中考数学试题分类汇编 知识点03 实数的运算(含二次根式 三角函数特殊值的运算)

北京市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类一．实数的运算（共3小题）1．（2023•北京）计算：4sin60°+（）﹣1+|﹣2|﹣．2．（2022•北京）计算：（π﹣1）0+4sin45°﹣+|﹣3|．3．（2021•北京）计算：2sin60°++|﹣5|﹣（π+）0．二．整式的混合运算—化简求值（共2小题）4．（2022•北京）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x（x+2）+（x+1）2的值．5．（2021•北京）已知a2+2b2﹣1＝0，求代数式（a﹣b）2+b（2a+b）的值．三．分式的值（共1小题）6．（2023•北京）已知x+2y﹣1＝0，求代数式的值．四．一元一次方程的应用（共1小题）7．（2023•北京）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是6：4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为100cm，宽为27cm．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》）五．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）8．（2021•北京）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．六．解一元一次不等式组（共3小题）9．（2023•北京）解不等式组：．10．（2022•北京）解不等式组：．11．（2021•北京）解不等式组：．七．一次函数图象与几何变换（共1小题）12．（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象向下平移1个单位长度得到．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b 的值，直接写出m的取值范围．八．待定系数法求一次函数解析式（共1小题）13．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy 中，函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象过点（4，3），（﹣2，0），且与y 轴交于点A ．（1）求该函数的解析式及点A 的坐标；（2）当x ＞0时，对于x 的每一个值，函数y ＝x +n 的值大于函数y ＝kx +b （k ≠0）的值，直接写出n 的取值范围．九．三角形内角和定理（共1小题）14．（2022•北京）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．已知：如图，△ABC ，求证：∠A +∠B +∠C ＝180°．方法一证明：如图，过点A 作DE ∥BC ．方法二证明：如图，过点C 作CD ∥AB．一十．全等三角形的判定与性质（共1小题）15．（2022•北京）在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为△ABC 内一点，连接BD ，DC ，延长DC 到点E ，使得CE ＝DC ．（1）如图1，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF．若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；（2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2．若AB2＝AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．一十一．三角形的外接圆与外心（共1小题）16．（2021•北京）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．（1）求证：∠BAD＝∠CAD；（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE ＝3，求GC和OF的长．一十二．切线的判定（共1小题）17．（2022•北京）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD．（1）求证：∠BOD＝2∠A；（2）连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F．若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．一十三．圆的综合题（共1小题）18．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N．对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．（1）如图，点M（1，1），点N在线段OM的延长线上．若点P（﹣2，0），点Q为点P 的“对应点”．①在图中画出点Q；②连接PQ，交线段ON于点T，求证：NT＝OM；（2）⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON＝t（＜t＜1），若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．一十四．旋转的性质（共1小题）19．（2021•北京）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，M为BC的中点，点D在MC 上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE，DE．（1）比较∠BAE与∠CAD的大小；用等式表示线段BE，BM，MD之间的数量关系，并证明；（2）过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明．一十五．折线统计图（共1小题）20．（2022•北京）某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲、乙两位同学得分的折线图：b．丙同学得分：10，10，10，9，9，8，3，9，8，10c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数：同学甲乙丙平均数8.68.6m 根据以上信息，回答下列问题：（1）求表中m的值；（2）在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：在甲、乙两位同学中，评委对 的评价更一致（填“甲”或“乙”）；（3）如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是 （填“甲”“乙”或“丙”）．一十六．方差（共1小题）21．（2023•北京）某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：a.16名学生的身高：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175；b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数：平均数中位数众数166.75m n（1）写出表中m，n的值；（2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好，据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是 （填“甲组”或“乙组”）；甲组学生的身高162165165166166乙组学生的身高161162164165175（3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛，已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为 和 ．北京市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类参考答案与试题解析一．实数的运算（共3小题）1．（2023•北京）计算：4sin60°+（）﹣1+|﹣2|﹣．【答案】5．【解答】解：原式＝4×+3+2﹣2＝2+3+2﹣2＝5．2．（2022•北京）计算：（π﹣1）0+4sin45°﹣+|﹣3|．【答案】4．【解答】解：原式＝1+4×﹣2+3＝1+2﹣2+3＝4．3．（2021•北京）计算：2sin60°++|﹣5|﹣（π+）0．【答案】3+4．【解答】解：原式＝2×+2+5﹣1＝+2+5﹣1＝3+4．二．整式的混合运算—化简求值（共2小题）4．（2022•北京）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x（x+2）+（x+1）2的值．【答案】2x2+4x+1，原式＝5．【解答】解：x（x+2）+（x+1）2＝x2+2x+x2+2x+1＝2x2+4x+1，∵x2+2x﹣2＝0，∴x2+2x＝2，∴当x2+2x＝2时，原式＝2（x2+2x）+1＝2×2+1＝4+1＝5．5．（2021•北京）已知a2+2b2﹣1＝0，求代数式（a﹣b）2+b（2a+b）的值．【答案】1．【解答】解：原式＝a2﹣2ab+b2+2ab+b2＝a2+2b2，∵a2+2b2﹣1＝0，∴a2+2b2＝1，∴原式＝1．三．分式的值（共1小题）6．（2023•北京）已知x+2y﹣1＝0，求代数式的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵x+2y﹣1＝0，∴x+2y＝1，∴＝＝＝＝2，∴的值为2．四．一元一次方程的应用（共1小题）7．（2023•北京）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是6：4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为100cm，宽为27cm．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》）【答案】边的宽为4cm，天头长为24cm．【解答】解：设天头长为6x，地头长为4x，则左、右边的宽为x，根据题意得，100+10x＝4×（27+2x），解得x＝4，答：边的宽为4cm，天头长为24cm．五．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）8．（2021•北京）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣4m，c＝3m2，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4m）2﹣4×1×3m2＝4m2．∵无论m取何值时，4m2≥0，即Δ≥0，∴原方程总有两个实数根．（2）解：方法一：∵x2﹣4mx+3m2＝0，即（x﹣m）（x﹣3m）＝0，∴x1＝m，x2＝3m．∵m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，∴3m﹣m＝2，∴m＝1．方法二：设方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝4m，x1•x2＝3m2，∵x1﹣x2＝2，∴（x1﹣x2）2＝4，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝4，∴（4m）2﹣4×3m2＝4，∴m＝±1，又m＞0，∴m＝1．六．解一元一次不等式组（共3小题）9．（2023•北京）解不等式组：．【答案】1＜x＜2．【解答】解：，解不等式①得：x＞1，解不等式②得：x＜2，∴原不等式组的解集为：1＜x＜2．10．（2022•北京）解不等式组：．【答案】1＜x＜4．【解答】解：由2+x＞7﹣4x，得：x＞1，由x＜，得：x＜4，则不等式组的解集为1＜x＜4．11．（2021•北京）解不等式组：．【答案】2＜x＜4．【解答】解：解不等式4x﹣5＞x+1，得：x＞2，解不等式＜x，得：x＜4，则不等式组的解集为2＜x＜4．七．一次函数图象与几何变换（共1小题）12．（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象向下平移1个单位长度得到．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b 的值，直接写出m的取值范围．【答案】（1）y＝x﹣1．（2）≤m≤1．【解答】解：（1）函数y＝x的图象向下平移1个单位长度得到y＝x﹣1，∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象向下平移1个单位长度得到，∴这个一次函数的表达式为y＝x﹣1．（2）把x＝﹣2代入y＝x﹣1，求得y＝﹣2，∴函数y＝mx（m≠0）与一次函数y＝x﹣1的交点为（﹣2，﹣2），把点（﹣2，﹣2）代入y＝mx，求得m＝1，∵当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝x﹣1的值，∴≤m≤1．八．待定系数法求一次函数解析式（共1小题）13．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（4，3），（﹣2，0），且与y轴交于点A．（1）求该函数的解析式及点A的坐标；（2）当x＞0时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出n的取值范围．【答案】（1）y＝x+1，A（0，1）；（2）n≥1．【解答】解：（1）把（4，3），（﹣2，0）分别代入y＝kx+b得，解得，∴一次函数的解析式为y＝x+1，当x＝0时，y＝x+1＝1，∴A点坐标为（0，1）；（2）当n≥1时，当x＞0时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值大于函数y＝kx+b （k≠0）的值．九．三角形内角和定理（共1小题）14．（2022•北京）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．已知：如图，△ABC ，求证：∠A +∠B +∠C ＝180°．方法一证明：如图，过点A 作DE ∥BC ．方法二证明：如图，过点C 作CD ∥AB ．【答案】（1）见解答过程；（2）见解答过程．【解答】证明：方法一：∵DE ∥BC ，∴∠B ＝∠BAD ，∠C ＝∠CAE ，∵∠BAD +∠BAC +∠CAE ＝180°，∴∠B +∠BAC +∠C ＝180°；方法二：∵CD ∥AB ，∴∠A ＝∠ACD ，∠B +∠BCD ＝180°，∴∠B +∠ACB +∠A ＝180°．一十．全等三角形的判定与性质（共1小题）15．（2022•北京）在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为△ABC 内一点，连接BD ，DC ，延长DC 到点E ，使得CE ＝DC ．（1）如图1，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF．若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；（2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2．若AB2＝AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：在△BCD和△FCE中，，∴△BCD≌△FCE（SAS），∴∠DBC＝∠EFC，∴BD∥EF，∵AF⊥EF，∴BD⊥AF；（2）解：由题意补全图形如下：CD＝CH．证明：延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，∵AC⊥BF，BC＝CF，∴AB＝AF，由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，∵AB2＝AE2+BD2，∴AF2＝AE2+EF2，∴∠AEF＝90°，∴AE⊥EF，∴BD⊥AE，∴∠DHE＝90°，又∵CD＝CE，∴CH＝CD＝CE．一十一．三角形的外接圆与外心（共1小题）16．（2021•北京）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．（1）求证：∠BAD＝∠CAD；（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE ＝3，求GC和OF的长．【答案】（1）证明见解答过程；（2）GC＝6，OF＝．【解答】（1）证明：∵AD是⊙O的直径，AD⊥BC，∴＝，∴∠BAD＝∠CAD；（2）解：在Rt△BOE中，OB＝5，OE＝3，∴BE＝＝4，∵AD是⊙O的直径，AD⊥BC，∴BC＝2BE＝8，∵BG是⊙O的直径，∴∠BCG＝90°，∴GC＝＝6，∵AD⊥BC，∠BCG＝90°，∴AE∥GC，∴△AFO∽△CFG，∴＝，即＝，解得：OF＝．一十二．切线的判定（共1小题）17．（2022•北京）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD．（1）求证：∠BOD＝2∠A；（2）连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F．若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）如图，连接AD，∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∴，∴∠CAB＝∠BAD，∵∠BOD＝2∠BAD，∴∠BOD＝2∠A；（2）如图，连接OC，∵F为AC的中点，∴DF⊥AC，∴AD＝CD，∴∠ADF＝∠CDF，∵，∴∠CAB＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠CDF＝∠CAB，∵OC＝OD，∴∠CDF＝∠OCD，∴∠OCD＝∠CAB，∵，∴∠CAB＝∠CDE，∴∠CDE＝∠OCD，∵∠E＝90°，∴∠CDE+∠DCE＝90°，∴∠OCD+∠DCE＝90°，即OC⊥CE，∵OC为半径，∴直线CE为⊙O的切线．