最新中考数学超好几何证明压轴题汇编
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1、如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,∠BCD=90°,且AB=1,BC=2,tan ∠ADC=2.(1)求证:DC=BC;(2)E 是梯形内一点,F 是梯形外一点,且∠EDC=∠FBC ,DE=BF ,试判断△ECF 的形状,并证明你的结论;(3)在(2)的条件下,当BE :CE=1:2,∠BEC=135°时,求sin ∠BFE 的值.2、已知:如图,在□ABCD 中,E 、F 分别为边AB 、CD 的中点,BD 是对角线,AG ∥DB 交CB 的延长线于G .(1)求证:△ADE ≌△CBF ;(2)若四边形 BEDF 是菱形,则四边形AGBD 是什么特殊四边形?并证明你的结论.3、如图13-1,一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起.现正方形ABCD 保持不动,将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O (点O 也是BD 中点)按顺时针方向旋转.(1)如图13-2,当EF 与AB 相交于点M ,GF 与BD 相交于点N 时,通过观察或测量BM ,FN 的长度,猜想BM ,FN 满足的数量关系,并证明你的猜想; (2)若三角尺GEF 旋转到如图13-3所示的位置时,线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ,线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ,此时,(1)中的猜想还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由. 4、如图,已知⊙O 的直径AB 垂直于弦CD 于E ,连结AD 、BD 、OC 、OD ,且OD =5。
(1)若,求CD 的长; (2)若 ∠ADO :∠EDO =4:1,求扇形OAC (阴影部分)的面积(结果保留)。
5、如图,已知:C 是以AB 为直径的半圆O 上一点,CH ⊥AB 于点H ,直线AC 与过B 点的切线相交于点D ,E 为CH 中点,连接AE 并延长交BD 于点F ,直线CF 交直线AB 于点G.(1)求证:点F 是BD 中点;(2)求证:CG 是⊙O 的切线;(3)若FB=FE=2,求⊙O 的半径.6、如图,已知O 为原点,点A 的坐标为(4,3),⊙A 的半径为2.过A 作直线l 平行于x 轴,点P 在直线l 上运动.(1)当点P 在⊙O 上时,请你直接写出它的坐标;(2)设点P 的横坐标为12,试判断直线OP 与⊙A 的位置关系,并说明理由.7、如图,延长⊙O 的半径OA 到B ,使OA=AB ,DE 是圆的一条切线,E 是切点,过点B 作DE 的垂线,垂足为点C .求证:∠ACB=31∠OAC . 8、如图1,一架长4米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON 上,梯子与地面的倾斜角α为 60. E B F C D A 图13-2 E A B D G F O M N C 图13-3A B DG E FOMNC 图13-1 A ( E ) C OD F C A BD O E⑴求AO 与BO 的长;⑵若梯子顶端A 沿NO 下滑,同时底端B 沿OM 向右滑行.①如图2,设A 点下滑到C 点,B 点向右滑行到D 点,并且AC:BD=2:3,试计算梯子顶端A 沿NO 下滑多少米;②如图3,当A 点下滑到A ’点,B 点向右滑行到B ’点时,梯子AB 的中点P 也随之运动到P ’点.若∠POP ’= ο15,试求AA ’的长.[解析]⑴AOB Rt ∆中,∠O=90o ,∠α=ο60∴,∠OAB=ο30,又AB=4米,9.(重庆,10分)如图,在平面直角坐标系内,已知点A (0,6)、点B (8,0),动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动,同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q 移动的时间为t 秒.(1) 求直线AB 的解析式;(2) 当t 为何值时,△APQ 与△AOB 相似?(3) 当t 为何值时,△APQ 的面积为524个平方单位?10.(南充,10分)如图2-5-7,矩形ABCD 中,AB =8,BC =6,对角线AC 上有一个动点P (不包括点A 和点C ).设AP =x ,四边形PBCD 的面积为y .(1)写出y 与x 的函数关系,并确定自变量x 的范围.(2)有人提出一个判断:“关于动点P ,⊿PBC 面积与⊿PAD 面积之和为常数”.请你说明此判断是否正确,并说明理由.。
中考数学几何证明题正文第一篇:中考数学几何证明题中考几何证明题一、证明两线段相等1、真题再现18.如图3,在梯形abcd中,ad∥bc,ea⊥ad,m是ae上一点,2.如图,在△abc中,点p是边ac上的一个动点,过点p作直线mn∥bc,设mn交∠bca的平分线于点e,交∠bca的外角平分线于点f.(1)求证:pe=pf;(2)*当点p在边ac上运动时,四边形bcfe可能是菱形吗?说明理由;ap 3(3)*若在ac边上存在点p,使四边形aecf是正方形,且.求此时∠abc2的大小.c二、证明两角相等、三角形相似及全等1、真题再现∠bae?∠mce,∠mbe?45.(1)求证:be?me.(2)若ab?7,求mc的长.bne图321、(8分)如图11,一张矩形纸片abcd,其中ad=8cm,ab=6cm,先沿对角线bd折叠,点c落在点c′的位置,bc′交ad于点g. (1)求证:ag=c′g;(2)如图12,再折叠一次,使点d与点a重合,的折痕en,en角ad于m,求em的长.2、类题演练1、如图,分别以rt△abc的直角边ac及斜边ab向外作等边△acd、等边△abe.已知∠bac=30o,ef⊥ab,垂足为f,连结df. e (1)试说明ac=ef;(2)求证:四边形adfe是平行四边形.22、(9分)ab是⊙o的直径,点e是半圆上一动点(点e与点a、b都不重合),点c是be延长线上的一点,且cd⊥ab,垂足为d,cd与ae交于点h,点h与点a不重合。
(1)(5分)求证:△ahd∽△cbd(2)(4分)连hb,若cd=ab=2,求hd+ho的值。
ao dbe 20.如图9,四边形abcd是正方形,be⊥bf,be=bf,ef与bc交于点g。
(1)求证:△abe≌△cbf;(4分)(2)若∠abe=50o,求∠egc的大小。
(4分)cb图9第20题图如图8,△aob和△cod均为等腰直角三角形,∠aob=∠cod=90o,d在ab上.(1)求证:△aoc≌△bod;(4分)(2)若ad=1,bd=2,求cd的长.(3分)o图8 2、类题演练1、(肇庆20XX) (8分)如图,已知∠acb=90°,ac=bc,be⊥ce于e,ad⊥ce于d,ce与ab相交于f.(1)求证:△ceb≌△adc;e (2)若ad=9cm,de=6cm,求be 及ef的长.acbc、cd、da上的2、(佛山20XX)已知,在平行四边形abcd中,efgh分别是ab、点,且ae=cg,bf=dh,求证:?aeh≌?cgfb fc3、(茂名20XX)如图,已知oa⊥ob,oa=4,ob=3,以ab为边作矩形c abcd,使ad=a,过点d作de垂直oa的延长线交于点e.(1)证明:△oab∽△eda;bd (2)当a为何值时,△oab≌△eda?*请说明理由,并求此时点c到oe的距离.o a e 图1三、证明两直线平行1、真题再现(20XX年)22.(10分)如图10-1,在平面直角坐标系xoy中,点m在x轴的正半轴上,⊙m交x轴于a、b两点,交y轴于c、d两点,且c为ae的中点,ae 交y轴于g点,若点a的坐标为(-2,0),ae?8 (1)(3分)求点c的坐标.(2)(3分)连结mg、bc,求证:mg∥bc图10-12、类题演练1、(湛江20XX) (10分)如图,在□abcd中,点e、f是对角线bd上的两点,且be =df.d求证:(1)△abe≌△cdf;(2)ae∥cf.c四、证明两直线互相垂直1、真题再现18.(7分)如图7,在梯形abcd中,ad∥bc, ab?dc?ad,?adc?120.(1)(3分)求证:bd?dcbcbd (2)(4分)若ab?4,求梯形abcd的面积图7o ae 图22、类题演练1.已知:如图,在△abc中,d是ab边上一点,⊙o过d、b、c三点,?doc?2?acd?90?.(1)求证:直线ac是⊙o的切线;(2)如果?acb?75?,⊙o的半径为2,求bd的长.2、如图,以△abc的一边ab为直径作⊙o,⊙o与bc边的交点d恰好为bc的中点.过点d作⊙o的切线交ac边于点e.(1)求证:de⊥ac;(2)若∠abc=30°,求tan∠bco的值.(第2题图)3.(20XX年深圳二模)如图所示,矩形abcd中,点e在cb的延长线上,使ce=ac,连结ae,点f是ae 的中点,连结bf、df,求证:bf⊥dfcd于f,若⊙o的半径为r求证:ae·af=2 r2、类题演练1.在△abc中,ac=bc,∠acb=90°,d、e是直线ab上两点.∠dce=45°(1)当ce⊥ab时,点d与点a重合,显然de=ad+be(不必证明)(2)如图,当点d不与点a重合时,求证:de=ad+be(3)当点d在ba的延长线上时,(2)中的结论是否成立?画出图形,说明理由.2.(本小题满分10分)如图,已知△abc,∠acb=90o,ac=bc,点e、f在ab上,∠ecf=45o,(1)求证:△acf∽△bec(5分)(2)设△abc的面积为s,求证:af·be=2s(3)3.(2)如图,ab为⊙o的直径,bc切⊙o于b,ac交⊙o于d.①求证:ab=ad·ac. a ②当点d运动到半圆ab什么位置时,△abc为等腰直角三角形,为什么?五、证明比例式或等积式1、真题再现1.已知⊙o的直径ab、cd互相垂直,弦ae交第3题图b第3(2)题图c4、(本小题满分9分)如图,ab为⊙o的直径,劣弧bc?be,bd∥ce,连接ae并延长交bd于d.求证:(1)bd是⊙o的切线;2、类题演练1、如图5,在等腰梯形abcd中,ad∥bc.求证:∠a+∠c=180°·ad.(2)ab?acb第4题图??5. 如图所示,⊙o中,弦ac、bd交于e,bd?2ab。
矩形24.已知:如图,在△ABC 中,AB=AC ,A D ⊥BC ,垂足为点D ,M 在BA 的延长线上AN 是∠MAC 的平分线,CE ⊥AN ,垂足为E 。
(1)试说明:四边形ADCE 为矩形;(2)当△ABC 满足什么条件时,四边形ADCE 是一个正方形?说明理由。
24.(本小题9分)已知:如图,在△ABC 中,AB =AC ,AD ⊥BC ,垂足为D ,AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线,CE ⊥AN ,垂足为E ,连接DE 交AC 于F (1)求证:四边形ADCE 为矩形 (2)求证:DF ∥AB ,DF =12AB21.如图所示折叠长方形的一边AD ,点D 落在BC 边的点F 处,已知AB =12cm , BC =13cm,求EC 的长。
5.如图8,将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠,使点B 落在点E 处,求证:EF =DF .BDECF19.如图,把一张矩形的纸ABCD 沿对角线BD 折叠,使点C 落在点E 处,BE 与AD 交于点F .①求证:ΔABF ≌ΔEDF ;②若将折叠的图形恢复原状,点F 与BC 边上的点M 正好重合,连接DM ,试判断四边形BMDF 的形状,并说明理由.12、如图,矩形ABCD 中,O 是AC 与BD 的交点,过O 点的直线EF 与AB CD ,的延长线分别交于E F ,.(1)求证:BOE DOF △≌△; (2)当EF 与AC 满足什么关系时,以A E C F ,,,为顶点的四边形是菱形?证明你的结论.1.如图,在△ABC 中,D 是BC 边上的一点,E 是AD 的中点,过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ,且AF =BD ,连结BF 。
(1) 求证:BD =CD ; (2) 如果AB =AC ,试判断四边形AFBD 的形状,并证明你的结论。
F D OB E AC D B A M 第22题图F EFED C B A 3.如图,四边形ABCD 是矩形,△PBC 和△QCD 都是等边三角形,且点P 在矩形上方,点Q 在矩形内. 求证:(1)∠PBA =∠PCQ =30°;(2)P A =PQ .7、已知:如图,在矩形ABCD 中,E 、F 分别是边BC 、AB 上的点,且EF=ED,EF ⊥ED. 求证:AE 平分∠BAD.8、如图,矩形ABCD 中,点E 是BC 上一点,AE =AD ,DF ⊥AE 于F ,连结DE ,求证:DF =DC .23.(本小题6分)已知如图,在矩形ABCD 中,E 为BC 上的一点,且DE=BC,AF ⊥DE 于点F,求证:EF=BE 14、(本题8分)已知:如图,在矩形ABCD 中,AF=DE,求证:BE=CF(第23题)ACBD PQBDDC BAOE18.在矩形ABCD 中,O 是对角线AC 的中点,EF 是线段AC 的中垂线,交AD 、BC 于E 、F .求证:四边形AECF 是菱形1、如左下图,在矩形ABCD 中,AC 、BD 相交于O ,AE 平分∠BAD ,交BC 于E ,若∠CAE =15°,求∠BOE 的度数.2、如右上图ABCD ,四内角平分线相交于E 、F 、G 、H .求证:四边形EFGH 是矩形6.(2012•聊城)如图,矩形ABCD 的对角线相交于点O ,DE∥AC,CE∥BD. 求证:四边形OCED 是菱形.9.(2010四川眉山)如图,O 为矩形ABCD 对角线的交点,DE ∥AC ,CE ∥BD .(1)试判断四边形OCED 的形状,并说明理由; (2)若AB =6,BC =8,求四边形OCED 的面积.10.(2012娄底)如图,在矩形ABCD 中,M 、N 分别是AD .BC 的中点,P 、Q 分别是BM 、DN 的中点.(1)求证:△MBA ≌△NDC ;(2)四边形MPNQ 是什么样的特殊四边形?请说明理由.16.(2012六盘水)如图,已知E 是▱ABCD 中BC 边的中点,连接AE 并延长AE 交DC 的延长线于点F .(1)求证:△ABE ≌△FCE .(2)连接AC .BF ,若∠AEC=2∠ABC ,求证:四边形ABFC 为矩形.5.两个完全相同的矩形纸片ABCD 、BFDE 如图7放置,AB BF ,求证:四边形BNDM 为菱形.19. (2012.云南省)如图,在矩形ABCD 中,对角线BD 的垂直平分线MN 与AD 相交于点M ,与BD 相交于点N ,连接BM ,DN . (1)求证:四边形BMDN 是菱形; (2)若AB=4,AD=8,求MD 的长.8.如图,矩形ABCD 中,AC 、BD 相交于点O ,AE 平分∠BAD ,若∠EAO=15°,求∠BOE 的度数。
几何中的折叠问题一、单选题1如图,在菱形ABCD中,AD=5,tan B=2,E是AB上一点,将菱形ABCD沿DE折叠,使B、C的对应点分别是B 、C ,当∠BEB =90°时,则点C 到BC的距离是()A.5+5B.25+2C.6D.35【答案】D【分析】过C作CH⊥AD于H,C 作C F⊥AD于F,HD=5,HC=25,再由折叠证明∠BED=∠B ED=135°,∠EDC=∠EDC =45°,△CHD≌△DFC ,C F= HD=5,【C作CH⊥AD于H,C 作C F⊥AD于F,由已知AD=5,tan B=2,=2,∴CD=5,tan∠CDH=HCHD∴设HD=x,HC=2x,∴在Rt△HDC中HC2+HD2=CD2,2x2+x2=52,解得x=5,∴HD=5,HC=25,由折叠可知∠BED=∠B ED,∠EDC=∠EDC ,CD=C D∵∠BEB =90°,∴∠BED=∠B ED=135°,∵AB∥DC,∴∠EDC=180°-∠BED=45°,∴∠EDC=∠EDC =45°∴∠CDC =90°∵∠CHD =∠C AD =90°,∴∠CDH +C DF =90°,∵∠CDH +∠HCD =90°,∴∠C DF =∠HCD ,∴△CHD ≌△DFC ,∴C F =HD =5,∴点C 到BC 的距离是C F +CH =5+25=35.故选:D .【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、菱形的性质、图形的折叠以及正切定义的应用,解答关键是根据折叠的条件推出∠BED =∠B ED =135°.2如图,将△ABC 折叠,使AC 边落在AB 边上,展开后得到折痕l 与BC 交于点P ,且点P 到AB 的距离为3cm ,点Q 为AC 上任意一点,则PQ 的最小值为()A.2cmB.2.5cmC.3cmD.3.5cm【答案】C【分析】由折叠可得:PA 为∠BAC 的角平分线,根据垂线段最短即可解答.【详解】解:∵将△ABC 折叠,使AC 边落在AB 边上,∴PA 为∠BAC 的角平分线,∵点Q 为AC 上任意一点,∴PQ 的最小值等于点P 到AB 的距离3cm .故选C .【点睛】本题主要考查了折叠的性质、角平分线的性质定理等知识点,掌握角平分线上的点到两边距离相等是解答本题的关键.3如图,在▱ABCD 中,BC =8,AB =AC =45,点E 为BC 边上一点,BE =6,点F 是AB 边上的动点,将△BEF 沿直线EF 折叠得到△GEF ,点B 的对应点为点G ,连接DE ,有下列4个结论:①tan B =2;②DE =10;③当GE ⊥BC 时,EF =32;④若点G 恰好落在线段DE 上时,则AF BF=13.