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矩阵论论文

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研究生课程论文/研究报告

课程名称： 矩阵论

任课教师：

论文/研究报告题目：矩阵论的应用—线性

定常系统建模和线性定常系统状态方程求解

完成日期： 年 月 日

学 科：

学 号：

姓 名：

成 绩：

矩阵论的应用—线性定常系统建模和线性定常系统状态方程求解

摘要

我们知道在进行系统的分析和设计时，首先要建立数学模型然后再进行求解分析。根据系统分析、设计所用方法不同，或所要解决的问题不同，描述同一系统的数学模型亦有所不同。本文先介绍描述系统内部特性和端部特性的状态空间表达式及其在s域分析得到传递函数，然后再利用系统状态转移矩阵求线性定常系统状态方程的解。

关键词：数学模型、状态空间表达式、传递函数、线性定常系统状态方程的解

一、线性定常系统的状态空间表达式及其传递函数

如下图1所示电路图，电压u(t)为电路的输入量，电容上的电压uc(t)为电路的输出量。R、L、C分别为电路的电阻、电感、电容。由电路知识可知，回路中的电流i(t)和电容上电压uc(t)的变化规律满足如下方程：

()()()()ditLRituctutdt

1()()itdtuctC

其中i(t)和uc(t)为该电路系统的状态变量（状态变量就是确定系统状态的最小一组变量）。

状态空间：以选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交空间，成为正交空间。系统在任意时刻的状态可以用状态空间中的一个点来表示。

u(t)RLCuc(t)i(t)图1

将上式方程组改写成状态空间表达式为：

()11()()1()()00ditRitdtLLutLductuctCdt①

如将电容上的电压uc作为电路的输出量，则

()()01()ituctuct②

令x=()()ituct,u=u(t),y=uc(t),A=110RLLC,b=10L,C=01,则上面方程改写成如下：

x、=Ax+bu③

y=Cx④

其中x为2维的状态变量；u为标量输入；y为标量输出；A为2X2系数矩阵；b为2X1输入矩阵；C为1X2输出矩阵。式①②或式③④为上图所示电路系统的状态方程。

将上面分析结果推广到一般情况如下图2所示：

状态方程输出方程………u1u2urx1x2xny1y2yn图2

X为n维状态向量，u为r维输入向量，y为m维输出向量，即12xxxxn，u=12uuur，y=12yyym则系统方程为x`=Ax+Bu⑤;y=Cx+Du⑥,其中A为nXn系数矩阵；B为nXr输入矩阵；C为mXn输出矩阵；D为mXr直接传输矩阵，即1111nnnnaaAaa；1111rnnrbbBbb；1111nmmnccCcc；1111rmddDddmr。

上式⑤⑥中矩阵A、B、C、D的诸元素是实常数时则称这样的系统为线性定常系统或线性时不变系统。如果这些元素是时间t的函数，即x、=A(t)x+B(t)u;y=C(t)x+D(t)u,则称系统为线性时变系统。

对于线性定常系统⑤⑥表达式进行拉普拉斯变换得:

sx(t)-x(0)=Ax(s)+Bu(s)[sI-A]x(s)=Bu(s)+x(0)如果[sI-A]存在，则x(s)=[sI-A]-1Bu(s)+[sI-A]-1x(0)

若x(0)=0则有x(s)=[sI-A]-1Bu(s)=Gxu(s)u(s)，则Gxu(s)=[sI-A]-1B=[]det[]adjsIABsIA式中，Gxu(s)为状态变量对输入变量传递函数矩阵。

y(s)=Cx(s)+Du(s)=C[sI-A]-1Bu(s)+Du(s)={C[sI-A]-1B+D}u（s）=Gyu(s)u(s)

得Gyu(s)=C[sI-A]-1B+D=[]det[]adjsIACBDsIA式中Gyu(s)为系统输出向量对输入向量的传递函数矩阵，简称传递函数矩阵。其结构为：

