数的单调性.18.数列为各项为正数的等比数列，且已知函数，则A．﹣6B．﹣21C．﹣12D．21【答案】B【解析】．【考点】等比数列的运算性质，对数的运算．19.若，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】选项A错误，当时，，且函数是单调递减的，所以有；选项B错误，当时，，所以；选项C错误，当时，，，所以；选项D正确，当时，，函数是单调递减的，又，所以.【考点】1.对数函数的单调性；2.对数函数的图像与性质；3.指数函数的单调性20.已知，则的大小关系为____________.【答案】【解析】因为，，由，所以，.【考点】对数的性质及其运算21.若函数(其中为常数且)，满足，则的解集是 .【答案】【解析】函数定义域为，由，知函数为单调递减函数，所以.由知，满足：，解得.【考点】1.不等式求解；2.对数的单调性；3.函数的定义域.22.函数在上为减函数，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】若，则不可能为减函数，当时，由函数在上为减函数，知在恒成立，等价于，即，得，所以的取值范围是是，选B.【考点】对数函数，复合函数的单调性.23.函数的定义域为____.【答案】【解析】由题意可得:,可得,解得.【考点】对数不等式．24.已知，且，，则实数的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，，符合题意；当时，，.故选B.25.实数满足，则的值为（）A．8B．C．0D．10【答案】A．【解析】因为，所以，，从而。

课时过关检测(十)对数与对数函数【原卷版】1．已知a＝log23，b＝log25，则log415＝()A．2a＋2b B．a＋bC．ab D．12a＋12b2．已知函数y＝f(x)的图象与函数y＝2x的图象关于直线y＝x对称，g(x)为奇函数，且当x＞0时，g(x)＝f(x)－x，则g(－8)＝()A．－5B．－6C．5D．63．已知函数f(x)＝ln x－1x＋1＋a sin x＋2，且f(m)＝5，则f(－m)＝()A．－5B．－3C．－1D．34．2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球土壤样品，在预定区域安全着陆．嫦娥五号是使用长征五号火箭发射成功的，在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)的函数关系表达式为v＝212km/s，则燃料的质量与火箭的质量的关系是()A．M＝e6m B．Mm＝e6－1C．ln M＋ln m＝6D．Mm＝e6－15．若函数f(x)＝log a(x＋b)的图象如图所示，其中a，b为常数，则函数g(x)＝a x＋b的图象大致是()6．(多选)已知函数f(x)＝log2x的定义域是[4,8]，则下列函数中与f(x)值域相同的函数是()A．y＝f(x)＋1B．y＝f(x＋1)C．y＝－f(x)D．y＝|f(x)|7．(多选)关于函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(3－x)，下列结论正确的是()A．f(x)在(－1,3)上单调递增B．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称C．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称D．f(x)的值域为R8．已知a>0，且a≠1，函数y＝log a(2x－3)＋2的图象恒过点P．若点P也在幂函数f(x)的图象上，则f(x)＝________．9．函数f(x)＝ln(x＋2)＋ln(4－x)的单调递减区间是________．10．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝log a(x＋1)(a>0，且a≠1)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若－1<f(1)<1，求实数a的取值范围．11．已知函数f(x)＝|log2x|，当0<m<n时，f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则nm＝()A．2B．52C．3D．412．(多选)函数f(x)＝log a|x－1|在(0,1)上是减函数，那么()A．f(x)在(1，＋∞)上递增且无最大值B．f(x)在(1，＋∞)上递减且无最小值C．f(x)的图象关于直线x＝1对称D．∃a＝2020，满足f(x)在(0,1)上是减函数13．已知函数f(x)满足：①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；②值域为R；③f(－x)＝f(x)．写出一个满足上述条件的函数f(x)＝________．14.已知函数f(x)＝log a(3－ax)(a>0，且a≠1)．(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．15．设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a<b<10，则abc的取值范围是________．16．函数f(x)的定义域为D，若满足①f(x)在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D使f(x)在[a ，b ]上的值域为a 2，b 2，那么就称y ＝f (x )为“半保值函数”，若函数f (x )＝log a (a x ＋t 2)(a ＞0，且a ≠1)是“半保值函数”，求t 的取值范围．课时过关检测(十)对数与对数函数【解析版】1．已知a ＝log 23，b ＝log 25，则log 415＝()A ．2a ＋2bB ．a ＋bC ．abD ．12a ＋12b解析：Dlog 415＝12log 215＝12(log 23＋log 25)＝12a ＋12b ，故选D ．2．已知函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝2x 的图象关于直线y ＝x 对称，g (x )为奇函数，且当x ＞0时，g (x )＝f (x )－x ，则g (－8)＝()A ．－5B ．－6C ．5D ．6解析：C由已知，函数y ＝f (x )与函数y ＝2x 互为反函数，则f (x )＝log 2x ．