其中正确的是()A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④【答案】D【分析】过点A 作AH ⊥BC 于点H ,利用三线和一以及正切的定义,求出tan B ,即可判断①;过点D 作DK ⊥BC 于点K ,利用勾股定理求出DE ,判断②;过点F 作FM ⊥BC 于点M ,证明△EMF 为等腰直角三角形,设EM =FM =x ,三角函数求出BM 的长,利用BE =BM +EM ,求出x 的值,进而求出EF 的长,判断③;证明△AND ∽△CNE ,推出∠ENC =∠ECN ,根据折叠的性质,推出EF ∥CA ,利用平行线分线段成比例,即可得出结论,判断④.【详解】解:①过点A 作AH ⊥BC 于点H ,∵BC =8,AB =AC =45,∴BH =12BC =4,∴AH =AB 2-BH 2=8,∴tan B =AHBH=2;故①正确;②过点D 作DK ⊥BC 于点K ,则:四边形AHKD 为矩形,∴DK =AH =8,HK =AD =BC =8,∵BE =6,∴CE =2,∵CH =12BC =4,∴CK =4,∴EK =CE +CK =6,∴DE =EK 2+DK 2=10;故②正确;③过点F 作FM ⊥BC 于点M ,∵GE ⊥BC ,∴∠BEG =90°,∵翻折,∴∠BEF =∠GEF =45°,∴∠EFM =∠BEF =45°,∴EM =FM ,设EM =FM =x ,∵tan B =FMBM =2,∴BM =12FM =12x ,∴BE =BM +EM =12x +x =6,∴x =4,∴EM =FM =4,∴EF =2EM =42;故③错误;④当点G 恰好落在线段DE 上时,如图:设AC 与DE 交于点N ,∵▱ABCD ,∴AD ∥BC ,∴△AND ∽△CNE ,∴EN DN =CE AD=28=14,∴EN DE =15,∴EN =15DE =2=CE ,∴∠ENC =∠ECN ,∴∠BEN =∠ENC +∠ECN =2∠ECN ,∵翻折,∴∠BEN =2∠BEF ,∴∠BEF =∠ECN ,∴EF ∥AC ,∴AF BF =CE BE=26=13;故④正确,综上:正确的是①②④;故选D .【点睛】本题考查平行四边形的折叠问题,同时考查了解直角三角形,相似三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,勾股定理.本题的综合性强,难度较大,是中考常见的压轴题,熟练掌握相关性质,添加合适的辅助线,构造特殊三角形,是解题的关键.4如图,AB 是⊙O 的直径,点C 是⊙O 上一点,将劣弧BC 沿弦BC 折叠交直径AB 于点D ,连接CD ,若∠ABC =α0°<α<45° ,则下列式子正确的是()A.sin α=BCABB.sin α=CD ABC.cos α=AD BDD.cos α=CD BC【答案】B【分析】连AC ,由AB 是⊙O 的直径,可知∠ACB =90°,由折叠,AC和CD所在的圆为等圆,可推得AC =CD ,再利用正弦定义求解即可.【详解】解:连AC ,∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB =90°,由折叠,AC 和CD所在的圆为等圆,又∵∠CBD =∠ABC ,∴AC和CD所对的圆周角相等,∴AC=CD,∴AC =CD ,在Rt △ACB 中,sin α=AC AB =CDAB,故选:B .【点睛】本题考查圆周角定理和圆心角、弦、弧之间的关系以及正弦、余弦定义,解答关键是通过折叠找到公共的圆周角推出等弦.5如图,在平面直角坐标系中,OA 在x 轴正半轴上,OC 在y 轴正半轴上,以OA ,OC 为边构造矩形OABC ,点B 的坐标为8,6 ,D ,E 分别为OA ,BC 的中点,将△ABE 沿AE 折叠,点B 的对应点F 恰好落在CD 上,则点F 的坐标为()A.3213,3013B.3013,3213C.3013,2013D.2013,3013【答案】A【分析】先求得直线CD 的解析式,过点F 作FM ⊥CE 于点M ,过点F 作FN ⊥OC 于点N ,设点F m ,-32m +6 ,在Rt △EMF 中,再利用勾股定理得到关于m 的方程,解方程即可.【详解】解:∵点B 的坐标为8,6 ,四边形OABC 是矩形,D ,E 分别为OA ,BC 的中点,∴C 0,6 ,D 4,0 ,E 4,6 ,由折叠的性质可得:EF =BE =4,设直线CD 的解析式为y =kx +b ,则6=b 4k +b =0 ,解得:k =-32b =6,∴直线CD 的解析式为y =-32x +6,过点F 作FM ⊥CE 于点M ,过点F 作FN ⊥OC 于点N ,设点F m,-32m+6,则MF=CN=6--32m+6=32m,EM=4-m,在Rt△EMF中,EM2+MF2=EF2,∴4-m2+32m2=42,解得:m=3213或m=0(不合题意,舍去),当m=3213时,y=-32×3213+6=3013,∴点F的坐标为3213,30 13,故选:A.【点睛】本题是一次函数与几何综合题,考查了求一次函数解析式,勾股定理,翻折的性质,矩形的性质,中点的性质,熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键.6综合与实践课上,李老师让同学们以矩形纸片的折叠为主题开展数学活动.如图,将矩形纸片ABCD对折,折痕为EF,再把点A折叠在折痕EF上,其对应点为A ,折痕为DP,连接A B,若AB=2,BC =3,则tan∠A BF的值为()A.33B.3 C.32D.12【答案】A【分析】先证明EF=AB=CD=2,CF=BF=DE=32,∠DEA=90°,∠A FB=90°,AD=A D=3,可得A E=A D2-DE2=32,AF=2-32=12,再利用正切的定义求解即可.【详解】解:∵矩形纸片ABCD对折,折痕为EF,AB=2,BC=3,∴EF=AB=CD=2,CF=BF=DE=32,∠DEA=90°,∠A FB=90°,由折叠可得:AD=A D=3,∴A E=A D2-DE2=32,∴A F=2-32=12,∴tan ∠A BF =1232=33.故选A【点睛】本题考查的是轴对称的性质,矩形的性质,勾股定理的应用,求解锐角的正切,熟记轴对称的性质是解本题的关键.7如图,矩形ABCD 中,AB =2,BC =3,P 是边BC 中点,将顶点D 折叠至线段AP 上一点D ,折痕为EF ,此时,点C 折叠至点C .下列说法中错误的是()A.cos ∠BAP =45B.当AE =53时,D E ⊥AP C.当AE =18-65时,△AD E 是等腰三角形 D.sin ∠DAP =45【答案】C【分析】根据矩形的性质,直角三角形的性质,三角函数,勾股定理,折叠的性质计算判断即可.【详解】∵矩形ABCD 中,AB =2,BC =3,P 是边BC 中点,∴BP =12BC =32,∠B =90°,∴AP =AB 2+BP 2=22+32 2=52,∴cos ∠BAP =AB AP=252=45,故A 正确;∵矩形ABCD ,∴AD ∥BC ,∴∠DAP =∠APB ,∴sin ∠DAP =sin ∠APB =cos ∠BAP =45,故D 正确;设DE =D E =x ,根据题意,得AE =AD -DE =3-x ,sin ∠DAP =45,∵D E ⊥AP ,∴sin ∠DAP =D E AE=x 3-x =45,解得x =43,∴AE =AD -DE =3-x =53,故B 正确;当D E =AE 时,∴x =3-x ,解得x =32;此时D ,A 重合,三角形不存在,不符合题意;当D E =AD 时,过点D 作D N ⊥AD 于点N ,则AN =NE ;∵矩形ABCD ,∴AD ∥BC ,∴∠DAP =∠APB ,∴cos ∠DAP =cos ∠APB =3252=35,设DE =D E =x ,根据题意,得AE =AD -DE =3-x ,D E =AD =x ,∴AN AD=AN x =35,解得AN =35x ;∴AE =AD -DE =3-x =2AN =65x ,解得x =1511;∴AE =65×1511=1811;当AE =AD 时,过点D 作D H ⊥AD 于点H ,设DE =D E =x ,根据题意,得AE =AD =AD -DE =3-x ,∴D H =AD sin ∠DAP =453-x ,AH =AD cos ∠DAP =353-x ,∴HE =AE -AH =3-x -353-x =253-x ,根据勾股定理,得HE 2+D H 2=D E 2,∴253-x 2+453-x2=x 2解得x =65-12;∴AE =3-x =15-65;综上所述,AE =15-65或AE =1811,故C 错误,故选C .【点睛】本题考查了矩形的性质,直角三角形的性质,三角函数,勾股定理,折叠的性质,熟练掌握三角函数,勾股定理,矩形的性质,折叠的性质是解题的关键.8如图,AB 为半圆O 的直径,点O 为圆心,点C 是弧上的一点,沿CB 为折痕折叠BC交AB 于点M ,连接CM ,若点M 为AB 的黄金分割点(BM >AM ),则sin ∠BCM 的值为()A.5-12B.5+12C.5-14D.12【答案】A【分析】过点M作MD⊥CB,垂足为D,延长MD交半⊙O于点M′,连接CM ,BM′,根据折叠的性质可得:∠CMB=∠CM′B,BC⊥MM′,从而可得∠BDM=90°,再根据黄金分割的定义可得BMAB =5-12,然后利用直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°,从而证明A字模型相似三角形△DBM∽△CBA,进而利用相似三角形的性质可得DMAC=BMAB=5-12,最后根据圆内接四边形对角互补以及平角定义定义可得:∠A=∠AMC,从而可得CA=CM,再在Rt△CDM中,利用锐角三角函数的定义进行计算,即可解答.【详解】解:过点M作MD⊥CB,垂足为D,延长MD交半⊙O于点M′,连接CM ,BM′,由折叠得:∠CMB=∠CM′B,BC⊥MM′,∴∠BDM=90°,∵点M为AB的黄金分割点(BM>AM),∴BMAB =5-12,∵AB为半圆O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠ACB=∠MDB,∵∠DBM=∠CBA,∴△DBM∽△CBA,∴DMAC =BMAB=5-12,∵四边形ACM′B是半⊙O的内接四边形,∴∠A+∠CM′B=180°,∵∠AMC+∠CMB=180°,∠CMB=∠CM′B,∴∠A=∠AMC,∴CA=CM,在Rt△CDM中,sin∠BCM=DMCM=DMAC=5-12.故选:A.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质,黄金分割,解直角三角形,翻折变换(折叠问题),圆周角定理,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.二、填空题9如图,将一张矩形纸片ABCD折叠,折痕为EF,折叠后,EC的对应边EH经过点A,CD的对应边HG交BA的延长线于点P.若PA=PG,AH=BE,CD=3,则BC的长为.【答案】43【分析】本题考查了矩形与折叠问题,全等三角形的判定和性质,勾股定理.连接PF ,设BC =2x ,AH =BE=a ,证明Rt △PAF ≌Rt △PGF HL ,求得FA =FG =FD =x ,由折叠的性质求得BE =12x ,在Rt △ABE中,利用勾股定理列式计算,即可求解.【详解】解:连接PF ,设BC =2x ,AH =BE =a ,由矩形的性质和折叠的性质知FG =FD ,∠G =∠FAP =90°,AB =CD =3,AD =BC ,∵PA =PG ,PF =PF ,∴Rt △PAF ≌Rt △PGF HL ,∴FA =FG =FD =12AD =12BC =x ,由矩形的性质知:AD ∥BC ∴∠AFE =∠FEC ,折叠的性质知:∠FEA =∠FEC ,∴∠FEA =∠AFE ,∴AE =FA =x ,由折叠的性质知EC =EH =AE +AH =x +a ,∴BC =BE +EC =a +x +a =2x ,∴a =12x ,即BE =12x ,在Rt △ABE 中,AB 2+BE 2=AE 2,即32+12x 2=x 2,解得x =23,∴BC =2x =43,故答案为:4310如图,在矩形ABCD 中,AB =3,AD =6,M 为AD 的中点,N 为BC 边上一动点,把矩形沿MN 折叠,点A ,B 的对应点分别为A ,B ,连接AA '并延长交射线CD 于点P ,交MN 于点O ,当N 恰好运动到BC 的三等分点处时,CP 的长为.【答案】1或5【分析】分两种情况:①当CN =2BN 时.过点N 作NG ⊥AD 于点G ,则四边形ABNG 为矩形;②当BN =2CN 时,过点N 作NG ⊥AD 于点G ,则四边形ABNG 为矩形,根据矩形的性质得GM =AM -AG =1.再由折叠的性质可得∠AOM =90°,然后根据相似三角形的判定与性质可得答案.【详解】解:①当CN =2BN 时.如图1,过点N 作NG ⊥AD 于点G ,则四边形ABNG 为矩形,∴NG =AB =3,AG =BN =2.∵M 为AD 的中点,∴AM =3,∴GM =AM -AG =1.由折叠A 与A 对应,∴∠AOM =90°,∵∠MAO +∠APD =90°,∠MAO +∠AMO =90°,∴∠AMO =∠APD ,即∠GMN =∠APD .又∵∠NGM =∠ADP =90°,∴△ADP ∽△NGM ,∴NG AD=GM DP =12,解得DP =2,∴CP =CD -DP =1.②当BN =2CN 时,如图2,过点N 作NG ⊥AD 于点G ,则四边形ABNG 为矩形,∴NG =AB =3,AG =BN =4.∵M 为AD 的中点,∴AM =3,∴GM =AG -AM =1.由折叠A 与A 对应,∴∠AOM =90°∠MAO +∠AMO =90°,∠MAO +∠APD =90°,∴∠AMO =∠APD ,即∠GMN =∠APD .又∠ADP =∠NGM =90°,∴△ADP ∽△NGM ,∴NG AD=GM DP =12,解得DP =2,∴CP =CD +DP =5.综上,CP 的长为1或5.故答案为:1或5.【点睛】此题考查的是翻折变换-折叠问题、矩形的性质,正确作出辅助线是解决此题的关键.11如图,DE 平分等边△ABC 的面积,折叠△BDE 得到△FDE ,AC 分别与DF ,EF 相交于G ,H 两点.若DG =m ,EH =n ,用含m ,n 的式子表示GH 的长是.【答案】m 2+n 2【分析】先根据折叠的性质可得S △BDE =S △FDE ,∠F =∠B =60°,从而可得S △FHG =S △ADG +S △CHE ,再根据相似三角形的判定可证△ADG ∽△FHG ,△CHE ∽△FHG ,根据相似三角形的性质可得S △ADG S △FHG =DG GH2=m 2GH 2,S △CHE S △FHG =EH GH 2=n 2GH 2,然后将两个等式相加即可得.【详解】解:∵△ABC 是等边三角形,∴∠A =∠B =∠C =60°,∵折叠△BDE 得到△FDE ,∴△BDE ≌△FDE ,∴S △BDE =S △FDE ,∠F =∠B =60°=∠A =∠C ,∵DE 平分等边△ABC 的面积,∴S 梯形ACED =S △BDE =S △FDE ,∴S △FHG =S △ADG +S △CHE ,又∵∠AGD =∠FGH ,∠CHE =∠FHG ,∴△ADG ∽△FHG ,△CHE ∽△FHG ,∴S △ADG S △FHG =DG GH 2=m 2GH 2,S △CHE S △FHG =EH GH 2=n 2GH 2,∴S △ADG S △FHG +S △CHE S △FHG =m 2+n 2GH 2=S △ADG +S △CHE S △FHG =1,∴GH 2=m 2+n 2,解得GH =m 2+n 2或GH =-m 2+n 2(不符合题意,舍去),故答案为:m 2+n 2.【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质等知识点,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键.12在矩形ABCD 中,点E 为AD 边上一点(不与端点重合),连接BE ,将矩形ABCD 沿BE 折叠,折叠后点A 与点F 重合,连接并延长EF ,BF 分别交BC ,CD 于G ,H 两点.若BA =6,BC =8,FH =CH ,则AE 的长为.【答案】92【分析】连接GH ,证明Rt △FHG ≅Rt △CHG (HL ),可得FG =CG ,设FG =CG =x ,在Rt △BFG 中,有62+x 2=(8-x )2,可解得CG =FG =74,知BG =254,由矩形ABCD 沿BE 折叠,折叠后点A 与点F 重合,得∠AEB =∠FEB ,可得∠FEB =∠EBG ,EG =BG =254,故EF =EG -FG =92,从而得到AE =92.【详解】连接GH ,如图:∵四边形ABCD 是矩形,∴∠A =∠C =90°,∵将矩形ABCD 沿BE 折叠,折叠后点A 与点F 重合,∴BF =AB =6,AE =EF ,∠BFE =∠A =90°,∴∠GFH =90°=∠C ,∵GH =GH ,FH =CH ,∴Rt △FHG ≅Rt △CHG (HL ),∴FG =CG ,设FG =CG =x ,则BG =BC -CG =8-x在Rt △BFG 中,BF 2+FG 2=BG 2∴62+x 2=(8-x )2,解得:x =74,∴CG =FG =74,∴BG =8-x =25x,∵将矩形ABCD 沿BE 折叠,折叠后点A 与点F 重合,∴∠AEB =∠FEB ,∵AD ⎳BC ,∴∠AEB =∠EBG ,∴∠FEB =∠EBG ,∴EG =BG =254,∴AE =92,故答案为:92.【点睛】本题考查矩形中的翻折变换,涉及三角形全等的判定与性质,勾股定理及应用,掌握相关知识是解题的关键.13如图,在矩形ABCD 中,AD =23,CD =6,E 是AB 的中点,F 是线段BC 上的一点,连接EF ,把△BEF 沿EF 折叠,使点B 落在点G 处,连接DG ,BG 的延长线交线段CD 于点H .给出下列判断:①∠BAC =30°;②△EBF ∽△BCH ;③当∠EGD =90°时,DG 的长度是23 ④线段DG 长度的最小值是21-3;⑤当点G 落在矩形ABCD 的对角线上,BG 的长度是3或33;其中正确的是.