【高一】北师大版高一数学必修1第二章函数练习题(含答案)

一、选择题1．已知函数()32f x x =-，2()2g x x x =-，(),()()()(),()()g x f x g x F x f x f x g x ≥⎧=⎨<⎩，则（ ）A ．()F x 的最大值为3，最小值为1B ．()F x 的最大值为2C ．()F x 的最大值为7-，无最小值D ．()F x 的最大值为3，最小值为-12．已知函数()f x 的定义域是[]2,3-，则()23f x -的定义域是（ ） A ．[]7,3-B ．[]3,7-C ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3．函数()()1ln 24f x x x =-+-的定义域是（ ） A ．[)2,4B ．()2,+∞C ．()()2,44,⋃+∞D ．[)()2,44,+∞4．已知函数f (x )的定义域为R ，满足f (x )=2f (x +2)，且当x ∈[2-，0) 时，19()4f x x x =++，若对任意的m ∈[m ，+∞)，都有1()3f x ≤，则m 的取值范围为（ ） A ．11,5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ B ．10,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．)5,2⎡-+∞⎢⎣ D ．11,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭5．设二次函数2()()f x x bx b =+∈R ，若函数()f x 与函数(())f f x 有相同的最小值，则实数b 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞B ．(,0]-∞C ．(,0][2,)-∞+∞D ．[2,)+∞6．若定义运算,,b a b a b a a b≥⎧*=⎨<⎩，则函数()()()2242g x x x x =--+*-+的值域为（ ） A ．(],4-∞B ．(],2-∞C ．[)1,+∞D ．(),4-∞7．已知函数224()3f x x x =-+，()2g x kx =+，若对任意的1[1,2]x ∈-，总存在2[1x ∈，使得12()()g x f x >，则实数k 的取值范围是（ ）．A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,33⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭D ．以上都不对8．若函数()f x =0,，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()1,4B ．()(),14,-∞⋃+∞C ．(][)0,14,+∞D ．[][)0,14,+∞ 9．若函数()y f x =为奇函数，且在(),0∞-上单调递增，若()20f =，则不等式()0f x >的解集为( )A ．()()2,02,∞-⋃+B ．()(),22,∞∞--⋃+C ．()(),20,2∞--⋃D ．()()2,00,2-⋃ 10．已知偶函数()f x 在 [0,)+∞上是增函数，且(2)0f =，则不等式 (1)0f x +<的解集是（ ） A ．[0,2)B ．[]3,1-C ．(1,3)-D ．(2,2)-11．若函数32()21f x ax x x =+++在(1,2)上有最大值无最小值，则实数a 的取值范围为（ ） A ．34a >-B ．53a <-C ．5334a -<<- D ．5334a -≤≤- 12．若函数()()12311ax f x x a x x ⎧>⎪=⎨⎪-+≤⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭二、填空题13．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足：()()14f x f x +=，当(]0,2x ∈时，()2x f x =，则()2019f =_____．14．若函数()22()42221f x x p x p p =----+在区间[]1,1-上至少存在一个实数c ，使()0f c >，则实数p 的取值范围为________.15．已知函数()f x 的定义域为[]2,2-，当[]0,2x ∈时，()1f x x =+，当[)2,0x ∈-时，()(2)f x f x =-+，求()f x =___________16．设函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈R 都有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则f (－3)与f (－π)的大小关系是________． 17．函数y =的定义域是R ，则a 的取值范围是_________．18．若函数211x y x -=-的值域是()[),03,-∞+∞，则此函数的定义域是____.19．定义：如果函数()y f x =在定义域内给定区间[],a b 上存在()00x a x b <<，满足()()0)(f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是[],a b 上的“平均值函数”．0x 是它的一个均值点，若函数()2f x x mx =+是[]1,1-上的平均值函数，则实数m 的取值范围是___________．20．对于函数()f x ，若在定义域内存．在．实数x ，满足()()f x f x -=-，称()f x 为“局部奇函数”，若()12423xx f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围是______三、解答题21．已知函数()221x f x x=+． （1）求()122f f ⎛⎫+⎪⎝⎭，()133f f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （2）求证：()1f x f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是定值； （3）求()()11120202320202f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值． 22．已知函数1()(1)1x x a f x a a -=>+，求：（1）判断函数的奇偶性；（2）证明()f x 是R 上的增函数； （3）求该函数的值域.23．已知定义域为R 的函数()y f x =和()y g x =，它们分别满足条件：对mn R ∀∈，，都有()()()f m n f m f n +=+和()()()g m n g m g n +=⋅，且对0,()1x g x ∀>>. （1）求(0),(0)f g 的值； （2）证明函数()y f x =是奇函数；（3）证明0x <时，0()1g x <<，且函数()y g x =在R 上是增函数； （4）试各举出一个符合函数()y f x =和()y g x =的具体函数.24．定义在()0,∞+的函数()f x ，满足()()()f mn f m f n =+，且当1x >时，()0f x >.（1）求证：()()m f f m f n n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）讨论函数()f x 的单调性，并说明理由； （3）若()21f =，解不等式()()333f x f x +->. 25．已知二次函数2()1()=-+∈f x x kx k R ．（1）若()f x 在区间[2,)+∞上单调递增，求实数k 的取值范围； （2）若()0f x ≥在(0,)x ∈+∞上恒成立，求实数k 的取值范围．26．已知定义在()1,1-上的奇函数2()1ax bf x x +=+，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式；（2）证明：()f x 在0,1上是增函数； （3）解不等式()2(120)f t f t -+<.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】在同一坐标系中先画出()f x 与()g x 的图象，然后根据定义画出()F x ，就容易看出()F x 有最大值，无最小值，解出两个函数的交点，即可求得最大值． 【详解】在同一坐标系中先画出()f x 与()g x 的图象，如图然后根据定义画出()F x ，就容易看出()F x 有最大值，无最小值． 由图象可知，当0x <时，()y F x =取得最大值， 所以由232||2x x x -=-得27x =+或27x =-．结合函数图象可知当27x =-时，函数()F x 有最大值727-，无最小值． 故选：C ．【点睛】关键点睛：本题主要考查了函数的图象，以及利用函数求最值，解答本题的关键是在同一坐标系中画出()f x 与()g x 的图象，根据图象得出函数的最值，由232||2x x x -=-得2x =+或2x =-.2．C解析：C 【分析】由2233x -≤-≤解得结果即可得解. 【详解】因为函数()f x 的定义域是[]2,3-，所以23x -≤≤， 要使()23f x -有意义，只需2233x -≤-≤，解得132x ≤≤。

§3函数的单调性和最值课后训练巩固提升1.(多选题)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,则对于任意x1,x2∈[a,b](x1≠x2),下列结论正确的是( ).>0A.f(x1)-f(x2)x1-x2B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0C.f(a)<f(x1)<f(x2)≤f(b)D.f(x1)≠f(x2),函数f(x)在给定区间上单调递增,则x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,由此可知,选项A,B正确;对于C,若x1>x2,则f(x1)>f(x2),故C不正确;对于D,因为f(x)在区间[a,b]上单调,且x1≠x2,所以f(x1)≠f(x2),故D正确.2.若函数f(x)=ax+1在R上是减函数,则函数g(x)=a(x2-4x+3)的单调递增区间是( ).A.[2,+∞)B.(-∞,2]C.[-2,+∞)D.(-∞,-2]f(x)=ax+1在R上是减函数,所以a<0,所以g(x)=a(x2-4x+3)的单调递增区间为函数h(x)=x2-4x+3的单调递减区间.又函数h(x)=x2-4x+3的单调递减区间为(-∞,2],故g(x)=a(x2-4x+3)的单调递增区间是(-∞,2].3.若函数f(x)=4x2-kx-8在区间[5,8]上是单调函数,则实数k的取值范围是( ).A.(-∞,40]B.(40,64)C.(-∞,40]∪[64,+∞)D.[64,+∞)f(x)=4x2-kx-8=4(x-k8)2−k216-8,得函数图象的对称轴为直线x=k8,又函数f(x)在区间[5,8]上是单调函数,则k8≤5或k8≥8,解得k≤40或k≥64.4.(多选题)下列关于函数f(x)=x+|x-1|的说法正确的有( ).A.有最小值,且最小值为1B.没有最小值C.有最大值,且最大值为10D.没有最大值{2x -1,x ≥1,1,x <1,其图象如图所示:(第4题答图)由图象可知f(x)的最小值为1,没有最大值.5.已知函数f(x)={(a +3)x -5,x ≤1,2a x,x >1是(-∞,+∞)上的增函数,那么实数a 的取值范围是 .