黑龙江省勃利县高级中学2020届高三上学期期中考试试题 数学(文)【含答案】

2019-2020学年度第一学期期中考试 高三物理 (时间：90分钟 满分：100分) 一、选择题（本题共12小题，每题4分，共48分，1—7题为单项选择题，8—12题为多项选择题，少选得2分，选错不得分） 1．下列说法中正确的是( ) A．物体对水平桌面的压力是由于桌面的形变而产生的 B．当加速度与速度方向相同且又减小时，物体减速运动 C．由µ=f/N可知，动摩擦因数µ与摩擦力f成正比，与弹力N成反比 D．汽车正常行驶时，驱动轮对地面产生静摩擦力，方向与汽车行驶方向相反 2．关于场强和电势的下列说法，不正确的是( ) A．在匀强电场中,电场强度在数值上等于沿电场强度方向每单位距离上降低的电势 B．处于静电平衡状态的导体是等势体 C．两个等量异号电荷连线的中垂线上各点的电势相等 D. 在电场中两点间移送电荷的过程中,电场力始终不做功,则电荷所经过路径上的各点场强一

定为零 3．自由下落的物体，在任何相邻的单位时间内下落的距离之差△h和平均速度之差△v，数值

上分别等于（ ） A．,22ghvg B．,24gghv C．,hgvg D．2,2hgvg 4．一个带正电的质点，电量q=2.0×10-9C，在静电场中由A点移到B点。在这个过程中，除电

场力外，其他力做的功为6.0×10-5J，质点的动能增加了8.0×10-5J，则a、b两点间的电势差Uab

为（ ）

A．4310V B．4110V C．4410V D． 4710V 5．如图甲、乙所示为某物体在0～t时间内运动的x~t图线和v~t图线，由图可知，在0～t1

时间内( ) A．物体做的是曲线运动 B．物体做加速度越来越小的运动 C．图甲中12t时刻，图线的斜率为02v D．x1－x0＞02vt1 6．如图甲所示为电场中的一条电场线，在电场线上建立

坐标轴，则坐标轴上O～x2间各点的电势分布如图乙所示，则( ) A．在O～x2间，电场强度先减小后增大 B．在O～x2间，电场强度方向没有发生变化 C．若一负电荷从O点运动到x2点，电势能逐渐减小 D．从O点静止释放一仅受电场力作用的正电荷，则该电荷在O～x2间一直做匀加速运动 7.按照我国整个月球探测活动的计划，在第一步“绕月”工程圆满完成各项目标和科学探测任务后，将开展第二步“落月”工程，预计在2013年以前完成．假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g，飞船沿距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ运动，到达轨道的A点．点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B再次点火进入月球近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动．下列判断错误的是（ ） A．飞船在轨道Ⅰ上的运行速率 B．飞船在A点处点火时，动能减小 C．飞船从A到B运行的过程中处于完全失重状态 D．飞船在轨道Ⅲ绕月球运动一周所需的时间8．如图所示，横截面为直角三角形的斜劈P，靠在粗糙的竖直墙面

第二章 直线和圆的方程章末测试注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）1．（2020·福建高二学业考试）已知直线1l ：2y x =-，2l ：y kx =，若12//l l ，则实数k =（ ） A ．－2 B ．－1C ．0D ．1【答案】D【解析】已知直线1l ：2y x =-，2l ：y kx =，因为12//l l ，所以1k =故选：D2．（2020·洮南市第一中学高一月考）直线()()1:2140l a x a y -+++=与()2:190l a x ay ++-=互相垂直，则a 的值是（ ）. A ．-0.25 B ．1C ．-1D ．1或-1【答案】D【解析】当10a +=时，1a =-，此时14:3l x =，2:9l y =-，显然两直线垂直， 当0a =时，此时1:240l x y -++=，2:9l x =，显然两直线不垂直， 当10a +≠且0a ≠时，因为12l l ⊥，所以()()()2110a a a a -+++=，解得：1a =，综上可知：1a =或1-.故选D.3．（2020·江苏省海头高级中学高一月考）直线:l (1)230m x my m ---+=（m R ∈）过定点A ，则点A 的坐标为（ ）A ．(3,1)-B ．(3,1)C ．(3,1)-D ．(3,1)--【答案】B【解析】根据直线(1)230m x my m ---+=得()230m x y x ---+=，故直线过定点为直线20x y --=和30x -+=的交点，联立方程得2030x y x --=⎧⎨-+=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩ ，所以定点A 的坐标为()3,1A .故选：B. 4．（2020·广东高二期末）设a R ∈，则“a =1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件,【答案】C【解析】若直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行，则21a =,且11a-≠解得1a =故选C5．（2020·黑龙江高一期末）若曲线y y ＝k （x ﹣2）+4有两个交点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．3,14⎛⎤⎥⎝⎦B ．3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．（1，+∞）D ．（1，3]【答案】A【解析】作出曲线y 的图像，直线y ＝k （x ﹣2）+4恒过定点()2,4，当直线与曲线相切时，原点到直线240kx y k --+=的距离等于22=，解得34k =，由图可知， ()3401422k -<≤=--，故选：A 6．（2020·浙江柯城。

黑龙江省2020年高三上学期期中数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2016·四川文) 设集合A={x|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（）A . 6B . 5C . 4D . 32. （2分） (2019高二上·南宁期中) 命题“ ，”的否定是（）A . ，B . ，C . ，D . ，3. （2分） (2019高二下·吉林期末) 复数z满足，则复数z在复平面内的对应点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限4. （2分）已知向量=(3,4),=(2,-1)，如果向量-x与垂直，则x的值为（）A .B .C .D .5. （2分）(2014·天津理) 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A . 2B . 3C . 4D . 56. （2分） (2020高一上·合肥期末) 关于函数有下述四个结论：① 是偶函数② 的最大值为2③ 在有4个零点④ 在区间单调递减,其中所有正确结论的编号是（）A . ①②④B . ②③④C . ①③④D . ①②③7. （2分）如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（）A .B .C .D .8. （2分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则（）A . 1B . －1C . 2D .9. （2分） (2020高一下·隆化期中) 等比数列{ }的前n项和为，若则 =（）A . 10B . 20C . 20或-10D . -20或110. （2分）(2018·广元模拟) 二维空间中，圆的一维测度（周长），二维测度（面积），三维空间中，球的二维测度（表面积），三维测度（体积），应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度 ,则其四维测度W=（）A .B .C .D .11. （2分） (2020高二上·厦门月考) 如图，椭圆的右顶点为A，上顶点为B，动直线l交椭圆C于两点，且始终满足，作交MN于点H，则的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分）已知二次函数y=x2﹣2ax+1在区间（2，3）内是单调函数，则实数a的取值范围是（）A . a≤2或a≥3B . 2≤a≤3C . a≤﹣3或a≥﹣2D . ﹣3≤a≤﹣2二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）设曲线y=eax+sine在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a=________．14. （1分）(2017·息县模拟) 设函数f（x）=ax2+b（a≠0），若，x0＞0，则x0=________．15. （1分） (2017高一下·东丰期末) 已知变量满足约束条件，则的最大值为________16. （1分） (2019高二下·六安月考) 如图所示的几何体中，是平行四边形且，六个顶点任意两点连线能组成异面直线的对数是________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分）(2016·北区模拟) 已知函数f（x）=sinxcosx﹣ x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当x∈[0， ]时，求f（x）的最大值和最小值．18. （5分）已知在△ABC中，三条边a，b、c所对的角分别为A、B，C，向量=（sinA，cosA），=（cosB，sinB），且满足•=sin2C．（1）求角C的大小；（2）若sinA，sinC，sinB成等比数列，且•（﹣）=﹣8，求边c的值并求△ABC外接圆的面积．19. （10分）(2020·成都模拟) 已知数列满足对任意都有，其前项和为，且是与的等比中项，．（1）求数列的通项公式；（2）已知数列满足，，设数列的前项和为，求大于的最小的正整数的值．20. （10分） (2018高二上·重庆期中) 如图所示，在矩形ABCD中，，沿对角线将折起，使点C移到点，且C点在平面ABD的射影O恰在AB上．（1）求证：平面ACD；（2）求直线AB与平面 D所成角的正弦值．21. （10分） (2016高一上·越秀期中) 设函数f（x）=x2+2ax﹣a﹣1，x∈[0，2]，a为常数．（1）求f（x）的最小值g（a）的解析式；（2）在（1）中，是否存在最小的整数m，使得g（a）﹣m≤0对于任意a∈R均成立，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．22. （5分）(2018·宜宾模拟) 已知函数f(x)＝ex＋e－x ， g(x)＝2x＋ax3 ， a为实常数．(I)求g(x)的单调区间；(II)当a＝－1时，证明：存在x0∈(0，1)，使得y＝f(x)和y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线互相平行.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共45分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：。