(写出所有正确判断的序号)【答案】①②③【分析】利用正切函数的定义即可判断①正确;利用同角的余角相等推出∠HBC =∠BEF ,可判断②正确;推出点D 、G 、F 三点共线,证明Rt △EAD ≌Rt △EGD HL ,可判断③正确;当点D 、G 、E 三点共线,线段DG 长度的最小值是21-3,由于F 是线段BC 上的一点,不存在D 、G 、E 三点共线,可判断④不正确;证明△BGE 是等边三角形,可判断⑤.【详解】解:连接AC ,∵矩形ABCD 中,AD =23,CD =6,∴tan ∠ACD =AD CD=236=33,∴∠ACD =30°,∴∠BAC =30°,故①正确;由折叠的性质知EF 是BG 的垂直平分线,∴∠HBC +∠BFE =90°=∠BEF +∠BFE ,∴∠HBC =∠BEF ,∴△EBF ∽△BCH ,故②正确;由折叠的性质知∠EGF =∠ABC =90°,∵∠EGD =90°,∴点D 、G 、F 三点共线,连接DE ,在Rt △EAD 和Rt △EGD 中,AE =BE =EG ,DE =DE ,∴Rt △EAD ≌Rt △EGD HL ,∴DG =AD =23,故③正确;∵AE =BE =EG ,∴点A 、G 、B 都在以E 为圆心,3为半径的圆上,DE =23 2+32=21,∴当点D 、G 、E 三点共线,线段DG 长度的最小值是21-3,但F 是线段BC 上的一点,∴D 、G 、E 三点不可能共线,故④不正确;当点G 落在矩形ABCD 的对角线AC 上时,由折叠的性质知BE =EG ,∵E 是AB 的中点,由①知∠BAC =30°,∴BE =EG =EA ,∠BAC =∠EGA =30°,∴∠BEG =∠BAC +∠EGA =60°,∴△BGE 是等边三角形,∴BG 的长度是3;由于F 是线段BC 上的一点,则点G 不会落在矩形ABCD 的对角线BD 上,故⑤不正确;综上,①②③说法正确,故答案为:①②③.【点睛】本题考查了矩形与折叠问题,正切函数,相似三角形的判定,勾股定理等知识,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件.14如图,将矩形ABCD沿BE折叠,点A与点A 重合,连接EA 并延长分别交BD、BC于点G、F,且BG=BF.(1)若∠AEB=55°,则∠GBF=;(2)若AB=3,BC=4,则ED=.【答案】40°/40度5-10/-10+5【分析】(1)先证明∠DEF=180°-2×55°=70°,∠BFG=∠DEF=70°,利用BG=BF,可得答案;(2)如图,过F作FQ⊥AD于Q,可得CF=DQ,FQ=CD=3,同理可得:∠BGF=∠BFG,∠DEG=∠BFG,而∠DGE=∠BGF,则∠DEG=∠DGE,设DE=DG=x,而BD=32+42=5,则BG=BF=5-x,CF=4-5-x=1,再求解EF=12+32=10,由折叠可得:A E=AE=4 =x-1,EQ=x-x-1-x,AF=10-4+x,利用cos∠BFA=cos∠FEQ,再建立方程求解即可.【详解】解:(1)∵∠AEB=55°,结合折叠可得:∠AEB=∠A EB=55°,∴∠DEF=180°-2×55°=70°,∵矩形ABCD,∴AD∥BC,∴∠BFG=∠DEF=70°,∵BG=BF,∴∠BGF=∠BFG=70°;∴∠GBF=180°-2×70°=40°;故答案为:40°.(2)如图,过F作FQ⊥AD于Q,∴四边形FCDQ是矩形,则CF=DQ,FQ=CD=3,同理可得:∠BGF=∠BFG,∠DEG=∠BFG,而∠DGE=∠BGF,∴∠DEG=∠DGE,∴设DE=DG=x,∵矩形ABCD,AB=3,BC=4,∴BD=32+42=5,∴BG=BF=5-x,∴CF=4-5-x=x-1,∴EQ=x-x-1=1,∴EF=12+32=10,由折叠可得:A E=AE=4-x,∴AF =10-4+x,∵∠QEF=∠BFA ,∴cos∠BFA =cos∠FEQ,∴EQEF=A FBF,∴110=10-4+x5-x,解得:x=5-10,经检验符合题意;∴DE=5-10.故答案为:5-10.【点睛】本题考查的是轴对称的性质,矩形的性质与判定,勾股定理的应用,锐角三角函数的应用,等腰三角形的判定与性质,熟练的利用以上知识解题是关键.三、解答题15综合与实践课上,老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展实践活动.(1)操作判断操作一:如图(1),正方形纸片ABCD,点E是BC边上(点E不与点B,C重合)任意一点,沿AE折叠△ABE到△AFE,如图(2)所示;操作二:将图(2)沿过点F的直线折叠,使点E的对称点G落在AE上,得到折痕MN,点C的对称点记为H,如图(3)所示;操作三:将纸片展平,连接BM,如图(4)所示.根据以上操作,回答下列问题:①B,M,N三点(填“在”或“不在”)一条直线上;②AE和BN的位置关系是,数量关系是;③如图(5),连接AN,改变点E在BC上的位置,(填“存在”或“不存在”)点E,使AN平分∠DAE.(2)迁移探究苏钰同学将正方形纸片换成矩形纸片ABCD,AB=4,BC=6,按照(1)中的方式操作,得到图(6)或图(7).请完成下列探究:①当点N在CD上时,如图(6),BE和CN有何数量关系?并说明理由;②当DN的长为1时,请直接写出BE的长.【答案】(1)①在,②AE⊥BN,相等;③不存在;(2)①BECN =23,理由见解析;②BE=2或165.【分析】(1)①E的对称点为E ,BF⊥EE ,MF⊥EE ,即可判断;②由①AE⊥BN,由同角的余角相等得∠BAE=∠CBN,由AAS可判定△ABE≌△BCN,由全等三角形的性质即可得证;③由AAS可判定△DAN≌△MAN,由全等三角形的性质得AM=AD,等量代换得AB=AM,与AB>AM矛盾,即可得证;(2)①由(1)中的②可判定△ABE∽△BCN,由三角形相似的性质即可求解;②当N在CD上时,△ABE∽△BCN,由三角形相似的性质即可求解;当N在AD上时,同理可判定△ABE∽△NAB,由三角形相似的性质即可求解.【详解】(1)解:①E的对称点为E ,∴BF⊥EE ,MF⊥EE ,∴B、F、M共线,故答案为:在;②由①知:B、F、M共线,N在FM上,∴AE⊥BN,∴∠AMB=90°,∴∠ABM+∠BAE=90°,∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABC=∠BCN=90°,AB=BC,∴∠CBN+∠ABM=90°,∴∠BAE=∠CBN,在△ABE和△BCN中,∠BAE=∠CBN ∠ABC=∠BCN AB=BC,∴△ABE≌△BCN(AAS),∴AE=BN,故答案为:相等;③不存在,理由如下:假如存在,∵AN平分∠DAE,∴∠DAN=∠MAN,∵四边形ABCD是正方形,AM⊥BN,∴∠D=∠AMN=90°,在△DAN和△MAN中,∠D=∠AMN∠DAN=∠MAN AN=ANN∴△DAN≌△MAN(AAS),∴AM=AD,∵AD=AB,∴AB=AM,∵AB是Rt△ABM的斜边,∴AB>AM,∴AB =AM 与AB >AM 矛盾,故假设不成立,所以答案为:不存在;(2)解:①BE CN=23,理由如下:由(1)中的②得:∠BAE =∠CBN ,∠ABE =∠C =90°,∴△ABE ∽△BCN ,∴BE CN =AB BC=23;②当N 在CD 上时,CN =CD -DN =3,由①知:△ABE ∽△BCN ,∴BE CN =AB BC =23,∴BE =23CN =2,当N 在AD 上时,AN =AD -DN =5,∵∠BAE =∠CBN =∠ANB ,∠ABE =∠BAN =90°,∴△ABE ∽△NAB ,∴BE AB =AB AN ,∴BE 4=45,∴BE =165,综上所述:BE =2或165.【点睛】本题考查了折叠的性质,矩形的性质,正方形的性质,全等三角形的判定及性质,三角形相似的判定及性质,掌握相关的判定方法及性质,“十字架”典型问题的解法是解题的关键.16在矩形ABCD 中,AD =2AB =8,点P 是边CD 上的一个动点,将△BPC 沿直线BP 折叠得到△BPC .(1)如图1,当点P 与点D 重合时,BC ′与AD 交于点E ,求BE 的长度;(2)当点P 为CD 的三等分点时,直线BC ′与直线AD 相交于点E ,求DE 的长度;(3)如图2,取AB 中点F ,连接DF ,若点C ′恰好落在DF 边上时,试判断四边形BFDP 的形状,并说明理由.【答案】(1)BE 的长度为5;(2)DE 的长度为113或83;(3)四边形BFDP 是平行四边形(理由见解析)【分析】本题利用了折叠的知识(折叠后的两个图形全等)以及矩形的性质(矩形的对边相等,对角相等),以及平行四边形的判定有关知识.(1)利用矩形性质和折叠的性质可推出BE=DE,设BE=x,则DE=x,AE=8-x,利用勾股定理建立方程求解即可得出答案;(2)设DE=m,则AE=m+8,设BE交CD于G,可证得△AEB∽△CBG,得出CGAB =BCAE,即CG4=8m+8,求得CG=32m+8,分两种情况:当PC=13CD=43时,当PC=23CD=83时,分别添加辅助线构造相似三角形,利用相似三角形性质建立方程求解即可得出答案;(3)由中点定义可得AF=BF,过点C 作C M∥AD交AB于点M,过点F作FN⊥BC 于点N,由矩形性质和翻折的性质可得∠C BP=∠CBP=12∠C BC,可证得△FC M∽△FDA,得出FMAF=C MAD,再证得△BFN∽△BC M,进而推出FM=FN,利用角平分线的判定定理可得∠BC F=∠MC F=12∠BC M推出∠BC F=∠C BP,再由平行线的判定定理可得DF∥BP,运用平行四边形的判定定理即可证得四边形BFDP是平行四边形.【点睛】点睛片段【详解】(1)解:∵AD=2AB=8,∴AB=4,∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC,由折叠得:∠DBC=∠DBC ,∴∠ADB=∠DBC ,即∠EDB=∠EBD,∴BE=DE,设BE=x,则DE=x,AE=8-x,在Rt△ABE中,AE2+AB2=BE2,∴(8-x)2+42=x2,解得:x=5,∴BE的长度为5;(2)设DE=m,则AE=m+8,设BE交CD于G,∵四边形ABCD是矩形,∴BC=AD=8,CD=AB=4,AD∥BC,∠A=∠BCG=90°,∴∠AEB=∠CBG,∴△AEB∽△CBG,∴CG AB =BCAE,即CG4=8m+8,∴CG=32m+8,当PC=13CD=43时,BP=BC2+PC2=82+432=4373,连接CC ,过点C 作C H⊥CD于点H,如图,∵将△BPC沿直线BP折叠得到△BPC ,∴CC ⊥BP,△BPC ≌△BPC,∴S四边形BCPC =2S△BPC,∴1BP⋅CC =2×1BC⋅PC,即12×4373CC =2×12×8×43,∴CC =163737,∵∠C CH +∠BPC =90°,∠PBC +∠BPC =90°,∴∠C CH =∠PBC ,∵∠CHC =∠BCP =90°,∴△CC H ∽△BPC ,∴C H PC =CH BC =CC BP ,即CH 43=CH 8=1637374373,∴C H =1637,CH =9637,∵∠C HG =∠EDG =90°,∴C H ∥AE ,∴∠GC ′H =∠AEB ,∴△C GH ∽△EBA ,∴GH AB =C H AE ,即GH 4=1637m +8,∴GH =6437(m +8),∵CH +GH =CG ,∴9637+6437(m +8)=32m +8,解得:m =113,经检验,m =113是该方程的解,∴DE =113;当PC =23CD =83时,BP =BC 2+PC 2=82+83 2=8103,连接CC ,过点C 作C H ⊥CD 交CD 的延长线于点H ,作C G ⊥AD 于点G ,如图,同理可得:CC =8105,同理△CC H ∽△BPC ,∴C H PC =CH BC =CC BP ,即CH 83=CH 8=81058103,∴C H =85,CH =245,∴DH =CH -CD =245-4=45,∵∠HDG =∠H =∠C GD =90°,∴四边形DGC H 是矩形,∴C G =DH =45,DG =C H =85,∵∠C GE =∠A =90°,∠C EG =∠BEA ,∴△C EG ∽△BEA ,∴EG AE =C G AB =454=15,∴AE =5EG ,∵AE +EG =AG =AD -DG =8-85=325,∴5EG +EG =325,∴EG =1615,∴DE =DG +EG =85+1615=83,综上所述,DE 的长度为113或83;(3)四边形BFDP 是平行四边形,理由如下:∵点F 是AB 的中点,∴AF =BF ,过点C 作C M ∥AD 交AB 于点M ,过点F 作FN ⊥BC 于点N ,如图,则∠FC M =∠ADF ,∵四边形ABCD 是矩形,∴AD ∥BC ,AB ∥CD ,∴C M ∥BC ,∴∠BC M =∠C BC ,由翻折得:∠C BP =∠CBP =12∠C BC ,BC =BC =8,∵C M ∥AD ,∴△FC M ∽△FDA ,∴FM AF =C M AD ,∴FM BF =C MBC ,∵∠BNF =∠BMC =90°,∠FBN =∠C BM ,∴△BFN ∼△BC M∴FN BF =C MBC ,∴FM BF =FN BF ,∴FM =FN ,又∵FM ⊥C M ,FN ⊥C B ,∴∠BC F =∠MC F =12∠BC M ,∴∠BC F =∠C BP ,∴DF ∥BP ,∴四边形BFDP 是平行四边形.17矩形ABCD 中,AB =6,AD =8,点E 为对角线AC 上一点,过点E 作EF ⊥AD 于点F ,EG ⊥AC 交边BC 于点G ,将△AEF 沿AC 折叠得△AEH ,连接HG .(1)如图1,若点H 落在边BC 上,求证:AH =CH ;(2)如图2,若A ,H ,G 三点在同一条直线上,求HG 的长;(3)若△EHG 是以EG 为腰的等腰三角形,求EF 的长.【答案】(1)见解析(2)HG =94(3)EF =103或4【分析】(1)根据矩形的性质和翻折的性质证明∠ACH =∠HAC ,即可解决问题;(2)结合(1)的方法AG =CG ,解Rt △AEG ,Rt △HEG 分别求得EG ,HG ;(3)当△EHG 是以EG 为腰的等腰三角形时,分两种情况:①当EG =EH ,②当EG =HG ,结合(2)的方法,利用全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质即可解决问题.【详解】(1)∵四边形ABCD 是矩形,∴AD ∥BC .∴∠DAE =∠ACH .∵△AHE 由△AFE 折叠得到,∴∠HAC =∠DAE ,∴∠HAC =∠ACH ,∴AH =CH ;(2)∵矩形ABCD 中,AB =6,AD =8.∴AC =10.当A ,H ,G 三点在同一条直线上时,∠EHG =90°.同(1)可得AG =CG .又∵EG ⊥AC ,∴AE =12AC =5.∵∠AEH +∠HEG =90°,∠AEH +∠HAE =90°,∴∠HEG =∠HAC =∠CAD .∵在Rt △AEG 中,tan ∠EAG =EG AE =34,∴EG =34AE =154.∵在Rt △HEG 中,sin ∠HEG =HG EG =35,∴HG =35EG =94.(3)①若EH =EG ,如图3①设EF =EH =EG =x ,∵EF ⊥AD ,∴EF ∥CD ,∴△AEF ∽△ACD ,∴AE AC =AF AD =EF CD ∴AE 10=AF 8=x 6∴AE =53x ,AF =43x ,∴AH =AF =43x ,∵∠AHE =∠CEG =90°,∠HAE =∠GCE ,EH =EH ,∴△AHE ≌△CGE AAS ,∴AH =CE ,∴43x =10-53x ,∴x =103∴EF =103.②若HG =GE ,如图3②.(图3②)过点G 作GM ⊥HE ,设EF =a ,∵EC =10-53a ,∵∠AHE =∠CEG =90°,∠HAE =∠GCE ,∴△AHE ∽△CGE ,∴EG =34EC =3410-53a =152-54a ,∵∠GME =∠EHA ,∠MGE =90°-∠MEG =∠HAE ,∴△MGE ∽△HEA ,∴ME AH =EG AE ,∵AH AE =AD AC =45,∴AH =45AE ,∴ME =45EG =45152-54a =6-a ,∴HE =2ME =12-2a =EF ,∴12-2a =a ,∴a =4,∴EF =4,综上,EF =103或4.【点睛】本题考查了矩形的性质,解直角三角形,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理,等腰三角形的性质,翻折的性质,解决本题的关键是综合运用以上知识.18综合与实践【问题情境】数学活动课上,老师准备了若干张正方形纸片ABCD,组织同学们进行折纸探究活动.【初步尝试】把正方形对折,折痕为EF,然后展开,沿过点A与点E所在的直线折叠,点B落在点B 处,连接 B C,如图1,请直接写出∠AEB 与∠ECB 的数量关系.【能力提升】把正方形对折,折痕为EF,然后展开,沿过点A与BE上的点G所在的直线折叠,使点B落在EF上的点P处,连接PD,如图2,猜想∠APD的度数,并说明理由.【拓展延伸】在图2的条件下,作点A关于直线CP的对称点A ,连接PA ,BA ,AC,如图3,求∠PA B的度数.【答案】初步尝试:∠AEB =∠ECB ;能力提升:猜想:∠APD=60°,理由见解析;拓展延伸:∠PA B=15°【分析】初步尝试:连接BB ,由折叠的性质可知,BE=CE,BE=BE ,∠AEB=∠AEB ,BB ⊥AE,根据等边对等角的性质和三角形内角和定理,得出∠BB C=90°,推出AE∥CB ,即可得出答案;能力提升:根据正方形的性质和折叠的性质,易证△AFP≌△DFP SAS,从而证明△APD是等边三角形,即可得到答案;拓展延伸:连接A C、AA ,由(2)得△APD是等边三角形,进而得出∠PDC=30°,再结合等边对等角的性质和三角形内角和定理,求得∠PAC=15°,∠ACP=30°,由对称性质得:AC=A C,∠ACP=∠A CP=30°,证明△AA B≌△CA B SSS,得到∠CA B=30°,再由∠CA P=∠CAP=15°,即可求出∠PA B的度数.