{a +3>0,2a <0,(a +3)×1-5≤2a ,解得-2≤a<0.故实数a 的取值范围是[-2,0).6.某社区积极响应党的二十大关于推进城乡人居环境整治的号召,改善社区居民的居住环境.如图,欲在一块锐角三角形空地中,建一座内接矩形花园(阴影部分).设该矩形花园的一边长为x m,则当2.,且0<y<40,则由题意可得x40=40-y40,即y=40-x(0<x<40),于是矩形花园的面积S=x(40-x)=-x2+40x=-(x-20)2+400(0<in{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,则函数f(x)=min{4x+1,x+4,-x+8}的最大值是.f(x)=min{4x+1,x+4,-x+8}的图象,如图所示.由图象可知,函数f(x)在x=2时取得最大值6.8.已知函数y=f(x)(x>0)满足:f(xy)=f(x)+f(y),当x<1时,f(x)>0,且f (12)=1. (1)证明:y=f(x)是区间(0,+∞)上的减函数; (2)解不等式f(x-3)>f (1x)-2.0<x 1<x 2,则0<x 1x 2<1,由题意得,f(x 1)-f(x 2)=f (x 1x 2·x 2)-f(x 2)=f (x 1x 2)+f(x 2)-f(x 2)=f (x1x2)>0,即f(x 1)>f(x 2),∴y=f(x)是区间(0,+∞)上的减函数.f(x)的定义域知{x -3>0,1x>0,解得x>3.又f (12)=1,∴f (14)=f (12×12)=f (12)+f (12)=1+1=2.由f(x-3)>f (1x )-2,得f(x-3)+2>f (1x ),即f(x-3)+f (14)>f (1x ),即f (x -34)>f (1x ),由(1)得x -34<1x,解得0<x<4.综上所述,所求不等式的解集为(3,4).。

02第二章函数§1生活中的变量关系§2对函数的进一步认识2.1函数概念课时过关·能力提升的定义域为M,g(x)=√x+2的定义域为N,则M∩N=() 1已知函数f(x)=√2-xA.{x|x≥-2}B.{x|x<2}C.{x|-2<x<2}D.{x|-2≤x<2}答案:D2函数f(x)=1(x∈R)的值域是()x2+1A.(0,1)B.(0,1]C.[0,1)D.[0,1]解析:由x2+1≥1,得0<1≤1,x2+1故函数f(x)的值域为(0,1].答案:B3已知函数y=f(x)的定义域为(-1,3),则在同一坐标系中,函数f(x)的图像与直线x=2的交点有() A.0个 B.1个 C.2个 D.0个或多个解析:函数y=f(x)的定义域为(-1,3),则在同一坐标系中,函数f(x)的图像与直线x=2的交点个数有1个,故选B.答案:B4已知等腰三角形ABC的周长为10,且底边长y关于腰长x的函数关系为y=10-2x,则此函数的定义域为()A.RB.{x|x>0}<x<5}C.{x|0<x<5}D.{x|52解析:∵等腰三角形的周长为10,∴{x >0,10-2x >0,2x >10-2x ,∴52<x<5. 答案:D5已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表,则方程g (f (x ))=x 的解集为( ) x 1 2 3A.{1}B.{2}C.{3}D.⌀解析:当x=1时,g (f (1))=g (2)=2,不符合题意;当x=2时,g (f (2))=g (3)=1,不符合题意;当x=3时,g (f (3))=g (1)=3,符合题意.故选C .答案:C★6若函数f (x )=(a 2-2a-3)x 2+(a-3)x+1的定义域和值域都为R ,则a 的值是( )A.a=-1或a=3B.a=-1C.a=3D.a 不存在 解析:因为函数f (x )的定义域和值域都为R ,所以函数f (x )为一次函数,即{a 2-2a -3=0,a -3≠0,解得a=-1.故选B . 答案:B7函数y=√x +2的定义域是 .解析:要使该函数有意义,则x+2≥0,故x ≥-2.答案:{x|x ≥-2}8已知集合M={x|y=x 2+1},集合N={y|y=x 2+1},则M ∩N= . 解析:∵M=R ,N={y|y ≥1},∴M ∩N={y|y ≥1}.答案:{y|y ≥1}9函数f (x )=(√x -1-2)0+√x -1的定义域是 .答案:{x|x>1,且x ≠5}10已知函数f (x )=x+1x+2.(1)求f (2);(2)求函数f (x )的值域.解(1)f (2)=2+12+2=34.(2)f (x )=x+1x+2=x+2-1x+2=1-1x+2,又1x+2≠0,∴1-1x+2≠1, ∴f (x )≠1,故函数f (x )的值域是(-∞,1)∪(1,+∞).11若f {f [f (x )]}=27x+26,求一次函数f (x )的解析式.解设f (x )=ax+b (a ≠0),则f [f (x )]=a 2x+ab+b ,f {f [f (x )]}=a (a 2x+ab+b )+b=a 3x+a 2b+ab+b ,所以{a 3=27,a 2b +ab +b =26,解得{a =3,b =2,则f (x )=3x+2. ★12已知函数f (x )=x 21+x 2. (1)求f (2)与f (12),f (3)与f (13). (2)由(1)中求得的结果,你能发现f (x )与f (1x)的关系吗?并证明你的发现. (3)求f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 016)+f (12)+f (13)+…+f (12 016). 解(1)∵f (x )=x 21+x 2,∴f (2)=221+22=45,f (12)=(12)21+(12)2=15,f (3)=321+32=910,f (13)=(13)21+(13)2=110. (2)由(1)中的结果发现f (x )+f (1x)=1. 证明如下:f (x )+f (1x)=x 21+x 2+(1x )21+(1x )2 =x 21+x 2+11+x 2=1. (3)f (1)=121+12=12.由(2)知f (2)+f (12)=1,f (3)+f (13)=1,…f(2 016)+f(12016)=1,∴原式=12+1+1+1+…+1⏟2015个=2 015+12=40312.。

2.2函数的表示法第1课时函数的三种表示方法课时过关·能力提升1已知函数f(x),g(x)分别由下表给出:x 1 2 3则f(g(1))=()A.2B.1C.3D.不确定解析:由已知得g(1)=3,所以f(g(1))=f(3)=1.答案:B2去年国庆长假期间,某日8时至16时累计参观故宫人数的折线图如图所示,那么在8时~9时,9时~10时,…,15时~16时的八个时段中,入宫人数最多的时段是()A.8时~9时B.11时~12时C.13时~14时D.15时~16时解析:结合函数图像可知,在8时~9时,9时~10时,…,15时~16时的八个时段中,图像变化最快的,增加得最快的是11时~12时之间,故选B.答案:B,则当x≠0,且x≠1时,f(x)=()3若f-A. B.-D.-1C.-答案:B4下列函数中,不满足f(2x)=2f(x)的是()A.f(x)=|x|B.f(x)=x-|x|C.f(x)=x+1D.f(x)=-x解析:因为f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x),所以A满足要求;因为f(2x)=2x-|2x|=2(x-|x|)=2f(x),所以B满足要求;因为f(2x)=2x+1≠2(x+1)=2f(x),所以C不满足要求;因为f(2x)=-2x=2f(x),所以D满足要求.故选C.答案:C5若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数y=f(2x-1)的定义域是()A.[0,1]B.[0,2]C.D.[-1,3]解析:因为函数y=f(x)的定义域是[0,2],即0≤x≤2,所以0≤2x-1≤2,解得≤x≤.因此y=f(2x-1)的定义域是.答案:C6已知函数g(x)=1-2x,f[g(x)]=-(x≠0),则f(0)等于()A.-3B.-C.D.3解析:令g(x)=1-2x=0,则x=,则f(0)=-=3.故选D.答案:D7函数f(n)对任意实数n满足条件f(n+3)=,若f(1)=6,则f(7)的值为.解析:由f(n+3)=得,f(7)==f(1)=6.答案:6★8若2f(x)+f=2x+(x≠0),则f(2)=.答案:9如图,函数f(x)的图像是曲线OAB,其中点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),那么f的值等于.解析:由函数f(x)的图像,知f(1)=2,f(3)=1,则f=f(1)=2.答案:210求下列函数的解析式:(1)已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x);(2)已知f(1-x)=-,求f(x).解(1)∵f(x+1)=x2-3x+2=(x+1)2-5x+1=(x+1)2-5(x+1)+6,∴f(x)=x2-5x+6.(2)令1-x=t,则x=1-t.又1-x2≥0,∴-1≤x≤1,∴0≤1-x≤2,即0≤t≤2.∴f(t)=---(0≤t≤2).∴f(x)=-(0≤x≤2).★11已知函数f(x)=(a,b为常数,且a≠0),满足f(2)=1,且f(x)=x有唯一解,(1)求函数y=f(x)的解析式.(2)求f(f(-3))的值.解(1)∵f(2)=1,∴=1,即2a+b=2.①又f(x)=x有唯一解,即=x有唯一解,∴ax2+(b-1)x=0有两个相等的实数根,∴Δ=(b-1)2=0,∴b=1,代入①得a=,∴f(x)=.=6,(2)由(1)知f(-3)=--故f(f(-3))=f(6)=.★12已知f(x)对任意的实数a,b,都有f(ab)=f(a)+f(b)成立.(1)求f(0)与f(1)的值;(2)求证:f=-f(x);(3)若f(2)=p,f(3)=q(p,q均为常数),求f(36).(1)解令a=b=0,得f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0;令a=1,b=0,得f(0)=f(1)+f(0),解得f(1)=0.(2)证明令a=,b=x,得f(1)=f+f(x)=0,即f=-f(x).(3)解令a=b=2,得f(4)=f(2)+f(2)=2p,令a=b=3,得f(9)=f(3)+f(3)=2q.令a=4,b=9,得f(36)=f(4)+f(9)=2p+2q.。