Gyu(s)=1111()()()()rmmrgsgsgsgs式中gij(s)表示只有第j输入作用时第i个输出量yi(s)对第j个输入量uj(s)的传递函数（i=1,2,…,m;j=1,2,…,r）。

二、线性定常系统状态方程的解

在⑤中令u=0便得线性定常系统齐次状态方程x、=Ax其中x为n维状态向量；A为nxn系数矩阵。设初始时刻t0=0,系统的初始状态x(t0)=x(0)。解得x(t)=(I+At+2212!At+…+1!kkAtk+…)x(0)⑦

上式右边括号内的级数是nxn矩阵指数函数，记为eAt,即eAt=I+At+2212!At+…+1!kkAtk+…[1]故⑦式可写成x(t)= eAtx(0)如果初始时刻t0≠0,初始状态为x(t0),则齐次状态方程的解为

x(t)= eA(t-t0)x(t0)由此式可知系统在状态空间任一时刻的状态x(t),可视为系统的初始状态x(t0)通过矩阵指数函数eA(t-t0)的转移而得到。因此矩阵指数函数eA(t-t0)状态转移矩阵，记为Φ（t-t0）。Φ（t）=eAt= I+At+2212!At+…+1!kkAtk+…

可通过线性变换计算Φ（t）

⑴矩阵A经线性变换化为对角矩阵Λ，计算Φ（t）[2]

当矩阵A的n个特征值互异或矩阵A虽有重特征值但仍有n个独立的特征值向量时，经线性变换，将A化为对角矩阵Λ即PAP-1=Λ=100n此时状态转移矩阵eΛt=I+Λ+2212!t+…=100tntee由于A=P-1ΛP故矩阵A的状态转移矩

阵Φ（t）= eAt=ep-1Λpt=P-1[I+Λt+2212!t+…]P=P-1eΛtP

⑵矩阵A经线性变换化为约当形矩阵J，计算Φ（t）[2]

当矩阵A的n个特征值均相同，且为λ1，经过线性变换，可化为约当型矩阵J

PAP-1=J=11100n则 eJt=111(1)!0nitn系统状态转移矩阵为Φ（t）=eAt=P-1eJtP

求解到了eAt就很容易求得线性定常系统齐次状态方程的解，即x(t)= eAtx(0)，

而线性定常系统非齐次状态方程的解为x(t)= Φ（t）x(0)+0()()ttBud式中Φ（t）为系统状态转移矩阵，从而用以上方法便求得线性定常系统的解。

三、总结

本文主要采用了矩阵论中的矩阵初等计算，对角矩阵，约当型，矩阵函数等解决了线性定常系统建模和求解问题，使得设计和分析系统简单明了，方向性强，且有了数学依据。

四、参考文献

[1]《矩阵论》(第3版) 程云鹏 张凯院 徐仲 编著 西北工业大学出版社

[2]《现代控制理论基础》（第2版）王孝武 主编 机械工业出版社出版

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矩阵论课题论文

矩阵论课题论文

矩阵论课题论文

论文题目： 偏最小二乘法在光谱分析中的应用

课题名称：腐植酸和木质磺酸盐的光谱分析方法研究

导师姓名： 焦明星

课程名称： 矩阵论

任课教师： 郭文艳

专业 ： 光学工程

学号 ： 2150220092

姓名 ： 王敏

成绩 ：

1 偏最小二乘法（PLS）在光谱分析中的应用

一、摘要

磺酸木质素(ligninsulfonate)是水中的一种污染物，可用荧光分光光度法测定。尽管此种方法具有高灵敏度和高选择性，但在磺酸木质素的测试中腐植酸和去污剂中的光白剂（optical whitener）对其严重干扰。这三种化合物的发射光谱重叠非常严重，而且在溶液中相互间有影响。但是借助于偏最小二乘法，可以进行单一成分的测试，所得结果尚较满意。

