矩阵论课程论文~
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研究生课程论文
西尔维斯特及其矩阵理论
课程名称 矩阵论
姓 名 郭辉
学 号 1000203040
专 业 检测技术与自动化装置
任课教师 刘强
开课时间 2009.09——2010.01
教师评阅意见：
论文成绩 评阅日期
课程论文提交时间： 10年 3 月 4 日 西尔维斯特及其矩阵理论
摘要 矩阵是伴随着其他理论的研究而产生的，众多数学家为其早期的发展做了大量的工作。在此基础上，西尔维斯特创用了矩阵一词，引进了与矩阵有关的一些基本概念，给出了矩阵的一些重要结论和著名定理，为矩阵理论的发展做出了重要贡献。
关键词 矩阵的早期发展 西尔维斯特 矩阵名词 矩阵理论
矩阵思想的萌芽由来已久，早在公元前一世纪，我国最重要的数学经典著作《九章算术》已能够相当成熟地运用矩阵形式解方程组，魏晋时期的数学家刘徽又在《九章算术注》中进一步完善，给出了完整的演算程序[1]。但那时矩阵概念仅是用来作为线性方程组系数的排列形式解决实际问题，并没有建立独立完善的矩阵理论。从18世纪早期到19世纪中叶，这种排列形式在线性方程组和行列式计算中应用日益广泛。在逻辑上，矩阵的概念先于行列式的概念，而在历史上次序正相反[2]，因此在矩阵引进的时候它的许多基本性质就已经非常清楚了。行列式以及代数型的发展为矩阵理论进一步的发展提供了条件。在矩阵发展的早期，矩形阵列本身并没有引起单独的注意但是，19世纪数学家们在其他数学领域的研究工作导致了矩形阵列更加形式的计算，促进了矩阵理论的诞生。西尔维斯特在矩阵理论方面的贡献，不仅体现在对矩阵理论内容上的发展，即从不同领域的研究中发展出来的有关矩阵的概念，以及随之引起的相似、对角化和标准型的矩阵分类等等，还有其更深刻的地方:一方面他的工作使得当时比较零散的矩阵知识趋于系统化、理论化，为凯莱创立矩阵理论提供了有利条件；另一方面，西尔维斯特的行列式和矩阵的思想，为代数不变量理论的创立奠定了重要基础。
1.矩阵的早期发展
矩阵的早期发展是伴随其他理论的研究而产生的。截至西尔维斯特和凯莱的时代，数学家们已经在矩阵领域做出了许多重要工作，但仍没有给出矩阵的确切定义，更没有将矩阵理论系统化。矩阵早期的一些重要概念及思想，是在矩阵理论本身产生之前从不同领域及思想的研究发展而来，并最终包含在矩阵理论之中。
1.1 二次型理论研究中孕育的矩阵思想
18世纪，二次型的系统研究即已开始，它源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论。从18世纪末到19世纪初，数学家们是用二次型的形式来表示矩阵的阵列形式的，矩阵理论的发展及思想的形成渗透在二次型理论之中。1773年，法国数学家拉格朗日在讨论齐次多项式时引入了线性变换1801年高斯在《算术研究》中，系统地推广了瑞士数学家欧拉与拉格朗日的二次型理论，其中给出了两个线性变换的复合，该复合的新变换的系数矩阵是原来两个变换的系数矩阵的乘积。
1.2 微分方程研究中孕育的矩阵思想[4]
18世纪，物理问题促进了微分方程的研究，使之成为一门独立的学科。到18世纪中期，微分方程的求解成为微分方程课题的主要研究目标。18世纪中叶，达朗贝尔在研究二阶微分方程组时引入了矩阵的特征值和特征向量。1815年，法国数学家柯西在研究微分方程问题时证明所有对角矩阵的特征向量(至少在不等的情况下)都是实的，从而得出矩阵可以通过正交变换而对角化的推论，并于1829—1830年间证明实对称矩阵的特征根是实数，这孕育了对称矩阵、特征方程、正交变换等基本的矩阵概念。1854年，约当指出:如果特征方程错误！未找到引用源。所有的根不同，线性变换下的矩阵可取对角阵，对角线的元素就是特征值，同时他研究了矩阵化为标准型的问题