黑龙江省哈尔滨市2020版高三上学期期中数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）复数的虚部为（）A . 1B . -1C . iD . -i2. （2分） (2016高三上·贵阳模拟) 在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1=3，前三项和为21，则a3+a4+a5=（）A . 33B . 72C . 84D . 1893. （2分）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A . f（x）=x与f（x）=B . f（x）=x﹣1与C . f（x）=x与D . f（x）=|x|与4. （2分）(2017·金山模拟) 已知x、y∈R，且x＞y＞0，则（）A .B .C . log2x+log2y＞0D . sinx﹣siny＞05. （2分）的展开式中x6y2项的系数是（）A . 56B . -56C . 28D . -286. （2分）已知点A和点B是双曲线x2﹣=1上的两点，O为坐标原点，且满足•=0，则点O到直线AB的距离等于（）A .B .C . 2D . 27. （2分） (2018高二下·通许期末) 若曲线上任意点处的切线的倾斜角都是锐角,那么整数（）A . -2B . 0C . 1D . -18. （2分）将正方体的纸盒展开如图，直线AB、CD在原正方体的位置关系是（）A . 平行B . 垂直C . 相交成60°角D . 异面且成60°角9. （2分）从写上0，1，2，…，9 十张卡片中，有放回地每次抽一张，连抽两次，则两张卡片数字各不相同的概率是（）A .B .C .D . 110. （2分）抛物线及其在点和处的两条切线所围成图形的面积为（）A .B .C . 2D .11. （2分） (2016高一上·绍兴期中) 若函数f（x）=loga（2x2+x）（a＞0，a≠1）在区间（0，）内恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间是（）A . （﹣∞，﹣）B .C .D . （0，+∞）12. （2分）在等比数列中，，是方程的两个根，则 =（）A .B .C .D . 以上都不对二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）在△ABC中，N是AC边上一点，且，P是BN上的一点，若，则实数m的值为________．14. （1分） (2018高一下·雅安期中) 如图,在中,D是边BC上一点，AB= ,，则 ________15. （1分）(2017·宝山模拟) 设复数z满足（i为虚数单位），则z=________．16. （1分） (2017高一上·奉新期末) 函数f（x）=x2+（3a+1）x+2a在（﹣∞，4）上为减函数，则实数a 的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分）(2012·新课标卷理) 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．18. （5分）已知函数f（x）= sin（ωx+φ）（|φ|≤ ）的最小正周期为π，将其图象向左平移个单位得到函数．f（x）= sinωx的图象．（I）求函数f（x）的单调递增区间；（II）求函数f（x）在区间[ ]上的最小值和最大值．19. （10分） (2016高三上·珠海模拟) 在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．（1）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；（2）已知EF=FB= AC=2 ，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．20. （10分） (2016高二下·民勤期中) 已知函数f（x）=﹣x3+ax2+bx+c图象上的点P（1，m）处的切线方程为y=﹣3x+1（1）若函数f（x）在x=﹣2时有极值，求f（x）的表达式．（2）若函数f（x）在区间[﹣2，0]上单调递增，求实数b的取值范围．21. （10分）已知数列{an}满足a1=1，an+1= ，（n∈N*）（1）证明数列是等差数列，并求出通项an．（2）若＜a1•a2+a2•a3+a3•a4+…+an﹣1•an＜，求n的值．22. （5分） (2018高三上·湖南月考) 在如图所示的多面体中，平面，，，，，，，是的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。