由题设，当x＞0时，g (x )＝log 2x －x ，则g (8)＝log 28－8＝3－8＝－5．因为g (x )为奇函数，所以g (－8)＝－g (8)＝5，故选C ．3．已知函数f (x )＝ln x －1x ＋1＋a sin x ＋2，且f (m )＝5，则f (－m )＝()A ．－5B ．－3C ．－1D ．3解析：C 根据题意，函数f (x )＝ln x －1x ＋1＋a sin x ＋2，则f (－x )＝ln －x －1－x ＋1＋a sin(－x )＋2＝－lnx －1x ＋1－a sin x ＋2，则有f (x )＋f (－x )＝4，故f (m )＋f (－m )＝4，若f (m )＝5，则f (－m )＝－1，故选C ．4．2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球土壤样品，在预定区域安全着陆．嫦娥五号是使用长征五号火箭发射成功的，在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v (单位：m/s)和燃料的质量M (单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量m (单位：kg)的函数关系表达式为v ＝212km/s ，则燃料的质量与火箭的质量的关系是()A ．M ＝e 6mB ．Mm ＝e 6－1C ．ln M ＋ln m ＝6D ．Mm ＝e 6－1解析：D 依题意可知v ＝212000，可得6，即1＋Mm＝e 6，可得M m ＝e 6－1．如果火箭的最大速度达到12km/s ，则燃料的质量与火箭的质量的关系是M m ＝e 6－1．故选D ．5．若函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象大致是()解析：D 由f (x )的图象可知0<a <1,0<b <1，∴g (x )的图象应为D ．6．(多选)已知函数f (x )＝log 2x 的定义域是[4,8]，则下列函数中与f (x )值域相同的函数是()A ．y ＝f (x )＋1B ．y ＝f (x ＋1)C ．y ＝－f (x )D ．y ＝|f (x )|解析：BD 函数f (x )＝log 2x 在[4,8]单调递增，f (4)＝log 24＝2，f (8)＝log 28＝3，所以f (x )值域为[2,3]．对于选项A ：y ＝f (x )＋1值域为[3,4]，故选项A 不正确；对于选项B ：因为f (x )＝log 2x 的定义域是[4,8]，所以4≤x ＋1≤8，可得3≤x ≤7，f (x ＋1)＝log 2(x ＋1)∈[2,3]，所以y ＝f (x ＋1)值域为[2,3]，故选项B 正确；对于选项C ：y ＝－f (x )值域为[－3，－2]，故选项C 不正确；对于选项D ：y ＝|f (x )|的值域为[2,3]，故选项D 正确．故选B 、D ．7．(多选)关于函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(3－x )，下列结论正确的是()A ．f (x )在(－1,3)上单调递增B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称C ．y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称D ．f (x )的值域为R 解析：ACD函数f (x )的定义域是(－1,3)，f (x )＝lnx ＋13－x ．令t (x )＝x ＋13－x ＝－4x －3－1(x ≠3)，易知t (x )在(－1,3)上单调递增，所以t (x )>t (－1)＝0，所以f (x )＝ln t (x )在(－1,3)上单调递增，且值域为R ．故A 、D 正确．当x ∈(－2,2)时，1＋x ∈(－1,3)，1－x ∈(－1,3)，f (1＋x )＝ln 2＋x2－x，f (1－x )＝ln2－x2＋x，所以f (1＋x )＝－f (1－x )，f (1＋x )≠f (1－x )．所以y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称．故B 错误，C 正确．故选A 、C 、D ．8．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P ．若点P 也在幂函数f (x )的图象上，则f (x )＝________．解析：设幂函数为f (x )＝x α，因为函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P (2，2)，则2α＝2，所以α＝12，故幂函数为f (x )＝x 12．答案：x129．函数f (x )＝ln(x ＋2)＋ln(4－x )的单调递减区间是________．解析：＋2>0，－x >0，得－2<x <4，因此函数f (x )的定义域为(－2,4)．f (x )＝ln(x ＋2)＋ln(4－x )＝ln(－x 2＋2x ＋8)＝ln [－(x －1)2＋9]，设u ＝－(x －1)2＋9，又y ＝ln u 是增函数，u ＝－(x －1)2＋9在(1,4)上是减函数，因此f (x )的单调递减区间为(1,4)．答案：(1,4)10．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，且a ≠1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若－1<f (1)<1，求实数a 的取值范围．解：(1)当x <0时，－x >0，由题意知f (－x )＝log a (－x ＋1)，又f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )．∴当x <0时，f (x )＝log a (－x ＋1)，∴函数f (x )的解析式为f (x )a (x ＋1)，x ≥0，a (－x ＋1)，x <0(a >0，且a ≠1)．(2)∵－1<f (1)<1，∴－1<log a 2<1，∴log a 1a<log a 2<log a a ．①当a >1，，解得a >2；②当0<a <1，，解得0<a <12．综上，实数a (2，＋∞)．11．已知函数f (x )＝|log 2x |，当0<m <n 时，f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则n m＝()A ．