1.3行列式计算中孕育的矩阵思想
矩阵和行列式作为工具，都是伴随线性方程组的求解而产生的。行列式的研究开始于18世纪中叶以前。用行列式的方法解含有两个、三个和四个未知量的联立线性方程组，可能始于1729年[3]。1815年，柯西在一篇关于行列式理论的基础性论文中用缩写的记号错误！未找到引用源。代表被其称之为“对称组”的矩阵:
nnnnnnnaaaaaaaaaaaa.2.1..32.31.3.22.21.2.12.11.1
1827年德国数学家雅可比得出结论:斜对称矩阵的秩是偶数。1843年，德国数学家艾森斯坦用明确的符号错误！未找到引用源。来表示两个变换S和T复合，并在1844年的一篇论文中针对这种变换的复合写道：
顺便地，在它的基础上可以建立一个算法，其中包括把乘除法以及乘幂的一般运算规则应用到两个线性方程组的符号方程上。正确的符号方程总是可以得到，它思考的中心问题是因子的顺序，即方程组复合的顺序往往不可以改变。[4]很明显，艾森斯坦这里所说的变换的一般运算规则实际上就是矩阵的运算法则，并指出矩阵运算不符合交换律。
2. 西尔维斯特的生平简介
詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特出生于英国伦敦一个犹太人家庭，父亲的过早去世使得这个子女众多的家庭生活十分艰难。1829年西尔维斯特进入皇家学会设在利物浦的学校学习，他学习努力，成绩突出，曾因解决了美国抽彩承包人提出的一个排列问题而得到500美元的数学奖金。1831年10月西尔维斯特进入剑桥大学圣约翰学院学习。1841年在都柏林大学三一学院获得硕士学位。1846年他进入内殿法学协会，并于1850 年取得律师资格，在这期间他和同时进入林肯法律学会的凯莱建立了深厚的友谊，他们在从事法律业务的间隙，经常在一起交流数学研究的成果。1863年西尔维斯特取代几何学家施泰纳成为法国科学院的数学通讯员。1876年， 61岁的西尔维斯特接受美国物理学家亨利的邀请到美国的巴尔的摩担任霍普金斯大学的数学教授。1878 年他在巴尔的摩创办了《美国数学杂志》，并为这本杂志写了30篇论文。这是美国历史上第一个数学杂志，对美国大学的数学研究有很大的影响，推动了美国纯数学的发展。[ 8 ]西尔维斯特一生致力于纯数学的研究，他和凯莱、哈密顿等人一起发扬了自牛顿以来英国纯粹数学的繁荣局面。他的成就主要在代数方面，在代数方程论、数论等诸领域都有重要的贡献，一生发表了三百多篇论文，收集在剑桥大学出版社出版的4卷本《詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特数学论文集》中。由于西尔维斯特对数学的贡献，他一生获得过许多荣誉。除了研究数学之外，他还是一位诗人，对音乐也有浓厚的兴趣，出版过《诗体法则》等著作 [5]。
3 西尔维斯特的矩阵理论
3.1 矩阵术语的创用
如前所述，在矩阵理论发展的早期，数学家们虽然在工作中大量使用矩阵概念，并给出了有关矩阵的许多重要结果，但都没有明确提出“矩阵”这一术语。“矩阵”一词是由西尔维斯特最先使用的。1850年，他在研究方程的个数与未知量的个数不相同的线性方程组时，由于无法使用行列式，所以引入了“矩阵”一词来表示“一项由m 行n列元素组成的矩形阵列”，因为由那个阵列，“我们能形成各种行列式组”。1855年，英国数学家凯莱注意到在线性方程组中使用矩阵是非常方便的，因而引进矩阵以简化记号。他用：
