中考几何证明题及答案

1.（2023.营口24题）在平行四边形ABCD中，∠ADB=90°,点E在CD 上，点G在AB上，点F在BD的延长线上，连接EF，DG, ∠FED=∠ADG，ADBD =DG EF=k.（1）如图1，当k=1时，请用等式表示线段AG与线段DF的数量关系________；（2）如图2，当k=√(3)时，写出线段AD，DE和DF之间的数量关系,并说明理由；（3）在（2）的条件下，当点G是AB的中点时，连接BE，求tan∠EBF的值2.（2023.本溪铁岭辽阳25题）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点O为AB的中点，点D在直线AB上（不与点A，B重合），连接CD，线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，过点B作直线l⊥BC，过点E作EF⊥l，垂足为点F，直线EF交直线OC于点G.（1）如图1，当点D与点O重合时，请直接写出线段AD与线段EF 的数量关系；（2）如图2，当点D在线段AB上时，求证：CG+BD=√2BC；（3）连接DE，△CDE的面积记为S1，△ABC的面积记为S2，当EF:BC=1:3时，请直接写出S1S2的值.3.(2023.大连25题)综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质。

已知AB=AC，∠A>90°，点E为AC上一动点，将△ABE以BE为对称轴翻折，同学们经过思考后进行如下探究：独立思考：小明：“当点D落在BC上时，∠EDC=2∠ACB.”小红：“若点E为AC中点，给出AC与DC的长，就可求出BE的长.”补足探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：问题1：在等腰△ABC中，AB=AC，∠A>90°，△BDE由△ABE翻折得到.（1）如图1，当点D落在BC上时，求证：∠EDC=2∠ACB；（2）如图2，若点E为AC中点，AC=4，CD=3，求BE的长.问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成∠A<90°的等腰三角形，可以问题进一步拓展.问题2：如图3，在等腰△ABC中，∠A<90°，AB=AC=BD=4，2∠D=∠ABD.若CD=1，则求BC的长.4.(2023.牡丹江26题)平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，连接DE，将ED绕点E逆时针旋转90°，得到EF，连接BF.（1）当点E在线段BC上，∠ABC=45°时，如图1，求证：AE+EC=BF；（2）当点E在线段BC延长线上，∠ABC=45°时，如图2，当点E在线段CB延长线上，∠ABC=135°时，如图3，请猜想并直接写出线段AE，EC,BF的数量关系；（3）在（1）、（2）的条件下，若BE=3，DE=5，则CE=______.5.（2023.贵州省25题）如图1，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA=CB,∠C=90°,过点B作射线BD⊥AB，垂足为B，点P在CB上.（1）【动手操作】如图2，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E,根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为______度；（2）【问题探究】根据（1）所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；（3）【拓展延伸】如图3，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD将于点E，探究线段BA，BP，BE之间的数量关系，并说明理由.6.(2023.沈阳24题)如图1.在平行四边形纸片中，AB=10，AD=6，∠DAB=60°，点E为BC边上的一点（点E不与点C重合），连接AE，将平行四边形ABCD纸片沿AE所在直线折叠，点C，D的对应点分别为C`，D`，射线C`E与射线AD将于点F.（1）求证：AF=EF；（2）如图2，当EF⊥AF时，DF的长为______;（3）如图3，当CE=2时，过点F作FM⊥AE，垂足为点M，延长FM 交C`D`于点N，连接AN，EN，求△ANE的面积。

初三几何证明练习题和答案几何证明是初中数学中的重要内容，通过练习不同类型的几何证明题，可以帮助学生理解并掌握几何证明的基本方法与技巧。

本文将为大家提供一些初三几何证明的练习题和答案，希望对同学们的学习有所帮助。

1. 题目：已知ABCD是平行四边形，证明∠ABC + ∠ADC = 180°。

证明：解：连接AC，根据平行四边形的性质可知∠ADC = ∠ACB，所以要证明∠ABC + ∠ADC = 180°，只需证明∠ABC + ∠ACB = 180°。