02第2课时 分段函数A 级必备知识基础练1.[探究点一]下表表示y 是x 的函数,则函数的值域是( )A.[2,5]B.NC.(0,20]D.{2,3,4,5}2.[探究点一]已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所示,不含端点),则f13=( )A.-13B.13C.-23D.233.[探究点一]已知函数f(x)={-1,x <0,1,x ≥0,则不等式xf(x-1)≤1的解集为( )A.[-1,1]B.[-1,2]C.(-∞,1]D.[-1,+∞)4.[探究点四]“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点,用s 1,s 2分别表示乌龟和兔子所行的路程,t 为时间,则下图中的s-t 函数图象与故事情节相吻合的是( )5.[探究点一]已知函数f(x)={0,x >0,-1,x =0,2x -3,x <0,则f(f(f(5)))等于 .6.[探究点三]已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式为 .7.[探究点四]某市出租车收费标准如下:在3 km 以内(含3 km)路程按起步价7元收费,超过3 km 以外的路程按2.4元/km 收费,某人乘车交车费19元,则此人乘车行程为 km.8.[探究点二·四川遂宁高一期中]已知f(x)={x 2+2x -3,x ≤1,3,x >1.(1)在所给坐标系中画出f(x)的图象;(2)直接写出f(x)的值域.B 级关键能力提升练9.已知函数y=f(x)的对应关系如下表,函数y=g(x)的图象是如图所示的曲线ABC,其中A(1,3),B(2,1),C(3,2),则f(g(2))=( )A.3B.2C.1D.010.(多选题)已知函数f(x)={x +2,x ≤-1,x 2,-1<x <2,关于函数f(x)的结论正确的是( )A.f(x)的定义域为RB.f(x)的值域为(-∞,4)C.若f(x)=3,则x 的值是√3D.f(x)<1的解集为(-1,1)11.已知函数f(x)={x +4,x <0,2x -1,x ≥0,若f(a)=3,则a 的值为 .12.已知函数f(x)=|x-2|(x+1).(1)作出函数f(x)的图象;(2)判断关于x的方程|x-2|(x+1)=a(a∈R)的解的个数.C级学科素养创新练13.某公司为提高员工的综合素质,聘请专业机构对员工进行专业技术培训,其中培训机构费用成本为12 000元.公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算:当公司参加培训的员工人数不超过30时,每人的培训费用为850元;当公司参加培训的员工人数多于30时,则给予优惠,每多一人,每人的培训费减少10元.已知该公司最多有60位员工可参加培训,设参加培训的员工人数为x,每位员工的培训费为y元,培训机构的利润为Q 元.(1)写出y与x(1≤x≤60,且x∈N)之间的函数关系式;(2)当公司参加培训的员工为多少人时,培训机构可获得最大利润?最大利润是多少?参考答案 第2课时 分段函数1.D 由题表可知,y={2,0<x <5,3,5≤x <10,4,10≤x <15,5,15≤x ≤20,所以函数的值域为{2,3,4,5}.故选D.2.C f(x)={x -1,0<x <1,x +1,-1<x <0,∴f 13=-23.3.A 原不等式等价于{x -1<0,x ×(-1)≤1或{x -1≥0,x ×1≤1,解得-1≤x≤1.4.B 由于兔子中间睡了一觉,所以有一段路程不变,而乌龟的路程始终在增加且比兔子早到终点.5.-5 f(f(f(5)))=f(f(0))=f(-1)=2×(-1)-3=-5.6.f(x)={-1,0≤x ≤1,x -2,1<x ≤2当0≤x≤1时,f(x)=-1;当1<x≤2时,设f(x)=kx+b(k≠0),则{k +b =-1,2k +b =0,解得{k =1,b =-2,此时f(x)=x-2.综上,f(x)={-1,0≤x ≤1,x -2,1<x ≤2.7.8 根据题意可判断出乘车的路程超过3km,设此人乘车的路程为xkm,由题意得(x-3)×2.4+7=19,整理得x-3=5,解得. 8.解(1)函数图象如下所示.(2)由图象可知,函数的值域为[-4,+∞).9.B 由题图知g(2)=1,∴f(g(2))=f(1)=2.故选B.10.BC 由题意知函数f(x)的定义域为(-∞,2),故A 错误;当x≤-1时,f(x)的取值范围是(-∞,1],当-1<x<2时,f(x)的取值范围是[0,4),因此f(x)的值域为(-∞,4),故B 正确;当x≤-1时,令x+2=3,解得x=1(舍去),当-1<x<2时,令x 2=3,解得x=√3或x=-√3(舍去),故C 正确;当x≤-1时,x+2<1,解得x<-1,当-1<x<2时,x 2<1,解得-1<x<1,因此f(x)<1的解集为(-∞,-1)∪(-1,1).故D 错误.故选BC. 11.-1或2 由f(x)={x +4,x <0,2x -1,x ≥0,当a<0时,a+4=3,解得a=-1;当a≥0时,2a -1=3,解得a=2.故a 的值为-1或2.12.解(1)函数f(x)=|x-2|(x+1),去掉绝对值符号得f(x)={x 2-x -2,x ≥2,-x 2+x +2,x <2.可得f(x)的图象如图所示.(2)关于x 的方程|x-2|(x+1)=a 的解的个数就是直线y=a 与y=|x-2|(x+1)的图象的交点的个数.作出图象如图所示.由图象可知,当a<0时,有一个交点;当a=0时,有两个交点; 当0<a<94时,有三个交点;当a=94时,有两个交点;当a>94时,有一个交点.综上,当a<0或a>94时,方程有一个解;当a=0或a=94时,方程有两个解;当0<a<94时,方程有三个解.13.解(1)当1≤x≤30且x ∈N 时,y=850;当30<x≤60且x ∈N 时,y=850-10(x-30)=1150-10x.所以y={850,1≤x ≤30,且x ∈N ,1150-10x ,30<x ≤60,且x ∈N .(2)当1≤x≤30且ax=850×30-1=13500;当30<x≤60且x∈N时,Q=-10x2+1150x-1,其图象的对称轴方程为=57.5,x=1152故当x=57或ax=21060.所以当公司参加培训的员工为57人或58人时,培训机构可获得最大利润,最大利润为21060元.第11页共11页。

§4二次函数性质的再研究4.1二次函数的图像课时过关·能力提升1已知二次函数f(x)的图像与x轴交于A(-1,0),B(1,0)两点,并经过点M(0,1),则f(x)的解析式为()A.f(x)=x2-1B.f(x)=-x2+1C.f(x)=x2+1D.f(x)=-x2-1答案:B2如何平移二次函数y=2x2的图像可得到二次函数y=2(x-4)2-1的图像()A.向左平移4个单位长度,再向上平移1个单位长度B.向左平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度C.向右平移4个单位长度,再向上平移1个单位长度D.向右平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度解析:要得到y=2(x-4)2-1的图像,只需将y=2x2的图像向右平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度.答案:D3二次函数y=ax2+bx+c的图像如图,有下列结论:①a+b+c<0;②a-b+c>0;③abc>0;④b=2a,其中正确结论的个数是()A.4B.3C.2D.1解析:由题图可得f(1)=a+b+c<0;f(-1)=a-b+c>0;∵-b2a=-1,∴b=2a;∵由b=2a可知,a,b同号,∴ab>0,又f(0)=c>0,∴abc>0.答案:A4设b>0,二次函数y=ax2+bx+a2-1的图像为下列图像中的一个,则a的值为()A.1B.-1C.-1-√52D.-1+√52解析:从左数,由第一个图像与第二个图像,知函数图像与x 轴的两个交点为对称点,则两根之和为0.又已知x 1+x 2=-b a ≠0,故可排除.由第三个图像与第四个图像,知一个根为0,另一个根为正数,即x 1+x 2=-b a>0,又b>0,故a<0,图像开口向下,应为第三个图像.由图像过原点(0,0),得a 2-1=0,解得a=-1,或a=1(舍去).答案:B5二次函数y=ax 2+bx+c 满足f (4)=f (1),那么( )A.f (2)>f (3)B.f (2)<f (3)C.f (2)=f (3)D.f (2)与f (3)的大小关系不能确定解析:由已知f (4)=f (1)可得,该函数的对称轴为x=52,根据二次函数的对称性可得f (2)=f (3).答案:C6函数y=x 2-|x|-12的图像与x 轴两个交点间的距离为( )A.1B.6C.7D.8 解析:由y=x 2-|x|-12=0,得|x|=4,∴x=±4,∴两交点间的距离为8.答案:D7将函数y=x 2+m 的图像向下平移2个单位长度,得函数y=x 2-1的图像,则实数m= .解析:将y=x 2-1的图像向上平移2个单位长度,得函数y=x 2+1的图像,则m=1.答案:18将二次函数y=-2x 2的顶点移到点(-3,2)后,得到的函数的解析式为 .解析:∵二次函数y=-2x 2的顶点为(0,0),∴要将其顶点移到(-3,2),只要把图像向左平移3个单位长度,向上平移2个单位长度即可,∴平移后的函数解析式为y=-2(x+3)2+2.答案:y=-2(x+3)2+29当m 在区间 上时,函数f (x )=(m-2)x 2-3-2m 的图像总在x 轴下方.解析:①当m-2=0,即m=2时,f (x )=-7,符合题意.②当m-2≠0时,f (x )为二次函数.方法一:函数f (x )=(m-2)x 2-3-2m 的图像总在x 轴下方,则函数图像开口向下,且最高点(顶点)在x 轴下方,有{m -2<0,-3-2m <0,解得-32<m<2.综合①②知m ∈(-32,2].方法二:函数f (x )=(m-2)x 2-3-2m 的图像总在x 轴下方,则函数图像开口向下,且图像与x 轴无交点,有{m -2<0,Δ=0-4(m -2)(-3-2m )<0,解得-32<m<2,综合①②知m ∈(-32,2].答案:(-32,2]10已知二次函数f (x )在x=4时取最小值-3,且它的图像与x 轴的两个交点间的距离为6,求这个二次函数的解析式.分析:因为二次函数f (x )在x=4时取最小值-3,所以顶点坐标为(4,-3),对称轴为直线x=4,抛物线开口向上.由于图像与x 轴的两个交点间的距离为6,根据图像的对称性就可以得到图像与x 轴的两个交点的坐标是(1,0)与(7,0),如图.解:方法一:设二次函数f (x )的解析式为f (x )=ax 2+bx+c (a ≠0),由已知条件,可得其图像的顶点为(4,-3),且过(1,0)与(7,0)两点,将三个点的坐标代入,得{-3=16a +4b +c ,0=a +b +c ,0=49a +7b +c ,解得{ a =13,b =-83,c =73. 故所求二次函数的解析式为f (x )=13x 2-83x+73.方法二:∵由已知可得,这个函数的图像与x 轴的两个交点的坐标是(1,0)与(7,0), ∴设这个函数的解析式为f (x )=a (x-1)·(x-7)(a ≠0),把顶点(4,-3)的坐标代入,得-3=a (4-1)(4-7),解得a=13. ∴这个二次函数的解析式为f (x )=13(x-1)·(x-7),即f (x )=13x 2-83x+73. 方法三:∵由已知条件得,这个函数图像的顶点坐标为(4,-3),且过点(1,0),∴设二次函数的解析式为f (x )=a (x-4)2-3(a ≠0).将点(1,0)的坐标代入,得0=a (1-4)2-3,解得a=13.∴二次函数的解析式为f (x )=13(x-4)2-3,即f (x )=13x 2-83x+73.11已知二次函数y=x 2-2(m-1)x+m 2-2m-3,其中m 为实数.(1)求证:无论m 取何实数,这个二次函数的图像与x 轴必有两个交点;(2)设这个二次函数的图像与x 轴交于点A (x 1,0),B (x 2,0),且x 1,x 2的倒数和为23,求这个二次函数的解析式.(1)证明:与这个二次函数对应的一元二次方程是x 2-2(m-1)x+m 2-2m-3=0. ∵Δ=4(m-1)2-4(m 2-2m-3)=4m 2-8m+4-4m 2+8m+12=16>0,∴方程x 2-2(m-1)x+m 2-2m-3=0必有两个不相等的实数根,∴无论m 取何实数,这个二次函数的图像与x 轴必有两个交点.(2)解:由题意可知,x1,x2是方程x2-2(m-1)x+m2-2m-3=0的两个不同的实数根,∴x1+x2=2(m-1),x1·x2=m2-2m-3.∵1x1+1x2=23,即x1+x2x1x2=23,∴2(m-1)m2-2m-3=23, ①解得m=0或m=5,经检验m=0,m=5都是方程①的解.∴二次函数的解析式为y=x2+2x-3或y=x2-8x+12.。