二、课题背景

偏最小二乘方法(PLS-Partial Least Squares)是近年来发展起来的一种新的多元统计分析法，现已成功地应用于分析化学，如紫外光谱、气相色谱和电分析化学等等。该种方法，在化合物结构-活性/性质相关性研究中是一种非常有用的手段。如美国Tripos公司用于化合物三维构效关系研究CoMFA(Comparative

Molecular Field Analysis)方法。其中，数据统计处理部分主要是PLS。在PLS方法中用的是替潜变量，其数学基础是主成分分析。替潜变量的个数一般少于原自变量的个数，所以PLS特别适用于自变量的个数多于试样个数的情况。在此种情况下，亦可运用主成分回归方法，但不能够运用一般的多元回归分析，因为一般多元回归分析要求试样的个数必须多于自变量的个数。

矩阵论及其在随机过程中的应用

矩阵论及其在随机过程中的应用

矩阵论及其在随机过程中的应用

摘要：本文主要从三方面探讨矩阵论这门课程，水文学研究的一个重要方面即是对水文序列的过程进行模拟。结合自身所学，本篇文章首先分析了矩阵论教学需要改正之处，再者阐述了矩阵论在随机过程、科学研究中的应用情况，最后结合实际展望了矩阵论的发展前景。

关键字：矩阵论 随机过程 矩阵函数 矩阵分解

矩阵的早期发展，除了矩阵理论在内容上的发展，即从不同领域的研究中发展出来的有关矩阵的概念，以及随之引起的相似、对角化和标准型的矩阵分类以外，还有矩阵发展中更深刻的一面，即西尔维斯特、凯莱等人在行列式和矩阵理论上的发展及思想，这为代数不变量理论的创立奠定了理论基础。

1矩阵论课程教学存在的问题

矩阵论是一门发展完善、理论严谨、方法独特的理论基础课程，它对培养学生的逻辑能力、推理能力具有重要作用，但它又能广泛应用于各个领域。现行矩阵论教材基本上是理科数学教材的缩写，过分强调严格的理论证明、抽象思维能力的培养，而实际应用介绍偏少，使学生没有应用意识；忽视与计算机有关的数值计算方面的训练。这些问题的存在，不仅影响了学生学习数学的积极性，使学生缺少对数学实质性的理解，同时影响了后续课程的学习，专业课教师常常感到学生的数学基础不够扎实，联系实际问题的能力欠缺，一些学生在做学位论文时，不会灵活运用学过的理论知识解决问题，因而不利于高素质创新型人才的培养，所有这些都反映了教学改革的迫切性。

2矩阵理论在随机过程和科学研究中的应用概况

矩阵理论主要内容包括线性空间、线性变换、范数理论；矩阵分析；矩阵分解；广义逆矩阵；特征值的估计以及广义特征值等。用矩阵的理论和方法来处理现代工程技术中的各种问题已经越来越普遍。在随机过程的模拟中引进矩阵理论不仅使模拟过程的表达极为简捷，而且对理论的实质刻画也更为深刻，这一点是毋庸置疑的。计算机和计算方法的普及发展，不仅为矩阵理论的应用开辟了关阔的前景，也使随机过程的研究发生了新的变化，开拓了崭新的研究途径。因此矩阵的理论与方法已经成为随机过程计算的数学基础。

矩阵论文

矩阵论文

可逆矩阵在通信中的应用

2011110285 王强

1 综述

矩阵理论是工科线性代数中的一个重要内容,而逆矩阵是其非常重要并且是较难理解的一部分内容,然而在许多线性代数教科书中逆矩阵相关知识点的应用几乎未涉及到,以至于很多学习矩阵论的人错误地认为所学东西没有多大用处。为了使学习的人对所学逆矩阵有具体地,形象地认识,而不只是停留在抽象的概念,结论的机械记忆上,为了能使逆矩阵的本质掌握起来更简单。