绝密★启用前 2020届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三上学期期中数学（文)试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．i 是虚数单位,复数12ai i +-为纯虚数,则实数a 为( ) A ．2 B ．2- C ．12- D ．12 2．若向量()()2,3,1,2a b ==-v v ，则()2a a b ⋅-=v v v （ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，1127m m m a a a -+++=，且45m S =，则m =（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 4．设α，β为两个平面，则αβ∥的充要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α，β平行于同一条直线 C ．α内有两条相交直线与β平行 D ．α，β垂直于同一平面 5．已知曲线()(21)x f x a e =+在0x =处的切线过点(2,1),则实数a =( ) A ．3 B ．3- C ．13 D ．13- 6．函数()()2sin sin 2x x f x x x ππ-+=⎛⎫++ ⎪⎝⎭在[],ππ-的图象大致为（ ）……○…………线…………○……※※装※※订※※线※※内……○…………线…………○……A．B．C．D．7．若把函数()sin(2)2f x xπϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，将其图象沿x轴向右平移6π个单位后，得到函数()y g x=的图象，则()()y f x g x=-的最大值为（）A B C．12D．18．如图，三棱锥A BCD-中，90DAB DAC BAC∠=∠=∠=︒，1AB AD AC===，M，N分别为CD，BC的中点，则异面直线AM与DN所成角余弦值为（）A．16B．6C D．569．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题；①如果m n⊥，mα⊥，//nβ，那么αβ⊥.②如果mα⊥，//nα，那么m n⊥.③如果//αβ，mα⊂，那么//mβ.④如果//m n，//αβ，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．410．定义在R的函数()f x满足(1)(1)f x f x+=-+，当1x≠时，恒有()()xf x f x''>成立，若12m<<，(2)ma f=，2(log4)b f=，2(log)c f m=，则a，b，c大小关系…外…………○…学校…内…………○…A ．a b c >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．b a c >> 11．在ABC ∆中，2sin 4sin 3sin C CB A CA B AB ⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r ，则ABC ∆形状是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．无法确定 12．设定义在()0,∞+的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()30xf x f x '+>，则关于x 的不等式()()313303x f x f ⎛⎫---< ⎪⎝⎭的解集为（ ） A ．()3,6 B ．()0,3 C ．()0,6 D ．()6,+∞ 第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 13．已知cos 44πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 2α=____ 14．已知等比数列{}n a 的首项为1a ，前n 项和为n S ，若数列{}12n S a -为等比数列，则32a a =____. 15．已知0x >，0y >，80x y xy ++-=，则xy 的最大值是______. 16．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,,//,2,1ABCD AD AB AB DC AD DC AP AB ⊥====，若E 为棱PC 上一点，满足BE AC ⊥，则PE EC =__________． 三、解答题 17．已知关于x 的不等式21x m -≤（m R ∈）的解集为[]0,1.…………装…………○………※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※…………装…………○………（1）求m 的值； （2）若a ，b ，c 均为正数，且a b c m ++=，求111313131a b c +++++的最小值. 18．已知ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos 6c B b C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ . (1)求角C 的大小； (2)若ABC ∆的周长为12，面积为.19．三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为正三角形，D 为1B B 中点，F 为线段1C D 的中点，M 为AB 中点．（1）求证：//FM 面11A ACC ；（2）求证：AF BC ⊥．20．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()21n n n a S n +=+，且11a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令1132n a n n b a -=++⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=︒，PA ⊥底面ABCD ，2AB AC PA ===，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，点M 在线段PD 上.线…………○……线…………○…… （1）求证：面EMF ⊥面PAC ； （2）若M 为线段PD 的中点，求直线ME 与平面PAD 所成角的正切值.22．已知函数2()2x k f x e x =-有两个不同的极值点1x ，2x ． （1）求实数k 的取值范围； （2）证明：122x x +>．参考答案1．A【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后令【详解】1(1)(2)2(2)(2)ai ai i i i i +++=--+Q 2(21)4a a i -++= 2(21)42a a i -+=+ 复数12ai i +-为纯虚数 20,2210a a a -=⎧∴∴=⎨+≠⎩， 故选：A.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2．D【解析】【分析】根据向量,a b r r 的坐标，求解出2a b -r r 的坐标表示，然后根据坐标形式下向量数量积的计算公式求解出()2a a b ⋅-r r r 的结果.【详解】因为()()2,3,1,2a b ==-r r，所以()24,1a b -=-r r ， 所以()()224315a a b ⋅-=⨯+⨯-=r r r ， 故选：D .【点睛】本题考查坐标形式下向量的数量积计算，难度较易.3．B【解析】【分析】利用等差中项的性质求出m a 的值，然后利用等差数列的求和公式，结合条件45m S =可求出m 的值.【详解】由等差中项的性质可得11327m m m m a a a a -+++==，解得9m a =，()15452m m m a a S m +∴===，解得9m =. 故选：B.【点睛】本题考查等差中项性质的应用，同时也考查了利用等差数列的求和公式求参数，考查运算求解能力，属于基础题.4．C【解析】【分析】根据面面平行的判定逐个选项分析即可.【详解】解：对于选项A ：当α与β相交时,α内也有无数条直线与β平行,所以选项A 不正确： 对于选项B ：当α、β平行于同一条直线时,α与β可能相交,所以选项B 不正确；对于选项C ：根据面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.可知C 正确；对于选项D ：当α、β垂直于同一平面,则α与β可能垂直,例如墙角的三个面,所以选项D 不正确；故选：C.【点睛】本题主要考查了面面平行的判定,属于基础题.5．D【解析】【分析】利用导数求出曲线f （x ）＝（2a +1）e x 在x ＝0处的切线方程，把已知点的坐标代入即可求解a 值．【详解】由f （x ）＝（2a +1）e x ，得f ′（x ）＝（2a +1）e x ，∴f ′（0）＝2a +1，又f （0）＝2a +1，∴曲线f （x ）＝（2a +1）e x 在x ＝0处的切线方程为y ﹣2a ﹣1＝（2a +1）（x ﹣0）， 代入（2，1），得﹣2a ＝4a +2，解得a 13=-． 故选：D ．【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是简单复合函数的求导，是中档题． 6．D【解析】【分析】 先判断奇偶性,再根据2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小判定即可. 【详解】解：()()22sin sin cos sin 2x xx x f x x x x x ππ-++==+⎛⎫++ ⎪⎝⎭Q ,()()2sin cos x x f x f x x x +-=-=-+, ()f x ∴为奇函数,故A 错；2214221202f πππππ++⎛⎫==> ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭,故BC 错；故选：D.【点睛】本题主要考查了根据函数解析式判断函数图像的问题,需要判断奇偶性与函数值分析.属于基础题.7．D【解析】【分析】根据()f x 的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，得出sin()03πϕ-+=，结合2πϕ<求出函数()f x 的解析式，由平移变换得出函数()y g x =的解析式，利用两角和的正弦公式以及辅助角公式化简函数()()y f x g x =-的解析式，根据余弦函数的性质即可得出最大值.【详解】 由于函数()sin(2)2f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭ 的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 所以sin()03πϕ-+=，即()3k k Z πϕπ-+=∈，整理得3k πϕπ=+ 由于2πϕ<，所以3πϕ=则()sin 23f x x p 骣琪=+琪桫将其图象沿x 轴向右平移6π个单位后，得到函数()sin 2sin 233y g x x x ππ⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭1()()sin 2sin 2sin 22sin 2cos 2326y f x g x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+-=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当22()6x k k Z ππ+=∈时，函数()()y f x g x =-的最大值为1故选：D【点睛】本题主要考查了求图象平移后的解析式以及求余弦型函数的最值，属于中档题.8．B【解析】【分析】取NC 中点P ,连接,AP MP ,即可得//DN MP ,则将异面直线AM 与DN 所成角转化为 AM 与MP 所成的角,再利用解三角形的方法求解夹角余弦值即可.【详解】取NC 中点P ,连接,AP MP ,又因为M 为CD 中点,故//DN MP ,故AM 与DN 所成角即为AM 与MP 所成的角.由题得11,44AC NP CP BC ====,又N 为BC 的中点,1AB AC ==,90BAC ∠=︒,所以12AN BC ==AN BC ⊥.故4AP ==,又124MP DN ====.又122AM DC ==,故222135cos 26AM MP AP AMP AM MP +-+-∠===⋅ 所以异面直线AM 与DN所成角余弦值为6. 故选：B.【点睛】 本题主要考查了利用空间直线夹角的问题,需要根据题意利用平行转换异面角为三角形中的角度再计算,属于基础题.9．C【解析】【分析】对①，运用长方体模型，找出符合条件的直线和平面，即可判断；对②，运用线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理，即可判断；对③，运用面面平行的性质定理，即可判断；对④，由平行的传递性及线面角的定义，即可判断④．【详解】对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误：如图，不妨设AA '为直线m ，CD 为直线n ，ABCD 所在的平面为α，ABC D ''所在的平面为β，显然这些直线和平面满足题目条件，但αβ⊥不成立；命题②正确，证明如下：设过直线n 的某平面与平面α相交于直线l ，则//l n ，由m α⊥知m l ⊥，从而m n ⊥，结论正确；由平面与平面平行的定义知命题如果//αβ，m α⊂，那么//m β.③正确；由平行的传递性及线面角的定义知命题：如果//m n ，//αβ，那么m 与α所成的角和n与β所成的角相等，④正确.故选：C .【点睛】本题考查命题的真假判断，考查空间线面、面面平行和垂直的位置关系，注意运用判定定理和性质定理，考查推理能力，属于中档题．10．A【解析】【分析】由(1)(1)f x f x +=-+，可知()f x 的对称轴为1x =，由12m <<，可得224m <<，20log 1m <<，2log 42=，进而可得到a b c >>．【详解】解：因为函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-+，所以()f x 的对称轴为1x =，因为()()xf x f x ''>，所以(1)()0x f x '->，所以()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，因为12m <<，所以224m <<，20log 1m <<，2log 42=，22(log )(log 4)(2)m f m f f <<，所以a b c >>，故选：A ．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．11．