2B ．52C ．3D ．4解析：D如图所示，根据函数f (x )＝|log 2x |的图象，得0<m <1<n ，所以0<m 2<m <1．结合函数图象，易知当x ＝m 2时f (x )在[m 2，n ]上取得最大值，所以f (m 2)＝|log 2m 2|＝2，又0<m <1，所以m ＝12，再结合f (m )＝f (n )，可得n ＝2，所以nm＝4．故选D ．12．(多选)函数f (x )＝log a |x －1|在(0,1)上是减函数，那么()A ．f (x )在(1，＋∞)上递增且无最大值B ．f (x )在(1，＋∞)上递减且无最小值C ．f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．∃a ＝2020，满足f (x )在(0,1)上是减函数解析：ACD由题意，函数f (x )＝log a |x －1|在(0,1)上是减函数，即f (x )＝log a (1－x )在(0,1)上是减函数，因为y ＝1－x 是减函数，根据复合函数的单调性的判定方法，可得a >1，当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＝log a |x －1|＝log a (x －1)，因为y ＝x －1是增函数，根据复合函数的单调性的判定方法，可得函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增，且无最大值，所以A 正确，B 错误；又由f (2－x )＝log a |2－x －1|＝log a |x －1|＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以C 正确；由a >1可知，当a ＝2020时，函数f (x )在(0,1)上是减函数，所以D 正确．故选A 、C 、D ．13．已知函数f (x )满足：①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；②值域为R ；③f (－x )＝f (x )．写出一个满足上述条件的函数f (x )＝________．解析：f (x )＝ln|x |的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R ，且f (－x )＝ln|－x |＝ln|x |＝f (x )，因此f (x )＝ln|x |符合题意．答案：ln|x |(答案不唯一)15.已知函数f (x )＝log a (3－ax )(a >0，且a ≠1)．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上单调递减，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，当x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，∵当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立．∴3－2a >0，∴a <32．又a >0且a ≠1，∴0<a <1或1<a <32，∴实数a 的取值范围为(0,1)(2)由(1)知函数t (x )＝3－ax 为减函数．∵f (x )在区间[1,2]上单调递减，∴y ＝log a t 在区间[1,2]上单调递增，∴a >1，当x ∈[1,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，f (x )的最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴－2a >0，a (3－a )＝1，<32，＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上单调递减，并且最大值为1．15．设实数a ，b 是关于x 的方程|lg x |＝c 的两个不同实数根，且a <b <10，则abc 的取值范围是________．解析：由题意知，在(0,10)上，函数y ＝|lg x |的图象和直线y ＝c 有两个不同交点(如图)，∴－lg a ＝lg b ．即ab ＝1,0<c <lg 10＝1，∴abc 的取值范围是(0,1)．答案：(0,1)16．函数f (x )的定义域为D ，若满足①f (x )在D 内是单调函数；②存在[a ，b ]⊆D 使f (x )在[a ，b ]上的值域为a 2，b 2，那么就称y ＝f (x )为“半保值函数”，若函数f (x )＝log a (a x ＋t 2)(a ＞0，且a ≠1)是“半保值函数”，求t 的取值范围．解：∵函数f (x )＝log a (a x ＋t 2)(a ＞0，且a ≠1)是“半保值函数”，且定义域为R ，当a ＞1时，z ＝a x ＋t 2在R 上单调递增，y ＝log a z 在(0，＋∞)上单调递增，可得f (x )为R 上的增函数；当0＜a ＜1时，f (x )仍为R 上的增函数，∴f (x )在定义域R 上为增函数，∴方程log a (a x ＋t 2)＝12x 有两个不同的根，∴a x ＋t 2＝a 12x ，即a x －a 12x ＋t 2＝0，令u ＝a 12x ，u ＞0，即u 2－u ＋t 2＝0有两个不同的正数根，可得1－4t 2＞0，且t 2＞0，1 2，解得t－。

对数与对数函数考纲要求1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，12的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数. 知识梳理 1.对数的概念如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.2.对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b (a >0，且a ≠1). (2)对数的运算性质如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R ).(3)换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1，N >0).