由角的内外（对顶、同旁）定理可知∠ACB + ∠ABC = 180°，即∠ABC + ∠ACB = 180°。

所以，∠ABC + ∠ADC = 180°得证。

2. 题目：已知直角三角形ABC中，∠ACB = 90°，AC = 5cm，BC= 12cm，证明AB = 13cm。

证明：解：根据勾股定理可得AB² = AC² + BC²。

代入已知条件，即可得AB² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169。

开方可得AB = 13cm。

所以，AB = 13cm得证。

3. 题目：已知直角三角形ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，证明∠ABC = 45°。

证明：解：连接AB，根据等腰直角三角形的性质可知∠ACB = ∠CAB。

所以，∠ABC = 180° - ∠ACB - ∠CAB = 180° - ∠ACB - ∠ACB = 180° - 2∠ACB。

由于∠ACB = 90°，代入得∠ABC = 180° - 2 × 90° = 0°。

所以，∠ABC = 0°，即∠ABC = 45°得证。

4. 题目：已知ABCD是一个平行四边形，E为AD的中点，证明BE平分∠CBD。

初三几何证明题经典题一1、已知：如图,O是半圆的圆心,C、E是圆上的两点,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO．求证：CD＝GF．2、已知：如图,P是正方形ABCD内部的一点,∠PAD＝∠PDA＝15°;求证：△PBC是正三角形．初二3、已知：如图,在四边形ABCD中,AD＝BC,M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．经典题二1、已知：△ABC中,H为垂心各边高线的交点,O为外心,且OM⊥BC于M．1求证：AH＝2OM；2若∠BAC＝600,求证：AH＝AO．2、设MN是圆O外一条直线,过O作OA⊥MN于A,自A引圆的两条割线交圆O于B、C及D、E,连接CD并延长交MN于Q,连接EB并延长交MN于P.求证：AP＝AQ．3、如图,分别以△ABC的AB和AC为一边,在△ABC的外侧作正方形ABFG和正方形ACDE,点O是DF 的中点,OP⊥BC求证：BC=2OP证明：分别过F、A、D作直线BC的垂线,垂足分别是L、M、N∵OF=OD,DN∥OP∥FL∴PN=PL∴OP是梯形DFLN的中位线∴DN+FL=2OP∵ABFG是正方形∴∠ABM+∠FBL=90°又∠BFL+∠FBL=90°∴∠ABM=∠BFL又∠FLB=∠BMA=90°,BF=AB∴△BFL≌△ABM∴FL=BM同理△AMC≌△CND∴CM=DN∴BM+CN=FL+DN∴BC=FL+DN=2OP经典题三1、如图,四边形ABCD 为正方形,DE ∥AC,AE ＝AC,AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．证明：连接BD 交AC 于O;过点E 作EG ⊥AC 于G ∵ABCD 是正方形 ∴BD ⊥AC 又EG ⊥AC ∴BD ∥EG 又DE ∥AC ∴ODEG 是平行四边形 又∠COD=90° ∴ODEG 是矩形 ∴EG=OD=21BD=21AC=21AE ∴∠EAG=30° ∵AC=AE∴∠ACE=∠AEC=75° 又∠AFD=90°-15°=75° ∴∠CFE=∠AFD=75°=∠AEC ∴CE=CF2、如图,四边形ABCD 为正方形,DE ∥AC,且CE ＝CA,直线EC 交DA 延长线于F ． 求证：AE ＝AF ．证明：连接BD,过点E 作EG ⊥AC 于G ∵ABCD 是正方形 ∴BD ⊥AC,又EG ⊥AC∴BD ∥EG 又DE ∥AC ∴ODEG 是平行四边形 又∠COD=90° ∴ODEG 是矩形 ∴EG =OD =21BD=21AC=21CE ∴∠GCE=30° ∵AC=EC3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点,PF ⊥AP,CF 平分∠DCE ． 求证：PA ＝PF ．初二证明：过点F 作FG ⊥CE 于G,FH ⊥CD 于H ∵CD ⊥CG ∴HCGF 是矩形 ∵∠HCF=∠GCF ∴FH=FG ∴HCGF 是正方形 ∴CG=GF ∵AP ⊥FP∴∠APB+∠FPG=90° ∵∠APB+∠BAP=90° ∴∠FPG=∠BAP 又∠FGP=∠PBA ∴△FGP ∽△PBA ∴FG ：PB=PG ：AB4、如图,PC 切圆O 于C,AC 为圆的直径,PEF 为圆的割线,AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ． 求证：AB ＝DC,BC ＝AD ．初三证明：过点E 作EK ∥BD,分别交AC 、AF 于M 、K,取EF 的中点H, 连接OH 、MH 、EC设AB=x ,BP=y ,CG=zz ：y=x-y+z ：x化简得x-y ·y =x-y ·z ∵x-y ≠0 ∴y=z 即BP=FG ∴△ABP ≌△PGF∴∠CAE=∠CEA=21∠GCE=15° 在△AFC 中∠F =180°-∠FAC-∠ACF =180°-∠FAC-∠GCE=180°-135°-30°=15°∵EH=FH∴OH ⊥EF,∴∠PHO=90° 又PC ⊥OC,∴∠POC=90° ∴P 、C 、H 、O 四点共圆 ∴∠HCO=∠HPO又EK ∥BD,∴∠HPO=∠HEK ∴∠HCM=∠HEM ∴H 、C 、E 、M 四点共圆 ∴∠ECM=∠EHM 又∠ECM=∠EFA ∴∠EHM=∠EFA ∴HM ∥AC ∵EH=FH经典题四1、已知：△ABC 是正三角形,P 是三角形内一点,PA ＝3,PB ＝4,PC ＝求∠APB 的度数．初二解：将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转60°得△BCQ,连接PQ 则△BPQ 是正三角形 ∴∠BQP=60°,PQ=PB=3在△PQC 中,PQ=4,CQ=AP=3,PC=5 ∴△PQC 是直角三角形 ∴∠PQC=90°∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150° ∴∠APB=∠BQC=150°2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点,且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．初二∴EM=KM ∵EK ∥BD ∴KMODAM AO EM OB == ∴OB=OD 又AO=CO∴四边形ABCD 的对角证明：过点P 作AD 的平行线,过点A 作PD 的平行线, 两平行线相交于点E,连接BE ∵PE ∥AD,AE ∥PD ∴ADPE 是平行四边形 ∴PE=AD,又ABCD 是平行四边形 ∴AD=BC ∴PE=BC又PE ∥AD,AD ∥BC ∴PE ∥BC∴BCPE 是平行四边形 ∴∠BEP=∠PCB ∵ADPE 是平行四边形 ∴∠ADP=∠AEP3、设ABCD 为圆内接凸四边形,求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．初三 证明：在BD 上去一点E,使∠BCE=∠ACD ∵错误!=错误!∴∠CAD=∠CBD ∴△BEC ∽△ADC ∴ACBCAD BE∴AD ·BC=BE ·AC ……………………① ∵∠BCE=∠ACD∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE 即∠BCA=∠ECD∵错误!=错误!,∴∠BAC=∠BDC △BAC ∽△EDC又∠ADP=∠ABP ∴∠AEP=∠ABP ∴A 、E 、B 、P 四点共圆 ∴∠BEP=∠PAB ∴∠PAB=∠PCB∴CDACDE AB∴AB ·CD=DE ·AC ……………………②4、平行四边形ABCD 中,设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点,AE 与CF 相交于P,且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．初二证明：过点D 作DG ⊥AE 于G,作DH ⊥FC 于H,连接DF 、∴S △ADE =错误!AE ·DG,S △FDC =错误!FC ·DH 又S △ADE =S △FDC =错误!S □ABCD ∴AE ·DG=FC ·DH 又AE=CF ∴DG=DH∴点D 在∠APC 的角平分线上 ∴∠DPA ＝∠DPC经典题五1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点,L ＝PA ＋PB ＋PC,求证：3≤L ＜2． 