A【解析】【分析】利用基底向量的方法,可得CB CA AB =+u u u r u u u r u u u r ,再化简求得12a c =,23b c =,再利用余弦定理求解得cos 0C <即可判断.【详解】 解：由2sin 4sin 3sin C CB A CA B AB ⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r 得：()2sin 4sin 3sin C CA AB A CA B AB ⋅+=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r , ()()2sin 4sin 3sin 2sin C A CA B C AB ∴-⋅=-⋅u u u r u u u r ,因为,CA AB u u u r u u u r 不共线,故2sin 4sin 3sin 2sin 0C A B C -=-=由正弦定理有24320c a b c -=-=,12a c ∴=,23bc =, 令6c =,则3a =,4b =,22291636110a b c +-=+-=-<Q∴C 为钝角,故ABC ∆是钝角三角形,故选：A.【点睛】本题主要考查了基底向量与正余弦定理的运用,需要根据题意根据利用基底向量表示CB CA AB =+u u u r u u u r u u u r 化简.属于中档题.12．A【解析】【分析】构造函数()()3g x x f x =,再根据题意分析()g x 的单调性, 再化简()()313303x f x f ⎛⎫---< ⎪⎝⎭可得()()33g x g -<,再利用函数的单调性与定义域求解即可.【详解】解：令()()3g x x f x =,()()()230g x x f x xf x ''=+>⎡⎤⎣⎦, 所以()g x 在()0,∞+上单调递增,()()313303x f x f ⎛⎫---< ⎪⎝⎭,即()()()3332730x f x f ---<, 所以()()33g x g -<,3330x x -<⎧⎨->⎩,所以36x <<, 故选：A.【点睛】本题主要考查了构造函数求解抽象函数不等式的问题,需要根据题中所给的导数与不等式分析需要构造的函数结构再求解.属于中档题.13．34【解析】【分析】由诱导公式以及二倍角的余弦公式求解即可.【详解】cos 44πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭Q223sin 2cos 2cos 212cos 122444πππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+=-+=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：34 【点睛】本题主要考查了三角函数的知值求值问题，属于中档题.14．12【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由数列{}12n S a -为等比数列，得出()()()2211131222S a S a S a -=--，求出q 的值，即可得出32a a 的值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由于数列{}12n S a -为等比数列，()()()2211131222S a S a S a ∴-=--， 整理得()()2211321a a a a a a -=-⋅+-，即()()2211q q q -=-+-，化简得220q q -=， 0q ≠Q ，解得12q =，因此，3212a q a ==. 故答案为：12. 【点睛】 本题考查等比数列基本量的计算，同时也考查了等比中项的应用，考查运算求解能力，属于中等题.15．4【解析】【分析】利用基本不等式x y +≥将80x y xy ++-=转化为关于xy 的不等式再求解即可.【详解】解：因为80x y xy ++-=,且0x >,0y >,所以808x y xy xy ++-=≥-,所以)420≤, 所以04xy <≤,故答案为：4.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用,需要根据题意利用基本不等式将题中所给的等式转换为关于xy 的不等式再求解.属于中档题.16．13【解析】【分析】过B 作BF AC ⊥，交AC 于F ，连接EF ，根据BE AC ⊥，可得AC ⊥平面BEF ，通过解三角形求得:AF FC 的值，也即求得PE EC的值. 【详解】过B 作BF AC ⊥，交AC 于F ，连接EF ，根据BE AC ⊥，可得AC ⊥平面BEF ，故AC EF ⊥，由于PA AC ⊥，所以//EF PA .由于AD CD =，所以π4DAC BAC ∠=∠=.在直角三角形ABF 中，π1,4AB BAF =∠=，所以AF AB ==，而AC =故:1:3AF FC =.根据前面证得//EF PA ，可得::1:3PE EC AF FC ==.【点睛】本小题主要考查空间点位置的确定，考查线面垂直的证明，考查简单的解特殊角三角形的知识.属于基础题.17．（1）1m =（2）32 【解析】【分析】（1）题先解出绝对值不等式，然后将两个解集进行比较，可得出m 的值；（2）题在已知1a b c ++=的情况下可构造表达式再运用柯西不等式即可得到最小值．【详解】（1）解不等式21x m -≤，得1122m m x -+≤≤. 由已知解集为[]0,1， 故有102112m m -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得1m =. （2）由（1），1a b c ++=.111313131a b c +++++111166313131a b c ⎛⎫=⋅⋅++ ⎪+++⎝⎭ ()()()11113131316313131a b c a b c ⎛⎫=⋅+++++⋅++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭ 216≥⋅ ()21311162=⋅++=. 当且仅当13a b c ===时，111313131a b c +++++的最小值32. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，对应思想的应用，柯西不等式的运用能力，不等式的计算能力．本题属中档题．18．（1）3π（2）4a b c === 【解析】【分析】(1)利用两角差的余弦公式以及正弦定理的边化角公式化简即可求解；(2)由三角形的面积公式得到16ab =，由余弦定理以及三角形的周长列式求解即可.【详解】 (1)sin cos 6c B b C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭Q∴由正弦定理得：1sin sin sin cos sin sin 62C B B C B C C π⎫⎛⎫=-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭化简得到：sin C C =，即tan C =(0,)C π∈Q 3C π∴=(2)由(1)可知，3C π=122S ab ∴=⨯⨯=16ab =①由余弦定理得22222()3()48c a b ab a b ab a b =+-=+-=+-②又12a b c ++=③所以联立①②③可得4a b c ===.【点睛】本题主要考查了正弦定理的边化角公式、三角形面积公式以及余弦定理，属于中档题. 19．（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）取1AA 中点N ，连结1C N ，ND ，取1C N 中点E ，连结EF ，AE ，由已知可证1//2EF ND ，又1//2AM ND ，可证四边形MAEF 为平行四边形，可证//MF AE ，利用线面平行的判定定理即可证明//FM 面11A ACC ．（2）设BC 中点为P ，连接PF ，1A F ，可证1//PF CC ，11//AA CC ，可证1//AA PF ，可证1AA BC ⊥，又正三角形中，P 为BC 中点，可证⊥AP BC ，利用线面垂直的判定定理可证BC ⊥平面1A APF ，根据线面垂直的性质定理可证AF BC ⊥．【详解】证明：（1）取1AA 中点N ，连结1C N ，ND ，取1C N 中点E ，连结EF ，AE ，//AN BD Q ，AN BD =，∴四边形ANDB 为平行四边形，//AB ND ∴，AB ND =，1NE EC =Q ，1C F FD =，1//2EF ND ∴ 又1//2AM ND Q ， ∴四边形MAEF 为平行四边形，//MF AE ∴，MF ⊂/Q 面11A ACC ，AE ⊂面11A ACC ， //FM ∴面11A ACC ．（2）设BC 中点为P ，连接PF ，1A F ， 三棱柱111ABC A B C -中，11//BB CC ，D 为1B B 中点， ∴四边形1BDC C 为梯形，又P 为BC 中点，F 为线段1C D 的中点， 1//PF CC ∴，三棱柱111ABC A B C -中，11//AA CC ，1//AA PF ∴，AF ∴⊂平面1A APF ，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ， 1AA BC ∴⊥①正三角形中，P 为BC 中点，则⊥AP BC ②， 由①②及1AA AP A =I ，得BC ⊥平面1A APF ， AF BC ∴⊥．【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，线面垂直的判定和性质，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．20．（1）21n a n =-；（2）241n n T n n =++-【解析】【分析】(1)利用通项公式与前n 项和n S 的关系求解即可.(2)由(1)有1234n n b n -=+⋅,再根据分组求和与等差等比数列的求和公式求解即可.【详解】解：（1）()21n n n a S n +=+, 2n ≥时,()()()211111n n n a S n ---+=+-,两式相减得：()()()11121n n n a n a n ----=-因为2n ≥,所以12n n a a --=,又11a =,所以数列{}n a 为首项11a =,公差2d =的等差数列,所以21n a n =-.（2）由于21n a n =-,所以11232234n a n n b n n --=+⋅=+⋅,故()()24122341241n n n n n T n n -+=+⋅=++--. 【点睛】本题主要考查了利用通项公式与前n 项和n S 的关系求解数列通项公式的方法以及分组求和与等差等比数列求和的公式.属于基础题.21．（1）证明见解析；（2【解析】【分析】(1) 分别证明EF AP ⊥,AC EF ⊥从而得到EF ⊥面PAC 再证明面EMF ⊥面PAC 即可.(2) 连接AE ,AM ,证明EMA ∠为线面角,同时证明Rt MAE ∆并求解tan EMA ∠即可.【详解】解：（1）证明：PA ⊥Q 面ABCD ,EF ⊂面ABCD ,EFAP ∴⊥,在ABC ∆中,AB AC =,45ABC ACB ∠=∠=︒, AB AC ∴⊥,∴四边形ABEF 为平行四边形,//AB EF ∴,AC EF ∴⊥,AP AC C =Q I ,AP ⊂面PAC ,AC ⊂面PAC ,EF ∴⊥面PAC ,又EF ⊂面EMF ,∴面EMF ⊥面PAC .（2）解：连接AE ,AM ,ABC ∆中,AB AC =Q ,E 为BC 的中点,AE BC ∴⊥,平行四边形ABCD 中,AD BC ∥,AE AD ∴⊥,PA ⊥Q 平面ABCD ,AE ⊂平面ABCD ,AE PA ∴⊥,AE AD A =Q I ,AE ∴⊥平面PAD ,AM ∴是EM 在平面PAD 中的射影,EMA ∴∠是EM 与平面PAD 所成的角,等腰直角三角形ABC ,2AB AC ==,AE ∴=,BC ==Q AD ∴=PA ⊥Q 平面ABCD ,PA AD ∴⊥,2PA =Q ,PD ∴=又M 为PD 的中点,故AM =Rt MAE ∆中,tan AE EMA AM ∠==,∴直线ME 与平面PAD .【点睛】本题主要考查了面面垂直的证明以及线面角的证明与求解等.需要根据题意根据线面垂直证明线面垂直以及根据线面垂直确定线面角的正切值大小等.属于中档题.22．（1）(,)e +∞（2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接对()f x 求导，研究其极值点个数即可；（2）双变量问题，先想办法化成一个变量，转化为一元函数求值域问题，只需将12x t x =即可．【详解】解：（1）()x f x e kx '=-，()x f x e k ''=-，若0k …，则()0f x ''>恒成立，则()f x '单调递增，则()f x 至多有一个极值点，故舍去；若0k >，由()0f x ''>得x lnk >；由()0f x ''<得x lnk <，()f x '在(,)lnk -∞递减，(,)lnk +∞递增所以()(1)0f lnk k lnk '=-<，从而k e >，(0)10f '=>，1(1,)x lnk ∃∈，1()0f x '=，又(2)(2)f lnk k k lnk '=-，设2()2,()10()h k k lnk h k k e k'=-=->>，所以()h k 在(,)e +∞递增， ()h k h >（e ）20e =->，2(,2)x lnk lnk ∃∈，2()0f x '=，由()0f x '>得1x x <，或2x x >， 由()0f x '<得：12x x x <<，所以()f x 在1(,)x -∞递增，1(x ，2)x 递减，1(x ，)+∞递增，k e >时函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，故实数k 的取值范围为(,)e +∞．（2）1211221122()0,()0,x x f x e kx f x e kx x lnk lnx x lnk lnx ''=-==-=⇒=-=-，2211x x x ln x -=+， 设21x t x =，则2112,,11lnt tlnt x x lnt x x t t -===--，21(1)11lnt tlnt x x t t t +=+>--， 令()2(1)g t lnt tlnt t =+--，1t >，则1()1g t lnt t '=+-，1()0t g t t-''=>， 从而()()()()111,,1,10g t lnt t g t g t'=+-+∞>'>'=在递增所以时，()g t 在(1,)+∞递增，所以1t >时，()g t g >（1）0=，即1t >时，2(1)0lnt tlnt t +-->，即2(1)lnt tlnt t +>-，故()121,2,21lnt tlnt t x x t +>>+>-时即． 【点睛】本题第一问主要考察函数极值点个数问题，考察分类讨论思想；第二问考察转化思想，将两个变量通过比值代换转化为一个变量，从而利用函数性质求解，属于中档题．。