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a >10<a <1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1，0)当x >1时，y >0； 当0<x <1时，y <0 当x >1时，y <0； 当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称.1.换底公式的两个重要结论(1)log a b ＝1log b a(a >0，且a ≠1；b >0，且b ≠1).(2)log am b n ＝nm log a b (a >0，且a ≠1；b >0；m ，n ∈R ，且m ≠0).2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)log 2x 2＝2log 2x .( )(2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数.( )(3)函数y ＝ln 1＋x1－x 与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同.( )(4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a <b .( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× 解析 (1)log 2x 2＝2log 2|x |，故(1)错误.(2)形如y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)为对数函数，故(2)错误. (4)若0<b <1<a ，则当x ＞1时，log a x ＞log b x ，故(4)错误.2.log 29×log 34＋2log 510＋log 50.25＝( ) A.0 B.2 C.4 D.6答案 D解析 原式＝2log 23×(2log 32)＋log 5(102×0.25)＝4＋log 525＝4＋2＝6. 3.函数y ＝log a (x －1)＋2(a >0，且a ≠1)的图象恒过的定点是________. 答案 (2，2)解析 当x ＝2时，函数y ＝log a (x －1)＋2(a >0，且a ≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2，2).4.(2020·全国Ⅰ卷)设a log 34＝2，则4－a ＝( ) A.116B.19C.18D.16答案 B解析 法一 因为a log 34＝2，所以log 34a ＝2，则4a ＝32＝9，所以4－a ＝14a ＝19.故选B.法二 因为a log 34＝2，所以a ＝2log 34＝2log 43＝log 432＝log 49，所以4－a ＝4－log 49 ＝4log 49－1＝9－1＝19.故选B.5.(2019·天津卷)已知a ＝log 27，b ＝log 38，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c <b <a B.a <b <c C.b <c <a D.c <a <b答案 A解析 显然c ＝0.30.2∈(0，1).因为log 33<log 38<log 39，所以1<b <2.因为log 27>log 24＝2，所以a >2.故c <b <a .6.(2021·陕西名校联考)若log 2x ＋log 4y ＝1，则( ) A.x 2y ＝2 B.x 2y ＝4 C.xy 2＝2 D.xy 2＝4答案 B解析 log 2x ＋log 4y ＝log 2x ＋12log 2y ＝log 2x ＋log 2y 12＝log 2(xy 12)＝1，所以xy 12＝2，两边平方得x 2y ＝4.考点一 对数的运算1.设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( )A.10B.10C.20D.100 答案 A解析 由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， 则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. 因此m 2＝10，m ＝10.2.(2019·北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A.1010.1 B.10.1C.lg 10.1D.10－10.1答案 A解析 依题意，m 1＝－26.7，m 2＝－1.45，代入所给公式得52lg E 1E 2＝－1.45－(－26.7)＝25.25.所以lgE 1E 2＝25.25×25＝10.1，即E 1E 2＝1010.1. 3.计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64＝________.答案 1解析 原式＝1－2log 63＋（log 63）2＋log 663·log 6（6×3）log 64＝1－2log 63＋（log 63）2＋1－（log 63）2log 64＝2（1－log 63）2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.4.已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________.答案 4 2解析 设log b a ＝t ，则t >1， 因为t ＋1t ＝52，所以t ＝2，则a ＝b 2.又a b ＝b a ， 所以b 2b ＝bb 2，即2b ＝b 2， 又a >b >1，解得b ＝2，a ＝4.感悟升华 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.考点二 对数函数的图象及应用【例1】 (1)在同一直角坐标系中，函数y ＝1ax ，y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________. 答案 (1)D (2)(1，＋∞)解析 (1)若a >1，则y ＝1a x 单调递减，A ，B ，D 不符合，且y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12过定点⎝⎛⎭⎫12，0，C 项不符合， 因此0<a <1.