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初中数学九大几何模型

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1 / 9 初中数学九大几何模型

一、手拉手模型----旋转型全等 （1）等边三角形 【条件】：△OAB和△OCD均为等边三角形； 【结论】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=60°；③OE平分∠AED （2）等腰直角三角形 【条件】：△OAB和△OCD均为等腰直角三角形； 【结论】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=90°；③OE平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形 【条件】：△OAB和△OCD均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB 【结论】：①△OAC≌△OBD； ②∠AEB=∠AOB； ③OE平分∠AED 二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况 【条件】：CD∥AB， 将△OCD旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD； ②延长AC交BD于点E，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况

OAB

CDE图 1

O

AB

C

DE

图 2 O

ABC

D

E图 1

O

ABC

D

E图 2O

ABC

D

EO

ABCDE

图 1图 2O

ABCDOABCD

E

OAB

CD

E

O

ABC

D………………………………………………最新资料推荐………………………………………

2 / 9 【条件】：CD∥AB，∠AOB=90° 将△OCD旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD； ②延长AC交BD于点E，必有∠BEC=∠BOA； ③OAOBOCODACBDtan∠OCD；④BD⊥AC； ⑤连接AD、BC，必有2222CDABBCAD；⑥BDAC21S△BCD 三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90° 【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC平分∠AOB 【结论】：①CD=CE；②OD+OE=2OC；③2△OCE△OCD△DCEOC21SSS 证明提示： ①作垂直，如图2，证明△CDM≌△CEN ②过点C作CF⊥OC，如图3，证明△ODC≌△FEC ※当∠DCE的一边交AO的延长线于D时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE；②OE-OD=2OC； ③2△OCD△OCEOC21SS

（2）全等型-120° 【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC平分∠AOB

【结论】：①CD=CE；②OD+OE=OC；③2△OCE△OCD△DCEOC43SSS

AOB

CD

E图 1

AOB

CD

E

M

N图 2

AOB

CD

EF

图 3

AOBC

DEM

N图 4………………………………………………最新资料推荐………………………………………

3 / 9 证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如右下图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明△OCF为等边三角形。

（3）全等型-任意角ɑ 【条件】：①∠AOB=2ɑ，∠DCE=180-2ɑ；②CD=CE； 【结论】：①OC平分∠AOB；②OD+OE=2OC·cosɑ； ③αcosαsinOCSSS2△OCE△OCD△DCE ※当∠DCE的一边交AO的延长线于D时（如右下图）： 原结论变成：①； ②； ③。 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。

对角互补模型总结： ①常见初始条件：四边形对角互补，注意两点：四点共圆有直角三角形斜边中线； ②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别； ③注意OC平分∠AOB时， ∠CDE=∠CED=∠COA=∠COB如何引导？ 四、模型四：角含半角模型90° （1）角含半角模型90°---1 【条件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；

AOB

CEFA

OB

CEFF

AOB

E

DCAOB E

C

DA

OB

CDE………………………………………………最新资料推荐………………………………………

4 / 9 【结论】：①EF=DF+BE；②△CEF的周长为正方形ABCD周长的一半； 也可以这样： 【条件】：①正方形ABCD；②EF=DF+BE； 【结论】：①∠EAF=45°； （2）角含半角模型90°---2 【条件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°； 【结论】：①EF=DF-BE；

（3）角含半角模型90°---3 【条件】：①Rt△ABC；②∠DAE=45°； 【结论】：222DECEBD（如图1） 若∠DAE旋转到△ABC外部时，结论222DECEBD仍然成立（如图2）

（4）角含半角模型90°变形 【条件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°； 【结论】：△AHE为等腰直角三角形； 证明：连接AC（方法不唯一） ∵∠DAC=∠EAF=45°， ∴∠DAH=∠CAE，又∵∠ACB=∠ADB=45°； ∴△DAH∽△CAE，∴AEACAHDA