一十三．圆的综合题（共1小题）18．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N．对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．（1）如图，点M（1，1），点N在线段OM的延长线上．若点P（﹣2，0），点Q为点P 的“对应点”．①在图中画出点Q；②连接PQ，交线段ON于点T，求证：NT＝OM；（2）⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON＝t（＜t＜1），若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）①由题意知，P'（﹣2+1，0+1），∴P'（﹣1，1），如图，点Q即为所求；②连接PP'，∵∠P'PO＝∠MOx＝45°，∴PP'∥ON，∵P'N＝QN，∴PT＝QT，∴NT＝PP'，∵PP'＝OM，∴NT＝OM；（2）如图，连接PO，并延长至S，使OP＝OS，延长SQ到T，使ST＝OM，由题意知，PP'∥OM，PP'＝OM，P'N＝NQ，∴TQ＝2MN，∵MN＝OM﹣ON＝1﹣t，∴TQ＝2﹣2t，∴SQ＝ST﹣TQ＝1﹣（2﹣2t）＝2t﹣1，∵PS﹣QS≤PQ≤PS+QS，∴PQ的最小值为PS﹣QS，PQ的最大值为PS+QS，∴PQ长的最大值与最小值的差为（PS+QS）﹣（PS﹣QS）＝2QS＝4t﹣2．一十四．旋转的性质（共1小题）19．（2021•北京）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，M为BC的中点，点D在MC 上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE，DE．（1）比较∠BAE与∠CAD的大小；用等式表示线段BE，BM，MD之间的数量关系，并证明；（2）过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明．【答案】（1）∠BAE＝∠CAD，BE+MD＝BM；（2）EN＝DN．【解答】解：（1）∵∠DAE＝∠BAC＝α，∴∠DAE﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD，即∠BAE＝∠CAD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∵M为BC的中点，∴BM＝CM，∴BE+MD＝BM；（2）如图，作EH⊥AB交BC于H，交AB于F，由（1）△ABE≌△ACD得：∠ABE＝∠ACD，∵∠ACD＝∠ABC，∴∠ABE＝∠ABD，在△BEF和△BHF中，，∴△BEF≌△BHF（ASA），∴BE＝BH，由（1）知：BE+MD＝BM，∴MH＝MD，∵MN∥HF，∴，∴EN＝DN．一十五．折线统计图（共1小题）20．（2022•北京）某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲、乙两位同学得分的折线图：b．丙同学得分：10，10，10，9，9，8，3，9，8，10c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数：同学甲乙丙平均数8.68.6m 根据以上信息，回答下列问题：（1）求表中m的值；（2）在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：在甲、乙两位同学中，评委对　甲　的评价更一致（填“甲”或“乙”）；（3）如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是　丙　（填“甲”“乙”或“丙”）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）m＝×（10+10+10+9+9+8+3+9+8+10）＝8.6；（2）甲同学的方差S2甲＝×[2×（7﹣8.6）2+2×（8﹣8.6）2+4×（9﹣8.6）2+2×（10﹣8.6）2]＝1.04，乙同学的方差S2乙＝×[4×（7﹣8.6）2+2×（9﹣8.6）2+4×（10﹣8.6）2]＝1.84，∵S2甲＜S2乙，∴评委对甲同学演唱的评价更一致．故答案为：甲；（3）甲同学的最后得分为×（7+8×2+9×4+10）＝8.625；乙同学的最后得分为×（3×7+9×2+10×3）＝8.625；丙同学的最后得分为×（8×2+9×3+10×3）＝9.125，∴在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是丙．故答案为：丙．一十六．方差（共1小题）21．（2023•北京）某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：a.16名学生的身高：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175；b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数：平均数中位数众数166.75m n（1）写出表中m，n的值；（2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好，据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是　甲组　（填“甲组”或“乙组”）；甲组学生的身高162165165166166乙组学生的身高161162164165175（3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛，已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为　170　和　172　．【答案】（1）166；165；（2）甲组；（3）170，172．【解答】解：（1）数据按由小到大的顺序排序：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175，则舞蹈队16名学生的中位数为m＝＝166，众数为n＝165；（2）甲组学生身高的平均值是：＝164.8，甲组学生身高的方差是：×[（164.8﹣162）2+（164.8﹣165）2+（164.8﹣165）2+（164.8﹣166）2+（164.8﹣166）2]＝2.16，乙组学生身高的平均值是：＝165.4，乙组学生身高的方差是：×[（165.4﹣161）2+（165.4﹣162）2+（165.4﹣164）2+（165.4﹣165）2+（165.4﹣175）2]＝25.04，∵25.04＞2.6，∴甲组舞台呈现效果更好．故答案为：甲组；（3）∵168，168，172的平均数为（168+168+172）＝169，且所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，∴数据的差别较小，可供选择的有170，172，平均数为：（168+168+170+172+172）＝170，方差为：[（168﹣170）2+（168﹣170）2+（170﹣170）2+（172﹣170）2+（172﹣170）2]＝3.2＜，∴选出的另外两名学生的身高分别为170和172．故答案为：170，172．。

江苏省宿迁市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类一．实数的运算（共1小题）1．（2023•宿迁）计算：．二．分式的化简求值（共1小题）2．（2023•宿迁）先化简，再求值：，其中．三．二次函数的应用（共1小题）3．（2023•宿迁）某商场销售A、B两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出A 种20件，B种10件，销售总额为840元；如果售出A种10件，B种15件，销售总额为660元．（1）求A、B两种商品的销售单价；（2）经市场调研，A种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；B种商品的售价不变，A种商品售价不低于B种商品售价．设A种商品降价m元，如果A、B两种商品销售量相同，求m取何值时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？四．二次函数综合题（共3小题）4．（2023•宿迁）规定：若函数y1的图象与函数y2的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．（1）下列三个函数①y＝x+1；②；③y＝﹣x2+1，其中与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是 （填写序号）；（2）若函数与互为“兄弟函数”，x＝1是其中一个“兄弟点”的横坐标．①求实数a的值；②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是 、 ；（3）若函数y1＝|x﹣m|（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，求的取值范围．5．（2022•宿迁）如图，二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．（1）求二次函数的表达式；（2）①求证：△OCD∽△A′BD；②求的最小值；（3）当S△OCD＝8S△A'BD时，求直线A′B与二次函数的交点横坐标．6．（2021•宿迁）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y 轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．（1）求抛物线的表达式；（2）如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ＝∠CBA+45°时，求点P的坐标；（3）如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作x轴的垂线交BC 于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长．五．三角形综合题（共1小题）7．（2023•宿迁）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图①，即∠CEF＝∠AEF）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离CD＝1.7m，BE＝20m，DE＝2m，求建筑物AB的高度；【活动探究】观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图②）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至E1处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出DE1＝2m；再将镜子移动至E2处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出DE2＝3.4m．经测得，小军的眼睛离地面距离CD＝1.7m，BD＝10m，求这个广告牌AG的高度；【应用拓展】小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图③）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离CD＝1.7m），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出DE＝2.8m；③测出坡长AD＝17m；④测出坡比为8：15（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．六．四边形综合题（共1小题）8．（2021•宿迁）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．（1）如图①，连接BG、CF，求的值；（2）当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；（3）连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE＝6，请直接写出线段QN 扫过的面积．七．直线与圆的位置关系（共1小题）9．（2022•宿迁）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC 交于点D．（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝4，求图中阴影部分的面积．八．切线的判定与性质（共1小题）10．（2023•宿迁）（1）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，点E在AC上，连接DE、DB， ．求证： ；从①DE与⊙O相切；②DE⊥AC中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写序号），并完成证明过程；（2）在（1）的前提下，若AB＝6，∠BAD＝30°，求阴影部分的面积．九．圆的综合题（共1小题）11．（2022•宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、M均为格点．【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段AB、CD，相交于点P并给出部分说理过程，请你补充完整：解：在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE．在Rt△ABC中，tan∠BAC＝，在Rt△CDE中， ，所以tan∠BAC＝tan∠DCE．所以∠BAC＝∠DCE．因为∠ACP+∠DCE＝∠ACB＝90°，所以∠ACP+∠BAC＝90°，所以∠APC＝90°，即AB⊥CD．【拓展应用】（1）如图②是以格点O为圆心，AB为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在上找出一点P，使＝，写出作法，并给出证明；（2）如图③是以格点O为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦AB上找出一点P．使AM2＝AP•AB，写出作法，不用证明．一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）12．（2021•宿迁）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）．一十一．列表法与树状图法（共1小题）13．（2021•宿迁）即将举行的2022年杭州亚运会吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，将三张正面分别印有以上3个吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上、洗匀．（1）若从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是 ．（2）若先从中任意抽取1张，记录后放回，洗匀，再从中任意抽取1张，求两次抽取的卡片图案相同的概率．（请用树状图或列表的方法求解）江苏省宿迁市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类参考答案与试题解析一．实数的运算（共1小题）1．（2023•宿迁）计算：．【答案】0．【解答】解：原式＝，＝0．二．分式的化简求值（共1小题）2．（2023•宿迁）先化简，再求值：，其中．【答案】x﹣1；．【解答】解：＝＝＝x﹣1，当时，原式＝．三．二次函数的应用（共1小题）3．（2023•宿迁）某商场销售A、B两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出A 种20件，B种10件，销售总额为840元；如果售出A种10件，B种15件，销售总额为660元．（1）求A、B两种商品的销售单价；（2）经市场调研，A种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；B种商品的售价不变，A种商品售价不低于B种商品售价．设A种商品降价m元，如果A、B两种商品销售量相同，求m取何值时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）A种商品的销售单价为30元，B种商品的销售单价为24元；（2）m取5时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大，最大利润是810元．【解答】解：（1）设A种商品的销售单价为a元，B种商品的销售单价为b元，由题意可得：，解得，答：（2）设利润为w元，由题意可得：w＝（30﹣m﹣20）（40+10m）+（24﹣20）（40+10m）＝﹣10（m﹣5）2+810，∵A种商品售价不低于B种商品售价，∴30﹣m≥24，解得m≤6，∴当m＝5时，w取得最大值，此时w＝810，答：m取5时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大，最大利润是810元．四．二次函数综合题（共3小题）4．（2023•宿迁）规定：若函数y1的图象与函数y2的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．（1）下列三个函数①y＝x+1；②；③y＝﹣x2+1，其中与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是　②　（填写序号）；（2）若函数与互为“兄弟函数”，x＝1是其中一个“兄弟点”的横坐标．①求实数a的值；②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是 、 ；（3）若函数y1＝|x﹣m|（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，求的取值范围．【答案】（1）②；（2）①2；②，；（3）＞16．