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矩阵论文——精选推荐

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矩阵变换法在降低OFDM信号峰均功率比中的应用

摘要：近年来，正交频分复用(OFDM)技术继单载波扩频技术(如CDMA)之后，成

为主流的传输技术。目前，OFDM技术已经在DAB(数字广播)、DVB(数字电视)、

IEEE802.1lg／a／n，802，16d／e等系统中获得了广泛的应用,正在标准化的3GPP

LTE(长期演进)和3GPP2 AIE(空中接口演进)技术也很可能选用OFDM及其改进型

(下行OFDMA、上行DFT-S-OFDM)作为基本多址技术。

OFDM的一个主要不足是其发送信号具有很高的峰值与平均功率(PAFR)。当发

送信号的瞬时功率超出功率放大器的动态范围时，将会导致信号的裁剪而产生非

线性的信号失真，造成信号畸变，导致频带内的噪声功率增加和频带外的功率扩

散，还将破坏各子载波之间的正交性。

本文针对矩阵变换方法的降峰均比性能、实现复杂度，对信号抗噪声性能的

影响、对信息速率的影响等方面进行了研究和比较，都进行了较详细的研究和仿

真。

关键词：矩阵变换法 OFDM 峰均功率比

1． 引言

近几年来，随着对下一代无线通信系统研究的进展，OFDM渐渐成为主流技术。

与传统的单载波传输方式相比，OFDM具有如下的优点【1】：

(1) 频谱效率高：由于FFT变换的正交性使各子载波可以部分重叠,理论上可

以接近Nyquist极限。以OFDM为基础的多址技术OFDMA(正交频分多址)可以实现小

区内各用户之间的正交性，从而有效避免用户间干扰。这使OFDM系统可以实现很

高的小区容量。

(2) 带宽扩展性强：由于OFDM系统的信号带宽取决于使用的子载波的数量。

因此OFDM系统具有很好的带宽扩展性。小到几百KHz，达到几百MHz，都比较容易

实现。尤其是随着移动通信宽带化(将由<5MHz增加到最大20MHz以上)，OFDM系统对大带宽的有效支持。成为其相对于单载波技术(如CDMA)的“决定性优势”。

(3) 抗多径衰落：由于OFDM将宽带传输转化为很多子载波上的窄带传输，每

个子载波上的信道可以看作平坦衰落信道，从而人人降低了接收机均衡器的复杂

度。相反，单载波信号的多径均衡的复杂度随着带宽的增人而急剧增加,很难支

持较人的带宽(如20MHz以上)。

(4) 频谱资源灵活分配：OFDM系统可以通过灵活的选择适合的子载波进行传

输，来实现动态的频域资源分配，从而充分利用频率分集和多用户分集，以获得

最佳的系统性能。

(5) 实现MIMO技术较简单：由于每个OFDM子载波内的信道可看作水平衰落信

道，多天线(MIMO)系统带来的额外复杂度可以控制在较低的水平(随天线数量呈

线性增加)。相反，单载波MIMO系统的复杂度与天线数量和多径数量的乘积的幂

成正比，很不利于MIMO技术的应用。

总之，OFDM频谱效率较高、适合高速传输，可有效对抗多径与频率选择性衰

落信道，可动态分配各子载波的传输速率，并能通过使用不同数罩子信道实现不

同速率以满足1F对称业务需求。这些特点使得OFDM成为F一代无线移动通信系统

最具竞争力接入方案。

OFDM的一个主要不足是其发送信号具有很高的峰值与平均功率比(PAPR),对

于有N个子载波的OFDM系统，一个极端的情况是当各个子载波上的信号恰好以同

相相加时，其发送信号的峰值功率甚至可以达到平均功率的N倍。当信号超出功

放的动态范围不能被线性放大时，将会导致严重的信号失真，破坏各子载波之间

的止交性,造成带内信号畸变和带外频谱弥散。为了保护OFDM信号的频谱特征以

避免带内畸变和带外弥散，发送端的功率放大器必须具有较大的动态工作范围以

适应大的峰值功率,尽管大的峰值功率出现的概率较低。这就造成了低效率的功

率转换，减小了信号可以覆盖的范围，同时在移动应用中也会缩短终端的电池寿

命。因此。OFDM信号的高峰均比特性是OFDM技术获得广泛应用的最大障碍之一。

日前，已经提出了许多种降低OFDM信号峰均比的方法,包括限幅(clipping)