哈三中2024—2025学年度上学期高三学年十月月考数学试卷考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.第I卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.2.已知是关于的方程的一个根，则（）A.20B.22C.30D.323.已知，，，则的最小值为（）A.2B.C.D.44.数列中，若，，，则数列的前项和（）A. B. C. D.5.在中，为中点，，，若，则（）A. B. C. D.6.在三棱柱中，点在棱上，且，点为中点，点在棱上，若平面，则（）A.2B.3C.4D.57.已知偶函数定义域为，且，当时，，则函数在区间上所有零点的和为（）A.B. C.D.8.已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（）A.B.0C.1D.2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数，下列说法正确的是（）A.函数最大值为B.是函数图象的一个对称中心C.是函数图象的一个对称轴D.将函数的图象向右平移个单位，即可得到函数的图象10.在正方形中，，为中点，将沿直线翻折至位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则下列结论中正确的是（）A.若点在线段上，则的最小值为B.三棱锥的体积为C.异面直线、所成的角为D.三棱锥外接球的表面积为11.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.函数有两个零点B.恒成立C.若方程有两个不等实根，则的范围是D.直线与函数图象有两个交点第II卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.12.等差数列中，是其前项和.若，，则______.13.在中，，的平分线与交于点，且，，则的面积为______.14.已知三棱锥中，平面，，，，，、分别为该三棱锥内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.在三棱柱中，，，，，为中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.16.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设函数，若在恒成立，求实数的取值范围.17.已知在锐角中，，，分别为内角，，的对边，.（1）求；（2）若，为中点，，求；（3）若，求内切圆半径的取值范围.18.某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，如图所示.（1）求的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数；（2）以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在内的天数为，在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求的分布列及数学期望；（3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥中，、均是边长为2的正三角形，，现从写有数字1~8的八个标签中随机选择两个分别贴在、两个顶点，记顶点、上的数字分别为和，若为侧棱上一个动点，满足，当“二面角大于”即为中奖，求中奖的概率.19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，，是中点，平面，.（1）求四棱锥体积最大值；（2）设，为线段上的动点.①求平面与平面的夹角余弦值的取值范围；②四棱锥外接球记为球，当为线段中点时，求平面截球所得的截面面积.数学试卷考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.第I卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求出集合，，再根据交集的定义求.【详解】对集合：因为，所以，即；对集合：因为恒成立，所以.所以.故选：B2.已知是关于的方程的一个根，则（）A.20B.22C.30D.32【答案】D【解析】【分析】根据虚根成对原理可知方程的另一个虚根为，再由韦达定理计算可得.【详解】因为是关于的方程的一个根，所以方程的另一个虚根为，所以，解得，所以.故选：D.3.已知，，，则的最小值为（）A.2B.C.D.4【答案】D【解析】【分析】由已知可得，利用，结合基本不等式可求最小值.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选：D.4.数列中，若，，，则数列的前项和（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合递推关系利用分组求和法求.【详解】因为，，所以，，，，，又，，，所以.故选：C.5.在中，为中点，，，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】选择为平面向量的一组基底，表示出，再根据表示的唯一性，可求的值.【详解】选择为平面向量的一组基底.因为为中点，所以；又.由.故选：C6.在三棱柱中，点在棱上，且，点为中点，点在棱上，若平面，则（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】根据已知条件及线面平行的判定定理，利用面面平行的判定定理和性质定理，结合平行四边形的性质即可得结论.【详解】依题意，作出图形如图所示设为的中点，因为为的中点，所以，又平面，平面，所以平面，连接，又因为平面，，平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以，又，所以四边形是平行四边形，所以，所以，又，所以，所以，所以.故选：B.7.已知偶函数定义域为，且，当时，，则函数在区间上所有零点的和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】函数在区间上的零点的集合等于函数和函数在区间内的交点横坐标的集合，分析函数的图象特征，作出两函数的图象，观察图象可得结论.【详解】因为函数，的零点的集合与方程在区间上的解集相等，又方程可化为，所以函数，的零点的集合与函数和函数在区间内的交点横坐标的集合相等，因为函数为定义域为的偶函数，所以，函数的图象关于轴对称，因为，取可得，，所以函数为偶函数，所以函数的图象关于对称，又当时，，作出函数，的区间上的图象如下：观察图象可得函数，的图象在区间上有个交点，将这个交点的横坐标按从小到大依次记为，则，，，，所以函数在区间上所有零点的和为.故选：A.8.已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】可设，，，由得到满足的关系，再求的最小值.【详解】可设，，，则.可设：，则.故选：B【点睛】方法点睛：由题意可知：，都是单位向量，且夹角确定，所以可先固定，，这样就只有发生变化，求最值就简单了一些.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数，下列说法正确的是（）A.函数的最大值为B.是函数图象的一个对称中心C.是函数图象的一个对称轴D.将函数的图象向右平移个单位，即可得到函数的图象【答案】ACD【解析】【分析】先利用两角和与差的三角函数公式和二倍角公式，把函数化成的形式，再对函数的性质进行分析，判断各选项是否正确.【详解】因为.所以，故A正确；函数对称中心的纵坐标必为，故B错误；由，得函数的对称轴方程为：，.令，得是函数的一条对称轴.故C正确；将函数的图象向右平移个单位，得，即将函数的图象向右平移个单位，可得到函数的图象.故D正确.故选：ACD10.在正方形中，，为中点，将沿直线翻折至位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则下列结论中正确的是（）A.若点在线段上，则的最小值为B.三棱锥的体积为C.异面直线、所成角为D.三棱锥外接球的表面积为【答案】AC【解析】【分析】对于A，的最小值为可判断A；对于B，过作于，求得，可求三棱锥的体积判断B；对于C；取的中点，则，取的中点，连接，求得，由余弦定理可求异面直线、所成的角判断C；对于D，取的中点，过点在平面内作的垂线交于，求得外接球的半径，进而可求表面积判断D.【详解】对于A，将沿直线翻折至，可得的最小值为，故A正确；对于B，过作于，因为二面角为直二面角，所以平面平面，又平面平面，所以平面，由题意可得，由勾股定理可得，由，即，解得，因为为线段的中点，所以到平面的距离为，又，所以，故B错误；对于C，取的中点，则，且，，所以，因为，所以是异面直线、所成的角，取的中点，连接，可得，所以，在中，可得，由余弦定理可得，所以，在中，由余弦定理可得，所以，所以异面直线、所成的角为，故C正确；对于D，取的中点，过点在平面内作的垂线交于，易得是的垂直平分线，所以是的外心，又平面平面，又平面平面，所以平面，又因为直角三角形的外心，所以是三棱锥的外球的球心，又，所以，所以三棱锥外接球的表面积为，故D错误.故选：AC.11.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.函数有两个零点B.恒成立C.若方程有两个不等实根，则的范围是D.直线与函数图象有两个交点【答案】BCD【解析】【分析】分和两种情况探讨的符号，判断A的真假；转化为研究函数的最小值问题，判断B的真假；把方程有两个不等实根，为有两个根的问题，构造函数，分析函数的图象和性质，可得的取值范围，判断C的真假；直线与函数图象有两个交点转化为有两解，分析函数的零点个数，可判断D的真假.【详解】对A：当时，；当时，；时，，所以函数只有1个零点.A错误；对B：欲证，须证在上恒成立.设，则，由；由.所以在上单调递减，在上单调递增.所以的最小值为，因为，所以.故B正确；对C：.设，则，.由；由.所以在上单调递增，在单调递减.所以的最大值为：，又当时，.如图所示：所以有两个解时，.故C正确；对D：问题转化为方程：有两解，即有两解.设，，所以.由；由.所以在上单调递增，在上单调递减.所以的最大值为.因为，，所以所以.且当且时，；时，.所以函数的图象如下：所以有两解成立，所以D 正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：导数问题中，求参数的取值范围问题，通常有如下方法：（1）分离参数，转化为不含参数的函数的值域问题求解.（2）转化为含参数的函数的极值问题求解.第II 卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.12.等差数列中，是其前项和.若，，则______.【答案】【解析】【分析】设数列的公差为，将条件关系转化为的方程，解方程求，由此可求结论.【详解】设等差数列的公差为，因为，，所以，，所以，，所以，故答案为：.13.在中，，的平分线与交于点，且，，则的面积为______.【答案】【解析】【分析】根据三角形面积公式，余弦定理列方程求，再由三角形面积公式求结论.【详解】因为，为的平分线，所以，又，所以，由余弦定理可得，又，所以所以，所以的面积.故答案为：.14.已知三棱锥中，平面，，，，，、分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为______.【答案】【解析】【分析】根据已知可得的中点外接球的球心，求得外接球的半径与内切球的半径，进而求得两球心之间的距离，可求得线段的长度的最小值.【详解】因为平面，所以是直角三角形，所以，，在中，由余弦定理得，所以，所以，所以是直角三角形，所以，因为平面，平面，所以，又，平面，结合已知可得平面，所以是直角三角形，从而可得的中点外接球的球心，故外接球的半径为，设内切球的球心为，半径为，由，根据已知可得，所以，所以，解得，内切球在平面的投影为内切球的截面大圆，且此圆与的两边相切（记与的切点为），球心在平面的投影为在的角平分线上，所以，由上易知，所以，过作于，，从而，所以，所以两球心之间的距离，因为、分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，所以线段的长度的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：首先确定内外切球球心位置，进而求两球半径和球心距离，再利用空间想象判断两球心与位置关系求最小值.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.在三棱柱中，，，，，为中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意可得，利用勾股定理的逆定理可得，可证结论；（2）以为坐标原点，所在直线为，过作的平行线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】连接，因为，为中点，所以，因为，所以，所以，又，所以，所以，又，平面，所以平面；【小问2详解】以为坐标原点，所在直线为，过作平行线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以，则，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为，又，所以，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.16.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设函数，若在恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）的取值范围为.【解析】【分析】（1）求函数的定义域及导函数，分别在，，，条件下研究导数的取值情况，判断函数的单调性；（2）由条件可得，设，利用导数求其最小值，由此可得结论.【小问1详解】函数的定义域为，导函数，当时，，函数在上单调递增，当且时，即时，，函数在上单调递增，当时，，当且仅当时，函数在上单调递增，当时，方程有两个不等实数根，设其根为，，则，，由，知，，，所以当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减，函数在上单调递增，【小问2详解】因为，，所以，不等式可化为，因为在恒成立，所以设，则，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以当时，函数取最小值，最小值为，故，所以的取值范围为.17.已知在锐角中，，，分别为内角，，的对边，.（1）求；（2）若，为中点，，求；（3）若，求内切圆半径的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，再结合三角形内角和定理及两角和与差的三角函数公式，可求，进而得到角.（2）利用向量表示，借助向量的数量积求边.（3）利用与正弦定理表示出，借助三角函数求的取值范围.【小问1详解】因为，根据正弦定理，得，所以，因为，所以，所以.【小问2详解】因为为中点，所以，所以，所以，解得或（舍去），故.【小问3详解】由正弦定理：，所以，，因为，所以，所以，，设内切圆半径为，则.因为为锐角三角形，所以，，所以，所以，即，即内切圆半径的取值范围是：.18.某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，如图所示.（1）求的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数；（2）以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在内的天数为，在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求的分布列及数学期望；（3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥中，、均是边长为2的正三角形，，现从写有数字1~8的八个标签中随机选择两个分别贴在、两个顶点，记顶点、上的数字分别为和，若为侧棱上一个动点，满足，当“二面角大于”即为中奖，求中奖的概率.【答案】（1），175（2）分布列见解析，（3）【解析】【分析】（1）根据频率之和为1可求的值，再根据百分位数的概念求第60百分位数.（2）根据条件概率计算，求的分布列和期望.（3）根据二面角大于，求出可对应的情况，再求中奖的概率.【小问1详解】由.因为：，，所以每日汽车销售量的第60百分位数在，且为.【小问2详解】因为抽取的1天汽车销售量不超过150辆的概率为，抽取的1天汽车销售量在内的概率为.所以：在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，抽取的1天汽车销售量在内的概率为.由题意，的值可以为：0，1，2，3.且，，，.所以的分布列为：0123所以.【小问3详解】如图：取中点，链接，，，，.因为，都是边长为2的等边三角形，所以，，，平面，所以平面.平面，所以.所以为二面角DE平面角.在中，，所以.若，在中，由正弦定理：.此时：，.所以，要想中奖，须有.由是从写有数字1~8的八个标签中随机选择的两个，所以基本事件有个，满足的基本事件有：，，，，，，，，共9个，所以中奖的概率为：.【点睛】关键点点睛：在第（2）问中，首先要根据条件概率的概念求出事件“在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，抽取的1天汽车销售量在内的概率”.19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，，是中点，平面，.（1）求四棱锥体积的最大值；（2）设，为线段上的动点.①求平面与平面的夹角余弦值的取值范围；②四棱锥的外接球记为球，当为线段中点时，求平面截球所得的截面面积.【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）设，用表示四棱锥体积，分析函数的单调性，可求四棱锥体积的最大值.（2）①建立空间直角坐标系，设点坐标，用空间向量求二面角的余弦，结合二次函数的值域，可得二面角余弦的取值范围.②先确定球心，求出球心到截面的距离，利用勾股定理可求截面圆的半径，进而得截面圆的面积.【小问1详解】设则，所以四棱锥体积，.所以：.由；由.所以在上单调递增，在上单调递减.所以四棱锥体积的最大值为.【小问2详解】①以为原点，建立如图空间直角坐标系.则，，，所以，，.设平面的法向量为，则.令，则.取平面的法向量.因为平面与平面所成的二面角为锐角，设为.所以.因为，，所以.②易得，则，此时平面的法向量，所以点到平面的距离为：，设四棱锥的外接球半径为，则,所以平面截球所得的截面圆半径.所以平面截球所得的截面面积为：.【点睛】关键点点睛：平面截球的截面面积问题，要搞清球心的位置，球的半径，球心到截面的距离，再利用勾股定理，求出截面圆的半径.。