（，，，„）='''''''''zyx，，来表示方程组：
zyx
zyx'''
zyx''''''
继而把方程组的解用矩阵的逆来表示，给出零矩阵、单位矩阵等概念，并与1858年发表了重要文章《矩阵论的研究报告》，文章中了用了单个字母表示矩阵，给出矩阵相加、相等、相乘的定义和规则，使得矩阵知识理论化和系统化。所以人们通常将矩阵论的创立归功于凯莱。
3.2有关矩阵的一些基本概念
西尔维斯特除了最早使用矩阵名词外，还引进了与之有关的一些基本概念。1851年，西尔维斯特在论文《二次曲线和二次曲面的接点数》中引入了不变因子和初等因子的概念。在研究二次曲线和二次曲面切触和相交时，需要考虑二次曲线和二次曲面束的分类。西尔维斯特把曲面束写成错误！未找到引用源。的形式，这里：
fxyezxdyzczbyA222ax222
xyf'2zxe'2yzd'2zc'yb'x'a222B
他考察了行列式：
BA='''''''''ccddeeddbbffeeffaa
AB的行列式的元素是的多项式。西尔维斯特证明了如下结论：
如果错误！未找到引用源。得任一阶的全部子式有一个公共因子，则当A和B经过一个线性变换以后，这个因子仍将是同阶子式组的公共因子。并给出：
如果全部i阶子式有因子错误！未找到引用源。，ih阶子式将包含因子错误！未找到引用源。，对每个i，i阶子式的最大公因子错误！未找到引用源。中出现的各线性因子的方幂是错误！未找到引用源。的或者任何一般行列式A的初等因子。对每个i，错误！未找到引用源。被错误！未找到引用源。所除的商称为错误！未找到引用源。的不变因子。
1884年，西尔维斯特提出了对角矩阵和数量矩阵的概念，他称形如：
nkkkk000000000000321=nkkk，，21的矩阵为对角矩阵，当对角矩阵对角元素相等时称为数量矩阵，并且由矩阵加法定义和乘法定义得出对角矩阵的运算规则：
nkkk，，21nlll，，21=nnlklklk，，2211，
nkkk，，21nlll，，21=nnlklklk，，2211;
设数量矩阵错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。kS=错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。lS=错误！未找到引用源。。由此西尔维斯特进一步得到：“由数量矩阵构成的线性系统是R是数环K上的子系统。如果K为具有单位元素的交换环，并且对于R中任意矩阵X都有AXXA，则称A是数量矩阵”，并给出了严格的证明。
3.3矩阵的“零性律”
19世纪，英国数学家史密斯和道奇森在前人工作的基础上进一步研究了线性方程组理论。史密斯在1861年引进了增广矩阵和非增广矩阵的概念。道奇森证明了n个未知数m个方程的方程组相容的充要条件是增广矩阵和系数矩阵的秩相同。在19世纪中叶增广矩阵和系数矩阵式用增广行列式和非增广行列式来叙述的。1879年弗罗伯纽斯给出矩阵的秩概念后，西尔维斯特于1884年给出了零性的概念和零性律。
如果A是一个m×n阶矩阵，秩就是A中非零子式的最大阶数。如果A是n阶方阵，把矩阵的阶数与秩的差叫做矩阵的零性。
两个（而且可以推广为任意有限数目）矩阵乘积的零性不能比任意因子的零性小，也不能比组成这一乘积的因子的零性之和大。西尔维斯特的“零性律”现在叙述为：设A，B是数域P上的两个n阶矩阵，A的秩为错误！未找到引用源。，B的秩为错误！未找到引用源。，AB的秩为R，则R错误！未找到引用源。1r，R错误！未找到引用源。2r，且R12rrn错误！未找到引用源。。这是矩阵理论中关于矩阵乘积的秩的一个重要定理。