本文介绍可逆矩阵在保密通信中应用。

2信息安全

2.1 信息安全简介

信息安全，简称信安，意为保护信息及信息系统免受未经授权的进入、使用、披露、破坏、修改、检视、记录及销毁。政府、军队、公司、金融机构、医院、私人企业积累了大量的有关他们的雇员、顾客、产品、研究、金融数据的机密信息。绝大多数此类的信息现在被收集、产生、存储在电子计算机内，并通过网络传送到别的计算机。

万一诸如一家企业的顾客、财政状况、新产品线的机密信息落入了其竞争对手的掌握，这种安全性的丧失可能会导致经济上的损失、法律诉讼甚至该企业的破产。保护机密的信息是商业上的需求，并且在许多情况中也是道德和法律上的需求。对于个人来说，信息安全对于其个人隐私具有重大的影响，但这在不同的文化中的看法差异相当大。

信息安全的领域在最近这些年经历了巨大的成长和进化。有很多方式进入这一领域，并将之作为一项事业。它提供了许多专门的研究领域，包括：安全的网络和公共基础设施、安全的应用软件和数据库、安全测试、信息系统评估、企业安全规划以及数字取证技术等等。

自从人类有了书写文字之后，国家首脑和军队指挥官就已经明白，使用一些技巧来保证通信的机密以及获知其是否被篡改是非常有必要的。

恺撒被认为在公元前50年发明了凯撒密码，它被用来防止秘密的消息落入错误的人手中时被读取。

第二次世界大战使得信息安全研究取得了许多进展，并且标志着其开始成为一门专业的学问。

20世纪末以及21世纪初见证了通信、计算机硬件和软件以及数据加密领域的巨大发展。小巧、功能强大、价格低廉的计算设备使得对电子数据的加工处理能为小公司和家庭用户所负担和掌握。这些计算机很快被通常称为因特网或者万维网的网络连接起来。

二次型论文

二次型论文

高等代数绪论

1 二次型正定性的判定及应用

姓名：李梦媛 学号：1007010326

摘要：矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念,本文主要讨论主要阐述的是实矩阵的正定性以及应用.本文在介绍实矩阵的正定性判别方法后，简单的举了一些实例来阐述实矩阵正定性的应用.

关键词：矩阵 实矩阵 正定性 应用

一、正定性的普通判别方法

1、判别正定二次型(正定矩阵)的常用思路

具体方法有：

(1) 用定义；

(2) 正惯性指数p=t (t正整数)；

(3) 与E合同；

(4) 顺序主子式全大于0；

(5) 特征值全大于0.

2、与判定思路相应的五个定理

定理1、实二次型)(),,,(21AAAXXxxxfn是正定二次型的充要条件是f的规范形为2222121),,,(nnyyyxxxf.

定理2、实二次型)(),,,(21AAAXXxxxfn是正定二次型的充要条件是它的正惯性指数等于n.

定理3、实二次型)(),,,(21AAAXXxxxfn是正定二次型的充要条件是矩阵A与单位矩阵E合同.

定理4、实二次型)(),,,(21AAAXXxxxfn是正定二次型的充要条件是矩阵A的顺序主子式全都大于零. 高等代数绪论

2 定理5、实二次型)(),,,(21AAAXXxxxfn是正定二次型的充要条件是矩阵A的全部特征值都是正的.

二、新的判定法

对于二次型的正定性，一般都是对所对应的矩阵进行研究，并且，所研究的范围也只限定在实对称矩阵或Hermite矩阵进行讨论，这大大限制了二次型在一般情况下的应用．本文在对一般实方阵正定性研究的基础上，提出了实方阵判定实二次型正定性的理论基础及几种新方法.

1、几个相关定义

定义1 设A是n阶实方阵，如果对于任意的非零的n阶实向量 ，都有xTAx>0，

其中xT表示x的转置，则把A称做正定矩阵．