【详解】解:初步尝试:∠AEB =∠ECB ,理由如下:如图,连接BB ,由折叠的性质可知,BE=CE,BE=BE ,∠AEB=∠AEB ,BB ⊥AE,∴BE=CE=BE ,∴∠EBB =∠EB B,∠ECB =∠EB C,∵∠EBB +∠EB B+∠EB C+∠ECB =2∠EB B+∠EB C=180°,∴∠BB C=90°,即BB ⊥CB ,∴AE∥CB ,∴∠AEB=∠ECB ,∴∠AEB =∠ECB ;解:能力提升:猜想:∠APD=60°,理由如下:理由:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠ADC=90°,由折叠性质可得:AF =DF ,EF ⊥AD ,AB =AP ,在△AFP 和△DFP 中,AF =DF∠AFP =∠DFP =90°FP =FP,∴△AFP ≌△DFP SAS ,∴AP =PD ,∴AP =AD =PD ,∴△APD 是等边三角形,∴∠APD =60°;解:拓展延伸:如图,连接A C 、AA ,由(2)得△APD 是等边三角形,∴∠PAD =∠PDA =∠APD =60°,AP =DP =AD ,∵∠ADC =90°,∴∠PDC =30°,又∵PD =AD =DC ,∴∠DPC =∠DCP =12×180°-30° =75°,∠DAC =∠DCA =45°,∴∠PAC =∠PAD -∠DAC =60°-45°=15°,∠ACP =∠DCP -∠DCA =75°-45°=30°,由对称性质得:AC =A C ,∠ACP =∠A CP =30°,∴∠ACA =60°,∴△ACA 是等边三角形,在△AA B 与△CA B 中,A A =A CA B =A B AB =BC,∴△AA B ≌△CA B SSS ,∴∠AA B =∠CA B =12∠AA C =30°,又∵∠CA P =∠CAP =15°,∴∠PA B =∠CA B -∠CA P =15°.【点睛】本题考查了折叠的性质,等腰三角形的判定和性质,三角形内角和定理,正方形的性质,全等三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质等知识,作辅助线构造全等三角形是解题关键.19综合与实践数学活动课上,数学老师以“矩形纸片的折叠”为课题开展数学活动:将矩形纸片ABCD 对折,使得点A ,D 重合,点B ,C 重合,折痕为EF ,展开后沿过点B 的直线再次折叠纸片,点A 的对应点为点N ,折痕为BM . (1)如图(1)若AB =BC ,则当点N 落在EF 上时,BF 和BN 的数量关系是,∠NBF 的度数为.思考探究:(2)在AB=BC的条件下进一步进行探究,将△BMN沿BN所在的直线折叠,点M的对应点为点M .当点M 落在CD上时,如图(2),设BN,BM 分别交EF于点J,K.若DM =4,请求出三角形BJK的面积.开放拓展:(3)如图(3),在矩形纸片ABCD中,AB=2,AD=4,将纸片沿过点B的直线折叠,折痕为BM,点A的对应点为点N,展开后再将四边形ABNM沿BN所在的直线折叠,点A的对应点为点P,点M的对应点为点M ,连接CP,DP,若PC=PD,请直接写出AM的长.(温馨提示:12+3=2-3,12+1=2-1)【答案】(1)BF=12BN,60°(2)2+2(3)4-23【分析】(1)根据折叠的性质得:AB=BN,BF=CF=12BC,根据直角三角形的性质可得∠BNF=30°,由直角三角形的两锐角互余可得结论;(2)由折叠得:BM=BM ,证明Rt△ABM≌Rt△CBM (HL),可知AM=CM ,∠ABM=∠CBM ,得△BFJ是等腰直角三角形,再证明四边形ABCD是正方形,分别计算BF=FJ=12BC=2+2,JK=2,由三角形面积公式可得结论;(3)如图(3),过点P作PG⊥BC于G,PH⊥CD于H,根据等腰三角形的三线合一可得DH=CH=12CD=12AB=1,由折叠的性质和矩形的性质可得PG=CH=1,BN=BP=AB=2,∠NBP=∠ABN,设PL=x,则M L=2x,M P=3x,根据NL=233=NM +M L,列方程可解答.【详解】(1)解:由折叠得:AB=BN,BF=CF,∠BFN=90°,∵AB=BC,∴BF=12BN,∴∠BNF=30°,∴∠NBF=90°-30°=60°,故答案为:BF=12BN,60°;(2)由折叠得:BM=BM ,∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠C=90°,∵AB=BC,∴Rt△ABM≌Rt△CBM (HL),∴AM=CM ,∠ABM=∠CBM ,∴∠ABM=∠MBN=∠NBM =∠CBM ,∴∠FBJ=45°,∴△BFJ是等腰直角三角形,∵四边形ABCD是矩形,AB=BC,∴矩形ABCD是正方形,∴AD=CD,∠D=90°,∴DM=DM =4,∴MM =42,∵AM=MN=M N=CM ,∴CM =22,∴BC =CD =4+22,∴BF =FC =2+2,∵FK ∥CM ,∴BK =KM ,∴FK =12CM =2,∵△BFJ 是等腰直角三角形,∴BF =FJ =12BC =2+2,∴JK =2+2-2=2,∴S △BJK =12⋅JK ⋅BF =12×2×(2+2)=2+2;(3)如图,过点P 作PG ⊥BC 于G ,PH ⊥CD 于H ,∵PC =PD ,∴DH =CH =12CD =12AB =1,∵∠PGC =∠PHC =∠BCH =90°,∵四边形PGCH 是矩形,∴PG =CH =1,由折叠得:BN =BP =AB =2,∠NBP =∠ABN ,Rt △BPG 中,∠PBG =30°,∴∠ABN =∠NBP =90°-30°2=30°,延长NM ,BP 交于L ,Rt △BNL 中,BN =2,∠NBL =30°,∴NL =2×33=233,Rt △M PL 中,∠M LP =90°-30°=60°,∴∠PM L =30°,设PL =x ,则M L =2x ,M P =3x ,∵NL =233=NM +M L ,∴3x +2x =233,∴x =433-2,∴AM =3x =3×433-2 =4-23.【点睛】本题是四边形的综合题,考查了折叠的性质,含30°角的直角三角形的性质,矩形的性质和判定,正方形的判定和性质,三角函数等知识,掌握折叠的性质和正确作辅助线是解题的关键,题目具有一定的综合性,比较新颖.20综合与实践综合与实践课上,老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动.(1)操作判断如图1,先用对折的方式确定矩形ABCD 的边AB 的中点E ,再沿DE 折叠,点A 落在点F 处,把纸片展平,延长DF ,与BC 交点为G .。
近6年全国各地中考数学真题压轴题训练——几何图形的证明(100题)(解析版) 1.把正方形ABCD绕着点A,按顺时针方向旋转得到正方形AEFG,边FG与BC交于点H(如图).试问线段HG与线段HB相等吗?请先观察猜想,然后再证明你的猜想.【答案】解:.证法1:连结,四边形,都是正方形..由题意知,又.,.证法2:连结.四边形,都是正方形,.由题意知....【解析】试题分析:要证明HG与HB是否相等,可以把线段放在两个三角形中证明这两个三角形全等,或放在一个三角形中证明这个三角形是等腰三角形,而图中没有这样的三角形,因此需要作辅助线,构造三角形.试题解析:HG=HB,证法1:连接AH,∵四边形ABCD,AEFG都是正方形,∴∠B=∠G=90°,由题意知AG=AB,又AH=AH,∴Rt AGH≌Rt ABH(HL),∴HG=HB.证法2:连接GB,∵四边形ABCD,AEFG都是正方形,∴∠ABC=∠AGF=90°,由题意知AB=AG,∴∠AGB=∠ABG,∴∠HGB=∠HBG,∴HG=HB.考点;1.正方形的性质;2.全等三角形的判定.2.(13分)如图,菱形ABCD中,点P是CD的中点,∠BCD=60°,射线AP交BC的延长线于点E,射线BP交DE于点K,点O是线段BK的中点.(1)求证:ADP≌△ECP;(2)若BP=n•PK,试求出n的值;(3)作BM丄AE于点M,作KN丄AE于点N,连结MO、NO,如图2所示,请证明MON是等腰三角形,并直接写出∠MON的度数.【答案】(1)证明见试题解析;(2)3;(3)证明见试题解析,120°.【解析】试题分析:(1)由菱形的性质得到AD∥BC,根据由平行线的性质得到∠DAP=∠CEP,∠ADP=∠ECP,根据全等三角形的判定定理证明结论;(2)作PI∥CE交DE于I,由点P是CD的中点证明CE=2PI,BE=4PI,根据相似三角形的性质证明结论;(3)作OG⊥AE于G,由平行线等分线段定理得到MG=NG,又OG⊥MN,可证明MON是等腰三角形,由直角三角形的性质和锐角三角函数求出∠MON的度数.试题解析:(1)∵四边形ABCD为菱形,∴AD∥BC,∴∠DAP=∠CEP,∠ADP=∠ECP,在ADP和ECP中,∵∠DAP=∠CEP,∠ADP=∠ECP,DP=CP,∴△ADP≌△ECP;(2)如图1,作PI∥CE交DE于I,则,又点P是CD的中点,∴,∵△ADP≌△ECP,∴AD=CE,∴,∴BP=3PK,∴n=3;(3)如图2,作OG⊥AE于G,∵BM丄AE于,KN丄AE,∴BM∥OG∥KN,∵点O是线段BK的中点,∴MG=NG,又OG⊥MN,∴OM=ON,即MON是等腰三角形,由题意得,BPC,AMB,ABP为直角三角形,设BC=2,则CP=1,由勾股定理得,BP=,则AP=,根据三角形面积公式,BM=,由(2)得,PB=3PO,∴OG=BM=,MG=MP=,tan∠MOG=,∴∠MOG=60°,∴∠MON的度数为120°.考点:1.四边形综合题;2.压轴题.3.如图,EF=BC,DF=AC,DA=EB.求证:∠F=∠C.【答案】见解析.【解析】【分析】欲证明∠F =∠C ,只要证明△ABC ≌△DEF(SSS)即可.【详解】证明:DA BE =,DE AB ∴=,在ABC ∆和DEF ∆中,AB DE AC DF BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩,()ABC DEF SSS ∴∆≅∆,C F ∴∠=∠.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质.4.如图,平行四边形ABCD 中,AB=3cm ,BC=5cm ,∠B=60°,G 是CD 的中点,E 是边AD 上的动点,EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ,连接CE ,DF .(1)求证:四边形CEDF 是平行四边形;(2)①当AE= cm 时,四边形CEDF 是矩形;②当AE= cm 时,四边形CEDF 是菱形;(直接写出答案,不需要说明理由)【答案】(1)证明见解析;(2)① 当AE =3.5cm 时,四边形CEDF 是矩形.② 当AE =2cm 时,四边形CEDF 是菱形.【解析】【详解】(1)∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ CF ∥ED , ∴ ∠FCG =∠EDG ,∵ G 是CD 的中点,∴ CG =DG ,在 FCG和 EDG 中,{FCG EDGCG DG CGF DGE∠=∠=∠=∠,∴ FCG ≌△EDG (ASA ),∴ FG =EG ,∵ CG =DG ,∴ 四边形CEDF 是平行四边形;(2)①当AE=3.5时,平行四边形CEDF 是矩形,理由是:过A 作AM ⊥BC 于M ,∵∠B=60°,AB=3,∴BM=1.5,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴∠CDA=∠B=60°,DC=AB=3,BC=AD=5,∵AE=3.5,∴DE=1.5=BM ,在 MBA 和 EDC 中,BM DE B CDA AB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ MBA ≌ EDC(SAS),∴∠CED=∠AMB=90°,∵四边形CEDF 是平行四边形,∴四边形CEDF 是矩形,故答案为:3.5;②当AE=2时,四边形CEDF 是菱形,理由是:∵AD=5,AE=2,∴DE=3,∵CD=3,∠CDE=60°,∴ CDE 是等边三角形,∴CE=DE ,∵四边形CEDF 是平行四边形,∴四边形CEDF 是菱形,故答案为: 2.考点:1.平行四边形的性质;2.全等三角形的判定与性质;3.矩形的判定;4.菱形的判定.5.在ABCD 中,BE 平分ABC ∠交AD 于点E .(1)如图1,若30D ︒∠=,AB =,求ABE ∆的面积;(2)如图2,过点A 作AF DC ⊥,交DC 的延长线于点F ,分别交BE ,BC 于点G ,H ,且 AB AF =.求证:ED AG FC -=.【答案】(1)32;(2)证明见解析. 【解析】【分析】(1)作BO AD ⊥于O ,由平行四边形的性质得出30BAO D ︒∠=∠=,由直角三角形的性质得出12BQ AB ==,证出ABE AEB ∠=∠,得出AE AB == (2)作AQ BE ⊥交DF 的延长线于P ,垂足为Q ,连接PB 、PE ,证明ABG AFP ∆≅∆得出AG FP =,再证明BPC PED ∆≅∆得出PC ED =,即可得出结论.【详解】(1)解:作BO AD ⊥于O ,如图1所示:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD BC ∥,AB CD ∥,AB CD =,30ABC D ︒∠=∠=,∴AEB CBE ∠=∠,30BAO D ︒∠=∠=,∴12BQ AB ==, ∵BE 平分ABC ∠,∴ABE CBE ∠=∠,∴ABE AEB ∠=∠,∴AE AB ==∴ABE ∆的面积1132222AE BO =⨯=⨯=;(2)证明:作AQ BE ⊥交DF 的延长线于P ,垂足为Q ,连接PB 、PE ,如图2所示:∵AB AE =,AQ BE ⊥,∴ABE AEB ∠=∠,BQ EQ =,∴PB PE =,∴PBE PEB ∠=∠,∴ABP AEP ∠=∠,∵AB CD ∥,AF CD ⊥,∴AF AB ⊥,∴90BAF ︒∠=,∵AQ BE ⊥,∴ABG FAP ∠=∠,在ABG ∆和FAP ∆中,90ABG FAP AB AF BAG AFP ︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩,∴(ASA)ABG AFP ∆≅∆,∴AG FP =,∵AB CD ∥,AD BC ∥,∴180ABP BPC ︒∠+∠=,BCP D ∠=∠,∵180AEP PED ︒∠+∠=,∴BPC PED ∠=∠,在BPC ∆和PED ∆中,BCP D BPC PED PB PE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴(AAS)BPC PED ∆≅∆,∴PC ED =,∴---ED AG PC AG PC FP FC ===.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识;熟练掌握平行四边形的性质,证明三角形全等是解题的关键.6.如图,点A 、D 、C 、F 在同一条直线上,AD=CF ,AB=DE ,BC=EF.(1)求证:ΔABC ≌ DEF ;(2)若∠A=55°,∠B=88°,求∠F 的度数.【答案】(1)证明见解析;(2)37°【解析】分析:(1)先证明AC=DF ,再运用SSS 证明 ABC ≌△DEF ;(2)根据三角形内角和定理可求∠ACB=37°,由(1)知∠F=∠ACB ,从而可得结论.解析:(1)∵AC=AD+DC , DF=DC+CF ,且AD=CF∴AC=DF在 ABC 和 DEF 中,AB DE BC EF AC DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ ABC ≌△DEF (SSS )(2)由(1)可知,∠F=∠ACB∵∠A=55°,∠B=88° ∴∠ACB=180°-(∠A+∠B )=180°-(55°+88°)=37° ∴∠F=∠ACB=37°点睛:本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL .注意:AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.7.如图,点D 在△ABC 的AB 边上,且∠ACD=∠A.(1)作△BDC的平分线DE,交BC于点E(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法);(2)在(1)的条件下,判断直线DE与直线AC的位置关系(不要求证明).【答案】(1)作图见解析;(2)DE∥AC.【解析】【分析】(1)、根据角平分线的画法画出角平分线;(2)、根据角平分线的性质和三角形外角的性质得出DE和AC平行. 【详解】解:(1)、如图所示:(2)DE∥AC∵DE平分∠BDC,∴∠BDE=12∠BDC,∵∠ACD=∠A,∠ACD+∠A=∠BDC,∴∠A=12∠BDC,∴∠A=∠BDE,∴DE∥AC.(2)、DE∥AC.考点:(1)、角平分线的画法;(2)、角平分线的性质.8.如图,分别以Rt ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边ACD,等边ABE.已知∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足为F,连接DF.(1)试说明AC=EF;(2)求证:四边形ADFE是平行四边形.【答案】证明见解析.【解析】【分析】(1)一方面Rt ABC中,由∠BAC=30°可以得到AB=2BC,另一方面ABE是等边三角形,EF⊥AB,由此得到AE=2AF,并且AB=2AF,从而可证明AFE≌△BCA,再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF.(2)根据(1)知道EF=AC,而ACD是等边三角形,所以EF=AC=AD,并且AD⊥AB,而EF⊥AB,由此得到EF∥AD,再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形.【详解】证明:(1)∵Rt ABC中,∠BAC=30°,∴AB=2BC.又∵△ABE是等边三角形,EF⊥AB,∴AB=2AF.∴AF=BC.∵在Rt AFE和Rt BCA中,AF=BC,AE=BA,∴△AFE≌△BCA(HL).∴AC=EF.(2)∵△ACD是等边三角形,∴∠DAC=60°,AC=AD.∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°.∴EF∥AD.∵AC=EF,AC=AD,∴EF=AD.∴四边形ADFE是平行四边形.考点:1.全等三角形的判定与性质;2.等边三角形的性质;3.平行四边形的判定.9.如图,四边形ABCD中,E点在AD上,其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°,且BC=CE,求证:ABC与DEC 全等.【答案】证明过程见解析【解析】【分析】由∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°,可求得∠DCE=∠ACB,且∠B+∠CEA=∠CEA+∠DEC=180°,可求得∠DEC=∠ABC,再结合条件可证明△ABC≌△DEC.【详解】∵∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°,∴∠5+∠4=∠4+∠3,∴∠5=∠3,且∠B+∠CEA=180°,又∠7+∠CEA=180°,∴∠B=∠7,在△ABC 和△DEC 中537BC CE B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴△ABC≌△DEC(ASA ).10.如图, ABC 中,AB=AC ,点E ,F 在边BC 上,BE=CF ,点D 在AF 的延长线上,AD=AC ,(1)求证: ABE ≌△ACF ;(2)若∠BAE=30°,则∠ADC= °.【答案】(1)证明见解析;(2)75.【解析】【分析】(1)根据等边对等角可得∠B=∠ACF ,然后利用SAS 证明 ABE ≌△ACF 即可;(2)根据 ABE ≌△ACF ,可得∠CAF=∠BAE=30°,再根据AD=AC ,利用等腰三角形的性质即可求得∠ADC 的度数.【详解】(1)∵AB=AC ,∴∠B=∠ACF ,在 ABE 和 ACF 中,AB AC B ACF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABE ≌△ACF (SAS );(2)∵△ABE ≌△ACF ,∠BAE=30°,∴∠CAF=∠BAE=30°, ∵AD=AC ,∴∠ADC=∠ACD ,∴∠ADC=280013︒-︒=75°, 故答案为75.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质,熟练掌握相关性质与定理是解题的关键.11.如图, ABC 中,∠ACB >∠ABC .(1)用直尺和圆规在∠ACB 的内部作射线CM ,使∠ACM =∠ABC (不要求写作法,保留作图痕迹); (2)若(1)中的射线CM 交AB 于点D ,AB =9,AC =6,求AD 的长.【答案】(1)作图见解析;(2)4.【解析】试题分析:(1)根据尺规作图的方法,以AC 为一边,在∠ACB 的内部作∠ACM =∠ABC 即可;(2)根据 ACD 与 ABC 相似,运用相似三角形的对应边成比例进行计算即可.试题解析:解:(1)如图所示,射线CM 即为所求;(2)∵∠ACD =∠ABC ,∠CAD =∠BAC ,∴△ACD ∽△ABC ,∴AD AC AC AB =,即669AD =,∴AD =4. 点睛:本题主要考查了基本作图以及相似三角形的判定与性质的运用,解题时注意:两角对应相等的两个三角形相似;相似三角形的对应边成比例.12.已知:如图,点A 、D 、C 、B 在同一条直线上,AD=BC ,AE=BF ,CE=DF ,求证:AE ∥BF .【答案】证明见解析.【解析】分析:可证明 ACE ≌△BDF ,得出∠A=∠B ,即可得出AE ∥BF ;详证明:∵AD=BC ,∴AC=BD ,在 ACE 和 BDF 中,AC BD AE BF CE DF ⎧⎪⎨⎪⎩===,∴△ACE ≌△BDF (SSS )∴∠A=∠B ,∴AE ∥BF ;点睛:本题考查了全等三角形的判定及性质以及平行线的判定问题,关键是用SSS 证明 ACE ≌△BDF . 13.如图,AD 平分∠BAC ,AD ⊥BD ,垂足为点D ,DE ∥AC .求证:△BDE 是等腰三角形.【答案】证明见解析.【解析】试题分析:直接利用平行线的性质得出∠1=∠3,进而利用角平分线的定义结合互余的性质得出∠B=∠BDE ,即可得出答案.试题解析:∵DE ∥AC ,∴∠1=∠3,∵AD 平分∠BAC ,∴∠1=∠2,∴∠2=∠3,∵AD ⊥BD ,∴∠2+∠B=90°,∠3+∠BDE=90°,∴∠B=∠BDE ,∴△BDE 是等腰三角形.考点:等腰三角形的判定;平行线的性质.14.在Rt ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=30°,将ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到AED,点B、C 的对应点分别是E、D.(1)如图1,当点E恰好在AC上时,求∠CDE的度数;(2)如图2,若α=60°时,点F是边AC中点,求证:四边形BFDE是平行四边形.【答案】(1)15°;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)如图1,利用旋转的性质得CA=DA,∠CAD=∠BAC=30°,∠DEA=∠ABC=90°,再根据等腰三角形的性质求出∠ADC,从而计算出∠CDE的度数;(2)如图2,利用直角三角形斜边上的中线性质得到BF=12AC,利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC=12AC,则BF=BC,再根据旋转的性质得到∠BAE=∠CAD=60°,AB=AE,AC=AD ,DE=BC,从而得到DE=BF,ACD和BAE为等边三角形,接着由AFD≌△CBA得到DF=BA,然后根据平行四边形的判定方法得到结论.【详解】解:(1)如图1,∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到AED,点E恰好在AC上,∴CA=CD,∠CAD=∠BAC=30°,∠DEA=∠ABC=90°,∵CA=DA,∴∠ACD=∠ADC=12(180°−30°)=75°,∠ADE=90°-30°=60°,∴∠CDE=75°−60°=15°;(2)证明:如图2,∵点F是边AC中点,∴BF=12 AC,∵∠BAC=30°,∴BC=12 AC,∴BF=BC,∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到AED,∴∠BAE=∠CAD=60°,AB=AE,AC=AD,DE=BC,∴DE=BF,ACD和BAE为等边三角形,∴BE=AB,∵点F为ACD的边AC的中点,∴DF⊥AC,易证得AFD≌△CBA,∴DF=BA,∴DF=BE,而BF=DE,∴四边形BEDF是平行四边形.【点睛】本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.也考查了平行四边形的判定.15.综合与实践问题情境:在数学活动课上,老师出示了这样一个问题:如图1,在矩形ABCD中,AD=2AB,E是AB延长线上一点,且BE=AB,连接DE,交BC于点M,以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG,连接AM.试判断线段AM与DE的位置关系.探究展示:勤奋小组发现,AM垂直平分DE,并展示了如下的证明方法:证明:∵BE=AB,∴AE=2AB.∵AD=2AB ,∴AD=AE .∵四边形ABCD 是矩形,∴AD ∥BC . ∴EM EB DM AB=.(依据1) ∵BE=AB ,∴1EM DM =.∴EM=DM . 即AM 是 ADE 的DE 边上的中线,又∵AD=AE ,∴AM ⊥DE .(依据2)∴AM 垂直平分DE .反思交流:(1)①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么?②试判断图1中的点A 是否在线段GF 的垂直平分线上,请直接回答,不必证明;(2)创新小组受到勤奋小组的启发,继续进行探究,如图2,连接CE ,以CE 为一边在CE 的左下方作正方形CEFG ,发现点G 在线段BC 的垂直平分线上,请你给出证明;探索发现:(3)如图3,连接CE ,以CE 为一边在CE 的右上方作正方形CEFG ,可以发现点C ,点B 都在线段AE 的垂直平分线上,除此之外,请观察矩形ABCD 和正方形CEFG 的顶点与边,你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上,请写出一个你发现的结论,并加以证明.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)详见解析.【解析】【分析】(1)①直接得出结论;②借助问题情景即可得出结论;(2)先判断出∠BCE+∠BEC=90°,进而判断出∠BEC=∠BCG ,得出 GHC ≌△CBE ,判断出AD=BC ,进而判断出HC=BH ,即可得出结论;(3)先判断出四边形BENM 为矩形,进而得出∠1+∠2=90°,再判断出∠1=∠3,得出 ENF ≌△EBC ,即可得出结论.【详解】(1)①依据1:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例(或平行线分线段成比例).依据2:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线及底边上的高互相重合(或等腰三角形的“三线合一”).②答:点A在线段GF的垂直平分线上.理由:由问题情景知,AM⊥DE,∵四边形DEFG是正方形,∴DE∥FG,∴点A在线段GF的垂直平分线上.(2)证明:过点G作GH⊥BC于点H,∵四边形ABCD是矩形,点E在AB的延长线上,∴∠CBE=∠ABC=∠GHC=90°,∴∠BCE+∠BEC=90°.∵四边形CEFG为正方形,∴CG=CE,∠GCE=90°,∴∠BCE+∠BCG=90°.∴∠2BEC=∠BCG.∴△GHC≌△CBE.∴HC=BE,∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC.∵AD=2AB,BE=AB,∴BC=2BE=2HC,∴HC=BH.∴GH垂直平分BC.∴点G在BC的垂直平分线上.(3)答:点F在BC边的垂直平分线上(或点F在AD边的垂直平分线上).过点F作FM⊥BC于点M,过点E作EN⊥FM于点N.∴∠BMN=∠ENM=∠ENF=90°.∵四边形ABCD是矩形,点E在AB的延长线上,∴∠CBE=∠ABC=90°,∴四边形BENM为矩形.∴BM=EN,∠BEN=90°.∴∠1+∠2=90°.∵四边形CEFG为正方形,∴EF=EC,∠CEF=90°.∴∠2+∠3=90°.∴∠1=∠3.∵∠CBE=∠ENF=90°,∴△ENF≌△EBC.∴NE=BE.∴BM=BE.∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC.∵AD=2AB,AB=BE.∴BC=2BM.∴BM=MC.∴FM垂直平分BC.∴点F在BC边的垂直平分线上.【点睛】此题是四边形综合题,主要考查了正方形的性质,矩形的性质,全等三角形的判定和性质,线段垂直平分线的判定和性质,构造全等三角形是解本题的关键.16.如图,在五边形ABCDE中,∠BCD=∠EDC=90°,BC=ED,AC=AD.(1)求证:ABC≌△AED;(2)当∠B=140°时,求∠BAE的度数.【答案】(1)详见解析;(2)80°.【分析】(1)根据∠ACD=∠ADC,∠BCD=∠EDC=90°,可得∠ACB=∠ADE,进而运用SAS即可判定全等三角形;(2)根据全等三角形对应角相等,运用五边形内角和,即可得到∠BAE的度数.【解析】【分析】(1)根据∠ACD=∠ADC,∠BCD=∠EDC=90°,可得∠ACB=∠ADE,进而运用SAS即可判定全等三角形;(2)根据全等三角形对应角相等,运用五边形内角和,即可得到∠BAE的度数.【详解】证明:(1)∵AC=AD ,∴∠ACD=∠ADC ,又∵∠BCD=∠EDC=90°,∴∠ACB=∠ADE ,在 ABC 和 AED 中,BC ED ACB ADE AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABC ≌△AED (SAS );解:(2)当∠B=140°时,∠E=140°,又∵∠BCD=∠EDC=90°,∴五边形ABCDE 中,∠BAE=540°﹣140°×2﹣90°×2=80°.【点睛】考点:全等三角形的判定与性质.17.如图,在▱ABCD 中,E ,F 分别是AD ,BC 上的点,且DE=BF ,AC⊥EF.求证:四边形AECF 是菱形.【答案】见解析.【解析】【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明【详解】 证明:四边形ABCD 是平行四边形,AD BC ∴=,//AD BC ,DE BF =,AE CF ∴=,//AE CF ,∴四边形AECF 是平行四边形,AC EF ⊥,∴四边形AECF 是菱形.【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.18.如图,AC=DC,BC=EC,∠ACD=∠BCE.求证:∠A=∠D.【答案】证明见试题解析.【解析】试题分析:首先根据∠ACD=∠BCE得出∠ACB=∠DCE,结合已知条件利用SAS判定ABC和DEC全等,从而得出答案.试题解析:∵∠ACD=∠BCE ∴∠ACB=∠DCE 又∵AC=DC BC=EC ∴△ABC≌△DEC ∴∠A=∠D考点:三角形全等的证明19.如图,在∆ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC于点E.求证:∠CBE=∠BAD.【答案】见解析【解析】试题分析:根据等腰三角形的性质得出∠ADC=∠BEC=90°,再根据∠C为公共角即可得∠CBE=∠CAD.试题解析:∵AB=AC,AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC,又∵BE⊥AC,∴∠ADC=∠BEC=90°,∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°,∴∠CBE=∠CAD.20.如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AO=OC,BO=OD,且∠AOB=2∠OAD.(1)求证:四边形ABCD是矩形;(2)若∠AOB∶∠ODC=4∶3,求∠ADO的度数.【答案】(1)证明见解析;(2)∠ADO==36°.【解析】【分析】(1)先判断四边形ABCD是平行四边形,继而根据已知条件推导出AC=BD,然后根据对角线相等的平行四边形是矩形即可;(2)设∠AOB=4x,∠ODC=3x,则∠OCD=∠ODC=3x.,在ODC中,利用三角形内角和定理求出x的值,继而求得∠ODC的度数,由此即可求得答案.【详解】(1)∵AO=OC,BO=OD,∴四边形ABCD是平行四边形,又∵∠AOB=2∠OAD,∠AOB是AOD的外角,∴∠AOB=∠OAD+∠ADO.∴∠OAD=∠ADO.∴AO=OD.又∵AC=AO+OC=2AO,BD=BO+OD=2OD,∴AC=BD.∴四边形ABCD是矩形.(2)设∠AOB=4x,∠ODC=3x,则∠ODC=∠OCD=3x,在ODC中,∠DOC+∠OCD+∠CDO=180°∴4x+3x+3x=180°,解得x=18°,∴∠ODC=3×18°=54°,∵四边形ABCD是矩形,∴∠ADC=90°,∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°-54°=36°.【点睛】本题考查了矩形的判定与性质,三角形内角和定理等知识,熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.21.如图,在□ABCD中,E、F分别是AB、DC边上的点,且AE=CF,(1)求证:≌. (2)若DEB=90,求证四边形DEBF 是矩形.【答案】(1)利用SAS 证明;(2)证明见解析.【解析】试题分析:此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定以及全等三角形的判定与性质.注意有一个角是直角的平行四边形是矩形,首先证得四边形ABCD 是平行四边形是关键.(1)由在□ABCD 中,AE=CF ,可利用SAS 判定 ADE ≌△CBF .(2)由在▱ABCD 中,且AE=CF ,利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,可证得四边形DEBF 是平行四边形,又由∠DEB=90°,可证得四边形DEBF 是矩形.试题解析:(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD=CB ,∠A=∠C ,在 ADE 和 CBF 中,,∴ ADE ≌△CBF (SAS ).(2)∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB=CD ,AB ∥CD ,∵AE=CF ,∴BE=DF ,∴四边形ABCD 是平行四边形,∵∠DEB=90°,∴四边形DEBF 是矩形.故答案为(1)利用SAS 证明;(2)证明见解析.