当0<a <1时，函数y ＝a x 的图象过定点(0，1)，在R 上单调递减，于是函数y ＝1a x 的图象过定点(0，1)，在R 上单调递增，函数y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12的图象过定点⎝⎛⎭⎫12，0，在⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上单调递减.因此， 选项D 中的两个图象符合.(2)如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线y ＝－x ＋a 在y 轴上的截距.由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝f (x )只有一个交点.感悟升华 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 【训练1】 (1)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，且a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A.a >1，c >1B.a >1，0<c <1C.0<a <1，c >1D.0<a <1，0<c <1(2)(2021·西安调研)设x 1，x 2，x 3均为实数，且e －x 1＝ln x 1，e－x 2＝ln(x 2＋1)，e－x 3＝lg x 3，则( )A.x 1<x 2<x 3B.x 1<x 3<x 2C.x 2<x 3<x 1D.x 2<x 1<x 3答案 (1)D (2)D解析 (1)由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0<a <1.又当x ＝0时，y >0，即log a c >0，所以0<c <1.(2)画出函数y ＝⎝⎛⎭⎫1e x，y ＝ln x ，y ＝ln(x ＋1)，y ＝lg x 的图象，如图所示：由图象直观性，知x 2<x 1<x 3.考点三 解决与对数函数性质有关的问题角度1 比较对数值大小【例2】 (1)(2020·全国Ⅲ卷)设a ＝log 32，b ＝log 53，c ＝23，则( )A.a <c <bB.a <b <cC.b <c <aD.c <a <b(2)(2021·衡水中学检测)已知a ＝⎝⎛⎭⎫120.2，b ＝log 120.2，c ＝a b，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <b <c B.c <a <b C.a <c <b D.b <c <a答案 (1)A (2)B解析 (1)∵3log 32＝log 38<2，∴log 32<23，即a <c .∵3log 53＝log 527>2，∴log 53>23，即b >c .∴a <c <b .故选A.(2)函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x与y ＝log 12x 的图象关于直线y ＝x 对称，则0<⎝⎛⎭⎫120.2<1<log 120.2，∴a <b . 又c ＝a b ＝⎝⎛⎭⎫120.2log 120.2＝⎝⎛⎭⎫12log 120.20.2＝0.20.2<⎝⎛⎭⎫120.2＝a ，所以b >a >c .角度2 解简单的对数不等式【例3】 已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f (1)＝2，则不等式f (log 2x )>2的解集为( ) A.(2，＋∞)B.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，22∪(2，＋∞) D.(2，＋∞)答案 B解析 因为偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数. 又f (1)＝2，所以不等式f (log 2x )>2＝f (1)，即|log 2x |>1，解得0<x <12或x >2.角度3 对数型函数性质的综合应用【例4】 (2020·合肥调研)已知函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎫12x ＋a . (1)若函数f (x )是R 上的奇函数，求a 的值；(2)若函数f (x )的定义域是一切实数，求a 的取值范围；(3)若函数f (x )在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a 的取值范围. 解 (1)若函数f (x )是R 上的奇函数，则f (0)＝0， ∴log 2(1＋a )＝0，∴a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝－x 是R 上的奇函数. 所以a ＝0.(2)若函数f (x )的定义域是一切实数，则12x ＋a >0恒成立.即a >－12x 恒成立，由于－12x ∈(－∞，0)，故只要a ≥0，则a 的取值范围是[0，＋∞).(3)由已知得函数f (x )是减函数，故f (x )在区间[0，1]上的最大值是f (0)＝log 2(1＋a )，最小值是f (1)＝log 2⎝⎛⎭⎫12＋a .由题设得log 2(1＋a )－log 2⎝⎛⎭⎫12＋a ≥2， 则log 2(1＋a )≥log 2(4a ＋2).∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ≥4a ＋2，4a ＋2>0，解得－12<a ≤－13.故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－12，－13. 感悟升华 1.比较对数值的大小与解形如log a f (x )>log a g (x )的不等式，主要是应用函数的单调性求解，如果a 的取值不确定，需要分a >1与0<a <1两种情况讨论.2.与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.【训练2】 (1)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a ＝b <cB.a ＝b >cC.a <b <cD.a >b >c(2)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________. 答案 (1)B (2)⎝⎛⎭⎫1，83 解析 (1)因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32<log 33＝1.