证明：1将△BPC 绕B 点顺时针旋转60°的△BEF,连接PE,∵BP=BE,∠PBE=60° ∴△PBE 是正三角形; ∴PE=PB 又EF=PC ∴L=PA+PB+PC=PA+PE+EF当PA 、PE 、EF 在一条直线上的时候,L=PA+PE+EF 的值最小如图在△ABF 中,∠ABP=120°∴AF=3BGB∴L=PA+PB+PC ≤32过点P 作BC 的平行线分别交AB 、AC 于D 、G 则△ADG 是正三角形 ∴∠ADP=∠AGP,AG=DG ∵∠APD ＞∠AGP ∴∠APD ＞∠ADP∴AD ＞PA …………………………① 又BD+PD ＞PB ……………………② CG+PG ＞PC ……………………③①+②+③得AD+BD+CG+PD+PG ＞PA+PB+PC ∴AB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+AC ＞PA+PB+PC=L ∵AB=AC=1∴L ＜2 由12可知：3≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点,求PA ＋PB ＋PC 的最小值．解：将△BCP 绕点B 顺时针旋转60°得△BEF,连接PE, 则△BPE 是正三角形 ∴PE=PB∴PA ＋PB ＋PC=PA+PE+EF∴要使PA ＋PB ＋PC 最小,则PA 、PE 、EF 应该在一条直线上如图此时AF=PA+PE+EF过点F 作FG ⊥AB 的延长线于G则∠GBF=180°-∠ABF=180°-150°=30° ∴GF=错误!,BG=23∴AF=22AG GF +=2212321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛=32+∴PA ＋PB ＋PC 的最小值是32+3、P 为正方形ABCD 内的一点,并且PA ＝a,PB ＝2a,PC ＝3a,求正方形的边长． 证明：将△ABP 绕点B 顺时针旋转90°得△BCQ,连接PQ 则△BPQ 是等腰直角三角形, ∴PQ=2PB=2×2a=22a 又QC=AP=a∴QP 2+QC 2=22a 2+a 2=9a 2=PC 2∴△PQC 是直角三角形 ∴∠BQC=135°∵BC 2=BQ 2+CQ 2-2BQ ·CQ ·cos ∠BQC=PB 2+PA 2-2PB ·PAcos135°=4a 2+a 2-2×2a ×a ×-22解得BC=a 225+∴正方形的边长为a 225+4、如图,△ABC 中,∠ABC ＝∠ACB ＝80°,D 、E 分别是AB 、AC 上的点,∠DCA ＝30°,∠EBA ＝20°,求∠BED 的度数．解：在AB 上取一点F,使∠BCF=60°,CF 交BE 于G,连接EF 、DG ∵∠ABC=80°,∠ABE=20°,∴∠EBC=60°,又∠BCG=60° ∴△BCG 是正三角形∴BG=BC∵∠ACB=80°,∠BCG=60°∴∠FCA=20°∴∠EBA=∠FCA 又∵∠A=∠A,AB=AC ∴△ABE ≌ACF ∴AE=AF ∴∠AFE=∠AEF=错误!180°-∠A=80°又∵∠ABC=80°=∠AFE ∴EF ∥BC ∴∠EFG=∠BCG=60° ∴△EFG 是等边三角形∴EF=EG,∠FEG=∠EGF=∠EFG=60°∵ACB=80°,∠DCA=30°∴∠BCD=50°∴∠BDC=180°-∠BCD-∠ABC=180°-50°-80°=50° ∴∠BCD=∠BDC ∴BC=BD 前已证BG=BC ∴BD=BG ∠BGD=∠BDG=错误!180°-∠ABE=80°∴∠FGD=180°-∠BGD-∠EGF=180°-80°-60°=40° 又∠DFG=180°-∠AFE-∠EFG=180°-80°-60°=40°∴∠FGD=∠DFG ∴DF=DG 又EF=EG,DE=DE ∴△EFD ≌△EGD ∴∠BED=∠FED=错误!∠FEG=错误!×60°=30°5、如图,△ABC 内接于⊙O,且AB 为⊙O 的直径,∠ACB 的平分线交⊙O 于点D,过点D 作⊙O 的切线PD 交CA 的延长线于点P,过点A 作AE ⊥CD 于点E,过点B 作BF ⊥CD 于点F,若AC=6,BC=8,求线段PD 的长; 解：∵∠ACD=∠BCD ∴错误!=错误!∴AD=BD ∵AB 为⊙O 的直径∴∠ADB=90° ∴△ABD 是等腰直角三角形∵∠ACB=90°,AC=6,BC=8 ∴AB=10∴AD=AB ·cos ∠DAB=10×22=52 又AE ⊥CD,∠ACD=45°∴△ACE 是等腰直角三角形∴CE=AE=AC ·cos ∠CAE=6×22=32 在△ADE 中,DE 2=AD 2-AE 2∴DE 2=32232522=）（）（-∴DE=24 ∴CD=CE+DE=32+24=27∵∠PDA=∠PCD,∠P=∠P ∴△PDA ∽△PCD ∴752725====CD AD PD PA PC PD ∴PC=57PD,PA=75PD ∵PC=PA+AC ∴57PD=75PD+6解得PD=435 1证明：过点G 作GH ⊥AB 于H,连接OE ∵EG ⊥CO,EF ⊥AB ∴∠EGO=90°,∠EFO=90°∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG ∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG ∴FG EO =HGGO∵GH ⊥AB,CD ⊥AB ∴GH ∥CD ∴CD COHG GO =∴CDCOFG EO =∵EO=CO ∴CD=GF2证明：作正三角形ADM,连接MP ∵∠MAD=60°,∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°,∠PAD=15°∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA,AP=AP ∴△MAP ≌△BAP ∴∠BPA=∠MPA,MP=BP 同理∠CPD=∠MPD,MP=CP ∵∠PAD ＝∠PDA ＝15° ∴PA=PD,∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD∵∠BPA=∠MPA,∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75° ∴∠BPC=360°-75°×4=60°∵MP=BP,MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形3证明:连接AC,取AC 的中点G,连接NG 、MG ∵CN=DN,CG=DG ∴GN ∥AD,GN=21AD ∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM,AG=CG ∴GM ∥BC,GM=21BC ∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM ∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F1证明：1延长AD 交圆于F,连接BF,过点O 作OG ⊥AD 于G ∵OG ⊥AF ∴AG=FG ∵错误!=错误! ∴∠F=∠ACB 又AD ⊥BC,BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90°∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD ∴BH=BF 又AD ⊥BC ∴DH=DF∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2GH+DH=2GD 又AD ⊥BC,OM ⊥BC,OG ⊥AD ∴四边形OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM 2连接OB 、OC∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC,OM ⊥BC ∴∠BOM=21∠BOC=60°∴∠OBM=30° ∴BO=2OM由1知AH=2OM ∴AH=BO=AO2证明：作点E 关于AG 的对称点F,连接AF 、CF 、QF ∵AG ⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF 即∠PAE=∠QAF ∵E 、F 、C 、D 四点共圆 ∴∠AEF+∠FCQ=180° ∵EF ⊥AG,PQ ⊥AG ∴EF ∥PQ ∴∠PAF=∠AFE ∵AF=AE ∴∠AFE=∠AEF∴∠AEF=∠PAF∵∠PAF+∠QAF=180°∴∠FCQ=∠QAF∴F、C、A、Q四点共圆∴∠AFQ=∠ACQ又∠AEP=∠ACQ∴∠AFQ=∠AEP在△AEP和△AFQ中∠AFQ=∠AEPAF=AE∠QAF=∠PAE∴△AEP≌△AFQ∴AP=AQ。