哈尔滨市第九中学2024—2025学年度高三上学期期中考试数学学科试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合35,122MxxNxxZ

，则MN（ ）

A. 312xxB. 2,1,0C. 1,0D. 0,1

2. 若复数z满足

2025

i2iz，则z的实部与虚部之和为（ ）

A. 12iB. 12iC. 1D. 3

3. 已知等差数列na前6项和为60，且12315aaa，则5a（ ）

A. 5B. 10C. 15D. 20

4. 在平面直角坐标系中，若的终边经过点2,1P，则

πcos

4



的值为（ ）

A. 31010B. 1010C. 1010D. 31010

5. 如图，四边形OACB表示水平放置的四边形OACB根据斜二测画法得到的直观图，2OA，

4BC，2OB，//OABC，则AC（ ）

A. 6B. 23C. 6D. 42

6. 若曲线exya的一条切线方程是

1yx

，则a（ ）

A. 2B. 1C. 1D. e7. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为

43，面积为4π

3的扇形，则该圆锥的外接球的表面积为（ ）

A 256π63B. 4πC. 9π2D. 9π8. 在学习完“错位相减法”后，善于观察的同学发现对于“等差×等比数列”此类数列求和，也可以使用“裂项

的.相消法”求解．例如112122nnnnannn，故数列na的前n项和1223112302121222122nn

nnSaaaann



12nn

．记数列2{}2nn的前n项和为

黑龙江省哈尔滨市呼兰区第一中学2020届高三上学期期中考试试题数学（文）第I 卷（选择题）一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1．设集合{|215},{|2}A x x B x N x =≤+<=∈≤，则A B =（ ）A.{|12}x x ≤≤B.{1,2}C.{0,1}D.{0,1,2}2．在复平面内，复数z 满足(1)4z i -=，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限3．已知4sin 5α，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，那么()cos πα-等于（ ） A. B.C. D.4．命题“2,210x R x x ∀∈-+≥”的否定是（）A ．2000,210x R x x ∃∈-+≤ B ．2000,210x R x x ∃∈-+≥C ．2000,210x R x x ∃∈-+<D ．2,210x R x x ∀∈-+<5．设{}n a 为等差数列, 其前n 项和为n S .若81126a a =+，则9S =( ) A.27B.36C.54D.806．已知非零向量，2=a ，1=b 且()b b a ⊥-，则与的夹角为A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π67．已知()f x 定义在R 上的偶函数,，且当(0,)x ∈+∞时，()1log 2++=x e x f x ，则函数()f x 的零点个数是（ ） A ．8B ．6C ．4D. 28.设0,0a b >>33a 与23b 的等比中项，则21a b+的最小值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6D. 59．函数()()2ln 1x f x x－＝的图象大致是（ ）10.已知ABC ∆中，4,3AB AC ==，3A π∠=，BC 的中点为M ，则AM AB ⋅等于（ ）A ．152B ．11C ．12D ．1511．已知函数()sin 23f x x x =，将函数()f x 向右平移()0φφ>个单位后得到一个奇函数的图象，则φ的最小值为（ ） A ．12πB ．6π C ．3π D ．23π 12．定义在R 上的函数()f x 满足'()()2(xf x f x e e -<为自然对数的底数），其中'()f x 为()f x 的导函数，若2(2)4f e =，则()2x f x xe >的解集为（ ） A.(),1-∞B.()1,+∞C.(),2-∞D.()2,+∞第II 卷（非选择题)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．设向量()1,0a =，()1,b m =-.若()a mab ⊥-，则m =________。