一、选择题1．已知函数()2,125,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩若存在12,x x R ∈，且12x x ≠，使得()()12f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．4a < B ．2a < C ．2a > D ．R 2．下列命题中正确的是（ ）A ．若函数()f x 的定义域为(1,4)，则函数()2f x 的定义域为(2,1)(1,2)--⋃B ．1y x =+和y =C ．定义在R 上的偶函数()f x 在(0,)+∞和(,0)-∞上具有相反的单调性D ．若不等式220ax bx ++>恒成立，则280b a -<且0a >3．定义{},min ,,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩，若函数{}2()min 33,|3|3f x x x x =-+--+，且()f x 在区间[,]m n 上的值域为37,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则区间[,]m n 长度的最大值为（ ）A ．1B ．74C ．114D ．724．已知2()2af x x ax =-+在区间[0，1]上的最大值为g (a )，则g (a )的最小值为（ ） A ．0B ．12C ．1D ．25．已知函数224()3f x x x =-+，()2g x kx =+，若对任意的1[1,2]x ∈-，总存在2[1x ∈，使得12()()g x f x >，则实数k 的取值范围是（ ）．A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,33⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭D ．以上都不对6．设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(2)0f -=，则()0f x x<的解集是（ ）A ．{2002}xx x -<<<<∣或 B ．{22}xx x <->∣或 C ．{202}xx x <-<<∣或 D ．{202}xx x -<<>∣或 7．已知函数()y f x =的定义域为[]0,4，则函数0(2)y x =-的定义域是（ ） A ．[1,5]B ．((1,2)(2,5) C ．(1,2)(2,3]⋃D ．[1,2)(2,3]⋃8．已知定义在R 上的函数()f x 的图像关于y 轴对称，且当0x >时()f x 单调递减，若()()()1.360.5log 3,0.5,0.7,a f b f c f -===则,,a b c 的大小关系（ ）A ．c a b >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c b a >>9．已知函数()f x 是奇函数，()f x 在(0,)+∞上是减函数，且在区间[,](0)a b a b <<上的值域为[3,4]-，则在区间[,]b a --上（ ） A ．有最大值4 B ．有最小值-4C ．有最大值-3D ．有最小值-310．函数f (x )=x 2+2ln||2x x 的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．11．已知函数()f x 的定义域为R ,对任意的 12,x x <都有1212()(),f x f x x x -<-且(3)4,f =则(21)2f x x ->的解集为( )A ．(2,)+∞B ．(1,)+∞C ．(0,)+∞D ．(1,)-+∞12．若函数()()12311ax f x x a x x ⎧>⎪=⎨⎪-+≤⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭二、填空题13．设函数()42x f x e x =-()g x mx =，若对于[]10,1x ∀∈，总[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x >恒成立，则实数m 的取值范围是_________.14．已知函数2212,1()4,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x 的最小值为(1)f ，则实数a 的取值范围是________.15．函数()()012f x x x =+-的定义域为______.16．已知函数2123y kx kx =++的定义域为R ，则实数k 的取值范围是__________．17．已知对于任意实数x ，函数f （x ）都满足f （x ）+2f （2-x ）=x ，则f （x ）的解析式为______．18．若()22f x x ax =-+与()ag x x=在区间[]1,2上都是减函数，则a 的取值范围是______．19．定义在R 上的函数()f x 满足(3)()1f x f x +=+，且[0,1]x ∈时，()6x f x =，(1,3)x ∈时，(1)()f f x x=，则函数()f x 的零点个数为__________. 20．设2(),0()1,0x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩，若(0)f 是()f x 的最小值，是a 的取值范围为________________．三、解答题21．已知函数()()12f x x x =+-. （1）作出函数()f x 的图象.（2）判断直线y a =与()()12f x x x =+-的交点的个数； （3）已知方程()1221x x m +-=-有三个实数解.求m 的取值范围. 22．已知()f x 是定义域为R +的增函数，且对任意正实数a 和b ，都有()()()1f ab f a f b =+-.（1）证明：当1x >时，()1f x >；（2）若又知1()02f =，解不等式(32)(1)()2f x f x f x -+-<+.23．已知函数()f x x x a =-，a ∈R ，()21g x x =-．（1）当1a =-时，解不等式()()f x g x ≥；（2）当4a >时，记函数()f x 在区间[]0,4上的最大值为()F a ，求()F a 的表达式． 24．在①()()121f x f x x +=+-，②()()11f x f x +=-且()03f =，③()2f x ≥恒成立且()03f =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．问题：已知二次函数()f x 的图象经过点()1,2，_________． （1）求()f x 的解析式； （2）求()f x 在[]1,4-上的值域． 25．已知函数1()1f x x =-，()1g x x x =+-.（1）判断当()1,x ∈+∞时函数()f x 的单调性，并用定义证明； （2）用分段函数的形式表示()g x 函数，并画出函数()g x 的图像. 26．已知二次函数2()1(,)f x ax bx a b R =++∈，x ∈R .（1）若函数()f x 的最小值为(1)0f -=，求()f x 的解析式，并写出单调区间； （2）在（1）的条件下，()f x x k >+在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】首先确定1x ≤时()f x 的对称轴2a x =，分别在12a <和12a≥两种情况下，结合二次函数的对称性和数形结合的方式确定不等关系求得结果. 【详解】当1x ≤时，()2f x x ax =-+是开口方向向下，对称轴为2ax =的二次函数， ①当12a<，即2a <时，由二次函数对称性知：必存在12x x ≠，使得()()12f x f x =； ②当12a≥，即2a ≥时，若存在12x x ≠，使得()()12f x f x =，则函数图象需满足下图所示：即125a a -+>-，解得：4a <，24a ∴≤<； 综上所述：4a <. 故选：A. 【点睛】思路点睛：根据()()12f x f x =可知分段函数某一段自身具有对称轴或两个分段的值域有交集，通过函数图象进行分析即可确定结果.2．A解析：A 【分析】利用抽象函数的定义域列不等式判断A ；利用特例法判断BCD. 【详解】因为函数()f x 的定义域为(1,4)，由21412x x <<⇒<<或21x -<<-，所以函数()2f x 的定义域为(2,1)(1,2)--⋃，A 正确；1y x =+和()21,111,1x x y x x x +≥-⎧=+=⎨--<-⎩，对应法则不同，不表示同一函数，B 错； 偶函数()1f x =在(0,)+∞和(,0)-∞上不具有相反的单调性，C 错；0a b 时，不等式220ax bx ++>恒成立，但280b a -<且0a >不成立，D 错；故选：A. 【点睛】方法点睛：若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出，若已知函数()()f g x 的定义域为[],a b ，则()f x 的定义域为()g x 在[],x a b ∈时的值域.3．B解析：B 【分析】根据定义作出函数()f x 的解析式和图象，根据函数值域，求出对应点的坐标，利用数形结合进行判断即可． 【详解】其中(1,1)A ，(3,3)B ，即()233,133313x x x f x x x x ⎧--=⎨-+⋅<<⎩或，当3()4f x =时，当3x 或1x 时，由33|3|4x --=，得9|3|4x -=，即34C x =或214G x =，当7()4f x =时，当13x <<时，由27334x x -+=，得52E x =，由图象知若()f x 在区间[m ，]n 上的值域为3[4，7]4，则区间[m ，]n 长度的最大值为537244E C x x -=-=，故选：B ． 【点睛】利用数形结合思想作出函数的图象，求解的关键是对最小值函数定义的理解.4．B解析：B 【分析】由已知结合对称轴与区间端点的远近可判断二次函数取得最值的位置，从而可求． 【详解】解：因为2()2af x x ax =-+的开口向上，对称轴2a x =， ①122a即1a 时，此时函数取得最大值()()112a g a f ==-，②当122a >即1a >时，此时函数取得最大值()()02ag a f ==，故()1,12,12aa g a a a ⎧-⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，故当1a =时，()g a 取得最小值12． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了二次函数闭区间上最值的求解，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．5．C解析：C 【分析】根据题意得1min 2min ()()g x f x >，再分别求函数的最小值即可得答案. 【详解】解：∵x ∈，∴2[1,3]x ∈， ∴224()3[1,2]f x x x=-∈+． 当0k >时，()[2,22]g x k k ∈-++，所以只需满足：12k <-+，解得01k <<； 当0k =时，()2g x =．满足题意．