经典题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）证明：过点G 作GH ⊥AB 于H ，连接OE ∵EG ⊥CO ，EF ⊥AB∴∠EGO=90°，∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG ∴FG EO =HGGO∵GH ⊥AB ，CD ⊥AB ∴GH ∥CD∴CD COHG GO =∴CDCO FG EO = ∵EO=CO ∴CD=GF2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内部的一点，∠PAD ＝∠PDA ＝15°。

求证：△PBC 是正三角形．（初二） 证明：作正三角形ADM ，连接MP ∵∠MAD=60°，∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°，∠PAD=15°∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA ，AP=AP ∴△MAP ≌△BAP∴∠BPA=∠MPA ，MP=BP 同理∠CPD=∠MPD ，MP=CP ∵∠PAD ＝∠PDA ＝15°∴PA=PD ，∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD∵∠BPA=∠MPA ，∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75°∴∠BPC=360°-75°×4=60°∵MP=BP ，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形3、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．证明:连接AC ，取AC 的中点G ,连接NG 、MG ∵CN=DN ，CG=DG ∴GN ∥AD ，GN=21AD ∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM ，AG=CG ∴GM ∥BC ，GM=21BC ∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F经典题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 证明：（1）延长AD 交圆于F ，连接BF ，过点O 作OG ⊥AD 于G ∵OG ⊥AF ∴AG=FG ∵AB⌒ =AB ⌒ ∴∠F=∠ACB又AD ⊥BC ，BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD∴BH=BF 又AD ⊥BC ∴DH=DF∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH ）=2GD 又AD ⊥BC ，OM ⊥BC ，OG ⊥AD ∴四边形OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM （2）连接OB 、OC∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC ，OM ⊥BC ∴∠BOM=21∠BOC=60°∴∠OBM=30° ∴BO=2OM由（1）知AH=2OM ∴AH=BO=AO2、设MN 是圆O 外一条直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条割线交圆O 于B 、C 及D 、E ，连接CD 并延长交MN 于Q ，连接EB 并延长交MN 于P. 求证：AP ＝AQ ．证明：作点E 关于AG 的对称点F ，连接AF 、CF 、QF ∵AG ⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF 即∠PAE=∠QAF∵E 、F 、C 、D 四点共圆 ∴∠AEF+∠FCQ=180° ∵EF ⊥AG ，PQ ⊥AG ∴EF ∥PQ∴∠PAF=∠AFE ∵AF=AE∴∠AFE=∠AEF ∴∠AEF=∠PAF ∵∠PAF+∠QAF=180° ∴∠FCQ=∠QAF ∴F 、C 、A 、Q 四点共圆 ∴∠AFQ=∠ACQ 又∠AEP=∠ACQ ∴∠AFQ=∠AEP3、设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）证明：作OF ⊥CD 于F ，OG ⊥BE 于G ，连接OP 、OQ 、OA 、AF 、AG ∵C 、D 、B 、E 四点共圆 ∴∠B=∠D ，∠E=∠C ∴△ABE ∽△ADC ∴DFBGFD 2BG 2DC BE AD AB === ∴△ABG ∽△ADF ∴∠AGB=∠AFD ∴∠AGE=∠AFC ∵AM=AN ， ∴OA ⊥MN 又OG ⊥BE ，∴∠OAQ+∠OGQ=180° ∴O 、A 、Q 、E 四点共圆 ∴∠AOQ=∠AGE 同理∠AOP=∠AFC ∴∠AOQ=∠AOP又∠OAQ=∠OAP=90°，OA=OA ∴△OAQ ≌△OAP ∴AP=AQ 在△AEP 和△AFQ 中 ∠AFQ=∠AEP AF=AE ∠QAF=∠PAE ∴△AEP ≌△AFQ ∴AP=AQ4、如图,分别以△ABC 的AB 和AC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ABFG 和正方形ACDE ，点O 是DF 的中点，OP ⊥BC求证：BC=2OP （初二）证明：分别过F 、A 、D 作直线BC 的垂线，垂足分别是L 、M 、N ∵OF=OD ，DN ∥OP ∥FL ∴PN=PL∴OP 是梯形DFLN 的中位线 ∴DN+FL=2OP ∵ABFG 是正方形∴∠ABM+∠FBL=90° 又∠BFL+∠FBL=90° ∴∠ABM=∠BFL又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB ∴△BFL ≌△ABM ∴FL=BM同理△AMC ≌△CND ∴CM=DN∴BM+CN=FL+DN ∴BC=FL+DN=2OP经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二）证明：连接BD 交AC 于O 。

初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）.如下图做GH ⊥AB,连接EO 。

由于GOFE 四点共圆，所以∠GFH ＝∠OEG , 即△GHF ∽△OGE,可得EO GF =GO GH =COCD,又CO=EO ，所以CD=GF 得证。

2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二）.3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）APCDB D 2C 2 B 2 A 2D 1C 1B 1C B DA A 1 AFGCEBOD4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．经典题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O（1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．BF求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEFB 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）经典题（四）1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5． 求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、 设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值． A P CB P A D CB C B D A F PD E CB A APCB3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度数．经典题（一）1.如下图做GH⊥AB,连接EO。