2020届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三上学期期中数学（文）试题一、单选题1．i 是虚数单位,复数12aii+-为纯虚数,则实数a 为( ) A ．2 B ．2-C ．12-D ．12【答案】A【解析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后令 【详解】1(1)(2)2(2)(2)ai ai i i i i +++=--+Q2(21)4a a i-++=2(21)42a a i -+=+ 复数12aii+-为纯虚数 20,2210a a a -=⎧∴∴=⎨+≠⎩， 故选：A. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2．若向量()()2,3,1,2a b ==-v v ，则()2a a b ⋅-=vv v （ ）【解析】根据向量,a b r r的坐标，求解出2a b -r r的坐标表示，然后根据坐标形式下向量数量积的计算公式求解出()2a a b ⋅-r r r的结果.【详解】因为()()2,3,1,2a b ==-r r，所以()24,1a b -=-r r，所以()()224315a a b ⋅-=⨯+⨯-=r r r，故选：D. 【点睛】本题考查坐标形式下向量的数量积计算，难度较易.3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，1127m m m a a a -+++=，且45m S =，则m =（ ） A ．8 B ．9C ．10D ．11【答案】B【解析】利用等差中项的性质求出m a 的值，然后利用等差数列的求和公式，结合条件45m S =可求出m 的值.【详解】由等差中项的性质可得11327m m m m a a a a -+++==，解得9m a =，()15452m m m a a S m +∴===，解得9m =.故选：B. 【点睛】本题考查等差中项性质的应用，同时也考查了利用等差数列的求和公式求参数，考查运算求解能力，属于基础题.4．设α，β为两个平面，则αβ∥的充要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α，β平行于同一条直线 C ．α内有两条相交直线与β平行 D ．α，β垂直于同一平面【答案】C解：对于选项A ：当α与β相交时,α内也有无数条直线与β平行,所以选项A 不正确： 对于选项B ：当α、β平行于同一条直线时,α与β可能相交,所以选项B 不正确； 对于选项C ：根据面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.可知C 正确；对于选项D ：当α、β垂直于同一平面,则α与β可能垂直,例如墙角的三个面,所以选项D 不正确； 故选：C. 【点睛】本题主要考查了面面平行的判定,属于基础题.5．已知曲线()(21)x f x a e =+在0x =处的切线过点(2,1),则实数a =( ) A ．3 B ．3-C ．13D ．13-【答案】D【解析】利用导数求出曲线f （x ）＝（2a +1）e x 在x ＝0处的切线方程，把已知点的坐标代入即可求解a 值． 【详解】由f （x ）＝（2a +1）e x ，得f ′（x ）＝（2a +1）e x ， ∴f ′（0）＝2a +1， 又f （0）＝2a +1，∴曲线f （x ）＝（2a +1）e x 在x ＝0处的切线方程为y ﹣2a ﹣1＝（2a +1）（x ﹣0）， 代入（2，1），得﹣2a ＝4a +2，解得a 13=-． 故选：D ． 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是简单复合函数的求导，是中档题．6．函数()()2sin sin 2x xf x x x ππ-+=⎛⎫++ ⎪⎝⎭在[],ππ-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】先判断奇偶性,再根据2f π⎛⎫⎪⎝⎭的大小判定即可. 【详解】解：()()22sin sin cos sin 2x x x xf x x x x x ππ-++==+⎛⎫++ ⎪⎝⎭Q ,()()2sin cos x xf x f x x x +-=-=-+,()f x ∴为奇函数,故A 错；2214221202f πππππ++⎛⎫==> ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭,故BC 错；故选：D. 【点睛】本题主要考查了根据函数解析式判断函数图像的问题,需要判断奇偶性与函数值分析.属于基础题.7．若把函数()sin(2)2f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称，将其图象沿x 轴向右平移6π个单位后，得到函数()y g x =的图象，则()()y f x g x =-的最大值为（ ） A 3B 2C ．12D ．1【答案】D【解析】根据()f x 的图象关于点,06π⎛⎫-⎪对称，得出sin()03πϕ-+=，结合2πϕ<求出函数()f x 的解析式，由平移变换得出函数()y g x =的解析式，利用两角和的正弦公式以及辅助角公式化简函数()()y f x g x =-的解析式，根据余弦函数的性质即可得出最大值. 【详解】由于函数()sin(2)2f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭ 的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称所以sin()03πϕ-+=，即()3k k Z πϕπ-+=∈，整理得3k πϕπ=+由于2πϕ<，所以3πϕ=则()sin 23f x x p骣琪=+琪桫将其图象沿x 轴向右平移6π个单位后，得到函数()sin 2sin 233y g x x x ππ⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭ 13()()sin 2sin 2sin 2cos 2sin 2cos 2326y f x g x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+-=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当22()6x k k Z ππ+=∈时，函数()()y f x g x =-的最大值为1故选：D 【点睛】本题主要考查了求图象平移后的解析式以及求余弦型函数的最值，属于中档题. 8．如图，三棱锥A BCD -中，90DAB DAC BAC ∠=∠=∠=︒，1AB AD AC ===，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，则异面直线AM 与DN 所成角余弦值为（ ）A ．16B ．36C 5D ．56【解析】取NC 中点P ,连接,AP MP ,即可得//DN MP ,则将异面直线AM 与DN 所成角转化为 AM 与MP 所成的角,再利用解三角形的方法求解夹角余弦值即可.【详解】取NC 中点P ,连接,AP MP ,又因为M 为CD 中点,故//DN MP ,故AM 与DN 所成角即为AM 与MP 所成的角.由题得121,44AC NP CP BC ====,又N 为BC 的中点, 1AB AC ==,90BAC ∠=︒,所以1222AN BC ==,AN BC ⊥. 故2210AP AN NP =+=又221111612222MP DN AD AN ==+=+=. 又1222AM DC ==,故2221353288cos 26262AM MP AP AMP AM MP +-+-∠===⋅⨯⨯所以异面直线AM 与DN 所成角余弦值为36.故选：B. 【点睛】本题主要考查了利用空间直线夹角的问题,需要根据题意利用平行转换异面角为三角形中的角度再计算,属于基础题.9．α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题； ①如果m n ⊥，m α⊥，//n β，那么αβ⊥. ②如果m α⊥，//n α，那么m n ⊥. ③如果//αβ，m α⊂，那么//m β.其中正确的命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】对①，运用长方体模型，找出符合条件的直线和平面，即可判断； 对②，运用线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理，即可判断； 对③，运用面面平行的性质定理，即可判断； 对④，由平行的传递性及线面角的定义，即可判断④． 【详解】对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误：如图，不妨设AA '为直线m ，CD 为直线n ，ABCD 所在的平面为α，ABC D ''所在的平面为β，显然这些直线和平面满足题目条件，但αβ⊥不成立；命题②正确，证明如下：设过直线n 的某平面与平面α相交于直线l ，则//l n ，由m α⊥知m l ⊥，从而m n ⊥，结论正确；由平面与平面平行的定义知命题如果//αβ，m α⊂，那么//m β.③正确； 由平行的传递性及线面角的定义知命题：如果//m n ，//αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等，④正确. 故选：C . 【点睛】本题考查命题的真假判断，考查空间线面、面面平行和垂直的位置关系，注意运用判定定理和性质定理，考查推理能力，属于中档题．10．定义在R 的函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-+，当1x ≠时，恒有()()xf x f x ''>成立，若12m <<，(2)m a f =，2(log 4)b f =，2(log )c f m =，则a ，b ，c 大小关系为( ) A ．a b c >> B ．c b a >>C ．a c b >>D ．b a c >>【解析】由(1)(1)f x f x +=-+，可知()f x 的对称轴为1x =，由12m <<，可得224m <<，20log 1m <<，2log 42=，进而可得到a b c >>．【详解】解：因为函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-+，所以()f x 的对称轴为1x =， 因为()()xf x f x ''>，所以(1)()0x f x '->，所以()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，因为12m <<，所以224m <<，20log 1m <<，2log 42=，22(log )(log 4)(2)m f m f f <<，所以a b c >>， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．11．在ABC ∆中，2sin 4sin 3sin C CB A CA B AB ⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r，则ABC ∆形状是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．无法确定【答案】A【解析】利用基底向量的方法,可得CB CA AB =+u u u r u u u r u u u r,再化简求得12a c =,23b c =,再利用余弦定理求解得cos 0C <即可判断. 【详解】解：由2sin 4sin 3sin C CB A CA B AB ⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r得：()2sin 4sin 3sin C CA AB A CA B AB ⋅+=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r,()()2sin 4sin 3sin 2sin C A CA B C AB ∴-⋅=-⋅u u u r u u u r ,因为,CA AB u u u r u u u r不共线,故2sin 4sin 3sin 2sin 0C A B C -=-= 由正弦定理有24320c a b c -=-=,12a c ∴=,23b c =,令6c =,则3a =,4b =,22291636110a b c +-=+-=-<Q故ABC ∆是钝角三角形, 故选：A. 【点睛】本题主要考查了基底向量与正余弦定理的运用,需要根据题意根据利用基底向量表示CB CA AB =+u u u r u u u r u u u r化简.属于中档题.12．设定义在()0,∞+的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()30xf x f x '+>，则关于x 的不等式()()313303x f x f ⎛⎫---< ⎪⎝⎭的解集为（ ） A ．()3,6 B ．()0,3 C ．()0,6 D ．()6,+∞【答案】A【解析】构造函数()()3g x x f x =,再根据题意分析()g x 的单调性,再化简()()313303x f x f ⎛⎫---< ⎪⎝⎭可得()()33g x g -<,再利用函数的单调性与定义域求解即可. 【详解】解：令()()3g x x f x =,()()()230g x x f x xf x ''=+>⎡⎤⎣⎦,所以()g x 在()0,∞+上单调递增,()()313303x f x f ⎛⎫---< ⎪⎝⎭,即()()()3332730x f x f ---<, 所以()()33g x g -<,3330x x -<⎧⎨->⎩,所以36x <<, 故选：A. 【点睛】本题主要考查了构造函数求解抽象函数不等式的问题,需要根据题中所给的导数与不等式分析需要构造的函数结构再求解.属于中档题.二、填空题【答案】34【解析】由诱导公式以及二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】cos 44πα⎛⎫+=⎪⎝⎭Q223sin 2cos 2cos 212cos 1224444πππαααα⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+=-+=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：34【点睛】本题主要考查了三角函数的知值求值问题，属于中档题.14．已知等比数列{}n a 的首项为1a ，前n 项和为n S ，若数列{}12n S a -为等比数列，则32a a =____. 【答案】12【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由数列{}12n S a -为等比数列，得出()()()2211131222S a S a S a -=--，求出q 的值，即可得出32a a 的值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由于数列{}12n S a -为等比数列，()()()2211131222S a S a S a ∴-=--，整理得()()2211321a a a a a a -=-⋅+-，即()()2211q q q -=-+-，化简得220q q -=， 0q ≠Q ，解得12q =，因此，3212a q a ==. 故答案为：12.本题考查等比数列基本量的计算，同时也考查了等比中项的应用，考查运算求解能力，属于中等题.15．已知0x >，0y >，80x y xy ++-=，则xy 的最大值是______. 【答案】4【解析】利用基本不等式2x y xy +≥将80x y xy ++-=转化为关于xy 的不等式再求解即可. 【详解】解：因为80x y xy ++-=,且0x >,0y >,所以8028x y xy xy xy ++-=≥+-, 所以()()420xy xy +-≤,所以04xy <≤, 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用,需要根据题意利用基本不等式将题中所给的等式转换为关于xy 的不等式再求解.属于中档题. 16．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,,//,2,1ABCD AD AB AB DC AD DC AP AB ⊥====，若E 为棱PC 上一点，满足BE AC ⊥，则PEEC=__________．【答案】13【解析】过B 作BF AC ⊥，交AC 于F ，连接EF ，根据BE AC ⊥，可得AC ⊥平面BEF ，通过解三角形求得:AF FC 的值，也即求得PEEC的值. 【详解】过B 作BF AC ⊥，交AC 于F ，连接EF ，根据BE AC ⊥，可得AC ⊥平面BEF ，故AC EF ⊥，由于PA AC ⊥，所以//EF PA .由于AD CD =，所以π4DAC BAC ∠=∠=.在直角三角形ABF 中，π1,4AB BAF =∠=，所以2222AF AB==，而22AC=，故:1:3AF FC=.根据前面证得//EF PA，可得::1:3PE EC AF FC==.【点睛】本小题主要考查空间点位置的确定，考查线面垂直的证明，考查简单的解特殊角三角形的知识.属于基础题.三、解答题17．已知关于x的不等式21x m-≤（m R∈）的解集为[]0,1.（1）求m的值；（2）若a，b，c均为正数，且a b c m++=，求111313131a b c+++++的最小值.【答案】（1）1m=（2）32【解析】（1）题先解出绝对值不等式，然后将两个解集进行比较，可得出m的值；（2）题在已知1a b c++=的情况下可构造表达式再运用柯西不等式即可得到最小值．【详解】（1）解不等式21x m-≤，得1122m mx-+≤≤.由已知解集为[]0,1，故有12112mm-⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得1m=.（2）由（1），1a b c++=.111313131a b c+++++111166313131a b c ⎛⎫=⋅⋅++ ⎪+++⎝⎭()()()11113131316313131a b c a b c ⎛⎫=⋅+++++⋅++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭216≥⋅ ()21311162=⋅++=. 当且仅当13a b c ===时，111313131a b c +++++的最小值32.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，对应思想的应用，柯西不等式的运用能力，不等式的计算能力．本题属中档题．18．已知ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos 6c B b C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ .(1)求角C 的大小；(2)若ABC ∆的周长为12，面积为. 【答案】（1）3π（2）4a b c === 【解析】(1)利用两角差的余弦公式以及正弦定理的边化角公式化简即可求解； (2)由三角形的面积公式得到16ab =，由余弦定理以及三角形的周长列式求解即可. 【详解】(1)sin cos 6c B b C π⎛⎫=-⎪⎝⎭Q∴由正弦定理得：1sin sin sin cos sin cos sin 622C B B C B C C π⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简得到：sin C C =，即tan C =(0,)C π∈Q 3C π∴=(2)由(1)可知，3C π=134322S ab ∴=⨯⨯=，即16ab =①由余弦定理得22222()3()48c a b ab a b ab a b =+-=+-=+-② 又12a b c ++=③所以联立①②③可得4a b c ===. 【点睛】本题主要考查了正弦定理的边化角公式、三角形面积公式以及余弦定理，属于中档题. 19．三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为正三角形，D 为1B B 中点，F 为线段1C D 的中点，M 为AB 中点．（1）求证：//FM 面11A ACC ； （2）求证：AF BC ⊥．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）取1AA 中点N ，连结1C N ，ND ，取1C N 中点E ，连结EF ，AE ，由已知可证1//2EF ND ，又1//2AM ND ，可证四边形MAEF 为平行四边形，可证//MF AE ，利用线面平行的判定定理即可证明//FM 面11A ACC ．（2）设BC 中点为P ，连接PF ，1A F ，可证1//PF CC ，11//AA CC ，可证1//AA PF ，可证1AA BC ⊥，又正三角形中，P 为BC 中点，可证⊥AP BC ，利用线面垂直的判定定理可证BC ⊥平面1A APF ，根据线面垂直的性质定理可证AF BC ⊥． 【详解】证明：（1）取1AA 中点N ，连结1C N ，ND ，取1C N 中点E ，连结EF ，AE ， //AN BD Q ，ANBD =，∴四边形ANDB 为平行四边形，//AB ND ∴，AB ND =， 1NE EC =Q ，1C F FD =，1//2EF ND ∴又1//2AM ND Q ，∴四边形MAEF 为平行四边形，//MF AE ∴，MF ⊂/Q 面11A ACC ，AE ⊂面11A ACC ，//FM ∴面11A ACC ．（2）设BC 中点为P ，连接PF ，1A F ，三棱柱111ABC A B C -中，11//BB CC ，D 为1B B 中点，∴四边形1BDC C 为梯形，又P 为BC 中点，F 为线段1C D 的中点， 1//PF CC ∴，三棱柱111ABC A B C -中，11//AA CC ， 1//AA PF ∴，AF ∴⊂平面1A APF ，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，1AA BC ∴⊥①正三角形中，P 为BC 中点，则⊥AP BC ②， 由①②及1AA AP A =I ，得BC ⊥平面1A APF ，AF BC ∴⊥．【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，线面垂直的判定和性质，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．20．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()21n n n a S n +=+，且11a =.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令1132n a n n b a -=++⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-；（2）241nn T n n =++-【解析】(1)利用通项公式与前n 项和n S 的关系求解即可. (2)由(1)有1234n n b n -=+⋅,再根据分组求和与等差等比数列的求和公式求解即可.【详解】解：（1）()21n n n a S n +=+,2n ≥时,()()()211111n n n a S n ---+=+-,两式相减得：()()()11121n n n a n a n ----=- 因为2n ≥,所以12n n a a --=,又11a =,所以数列{}n a 为首项11a =,公差2d =的等差数列, 所以21n a n =-. （2）由于21n a n =-,所以11232234n a n n b n n --=+⋅=+⋅,故()()24122341241n n nn n T n n -+=+⋅=++--. 【点睛】本题主要考查了利用通项公式与前n 项和n S 的关系求解数列通项公式的方法以及分组求和与等差等比数列求和的公式.属于基础题.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=︒，PA ⊥底面ABCD ，2AB AC PA ===，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，点M 在线段PD 上.（1）求证：面EMF ⊥面PAC ；（2）若M 为线段PD 的中点，求直线ME 与平面PAD 所成角的正切值. 【答案】（1）证明见解析；（2）63【解析】(1) 分别证明EF AP ⊥,AC EF ⊥从而得到EF ⊥面PAC 再证明面EMF ⊥面PAC 即可.(2) 连接AE ,AM ,证明EMA ∠为线面角,同时证明Rt MAE ∆并求解tan EMA ∠即可. 【详解】解：（1）证明：PA ⊥Q 面ABCD ,EF ⊂面ABCD ,EF AP ∴⊥,在ABC ∆中,AB AC =,45ABC ACB ∠=∠=︒,AB AC ∴⊥,∴四边形ABEF 为平行四边形,//AB EF ∴,AC EF ∴⊥,AP AC C =Q I ,AP ⊂面PAC ,AC ⊂面PAC ,EF ∴⊥面PAC ,又EF ⊂面EMF ,∴面EMF ⊥面PAC . （2）解：连接AE ,AM ,ABC ∆中,AB AC =Q ,E 为BC 的中点,AE BC ∴⊥,平行四边形ABCD 中,AD BC ∥,AE AD ∴⊥,PA ⊥Q 平面ABCD ,AE ⊂平面ABCD ,AE PA ∴⊥, AE AD A =Q I ,AE ∴⊥平面PAD ,AM ∴是EM 在平面PAD 中的射影,EMA ∴∠是EM 与平面PAD 所成的角,等腰直角三角形ABC ,2AB AC ==,2AE ∴=,222BC AB ==Q ,22AD ∴=,PA ⊥Q 平面ABCD ,PA AD ∴⊥,2PA =Q ,23PD ∴=,又M 为PD 的中点,故3AM =,Rt MAE ∆中,6tan AE EMA AM ∠==, ∴直线ME 与平面PAD 所成角的正切值为63.【点睛】本题主要考查了面面垂直的证明以及线面角的证明与求解等.需要根据题意根据线面垂直证明线面垂直以及根据线面垂直确定线面角的正切值大小等.属于中档题. 22．已知函数2()2xk f x e x =-有两个不同的极值点1x ，2x ． （1）求实数k 的取值范围； （2）证明：122x x +>．【答案】（1）(,)e +∞（2）证明见解析【解析】（1）直接对()f x 求导，研究其极值点个数即可；（2）双变量问题，先想办法化成一个变量，转化为一元函数求值域问题，只需将12x t x =即可．【详解】解：（1）()x f x e kx '=-，()x f x e k ''=-，若0k …，则()0f x ''>恒成立，则()f x '单调递增，则()f x 至多有一个极值点，故舍去；若0k >，由()0f x ''>得x lnk >；由()0f x ''<得x lnk <，()f x '在(,)lnk -∞递减，(,)lnk +∞递增所以()(1)0f lnk k lnk '=-<，从而k e >，(0)10f '=>，1(1,)x lnk ∃∈，1()0f x '=，又(2)(2)f lnk k k lnk '=-，设2()2,()10()h k k lnk h k k e k'=-=->>，所以()h k 在(,)e +∞递增，()h k h >（e ）20e =->，2(,2)x lnk lnk ∃∈，2()0f x '=，由()0f x '>得1x x <，或2x x >，由()0f x '<得：12x x x <<，所以()f x 在1(,)x -∞递增，1(x ，2)x 递减，1(x ，)+∞递增，k e >时函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，故实数k 的取值范围为(,)e +∞．（2）1211221122()0,()0,x x f x e kx f x e kx x lnk lnx x lnk lnx ''=-==-=⇒=-=-，2211x x x lnx -=+， 设21x t x =，则2112,,11lnt tlnt x x lnt x x t t -===--，21(1)11lnt tlnt x x t t t +=+>--， 令()2(1)g t lnt tlnt t =+--，1t >，则1()1g t lnt t '=+-，1()0t g t t-''=>， 从而()()()()111,,1,10g t lnt t g t g t'=+-+∞>'>'=在递增所以时，()g t 在(1,)+∞递增，所以1t >时，()g t g >（1）0=，即1t >时，2(1)0lnt tlnt t +-->，即2(1)lnt tlnt t +>-， 故()121,2,21lnt tlntt x x t +>>+>-时即． 【点睛】本题第一问主要考察函数极值点个数问题，考察分类讨论思想；第二问考察转化思想，将两个变量通过比值代换转化为一个变量，从而利用函数性质求解，属于中档题．。