考点:平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质;矩形的判定.22.如图,ABC ∆中,90C =∠,4AC =,8BC =.(1)用直尺和圆规作AB 的垂直平分线;(保留作图痕迹,不要求写作法)(2)若(1)中所作的垂直平分线交BC 于点D ,求BD 的长.【答案】(1)详见解析;(2)5BD =.【解析】【分析】(1)分别以A ,B 为圆心,大于12AB 为半径画弧,两弧交于点M ,N ,作直线MN 即可. (2)设AD BD x ==,在Rt ACD ∆中,利用勾股定理构建方程即可解决问题.【详解】(1)如图直线MN 即为所求.(2)∵MN 垂直平分线段AB ,∴DA DB =,设DA DB x ==,在Rt ACD ∆中,∵222AD AC CD =+,∴()22248x x =+-,解得5x =,∴5BD =.【点睛】本题考查作图﹣基本作图,线段的垂直平分线的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型. 23.如图,正方形网格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,在平面直角坐标系内,△ABC 的三个顶点坐标分别为A (1,4),B (1,1),C (3,1).(1)画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1;(2)画出△ABC 绕点O 逆时针旋转90°后的△A 2B 2C 2;(3)在(2)的条件下,求线段BC 扫过的面积(结果保留π).【答案】(1)作图见解析;(2)作图见解析;(3)2π.【解析】【分析】(1)利用轴对称的性质画出图形即可;(2)利用旋转变换的性质画出图形即可;(3)BC 扫过的面积=22OCC OBB S S -扇形扇形,由此计算即可;【详解】(1) ABC 关于x 轴对称的 A 1B 1C 1如图所示;(2) ABC 绕点O 逆时针旋转90°后的 A 2B 2C 2如图所示;(3)BC 扫过的面积=22OCC OBB S S -扇形扇形=2290?90?360360ππ-=2π.【点睛】本题考查了利用轴对称和旋转变换作图,扇形面积公式等知识,熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键.24.如图,AC 和BD 相交于点0,OA=OC, OB=OD .求证:DC//AB【答案】证明见解析【解析】试题分析:根据SAS 可知 AOB ≌△COD ,从而得出∠A=∠C ,根据内错角相等两直线增选2的判定可得结论.. 试题解析:∵OA=OC ,∠AOB=∠COD ,OB=OD ,∴△AOB ≌△COD (SAS ).∴∠A=∠C.∴AB ∥CD.考点:1.全等三角形的的判定和性质;2.平行的判定.25.如图所示,AC=AE ,∠1=∠2,AB=AD .求证:BC=DE .【答案】证明见解析.【解析】试题分析:由1=2∠∠,可得,CAB EAD ∠=∠,,AC AE AB AD ==则可证明ABC ADE ≅,因此可得.BC DE =试题解析:1=2∠∠,12,EAB EAB ∴∠+∠=∠+∠即CAB EAD ∠=∠,在ABC 和ADE 中,{AC AECAB EAD AB AD=∠=∠=(),ABC ADE SAS ∴≅.BC DE ∴=考点:三角形全等的判定.26.如图, ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC ,AD ⊥BC ,垂足是D ,AE 平分∠BAD ,交BC 于点E.在 ABC 外有一点F ,使FA ⊥AE ,FC ⊥BC .(1)求证:BE=CF ;(2)在AB 上取一点M ,使BM=2DE ,连接MC ,交AD 于点N ,连接ME.求证:①ME ⊥BC ;②DE=DN.【答案】(1)证明见解析;(2)①证明见解析;②证明见解析.【解析】试题分析:(1)通过角的转换和等腰直角三角形的性质,得到∠BAE=∠CAF 和∠B=∠FCA ,从而ASA 证明 ABF ≌△ACF ,根据全等三角形对应边相等得到结论.(2)①过E 点作EG ⊥AB 于点G ,通过证明EG 是BM 的垂直平分线就易得出结论.②通过证明Rt AMC ≌Rt EMC 和 ADE ≌△CDN 来证明结论.试题解析:(1)如图,∵∠BAC=90°,FA ⊥AE ,∴∠1+∠EAC=90°,∠2+∠EAC=90°. ∴∠1=∠2.又∵AB=AC ,∴∠B=∠ACB=45°.∵FC ⊥BC ,∴∠FCA=90°-∠ACB=45°.∴∠B=∠FCA.∴△ABF ≌△ACF (ASA ).∴BE=CF.(2)①如图,过E 点作EG ⊥AB 于点G ,∵∠B=45°,∴△CBE 是等腰直角三角形.∴BG=EG ,∠3=45°. ∵BM=2DE ,∴BM=2BG ,即点G 是BM 的中点.∴EG 是BM 的垂直平分线.∴∠4=∠3=45°.∴∠MEB=∠4+∠3=90°.∴ME ⊥BC.②∵AD ⊥BC ,∴ME ∥AD.∴∠5=∠6.∵∠1=∠5,∴∠1=∠6.∴AM=EM.∵MC=MC ,∴Rt AMC ≌Rt EMC (HL ).∴∠7=∠8.∵∠BAC=90°,,AB=AC ,∴∠ACB=45°,∠BAD=∠CAD=45°. ∴∠5=∠7=22.5°,AD=CD.∵∠ADE=∠CDN=90°,∴△ADE ≌△CDN (ASA ).∴DE=DN.考点:1.等腰直角三角形的判定和性质;2.全等三角形的判定和性质;3.线段垂直平分线的判定和性质.27.如图,ABC △中,点E 在BC 边上,AE AB =,将线段AC 绕点A 旋转到AF 的位置,使得CAF BAE ∠=∠,连接EF ,EF 与AC 交于点G(1)求证:EF BC =;(2)若65ABC ∠=︒,28ACB ∠=︒,求FGC ∠的度数.【答案】(1)证明见解析;(2)78°.【解析】【分析】(1)因为CAF BAE ∠=∠,所以有BAC EAF ∠=∠,又因为AE AB AC AF ==,,所以有()BAC EAF SAS △≌△,得到EF BC =;(2)利用等腰三角形ABE 内角和定理,求得∠BAE=50°,即∠FAG=50°,又因为第一问证的三角形全等,得到28F C ∠=∠=︒,从而算出∠FGC【详解】(1)CAF BAE ∠=∠BAC EAF∴∠=∠ AE AB AC AF==, ()B A C E A FS A S ∴△≌△ EF BC ∴=(2)65AB AE ABC =∠=︒,18065250BAE ∴∠=︒-︒⨯=︒ 50FAG ∴∠=︒BAC EAF△≌△ 28F C ∴∠=∠=︒502878FGC ∴∠=︒+︒=︒ 【点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质,等腰三角形性质,旋转性质等知识点,比较简单,基础知识扎实是解题关键 28.已知:如图,AB∥CD,E 是AB 的中点,CE=DE .求证:(1)∠AEC=∠BED;(2)AC=BD .【答案】见解析【解析】(1)根据CE=DE 得出∠ECD=∠EDC,再利用平行线的性质进行证明即可;(2)根据SAS 证明△AEC 与△BED 全等,再利用全等三角形的性质证明即可.证明:(1)∵AB∥CD,∴∠AEC=∠ECD,∠BED=∠EDC,∵CE=DE,∴∠ECD=∠EDC,∴∠AEC=∠BED;(2)∵E是AB的中点,∴AE=BE,在△AEC和△BED中,AE=BE,∠AEC=∠BED,EC=ED,∴△AEC≌△BED(SAS),∴AC=BD.29.如图,正方形ABCD中,M为BC上一点,F是AM的中点,EF⊥AM,垂足为F,交AD的延长线于点E,交DC于点N.(1)求证:ABM∽△EFA;(2)若AB=12,BM=5,求DE的长.【答案】(1)见解析;(2)4.9【解析】【详解】试题分析:(1)由正方形的性质得出AB=AD,∠B=90°,AD∥BC,得出∠AMB=∠EAF,再由∠B=∠AFE,即可得出结论;(2)由勾股定理求出AM,得出AF,由ABM∽△EFA得出比例式,求出AE,即可得出DE的长.试题解析:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠B=90°,AD∥BC,∴∠AMB=∠EAF,又∵EF⊥AM,∴∠AFE=90°,∴∠B=∠AFE,∴△ABM∽△EFA;(2)∵∠B=90°,AB=12,BM=5,∴=13,AD=12,∵F是AM的中点,∴AF=12AM=6.5, ∵△ABM ∽△EFA , ∴BM AM AF AE =, 即5136.5AE=, ∴AE=16.9,∴DE=AE-AD=4.9.考点:1.相似三角形的判定与性质;2.正方形的性质.30.如图,在ABC ∆中,AB AC =,AD BC ⊥于点D .(1)若42C ︒∠=,求BAD ∠的度数;(2)若点E 在边AB 上,EF AC 交AD 的延长线于点F .求证:AE FE =.【答案】(1)48°;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到BAD CAD ∠=∠,根据三角形的内角和即可得到904248BAD CAD ︒︒︒∠=∠=-=;(2)根据等腰三角形的性质得到BAD CAD ∠=∠根据平行线的性质得到F CAD ∠=∠,等量代换得到BAD F ∠=∠,于是得到结论.【详解】解:(1)∵AB AC =,AD BC ⊥于点D ,∴BAD CAD ∠=∠,90ADC ︒∠=,又42C ︒∠=,∴904248BAD CAD ︒︒︒∠=∠=-=;(2)∵AB AC =,AD BC ⊥于点D ,∴BAD CAD ∠=∠,∵EF AC,∴F CAD∠=∠,∴BAD F∠=∠,∴AE FE=.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,平行线的性质,正确的识别图形是解题的关键.31.已知,在ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D为BC的中点.(1)如图①,若点E、F分别为AB、AC上的点,且DE⊥DF,求证:BE=AF;(2)若点E、F分别为AB、CA延长线上的点,且DE⊥DF,那么BE=AF吗?请利用图②说明理由.【答案】(1)证明见解析;(2)BE=AF,证明见解析.【解析】分析:(1)连接AD,根据等腰三角形的性质可得出AD=BD、∠EBD=∠FAD,根据同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF,由此即可证出BDE≌△ADF(ASA),再根据全等三角形的性质即可证出BE=AF;(2)连接AD,根据等腰三角形的性质及等角的补角相等可得出∠EBD=∠FAD、BD=AD,根据同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF,由此即可证出EDB≌△FDA(ASA),再根据全等三角形的性质即可得出BE=AF.详(1)证明:连接AD,如图①所示.∵∠A=90°,AB=AC,∴△ABC为等腰直角三角形,∠EBD=45°.∵点D为BC的中点,∴AD=12BC=BD,∠FAD=45°.∵∠BDE+∠EDA=90°,∠EDA+∠ADF=90°,∴∠BDE=∠ADF.在BDE和ADF中,EBD FAD BD ADBDE ADF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴△BDE ≌△ADF (ASA ),∴BE=AF ;(2)BE=AF ,证明如下:连接AD ,如图②所示.∵∠ABD=∠BAD=45°, ∴∠EBD=∠FAD=135°. ∵∠EDB+∠BDF=90°,∠BDF+∠FDA=90°, ∴∠EDB=∠FDA .在 EDB 和 FDA 中,EBD FAD BD ADEDB FDA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴△EDB ≌△FDA (ASA ),∴BE=AF .点睛:本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、补角及余角,解题的关键是:(1)根据全等三角形的判定定理ASA 证出 BDE ≌△ADF ;(2)根据全等三角形的判定定理ASA 证出 EDB ≌△FDA .32.如图,D 是AB 上一点,DF 交AC 于点E ,DE=FE ,FC ∥AB ,求证:ADE CFE ∆≅【答案】见解析.【解析】【分析】利用AAS 证明:△ADE ≌CFE .【详解】证明:∵FC ∥AB∴∠A=∠FCE ,∠ADE=∠F所以在△ADE 与△CFE 中:A FCE ADE F DE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ADE ≌△CFE.【点睛】本题考查了三角形全等的判定,熟练掌握是解题的关键.33.如图,已知点A 、F 、E 、C 在同一直线上,AB ∥CD ,∠ABE=∠CDF ,AF=CE .(1)从图中任找两组全等三角形;(2)从(1)中任选一组进行证明.【答案】(1) ABE ≌△CDF , AFD ≌△CEB(2)略【解析】试题分析:(1)根据题目所给条件可分析出 ABE ≌△CDF , AFD ≌△CEB ;(2)根据已知条件易得∠ACD=∠CAB ,AE=FC ,再由∠ABE=∠CDF ,根据AAS 可判定 ABE ≌△CDF .试题解析:解:(1) ABE ≌△CDF , AFD ≌△CEB ;(2)∵AB ∥CD ,∴∠ACD=∠CAB ,∵AF=CE ,∴AF+EF=CE+EF ,即AE=FC ,在 ABE 和 CDF 中,,∴△ABE ≌△CDF (AAS ).考点:全等三角形的判定.34.在 ABC 中,AB=AC ,点D 是直线BC 上一点(不与B 、C 重合),以AD 为一边在AD 的右侧..作 ADE ,使AD=AE ,∠DAE =∠BAC ,连接CE .(1)如图1,当点D 在线段BC 上,如果∠BAC=90°,则∠BCE=________度;(2)设BAC α∠=,BCE β∠=.①如图2,当点在线段BC 上移动,则α,β之间有怎样的数量关系?请说明理由;②当点在直线BC 上移动,则α,β之间有怎样的数量关系?请直接写出你的结论.【答案】90°【解析】【分析】(1)可以证明 BAD ≌△CAE ,得到∠B =∠ACE ,证明∠ACB =45°,即可解决问题;(2)①证明 BAD ≌△CAE ,得到∠B =∠ACE ,β=∠B +∠ACB ,即可解决问题;②证明 BAD ≌△CAE ,得到∠ABD =∠ACE ,借助三角形外角性质即可解决问题.【详解】(1)90︒;(2)①αβ180+=︒.理由:∵BAC DAE ∠∠=,∴BAC DAC DAE DAC ∠∠∠∠-=-.即BAD CAE ∠∠=.又AB AC AD AE ==,,∴ABD ACE ≌.∴B ACE ∠∠=.∴B ACB ACE ACB ∠∠∠∠+=+.∴B ACB β∠∠+=.∵αB ACB 180∠∠++=︒,∴αβ180+=︒.②当点D 在射线BC 上时,αβ180+=︒.当点D 在射线BC 的反向延长线上时,αβ=.【点睛】该题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题;应牢固掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点.35.已知:如图,ABC是任意一个三角形,求证:∠A+∠B+∠C=180°.【答案】证明见解析【解析】分析:过点A作EF∥BC,利用EF∥BC,可得∠1=∠B,∠2=∠C,而∠1+∠2+∠BAC=180°,利用等量代换可证∠BAC+∠B+∠C=180°.详解:如图,过点A作EF∥BC,∵EF∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠C,∵∠1+∠2+∠BAC=180°,∴∠BAC+∠B+∠C=180°,即∠A+∠B+∠C=180°.点睛:本题考查了三角形的内角和定理的证明,作辅助线把三角形的三个内角转化到一个平角上是解题的关键.36.如图,点E、F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C.求证:∠A=∠D.【答案】答案见解析【解析】【分析】由BE=CF可得BF=CE,再结合AB=DC,∠B=∠C可证得ABF≌△DCE,问题得证.【详解】。