几何证明练习题带答案一、选择题1. 已知三角形ABC中，AB=AC，点D在BC上，且BD=DC。

求证：∠BAD=∠CAD。

A. 利用等腰三角形性质B. 利用角平分线定理C. 利用等边三角形性质D. 利用相似三角形性质答案：B2. 已知线段AB和CD平行，且M是线段AB上的一点，N是线段CD上的一点，MN与AB、CD不平行。

求证：∠AMN≠∠CNM。

A. 利用平行线性质B. 利用内错角定理C. 利用同位角定理D. 利用补角定理答案：A二、填空题1. 在三角形ABC中，若∠A=90°，AB=AC，那么∠B=∠C=______。

答案：45°2. 已知三角形ABC中，AB=5，AC=7，BC=6，根据勾股定理可知这是一个______三角形。

答案：直角三、简答题1. 如何证明三角形内角和定理？答案：在三角形ABC中，延长BC至点D，根据外角定理，∠ACD=∠A+∠B。

又因为∠ACD+∠C=180°，所以∠A+∠B+∠C=180°，证明了三角形内角和为180°。

2. 如何证明圆内接四边形的对角互补？答案：设圆内接四边形ABCD，连接对角线AC和BD，由于AC和BD 都是圆的直径，根据圆周角定理，∠A+∠C=90°，∠B+∠D=90°。