ABC

DEFA

BCD

EFG

A

BCD

EF

ABCDEFABCDEFA

BCDEABC

DE

FA

BCDE

ABCDE

FABCDGHFEA

BC

DGHF

E………………………………………………最新资料推荐………………………………………

5 / 9 ∴△AHE∽△ADC，∴△AHE为等腰直角三角形 模型五：倍长中线类模型 （1）倍长中线类模型---1 【条件】：①矩形ABCD；②BD=BE； ③DF=EF； 【结论】：AF⊥CF 模型提取：①有平行线AD∥BE；②平行线间线段有中点DF=EF； 可以构造“8”字全等△ADF≌△HEF。 （2）倍长中线类模型---2 【条件】：①平行四边形ABCD；②BC=2AB；③AM=DM；④CE⊥AB； 【结论】：∠EMD=3∠MEA 辅助线：有平行AB∥CD，有中点AM=DM，延长EM，构造△AME≌△DMF，连接CM构造 等腰△EMC，等腰△MCF。（通过构造8字全等线段数量及位置关系，角的大小转化） 模型六：相似三角形360°旋转模型 （1）相似三角形（等腰直角）360°旋转模型---倍长中线法 【条件】：①△ADE、△ABC均为等腰直角三角形；②EF=CF； 【结论】：①DF=BF；②DF⊥BF 辅助线：延长DF到点G，使FG=DF，连接CG、BG、BD，证明△BDG为等腰直角三角形； 突破点：△ABD≌△CBG； 难点：证明∠BAO=∠BCG （2）相似三角形（等腰直角）360°旋转模型---补全法

ABCEFDHA

BEFDH

ABCDM

EA

BCDM

E

F

CDF

C

GA

EB

DF

CAB

DF

CG………………………………………………最新资料推荐………………………………………

6 / 9 【条件】：①△ADE、△ABC均为等腰直角三角形；②EF=CF； 【结论】：①DF=BF；②DF⊥BF 辅助线：构造等腰直角△AEG、△AHC； 辅助线思路：将DF与BF转化到CG与EF。 （3）任意相似直角三角形360°旋转模型---补全法 【条件】：①△OAB∽△ODC；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE； 【结论】：①AE=DE；②∠AED=2∠ABO 辅助线：延长BA到G，使AG=AB，延长CD到点H使DH=CD，补全△OGB、△OCH构造旋转模型。转化AE与DE到CG与BH，难点在转化∠AED。

（4）任意相似直角三角形360°旋转模型---倍长法 【条件】：①△OAB∽△ODC；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE； 【结论】：①AE=DE；②∠AED=2∠ABO 辅助线：延长DE至M，使ME=DE，将结论的两个条件转化为证明△AMD∽△ABO，此为难点， 将△AMD∽△ABC继续转化为证明△ABM∽△AOD，使用两边成比例且夹角相等，此处难点在证明∠ABM=∠AOD

模型七：最短路程模型 （1）最短路程模型一（将军饮马类） 总结：右四图为常见的轴对称类最短路程问题， 最后都转化到：“两点之间，线段最短：解决； 特点：①动点在直线上；②起点，终点固定

OA

BD

CE

O

ABD

CE

GH

OA

BD

CE

OA

BD

CEMA

B

B'PlPA+PB

AA'P

QB

B'l2

l1

PA+PQ+BQAA'

PQBl

AA'P

Ql1

l2

PA+PQ+BQPA+PQ+BQ

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初中数学几何模型

初中数学几何模型

全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型：说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。

两边进行边或者角的等量代换，产生联系。

垂直也可以做为轴进行对称全等。

对称半角模型说明：上图依次是°、°、°、°及有一个角是°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

旋转全等模型半角：有一个角含角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。

自旋转模型构造方法：遇度旋度，造等边三角形遇度旋度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋度，造中心对称说明：IS 8模型变形BEFcEB说明：说明：nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn nnnnn口叩皿皿皿皿皿中点模型 边构诗中｛fflt 逢阳点闵iS 中幽城 几何最值模型 VH *h 轴对称模型 对称最值 线mi 差模型 fflftffw 同侧"异侧两蜒段之利罐短视它 同侧、异删芮线投之羞媪小槐型 四边形周怏垠小根地 三角形眉长 必小檢哩三线穀之和 她知爬制过桥模取旋转最值说明：找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段，定长线段的和为最大值，定长线段的差为最小值。

简拼模型三角形j四边形E 面积等分说明：说明：3045602说明：ACOCOAA 模型一：手拉手模型-旋转型全等<2)等濮的AA Mfr=血°拟述°均为等媵直甬M 册A 结险(DA (UCtAO^l>j 超乙他»③。