【解答】解：（1）如图：由图可知，与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3有3个交点的是y＝﹣，∴与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是②，故答案为：②；（2）①把x＝1代入得y＝﹣1，把x＝1，y＝﹣1代入函数得，a＝2；②∵2x2﹣5x+2＝﹣，∴2x3﹣5x2+2x+1＝0，∴2x3﹣2x2﹣2x2+2x﹣x2+1＝0，∴（2x3﹣2x2）﹣（2x2﹣2x）﹣（x2﹣1）＝0，∴2x2（x﹣1）﹣2x（x﹣1）﹣（x+1）（x﹣1）＝0，∴（x﹣1）（2x2﹣2x﹣x﹣1）＝0，∴2x2﹣3x﹣1＝0，∴x＝或x＝．故答案为：，．（3）x1满足方程﹣x+m＝﹣，即﹣mx1＝2，x2，x3满足方程x﹣m＝﹣，即x2，x3是方程x2﹣mx+2＝0的两个根，∴Δ＝m2﹣8＞0，即m2＞8，x2+x3＝m，∴＝（m﹣2x1）2＝m2﹣4mx1+4＝m2+4（﹣mx1）＝m2+8＞16．5．（2022•宿迁）如图，二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．（1）求二次函数的表达式；（2）①求证：△OCD∽△A′BD；②求的最小值；（3）当S△OCD＝8S△A'BD时，求直线A′B与二次函数的交点横坐标．【答案】（1）y＝x2﹣2x；（2）①证明见解答；②；（3）．【解答】（1）解：∵二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，∴二次函数的解析式为：y＝（x﹣0）（x﹣4）＝x2﹣2x；（2）①证明：如图1，由翻折得：∠OAC＝∠A'，由对称得：OC＝AC，∴∠AOC＝∠OAC，∴∠COA＝∠A'，∵∠A'DB＝∠ODC，∴△OCD∽△A′BD；②解：∵△OCD∽△A′BD，∴＝，∵AB＝A'B，∴＝，∴的最小值就是的最小值，y＝x2﹣2x＝（x﹣2）2﹣2，∴C（2，﹣2），∴OC＝2，∴当CD⊥OA时，CD最小，的值最小，当CD＝2时，的最小值为＝；（3）解法一：∵S△OCD＝8S△A'BD，∴S△OCD：S△A'BD＝8，∵△OCD∽△A′BD，∴＝（）2＝8，∴＝2，∵OC＝2，∴A'B＝AB＝1，∴BF＝2﹣1＝1，如图2，连接AA'，过点A'作A'G⊥OA于G，延长CB交AA'于H，设抛物线的对称轴与x 轴交于点F，由翻折得：AA'⊥CH，∵∠AHB＝∠BFC＝90°，∠ABH＝∠CBD，∴∠BCF＝∠BAH，tan∠BCF＝tan∠GAA'，∴＝＝，设A'G＝a，则AG＝2a，BG＝2a﹣1，在Rt△A'GB中，由勾股定理得：BG2+A'G2＝A'B2，∴a2+（2a﹣1）2＝12，∴a1＝0（舍），a2＝，∴BG＝2a﹣1＝﹣1＝，∵A'G∥OQ，∴△A'GB∽△QOB，∴＝，即＝，∴OQ＝4，∴Q（0，4），设直线A'B的解析式为：y＝kx+m，∴，解得：，∴直线A'B的解析式为：y＝﹣x+4，∴﹣x+4＝x2﹣2x，3x2﹣4x﹣24＝0，解得：x＝，∴直线A′B与二次函数的交点横坐标是．（3）解法二：如图3，过点M作MH⊥OA于H，∵△OCD∽△A′BD，∴＝＝＝2，∵OC＝2，∴A'B＝AB＝1，设BD＝t，则CD＝2t，∴A'D＝2﹣2t，OD＝2A'D＝8﹣8t，∵OB＝OD+BD＝4﹣1＝3，∴8﹣8t+t＝3，∴t＝，∴A'D＝2﹣＝，∵A'B＝AB，∠A'＝∠OAC，∠A'BD＝∠ABN，∴△A'BD≌△ABM（ASA），∴AM＝A'D＝，∵△AHM是等腰直角三角形，∴AH＝MH＝，∴M（，﹣），易得BM的解析式为：y＝﹣x+4，∴﹣x+4＝x2﹣2x，解得：3x2﹣4x﹣24＝0，解得：x＝，∴直线A′B与二次函数的交点横坐标是．6．（2021•宿迁）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y 轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．（1）求抛物线的表达式；（2）如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ＝∠CBA+45°时，求点P的坐标；（3）如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作x轴的垂线交BC 于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长．【答案】（1）y＝；（2）P的坐标是（6，﹣7）；（3）当FP＝FH时，PH＝；当PF＝PH时，PH＝；当HF＝HP时，PH＝；【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），B（4，0）是抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点，且二次项系数a＝，∴根据抛物线的两点式知，y＝．（2）根据抛物线表达式可求C（0，2），即OC＝2．∴＝＝2，∵∠AOC＝∠COB＝90°，∴△AOC∽△COB，∴∠ACO＝∠CBO，∴∠QAB＝∠QAC+∠CAO＝∠CBA+45°+∠CAO＝∠ACO+∠CAO+45°＝135°，∴∠BAP＝180°﹣∠QAB＝45°，设P（m，n），且过点P作PD⊥x轴于D，则△ADP是等腰直角三角形，∴AD＝PD，即m+1＝﹣n①，又∵P在抛物线上，∴②，联立①②两式，解得m＝6（﹣1舍去），此时n＝﹣7，∴点P的坐标是（6，﹣7）．（3）设PH与x轴的交点为Q1，P（a，），则H（a，），PH＝，若FP＝FH，则∠FPH＝∠FHP＝∠BHQ1＝∠BCO，∴tan∠APQ1＝tan∠BCO＝2，∴AQ1＝2PQ1，即a+1＝2（），解得a＝3（﹣1舍去），此时PH＝．若PF＝PH，过点F作FM⊥y轴于点M，∴∠PFH＝∠PHF，∵∠CFA＝∠PFH，∠Q1HB＝∠PHF，∴∠CFA＝∠Q1HB，又∵∠ACF＝∠BQ1H＝90°，∴△ACF∽△BQ1H，∴CF＝AC＝，在Rt△CMF中，MF＝1，CM＝，F（1，），∴AF：，将上式和抛物线解析式联立并解得x＝（﹣1舍去），此时PH＝．若HF＝HP，过点C作CE∥AB交AP于点E（见上图），∵∠CAF+∠CFA＝90°，∠PAQ+∠HPF＝90°，∠CFA＝∠HFP＝∠HPF，∴∠CAF＝∠PAQ1，即AP平分∠CAB，∴CE＝CA＝，∴E（，2），∴AE：，联立抛物线解析式，解得x＝5﹣（﹣1舍去）．此时PH＝．∴当FP＝FH时，PH＝；当PF＝PH时，PH＝；当HF＝HP时，PH＝；五．三角形综合题（共1小题）7．（2023•宿迁）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图①，即∠CEF＝∠AEF）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离CD＝1.7m，BE＝20m，DE＝2m，求建筑物AB的高度；【活动探究】观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图②）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至E1处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出DE1＝2m；再将镜子移动至E2处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出DE2＝3.4m．经测得，小军的眼睛离地面距离CD＝1.7m，BD＝10m，求这个广告牌AG的高度；【应用拓展】小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图③）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离CD＝1.7m），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出DE＝2.8m；③测出坡长AD＝17m；④测出坡比为8：15（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．【答案】【问题背景】17m；【活动探究】3.5m；【应用拓展】信号塔AB的高度约为20m．【解答】解：【问题背景】由题意得：AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD，∴∠ABE＝∠CDE＝∠FEB＝∠FED＝90°，∵∠CEF＝∠AEF，∴∠FEB﹣∠AEF＝∠FED﹣∠CEF，即∠AEB＝∠CED，∴△AEB∽△CED，∴＝，∴AB＝＝＝17（m），答：建筑物AB的高度为17m；【活动探究】如图②，过点E1作E1F⊥BD，过点E2作E2H⊥BD，由题意得：GB⊥BD，CD⊥BD，∴∠GBE1＝∠CDE1＝∠ABE2＝∠CDE2＝∠FE1B＝∠FE1D＝∠HE2B＝∠HE2D＝90°，∵∠CE2H＝∠AE2H，∠CE1F＝∠GE1F，∴∠FE1B﹣∠GE1F＝∠FE1D﹣∠CE1F，∠HE2B﹣∠AE2H＝∠HE2D﹣∠CE2H，即∠GE1B＝∠CE1D，∠AE2B＝∠CE2D，∴△GE1B∽△CE1D，△AE2B∽△CE2D，∴＝，＝，∴BE1＝BD﹣DE1＝10﹣2＝8（m），BE2＝BD﹣DE2＝10﹣3.4＝6.6（m），∴GB＝＝＝6.8（m），AB＝＝＝3.3（m），∴AG＝GB﹣AB＝6.8﹣3.3＝3.5（m），答：这个广告牌AG的高度为3.5m；【应用拓展】如图，过点B作BM⊥AD于点M，过点C作CN⊥AD于点N，由题意得：BG⊥DG，CD⊥DG，∴∠AGD＝∠CDG＝∠BMA＝∠CND＝90°，∵∠BAM＝∠GAD，∴90°﹣∠BAM＝90°﹣∠GAD，即∠ABM＝∠ADG，∵∠ADG+∠DAG＝90°，∠ADG+∠CDN＝90°，∴∠CDN＝∠DAG，∴90°﹣∠CDN＝90°﹣∠DAG，即∠DCN＝∠ADG，∴∠DCN＝∠ADG＝∠ABM，∴△DCN∽△ABM，∴＝，由题意得：AE＝AD﹣DE＝17﹣2.8＝14.2（m），∵tan∠ADG＝，∴tan∠DCN＝＝，tan∠ABM＝＝，设DN＝am，AM＝bm，则CN＝，BM＝，∵CN2+DN2＝CD2，∴（）2+a2＝1.72，解得：a＝0.8（m）（负值已舍去），∴EN＝DE﹣DN＝2.8﹣0.8＝2（m），CN＝＝1.5（m），∴＝，∴AB＝，同【问题背景】得：△BME∽△CNE，∴＝，∴＝，解得：b＝（m），∴AB＝×≈20（m），答：信号塔AB的高度约为20m．六．四边形综合题（共1小题）8．（2021•宿迁）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．（1）如图①，连接BG、CF，求的值；（2）当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；（3）连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE＝6，请直接写出线段QN 扫过的面积．【答案】（1）＝；（2）BE＝2MN，MN⊥BE，理由见解析过程；（3）9π．【解答】解：（1）如图①，连接AF，AC，∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，∴AC＝AB，AF＝AG，∠CAB＝∠GAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠CAF＝∠BAG，，∴△CAF∽△BAG，∴＝；（2）BE＝2MN，MN⊥BE，理由如下：如图②，连接ME，过点C作CH∥EF，交直线ME于H，连接BH，设CF 与AD交点为P，CF与AG交点为R，∵CH∥EF，∴∠FCH＝∠CFE，∵点M是CF的中点，∴CM＝MF，又∵∠CMH＝∠FME，∴△CMH≌△FME（ASA），∴CH＝EF，ME＝HM，∴AE＝CH，∵CH∥EF，AG∥EF，∴CH∥AG，∴∠HCF＝∠CRA，∵AD∥BC，∴∠BCF＝∠APR，∴∠BCH＝∠BCF+∠HCF＝∠APR+∠ARC，∵∠DAG+∠APR+∠ARC＝180°，∠BAE+∠DAG＝180°，∴∠BAE＝∠BCH，又∵BC＝AB，CH＝AE，∴△BCH≌△BAE（SAS），∴BH＝BE，∠CBH＝∠ABE，∴∠HBE＝∠CBA＝90°，∵MH＝ME，点N是BE中点，∴BH＝2MN，MN∥BH，∴BE＝2MN，MN⊥BE；（3）如图③，取AB中点O，连接ON，OQ，AF，∵AE＝6，∴AF＝6，∵点N是BE的中点，点Q是BF的中点，点O是AB的中点，∴OQ＝AF＝3，ON＝AE＝3，∴点Q在以点O为圆心，3为半径的圆上运动，点N在以点O为圆心，3为半径的圆上运动，∴线段QN扫过的面积＝π×（3）2﹣π×32＝9π．七．直线与圆的位置关系（共1小题）9．（2022•宿迁）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC 交于点D．（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝4，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）直线AC与⊙O相切，理由见解答；（2）6﹣π．【解答】解：（1）直线AC与⊙O相切，理由如下：∵∠ABC＝45°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝45°，∴∠BAC＝180°﹣2×45°＝90°，∴BA⊥AC，∵AB是⊙O的直径，∴直线AC与⊙O相切；（2）连接OD，AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∠AOD＝90°，∵AO＝OB，AB＝4，∴S△ABD＝•AB•OD＝×4×2＝4，∴图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S△BOD﹣S扇形OAD＝×4×4﹣×4﹣＝8﹣2﹣π＝6﹣π．八．切线的判定与性质（共1小题）10．（2023•宿迁）（1）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，点E在AC上，连接DE、DB，　①（答案不唯一）　．求证：　②（答案不唯一）　；从①DE与⊙O相切；②DE⊥AC中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写序号），并完成证明过程；（2）在（1）的前提下，若AB＝6，∠BAD＝30°，求阴影部分的面积．【答案】（1）①（答案不唯一）；②（答案不唯一）；证明过程见解答；（2）阴影部分的面积为．【解答】解：（1）若选择：①作为条件，②作为结论，如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，点E在AC上，连接DE、DB，DE与⊙O相切，求证：DE⊥AC，证明：连接OD，∵DE与⊙O相切于点D，∴∠ODE＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ADO，∴∠EAD＝∠ADO，∴AE∥DO，∴∠AED＝180°﹣∠ODE＝90°，∴DE⊥AC；若选择：②作为条件，①作为结论，如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，点E在AC上，连接DE、DB，DE⊥AC，求证：DE与⊙O相切，证明：连接OD，∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ADO，∴∠EAD＝∠ADO，∴AE∥DO，∴∠ODE＝180°﹣∠AED＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴DE与⊙O相切；故答案为：①（答案不唯一）；②（答案不唯一）；（2）连接OF，DF，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝6，∠BAD＝30°，∴BD＝AB＝3，AD＝BD＝3，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠DAB＝30°，在Rt△AED中，DE＝AD＝，AE＝DE＝，∵∠EAD＝∠DAB＝30°，∴∠DOB＝2∠DAB＝60°，∠DOF＝2∠EAD＝60°，∵OD＝OF，∴△DOF都是等边三角形，∴∠ODF＝60°，∴∠DOB＝∠ODF＝60°，∴DF∥AB，∴△ADF的面积＝△ODF的面积，∴阴影部分的面积＝△AED的面积﹣扇形DOF的面积＝AE•DE﹣＝××﹣＝﹣＝，∴阴影部分的面积为．九．圆的综合题（共1小题）11．（2022•宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、M均为格点．【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段AB、CD，相交于点P并给出部分说理过程，请你补充完整：解：在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE．在Rt△ABC中，tan∠BAC＝，在Rt△CDE中，　tan∠DCE＝　，所以tan∠BAC＝tan∠DCE．所以∠BAC＝∠DCE．因为∠ACP+∠DCE＝∠ACB＝90°，所以∠ACP+∠BAC＝90°，所以∠APC＝90°，即AB⊥CD．【拓展应用】（1）如图②是以格点O为圆心，AB为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在上找出一点P，使＝，写出作法，并给出证明；（2）如图③是以格点O为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦AB上找出一点P．使AM2＝AP•AB，写出作法，不用证明．【答案】【操作探究】tan∠DCE＝；【拓展应用】（1）见解析部分；（2）见解析部分．【解答】解：【操作探究】在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE．在Rt△ABC中，tan∠BAC＝，在Rt△CDE中，tan∠DCE＝，所以tan∠BAC＝tan∠DCE．所以∠BAC＝∠DCE．因为∠ACP+∠DCE＝∠ACB＝90°，所以∠ACP+∠BAC＝90°，所以∠APC＝90°，即AB⊥CD．故答案为：tan∠DCE＝；【拓展应用】（1）如图②中，点P即为所求．作法：取格点T，连接AT交⊙O于点P，点P即为所求；证明：由作图可知，OM⊥AP，OM是半径，∴＝；（2）如图③中，点P即为所求．作法：取格点J，K，连接JK交AB于点P，点P即为所求．一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）12．（2021•宿迁）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）．【答案】约为14米．【解答】解：过A作AC⊥PQ，交PQ的延长线于C，如图所示：设AC＝x米，由题意得：PQ＝5米，∠APC＝30°，∠BQC＝45°，在Rt△APC中，tan∠APC＝＝tan30°＝，∴PC＝AC＝x（米），在Rt△BCQ中，tan∠BQC＝＝tan45°＝1，∴QC＝BC＝AC+AB＝（x+3）米，∵PC﹣QC＝PQ＝5米，∴x﹣（x+3）＝5，解得：x＝4（+1），∴BC＝4（+1）+3＝4+7≈14（米），答：无人机飞行的高度约为14米．一十一．列表法与树状图法（共1小题）13．（2021•宿迁）即将举行的2022年杭州亚运会吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，将三张正面分别印有以上3个吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上、洗匀．（1）若从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是 ．（2）若先从中任意抽取1张，记录后放回，洗匀，再从中任意抽取1张，求两次抽取的卡片图案相同的概率．（请用树状图或列表的方法求解）【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是，故答案为：；（2）把吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”三张卡片分别记为A、B、C，画树状图如图：共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片图案相同的结果有3种，∴两次抽取的卡片图案相同的概率为＝．。