黑龙江省七台河市勃利县高级中学2021届高三数学上学期期中试题 理(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 1．若复数z 满足)1(21i z i +-=⋅，则z 的共轭复数的虚部是（ ） .A i 21- .B i 21 .C 21- .D 212．已知全集为R ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=021|x x x M ，{}1)2(ln |1<=-x x N ，则集合=)(N C M R （ ） .A []1,1- .B [)1,1- .C []2,1 .D [)2,13．若幂函数222)33(--⋅+-=m mx m m y 的图象不过原点，则m 的取值是（ ）.A 21≤≤-m .B 21==m m 或 .C 2=m .D 1=m4．设R y x ∈,，则"22"≥≥y x 且是"4"22≥+y x 的（ ）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分又不必要条件5．已知向量)2,1(=，)1,3(21=-，)3,(x =，若()//2+，则=x （ ） .A 2- .B 4- .C 3- .D 1-6．已知数列{}n a 满足)(log log 1*133N n a a n n ∈=++，9642=++a a a ，则=++)(log 97531a a a （ ）.A 51- .B 51.C 5- .D 57．已知),(y x P 为区域⎩⎨⎧≤≤≤-ax x y 0022内的任意一点，当该区域的面积为4时，y x z -=2的最大值是（ ）.A 6 .B 0 .C 2 .D 228．设⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πα，⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πβ，ββαcos sin 1tan +=，则（ ）.A 23πβα=- .B 22πβα=- .C 23πβα=+ .D 22πβα=+9．数列{}n a 满足11=a ，对任意的*N n ∈都有n a a a n n ++=+11，则=+++201621111a a a ( ) .A 20152016 .B 40322017 .C 40342017 .D 2016201710.函数()x x f y +=2是偶函数，且()12=f ，则()=-2f （ ）A.2B.3C.4D.511.在ABC ∆中，E 为AC 上一点，且4AC AE =，P 为BE 上一点，且(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则11m n+取最小值时，向量a (,)m n =的模为（ ） A ．45 B ．66 C ．65 D ．2 12．对于任意实数b a ,，定义{},min ,,a a ba b b b a≤⎧=⎨<⎩，定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()4(x f x f =+，且当20≤≤x 时，{}x x f x --=2,12m in )(，若方程0)(=-mx x f 恰有两个根，则m 的取值范围是（ ）.A {}⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛---2ln ,3131,2ln 1,1 .B ⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡--1,3131,1.C {}⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛---2ln ,2121,2ln 1,1 .D ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,3131,21第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置 13．32 0|1|_______x dx -=⎰14．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若22241c b a +=，则=cBa cos _______________ 15．已知R y x ∈,，满足64222=++y xy x ，则224yx z +=的取值范围________16.在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，且c A b B a 21cos cos =-，当)tan(B A -取最大值时，角C 的值为三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17.（本小题满分10分）已知函数2()2cos sin cos f x x a x x =+，()06f π=（1） 求实数a 的值；（2） 求函数()f x 的最小正周期及单调增区间. 18.（本小题满分12分）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且△ABC 的面积为B ac S cos 23=， （1）若a c 2=，求角A ，B ，C 的大小； （2)若a ＝2，且，求边c 的取值范围．19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是公差大于零的等差数列，数列{}n b 为等比数列，且11=a ，21=b ，122=-a b ，1333=+b a（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式（Ⅱ）设n n n b a c ⋅=，求数列{}n c 前n 项和n T20 已知函数()221()12f x m m x m =-++．（I ）若函数()lg y f x =的定义域为R ，求实数m 的取值范围；（II ）设命题:p 1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，()3f x ≥．若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围．21.（本小题满分12分）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前五项和520S =，且137,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n T 为数列11{}n n a a +的前n 项和，若存在*n N ∈，使得10n n T a λ+-≥成立． 求实数λ的取值范围．22.（本小题满分12分） 已知函数1()(2)ln 2 f x a x ax x=-++． (Ⅰ)当2a =时，求函数()f x 的极值； (Ⅱ)当0<a 时，讨论)(x f 的单调性；(Ⅲ)若对任意的[]12(3,2),,1,3a x x ∈--∈恒有12(ln3)2ln3()()m a f x f x +->-成立，求实数m 的取值范围．。