因此，对角互补。

四、证明题1. 已知三角形ABC中，AB=AC，点D在BC上，且BD=DC。

证明∠BAD=∠CAD。

证明：由于AB=AC，根据等腰三角形性质，∠ABC=∠ACB。

又因为BD=DC，根据等边三角形性质，∠ABD=∠ACD。

因此，∠BAD=∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACD=∠CAD。

2. 已知圆O中，弦AB和CD相交于点P，PA=PB，PC=PD。

证明：OP垂直于AB和CD。

证明：由于PA=PB，根据圆周角定理，∠APB=∠PBA。

同理，∠CPD=∠PDC。

因为∠APB+∠CPD=180°，所以∠OPB+∠OPD=90°。

2024学年全国中考数学必刷好题（通用版）专项(尺规作图及简单几何证明)练习1．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AD∥BC．（1）在图中，用尺规作线段BD的垂直平分线EF，分别交BD、BC于点E、F．（保留作图痕迹，不写作法）（2）连接DF，证明四边形ABFD为菱形．2．如图，在矩形ABCD中，AO＝OC．（1）用尺规过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E，F，连接AF，CE．（用基本作图，保留作图痕迹，不写作法、结论）（2）求证：四边形AFCE是菱形．3．如图，已知等边△ABC中边AB＝10，按要求解答下列问题：（1）尺规作图：作∠ABC的角平分线BP，射线BP交边AC于点P．（不写作法，用2B 铅笔作图并保留痕迹）（2）在（1）作图中，若点D在线段BP上，且使得AD＝5，求BD的长．（结果保留根号）4．在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）尺规作图：作边AB的垂直平分线EF，分别与线段AB、AC，AD交于点E、F，G；（不写作法，保留作图痕迹）（2）连接BG、CG，若AG＝1，∠BAC＝45°，求△BGC的面积．5．求证：等腰三角形两腰上的中线相等．（1）请用尺规作出△ABC两腰上的中线BD、CE（保留痕迹，不写作法）；（2）结合图形，写出已知、求证和证明过程．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，且∠BAC＝120°．（1）作AB的垂直平分线，交AB于点D，交BC于点E，连接AE，延长CA，交直线DE于点F；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）所作的图中，求证：AC＝AF．7．如图，在△ABC中，AB＝8，∠ABC＝30°，∠ACB＝45°．（1）用尺规作图的方法作出AC边的中垂线；（保留作图痕迹，不写作法）（2）求△ABC的面积．8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形．（1）请用直尺和圆规在AB上取一点E，使得EA＝ED；（2）在（1）的条件下，连接CE，若∠A＝60°，AB＝6，AD＝4，求线段CE的长．9．如图，BD是△ABC的角平分线．（1）用直尺和圆规过点D作DF⊥BC，垂足为F（不要求写作法，保留作图痕迹）；（2）若BC＝5，AB＝6，S△ABC＝11，求DF的长．10．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交BD于点E，交BC于点M． （1）尺规作图：作∠BCD的平分线CN，交BD于点F．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，并标明字母）（2）求证：AE＝CF．11．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，连接AD，E是边CA延长线上一点，射线AF平分∠BAE．（1）过点B作AF的垂线，垂足为G（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）所作的图中，求证：四边形BDAG是矩形．12．如图，在平行四边形ABCD中，CF平分∠BCD交B于点F．（1）尺规作图：过点A作AE平分∠BAD交BD于点E；注意：不写作法，保留作图痕迹，并标明字母．（2）求证：AE＝CF．13．如图，△ABC中，BA⊥AC，∠B＝31°．（1）尺规作图：作线段BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E；（2）在（1）作图的基础上，连接AE、CD，求∠AED的度数．14．如图．菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O．尺规作图：过点A作直线BC的垂线（不写作法和证明，保留作图痕迹）．该垂线与BC交于点E，F为AD边上一点，DF＝AE，连接OF，若OD＝2AO，请猜想CE与OF的数量关系，并证明你的猜想．15．如图，在平行四边形ABCD中，按下列步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，交AB于点N，交BC于点M；②再分别以点M和点N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点G；③作射线BG交AD于F；④作FE∥AB交BC于E；⑤连接AE交BF于点P；（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）连接CP，若AB＝8，AD＝12，∠ABC＝60°，求CP的长．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，P是边AD上一点，将△ABP沿着直线PB 折叠，得到△EBP．（1）请在备用图上用没有刻度的直尺和圆规，在边AD上作出一点P，使BE平分∠PBC，并求出此时△BEC的面积；（作图要求：保留作图痕迹，不写作法．）（2）连接CE并延长交线段AD于点Q，则AQ的最大值为．（直接写出答案）17．如图，已知⊙O，请用无刻度的直尺和圆规按要求画图（不写画法，保留作图痕迹）（1）图1中，若点P为⊙O外一点，请过点P作⊙O的一条切线PM（点M为切点）；（2）图2中，若点Q为⊙O外一点，点C为优弧AB上一点，试确定点C，使得CQ平分∠ACB．18．如图，四边形ABCD为正方形．（1）请用直尺（不含刻度）与圆规在正方形内作一点P，使得点P到AB、CD的距离相等，且点P到BC的距离等于P A的长；（不要求写做法，但要保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若正方形的边长为4，求P A的长．19．已知：∠AOB和线段a．求作：⊙P，使它与∠AOB的两边相切，半径等于线段a．20．下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程． 已知：⊙O和圆外一点P．求作：过点P的⊙O的切线．作法：①连接OP；②以OP为直径作⊙M，交⊙O于点A，B；③作直线P A，PB；所以直线P A，PB为⊙O的切线．根据小文设计完成作图（保留作图痕迹）及证明．证明：连接OA，OB．∵OP为⊙M的直径，∴∠OAP＝∠OBP＝ °，（）（填推理的依据） ∴OA⊥AP， ⊥BP．∵OA，OB为⊙O的半径，∴直线P A，PB为⊙O的切线．（）（填推理的依据）参考答案1．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AD∥BC．（1）在图中，用尺规作线段BD的垂直平分线EF，分别交BD、BC于点E、F．（保留作图痕迹，不写作法）（2）连接DF，证明四边形ABFD为菱形．【详细解答】解：（1）如图：（2）证明：如图，连接DF，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠EBF，∵AF垂直平分BD，∴BE＝DE．在△ADE和△FBE中，，∴△ADE≌△FBE（ASA），∴AE＝EF，∴BD与AF互相垂直且平分，∴四边形ABFD为菱形．2．如图，在矩形ABCD中，AO＝OC．（1）用尺规过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E，F，连接AF，CE．（用基本作图，保留作图痕迹，不写作法、结论）（2）求证：四边形AFCE是菱形．【详细解答】解：（1）如图所示，直线EF即为所求；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∵AC的中点是O，∴OA＝OC，在△EOA和△FOC中，，∴△EOA≌△FOC（ASA），∴OE＝OF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形．3．如图，已知等边△ABC中边AB＝10，按要求详细解答下列问题：（1）尺规作图：作∠ABC的角平分线BP，射线BP交边AC于点P．（不写作法，用2B铅笔作图并保留痕迹）（2）在（1）作图中，若点D在线段BP上，且使得AD＝5，求BD的长．（结果保留根号）【详细解答】解：（1）如图所示，射线BP即为所求．（2）∵△ABC为等边三角形，∠PBA＝30°，∴BP平分∠ABC，∴BP⊥AC，在Rt△ABP中，BP＝AP＝5，∴AP＝AB＝5＜5，在Rt△ADP中，PD＝＝＝5，∴BD＝BP﹣PD＝5﹣5．4．在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）尺规作图：作边AB的垂直平分线EF，分别与线段AB、AC，AD交于点E、F，G；（不写作法，保留作图痕迹）（2）连接BG、CG，若AG＝1，∠BAC＝45°，求△BGC的面积．【详细解答】解：（1）如图，直线EF即为所求作．（2）∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝22.5°，BD＝CD，∵GB＝GC，∵EF垂直平分线段AB，∴GA＝GB＝GC＝1，∴∠GBA＝∠BAG＝22.5°，∠GCA＝∠GAC＝22.5°，∴∠BGD＝∠GBA+∠GAB＝45°，∠CGD＝∠GCA+∠GAC＝45°，∴∠BGC＝90°，∴S△BGC＝•BG•GC＝．5．求证：等腰三角形两腰上的中线相等．（1）请用尺规作出△ABC两腰上的中线BD、CE（保留痕迹，不写作法）；（2）结合图形，写出已知、求证和证明过程．【详细解答】解：（1）如图所示，中线BD、CE即为所求；（2）已知：△ABC中，AB＝AC，AD＝DC，AE＝EB，求证：BD＝CE．证明：∵AB＝AC，AD＝DC，AE＝EB，∴DC＝BE，∠DCB＝∠EBC．∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB（SAS）．∴BD＝CE．即等腰三角形的两腰上的中线相等．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，且∠BAC＝120°．（1）作AB的垂直平分线，交AB于点D，交BC于点E，连接AE，延长CA，交直线DE于点F；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）所作的图中，求证：AC＝AF．