第二讲 实数的运算课前考点突破【考点1】平方根、算术平方根、立方根1.开方定义：如果a x =2且a ≥0，那么x ＝ ；如果a x =3，那么x ＝ . 2.正数有 个平方根，它们互为 ；0的平方根是 ；负数 平方根.3.符号a 只有当 时有意义；如果a 有意义，那么包含两个非负性质：a 0；a 0.4.正数的立方根是 数，负数的立方根是 数，0的立方根是 . 【考点2】二次根式1.二次根式的意义：形如 的代数式叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O.2.最简二次根式满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式. ①被开方数的因数是 ，因式是整式. ②被开方数中不含能开的尽方的 和 . 3.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果 相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式. 4.二次根式的性质①()=2a （a ≥0）； ②=2a ⎪⎩⎪⎨⎧= ③=ab （a ≥0，b ≥0）； ④=ba（a ≥0，b ＞0）. 【考点3】实数的运算 1.加法同号两数相加，取原来的符号，并把 相加；异号两数相加.取绝对值较 的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 任何数与零相加等于 . 2.减法减去一个数等于加上这个数的 . 3.乘法两数相乘，同号得 ，异号得 ，并把 相乘；任何数与零相乘，都得 . 4.除法除以一个数等于乘以这个数的 . 5.乘方正数的任何次幂都是 ；负数的偶次幂是 ，奇次幂是 ；0的任何次幂（0除外）都 (a ＞0)， (a ＝0)， (a ＜0)；是 ；任何非零数a 的偶次幂为 . 6. 实数的运算律（1）加法交换律： ； （2）加法结合律： ； （3）乘法交换律： ； （4）乘法结合律： ； （5）乘法分配律： . 【考点4】比较实数的大小1.求差法——设a ，b 为任意两个实数，先求出a 与b 的差，再根据“当a -b<0时，a <b ；当a-b=0时，a =b ；当a -b>0时，a >b.”来比较a 与b 的大小.2.求商法——设a ，b 为任意正两个实数，先求出a 与b 的商，再根据“当b a <1时，a <b ；当ba=1时，a =b ；当ba>1时，a >b.”来比较a 与b 的大小. 3.倒数法——设a ，b 为任意两个正实数，先分别求出a 与b 的倒数，再根据“当a 1<b 1时，a>b ；当a 1>b1 时，a <b.”来比较a 与b 的大小.4.估算法——设a ，b 为任意两个正实数，先估算出a, b 两数或两数中某部份的取值范围，再进行比较.5.平方法——比较含有无理数的式子的大小时，先将要比较的两个数分别平方，再根据“在a ＞0，b ＞0时，可由a 2＞b 2得到a ＞b ”比较大小.也就是说，两个正数比较大小时，如果一个数的平方比另一个数的平方大，则这个数大于另一个数。

考点三实数的运算知识点整合(1)实数的加减法则.注意异号两数相加时,取“绝对值较大”的数的“符号”.(2)实数的乘除法则.注意“异号”得“负”，除法中的除数不等于0.两数的积为0,则两数中至少有一个为0.(3)实数的乘方开方运算中,乘方时,注意底数相同,开平方时,被开方数为非负数.(4)实数的混合运算中,在同一个式子里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减．有括号时，先算括号里面．(5)实数的运算律:加法交换律、结合律,乘法交换律、结合律、分配律.(6)熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等的运算.注意运算顺序，分清先算什么，再算什么.考向一实数的综合运算典例引领(1)在数轴上，把点A向左平移4个单位长度得到点B，求点(2)若点C表示的数是B所表示数的相反数，求点C表示的数；点左侧个单位长度，14．一个数值转换器，如图所示：(1)当输入的x为16时，输出的y值是______；(2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的(1)当输入的x为16时，输出的y值是______．(2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出满足要求的(1)当输入的x值为2-时，求输出的y值；(2)若输入有意义的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的(1)当输入的x值为16时，输出的y值是______；(2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，则所有满足要求的(1)请用含有(n n 为正整数)的等式n S (2)推算出10OA =______．(3)求出222212310S S S S +++⋯+的值．【答案】(1)n(1)A类正方形的边长是________；(2)求长方形邀请函的周长；(3)小李建议将图1正中间的正方形去掉，以中间的C类长方形的长为D类长方形的长为∴阴影部分的周长为(1)当m=1时，输出的结果为(2)计算：()()5134i i i +-+；(3)计算：234i i i i ++++⋯+2023i ．【答案】(1)3i-(2)7(3)1-【分析】（1）3233i i i =⨯⨯，据此即可求解；（2）利用材料所给乘法运算和乘方运算法则即可求解；（3）23451,,,1,...i i i i i i i i ==-===-据此可找到规律求解．【详解】（1）解：()3213333i i i ii =⨯⨯=⨯-⨯=-故答案为：3i-（2）解：原式2223434i i i i i i=-+-+⨯⨯34i i=-++7=（3）解：由题意可得：23451,,,1,...i i i i i i i i ==-===-∵20234505 (3)÷=∴原式()()115051i i i i =--+⨯+--01=-1=-【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了学生举一反三以及抽象概括能力．9．【阅读】求值2341012222+++++…+2解：设23410122222S =++++++…①，将等式①的两边同时乘以2得：2345112222222S =+++++⋯+②由②－①得：11221S S -=-即：234101112222221S =+=+++⋯+=-【运用】仿照此法计算：2310015555+++++ ；【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为1S ，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形2S ，依次操完成下列问题：①小正方形的面积1S②求正方形1S、2S、10151-(1)当x为9时，y值为(2)如果输入0和1，(1)若输入的x值为3，则输出的y值为________；若输入的x值为9，则输出的y值为________(2)若输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为6，求输入的x的值．(1)当输入的x值为4时，输出的y值为；当输入的x值为16时，输出的(2)输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为3。

福建省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类一．实数的运算（共2小题）1．（2023•福建）计算：﹣20+|﹣1|．2．（2021•福建）计算：．二．分式的化简求值（共2小题）3．（2023•福建）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．4．（2022•福建）先化简，再求值：（1+）÷，其中a＝+1．三．零指数幂（共1小题）5．（2022•福建）计算：+|﹣1|﹣20220．四．二元一次方程组的应用（共1小题）6．（2022•福建）在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍．已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元．（1）采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆？（2）规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值．五．解一元一次不等式组（共2小题）7．（2023•福建）解不等式组：．8．（2021•福建）解不等式组：．六．一次函数的应用（共1小题）9．（2021•福建）某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是70元，批发一箱该农产品的利润是40元．（1）已知该公司某月卖出100箱这种农产品共获利润4600元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？（2）经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的30%．现该公司要经营1000箱这种农产品，问：应如何规划零售和批发的数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少？七．全等三角形的判定与性质（共3小题）10．（2022•福建）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：∠A＝∠D．11．（2021•福建）如图，在△ABC中，D是边BC上的点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE＝DF，CE＝BF．求证：∠B＝∠C．12．（2023•福建）如图，OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB．求证：AB＝CD．八．切线的性质（共1小题）13．（2023•福建）如图，已知△ABC内接于⊙O，CO的延长线交AB于点D，交⊙O于点E，交⊙O的切线AF于点F，且AF∥BC．（1）求证：AO∥BE；（2）求证：AO平分∠BAC．九．弧长的计算（共1小题）14．（2022•福建）如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．（1）求证：AC＝AF；（2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）．一十．作图—复杂作图（共1小题）15．（2021•福建）如图，已知线段MN＝a，AR⊥AK，垂足为A．（1）求作四边形ABCD，使得点B，D分别在射线AK，AR上，且AB＝BC＝a，∠ABC ＝60°，CD∥AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设P，Q分别为（1）中四边形ABCD的边AB，CD的中点，求证：直线AD，BC，PQ相交于同一点．一十一．解直角三角形（共1小题）16．（2022•福建）如图，BD是矩形ABCD的对角线．（1）求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A 相切于点G，求tan∠ADB的值．一十二．列表法与树状图法（共1小题）17．（2021•福建）“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马A1，B1，C1，田忌也有上、中、下三匹马A2，B2，C2，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：A1＞A2＞B1＞B2＞C1＞C2（注：A＞B表示A 马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（C2A1，A2B1，B2C1）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例．假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率．福建省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类参考答案与试题解析一．实数的运算（共2小题）1．（2023•福建）计算：﹣20+|﹣1|．【答案】3．【解答】解：原式＝3﹣1+1＝2+1＝3．2．（2021•福建）计算：．【答案】．【解答】解：原式＝2+3﹣﹣3＝．二．分式的化简求值（共2小题）3．（2023•福建）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．【答案】．【解答】解：原式＝•＝﹣•＝﹣，当时，原式＝＝．4．（2022•福建）先化简，再求值：（1+）÷，其中a＝+1．【答案】，．【解答】解：原式＝÷＝•＝，当a＝+1时，原式＝＝．三．零指数幂（共1小题）5．（2022•福建）计算：+|﹣1|﹣20220．【答案】．【解答】解：原式＝2+﹣1﹣1＝．四．二元一次方程组的应用（共1小题）6．（2022•福建）在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍．已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元．（1）采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆？（2）规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设购买绿萝x盆，吊兰y盆，依题意得：，解得：．∵8×2＝16，16＜38，∴符合题意．答：购买绿萝38盆，吊兰8盆．（2）设购买绿萝m盆，则购买吊兰（46﹣m）盆，依题意得：m≥2（46﹣m），解得：m≥．设购买两种绿植的总费用为w元，则w＝9m+6（46﹣m）＝3m+276，∵3＞0，∴w随m的增大而增大，又∵m≥，且m为整数，∴当m＝31时，w取得最小值，最小值＝3×31+276＝369．答：购买两种绿植总费用的最小值为369元．五．解一元一次不等式组（共2小题）7．（2023•福建）解不等式组：．【答案】﹣3≤x＜1．【解答】解：解不等式①，得x＜1．解不等式②，得x≥﹣3．所以原不等式组的解集为﹣3≤x＜1．8．（2021•福建）解不等式组：．【答案】1≤x＜3．【解答】解：解不等式①，得：x≥1，解不等式②，得：x＜3，则不等式组的解集为1≤x＜3．六．一次函数的应用（共1小题）9．（2021•福建）某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是70元，批发一箱该农产品的利润是40元．（1）已知该公司某月卖出100箱这种农产品共获利润4600元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？（2）经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的30%．现该公司要经营1000箱这种农产品，问：应如何规划零售和批发的数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少？【答案】（1）该公司当月零售这种农产品20箱，批发这种农产品80箱；（2）该公司零售、批发这种农产品的箱数分别是300箱，700箱时，获得最大利润为49000元．【解答】解：（1）设该公司当月零售这种农产品x箱，则批发这种农产品（100﹣x）箱，依题意得70x+40（100﹣x）＝4600，解得：x＝20，100﹣20＝80（箱），答：该公司当月零售这种农产品20箱，批发这种农产品80箱；（2）设该公司当月零售这种农产品m箱，则批发这种农产品（1000﹣m）箱，依题意得0＜m≤1000×30%，解得0＜m≤300，设该公司获得利润为y元，依题意得y＝70m+40（1000﹣m），即y＝30m+40000，∵30＞0，y随着m的增大而增大，∴当m＝300时，y取最大值，此时y＝30×300+40000＝49000（元），∴批发这种农产品的数量为1000﹣m＝700（箱），答：该公司零售、批发这种农产品的箱数分别是300箱，700箱时，获得最大利润为49000元．