中考数学几何压轴题及答案一、解答题(共30小题)1.观察猜想(1)如图①,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=3,点D与点A重合,点E在边BC上,连接DE,将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF,连接BF,BE与BF的位置关系是,BE+BF=;探究证明(2)在(1)中,如果将点D沿AB方向移动,使AD=1,其余条件不变,如图②,判断BE与BF的位置关系,并求BE+BF的值,请写出你的理由或计算过程;拓展延伸(3)如图③,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,点D在边BA的延长线上,BD=n,连接DE,将线段DE绕着点D顺时针旋转,旋转角∠EDF=α,连接BF,则BE+BF的值是多少?请用含有n,α的式子直接写出结论2.在△ABC的边BC上取B′、C′两点,使∠AB′B=∠AC′C=∠BAC(1)如图1中∠BAC为直角,∠BAC=∠AB′B=∠AC′C=90°(点B′与点C′重合),则△ABC∽△B'BA∽△C'AC,,,进而可得AB2+AC2=;(2)如图2中当∠BAC为锐角,图3中∠BAC为钝角时(1)中的结论还成立吗?若不成立,则AB2+AC2等于什么(用含用BC和B′C′的式子表示)?并说明理由(3)若在△ABC中,AB=5,AC=6,BC=9,请你先判断出△ABC的类型,再求出B′C′的长3.(1)问题发现如图1,在Rt△ABC和Rt△CDE中,∠ACB=∠DCE=90°,∠CAB=∠CDE=45°,点D是线段AB上一动点,连接BE填空:①的值为;②∠DBE的度数为.(2)类比探究如图2,在Rt△ABC和Rt△CDE中,∠ACB=∠DCE=90°,∠CAB=∠CDE=60°,点D是线段AB上一动点,连接BE.请判断的值及∠DBE的度数,并说明理由;(3)拓展延伸如图3,在(2)的条件下,将点D改为直线AB上一动点,其余条件不变,取线段DE 的中点M,连接BM、CM,若AC=2,则当△CBM是直角三角形时,线段BE的长是多少?请直接写出答案.4.(1)问题发现:如图①,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D是BC的中点,以点D为顶点作正方形DFGE,使点A、C分别在DE和DF上,连接BE、AF.则线段BE 和AF数量关系.(2)类比探究:如图②,保持△ABC固定不动,将正方形DFGE绕点D旋转α(0°<α≤360°),则(1)中的结论是否成立?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由.(3)解决问题:若BC=DF=2,在(2)的旋转过程中,连接AE,请直接写出AE的最大值.5.如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,以点O为顶点的∠EOF的两边分别与边AB、AD交于点E、F,且∠EOF与∠BAD互补.(1)若四边形ABCD是正方形,则线段OE与OF有何数量关系?请直接写出结论;(2)若四边形ABCD是菱形,那么(1)中的结论是否成立?若成立,请画出图形并给出证明;若不成立,请说明理由;(3)若AB:AD=m:n,探索线段OE与OF的数量关系,并证明你的结论.6.如图(1),已知点G在正方形ABCD的对角线AC上,GE⊥BC,垂足为点E,GF⊥CD,垂足为点F.(1)证明与推断:①求证:四边形CEGF是正方形;②推断:的值为:(2)探究与证明:将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°<α<45°),如图(2)所示,试探究线段AG与BE之间的数量关系,并说明理由;(3)拓展与运用:正方形CEGF在旋转过程中,当B,E,F三点在一条直线上时,如图(3)所示,延长CG交AD于点H.若AG=6,GH=2,则BC=.7.如图1,在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,点D、E分别是AC、BC的中点,连接DE.定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.探索发现:图1中,的值为;的值为.(2)拓展探完若将△CDE绕点C逆时针方向旋转一周,在旋转过程中的大小有无变化?请仅就图2的情形给出证明.(3)问题解决当△CDE旋转至A,D,E三点共线时,直接写出线段BE的长.8.已知△ABC是边长为4的等边三角形,边AB在射线OM上,且OA=6,点D是射线OM上的动点,当点D不与点A重合时,将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE,连接DE,设OD=m.(1)问题发现如图1,△CDE的形状是三角形.(2)探究证明如图2,当6<m<10时,△BDE的周长是否存在最小值?若存在,求出△BDE周长的最小值;若不存在,请说明理由.(3)解决问题是否存在m的值,使△DEB是直角三角形?若存在,请直接写出m的值;若不存在,请说明理由.9.等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=4,AE=2,其中△ABC固定,△ADE绕点A作360°旋转,点F、M、N分别为线段BE、BC、CD 的中点,连接MN、NF.问题提出:(1)如图1,当AD在线段AC上时,则∠MNF的度数为,线段MN 和线段NF的数量关系为;深入讨论:(2)如图2,当AD不在线段AC上时,请求出∠MNF的度数及线段MN和线段NF的数量关系;拓展延伸:(3)如图3,△ADE持续旋转过程中,若CE与BD交点为P,则△BCP面积的最小值为.10.四边形是我们在学习和生活中常见的图形,而对角线互相垂直的四边形也比较常见,比如筝形、菱形、图1中的四边形ABCD等.它们给我们的学习和生活带来了很多的乐趣和美感.(1)如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,则AC与BD的位置关系是,请说明理由.(2)试探究图1中四边形ABCD的两组对边AB,CD与BC,AD之间的数量关系,请写出证明过程.(3)问题解决:如图3,分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE,连接CE,BG,GE,已知AC=4,AB=5,求GE的长.11.问题发现:如图(1)在Rt△ABC和Rt△BDE中,∠A=∠DEB=30°,BC=BE=6,Rt△BDE绕点B逆时针旋转,H为CD的中点,当点C与点E重合时,BH与AE的位置关系为,BH与AE的数量关系为;问题证明:在Rt△BDE绕点B旋转的过程中,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请就图(2)的情形给出证明若不成立,请说明理由;拓展应用:在Rt△BDE绕点B旋转的过程中,当DE∥BC时,请直接写出BH2的长.12.如图1,菱形ABCD与菱形GECF的顶点C重合,点G在对角线AC上,且∠BCD=∠ECF=60°,(1)问题发现的值为;(2)探究与证明将菱形GECF绕点C按顺时针方向旋转α角(0°<α<60°),如图2所示,试探究线段AG与BE之间的数量关系,并说明理由;(3)拓展与运用:菱形GECF在旋转过程中,当点A,G,F三点在一条直线上时,如图3所示连接CG并延长,交AD于点H,若CE=2,GH=,则AH的长为.13.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,=,CD⊥AB于点D,点E是直线AC上一动点,连接DE,过点D作FD⊥ED,交直线BC于点F.(1)探究发现:如图1,若m=n,点E在线段AC上,则=;(2)数学思考:①如图2,若点E在线段AC上,则=(用含m,n的代数式表示);②当点E在直线AC上运动时,①中的结论是否仍然成立?请仅就图3的情形给出证明;(3)拓展应用:若AC=,BC=2,DF=4,请直接写出CE的长.14.如图,已知点E是射线BC上的一点,以BC、CE为边作正方形ABCD和正方形CEFG,连接AF,取AF的中点M,连接DM、MG(1)如图1,判断线段DM和GM的数量关系是,位置关系是;(2)如图2,在图中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转的过程中,其他条件不变,(1)中的结论是否成立?说明理由;(3)已知BC=10,CE=2,正方形CEFG绕点C旋转的过程中,当A、F、E共线时,直接写出△DMG的面积.15.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=,AC=2,过点B作直线m∥AC,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C(点A,B的对应点分别为A',B′),射线CA′,CB′分别交直线m于点P,Q.(1)如图1,当P与A′重合时,求∠ACA′的度数;(2)如图2,设A′B′与BC的交点为M,当M为A′B′的中点时,求线段PQ的长;(3)在旋转过程中,当点P,Q分别在CA′,CB′的延长线上时,试探究四边形P A'B′Q的面积是否存在最小值.若存在,求出四边形P A′B′Q的最小面积;若不存在,请说明理由.16.如图(1),在等边三角形ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接BE,CD,点M,N,P分别是BE,CD,BC的中点,连接DE,PM,PN,MN.(1)观察猜想,图(1)中△PMN是(填特殊三角形的名称)(2)探究证明,如图(2),△ADE绕点A按逆时针方向旋转,则△PMN的形状是否发生改变?并就图(2)说明理由.(3)拓展延伸,若△ADE绕点A在平面内自由旋转,AD=2,AB=6,请直接写出△PMN 的周长的最大值.17.已知△ABC,AB=AC,D为直线BC上一点,E为直线AC上一点,AD=AE,设∠BAD=α,∠CDE=β,(1)如图1,若点D在线段BC上,点E在线段AC上.∠ABC=60°,∠ADE=70°,则α=°;β=°.(2)如图2,若点D在线段BC上,点E在线段AC上,则α,β之间有什么关系式?说明理由.(3)是否存在不同于(2)中的α,β之间的关系式?若存在,请写出这个关系式(写出一种即可),说明理由;若不存在,请说明理由.18.问题提出:(1)如图1,在四边形ABCD中,连接AC、BD,AB=AD,∠BAD=∠BCD=90°,将△ABC绕点A逆时针旋转90°,得到△ADE,点B的对应点落在点D,点C的对应点为点E,可知点C、D、E在一条直线上,则△ACE为三角形,BC、CD、AC的数量关系为;探究发现:(2)如图2,在⊙O中,AB为直径,点C为的中点,点D为圆上一个点,连接AD、CD、AC、BC、BD,且AD<BD,请求出CD、AD、BD间的数量关系.拓展延伸:(3)如图3,在等腰直角三角形ABC中,点P为AB的中点,若AC=13,平面内存在一点E,且AE=10,CE=13,当点Q为AE中点时,PQ=.19.已知△ABC中,CA=CB,0°<∠ACB≤90°,点M、N分别在边CA,CB上(不与端点重合),BN=AM,射线AG∥BC交BM延长线于点D,点E在直线AN上,EA=ED.(1)【观察猜想】如图1,点E在射线NA上,当∠ACB=45°时,①线段BM与AN的数量关系是;②∠BDE的度数是;(2)【探究证明】如图2点E在射线AN上,当∠ACB=30°时,判断并证明线段BM与AN的数量关系,求∠BDE的度数;(3)【拓展延伸】如图3,点E在直线AN上,当∠ACB=60°时,AB=3,点N是BC 边上的三等分点,直线ED与直线BC交于点F,请直接写出线段CF的长.20.如图①,在正方形ABCD和正方形AB'C'D'中,AB=2,AB'=,连接CC’(1)问题发现:.(2)拓展探究:将正方形AB'C'D'绕点A逆时针旋转,记旋转角为θ,连接BB',试判断:当0°≤θ<360°时,的值有无变化?请仅就图②中的情形给出你的证明;(3)问题解决:请直接写出在旋转过程中,当C,C′,D'三点共线时BB′的长.21.如图1,在正方形ABCD中,点O是对角线BD的中点.(1)观察猜想将图1中的△BCD绕点O逆时针旋转至图2中△ECF的位置,连接AC,DE,则线段AC与DE的数量关系是,直线AC与DE的位置关系是.(2)类比探究将图2中的△ECF绕点O逆时针旋转至图3的位置,(1)中的结论是否成立?并说明理由.(3)拓展延伸将图2中的△ECF在平面内旋转,设直线AC与DE的交点为M,若AB=4,请直接写出BM的最大值与最小值.22.如图1,点B在直线l上,过点B构建等腰直角三角形ABC,使∠BAC=90°,且AB=AC,过点C作CD⊥直线l于点D,连接AD.(1)小亮在研究这个图形时发现,∠BAC=∠BDC=90°,点A,D应该在以BC为直径的圆上,则∠ADB的度数为°,将射线AD顺时针旋转90°交直线l于点E,可求出线段AD,BD,CD的数量关系为;(2)小亮将等腰直角三角形ABC绕点B在平面内旋转,当旋转到图2位置时,线段AD,BD,CD的数量关系是否变化,请说明理由;(3)在旋转过程中,若CD长为1,当△ABD面积取得最大值时,请直接写AD的长.23.如图1,将三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合,三角板的一边交CD于点F.另一边交CB的延长线于点G.(1)观察猜想:线段EF与线段EG的数量关系是;(2)探究证明:如图2,移动三角板,使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上,其他条件不变,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给予证明:若不成立.请说明理由:(3)拓展延伸:如图3,将(2)中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”,且使三角板的一边经过点B,其他条件不变,若AB=a、BC=b,求的值.24.如图1,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=2,BC=1,点D,E分别是边BC,AC的中点,连接DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为α.(1)问题发现①当α=0°时,=;②当α=180°时,=.(2)拓展探究试判断:当0°≤α<360°时,的大小有无变化?请仅就图2的情况给出证明.(3)问题解决当△EDC旋转至A、B、E三点共线时,直接写出线段BD的长.25.在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD上一动点,设DE=nEA,连接CE并延长,交AB于点F.(1)尝试探究如图(1),当∠BAC=90°,∠B=30°,DE=EA时,BF,BA之间的数量关系是;(2)类比延伸如图(2),当△ABC为锐角三角形,DE=EA时,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;(3)拓展迁移如图(3),当△ABC为锐角三角形,DE=nEA时,请直接写出BF,BA之间的数量关系.26.古希腊数学家毕达哥拉斯认为:“一切平面图形中最美的是圆”.请研究如下美丽的圆.如图,线段AB是⊙O的直径,延长AB至点C,使BC=OB,点E是线段OB的中点,DE ⊥AB交⊙O于点D,点P是⊙O上一动点(不与点A,B重合),连接CD,PE,PC.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)小明在研究的过程中发现是一个确定的值.回答这个确定的值是多少?并对小明发现的结论加以证明.27.定义:三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.(1)如图1,∠E是△ABC中∠A的遥望角,若∠A=α,请用含α的代数式表示∠E.(2)如图2,四边形ABCD内接于⊙O,=,四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O 于点F,连结BF并延长交CD的延长线于点E.求证:∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角.(3)如图3,在(2)的条件下,连结AE,AF,若AC是⊙O的直径.①求∠AED的度数;②若AB=8,CD=5,求△DEF的面积.28.【性质探究】如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AE平分∠BAC,交BC于点E.作DF⊥AE于点H,分别交AB,AC于点F,G.(1)判断△AFG的形状并说明理由.(2)求证:BF=2OG.【迁移应用】(3)记△DGO的面积为S1,△DBF的面积为S2,当=时,求的值.【拓展延伸】(4)若DF交射线AB于点F,【性质探究】中的其余条件不变,连结EF,当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时,请直接写出tan∠BAE的值.29.如图,已知AC为正方形ABCD的对角线,点P是平面内不与点A,B重合的任意一点,连接AP,将线段AP绕点P顺时针旋转90°得到线段PE,连接AE,BP,CE.(1)求证:△APE∽△ABC;(2)当线段BP与CE相交时,设交点为M,求的值以及∠BMC的度数;(3)若正方形ABCD的边长为3,AP=1,当点P,C,E在同一直线上时,求线段BP 的长.30.如图1和图2,在△ABC中,AB=AC,BC=8,tan C=.点K在AC边上,点M,N 分别在AB,BC上,且AM=CN=2.点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动,到达点N时停止;而点Q在AC边上随P移动,且始终保持∠APQ=∠B.(1)当点P在BC上时,求点P与点A的最短距离;(2)若点P在MB上,且PQ将△ABC的面积分成上下4:5两部分时,求MP的长;(3)设点P移动的路程为x,当0≤x≤3及3<x≤9时,分别求点P到直线AC的距离(用含x的式子表示);(4)在点P处设计并安装一扫描器,按定角∠APQ扫描△APQ区域(含边界),扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒.若AK=,请直接写出点K被扫描到的总时长.参考答案与试题解析一.解答题(共30小题)1.【解答】解:(1)如图①中,∵∠EAF=∠BAC=90°,∴∠BAF=∠CAE,∵AF=AE,AB=AC,∴△BAF≌△CAE,∴∠ABF=∠C,BF=CE,∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ABC=∠C=45°,∴∠FBE=∠ABF+∠ABC=90°,BC=BE+EC=BE+BF,故答案为:BF⊥BE,BC.(2)如图②中,作DH∥AC交BC于H.∵DH∥AC,∴∠BDH=∠A=90°,△DBH是等腰直角三角形,由(1)可知,BF⊥BE,BF+BE=BH,∵AB=AC=3,AD=1,∴BD=DH=2,∴BH=2,∴BF+BE=BH=2;(3)如图③中,作DH∥AC交BC的延长线于H,作DM⊥BC于M.∵AC∥DH,∴∠ACB=∠H,∠BDH=∠BAC=α,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB∴∠DBH=∠H,∴DB=DH,∵∠EDF=∠BDH=α,∴∠BDF=∠HDE,∵DF=DE,DB=DH,∴△BDF≌△HDE,∴BF=EH,∴BF+BE=EH+BE=BH,∵DB=DH,DM⊥BH,∴BM=MH,∠BDM=∠HDM,∴BM=MH=BD•sin.