法、部分传输序列(PTS)法、选择映射(SLM)法、交织(Interleaving)法、编码

(coding)法、压扩(compounding)法、扩展星座空间(Active Constellation)法、

音调保存(Tone Reservation)法、矩阵变换法等。这些方法都以不同的代价为降低OFDM信号的峰均比提供了有效的解决方案。例如，ITS法和SLM法会增加系统复

杂度，产生冗余信息；限幅法和压扩法会造成频谱畸变；编码法降低了信息传输

速率等【2】。

本文将着重介绍矩阵变换对OFDM系统性能的影响，进行仿真。由仿真结果可

以看出，矩阵变换法能够有效地降低OFDM信号的PAPR值，并且具有较低的计算复

杂度及较好的实用价值。

2． OFDM信号峰均比问题

OFDM的一个主要不足是其发送信号具有很高的峰值与平均功率比(PAPR)。对

于有N个子载波的OFDM系统,其发送信号的峰值功率甚至可以达到平均功率的N倍

为了保护信号的频谱特征以避免带内畸变和带外弥散，发送端的功率放大器必须

具有较大的动态范围，造成了低效率的功率转换，这在移动应用中会缩短终端的

电池寿命。在许多要求低成本的实际应用中，OFDM的高峰均比特所产生的危害性

往往会超过它的潜在优点。

2.1 OFDM信号的峰均比定义

OFDM信号是由多个独立的数据符号被调制到一组带宽相等的子载波上。并将

所有子载波叠加而得到的。设一个OFDM系统包含N路子载波，则其发送的数据符

号向量可表示为

：T,其中

Xn ,n=0,1,„, N-1为彼此独立的数据符号，经OFDM调制后的时域基带信号为：

其中x(t)是调制后的时域连续信号， T是输入符号的周期，Δf是子载波间

隔，NT是有效数据块的长度。由于子载波之间必须满足正交。因此Δf=I／NT,

峰均比PAPR的定义为：

3. 矩阵变换法

通过前面的讨论我们知道，OFDM输出信号的峰均比和输入信号的自相关函数

有着紧密的联系。输入序列的平均功率等于其自相关函数的最大值。那么,如果

一个OFDM系统的子载波数不变,也即输入序列的长度不变，其自相关函数的最大

值就取决于输入序列本身的特性。如果一个输入序列的自相关函数的旁瓣大于另

一个序列，那么前者就具有更大的相关性。

IFFT过程可以看作将输入序列与一组正弦函数相乘,然后相加并采样。冈此，

输入序列的自相关性越大,就越容易导致该组正弦函数以同相相加,从而造成较

高的峰均比【3】。

设输入序列{}的自相关函数为：

k=0,…, N-1 则其产生的峰均比PAPR满足如下关系式:

3.1 Hadamard矩阵变换法

因此，如果可以找到一种降低序列相关性的方法，就可以有效地降低它的峰

均比。M．Park提出了用Hadamard矩阵来降低序列的自相关性。该矩阵生成方法

如下：

图2给出了Hadamard矩阵变换前后序列的字相关函数比较。可以看到，变换

后自相关函数在旁瓣部分的值减少了。因此，在IFFT变换之前先对输入序列进行

Hadamard矩阵变换。图 1 给出了该系统的框图。

传送数据 X Y s（t） 接收数据 X^ Y^ 图1 基于Hadamard矩阵变换的OFDM框图 如上图所示，输入OFDM发送端的比特流首先经过星座映射变为符号流，然后

由串，并转换变为OFDM数据块。在进行IFFT之前,先用Hadamard矩阵对其进行变

换，降低自相关性，然后通过IFFT进行OFDM调制。在接收端，经OFDM解调(FFT)