所以a ＝b >c .(2)当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1，2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1，2]上恒成立， 则f (x )min ＝f (2)＝log a (8－2a )>1， 即8－2a >a ，且8－2a >0， 解得1<a <83.当0<a <1时，f (x )在[1，2]上是增函数， 由f (x )>1在区间[1，2]上恒成立， 知f (x )min ＝f (1)＝log a (8－a )>1，且8－2a >0. ∴8－a <a 且8－2a >0，此时解集为∅. 综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，83.A 级 基础巩固一、选择题1.设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( )A.a ＋b <ab <0B.ab <a ＋b <0C.a ＋b <0<abD.ab <0<a ＋b 答案 B解析 由题设，得1a ＝log 0.30.2>0，1b＝log 0.32<0. ∴0<1a ＋1b ＝log 0.30.4<1，即0<a ＋b ab<1. 又a >0，b <0，故ab <a ＋b <0.2.(2021·濮阳模拟)已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫3x ＋43x ＋m 的值域是全体实数，则实数m 的取值范围是( )A.(－4，＋∞)B.[－4，＋∞)C.(－∞，－4)D.(－∞，－4]答案 D解析 由题意可知3x ＋43x ＋m 能取遍所有正实数. 又3x ＋43x ＋m ≥m ＋4，所以m ＋4≤0，即m ≤－4. ∴实数m 的取值范围为(－∞，－4].3.已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a －x 与函数g (x )＝log b x 的图象可能是( )答案 C解析 由lg a ＋lg b ＝0，得ab ＝1.∴f (x )＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1b －x ＝b x ， 因此f (x )＝b x 与g (x )＝log b x 单调性相同.A ，B ，D 中的函数单调性相反，只有C 的函数单调性相同.4.若函数f (x )＝|x |＋x 3，则f (lg 2)＋f ⎝⎛⎭⎫lg 12＋f (lg 5)＋f ⎝⎛⎭⎫lg 15＝( ) A.2B.4C.6D.8答案 A解析 由于f (x )＝|x |＋x 3，得f (－x )＋f (x )＝2|x |.又lg 12＝－lg 2，lg 15＝－lg 5. 所以原式＝2|lg 2|＋2|lg 5|＝2(lg 2＋lg 5)＝2.5.已知a ＝log 3 72，b ＝⎝⎛⎭⎫1413，c ＝log 13 15，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a >b >cB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b 答案 D解析 log 13 15＝log 3－15－1＝log 35，因为函数y ＝log 3x 在(0，＋∞)上为增函数， 所以log 35>log 3 72>log 33＝1，因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x 在R 上为减函数，所以⎝⎛⎭⎫1413<⎝⎛⎭⎫140＝1，故c >a >b . 6.若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2＋32x (a >0，且a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为( )A.(0，＋∞)B.(2，＋∞)C.(1，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 答案 A解析 令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，恒有f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝⎛⎭⎫x ＋342－916，因为M 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－34，＋∞. 又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32， 所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞).二、填空题7.若log 43＝m log 23，则log2m ＝________.答案 －2解析 ∵log 43＝12log 23，∴m ＝12，∴log 2m ＝－2. 8.(2021·济南一中检测)已知函数y ＝log a (2x －3)＋2(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 也在函数f (x )＝3x ＋b 的图象上，则b ＝________.答案 －7解析 令2x －3＝1，得x ＝2，∴定点为A (2，2)，将定点A 的坐标代入函数f (x )中，得2＝32＋b ，解得b ＝－7.9.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是________. 答案 [0，＋∞)解析 当x ≤1时，由21－x ≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1；当x >1时，由1－log 2x ≤2，解得x ≥12，所以x >1. 综上可知，x ≥0.三、解答题10.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，且a ≠1).(1)求函数f (x )的解析式；(2)若－1<f (1)<1，求实数a 的取值范围.解 (1)当x <0时，－x >0，由题意知f (－x )＝log a (－x ＋1)，又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x ).