七．全等三角形的判定与性质（共3小题）10．（2022•福建）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：∠A＝∠D．【答案】证明见解答过程．【解答】证明：∵BF＝EC，∴BF+CF＝EC+CF，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠A＝∠D．11．（2021•福建）如图，在△ABC中，D是边BC上的点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE＝DF，CE＝BF．求证：∠B＝∠C．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90°，在△BDF和△CDE中，，∴△BDF≌△CDE（SAS），∴∠B＝∠C．12．（2023•福建）如图，OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB．求证：AB＝CD．【答案】见解析．【解答】证明：∵∠AOD＝∠COB，∴∠AOD﹣∠BOD＝∠COB﹣∠BOD，即∠AOB＝∠COD．在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（SAS），∴AB＝CD．八．切线的性质（共1小题）13．（2023•福建）如图，已知△ABC内接于⊙O，CO的延长线交AB于点D，交⊙O于点E，交⊙O的切线AF于点F，且AF∥BC．（1）求证：AO∥BE；（2）求证：AO平分∠BAC．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解答】证明：（1）∵AF是⊙O的切线，∴AF⊥OA，即∠OAF＝90°，∵CE是⊙O的直径，∴∠CBE＝90°，∴∠OAF＝∠CBE，∵AF∥BC，∴∠BAF＝∠ABC，∴∠OAF﹣∠BAF＝∠CBE﹣∠ABC，即∠OAB＝∠ABE，∴AO∥BE；（2）∵∠ABE与∠ACE都是所对的圆周角，∴∠ABE＝∠ACE，∵OA＝OC，∴∠ACE＝∠OAC，∴∠ABE＝∠OAC，由（1）知，∠OAB＝∠ABE，∴∠OAB＝∠OAC，∴AO平分∠BAC．九．弧长的计算（共1小题）14．（2022•福建）如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．（1）求证：AC＝AF；（2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）．【答案】（1）证明过程见解析；（2）．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，DF∥AB，∴四边形ABED为平行四边形，∴∠B＝∠D，∵∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，∴∠AFC＝∠ACF，∴AC＝AF．（2）连接AO，CO，如图，由（1）得∠AFC＝∠ACF，∵∠AFC＝＝75°，∴∠AOC＝2∠AFC＝150°，∴的长l＝＝．一十．作图—复杂作图（共1小题）15．（2021•福建）如图，已知线段MN＝a，AR⊥AK，垂足为A．（1）求作四边形ABCD，使得点B，D分别在射线AK，AR上，且AB＝BC＝a，∠ABC ＝60°，CD∥AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设P，Q分别为（1）中四边形ABCD的边AB，CD的中点，求证：直线AD，BC，PQ相交于同一点．【答案】见解答．【解答】（1）解：如图，四边形ABCD为所作；（2）证明：设PQ交AD于G，BC交AD于G′，∵DQ∥AP，∴＝，∵DC∥AB，∴＝，∵P，Q分别为边AB，CD的中点，∴DC＝2DQ，AB＝2AP，∴＝＝＝，∴＝，∴点G与点G′重合，∴直线AD，BC，PQ相交于同一点．一十一．解直角三角形（共1小题）16．（2022•福建）如图，BD是矩形ABCD的对角线．（1）求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A 相切于点G，求tan∠ADB的值．【答案】（1）作图见解答过程；（2）．【解答】解：（1）根据题意作图如下：（2）设∠ADB＝α，⊙A的半径为r，∵BD与⊙A相切于点E，CF与⊙A相切于点G，∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°，∵CF⊥BD，∴∠EFG＝90°，∴四边形AEFG是矩形，又AE＝AG＝r，∴四边形AEFG是正方形，∴EF＝AE＝r，在Rt△AEB和Rt△DAB中，∠BAE+∠ABD＝90°，∠ADB+∠ABD＝90°，∴∠BAE＝∠ADB＝α，在Rt△ABE中，tan∠BAE＝，∴BE＝r•tanα，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE＝∠CDF，又∠AEB＝∠CFD＝90°，∴△ABE≌△CDF，∴BE＝DF＝r•tanα，∴DE＝DF+EF＝r•tanα+r，在Rt△ADE中，tan∠ADE＝，即DE•tanα＝AE，∴（r•tanα+r）•tanα＝r，即tan2α+tanα﹣1＝0，∵tanα＞0，∴tanα＝，即tan∠ADB的值为．一十二．列表法与树状图法（共1小题）17．（2021•福建）“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马A1，B1，C1，田忌也有上、中、下三匹马A2，B2，C2，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：A1＞A2＞B1＞B2＞C1＞C2（注：A＞B表示A 马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（C2A1，A2B1，B2C1）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例．假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率．【答案】（1）田忌首局出“下马”才可能获得胜利，概率P＝．（2）见上述解题过程．P＝．【解答】解：（1）田忌首局应出“下马”才可能获胜，此时，比赛所有可能的对阵为：（A1C2，B1A2，C1B2），（A1C2，C1B2，B1A2），（A1C2，B1B2，C1A2），（A1C2，C1A2，B1B2），共四种，其中获胜的有两场，故此田忌获胜的概率为P＝．（2）不是．当齐王的出马顺序为A1，B1，C1时，田忌获胜的对阵是：（A1C2，B1A2，C1B2），当齐王的出马顺序为A1，C1，B1时，田忌获胜的对阵是：（A1C2，C1B2，B1A2），当齐王的出马顺序为B1，A1，C1时，田忌获胜的对阵是：（B1A2，A1C2，C1B2），当齐王的出马顺序为B1，C1，A1时，田忌获胜的对阵是：（B1A2，C1B2，A1C2），当齐王的出马顺序为C1，A1，B1时，田忌获胜的对阵是：（C1B2，A1C2，B1A2），当齐王的出马顺序为C1，B1，A1时，田忌获胜的对阵是：（C1B2，B1A2，A1C2），综上所述，田忌获胜的对阵有6种，不论齐王的出马顺序如何，也都有相应的6种可能对阵，所以田忌获胜的概率为P＝．。

广东省深圳市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类一．实数的运算（共1小题）1．（2023•深圳）计算：（1+π）0+2﹣|﹣3|+2sin45°．二．二元一次方程组的应用（共1小题）2．（2023•深圳）某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元．（1）求A，B玩具的单价；（2）若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？三．反比例函数综合题（共1小题）3．（2021•深圳）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、倍、k 倍．（1）若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？ （填“存在”或“不存在”）．（2）继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3，宽为2的矩形的2倍？同学们有以下思路：①设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝10，xy＝12，联立得x2﹣10x+12＝0，再探究根的情况；根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的倍；②如图也可用反比例函数与一次函数证明l1：y＝﹣x+10，l2：y＝，那么，a．是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？ ．b．请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的，若不存在，用图象表达；c．请直接写出当结论成立时k的取值范围： ．四．二次函数综合题（共1小题）4．（2023•深圳）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图1，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB＝3m，BC＝4m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，若以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．请回答下列问题：（1）如图2，抛物线AED的顶点E（0，4），求抛物线的解析式；（2）如图3，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，SMNR，若FL＝NR＝0.75m，求两个正方形装置的间距GM的长；（3）如图4，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为CK，求CK的长．五．四边形综合题（共2小题）5．（2023•深圳）（1）如图1，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE，①若BE＝BC，过C作CF⊥BE交BE于点F，求证：△ABE≌△FCB；②若S矩形ABCD＝20时，则BE•CF＝ ．（2）如图2，在菱形ABCD中，cos A＝，过C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，过E 作EF⊥AD交AD于点F，若S菱形ABCD＝24时，求EF•BC的值．（3）如图3，在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6，AD＝5，点E在CD上，且CE＝2，点F为BC上一点，连接EF，过E作EG⊥EF交平行四边形ABCD的边于点G，若EF•EG＝7时，请直接写出AG的长．6．（2022•深圳）（1）发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB 沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点．求证：△BFG≌△BCG；（2）探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD＝8，AB＝6．将△AEB 沿BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H，且FH＝CH，求AE的长．（3）拓展：如图③，在菱形ABCD中，AB＝6，E为CD边上的三等分点，∠D＝60°．将△ADE沿AE翻折得到△AFE，直线EF交BC于点P，求PC的长．六．圆的综合题（共1小题）7．（2022•深圳）一个玻璃球体近似半圆O，AB为直径．半圆O上点C处有个吊灯EF，EF ∥AB，CO⊥AB，EF的中点为D，OA＝4．（1）如图①，CM为一条拉线，M在OB上，OM＝1.6，DF＝0.8，求CD的长度．（2）如图②，一个玻璃镜与圆O相切，H为切点，M为OB上一点，MH为入射光线，NH为反射光线，∠OHM＝∠OHN＝45°，tan∠COH＝，求ON的长度．（3）如图③，M是线段OB上的动点，MH为入射光线，∠HOM＝50°，HN为反射光线并与半圆O交于点N，在M从O运动到B的过程中，求N点的运动路径长．七．作图—应用与设计作图（共1小题）8．（2023•深圳）如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，OA＝3，AB＝2，以O为圆心，OA为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：①过点A作切线AC，且AC＝4（点C在A的上方）；②连接OC，交⊙O于点D；③连接BD，与AC交于点E．（1）求证：DB为⊙O的切线；（2）求AE的长度．八．相似形综合题（共1小题）9．（2021•深圳）在正方形ABCD中，等腰直角△AEF，∠AFE＝90°，连接CE，H为CE 中点，连接BH、BF、HF，发现和∠HBF为定值．（1）①＝ ；②∠HBF＝ ；③小明为了证明①②，连接AC交BD于O，连接OH，证明了和的关系，请你按他的思路证明①②．（2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2，＝k，∠BDA ＝∠EAF＝θ（0°＜θ＜90°）．求①＝ ；（用k的代数式表示）②＝ ．（用k、θ的代数式表示）九．频数（率）分布折线图（共1小题）10．（2021•深圳）随机调查某城市30天空气质量指数（AQI），绘制成扇形统计图．空气质量等级空气质量指数（AQI）频数优AQI≤50m良50＜AQI≤10015中100＜AQI≤1509差AQI＞150n（1）m＝ ，n＝ ；（2）求良的占比；（3）求差的圆心角；（4）统计表是一个月内的空气污染指数统计，然后根据这一个月内的统计进行估测一年的空气污染指数为中的天数，从统计表中可以得到空气污染指数为中的有9天．根据统计表可知，一个月（30天）中有 天AQI为中，估测该城市一年（以360天计）中大约有 天AQI为中．一十．列表法与树状图法（共1小题）11．（2022•深圳）某工厂进行厂长选拔，从中抽出一部分人进行筛选，其中有“优秀”，“良好”，“合格”，“不合格”．（1）本次抽查总人数为 ，“合格”人数的百分比为 ；（2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中“不合格人数”的度数为 ；（4）在“优秀”中有甲乙丙三人，现从中抽出两人，则刚好抽中甲乙两人的概率为 ．广东省深圳市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类参考答案与试题解析一．实数的运算（共1小题）1．（2023•深圳）计算：（1+π）0+2﹣|﹣3|+2sin45°．【答案】．【解答】解：（1+π）0+2﹣|﹣3|+2sin45°＝1+2﹣3+2×＝0+＝．二．二元一次方程组的应用（共1小题）2．（2023•深圳）某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元．（1）求A，B玩具的单价；（2）若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？【答案】（1）A玩具的进价为50元，每件B玩具的进价为75元；（2）100个．【解答】解：（1）设每件A玩具的进价为x元，则每件B玩具的进价为（x+25）元，根据题意得：2（x+25）+x＝200，解得：x＝50，可得x+25＝50+25＝75，则每件A玩具的进价为50元，每件B玩具的进价为75元；（2）设商场可以购置A玩具y个，根据题意得：50y+75×2y≤20000，解得：y≤100，则最多可以购置A玩具100个．三．反比例函数综合题（共1小题）3．（2021•深圳）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、倍、k 倍．（1）若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？　不存在　（填“存在”或“不存在”）．（2）继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3，宽为2的矩形的2倍？同学们有以下思路：①设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝10，xy＝12，联立得x2﹣10x+12＝0，再探究根的情况；根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的倍；②如图也可用反比例函数与一次函数证明l1：y＝﹣x+10，l2：y＝，那么，a．是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？　存在　．b．请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的，若不存在，用图象表达；c．请直接写出当结论成立时k的取值范围：　k≥　．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意得，给定正方形的周长为8，面积为4，若存在新正方形满足条件，则新正方形的周长为16，面积为8，对应的边长为：4和，不符合题意，∴不存在新正方形的周长和面积是边长为2的正方形的2倍．故答案为：不存在．（2）①设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝2.5，xy＝3，联立，得：2x2﹣5x+6＝0，∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2×6＝﹣23＜0，∴此方程无解，∴不存在新矩形使得其周长和面积为原矩形的倍．②a：从图象看来，函数y＝﹣x+10和函数y＝图象在第一象限有两个交点，∴存在新矩形，使得周长和面积是原矩形的2倍．故答案为：存在．