【详细解答】（1）解：如图，EF为所作；（2）证明：连接AE，如图，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝×（180°﹣120°）＝30°，∵DE垂直平分AB，∴∠ADF＝90°，EB＝EA，而∠DAF＝180°﹣∠BAC＝60°，∠EAB＝∠B＝30°，∴∠DF A＝90°﹣60°＝30°，∠EAF＝90°，∴∠EF A＝∠C，∴EF＝EC，而EA⊥CF，∴AC＝AF．7．如图，在△ABC中，AB＝8，∠ABC＝30°，∠ACB＝45°． （1）用尺规作图的方法作出AC边的中垂线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求△ABC的面积．【详细解答】解：（1）如图（1）所示：EF即为所求；（2）如图（2），过A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，∵AB＝8，∠ABC＝30°，∴AD＝AB＝4，∴BD＝＝4，在Rt△ACD中，∵∠ACB＝45°，∴∠CAD＝45°，∴CD＝AD＝4，∴BC＝BD+CD＝4+4，∴S△ABC＝BC•AD＝×（4+4）×4＝8+8，即△ABC的面积为8+8．8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形．（1）请用直尺和圆规在AB上取一点E，使得EA＝ED；（2）在（1）的条件下，连接CE，若∠A＝60°，AB＝6，AD＝4，求线段CE的长．【详细解答】解：（1）如图，线段DE即为所求作．（2）过点E作EH⊥CD于H．∵∠A＝60°，EA＝ED，∴△ADE是等边三角形，∴∠AED＝60°，AEB＝AD＝DE＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠CDE＝∠AED＝60°，∵∠DHE＝∠CHE＝90°，∴DH＝DE•cos60°＝2，EH＝DE•sin60°＝2，∵AB＝CD＝6，∴CH＝CD﹣DH＝4，∴EC＝＝＝2．9．如图，BD是△ABC的角平分线．（1）用直尺和圆规过点D作DF⊥BC，垂足为F（不要求写作法，保留作图痕迹）；（2）若BC＝5，AB＝6，S△ABC＝11，求DF的长．【详细解答】解：（1）如图，DF为所作；（2）作DE⊥AB于E，如图，∴BD是△ABC的角平分线．∴DE＝DF，∵S△ABC＝S△ABD+S△DBC＝AB•DE+BC•DF，∴DF（5+6）＝11，∴DF＝2．10．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交BD于点E，交BC于点M． （1）尺规作图：作∠BCD的平分线CN，交BD于点F．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，并标明字母）（2）求证：AE＝CF．【详细解答】（1）解：如图，CN为所作；（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∠BAC＝∠BCD，∵AE平分∠BAD，CN平分∠BCD，∴∠BAE＝∠BAD，∠DCF＝∠BCD，∴∠ABE＝∠DCF，∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，在Rt△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF．11．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，连接AD，E是边CA延长线上一点，射线AF平分∠BAE．（1）过点B作AF的垂线，垂足为G（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）所作的图中，求证：四边形BDAG是矩形．【详细解答】（1）解：如图，BG为所作；（2）证明：∵AB＝AC，D是边BC的中点，∴AD⊥BC，∠ABC＝∠ACB，∵射线AF平分∠BAE，∴∠EAF＝∠BAF，∵∠EAB＝∠ABC+∠ACB，即∠EAF+∠BAF＝∠ABC+∠ACB，∴∠EAF＝∠ACB，∴AF∥BC，∴AD⊥AF，∴∠ADB＝∠DAG＝90°，∵BG⊥AF，∴∠BGA＝90°，∴四边形ADBG为矩形．12．如图，在平行四边形ABCD中，CF平分∠BCD交B于点F． （1）尺规作图：过点A作AE平分∠BAD交BD于点E；注意：不写作法，保留作图痕迹，并标明字母．（2）求证：AE＝CF．【详细解答】（1）解：如图，AE为所作；（2）证明：∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，∴∠ABE＝BAD，∠DCF＝∠BCD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF，∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF．13．如图，△ABC中，BA⊥AC，∠B＝31°．（1）尺规作图：作线段BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E；（2）在（1）作图的基础上，连接AE、CD，求∠AED的度数．【详细解答】解：（1）如图所示；（2）∵DE垂直平分BC，∴BE＝CE，∠BED＝90°，∵BA⊥AC，∴∠CAB＝90°，∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠B＝31°，∴∠AEB＝180°﹣（∠EAB+∠B）＝118°，∴∠AED＝∠QEB﹣∠BED＝118°﹣90°＝28°．14．如图．菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O．尺规作图：过点A作直线BC的垂线（不写作法和证明，保留作图痕迹）．该垂线与BC交于点E，F为AD边上一点，DF＝AE，连接OF，若OD＝2AO，请猜想CE与OF的数量关系，并证明你的猜想．【详细解答】解：结论：CE＝OF．理由：图形如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，AD∥BC，∵AE⊥BC，OF⊥AD，∴AE⊥AD，∴∠AEC＝∠DAE＝∠AOD＝∠DFO＝90°，∴∠EAC+∠DAO＝90°，∠FDO+∠DAO＝90°，∴∠CAE＝∠ODF，∵OD＝2AO，AC＝2AO，∴AC＝OD，在△AEC和△DFO中，，∴△AEC≌△DFO（AAS），∴CE＝OF．15．如图，在平行四边形ABCD中，按下列步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，交AB于点N，交BC于点M；②再分别以点M和点N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点G；③作射线BG交AD于F；④作FE∥AB交BC于E；⑤连接AE交BF于点P；（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）连接CP，若AB＝8，AD＝12，∠ABC＝60°，求CP的长．【详细解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∵EF∥CD，∴EF∥AB，∵AF∥BE，∴四边形ABEF为平行四边形，由作法得BF平分∠ABE，即∠ABF＝∠EBF，∵AD∥BC，∴∠AFB＝∠EBF，∴∠ABF＝∠AFB，∴AB＝AF，∴平行四边形ABEF为菱形；（2）解：过P点作PH⊥BC于H，如图，∵四边形ABEF是菱形，∴∠PBH＝∠ABC＝×60°＝30°，BP⊥PE，BE＝BA＝8，在Rt△PBE中，PE＝BE＝4，∴BP＝PE＝4，在Rt△BPH中，PH＝BP＝2，∴BH＝PH＝2×＝6，∴CH＝BC﹣BH＝12﹣6＝6，∴PC＝＝4．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，P是边AD上一点，将△ABP沿着直线PB 折叠，得到△EBP．（1）请在备用图上用没有刻度的直尺和圆规，在边AD上作出一点P，使BE平分∠PBC，并求出此时△BEC的面积；（作图要求：保留作图痕迹，不写作法．）（2）连接CE并延长交线段AD于点Q，则AQ的最大值为1．（直接写出答案）【详细解答】解：（1）如图，点P即为所求作．过点E作EH⊥BC于H，由作图可知，∠EBC＝30°，∴EH＝BE＝，∴S△BCE＝•BC•EH＝×5×＝．（2）如图2中，由题意，BE＝BA，可知点E的运动轨迹是⊙B，当EC与⊙B相切时，AQ的值最大，此时P，Q重合，∵∠BEC＝90°，BC＝5，BE＝AB＝3，∵EC＝＝＝4，∵AD∥BC，∴∠BCE＝∠CPD，∵∠BEC＝∠D＝90°，∴△BCE∽△CPD，∴＝，∴＝，∴PD＝4，∴AQ的最大值＝5﹣4＝1．故答案为：1．17．如图，已知⊙O，请用无刻度的直尺和圆规按要求画图（不写画法，保留作图痕迹）（1）图1中，若点P为⊙O外一点，请过点P作⊙O的一条切线PM（点M为切点）；（2）图2中，若点Q为⊙O外一点，点C为优弧AB上一点，试确定点C，使得CQ平分∠ACB．【详细解答】解：（1）如图，直线PM即为所求作．（2）如图，点C即为所求作．18．如图，四边形ABCD为正方形．（1）请用直尺（不含刻度）与圆规在正方形内作一点P，使得点P到AB、CD的距离相等，且点P到BC的距离等于P A的长；（不要求写做法，但要保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若正方形的边长为4，求P A的长．【详细解答】解：（1）如图，点P为所作；（2）设P A＝x，则PE＝x，∴PF＝4﹣x，在Rt△APF中，AF＝2，∴22+（4﹣x）2＝x2，解得x＝，即AP的长为．19．已知：∠AOB和线段a．求作：⊙P，使它与∠AOB的两边相切，半径等于线段a．【详细解答】解：如图，⊙P为所作．20．下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程．已知：⊙O和圆外一点P．求作：过点P的⊙O的切线．作法：①连接OP；②以OP为直径作⊙M，交⊙O于点A，B；③作直线P A，PB；所以直线P A，PB为⊙O的切线．根据小文设计完成作图（保留作图痕迹）及证明．证明：连接OA，OB．∵OP为⊙M的直径，∴∠OAP＝∠OBP＝ 90°，（直径所对的圆周角为直角 ）（填推理的依据） ∴OA⊥AP， OB⊥BP．∵OA，OB为⊙O的半径，∴直线P A，PB为⊙O的切线．（过半径的外端与半径垂直的性质为圆的切线 ）（填推理的依据）【详细解答】解：如图，证明：连接OA，OB，∵OP为⊙M的直径，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，（直径所对的圆周角为直角）∴OA⊥AP，OB⊥BP，∵OA，OB为⊙O的半径，∴直线P A，PB为⊙O的切线．（过半径的外端与半径垂直的性质为圆的切线）故答案为90°，直径所对的圆周角为直角；OB；过半径的外端与半径垂直的性质为圆的切线．。