后的数据块在并／串转换变为符号流之前，首先用Hadamard逆矩阵对其进行变

换，得到原来的符号流。

Hadamard矩阵是正交阵，且可以用类似FFT的碟形运算快速实现，因此在OFDM

系统中加上Hadamard变换模块不会增加过高的复杂度。 基带调制 S/P

矩阵变换 信道 P/S滤波成形 矩阵变换

P/S 基带解调 S/P信道补偿 IFFT

FFT

图2 归一化自相关函数比较

图3 Hadamard矩阵降峰均比性能 图3给出了Hadamard矩阵降峰均比性能的仿真结果。系统子载波数N=128，采

用QPSK调制。8个样点的循环前级，4倍过采样。可以看到，在CCDF=O．01％处，

变换后信号的PAPR门限值比原来的信号降低了约1dB。

3.2 其它几种矩阵变换法

除了Hadamard矩阵的，还有许多其它类型的矩阵同样具有良好的降低序列相

关性的功能。

1）离散余弦变换(DCT)矩阵。离散余弦变换矩阵定义为【4】

式中，m为矩阵的行号,n=1,2,„,N为矩阵的列号;N为矩阵的大小。DCT矩阵

也为正交矩阵，有C·=I。

3) 离散付氏变换(DFT)矩阵。离散付氏变换矩阵定义为：

由DFT矩阵的性质有，F

·=N·I，其中上标，表示共扼操作。

4) P4矩阵。长为L的P4序列{}定义为:

,L-

1

若L=N2，可将P4序列按列重排成一NN矩阵,我们称之为P4矩阵。

为了验证矩阵变换法的有效性，使用Matlab软件对采用上面4种矩阵作为变

换矩阵的OFDM系统进行了仿真。系统子载波数为N=128，子载波QPSK调制，4倍过

采样，分别采用上面4种矩阵作为变换矩阵，其信号PAPR值的互补累积分布函数

(CCDF)如图4所示【5】。

由图4可见，矩阵变换法能有效地改善信号的PAPR特性。当信号PAPR的CCDF

为时，DFT, P4,DCT和Walsh Hadamard矩阵分别能使信号的PAPR值降低

3.5dB,3.4dB,3.4dB和1dB。不同的变换矩阵具有不同的改善信号PAPR特性的能

力，有DFTP4 >DCT>Walsh。恰当地选取或设计变换矩阵，可以获得非常好的

性能。为了更好地说明不同变换矩阵具有不同的改善信号PAPR特性的能力。特对

经过变换矩阵处理后的信号序列的非周期自相关函数进行了统计，其平均归一化

非周期自相关函数如图5所示。由图5可见，经DFT和P4矩阵处理后的信息序列具

有很小的非周期自相关函数旁瓣，因此，它们能够很好地改善信号的PAPR特性。

归一化非周期自相关函数的旁瓣越小，其信号的PAPR也越小，因此，图5能够很

好地解释图3的仿真结果。

图4 OFDM信号PAPR的CCDF曲线

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矩阵倒置

⽂字描述

倒置：把矩阵A的⾏换成相应的列，得到的新矩阵称为A的转置矩阵，记作AT或A。

通常矩阵的第⼀列作为转置矩阵的第⼀⾏，第⼀⾏作为转置矩阵的第⼀列。

那么，在已经存储好的三元组的顺序存储结构中，如果如何实现矩阵的倒置呢

第⼀反应肯定是直接遍历，然后⾏列对换即可，但是因为要求按照⾏号优先（也可以是列号优先，但是必须倒置前和

倒置后都按照⼀种优先的⽅式排列），所以如果直接对换，那么就会变得没有顺序，还需要⼀次排序，这样反⽽不

妙。

1、正常倒置

既然要进⾏⾏列对换，那么对换后的⾏号就是对换前的列号，因此可以多次扫描列号，

从列号⼩的开始扫描对换，那么进⾏对换后⼀定能够满⾜⾏号优先

2、快速倒置

很显然对于正常的倒置来说，要多次扫描整个存储空间，浪费⼤量的时间，因此可以对其进⾏

优化

我们可以⾸先记录每⼀列（倒置后就是⾏）有多少元素，然后预留出空间

然后⼀遍扫描直接将其元素放⼊合适的预留位置即可

代码实现

1、正常倒置

/**

* @Stone6762

*/

public SparseArray transpose() { SparseArray tm = new SparseArray(nums);// 创建⼀个转置后的矩阵对象

tm.cols = rows;// ⾏列变化，⾮零个数不变

tm.rows = cols;

tm.nums = nums;

int q = 0;

// 从⼩到⼤扫描列号，然后进⾏变化

for (int col = 0; col < cols; col++) {

for (int p = 0; p < nums; p++) {

if (data[p].getColumn() == col) {

tm.data[q].setColumn(data[p].getRow());

tm.data[q].setRow(data[p].getColumn());

tm.data[q].setValue(data[p].getValue());

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在xx⼤学度过了四年的紧张学习时光，系统地学习了⼯商管理的各⽅⾯知识，深深的佩服各位专业⽼师的学识，从中我不