E 平分£忖了儿(1)―况> Sfr ：LDW 牛底皿力能转至右囲检置A 皓论：> 右图中①bOCWMe\QAC AOSD 』 >⑨延氏M 交购于点G 必肖5氏-LBOA⑵特燥惜况＞条件m 3MB ,厶伽■剜，将AXD 龍讳至右團位蛊a gife ：右gcp fflAfJCD^iOJ^AC?JCiM£33②延长M 交加于点瓦愁有3EC -LUGA f BD 000B (5)-—--——=—-=tan ZlfX D®ACOCOA 3f^SDLAC.灘接也JC >临加*†g ・a+o>s ⑥矢"訐c&J 冊哒相垂直的四嬷)<3)任翦腰三角晤†辭，。

初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)

初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)

初中数学几何模型大全+经典题型(含答案) 初中数学几何模型大全及经典题型（含答案）全等变换平移：平行线段平移形成平行四边形。

对称：以角平分线、垂线或半角作轴进行对称，形成对称全等。

旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转形成旋转全等。

对称半角模型通过翻折将直角三角形对称成正方形、等腰直角三角形或等边三角形。

旋转全等模型半角：相邻等线段所成角含1/2角及相邻线段。

自旋转：通过旋转构造相邻等线段的旋转全等。

共旋转：通过寻找两对相邻等线段构造旋转全等。

中点旋转：将倍长中点相关线段转换成旋转全等问题。

模型变形当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。

几何最值模型对称最值：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距离。

旋转最值：找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段，定长线段的和为最大值，定长线段的差为最小值。

剪拼模型通过中点的180度旋转及平移改变图形的形状，例如将三角形剪拼成四边形或将矩形剪拼成正方形。

正方形的边长可以通过射影定理来求解。

假设正方形的边长为x，那么正方形的对角线长为x√2.将正方形分成两个等腰直角三角形，可以得到等腰直角三角形的斜边长为x√2/2.因此，根据射影定理，可以得到等腰直角三角形的高为x/2，进而得到正方形的边长为x=x√2/2.通过平移和旋转，可以将一个正方形变成另一个正方形。

这可以通过旋转相似模型来实现。

例如，两个等腰直角三角形可以通过旋转全等来实现形状的改变，而两个有一个角为300度的直角三角形可以通过旋转相似来实现形状的改变。

更一般地，两个任意相似的三角形可以通过旋转成一定角度来实现旋转相似，其中第三边所成夹角符合旋转“8”字的规律。

在相似证明中，需要注意边和角的对应关系。

相等的线段或比值在证明相似时可以通过等量代换来构造相似三角形。

另外，从三垂线到射影定理的演变，再到内外角平分线定理，需要注意它们之间的相同和不同之处。

初中数学九大几何模型上课讲义

初中数学九大几何模型上课讲义

初中数学九大几何模型一、手拉手模型----旋转型全等（1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED（2）等腰直角三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED（3）顶角相等的两任意等腰三角形 OAB C DE图 1OABCD E图 2OABCDE图 1OACDE图 2D【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AED二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ；OAB COBCDEOB CDEOCD③===OAOBOC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有2222CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21S △BCD ⨯=三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 21S S S =+= 证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ；③2△OCD △OCE OC 21S S =-（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43S S S =+=AOBCDE 图 1A OBCDEM N图 2A OBCDEF图 3A O BCDEMN 图 4证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。

九年级数学初中常见几何模型汇总(图片版)

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九年级数学初中常见几何模型汇总（图片版）初中常见几何模型汇总全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。

两边进行边或者角的等量代换，产生联系。

垂直也可以做为轴进行对称全等。

对称半角模型说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。

中点旋转：说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。

证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。

几何最终模型对称最值(两点间线段最短)对称最值(点到直线垂线段最短)说明：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距离。

旋转最值(共线有最值)说明：找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段，定长线段的和为最大值，定长线段的差为最小值。

剪拼模型三角形→四边形四边形→四边形说明：剪拼主要是通过中点的180度旋转及平移改变图形的形状。

矩形→正方形说明：通过射影定理找到正方形的边长，通过平移与旋转完成形状改变正方形+等腰直角三角形→正方形面积等分旋转相似模型说明：两个等腰直角三角形成旋转全等，两个有一个角是300角的直角三角形成旋转相似。