当0k <时，()[22,2]g x k k ∈-++，所以只需满足：122k <+，解得102k >>-． ∴1,12k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭．故选：C ． 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．6．A解析：A 【分析】由()0f x x <对0x >或0x <进行讨论，把不等式()0f x x<转化为()0f x >或()0f x <的问题解决，根据()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(2)0f -=，把函数值不等式转化为自变量不等式，求得结果． 【详解】 解：()f x 是R 上的奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，∴在(,0)-∞内()f x 也是增函数，又(2)0f -=，()20f ∴=，∴当(x ∈-∞，2)(0-⋃，2)时，()0f x <；当(2x ∈-，0)(2⋃，)+∞时，()0f x >；∴()0f x x <的解集是{|20x x -<<或02}x <<． 故选：A ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，解决此类问题的关键是理解奇偶函数在关于原点对称的区间的单调性，奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；7．C解析：C 【分析】由函数定义域的定义，结合函数0(2)y x =-有意义，列出相应的不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数()y f x =的定义域为[]0,4，即[]0,4x ∈，则函数0(2)y x =-满足0141020x x x ≤+≤⎧⎪->⎨⎪-≠⎩，解得13x <≤且2x ≠，所以函数0(2)y x =+-的定义域是(1,2)(2,3]⋃. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域的求解，其中解答中熟记函数的定义域的定义，根据题设条件和函数的解析式有意义，列出不等式组是解答的关键，着重考查推理与运算能力.8．A解析：A【分析】函数()f x 是偶函数，判断出自变量的大小，利用函数的单调性比较大小得出答案． 【详解】函数()f x 的图像关于y 轴对称， ∴函数()f x 为偶函数， ∵0.50.5log 3log 10<=，∴()()120.52log 3log 3log 3f f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴2221log 2log 3log 42=<<=， 1.3 1.30.522-=>，600.71<<． ∵当0x >时，()f x 单调递减，∴c a b >>， 故选：A 【点睛】本题考查函数性质的综合应用，考查函数的单调性和奇偶性，考查指数和对数的单调性，属于中档题．9．B解析：B 【分析】根据奇函数的性质,分析()f x 在对称的区间上单调性相同,即可找出最大值与最小值. 【详解】∵()f x 是奇函数,在(0,)+∞上是减函数,∴()f x 在(,0)-∞上也是减函数,即在区间[,](0)a b a b <<上递减. 又∵()f x 在区间[,](0)a b a b <<上的值域为[3,4]-, ∴()()4,3,f a f b ==-根据奇函数的性质可知()()4,3,f a f b -=--=且在区间[,]b a --上单调递减, ∴()f x 在区间[,]b a --上有最大值3,有最小值-4. 故选：B. 【点睛】本题考查了奇函数的单调性和值域特点,如果性质记不熟,可以将大致图像画出.本题属于中等题.10．B解析：B 【分析】利用奇偶性排除选项C 、D ；利用x →+∞时，()f x →+∞,排除A,从而可得结论. 【详解】∵f (-x )=( -x )2+2ln||2()x x --=x 2+2ln||2x x =f (x ),∴f (x )是偶函数,其图象关于y 轴对称,排除C,D ； 又x →+∞时，()f x →+∞,排除A, 故选B . 【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.11．A解析：A 【分析】由题可得[][]1122()()0f x x f x x ---<,可构造函数()()F x f x x =-是R 上的增函数,原不等式可转化为()()213F x F ->,再结合增函数的性质可求出答案. 【详解】 由题意,[][]121211221122()()()()()()0f x f x x x f x x f x x f x x f x x -<-⇔-<-⇔---<, 因为12,R x x ∈且12,x x <所以函数()()F x f x x =-是R 上的增函数.()3(3)31F f =-=,因为(21)2(21)(21)1f x x f x x ->⇔--->,所以()()213F x F ->, 则213x ->,解得2x >. 故选:A. 【点睛】本题考查了函数的单调性的应用,构造函数()()F x f x x =-是解决本题的关键,属于中档题.12．C解析：C 【分析】由函数是R 上的减函数，列出不等式，解出实数a 的取值范围． 【详解】因为()f x 是R 上的减函数，故023033a a a a>⎧⎪-<⎨⎪-≥⎩，故2334a <≤，故选：C【点睛】本题考查函数的单调性的应用，考查分段函数，属于中档题．二、填空题13．【分析】首先判断函数的单调性依题意只需再对参数分三种情况讨论即可求出参数的取值范围；【详解】解：因为在定义域上单调递增又在定义域上单调递减所以根据复合函数的单调性可得在定义域上单调递减所以在定义域上解析：1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】首先判断函数()f x 的单调性，依题意只需()()12min min f x g x >，再对参数m 分三种情况讨论，即可求出参数的取值范围； 【详解】解：因为xy e =、y =42y x =-在定义域上单调递减，所以根据复合函数的单调性可得y =在定义域上单调递减，所以()x f x e =-[]0,1上单调递增，所以()()001min f x f e ===-对于[]10,1x ∀∈，总[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x >恒成立， 则只需()()12min min f x g x >因为()g x mx =，[]1,2x ∈，当0m =时()0g x =，而()1min f x =-，不符合题意； 当0m >时，()g x mx =，在[]1,2x ∈上单调递增，则()()min 1g x g m ==，所以1m <-矛盾，舍去；当0m <时，()g x mx =，在[]1,2x ∈上单调递减，则()()min 22g x g m ==，所以210m m <-⎧⎨<⎩解得12m <- 故m 的取值范围为1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭故答案为：1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．14．【分析】分别讨论和时结合基本不等式和二次函数的单调性可得的最小值解不等式可得所求范围【详解】函数可得时当且仅当时取得最小值由时若时在递减可得由于的最小值为所以解得；若时在处取得最小值与题意矛盾故舍去 解析：[3,)+∞【分析】分别讨论1x >和1x ≤时，结合基本不等式和二次函数的单调性可得()f x 的最小值，解不等式可得所求范围. 【详解】函数2212,1()4,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，可得1x >时，()44f x x a a a x =++≥=+，当且仅当2x =时，()f x 取得最小值4a +， 由1x ≤时，()()2212f x x a a =-+-，若1a ≥时，()f x 在(]1-∞，递减，可得()()1132f x f a ≥=-， 由于()f x 的最小值为()1f ，所以1324a a -≤+，解得3a ≥； 若1a <时，()f x 在x a =处取得最小值与题意矛盾，故舍去； 综上得实数a 的取值范围是[)3,+∞， 故答案为：[)3,+∞. 【点睛】本题主要考查分段函数的最值求法，考查二次函数的单调性和运用，以及不等式的解法，属于中档题.15．且【分析】由中根式内部的代数式大于等于00指数幂的底数不为0联立不等式组求解【详解】由解得且x≠2∴函数的定义域是】且即答案为】且【点睛】本题考查函数的定义域及其求法是基础题解析：{|1x x ≥-且}2x ≠ 【分析】由中根式内部的代数式大于等于0，0指数幂的底数不为0，联立不等式组求解． 【详解】由10 20x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥-且x≠2．∴函数()()02f x x =-的定义域是】{|1x x ≥-且}2x ≠．即答案为】{|1x x ≥-且}2x ≠ 【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．16．【解析】解：当k=0时满足条件当时综上：点睛：定义域为分母在上都不为0注意分母不一定为二次所以先考虑二次项系数为零解析：0k ≤<3. 【解析】 解： 当k=0时，13y =，满足条件 当k 0≠时，24120k k -< 综上：0k 3≤<．点睛：定义域为R ，分母在R 上都不为0，注意分母不一定为二次，所以先考虑二次项系数为零．17．【分析】用2-x 换上f （x ）+2f （2-x ）=x①中的x 得到f （2-x ）+2f （x ）=2-x②这样①②联立即可解出f （x ）【详解】由题意因为f （x ）+2f （2-x ）=x①；∴f （2-x ）+2f （x ） 解析：()4f x x 3=- 【分析】用2-x 换上f （x ）+2f （2-x ）=x①中的x 得到，f （2-x ）+2f （x ）=2-x②，这样①②联立即可解出f （x ）． 【详解】由题意，因为f （x ）+2f （2-x ）=x①； ∴f （2-x ）+2f （x ）=2-x②； ①②联立解得()43f x x =-. 故答案为()43f x x =-． 【点睛】本题主要考查了函数的解析式的求解，其中解答中根据题意，联立方程组求解是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.18．【分析】根据二次函数和分式函数的单调性求解即可【详解】根据与在区间上都是减函数又的对称轴为所以又在区间上是减函数所以所以即的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查了已知函数的单调性求参数问题考查了数学解析：(]01， 【分析】根据二次函数和分式函数的单调性求解即可. 【详解】根据2()2f x x ax =-+与()ag x x=在区间[1，2]上都是减函数， 又()f x 的对称轴为x a =，所以1a ≤， 又()ag x x=在区间[1，2]上是减函数，所以0a > 所以01a <≤，即a 的取值范围为(]01，． 故答案为：(]01，【点睛】本题考查了已知函数的单调性求参数问题，考查了数学运算能力.属于中档题.19．【分析】由题意首先结合所给的关系式画出函数图象结合函数图象即可确定函数图象与横轴交点个数可得函数零点的个数【详解】解：由题意可得：（1）时即：结合绘制函数图象如图所示：由图可得函数图象与横轴交点有9 解析：9【分析】由题意首先结合所给的关系式画出函数图象，结合函数图象即可确定函数图象与横轴交点个数，可得函数零点的个数． 