仅学习到管理知识，⽽且学到很多做⼈、做事、做学问的道理，在此表⽰真挚的谢意。在论⽂即将完成之际，我要感谢我的导

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在此我要感谢xx⼤学xx系的所有⽼师，你们⽆私的奉献精神和爱岗敬业的治学态度，不仅使我对管理理论有了更进⼀步的

理解，将理论和⾃⼰的⼯作互相印证，受益匪浅。⽽且使我能够将所学理论应⽤于对现实问题的分析和解决，继⽽提⾼⾃⼰的

管理⽔平。

感谢我的各位同学，是你们的⽆私帮助让我感受到校园的温暖，在我的论⽂写作过程当中，多位同学为我提供了信息⽀

持，在此⼀并表⽰感谢。最后再次感谢xx⼤学为我提供了宝贵的学习机会，使我能够⾛上⼀个新的平台，幵始⼀段新的⼈⽣!

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六⽉，总是阳光灿烂。六⽉，总要曲终⼈散。六⽉，我们拒绝伤感。花⼉谢了芬芳，迎来硕果飘⾹。毕业带来别离，我们

⾛向辉煌。在论⽂完稿之际，谨对在本论⽂的撰写过程中，给予我帮助的导师和亲爱的家⼈，表⽰深深的感谢!特别要感谢我

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什么是论文

什么是论文：

论文常用来指进行各个学术领域的研究和描述学术研究成果的文章，简称之为论文。它既是探讨问题进行学术研究的一种手段，又是描述学术研究成果进行学术交流的一种工具。它包括学年论文、毕业论文、学位论文、科技论文、成果论文等。

两种常见的论文

①学位论文。学位申请者为申请学位而提出撰写的学术论文叫学位论文。这种论文是考核申请者能否被授予学位的重要条件。学位申请者如果能通过规定的课程考试，而论文的审查和答辩合格，那么就给予学位。如果说学位申请者的课程考试通过了，但论文在答辩时被评为不合格，那么就不会授予他学位。

有资格申请学位并为申请学位所写的那篇毕业论文就称为学位论文，学士学位论文。学士学位论文既是学位论文又是毕业论文。

②学术论文。中华人民共和国国家标准VDC 001.81、CB 7713-87号文件给学术论文的定义为：学术论文是某一学术课题在实验性、理论性或观测性上具有新的科学研究成果或创新见解的知识和科学记录；或是某种已知原理应用于实际中取得新进展的科学总结，用以提供学术会议上宣读、交流或讨论；或在学术刊物上发表；或作其他用途的书面文件。在社会科学领域，人们通常把表达科研成果的论文称为学术论文。

学术论文具有四大特点：①学术性 ②科学性 ③创造性 ④理论性

论文：矩阵

论文：矩阵

矩阵

内容摘要：设A,B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X使得

BAAXX相似于就说1。

数域P上n阶对称矩阵A,B称为合同的，如果有数域P上可逆的n阶矩阵C，st

B=ACC。

则n级实数矩阵A称为矩阵A的正交矩阵，如果)(1AEAAA或者。

关键词：逆矩阵 ；矩阵的转置 ；过渡矩阵 ；度量矩阵 ； 正交矩阵.

正文

1若A.B为两个同阶矩阵，则满足A+B=B+A A+(B+C)=(A+B)+C.

2若A.B为两个矩阵，A.B可作乘法的前提条件是：被乘矩阵的列数等于乘矩阵的

行数。且满足（AB)C=A(BC) A(B+C)=AB+AC 但即使A.B都为n阶矩阵，

AB也不一定等于BA。

3几种常见矩阵：

零矩阵：所有元素都为零的矩阵，记为O。

单位矩阵：100000010001

对角矩阵：nddd00000000021

数量矩阵：kE=kkk000000000

一、逆矩阵 矩阵的阵等于行秩（非零行的个数）等于矩阵的列秩。

1.n设矩阵A是可逆的，如果有n级矩阵B， st AB=BA=E 则AB1。

需要注意的几条运算)()(11AAABAB111 AkAk111)(

BABA111)( ∣A+B∣≠∣A∣+∣B∣

矩阵A是逆矩阵的充要条件是：)0||(1*1AdaAA

维数少的矩阵可根据).||(1**1的伴随矩阵为AAddAAA。

一般矩阵例如：设ijA是矩阵aaaaaaaaannnnnnA212222111211中元素aij的代数余子式