b：设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝2.5，xy＝3，联立，得：2x2﹣5x+6＝0，∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2×6＝﹣23＜0，∴此方程无解，∴不存在新矩形使得其周长和面积为原矩形的倍．从图象看来，函数y＝﹣x+2.5和函数y＝图象在第一象限没有交点，∴不存在新矩形，使得周长和面积是原矩形的倍．c：设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝5k，xy＝6k，联立，得：x2﹣5kx+6k＝0，∴Δ＝（﹣5k）2﹣4×1×6k＝25k2﹣24k，设方程的两根为x1，x2，当Δ≥0即25k2﹣24k≥0时，x1+x2＝5k＞0，x1x2＝6k＞0，解得：k≥或k≤0（舍），∴k≥时，存在新矩形的周长和面积均为原矩形的k倍．故答案为：k≥．四．二次函数综合题（共1小题）4．（2023•深圳）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图1，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB＝3m，BC＝4m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，若以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．请回答下列问题：（1）如图2，抛物线AED的顶点E（0，4），求抛物线的解析式；（2）如图3，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，SMNR，若FL＝NR＝0.75m，求两个正方形装置的间距GM的长；（3）如图4，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为CK，求CK的长．【答案】（1）抛物线表达式为．（2）两个正方形装置的间距GM的长为．（3）CK的长为．【解答】解：（1）∵AB＝4，AD＝3，E（0，4），∴A（﹣2，3），B（2，0），C（2，0），D（2，3），设抛物线表达式为y＝ax2+bx+c，将A、D、E三点坐标代入表达式，得，解得．∴抛物线表达式为．答：抛物线表达式为．（2）设G（﹣t，3），则L（﹣t﹣），∴，解得（负值舍去），∴GM＝2t＝．答：两个正方形装置的间距GM的长为．（3）取最右侧光线与抛物线切点为F，设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+，∵FK∥AC，设，∴，得，∴，解得m＝，∴直线FK的解析式为，令y＝0，得x＝，∴．∴CK＝BK﹣BC＝＝答：CK的长为．五．四边形综合题（共2小题）5．（2023•深圳）（1）如图1，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE，①若BE＝BC，过C作CF⊥BE交BE于点F，求证：△ABE≌△FCB；②若S矩形ABCD＝20时，则BE•CF＝　20　．（2）如图2，在菱形ABCD中，cos A＝，过C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，过E 作EF⊥AD交AD于点F，若S菱形ABCD＝24时，求EF•BC的值．（3）如图3，在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6，AD＝5，点E在CD上，且CE＝2，点F为BC上一点，连接EF，过E作EG⊥EF交平行四边形ABCD的边于点G，若EF•EG＝7时，请直接写出AG的长．【答案】答案：（1）①见解析；②20；（2）32；（3）3 或4或．【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，则∠A＝∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBF＝90°，又∵CF⊥BC，∴∠FCB+∠CBF＝90°，∠CFB＝∠A＝90°，∴∠FCB＝∠ABE，又∵BC＝BE，∴△ABE≌△FCB（AAS）；②由①可得∠FCB＝∠ABE，∠CFB＝∠A＝90°，∴△ABE∽△FCB．∴＝，又∵S矩形ABCD＝AB•CD＝20，∴BE•CF＝AB•BC＝20，（2）∵在菱形ABCD中，，∴AD∥BC，AB＝BC，则∠CBE＝∠A，∵CE⊥AB，∠CEB＝90°，∴，∴，1∴，∵EF⊥AD，CE⊥AB，∴∠AFE＝∠BEC＝90°，又∵∠CBE＝∠A，∴△AFE∽△BEC，∴，∴EF•BC＝AE•CE＝AB×CE＝S菱形ABCD＝×24＝32；（3）①当点G在AD边上时，如图所示，延长FE交AD的延长线于点M，连接GF，过点E作EH⊥DM于点H，∵平行四边形ABCD中，AB＝6，CE＝2，∴CD＝AB＝6，DE＝DC﹣EC＝6﹣2＝4，∵DM∥FC，∴△EDM∽△ECF，∴，＝＝2，∴S△MGE＝2S△EFG＝EF•EG＝7，在Rt△DEH中，∠HDE＝∠A＝60°，则，，1∴，∴MG＝7，∵GE⊥EF，EH⊥MG，∠MEH＝90°﹣∠HEG＝∠HGE，∴tan∠MEH＝tan∠HGE，∵，∴HE2＝HM•HG，设AG＝a，则GD＝AD﹣AG＝5﹣a，GH＝GD+HD＝5﹣a+2＝7﹣a，HM＝GM﹣GH＝7﹣（7﹣a）＝a，，解得：a＝3或a＝4，即AG＝3或AG＝4，②当G点在AB边上时，如图所示，连接GF，延长GE交BC的延长线于点M，过点G作GN∥AD，则GN∥BC，四边形ADNG是平行四边形，设AG＝x，则DN＝AG＝x，EN＝DE﹣DN＝4﹣x，∵GN∥CM，∴△ENG∽△ECM，∴，∴，∴，∵EF•，∴，过点E作EH⊥BC于点H，在Rt△EHC中，EC＝2，∠ECH＝60°，∴，CH＝1，∴，则，∴，∴，，∵∠MEF＝∠EHM＝90°，∠FEH＝90°﹣∠MEH＝∠M，∴tan∠FEH＝tan∠M，即，∴EH2＝FH•HM，即，解得：x2＝8 （舍去），即；③当G点在BC边上时，如图所示，过点B作BT⊥DC于点T，在Rt△BTC中，，，，EF•EG＝7，∴，∵，∴G点不可能在BC边上，综上所述，AG的长为3或4或．6．（2022•深圳）（1）发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB 沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点．求证：△BFG≌△BCG；（2）探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD＝8，AB＝6．将△AEB 沿BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H，且FH＝CH，求AE的长．（3）拓展：如图③，在菱形ABCD中，AB＝6，E为CD边上的三等分点，∠D＝60°．将△ADE沿AE翻折得到△AFE，直线EF交BC于点P，求PC的长．【答案】（1）证明见解答过程；（2）AE的长为；（3）CP的长为或．【解答】（1）证明：∵将△AEB沿BE翻折到△BEF处，四边形ABCD是正方形，∴AB＝BF，∠BFE＝∠A＝90°，∴∠BFG＝90°＝∠C，∵AB＝BC＝BF，BG＝BG，∴Rt△BFG≌Rt△BCG（HL）；（2）解：延长BH，AD交于Q，如图：设FH＝HC＝x，在Rt△BCH中，BC2+CH2＝BH2，∴82+x2＝（6+x）2，解得x＝，∴DH＝DC﹣HC＝，∵∠BFG＝∠BCH＝90°，∠HBC＝∠FBG，∴△BFG∽△BCH，∴＝＝，即＝＝，∴BG＝，FG＝，∵EQ∥GB，DQ∥CB，∴△EFQ∽△GFB，△DHQ∽△CHB，∴＝，即＝，∴DQ＝，设AE＝EF＝m，则DE＝8﹣m，∴EQ＝DE+DQ＝8﹣m+＝﹣m，∵△EFQ∽△GFB，∴＝，即＝，解得m＝，∴AE的长为；方法2：连接GH，如图：∵CH＝FH，GH＝GH，∴Rt△FGH≌Rt△CGH（HL），∴CG＝FG，设CG＝FG＝x，则BG＝8﹣x，在Rt△BFG中，BF2+FG2＝BG2，∴62+x2＝（8﹣x）2，解得x＝，∴BG＝BC﹣x＝，∵∠GBE＝∠AEB＝∠FEB，∴EG＝BG＝，∴EF＝EG﹣FG＝；∴AE＝；（3）解：方法一：（Ⅰ）当DE＝DC＝2时，延长FE交AD于Q，过Q作QH⊥CD于H，如图：设DQ＝x，QE＝y，则AQ＝6﹣x，∵CP∥DQ，∴△CPE∽△QDE，∴＝＝2，∴CP＝2x，∵△ADE沿AE翻折得到△AFE，∴EF＝DE＝2，AF＝AD＝6，∠QAE＝∠FAE，∴AE是△AQF的角平分线，∴＝，即＝①，∵∠D＝60°，∴DH＝DQ＝x，HE＝DE﹣DH＝2﹣x，HQ＝DH＝x，在Rt△HQE中，HE2+HQ2＝EQ2，∴（2﹣x）2+（x）2＝y2②，联立①②可解得x＝，∴CP＝2x＝；（Ⅱ）当CE＝DC＝2时，延长FE交AD延长线于Q'，过Q'作Q'H'⊥CD交CD延长线于H'，如图：设DQ'＝x'，Q'E＝y'，则AQ'＝6+x'，同理∠Q'AE＝∠EAF，∴＝，即＝，由H'Q'2+H'E2＝Q'E2得：（x'）2+（x'+4）2＝y'2，可解得x'＝，∴CP＝x'＝，综上所述，CP的长为或．方法二：（Ⅰ）当DE＝DC＝2时，连接CF，过P作PK⊥CD于K，如图：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝60°，∴△ABC，△ADC是等边三角形，∴∠ACB＝∠ACD＝60°，AD＝AC，∴∠PCK＝60°，∵将△ADE沿AE翻折得到△AFE，∴∠AFE＝∠D＝60°＝∠ACB，AF＝AD＝AC，EF＝DE＝2，∴∠AFC＝∠ACF，∴∠PFC＝∠PCF，∴PF＝PC，设PF＝PC＝2m，在Rt△PCK中，CK＝m，PK＝m，∴EK＝EC﹣CK＝4﹣m，在Rt△PEK中，EK2+PK2＝PE2，∴（4﹣m）2+（m）2＝（2+2m）2，解得m＝，∴PC＝2m＝；（Ⅱ）当CE＝DC＝2时，连接CF，过P作PT⊥CD交DC延长线于T，如图：同（Ⅰ）可证AC＝AD＝AF，∠ACB＝60°＝∠D＝∠AFE，∴∠ACF＝∠AFC，∴∠ACF﹣∠ACB＝∠AFC﹣∠AFE，即∠PCF＝∠PFC，∴PC＝PF，设PC＝PF＝2n，在Rt△PCT中，CT＝n，PT＝n，∴ET＝CE+CT＝2+n，EP＝EF﹣PF＝DE﹣PF＝4﹣2n，在Rt△PET中，PT2+ET2＝PE2，∴（n）2+（2+n）2＝（4﹣2n）2，解得n＝，∴PC＝2n＝，综上所述，CP的长为或．六．圆的综合题（共1小题）7．（2022•深圳）一个玻璃球体近似半圆O，AB为直径．半圆O上点C处有个吊灯EF，EF ∥AB，CO⊥AB，EF的中点为D，OA＝4．（1）如图①，CM为一条拉线，M在OB上，OM＝1.6，DF＝0.8，求CD的长度．（2）如图②，一个玻璃镜与圆O相切，H为切点，M为OB上一点，MH为入射光线，NH为反射光线，∠OHM＝∠OHN＝45°，tan∠COH＝，求ON的长度．（3）如图③，M是线段OB上的动点，MH为入射光线，∠HOM＝50°，HN为反射光线并与半圆O交于点N，在M从O运动到B的过程中，求N点的运动路径长．【答案】（1）2；（2）；（3）4+π．【解答】解：（1）∵OM＝1.6，DF＝0.8，EF∥AB，∴DF是△COM的中位线，∴点D是OC的中点，∵OC＝OA＝4，∴CD＝2；（2）如图②，过点N作ND⊥OH于点D，∵∠OHN＝45°，∴△NHD是等腰直角三角形，∴ND＝HD，∵tan∠COH＝，∠NDO＝90°，∴＝，设ND＝3x＝HD，则OD＝4x，∵OH＝OA＝4，∴OH＝3x+4x＝4，∴x＝，∴ND＝×3＝，OD＝×4＝，∴ON＝＝；（3）如图，当点M与点O重合时，点N也与点O重合，当点M运动至点B时，点N运动至点T，故点N的运动路径长为OA+的长，∵∠HOM＝50°，OH＝OB，∴∠OHB＝∠OBH＝65°，∵∠OHM＝∠OHT，OH＝OT，∴∠OTH＝∠OHT＝65°，∴∠TOH＝50°，∴∠AOT＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴的长＝＝π，∴点N的运动路径长＝4+π．七．作图—应用与设计作图（共1小题）8．（2023•深圳）如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，OA＝3，AB＝2，以O为圆心，OA为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：①过点A作切线AC，且AC＝4（点C在A的上方）；②连接OC，交⊙O于点D；③连接BD，与AC交于点E．（1）求证：DB为⊙O的切线；（2）求AE的长度．【答案】（1）见解答；（2）1.5．【解答】解：如图：（1）∵AC是圆的切线，∴∠OAC＝90°，∴AC＝5，由题意得：OD＝AO＝3，OB＝OC＝5，∠AOC＝∠DOB，∴△AOC≌△DOB（SAS），∴∠ODB＝∠OAC＝90°，∵OD是圆的半径，∴DB为⊙O的切线；（2）∵∠CDE＝∠CAO＝90°，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAO，∴，即：，解得：CE＝2.5，∴AE＝AC﹣CE＝4﹣2.5＝1.5．八．相似形综合题（共1小题）9．（2021•深圳）在正方形ABCD中，等腰直角△AEF，∠AFE＝90°，连接CE，H为CE 中点，连接BH、BF、HF，发现和∠HBF为定值．（1）①＝ ；②∠HBF＝　45°　；③小明为了证明①②，连接AC交BD于O，连接OH，证明了和的关系，请你按他的思路证明①②．（2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2，＝k，∠BDA ＝∠EAF＝θ（0°＜θ＜90°）．求①＝ ；（用k的代数式表示）②＝ ．（用k、θ的代数式表示）【答案】（1）①；②45°；③见解答过程；（2）①；②．【解答】解：①；②45°；③由正方形的性质得：，O为AC的中点，又∵H为CE的中点，∴OH∥AE，OH＝，∵△AEF是等腰直角三角形，∴AE＝，∴，∵OH∥AE，∴∠COH＝∠CAE，∴∠BOH＝∠BAF，∴△BOH∽△BAF，∴，∴∠HBF＝∠HBO+∠DBF＝∠DBA＝45°；（2）①如图2，连接AC交BD于点O，连接OH，由（1）中③问同理可证：△DOH∽△DAF，∴，②由①知：△DOH∽△DAF，∴∠HDO＝∠FDA，∴∠HDF＝∠BDA＝θ，在△HDF中，，设DF＝2t，HD＝kt，作HM⊥DF于M，∴HM＝DH×sinθ＝kt sinθ，DM＝kt cosθ，∴MF＝DF﹣DM＝（2﹣k cosθ）t，在Rt△HMF中，由勾股定理得：HF＝，∴．九．频数（率）分布折线图（共1小题）10．（2021•深圳）随机调查某城市30天空气质量指数（AQI），绘制成扇形统计图．空气质量等级空气质量指数（AQI）频数优AQI≤50m良50＜AQI≤10015中100＜AQI≤1509差AQI＞150n（1）m＝　4　，n＝　2　；（2）求良的占比；（3）求差的圆心角；（4）统计表是一个月内的空气污染指数统计，然后根据这一个月内的统计进行估测一年的空气污染指数为中的天数，从统计表中可以得到空气污染指数为中的有9天．根据统计表可知，一个月（30天）中有　9　天AQI为中，估测该城市一年（以360天计）中大约有　108　天AQI为中．【答案】（1）4，2；（2）50%；（3）24°；（4）9，108．【解答】解：（1）根据题意，得m＝×30＝4，所以n＝30﹣4﹣15﹣9＝2，故答案为：4，2；（2）良的占比＝×100%＝50%；（3）差的圆心角＝×360°＝24°；（4）根据折线图，一个月（30天）中有9天AQI为中，估测该城市一年（以360天计）中大约有360×＝108（天）AQI为中．故答案为：9，108．一十．列表法与树状图法（共1小题）11．（2022•深圳）某工厂进行厂长选拔，从中抽出一部分人进行筛选，其中有“优秀”，“良好”，“合格”，“不合格”．（1）本次抽查总人数为　50人　，“合格”人数的百分比为　40%　；（2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中“不合格人数”的度数为　115.2°　；（4）在“优秀”中有甲乙丙三人，现从中抽出两人，则刚好抽中甲乙两人的概率为 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）本次抽查的总人数为8÷16%＝50（人），“合格”人数的百分比为1﹣（32%+16%+12%）＝40%，故答案为：50人，40%；（2）补全图形如下：（3）扇形统计图中“不合格”人数的度数为360°×32%＝115.2°，故答案为：115.2°；（4）列表如下：甲乙丙甲（乙，甲）（丙，甲）乙（甲，乙）（丙，乙）丙（甲，丙）（乙，丙）由表知，共有6种等可能结果，其中刚好抽中甲乙两人的有2种结果，所以刚好抽中甲乙两人的概率为＝．故答案为：．。