【详解】解：由题意可得：f （1）166==，∴(1,3)x ∈时，(1)6()f f x x x==， 即：6,01()6,13x x f x x x⎧⎪=⎨<<⎪⎩，结合(3)()1f x f x +=+绘制函数图象如图所示：由图可得，函数图象与横轴交点有9个， 所以函数()f x 的零点个数为9． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查函数的零点，数形结合的数学思想，函数图象的绘制等知识，函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-的零点⇔函数()()y f x g x =-在x 轴的交点⇔方程()()0f x g x -=的根⇔函数()y f x =与()y g x =的交点．20．【分析】利用定义可知在上递减在上递增所以当时取得最小值为再根据是的最小值可知且解得结果即可得解【详解】当时任设则当时所以所以当时所以所以所以在上递减在上递增所以当时取得最小值为又因为是的最小值所以且 解析：02a ≤≤【分析】利用定义可知1()f x x a x=++在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，所以当1x =时，1()f x x a x=++取得最小值为2a +，再根据(0)f 是()f x 的最小值，可知0a ≥且2(0)2a a -≤+，解得结果即可得解.【详解】当0x >时，1()f x x a x=++， 任设120x x <<，则12121211()()f x f x x a x a x x -=++---12121()(1)x x x x =--， 当120x x <<1<时，120x x -<，12110x x -<，所以12121()(1)0x x x x -->，所以12()()f x f x >，当121x x <<时，120x x -<，12110x x ->，所以12121()(1)0x x x x --<，所以12()()f x f x <，所以1()f x x a x=++在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增， 所以当1x =时，1()f x x a x=++取得最小值为2a +， 又因为(0)f 是()f x 的最小值，所以0a ≥且2(0)2a a -≤+，解得02a ≤≤. 故答案为：02a ≤≤. 【点睛】本题考查了利用定义判断函数的单调性，考查了根据函数的最值点求参数的取值范围，考查了分段函数的性质，属于中档题.三、解答题21．（1）图象见解析；（2）答案见详解；（3）5182m -<<. 【分析】（1）先去绝对值，化简函数成分段函数形式()()()()()12,112,1x x x f x x x x ⎧+-≥-⎪=⎨-+-<-⎪⎩，把握关键点分段画出函数图象即可；（2）结合（1）中图象，数形结合即得结果； （3）由额（2）中结果即得92104m -<-<，即求得参数范围. 【详解】解：（1）函数()()12f x x x =+-，去绝对值可得()()()()()12,112,1x x x f x x x x ⎧+-≥-⎪=⎨-+-<-⎪⎩，即1x ≥-时，()f x 是开口向上、对称轴为12x =、零点为-1和2的抛物线的一部分；1x <-时，()f x 是开口向下、对称轴为12x =、零点为-1和2的抛物线的一部分，作图如下：（2）由（1）中图象，数形结合知， 当0a >或94a <-时，直线y a =与()()12f x x x =+-有1个交点； 当0a =或94a =-时，直线y a =与()()12f x x x =+-有2个交点； 当904a -<<时，直线y a =与()()12f x x x =+-有3个交点； （3）方程()1221x x m +-=-有三个实数解，即21y m =-与()()12f x x x =+-有三个交点，由（2）可知92104m -<-<，即5182m -<<， 所以m 的取值范围为5182m -<<. 【点睛】本题解题关键在于去绝对值写出分段函数，根据二次函数关键点（零点、对称轴、顶点）正确作图，再数形结合，依次突破. 22．（1）证明见解析；（2）12x <<. 【分析】（1）计算出(1)f 后由单调性可证；（2）求得(2)2f =，利用定义不等式可化为([(32)(1)](2)f x x f x --<，然后由单调性求解． 【详解】解（1）令1a b ==，代入条件式子得(1)1f =；()f x 在R +上单调递增∴当1x >时，()(1)1f x f >=，得证.（2）令1,22a b ==，代入①式得1(1)()(2)1(2)22f f f f =+-⇒= (32)(1)()2f x f x f x ∴-+-<+(32)(1)()(2)f x f x f x f ⇔-+-<+320,10,0,[(32)(1)]1(2)1x x x f x x f x ->⎧⎪->⎪⇔⎨>⎪⎪--+<+⎩11121(32)(1)223x x x x x x x ⎧>⎧>⎪⎪⇔⇔⇔<<⎨⎨--<<<⎪⎪⎩⎩．【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数的单调性的应用，解关于抽象函数的不等式，关键是利用函数的定义，把不等式转化为12()()f x f x <形式，然后由单调性求解．转化时注意函数的定义域．23．（1）{}1x x ≥-；（2）()2,484416,8a x F a a a ⎧<<⎪=⎨⎪-≥⎩【分析】（1）由1a =-，得211x x x +≥-，进而分1x ≥-和1x <-两种情况，分别解不等式，进而可求出原不等式的解集；（2）由[]0,4x ∈，且4a >，可得()2f x x ax =-+，进而结合二次函数的性质，分类讨论，可求出()f x 在区间[]0,4上的最大值的表达式. 【详解】（1）当1a =-时，()1f x x x =+，则211x x x +≥-．①当1x ≥-时，不等式为221x x x +≥-，解得1x ≥-，所以1x ≥-； ②当1x <-时，不等式为221x x x --≥-，解得112x ≤≤-，所以解集为空集． 综上，不等式的解集为{}1x x ≥-．（2）因为[]0,4x ∈，且4a >，所以()()2f x x a x x ax =-=-+，①当48a <<时，242a <<，则()224a aF a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭；②当8a ≥时，42a≥，则()()4416F a f a ==-. 综上()2,48{4416,8a a F a a a <<=-≥．【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法： （2）根据对称轴与区间的位置关系，进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析.24．（1）()223x x x f =-+；（2）[]2,11.【分析】（1）若选①：利用待定系数法并结合()f x 的图象经过点()1,2求解二次函数()f x 的解析式；若选②：根据对称轴方程以及()03f =并结合()f x 的图象经过点()1,2求解二次函数()f x 的解析式；若选③：根据已知条件判断出()1,2为图象的最低点，由此分析出对称轴，则二次函数的解析式可求;（2）根据（1）得到()f x 的解析式，然后利用配方法和整体替换的方法求解出()212x -+的取值范围，则()f x 在[]1,4-上的值域可求.【详解】 解：若选①，（1）设()()20f x ax bx c a =++≠，则()()()()221112f x a x b x c ax a b x a b c +=++++=+++++． 因为()()121f x f x x +=+-，所以()22221ax a b x a b c ax bx c x +++++=+++-，所以221a a b =⎧⎨+=-⎩，解得1a =，2b =-．因为()f x 的图象经过点()1,2，所以()1122f a b c c =++=-+=，所以3c =． 故()223x x x f =-+．若选②，（1）设()()20f x ax bx c a =++≠，则()f x 图象的对称轴方程为2bx a=-． 由题意可得()()120312b a fc f a b c ⎧-=⎪⎪==⎨⎪=++=⎪⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩．故()223x x x f =-+．若选③，（1）()()20f x ax bx c a =++≠．因为()03f =，所以3c =．因为()()21f x f ≥=，所以()13212f a b b a ⎧=++=⎪⎨-=⎪⎩，解得1a =，2b =-．故()223x x x f =-+．（2）由（1）可知()()222312f x x x x =-+=-+． 因为14x -≤≤，所以213x -≤-≤，所以()2019x ≤-≤，所以()221211x ≤-+≤． 即()f x 在[]1,4-上的值域为[]2,11． 【点睛】方法点睛：求解函数解析式常用的方法有：（1）换元法：适用于求解已知()()f g x 的解析式求解()f x 的解析式的类型； （2）待定系数法：适用于已知函数的类型求解函数解析式，如已知函数为一次函数可设()()0f x kx b k =+≠或已知函数为二次函数可设()()20f x ax bx c a =++≠；（3）方程组法：适用于已知()(),f x f x -组成的方程求解()f x 的解析式或已知()1,f x f x ⎛⎫⎪⎝⎭组成的方程求解()f x 的解析式的类型.25．（1）函数()f x 在()1,+∞为单调递减，证明见解析；（2）21,0()1,0x x g x x -≥⎧=⎨-<⎩，图象答案见解析. 【分析】（1）利用函数单调性定义：任意()12121,()f x x f x x <><成立，即可判定()f x 在()1,+∞是单调递减；（2）讨论0,0x x ><，去掉x 的绝对值即可得到函数()g x 的解析式. 【详解】解：（1）函数()f x 在()1,+∞为单调递减. 证明如下：任取121x x <<， 则()()()()21121212111111x x f x f x x x x x --=-=----， ∵121x x <<，110x ，210x ，210x x ->.()()120f x f x ->即()()12f x f x >，所以()f x 在()1,+∞上单调递减. （2）()1g x x x =+-所以当0x <时，()111g x x x xx =+-=--=-；所以当0x ≥时，()1121g x x x x x x =+-=+-=-；21,0()1,0x x g x x -≥⎧∴=⎨-<⎩. 函数()y g x =图形如下：【点睛】确定函数单调性的四种方法：（1）定义法：利用定义判断；（2）导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数；（3）图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；（4）性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性.26．（1）2(1)2f x x x =++；单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]；（2）(－∞，1)．【分析】（1）由1x =-时二次函数最小值为0，求出,a b 得函数解析式，写单调区间即可；（2）可转化为21k x x <++在区间[－3，－1]上恒成立，求出21y x x =++最小值即可.【详解】(1)由题意知12(1)10b a f a b ⎧-=-⎪⎨⎪-=-+=⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩，∴2(1)2f x x x =++. 由2()(1)f x x =+知函数()f x 的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]．（2）由题意知，221x x x k ++>+在区间[－3，－1]上恒成立，即21k x x <++在区间[－3，－1]上恒成立，令2()1g x x x =++，x ∈[－3，－1]，由213()()24g x x =++知 g (x )在区间[－3，－1]上是减函数，则g (x )min ＝g (－1)＝1，所以k <1，故k 的取值范围是(－∞，1)．【点睛】 关键点点睛：二次函数的解析式求法，大多用到待定系数法，本题需根据当1x =-时二次函数最小值为0，建立方程组求解，即可求出函数解析式.。