所以当x <0时，f (x )＝log a (－x ＋1)，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a （x ＋1），x ≥0，log a （－x ＋1），x <0. (2)因为－1<f (1)<1，所以－1<log a 2<1，所以log a 1a<log a 2<log a a . ①当a >1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1a <2，a >2，解得a >2； ②当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1a >2，a <2，解得0<a <12. 综上，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞). 11.已知函数f (x )＝log 21＋ax x －1(a 为常数)是奇函数. (1)求a 的值与函数f (x )的定义域；(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋log 2(x －1)>m 恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)因为函数f (x )＝log 21＋ax x －1是奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )，所以log 21－ax －x －1＝－log 21＋ax x －1， 即log 2ax －1x ＋1＝log 2x －11＋ax， 所以a ＝1，f (x )＝log 21＋x x －1， 令1＋x x －1>0，解得x <－1或x >1， 所以函数的定义域为{x |x <－1或x >1}.(2)f (x )＋log 2(x －1)＝log 2(1＋x )，当x >1时，x ＋1>2，所以log 2(1＋x )>log 22＝1.因为x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋log 2(x －1)>m 恒成立，所以m ≤1，所以m 的取值范围是(－∞，1].B 级 能力提升12.(2021·西安调研)设函数f (x )的定义域为D ，若满足：①f (x )在D 内是单调增函数；②存在[m ，n ]⊆D (n >m )，使得f (x )在[m ，n ]上的值域为[m ，n ]，那么就称y ＝f (x )是定义域为D 的“成功函数”.若函数g (x )＝log a (a 2x ＋t )(a >0且a ≠1)是定义域为R 的“成功函数”，则t 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，14 B.⎝⎛⎦⎤0，14 C.⎝⎛⎭⎫－∞，14 D.⎝⎛⎭⎫14，＋∞答案 A解析 因为g (x )＝log a (a 2x ＋t )是定义在R 上的“成功函数”，所以g (x )为增函数，且g (x )在[m ，n ]上的值域为[m ，n ]，故g (m )＝m ，g (n )＝n ， 即g (x )＝x 有两个不相同的实数根.又log a (a 2x ＋t )＝x ，即a 2x －a x ＋t ＝0.令s ＝a x ，s >0，即s 2－s ＋t ＝0有两个不同的正数根，可得⎩⎪⎨⎪⎧t >0，Δ＝1－4t >0. 解得0<t <14. 13.已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a >0且a ≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为________.答案 2解析 易知函数f (x )＝a x ＋log a x 在[1，2]上单调，所以f (x )在[1，2]上的最大值与最小值之和为f (1)＋f (2)＝log a 2＋6.因此a 2＋log a 2＋a ＋log a 1＝6＋log a 2，∴a 2＋a －6＝0，解之得a ＝2或a ＝－3(舍).14.已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x .(1)当x ∈[1，4]时，求函数h (x )＝[f (x )＋1]·g (x )的值域；(2)如果对任意的x ∈[1，4]，不等式f (x 2)·f (x )>k ·g (x )恒成立，求实数k 的取值范围. 解 (1)h (x )＝(4－2log 2x )log 2x ＝2－2(log 2x －1)2.因为x ∈[1，4]，所以log 2x ∈[0，2]，故函数h (x )的值域为[0，2].(2)由f (x 2)·f (x )>k ·g (x )，得(3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ，令t ＝log 2x ，因为x ∈[1，4]，所以t ＝log 2x ∈[0，2]，所以(3－4t )(3－t )>k ·t 对一切t ∈[0，2]恒成立，①当t ＝0时，k ∈R ；②当t ∈(0，2]时，k <（3－4t ）（3－t ）t恒成立， 即k <4t ＋9t－15， 因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号， 所以4t ＋9t－15的最小值为－3. 所以k <－3.综上，实数k 的取值范围为(－∞，－3).。

2024全国高考真题数学汇编对数与对数函数一、单选题1．（2024天津高考真题）若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>2．（2024全国高考真题）已知函数22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(,0]-∞ B ．[1,0]- C ．[1,1]- D ．[0,)+∞3．（2024北京高考真题）生物丰富度指数 1ln S d N-=是河流水质的一个评价指标，其中,S N 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S 没有变化，生物个体总数由1N 变为2N ，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（ ）A ．2132N N =B ．2123N N =C ．2321N N =D ．3221N N =4．