山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类②一．实数的运算（共1小题）1．（2023•枣庄）对于任意实数a，b，定义一种新运算：a※b＝，例如：3※1＝3﹣1＝2，5※4＝5+4﹣6＝3．根据上面的材料，请完成下列问题：（1）4※3＝ ，（﹣1）※（﹣3）＝ ；（2）若（3x+2）※（x﹣1）＝5，求x的值．二．分式的化简求值（共4小题）2．（2023•聊城）先化简，再求值：（+）÷，其中a＝+2．3．（2023•滨州）先化简，再求值：÷（﹣），其中a满足．4．（2023•枣庄）先化简，再求值：，其中a的值从不等式组﹣1＜a＜的解集中选取一个合适的整数．5．（2023•烟台）先化简，再求值：÷（a+2+），其中a是使不等式≤1成立的正整数．三．一元一次方程的应用（共1小题）6．（2023•临沂）大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是M 型平板电脑一台和1500元现金．当她工作满20天后因故结束实习，结算工资时公司给了她一台该型平板电脑和300元现金．（1）这台M型平板电脑价值多少元？（2）小敏若工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得多少报酬（用含m 的代数式表示）？四．分式方程的应用（共1小题）7．（2023•烟台）中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．（1）求两种图书的单价分别为多少元？（2）为等备“3.14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少？五．解一元一次不等式（共1小题）8．（2023•临沂）（1）解不等式5﹣2x ＜，并在数轴上表示解集；（2）下面是某同学计算﹣a ﹣1的解题过程：解：﹣a ﹣1＝﹣…①＝…②＝…③＝＝1…④上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程．六．一元一次不等式的应用（共1小题）9．（2023•聊城）今年五一小长假期间，我市迎来了一个短期旅游高峰．某热门景点的门票价格规定见如表：票的种类A B C 购票人数/人1～5051～100100以上票价/元504540某旅行社接待的甲、乙两个旅游团共102人（甲团人数多于乙团）．在打算购买门票时，如果把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元．（1）求两个旅游团各有多少人？（2）一个人数不足50人的旅游团，当游客人数最低为多少人时，购买B 种门票比购买A 种门票节省？七．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）10．（2023•济宁）如图，正比例函数和反比例函数的图象交于点A （m，2）．（1）求反比例函数的解析式；（2）将直线OA向上平移3个单位后，与y轴交于点B，与的图象交于点C，连接AB，AC，求△ABC的面积．11．（2023•滨州）如图，直线y＝kx+b（k，b为常数）与双曲线为常数）相交于A （2，a），B（﹣1，2）两点．（1）求直线y＝kx+b的解析式；（2）在双曲线上任取两点M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜x2，试确定y1和y2的大小关系，并写出判断过程；（3）请直接写出关于x的不等式的解集．八．二次函数的应用（共1小题）12．（2023•临沂）综合与实践：问题情境小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：数据整理：（1）请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：售价（元/盆） 日销售量（盆） 模型建立（2）分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系．拓广应用（3）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，①要想每天获得400元的利润，应如何定价？②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？九．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）13．（2023•临沂）如图，灯塔A周围9海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西58°方向上，继续航行6海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？（参考数据：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈0.625，sin58°≈0.848，cos58°≈0.530，tan58°≈1.6）一十．条形统计图（共1小题）14．（2023•滨州）中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》中，对学生每天的作业时间提出明确要求：“初中书面作业平均完成时间不超过90分钟”，为了更好地落实文件精神，某县对辖区内部分初中学生就“每天完成书面作业的时间”进行了随机调查，为便于统计学生每天完成书面作业的时间（用t表示，单位h）状况设置了如下四个选项，分别为A：t≤1，B：1＜t≤1.5，C：1.5＜t≤2，D：t＞2，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．请根据以上提供的信息解答下列问题：（1）此次调查，选项A中的学生人数是多少？（2）在扇形统计图中，选项D所对应的扇形圆心角的大小为多少？（3）如果该县有15000名初中学生，那么请估算该县“每天完成书面作业的时间不超过90分钟”的初中学生约有多少人？（4）请回答你每天完成书面作业的时间属于哪个选项，并对老师的书面作业布置提出合理化建议．山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类②参考答案与试题解析一．实数的运算（共1小题）1．（2023•枣庄）对于任意实数a，b，定义一种新运算：a※b＝，例如：3※1＝3﹣1＝2，5※4＝5+4﹣6＝3．根据上面的材料，请完成下列问题：（1）4※3＝　1　，（﹣1）※（﹣3）＝　2　；（2）若（3x+2）※（x﹣1）＝5，求x的值．【答案】（1）1；2；（2）x＝1．【解答】解：（1）∵4＜2×3，∴4※3＝4+3﹣6＝1；∵﹣1＞2×（﹣3），∴（﹣1）※（﹣3）＝﹣1﹣（﹣3）＝2；故答案为：1；2；（2）由题意，当3x+2≥2（x﹣1）时，即x≥﹣4时，原方程为：3x+2﹣（x﹣1）＝5，解得：x＝1；当3x+2＜2（x﹣1）时，即x＜﹣4时，原方程为：3x+2+x﹣1﹣6＝5，解得：x＝2.5，∵2.5＞﹣4，∴x＝2.5不符合题意，应舍去，综上，x＝1．二．分式的化简求值（共4小题）2．（2023•聊城）先化简，再求值：（+）÷，其中a＝+2．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝[﹣]•＝•＝•＝，当a＝+2时，原式＝＝．3．（2023•滨州）先化简，再求值：÷（﹣），其中a满足．【答案】a2﹣4a+4，1．【解答】解：原式＝÷[﹣]＝÷[﹣]＝÷＝•＝（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，∵，∴a2﹣4a+3＝0，∴a2﹣4a＝﹣3，∴原式＝﹣3+4＝1．4．（2023•枣庄）先化简，再求值：，其中a的值从不等式组﹣1＜a＜的解集中选取一个合适的整数．【答案】．【解答】解：（a﹣）÷＝（a﹣）•＝a•﹣•＝﹣1＝，∵a2﹣1≠0，a≠0，∴a≠±1，a≠0，∴a＝2，原式＝＝．5．（2023•烟台）先化简，再求值：÷（a+2+），其中a是使不等式≤1成立的正整数．【答案】，﹣．【解答】解：原式＝÷＝•＝•＝，∵≤1，解得：a≤3，∵a是使不等式≤1成立的正整数，且a﹣2≠0，a﹣3≠0，∴a＝1，∴原式＝＝﹣．三．一元一次方程的应用（共1小题）6．（2023•临沂）大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是M 型平板电脑一台和1500元现金．当她工作满20天后因故结束实习，结算工资时公司给了她一台该型平板电脑和300元现金．（1）这台M型平板电脑价值多少元？（2）小敏若工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得多少报酬（用含m 的代数式表示）？【答案】（1）这台M型平板电脑价值2100元；（2）若工作m天，她应获得的报酬为120m元．【解答】解：（1）设这台M型平板电脑价值x元，根据题意得：（x+1500）＝x+300，解得：x＝2100，∴这台M型平板电脑价值2100元；（2）由（1）知，一台M型平板电脑价值2100元，∴工作一个月，她应获得的报酬为2100+1500＝3600（元），∴若工作m天，她应获得的报酬为＝120m（元）．四．分式方程的应用（共1小题）7．（2023•烟台）中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．（1）求两种图书的单价分别为多少元？（2）为等备“3.14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少？【答案】（1）《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元；（2）当购买53本《孙子算经》、27本《周髀算经》时，总费用最少．【解答】解：（1）设《周髀算经》的单价是x元，则《孙子算经》的单价是x元，根据题意得：﹣＝5，解得：x＝40，经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意，∴x＝×40＝30．答：《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元；（2）设购买m本《孙子算经》，则购买（80﹣m）本《周髀算经》，根据题意得：80﹣m≥m，解得：m≤．设购买这两种图书共花费w元，则w＝30×0.8m+40×0.8（80﹣m），∴w＝﹣8m+2560，∵﹣8＜0，∴w随m的增大而减小，又∵m≤，且m为正整数，∴当m＝53时，w取得最小值，此时80﹣m＝80﹣53＝27．答：当购买53本《孙子算经》、27本《周髀算经》时，总费用最少．五．解一元一次不等式（共1小题）8．（2023•临沂）（1）解不等式5﹣2x＜，并在数轴上表示解集；（2）下面是某同学计算﹣a﹣1的解题过程：解：﹣a﹣1＝﹣…①＝…②＝…③＝＝1…④上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程．【答案】（1）x＞3，解集在数轴上表示见解答；（2）上述解题过程从第①步开始出现错误，正确的解题过程见解答．【解答】解：（1）5﹣2x＜，2（5﹣2x）＜1﹣x，10﹣4x＜1﹣x，﹣4x+x＜1﹣10，﹣3x＜﹣9，x＞3，该不等式的解集在数轴上表示如图所示：（2）上述解题过程从第①步开始出现错误，正确的解题过程如下：﹣a﹣1＝﹣（a+1）＝＝＝．六．一元一次不等式的应用（共1小题）9．（2023•聊城）今年五一小长假期间，我市迎来了一个短期旅游高峰．某热门景点的门票价格规定见如表：票的种类A B C购票人数/1～5051～100100以上人票价/元504540某旅行社接待的甲、乙两个旅游团共102人（甲团人数多于乙团）．在打算购买门票时，如果把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元．（1）求两个旅游团各有多少人？（2）一个人数不足50人的旅游团，当游客人数最低为多少人时，购买B种门票比购买A 种门票节省？【答案】（1）甲旅游团有58人，乙旅游团有44人；（2）当游客人数最低为46人时，购买B种门票比购买A种门票节省．【解答】解：（1）设甲旅游团有x人，乙旅游团有y人，根据题意得：，解得：．答：甲旅游团有58人，乙旅游团有44人；（2）设游客人数为m人，根据题意得：50m＞45×51，解得：m＞45.9，又∵m为正整数，∴m的最小值为46．答：当游客人数最低为46人时，购买B种门票比购买A种门票节省．七．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）10．（2023•济宁）如图，正比例函数和反比例函数的图象交于点A （m，2）．（1）求反比例函数的解析式；（2）将直线OA向上平移3个单位后，与y轴交于点B，与的图象交于点C，连接AB，AC，求△ABC的面积．【答案】（1）；（2）3．【解答】解：（1）把A（m，2）代入得：，解得m＝4，∴A（4，2），把A（4，2）代入得：，解得k＝8，∴反比例函数的解析式为；（2）过点C作CM⊥x轴于M，交AB于点N，如图：将直线OA向上平移3个单位后，其函数解析式为，当x＝0时，y＝3，∴点B的坐标为（0，3），设直线AB的函数解析式为y＝mx+n，将A（4，2），B（0，3）代入可得：，解得：，∴直线AB的函数解析式为y＝﹣x+3，联立解析式得：解得：，∴C点坐标为（2，4），在y＝﹣x+3中，当x＝2时，，∴CN＝4﹣＝，∴S△ABC＝××4＝3；∴△ABC的面积为3．11．（2023•滨州）如图，直线y＝kx+b（k，b为常数）与双曲线为常数）相交于A （2，a），B（﹣1，2）两点．（1）求直线y＝kx+b的解析式；（2）在双曲线上任取两点M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜x2，试确定y1和y2的大小关系，并写出判断过程；（3）请直接写出关于x的不等式的解集．【答案】（1）y＝﹣x+1；（2）①M、N在双曲线的同一支上，当x1＜x2时，y1＜y2；②M、N在双曲线的不同的一支上，当x1＜x2时，y1＞y2；（3）x＜﹣1或0＜x＜2．【解答】解：（1）由题意，将B点代入双曲线解析式y＝，∴2＝．∴m＝﹣2．∴双曲线为y＝﹣．又A（2，a）在双曲线上，∴a＝﹣1．∴A（2，﹣1）．将A、B代入一次函数解析式得，∴．∴直线y＝kx+b的解析式为y＝﹣x+1．（2）由题意，可分成两种情形．①M、N在双曲线的同一支上，由双曲线y＝﹣，在同一支上时函数值随x的增大而增大，∴当x1＜x2时，y1＜y2．②M、N在双曲线的不同的一支上，∵x1＜x2，∴x1＜0＜x2．∴此时由图象可得y1＞0＞y2，即此时当x1＜x2时，y1＞y2．（3）依据图象，即一次函数值大于反比例函数值，∵A（2，﹣1），B（﹣1，2），∴不等式的解集为：x＜﹣1或0＜x＜2．八．二次函数的应用（共1小题）12．（2023•临沂）综合与实践：问题情境小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：数据整理：（1）请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：售价（元/盆）　18 20 22 26 30　日销售量（盆）　54 50 46 38 30　模型建立（2）分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系．拓广应用（3）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，①要想每天获得400元的利润，应如何定价？②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？【答案】（1）18，54；20，50；22，46；26，38；30，30；（2）y＝﹣2x+90；（3）①要想每天获得400元的利润，定价为25元或35元；②售价定为30元时，每天能够获得最大利润450元．【解答】解：（1）根据销售单价从小到大排列得下表：售价（元/盆）1820222630日销售量（盆）5450463830故答案为：18，54；20，50；22，46；26，38；30，30；（2）观察表格可知销售量是售价的一次函数；设销售量为y盆，售价为x元，y＝kx+b，把（18，54），（20，50）代入得：，解得，∴y＝﹣2x+90；（3）①∵每天获得400元的利润，∴（x﹣15）（﹣2x+90）＝400，解得x＝25或x＝35，∴要想每天获得400元的利润，定价为25元或35元；②设每天获得的利润为w元，根据题意得：w＝（x﹣15）（﹣2x+90）＝﹣2x2+120x﹣1350＝﹣2（x﹣30）2+450，∵﹣2＜0，∴当x＝30时，w取最大值450，∴售价定为30元时，每天能够获得最大利润450元．九．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）13．（2023•临沂）如图，灯塔A周围9海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西58°方向上，继续航行6海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？（参考数据：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈0.625，sin58°≈0.848，cos58°≈0.530，tan58°≈1.6）【答案】如果船不改变航线继续向西航行，没有触礁危险．【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于D，设AD＝x海里，由题意得，∠ABD＝32°，∠ACD＝45°，BC＝6海里，在Rt△ACD中，∠ACD＝∠CAD＝45°，∴AD＝CD＝x海里，在Rt△ABD中，tan∠ABD＝，∴BD＝≈＝6+x，解得，x＝10，∵10＞9，∴如果船不改变航线继续向西航行，没有触礁危险．一十．条形统计图（共1小题）14．（2023•滨州）中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》中，对学生每天的作业时间提出明确要求：“初中书面作业平均完成时间不超过90分钟”，为了更好地落实文件精神，某县对辖区内部分初中学生就“每天完成书面作业的时间”进行了随机调查，为便于统计学生每天完成书面作业的时间（用t表示，单位h）状况设置了如下四个选项，分别为A：t≤1，B：1＜t≤1.5，C：1.5＜t≤2，D：t＞2，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．请根据以上提供的信息解答下列问题：（1）此次调查，选项A中的学生人数是多少？（2）在扇形统计图中，选项D所对应的扇形圆心角的大小为多少？（3）如果该县有15000名初中学生，那么请估算该县“每天完成书面作业的时间不超过90分钟”的初中学生约有多少人？（4）请回答你每天完成书面作业的时间属于哪个选项，并对老师的书面作业布置提出合理化建议．【答案】（1）8人；（2）43.2°；（3）9600人；（4）建议减少作业量，根据学生的能力分层布置作业（答案不唯一，合理即可）．【解答】解：（1）24÷24%﹣56﹣24﹣12＝8（人），答：此次调查，选项A中的学生人数是8人；（2）360°×＝43.2°，答：在扇形统计图中，选项D所对应的扇形圆心角的大小为43.2°；（3）15000×＝9600（人），答：该县“每天完成书面作业的时间不超过90分钟”的初中学生约有9600人；（4）建议减少作业量，根据学生的能力分层布置作业（答案不唯一，合理即可）．。