一、选择题1．已知函数()f x 的定义域是[]2,3-，则()23f x -的定义域是（ ） A ．[]7,3-B ．[]3,7-C ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．已知函数f (x )满足f (x -1)=2f (x )，且x R ∈，当x ∈[-1，0)时，f (x )=-2x -2x +3，则当x ∈[1,2)时，f (x )的最大值为（ ） A ．52B ．1C ．0D ．-13．方程2x y +=所表示的曲线大致形状为（ ）A ．B ．C ．D ．4．函数()21xf x x=-的图象大致是（ ） A ．B ．C ．D ．5．已知2()2af x x ax =-+在区间[0，1]上的最大值为g (a )，则g (a )的最小值为（ ） A ．0B ．12C ．1D ．26．若函数2()2(2)1f x mx m x =+-+0,，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()1,4 B ．()(),14,-∞⋃+∞C ．(][)0,14,+∞ D ．[][)0,14,+∞7．已知函数()y f x =的定义域为[]0,4，则函数0(2)1y x x =--的定义域是（ ） A ．[1,5]B ．((1,2)(2,5) C ．(1,2)(2,3]⋃D ．[1,2)(2,3]⋃8．已知函数()f x 的定义域为R ，(1)f x -是奇函数，(1)f x +为偶函数，当11x -≤≤时，()13131x x f x +-=+，则以下各项中最小的是（ ）A ．()2018fB ．()2019fC ．()2020fD ．()2021f9．如图是定义在区间[]5,5－上的函数()y f x =的图象，则下列关于函数()f x 的说法错误的是( )A ．函数在区间[]53－，－上单调递增 B ．函数在区间[]1,4上单调递增 C ．函数在区间][3,14,5⎡⎤⋃⎣⎦－上单调递减 D ．函数在区间[]5,5－上没有单调性10．已知函数()2f x x ax b =-+-（a ，b 为实数）在区间[]22-,上最大值为M ，最小值为m ，则M m -（ ） A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关 C ．与a 无关，但与b 有关 D ．与a 无关，且与b 无关11．函数2log xy x x=的大致图象是（ ） A ． B ． C ． D ．12．若函数32()21f x ax x x =+++在(1,2)上有最大值无最小值，则实数a 的取值范围为（ ） A ．34a >-B ．53a <-C ．5334a -<<- D ．5334a -≤≤- 二、填空题13．已知1()1x f x x +=-，则135199()()()()100100100100f f f f ++++=______________14．函数()12x f x -的定义域是__________．15．已知对于任意实数x ，函数f （x ）都满足f （x ）+2f （2-x ）=x ，则f （x ）的解析式为______．16．对于任意的1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式224t mt m +>+恒成立，则实数t 的取值范围是________________.17．设函数2222,0(),0x x x f x x x ⎧++=⎨->⎩，若(())2f f a =，则a =___________.18．设集合10,2A ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭，1,12B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，函数()()1,221,x x A f x x x B⎧+∈⎪=⎨⎪-∈⎩，若()()0f f x A ∈，则0x 的取值范围是__________．19．已知函数2()2f x x x a =-++，21()7log g x x=+，若对任意1[0,3]x ∈，总存在24x ⎤∈⎦，使得12()()f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围是___________.20．设函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，2()()g x f x x =-，若函数()y g x =在区间[0,)+∞上是严格增函数，则不等式2(1)(1)2f x f x x +->+的解集为___________.三、解答题21．已知函数2()7f x x mx m =++-，m R ∈.（1）若()f x 在区间[2,4]上单调递增，求m 的取值范围； （2）求()f x 在区间[1,1]-上的最小值()g m ；22．已知函数()f x 为二次函数，满足()()139f f -==，且()03f =．（1）求函数()f x 的解析式；（2）设()()g x f x mx =-在[]1,3上是单调函数，求实数m 的取值范围． 23．已知函数()0ky x k x=+>在区间(单调递减，在区间)+∞单调递增．（1）求函数2y x x=+在区间(),0-∞的单调性；（只写出结果，不需要证明） （2）已知函数()()2131x ax f x a x ++=∈+R ，若对于任意的x N *∈，有()5f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．24．已知函数()2x x f x e ke -=--为偶函数． （1）求k 的值及函数()f x 的最小值；（2）设()(2)2(()2)g x f x m f x =-+，当0x >时，()0>g x ，求m 的取值范围．25．已知函数12()12x xa f x -⋅=+是R 上的奇函数(a 为常数)，()22.g x x x m m R =-∈+， （1）求实数a 的值；（2）若对任意12[]1x -∈，，总存在2]3[0x ∈，，使得12()()f x g x =成立，求实数m 的取值范围.26．已知函数()2342()log log 16a f x x x=⋅⋅.（1）若1a =，求方程()1f x =-的解集；（2）当[]2,4x ∈时，求函数()f x 的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由2233x -≤-≤解得结果即可得解. 【详解】因为函数()f x 的定义域是[]2,3-，所以23x -≤≤， 要使()23f x -有意义，只需2233x -≤-≤，解得132x ≤≤。

章末综合测评(二) 函数(满分：150分 时间：120分钟)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f ()x ＝x ＋12－x的定义域为( ) A ．[－1，2)∪(2，＋∞) B ．(－1，＋∞) C ．[－1，2)D ．[－1，＋∞)A [由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2－x ≠0，解得x ≥－1，且x ≠2.]2．函数f (x )＝x|x |的图象是( )A B C DC [因为f (x )＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，－1，x ＜0，所以其图象为C.]3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤12x ，x >1 ，则f (f (3))＝( )A ．15B ．3C ．23D ．139D [因为f (3)＝23，所以f (f (3))＝f (23)＝(23)2＋1＝49＋1＝139，故选D.]4．函数f (x )＝||x 3＋1＋||x 3－1，则函数f (x )图象( ) A ．关于原点对称 B ．关于直线y ＝x 对称 C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称D [函数f (－x )＝|(－x )3＋1|＋|(－x )3－1|＝|1－x 3|＋|－x 3－1|＝|x 3＋1|＋|x 3－1|＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数，由函数性质知选项D 正确．]5．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值X 围是( )A ．⎝⎛⎭⎫13，23B ．⎣⎡⎭⎫13，23 C ．⎝⎛⎭⎫12，23D ．⎣⎡⎭⎫12，23A [由题意得|2x －1|<13⇒－13<2x －1<13⇒23<2x <43⇒13<x <23，故选A.]6．函数f (x )＝11－x （1－x ）的最大值是 ( )A ．45B ．54C ．34D ．43D [∵1－x (1－x )＝x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －12＋34≥34，∴11－x （1－x ）≤43.]7．已知函数f (x )＝ax 2－x ，若对任意x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1≠x 2，不等式f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0恒成立，则实数a 的取值X 围是( )A ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞ B ．⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C ．⎝⎛⎭⎫14，＋∞ D ．⎣⎡⎭⎫14，＋∞ D [不妨设x 2>x 1≥2，则f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＝（ax 21－x 1）－（ax 22－x 2）x 1－x 2＝a （x 21－x 22）－（x 1－x 2）x 1－x 2＝a （x 1－x 2）（x 1＋x 2）－（x 1－x 2）x 1－x 2＝a (x 1＋x 2)－1.