初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图，0是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD丄AB , EF丄AB , EG丄CO. 求证：CD = GF .（初二）.如下图做GH丄AB,连接EO。

由于GOFE四点共圆，所以/ GFH =Z OEG, 即厶GHFOGE,可得EO = GO = CO，又CO=EO，所以CD=GF 得证。

GF GH CD2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，/ PAD =Z PDA = 15°. 求证：△ PBC是正三角形.（初二）3、如图，已知四边形ABCD、A i B i C i D i都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA i、BB i、CC i、DD i的中点.及D 、E ,直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q . 求证：AP = AQ .（初二）3、如果上题把直线 MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题:设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN P 、Q .4、 1、求证：四边形 A 2B 2C 2D 2是正方形.（初二）已知: 求证: 如图，在四边形 的延长线交 / DEN = Z△ ABC 中, MN F .ABCD 中，AD = BC , M 、N 分别是 AB 、CD 的中点，AD 、BC 于E 、F .经典题（二）已知： (1) 求证：AH = 20M ;(2) 若/ BAC = 60°,求证:H 为垂心 （各边高线的交点），0为外心，且 0M 丄BC 于M . AH = A0 .(初二)2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA 丄MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于DCGN求证：AP = AQ .（初二）ECAM NP4、如图，分别以厶 ABC 的AC 和BC 为一边，在△ ABC 的外侧作正方形 ACDE 和正方形 CBFG ，点P 是EF 的中点.求证：点P 到边AB 的距离等于 AB 的一半.（初二）经典题（二）1、如图，四边形 ABCD 为正方形, 求证：CE = CF .（初二）2、如图，四边形 ABCD 为正方形，DE // AC ,且CE = CA ，直线EC 交DA 延长线于F . 求证：AE = AF .（初二）DE // AC , AE = AC , AE 与 CD 相交于 F .FEAD1、设P 是边长为1的正△ ABC 内任一点,4、如图，PC 切圆0于C , AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证： AB • CD + AD • BC = AC • BD .（初三）B 、D .求证: AB = DC , BC = AD .（初三）1、已知：△ ABC 是正三角形，P 是三角形内一点 求：/ APB 的度数.（初二）2、设P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且/求证：/ PAB = Z PCB .（初二）4、平行四边形 ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点,AE 与CF 相交于P ,且AE = CF .求证：/ DPA =Z DPC .（初二）AO DB EFC求证:4、如图，△ ABC 中，/ ABC =Z ACB = 80°, D、E 分别是AB、AC 上的点，/ DCA = 30°, / EBA = 20°，求/ BED 的度数. LiB C经典题（一）1•如下图做GH丄AB,连接E0。

初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）.如下图做GH ⊥AB,连接EO 。

由于GOFE 四点共圆，所以∠GFH ＝∠OEG ,即△GHF ∽△OGE,可得EO GF =GO GH =COCD,又CO=EO ，所以CD=GF 得证。

APDAFGCEBOD2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．求证：△PBC是正三角形．（初二）.如下图做GH⊥AB,连接EO。

由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得EOGF =GOGH=COCD,又CO=EO，所以CD=GF得证。

.如下图做GH⊥AB,连接EO。

由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得EOGF =GOGH=COCD,又CO=EO，所以CD=GF得证。

3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点．求证：四边形A2B2C2D2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝、CD的中点，AD、BC的延长线交求证：∠DEN＝∠F．D2C2B2A2D1C1B1C BD AA1经典题（二）1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．F2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ． 求证：AE ＝AF ．3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．求证：PA＝PF．（初二）4、如图，PC切圆O于C，ACAF与直线PO相交于B、D经典题（四）1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PC ＝5．求：∠APB的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）经典难题（五）1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L求证：≤L＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝正方形的边长．4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度数．经典题（一）1.如下图做GH⊥AB,连接EO。

中考数学几何证明题参考答案几何证明题在中考数学中一直占据着重要的地位，它不仅考查学生对几何概念、定理的理解和掌握，还考验学生的逻辑推理能力和空间想象能力。

以下是一些常见中考数学几何证明题的参考答案及解题思路。

例 1：已知在△ABC 中，AB ＝ AC，∠A ＝ 36°，BD 是∠ABC 的平分线，求证：AD ＝ BD ＝ BC。

证明：因为 AB ＝ AC，∠A ＝ 36°，所以∠ABC ＝∠C ＝（180°36°）÷ 2 ＝ 72°。

因为 BD 是∠ABC 的平分线，所以∠ABD ＝∠CBD ＝ 72°÷ 2 ＝36°。

所以∠BDC ＝ 180° 36° 72°＝ 72°。

所以 AD ＝ BD，BC ＝ BD。

综上，AD ＝ BD ＝ BC。

这道题主要利用了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，通过角度的计算来证明线段相等。

例 2：如图，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 边上的一点，F 是 CD 的中点，且 AE ＝ DC ＋ CE，求证：AF 平分∠DAE。

证明：延长 AF 交 BC 的延长线于点 G。

因为四边形 ABCD 是正方形，所以 AD ＝ DC，AD ／／ BC。

所以∠DAF ＝∠G，∠D ＝∠FCG。

又因为 F 是 CD 的中点，所以 DF ＝ CF。

所以△ADF ≌△GCF（AAS）。

所以 AD ＝ CG，AF ＝ FG。

因为 AE ＝ DC ＋ CE，AD ＝ DC，所以 AE ＝ CG ＋ CE ＝ EG。

所以∠EAG ＝∠G。

又因为∠DAF ＝∠G，所以∠DAF ＝∠EAG。

即 AF 平分∠DAE。

这道题通过构造全等三角形，利用全等三角形的性质和等腰三角形的判定来证明角平分线。

例 3：已知，在菱形 ABCD 中，∠B ＝ 60°，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，且∠AEF ＝ 60°，求证：AE ＝ EF。