专题一 实数与二次根式【知识要点】1.实数的分类：◆数轴上的点和 一一对应.2.有理数： 叫有理数. 和 统称为有理数.3.无理数： 叫无理数.◆常见的几种无理数：①根号型：如35,2等开方开不尽的数. ②三角函数型：如sin60°,cos45°等. ③圆周率π型:如2π，π-1等.④构造型：如1.121121112…等无限不循环小数.4.相反数、倒数和绝对值：（1）实数a 的相反数是 ；（2）实数a （0≠a ）的倒数是 ； （3）若a a =， 则：a 0；若a a -=，则：a 0. 5.负指数幂、零指数幂：=-p a ， =0a (0≠a ). 6.平方根、算术平方根和立方根：（1）3的平方根表示为： ； （2）3的算术平方根表示为： ； （3）3的立方根表示为： .◆正数有 平方根，它们 ；0的平方根是 ；负数 平方根.◆正数、0、负数都只有 立方根，正数的立方根是 ；0的立方根是 ；负数的立方根是 .◆=2a （0≥a ）； ()=2a （0≥a ）；=33a ；()=33a ；aa a -=-=-3333.7.对无理数的估算：◆记住常用的：≈2 ；≈3 ；≈5 .8.科学记数法：（1）2030000用科学记数法表示为： ；（2）0.000203用科学记数法表示为： ； （3）-0.000203用科学记数法表示为： . 9.近似数与有效数字：有效数字：对于一个近似数，从它左边第一个非零数字起，到后面所有保留数字都是有效数字. （1）0.0105kg精确到0.001kg ： ； 保留2位有效数字： .（2）20067482m精确到1002m ： ； 保留3位有效数字： .◆提示：很大的数或很小的数取近似数时，必须先用科学记数法表示出来，然后再根据要求取近似数.◆精确度与“单位”和“n 10”有关！而有效数字与“单位”和“n 10”均无关！例如：1.23万→精确到百位（或精确到100）.（看单位） →有效数字3位.（不看单位）1.23×510→精确到千位（或精确到1 000）；（看510）→有效数字3位.（不看510）10.二次根式：形如a （0≥a ）的式子，叫做二次根式.◆最简二次根式：必须同时满足下列三个条件： ①被开方数中不含开方开得尽的因数或因式；化简：8= ；b a 2= .②被开方数中不含分母； 化简：21= ；x 1= .③分母中不含根式. 化简：21= ；x1= .11.二次根式的性质：（1）若0≥a ，则：=2a ；若0≤a ，则：=2a .◆例如化简：()23π- 最常错的是：()ππ-=-332.正解：∵03<-π，∴()332-=-ππ.（2）ab =b a •（0≥a ,0≥b ）（3）ba ba = （0≥a ,0>b ）12.二次根式的运算： 考点剖析1、实数的概念例1：某市2009年元旦的最高气温为2℃，最低气温为－8℃，那么这天的最高气温比最低气温高（ ） A ．-10℃ B ．-6℃ C ．6℃ D ．10℃例2：（济宁）在，，3.14，，0.101001中，无理数的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 2、平方根与立方根例3：（哈尔滨）36的算术平方根是（ ）A ．6B ．±6C ．6D ．±6例4：（眉山）估算272-的值（ ）A ．在1到2之间B ．在2到3之间C ．在3到4之间D ．在4到5之间 3、相反数、绝对值、倒数 例5：（潍坊）已知实数a b 、在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（ ） A ．0ab > B ．a b >C ．0a b ->D ．0a b +>4、近似数、有效数字和科学记数法 例6：（济南）2009年10月11日，第十一届全运会将在美丽的泉城济南召开．奥体中心由体育场，体育馆、游泳馆、网球馆，综合服务楼三组建筑组成，呈“三足鼎立”、“东荷西柳”布局．建筑面积约为359800平方米，请用科学记数法表示建筑面积是（保留三个有效数字）（ ） A ．535.910⨯平方米B ．53.6010⨯平方米C ．53.5910⨯平方米 D ．435.910⨯平方米5、实数的大小比较例7：（常德）设，，，，则a b c d ，，，按由小到大的顺序排列正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 6、实数的运算 例8：（⑴重庆市潼南县)计算： (π－3.14)0－|－3|＋121-⎪⎭⎫ ⎝⎛－(－1)2010.⑵（年日照市）计算：122432+--.7、规律探索 例9：（泉州）点A 1、 A 2、 A 3、 …、 A n （n 为正整数）都在数轴上.点A 1在原点O 的左边，且A 1O=1；点A 2在点A 1的右边，且A 2A 1=2；点A 3在点A 2的左边，且A 3A 2=3；点A 4在点A 3的右边，且A 4A 3=4；……，依照上述规律，点A 2008 、 A 2009所表示的数分别为（ ）A .2008、-2009B .-2008、 2009C .1004、-1005D .1004、 -1004 8、定义新运算 例10：（荆门）定义一种运算为a ※b =a 2－b ，则(1※2)※3=______． 【基础训练】 1.（广东广州）如果＋10%表示“增加10%”，那么“减少8%”可以记作 .2.（湖北荆州）温度从-2℃上升3℃后是 A.1℃ B.-1℃ C.3℃ D.5℃3.（河南）21-的相反数是A.21B.21- C.2 D.-24.（湖北十堰）－3的绝对值是 .5.（江苏南京）－3的倒数是A.－3B.3C.－ 13D.13tan 45sin 60π02a =2(3)b =-39c =-11()2d -=c a d b <<<b d a c <<<a c d b <<<b c a d <<<· ··· ·6.（湖南长沙）4的平方根是 A. B.2 C.±2 D.7.（江苏无锡）9的值等于 A.3B.-3C.±3D.38.（山东烟台）-8的立方根是 . 9.（湖南湘潭）下列判断中，你认为正确的是 A.0的绝对值是0 B.31是无理数 C.4的平方根是2 D.1的倒数是-1 10.（湖南益阳）下列计算正确的是Ａ.030= Ｂ.33-=-- Ｃ.331-=- Ｄ.±=9311.（江西南昌）计算－2－6的结果是A.－8B. 8C.－4D. 4 12.（江苏连云港）下面四个数中比－2小的数是 A.1 B.0 C.－1 D.－3 13.（湖南怀化）下列运算结果等于1的是 A.)3()3(-+- B.)3()3(--- C.)3(3-⨯- D.)3()3(-÷- 14.在算式435--□中的□所在位置，填入下列哪种运算符号，计算出来的值最小 A.+ B.- C.⨯ D.÷ 15.（河北）如图，矩形ABCD 的顶点A ，B 在数轴上，CD = 6，点A 对应的数为1-，则点B 所对应的数为 ．16.（江苏宿迁）3)2(-等于A.－6B.6C.－8D.8 17.（浙江东阳）73是A.无理数B.有理数C.整数D.负数 18.（湖北武汉）2010年上海世博会开园第一个 月共售出门票664万张，664万用科学计数法表 示为A.664×104B.66.4×l05C.6.64×106D.0.664×l0719.（广东深圳）为保护水资源，某社区新建了 雨水再生工程，再生水利用量达58600立方米/ 年.这个数据用科学记数法表示为（保留两个有效数字） .20.（湖南益阳）数轴上的点A 到原点的距离是6， 则点A 表示的数为 A.6或-6 B.6 C.6- D.3或-322.（内蒙鄂尔多斯）如图，数轴上的点P 表示的数可能是 A.5 B.5-C.-3.8D.10-23.（江苏淮安）下面四个数中与11最接近的是 A.2 B.3 C.4 D.5 24.（福建福州）若二次根式1x -有意义，则x 的取值范围为A.1x ≠B.1x ≥C.1x <D.全体实数 25.（广西南宁）下列计算结果正确的是 A.752=+B.3223=-C.1052=⨯D.10552=26.（湖北武汉）计算：2(5)-= . 27.（新疆建设兵团）化简188-= . 28.（安徽）计算：=-⨯263 .29. 205220104101--+-⎪⎭⎫⎝⎛-30. . (重庆市)计算：（－1）2010－| －7 |＋ 9 ×（ 5－π）0＋（ 1 5）－131.计算：011( 3.14)18()122π--++---．22±第22题第15题C D32. 22221+---课后练习1.-3的相反数是______,-12的绝对值是_____,2-1=______,2008(1)-= ．2. 某种零件，标明要求是φ20±0.02 mm （φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是19.9 mm ，该零件 .（填“合格” 或“不合格”）3. 下列各数中：－3，，0，，，0.31，，2，2.161 161 161…，（－2 005）0是无理数的是___________________________．4．全世界人民踊跃为四川汶川灾区人民捐款，到6月3日止各地共捐款约423.64亿元，用科学记数法表示捐款数约为__________元．（保留两个有效数字）5．若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 ．6. 2.40万精确到______位，有效数字有______个 7．点A 在数轴上表示+2，从A 点沿数轴向左平移3个单位到点B ，则点B 所表示的实数是（ ） A ．3 B ．-1 C ．5 D ．-1或3 8．如果□＋2＝0，那么“□”内应填的实数是（ ） A ．21 B ．21- C ．21± D ．2 9．下列各组数中，互为相反数的是（ ）A ．2和21B ．-2和－21C ．-2和|-2|D ．2和2110．16的算术平方根是（ ）A.4B.－4C.±4D.16 11.实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则a 与b 的大小关系是（ ）A ．a > bB ． a = bC ． a < bD ．不能判断12．若x 的相反数是3，│y│＝5，则x ＋y 的值为A ．－8B ．2C ．8或－2D ．－8或2 13． 如图，数轴上A 、B 两点所表示的两数的（ ）A. 和为正数B. 和为负数C.积为正数D.积为负数 14.有一个数值转换器如图，原来如下：当输入的x 为64时，输出的y 是 .16.（江苏南京）如图，下列各数中，数轴点A 表示的可能是A.4的算术平方根B.4的立方根C.8的算术平方根D.8的立方根 17.（湖北荆门）若a 、b 为实数，且满足|a －2|＋2b -＝0，则b －a 的值为A.2B.0C.－2D.以上都不对18.（贵州毕节）2008北京奥运会火炬传递的路程约为13.7万公里．近似数13.7万是精确到A.十分位B.十万位C.万位D.千位 19.（山东青岛）由四舍五入法得到的近似数8.8×103，下列说法中正确的是A.精确到十分位，有2个有效数字B.精确到个位，有2个有效数字C.精确到百位，有2个有效数字D.精确到千位，有4个有效数字 20、(年山东聊城)化简：27－12＋43＝_____ 21、估计1832⨯+的运算结果应在 A ．1到2之间 B ．2到3之间C ．3到4之间D ．4到5之间22、计算：3127482-+＝_________ 1432364227π第36题 ob aA BO -323.计算24、 92|21|)3(12-+----。

上海市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类一．实数的运算（共2小题）1．（2023•上海）计算：+﹣（）﹣2+|﹣3|．2．（2021•上海）计算：9+|1﹣|﹣2﹣1×．二．分数指数幂（共1小题）3．（2022•上海）计算：|﹣|﹣+﹣．三．高次方程（共1小题）4．（2021•上海）解方程组：．四．解一元一次不等式组（共2小题）5．（2022•上海）解关于x的不等式组：．6．（2023•上海）解不等式组：．五．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）7．（2022•上海）一个一次函数的截距为﹣1，且经过点A（2，3）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）点A，B在某个反比例函数上，点B横坐标为6，将点B向上平移2个单位得到点C，求cos∠ABC的值．六．二次函数图象与几何变换（共1小题）8．（2023•上海）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x+6与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段AB上，以点C为顶点的抛物线M：y＝ax2+bx+c经过点B．（1）求点A，B的坐标；（2）求b，c的值；（3）平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结CD，且CD∥x轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．七．圆的综合题（共1小题）9．（2021•上海）如图，在圆O中，弦AB等于弦CD，且相交于点P，其中E、F为AB、CD 中点．（1）证明：OP⊥EF；（2）连接AF、AC、CE，若AF∥OP，证明：四边形AFEC为矩形．八．扇形统计图（共1小题）10．（2021•上海）现在5G手机非常流行，某公司第一季度总共生产80万部5G手机，三个月生产情况如图．（1）求三月份生产了多少部手机？（2）5G手机速度很快，比4G下载速度每秒多95MB，下载一部1000MB的电影，5G比4G要快190秒，求5G手机的下载速度．上海市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类参考答案与试题解析一．实数的运算（共2小题）1．（2023•上海）计算：+﹣（）﹣2+|﹣3|．【答案】﹣6．【解答】解：原式＝2+﹣9+3﹣＝2+﹣2﹣9+3﹣＝﹣6．2．（2021•上海）计算：9+|1﹣|﹣2﹣1×．【答案】2．【解答】解：+|1﹣|﹣2﹣1×＝3＝2＝2．二．分数指数幂（共1小题）3．（2022•上海）计算：|﹣|﹣+﹣．【答案】1．【解答】解：|﹣|﹣+﹣＝＝＝1﹣．三．高次方程（共1小题）4．（2021•上海）解方程组：．【答案】．【解答】解：，由①得：y＝3﹣x，把y＝3﹣x代入②，得：x2﹣4（3﹣x）2＝0，化简得：（x﹣2）（x﹣6）＝0，解得：x1＝2，x2＝6．把x1＝2，x2＝6依次代入y＝3﹣x得：y1＝1，y2＝﹣3，∴原方程组的解为．四．解一元一次不等式组（共2小题）5．（2022•上海）解关于x的不等式组：．【答案】不等式组的解集为：﹣2＜x＜﹣1．【解答】解：，由①得，3x﹣x＞﹣4，2x＞﹣4，解得x＞﹣2，由②得，4+x＞3x+6，x﹣3x＞6﹣4，﹣2x＞2，解得x＜﹣1，所以不等式组的解集为：﹣2＜x＜﹣1．6．（2023•上海）解不等式组：．【答案】3＜x＜．【解答】解：，解不等式①，得x＞3，解不等式②，得x＜，所以不等式组的解集是3＜x＜．五．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）7．（2022•上海）一个一次函数的截距为﹣1，且经过点A（2，3）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）点A，B在某个反比例函数上，点B横坐标为6，将点B向上平移2个单位得到点C，求cos∠ABC的值．【答案】（1）y＝2x﹣1；（2）．【解答】解：（1）设一次函数的解析式为：y＝kx﹣1，∴2k﹣1＝3，解得：k＝2，一次函数的解析式为：y＝2x﹣1．（2）∵点A，B在某个反比例函数上，点B横坐标为6，∴B（6，1），∴C（6，3），∴△ABC是直角三角形，且BC＝2，AC＝4，根据勾股定理得：AB＝2，∴cos∠ABC＝＝＝．六．二次函数图象与几何变换（共1小题）8．（2023•上海）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x+6与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段AB上，以点C为顶点的抛物线M：y＝ax2+bx+c经过点B．（1）求点A，B的坐标；（2）求b，c的值；（3）平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结CD，且CD∥x轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．【答案】（1）A（﹣8，0）；（2），c＝6；（3）抛物线N的函数解析式为：或．【解答】解：（1）在中，令x＝0得：y＝6，∴B（0，6），令y＝0得：x＝﹣8，∴A（﹣8，0）；（2）设，设抛物线的解析式为：，∵抛物线M经过点B，∴将B（0，6）代入得：，∵m≠0，∴，即，将代入y＝a（x﹣m）2+3m+6，整理得：，∴，c＝6；（3）如图：∵CD∥x轴，点P在x轴上，∴设P（p，0），，∵点C，B分别平移至点P，D，∴点B，点C向下平移的距离相同，∴，解得：m＝﹣4，由（2）知，∴，∴抛物线N的函数解析式为：，将B（0，6）代入可得：，∴抛物线N的函数解析式为：或．七．圆的综合题（共1小题）9．（2021•上海）如图，在圆O中，弦AB等于弦CD，且相交于点P，其中E、F为AB、CD 中点．（1）证明：OP⊥EF；（2）连接AF、AC、CE，若AF∥OP，证明：四边形AFEC为矩形．【答案】（1）（2）证明见解析部分．【解答】（1）证明：连接OP，EF，OE，OF，OB＝OD．∵AE＝EB，CF＝FD，AB＝CD，∴OE⊥AB，OF⊥CD，BE＝DF，∴∠OEB＝∠OFD＝90°，∵OB＝OD，∴Rt△OEB≌Rt△OFD（HL），∴OE＝OF，∵∠OEP＝∠OFP＝90°，OP＝OP，∴Rt△OPE≌Rt△OPF（HL），∴PE＝PF，∵OE＝OF，∴OP⊥EF．（2）证明：连接AC，设EF交OP于J．∵AB＝CD，AE＝EB，CF＝DF，∴AE＝CF，BE＝DF，∵PE＝PF，∴PA＝PC，∵PE＝PF，OE＝OF，∴OP垂直平分线段EF，∴EJ＝JF，∵OP∥AF，∴EP＝PA，∴PC＝PF，PA＝PE，∴四边形AFEC是平行四边形，∵EA＝CF，∴四边形AFEC是矩形．八．扇形统计图（共1小题）10．（2021•上海）现在5G手机非常流行，某公司第一季度总共生产80万部5G手机，三个月生产情况如图．（1）求三月份生产了多少部手机？（2）5G手机速度很快，比4G下载速度每秒多95MB，下载一部1000MB的电影，5G 比4G要快190秒，求5G手机的下载速度．【答案】（1）三月份生产了36万部手机；（2）5G手机的下载速度是每秒100MB．【解答】解：（1）80×（1﹣30%﹣25%）＝36（万部），答：三月份生产了36万部手机；（2）设5G手机的下载速度是每秒xMB．则4G手机的下载速度是每秒（x﹣95）MB．+190＝，解得：x1＝100，x2＝﹣5（不合题意，舍去），经检验，x1＝100是原方程的解，答：5G手机的下载速度是每秒100MB．。