∵对任意x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1≠x 2，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0恒成立，∴x 2>x 1≥2时，a (x 1＋x 2)－1>0，即a >1x 1＋x 2恒成立．∵x 2>x 1≥2，∴1x 1＋x 2＜14.∴a ≥14，即a 的取值X 围为⎣⎡⎭⎫14，＋∞.故选D.] 8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（3a －1）x ＋4a （x ＜1），－ax （x ≥1）是定义在(－∞，＋∞)上的减函数，则a 的取值X 围是( )A ．⎣⎡⎭⎫18，13B ．⎝⎛⎦⎤18，13 C ．⎝⎛⎭⎫0，13 D ．⎝⎛⎦⎤－∞，13 A [由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，－a ＜0，－a ≤3a －1＋4a ，解得18≤a <13，故选A.]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9．下列函数中与函数y ＝x 不相同的是( ) A ．y ＝x 2 B ．y ＝3t 3 C ．y ＝x 2D ．y ＝x 2xACD [y ＝3t 3＝t ，t ∈R ，故只有B 选项相同，故选ACD.] 10．下列函数中，是奇函数( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 2 C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |CD [根据奇函数的定义知：C 、D 中函数是奇函数．]11．设函数D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数0，x 为无理数，则下列结论正确的是( )A ．D ()x 的定义域为RB ．D ()x 的值域为{0，1}C ．D ()x 是偶函数 D ．D ()x 是单调函数ABC [A ，B ，C 正确，由D ()0＝D ()1知，D ()x 不是单调函数．]12．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )A．b＝－2a B．a＋b＋c＜0 C．a－b＋c＞0 D．abc＜0AD[由图象知a＜0，对称轴x＝－b2a＝1，则b＝－2a，则b＞0.由x＝0时，y＝c＞0，∴abc＜0，由x＝－1时，y＜0，即a－b＋c＜0，由x＝1时，y＞0，则a＋b＋c＞0，故选AD.]三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上．13．已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈N＋)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减少的，则m＝________.1[由题意知m2－2m－3为负的偶数，由m2－2m－3＝(m－1)2－4<0⇒|m－1|<2.∴－1<m<3.又m∈N＋，∴m＝1或m＝2.代入m2－2m－3使其为偶数，只有m＝1.]14．函数f()x＝x＋1－x－1的值域为________．(]0，2[由f()x＝2x＋1＋x－1，知f()x是减函数．又f()x的定义域是[)1，＋∞，所以，f()x的最大值是f()1＝2，又f()x>0，所以，f()x的值域为(]0，2.]15．若函数f()x＝2x2＋2ax－a－1的定义域为R，则a的取值X围为________．[]－1，0[函数f ()x 的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即x 2＋2ax－a ≥0恒成立，因此有Δ＝()2a ＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.]16．设函数f (x )＝（x ＋1）2＋a 2xx 2＋1，a ∈R 的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________．2[f (x )＝（x ＋1）2＋a 2x x 2＋1＝1＋（2＋a 2）xx 2＋1，令g (x )＝（2＋a 2）xx 2＋1，则y ＝g (x )是奇函数，所以g (x )max ＋g (x )min ＝0.所以M ＋m ＝[1＋g (x )max ＋[1＋g (x )min ]＝2.]四、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知f (x )是奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋1，求f (x )在x ∈R 上的表达式．[解] 因为f (x )是定义域在R 上的奇函数，所以f (0)＝0， 当x <0时，－x >0，由已知得，f (－x )＝(－x )2－2(－x )＋1＝x 2＋2x ＋1＝－f (x )， 所以f (x )＝－x 2－2x －1， 所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋1，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－2x －1，x ＜0.18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x ＋ax 的图象过点A ⎝⎛⎭⎫2，52. (1)某某数a 的值；(2)证明函数f (x )在(0，1)上是减函数．[解](1)因为函数f (x )＝x ＋a x 的图象过点A ⎝⎛⎭⎫2，52，所以52＝2＋a2⇒a ＝1. 于是，f (x )＝x ＋1x.(2)证明：设x 1，x 2是(0，1)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－x 2－1x 2＝x 1－x 2＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2－1x 1x 2.由x 1，x 2∈(0，1)，得0<x 1x 2<1，x 1x 2－1<0，又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0， 于是f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2). 所以函数f (x )在(0，1)上是减函数．19．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )的图象过点(0，4)，对任意x 满足f (3－x )＝f (x )，且有最小值是74.(1)求f (x )的解析式；(2)求函数h (x )＝f (x )－(2t －3)x 在区间[0，1]上的最小值，其中t ∈R ；(3)在区间[－1，3]上，y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝2x ＋m 的图象上方，试确定实数m 的X 围．[解](1)由题知二次函数图象的对称轴为x ＝32，又最小值是74，则可设f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －32＋74(a ≠0).又图象过点(0，4)，则a ⎝⎛⎭⎫0－32＋74＝4，解得a ＝1， ∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －32＋74＝x 2－3x ＋4. (2)h (x )＝f (x )－(2t －3)x ＝x 2－2tx ＋4＝(x －t )2＋4－t 2，其对称轴x ＝t . ①t ≤0时，函数h (x )在[0，1]上单调递增，最小值为h (0)＝4； ②当0<t <1时，函数h (x )的最小值为h (t )＝4－t 2；③当t ≥1时，函数h (x )在[0，1]上单调递减，最小值为h (1)＝5－2t ，所以h (x )min＝⎩⎨⎧4，t ≤0，4－t 2，0＜t ＜1，5－2t ，t ≥1.(3)由已知，f (x )>2x ＋m 对x ∈[－1，3]恒成立， ∴m <x 2－5x ＋4对x ∈[－1，3]恒成立，∴m <(x 2－5x ＋4)min (x ∈[－1，3]).∵g (x )＝x 2－5x ＋4在x ∈[－1，3]上的最小值为－94，∴m <－94.20．(本小题满分12分)如图所示，有一块半径为R 的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是⊙O 的直径，且上底CD 的端点在圆周上，写出梯形周长y 关于腰长x 的函数关系式，并求出它的定义域．[解]AB ＝2R ，C 、D 在⊙O 的半圆周上，设腰长AD ＝BC ＝x ，作DE ⊥AB ， 垂足为E ，连接BD ，则∠ADB 是直角，∴Rt △ADE ∽Rt △ABD . AD 2＝AE ×AB ，即AE ＝x 22R，∴CD ＝AB －2AE ＝2R －x 2R ，所以y ＝2R ＋2x ＋⎝⎛⎭⎫2R －x2R ， 即y ＝－x 2R＋2x ＋4R .再由⎩⎪⎨⎪⎧x >0x 22R >02R －x 2R >0，解得0＜x ＜2R .所以y ＝－x 2R＋2x ＋4R ，定义域为(0，2R ).21．(本小题满分12分)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f ()x 1－f ()x 2，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值； (2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2. [解](1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0. (2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0， 所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f ()x 1－f ()x 2得f ⎝⎛⎭⎫93＝f ()9－f ()3，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2. 由于函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数， 由f (|x |)<f (9)，得|x |>9，∴x >9或x <－9. 因此不等式的解集为{x |x >9或x <－9}．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x >a .(1)当a ＝2时，求f (x )的定义域、值域；(2)若存在x 1≠x 2，使f (x 1)＝f (x 2)，求a 的取值X 围． [解](1)f (x )的定义域为(－∞，a ]∪(a ，＋∞)＝R . 当a ＝2时，y ＝x 3在(－∞，2]上是增加的， ∴x 3∈(－∞，8].y ＝x 2在(2，＋∞)上是增加的，∴x 2∈(4，＋∞). ∴f (x )的值域为(－∞，8]∪(4，＋∞)＝R . (2)当a <0时，f (x )在(a ，＋∞)上不单调，∴存在x1≠x2使f(x1)＝f(x2).当a＝0时，f(x)在R上是增函数，∴不存在x1≠x2，使f(x1)＝f(x2).当a>0时，f(x)在(－∞，a]，(a，＋∞)上都是增加的，要使x1≠x2时，f(x1)＝f(x2)，需a3>a2，即a>1.综上，a的取值X围是(－∞，0)∪(1，＋∞).。