（2024北京高考真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（ ） A ．12122log 22y y x x ++< B ．12122log 22y y x x ++> C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+ 5．（2024全国高考真题）设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ≥，则22a b +的最小值为（ ）A ．18B ．14C ．12D ．1二、填空题 6．（2024全国高考真题）已知1a >且8115log log 42a a -=-，则=a ．参考答案1．B【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.【详解】因为 4.2x y =在R 上递增，且0.300.3-<<，所以0.300.30 4.2 4.2 4.2-<<<，所以0.30.30 4.21 4.2-<<<，即01a b <<<，因为 4.2log y x =在(0,)+∞上递增，且00.21<<，所以 4.2 4.2log 0.2log 10<=，即0c <，所以b a c >>，故选：B2．B【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【详解】因为()f x 在R 上单调递增，且0x ≥时，()()e ln 1x f x x =++单调递增，则需满足()02021e ln1a a -⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩，解得10a -≤≤， 即a 的范围是[1,0]-.故选：B.3．D 【分析】根据题意分析可得12112.1, 3.15ln ln S S N N --==，消去S 即可求解. 【详解】由题意得12112.1, 3.15ln ln S S N N --==，则122.1ln 3.15ln N N =，即122ln 3ln N N =，所以3221N N =. 故选：D.4．B【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB ；举例判断CD 即可.【详解】由题意不妨设12x x <，因为函数2x y =是增函数，所以12022x x <<，即120y y <<，对于选项AB：可得121222222x x x x ++>=，即12122202x x y y ++>>， 根据函数2log y x =是增函数，所以121212222log log 222x x y y x x +++>=，故B 正确，A 错误； 对于选项D ：例如120,1x x ==，则121,2y y ==， 可得()12223log log 0,122y y +=∈，即12212log 12y y x x +<=+，故D 错误； 对于选项C ：例如121,2x x =-=-，则1211,24y y ==，可得()122223log log log 332,128y y +==-∈--，即12212log 32y y x x +>-=+，故C 错误， 故选：B.5．C 【分析】解法一：由题意可知：()f x 的定义域为(),b ∞-+，分类讨论a -与,1b b --的大小关系，结合符号分析判断，即可得1b a =+，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析ln()x b +的符号，进而可得x a +的符号，即可得1b a =+，代入可得最值.【详解】解法一：由题意可知：()f x 的定义域为(),b ∞-+，令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-；若-≤-a b ，当(),1x b b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<，此时()0f x <，不合题意；若1b a b -<-<-，当(),1x a b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<，此时()0f x <，不合题意；若1a b -=-，当(),1x b b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +<+<，此时()0f x >；当[)1,x b ∞∈-+时，可知()0,ln 0x a x b +≥+≥，此时()0f x ≥；可知若1a b -=-，符合题意；若1a b ->-，当()1,x b a ∈--时，可知()0,ln 0x a x b ++，此时()0f x <，不合题意；综上所述：1a b -=-，即1b a =+，则()2222211112222a b a a a ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立， 所以22a b +的最小值为12；解法二：由题意可知：()f x 的定义域为(),b ∞-+，令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-；则当(),1x b b ∈--时，()ln 0x b +<，故0x a +≤，所以10b a -+≤； ()1,x b ∞∈-+时，()ln 0x b +>，故0x a +≥，所以10b a -+≥；故10b a -+=， 则()2222211112222a b a a a ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当11,22a b =-=时，等号成立， 所以22a b +的最小值为12.故选：C.【点睛】关键点点睛：分别求0x a +=、ln()0x b +=的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断. 6．64【分析】将8log ,log 4a a 利用换底公式转化成2log a 来表示即可求解. 【详解】由题28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-，整理得()2225log 60log a a --=， 2log 1a ⇒=-或2log 6a =，又1a >， 所以622log 6log 2a ==，故6264a == 故答案为：64.。