∴BF+BE=BH=2n•sin.2.【解答】解:(1)如图1中,∵△ABC∽△B'BA∽△C'AC,∴=,=,∴AB2=BB′×BC,AC2=CC′×BC,∴AB2+AC2=BC(BB′+CC′)=BC×BC=BC2,故答案为BC2.(2)不成立.理由:如图2中当∠BAC为锐角时,BB′+CC′﹣B′C′=BC,且△ABC∽△B'BA∽△C'AC,∴∴=,=,∴AB2=BB′×BC,AC2=CC′×BC,∴AB2+AC2=BC(BB′+CC′)=BC2+BC•B′C′.图3中∠BAC为钝角时,BB′+CC′+B′C′=BC.AB2+AC2=BC(BB′+CC′)=BC2﹣BC•B′C′.(3)当AB=5,AC=6,BC=9时,则AB2+AC2<BC2,可知△ABC为钝角三角形,由图3可知:AB2+AC2=BC2﹣BC•B′C′,∴52+62=92﹣9B′C′,∴B′C′=.3.【解答】解:(1)∵∠ACB=∠DCE=90°,∠CAB=∠CDE=45°,∴∠ABC=∠CAB=45°=∠CDE=∠CED,∴AC=BC,CD=CE,∵∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACD=∠BCE,在△ACD和△BCE中,,∴△ACD≌△BCE(SAS),∴BE=AD,∠CAB=∠CBE=45°,∴∠DBE=∠ABC+∠CBE=90°,=1,故答案为:1,90°(2),∠DBE=90°理由如下:∵∠ACB=∠DCE=90°,∠CAB=∠CDE=60°,∴∠ACD=∠BCE,∠CED=∠ABC=30°∴tan∠ABC=tan30°==∵∠ACB=∠DCE=90°,∠CAB=∠CDE=60°,∴Rt△ACB∽Rt△DCE∴∴,且∠ACD=∠BCE∴△ACD∽△BCE∴=,∠CBE=∠CAD=60°∴∠DBE=∠ABC+∠CBE=90°(3)若点D在线段AB上,如图,由(2)知:=,∠ABE=90°∴BE=AD∵AC=2,∠ACB=90°,∠CAB=90°∴AB=4,BC=2∵∠ECD=∠ABE=90°,且点M是DE中点,∴CM=BM=DE,∵△CBM是直角三角形∴CM2+BM2=BC2=(2)2,∴BM=CM=∴DE=2∵DB2+BE2=DE2,∴(4﹣AD)2+(AD)2=24∴AD=+1∴BE=AD=3+若点D在线段BA延长线上,如图同理可得:DE=2,BE=AD∵BD2+BE2=DE2,∴(4+AD)2+(AD)2=24,∴AD=﹣1∴BE=AD=3﹣综上所述:BE的长为3+或3﹣4.【解答】解:(1)∵△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D是BC的中点,∴AD=BD=DC,∠BDA=90°,∵四边形DFGE是正方形,∴DE=DF,∠EDF=90°,∴∠BDE=∠ADF=90°,在△BDE和△ADF中,,∴△BDE≌△ADF(SAS),∴BE=AF故答案为:BE=AF;(2)成立;理由如下:当正方形DFGE在BC的上方时,如图②所示,连接AD,∵在Rt△ABC中,AB=AC,D为斜边BC的中点,∴AD=BD,AD⊥BC,∴∠ADE+∠EDB=90°,∵四边形DFGE为正方形,∴DE=DF,且∠EDF=90°,∴∠ADE+∠ADF=90°,∴∠BDE=∠ADF,在△BDE和△ADF中,,∴△BDE≌△ADF(SAS),∴BE=AF;当正方形DFGE在BC的下方时,连接AD,如图③所示:∵∠BDE=∠BDF+90°,∠ADF=∠BDF+90°,∴∠BDE=∠ADF,在△BDE和△ADF中,,∴△BDE≌△ADF(SAS),∴BE=AF;综上所述,(1)中的结论BE=AF成立;(3)在△ADE中,∵AE<AD+DE,∴当点A、D、E共线时,AE取得最大值,最大值为AD+DE.如图④所示:则AD=BC=1,DE=DF=2,∴AE=AD+DE=3,即AE的最大值为3.5.【解答】解:(1)如图1,过点O作OM⊥AB于M,ON⊥AD于N,∴∠OME=∠ONF=90°,∴∠BAD+∠MON=180°,∵∠BAD+∠EOF=180°,∴∠MON=∠EOF,∴∠EOM=∠FON,∵O是正方形ABCD的对角线的交点,∴∠BAO=∠DAO,∵OM⊥AB,ON⊥AD,∴OM=ON,∴△OME≌△ONF(AAS)∴OE=OF;(2)(1)的结论成立;理由:如图2,过点O作OM⊥AB于M,ON⊥AD于N,∴∠OME=∠ONF=90°,∴∠BAD+∠MON=180°,∵∠BAD+∠EOF=180°,∴∠MON=∠EOF,∴∠EOM=∠FON,∵O是菱形ABCD的对角线的交点,∴∠BAO=∠DAO,∵OM⊥AB,ON⊥AD,∴OM=ON,∴△OME≌△ONF(AAS)∴OE=OF;(3)如图3,过点O作OG⊥AB于G,OH⊥AD于H,∴∠OGE=∠OHF=90°,∴∠BAD+∠GOH=180°,∵∠BAD+∠EOF=180°,∴∠GOH=∠EOF,∴△EOG∽△FOH,∴,∵O是▱ABCD的对角线的交点,∴S△AOB=S△AOD,∵S△AOB=AB•OG,S△AOD=AD•OH,∴AB•OG=AD•OH,∴=,∴.6.【解答】解:(1)①∵四边形ABCD是正方形,∴∠BCD=90°,∠BCA=45°,∵GE⊥BC、GF⊥CD,∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°,∴四边形CEGF是矩形,∠CGE=∠ECG=45°,∴EG=EC,∴四边形CEGF是正方形;②由①知四边形CEGF是正方形,∴∠CEG=∠B=90°,∠ECG=45°,∴=,GE∥AB,∴==,故答案为:;(2)连接CG,由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α,在Rt△CEG和Rt△CBA中,=cos45°=、=cos45°=,∴==,∴△ACG∽△BCE,∴==,∴线段AG与BE之间的数量关系为AG=BE;(3)∵∠CEF=45°,点B、E、F三点共线,∴∠BEC=135°,∵△ACG∽△BCE,∴∠AGC=∠BEC=135°,∴∠AGH=∠CAH=45°,∵∠CHA=∠AHG,∴△AHG∽△CHA,∴==,设BC=CD=AD=a,则AC=a,则由=得=,∴AH=a,则DH=AD﹣AH=a,CH==a,∴=得=,解得:a=3,即BC=3,故答案为:3.7.【解答】解:(1)如图1,连接AE,∵AB=AC=2,点E分别是BC的中点,∴AE⊥BC,∴∠BEC=90°,∵AB=AC=2,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°,在Rt△ABE中,AE=AB=1,根据勾股定理得,BE=∵点E是BC的中点,∴BC=2BE=2,∴==,∵点D是AC的中点,∴AD=CD=AC=1,∴==,故答案为:,;(2)无变化,理由:由(1)知,CD=1,CE=BE=,∴=,,∴=,由(1)知,∠ACB=∠DCE=30°,∴∠ACD=∠BCE,∴△ACD∽△BCE,∴,(3)当点D在线段AE上时,如图2,过点C作CF⊥AE于F,∠CDF=180°﹣∠CDE=60°,∴∠DCF=30°,∴DF=CD=,∴CF=DF=,在Rt△AFC中,AC=2,根据勾股定理得,AF==,∴AD=AF+DF=,由(2)知,,∴BE=AD=当点D在线段AE的延长线上时,如图3,过点C作CG⊥AD交AD的延长线于G,∵∠CDG=60°,∴∠DCG=30°,∴DG=CD=,∴CG=DG=,在Rt△ACG中,根据勾股定理得,AG=,∴AD=AG﹣DG=,由(2)知,,∴BE=AD=即:线段BE的长为或.8.【解答】解:(1)证明:∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE,∴∠DCE=60°,DC=EC,∴△CDE是等边三角形;故答案为:等边;(2)存在,当6<t<10时,由旋转的性质得,BE=AD,∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,由(1)知,△CDE是等边三角形,∴DE=CD,∴C△DBE=CD+4,由垂线段最短可知,当CD⊥AB时,△BDE的周长最小,此时,CD=2,∴△BDE的最小周长=CD+4=2+4;(3)存在,①∵当点D与点B重合时,D,B,E不能构成三角形,∴当点D与点B重合时,不符合题意,②当0≤m<6时,由旋转可知,∠ABE=60°,∠BDE<60°,∴∠BED=90°,由(1)可知,△CDE是等边三角形,∴∠DEB=60°,∴∠CEB=30°,∵∠CEB=∠CDA,∴∠CDA=30°,∵∠CAB=60°,∴∠ACD=∠ADC=30°,∴DA=CA=4,∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2,∴m=2;③当6<m<10时,由∠DBE=120°>90°,∴此时不存在;④当m>10时,由旋转的性质可知,∠DBE=60°,又由(1)知∠CDE=60°,∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC,而∠BDC>0°,∴∠BDE>60°,∴只能∠BDE=90°,从而∠BCD=30°,∴BD=BC=4,∴OD=14,∴m=14,综上所述:当m=2或14时,以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形.9.【解答】解:(1)如图1中,连接DB,MF,CE,延长BD交EC于H.∵AC=AB,AE=AD,∠BAD=∠CAE=90°,∴△BAD≌△CAE(SAS),∴BD=EC,∠ACE=∠ABD,∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ADB=∠CDH,∴∠ADH+∠DCH=90°,∴∠CHD=90°,∴EC⊥BH,∵BM=MC,BF=FE,∴MF∥EC,MF=EC,∵CM=MB,CN=ND,∴MN∥BD,MN=BD,∴MN=MF,MN⊥MF,∴∠NMF=90°,∴∠MNF=45°,NF=MN.故答案为:45°(2):如图2中,连接MF,EC,BD.设EC交AB于O,BD交EC于H.∵AC=AB,AE=AD,∠BAD=∠CAE=90°,∴∠BAD=∠CAE,∴△BAD≌△CAE(SAS),∴BD=EC,∠ACE=∠ABD,∵∠AOC+∠ACO=90°,∠AOC=∠BOH,∴∠OBH+∠BOH=90°,∴∠BHO=90°,∴EC⊥BD,∵BM=MC,BF=FE,∴MF∥EC,MF=EC,∵CM=MB,CN=ND,∴MN∥BD,MN=BD,∴MN=MF,MN⊥MF,∴∠NMF=90°,∴∠MNF=45°,NF=MN.(3):如图3中,如图以A为圆心AD为半径作⊙A.当直线PB与⊙A相切时,此时∠CBP的值最小,点P到BC的距离最小,即△BCP的面积最小,∵AD=AE,AB=AC,∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAD=∠CAE,∴△BAD≌△CAE(SAS),∴∠ACE=∠ABD,BD=EC,∵∠ABD+∠AOB=90°,∠AOB=∠CPO,∴∠CPB=90°,∵PB是⊙A的切线,∴∠ADP=90°,∵∠DPE=∠ADP=∠DAE=90°,∴四边形ADPE是矩形,∵AE=AD,∴四边形ADPE是正方形,∴AD=AE=PD=PE=2,BD=EC==2,∴PC=2﹣2,PB=2+2,∴S△BCP的最小值=×PC×PB=(2﹣2)(2+2)=4.10.【解答】(1)解:AC⊥BD,理由如下:连接AC、BD,如图2所示:∵AB=AD,∴点A在线段BD的垂直平分线上,∵CB=CD,∴点C在线段BD的垂直平分线上,∴直线AC是线段BD的垂直平分线,∴AC⊥BD,故答案为:AC⊥BD;(2)解:AD2+BC2=AB2+CD2;理由如下:如图1,已知四边形ABCD中,AC⊥BD,设BD、AC相交于E,∵AC⊥BD,∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°,由勾股定理得,AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2,AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2,∴AD2+BC2=AB2+CD2;(3)解:如图3,连接CG、BE,∵四边形ACFG和四边形ABDE是正方形,∴AC=AG,AB=AE,∠CAG=∠BAE=90°,∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC,即∠GAB=∠CAE,在△GAB和△CAE中,,∴△GAB≌△CAE(SAS),∴∠ABG=∠AEC,又∠AEC+∠AME=90°,∴∠ABG+∠AME=90°,即CE⊥BG,由(2)得,CG2+BE2=CB2+GE2,在Rt△ABC中,AC=4,AB=5,根据勾股定理得,BC2=52﹣42=9,∵CG和BE分别是正方形ACFG和正方形ABDG的对角线,∴CG2=42+42=32,BE2=52+52=50,∴GE2=CG2+BE2﹣CB2=32+50﹣9=73,∴GE=.11.【解答】解:问题发现:如图1中,结论:AE=2BH,AE⊥BH.理由:在Rt△ABC中,∵BC=6,∠A=30°,∴AE=2BC=12,在Rt△CDB中,∵∠DCB=30°,∴CD==4,∵CH=DH,∴BH=CD=2,∴==2,∴AE=2BH.故答案为AE⊥BH,AE=2BH.问题证明:如图2中,(1)中结论成立.理由:延长BH到F使得HF=BH,连接CF.设AE交BF于O.∵CH=DH,BH=HF,∠CHF=∠BHD,∴△CHF≌△DHB(SAS),∴BD=CF,∠F=∠DBH,∴CF∥BD,∵AB=BC,BE=BD,∴BE=CF,∴==,∵CF∥BD,∴∠BCF+∠CBD=180°,∵∠ABC+∠DBE=∠ABD+∠CBD+∠CBD+∠CBE=∠CBD+∠ABE=180°,∴∠BCF=∠ABE,∴△ABE∽△BCF,∴∠CBF=∠BAE,==,∴AE=BF=2BH,∵∠CBF+∠ABF=90°,∴∠ABF+∠BAE=90°,∴∠AOB=90°,∴BH⊥AE.拓展应用:如图3﹣1中,当DE在BC的下方时,延长AB交DE于F.∵DE∥BC∴∠ABC=∠BFD=90°,由题意BC=BE=6,AB=6,BD=2,DE=4,∵•BD•BE=•DE•BF,∴BF==3,∴EF=BF=3,∴AF=6+3,∴AE2=AF2+EF2=(6+3)2+(3)2=144+36.∵AE=2BH,∴AE2=12BH2,∴BH2=12+3如图3﹣2中,当DE在BC的上方时,同法可得AF=6﹣3,EF=3,∴BH2==(=12﹣3.12.【解答】解:(1)如图1中,作EH⊥CG于H.∵四边形ECFG是菱形,∠ECF=60°,∴∠ECH=∠ECF=30°,EC=EG,∵EH⊥CG,∴GH=CG,∴=cos30°=,∴=2•=,∵EG∥CD,AB∥CD,∴GE∥AB,∴==.故答案为.(2)结论:AG=BE.理由:如图2中,连接CG.∵四边形ABCD,四边形ECFG都是菱形,∠ECF=∠DCB=60°,∴∠ECG=∠EGC=∠BCA=∠BAC=30°,∴△ECG∽△BCE,∴=,∵∠ECB=∠GCA,∴△ECB∽△GCA,∴==,∴AG=BE.(3)如图3中,∵∠AGH=∠CGF=30°.∠AGH=∠GAC+∠GCA,又∵∠DAC=∠HAG+∠GAC=30°,∴∠HAG=∠ACH,∵∠AHG=∠AHC,∴△HAG∽△HCA,∴HA:HC=GH:HA,∴AH2=HG•HC,∴FC=2,CG=CF,∴GC=2,∵HG=,∴AH2=HG•HC=•3=9,∵AH>0,∴AH=3.故答案为3.13.【解答】解:(1)当m=n时,即:BC=AC,∵∠ACB=90°,∴∠A+∠ABC=90°,∵CD⊥AB,∴∠DCB+∠ABC=90°,∴∠A=∠DCB,∵∠FDE=∠ADC=90°,∴∠FDE﹣∠CDE=∠ADC﹣∠CDE,即∠ADE=∠CDF,∴△ADE∽△CDF,∴,∵∠A=∠DCB,∠ADC=∠BDC=90°,∴△ADC∽△CDB,∴=1,∴=1(2)①∵∠ACB=90°,∴∠A+∠ABC=90°,∵CD⊥AB,∴∠DCB+∠ABC=90°,∴∠A=∠DCB,∵∠FDE=∠ADC=90°,∴∠FDE﹣∠CDE=∠ADC﹣∠CDE,即∠ADE=∠CDF,∴△ADE∽△CDF,∴,∵∠A=∠DCB,∠ADC=∠BDC=90°,∴△ADC∽△CDB,∴,∴②成立.如图,∵∠ACB=90°,∴∠A+∠ABC=90°,又∵CD⊥AB,∴∠DCB+∠ABC=90°,∴∠A=∠DCB,∵∠FDE=∠ADC=90°,∴∠FDE+∠CDE=∠ADC+∠CDE,即∠ADE=∠CDF,∴△ADE∽△CDF,∴,∵∠A=∠DCB,∠ADC=∠BDC=90°,∴△ADC∽△CDB,∴,∴.(3)由(2)有,△ADE∽△CDF,∵=,∴=,∴CF=2AE,在Rt△DEF中,DE=2,DF=4,∴EF=2,①当E在线段AC上时,在Rt△CEF中,CF=2AE=2(AC﹣CE)=2(﹣CE),EF=2,根据勾股定理得,CE2+CF2=EF2,∴CE2+[2(﹣CE)]2=40∴CE=2,或CE=﹣(舍)而AC=<CE,∴此种情况不存在,②当E在AC延长线上时,在Rt△CEF中,CF=2AE=2(AC+CE)=2(+CE),EF=2,根据勾股定理得,CE2+CF2=EF2,∴CE2+[2(+CE)]2=40,∴CE=,或CE=﹣2(舍),③如图1,当点E在CA延长线上时,CF=2AE=2(CE﹣AC)=2(CE﹣),EF=2,根据勾股定理得,CE2+CF2=EF2,∴CE2+[2(CE﹣)]2=40,∴CE=2,或CE=﹣(舍)即:CE=2或CE=.14.【解答】解:(1)如图1,延长GM交AD于H,∵AD∥GF,∴∠GFM=∠HAM,在△FMG和△AMH中,,∴△FMG≌△AMH(ASA),∴HM=GM,AH=FG,∵AD=CD,AH=FG=CG,∴DH=DG,∵∠HDG=90°,HM=GM,∴DM=MG,DM⊥MG,故答案为DM=MG,DM⊥MG.(2)结论成立:DM=MG,DM⊥MG,理由:如图2中,延长GM使得MH=GM,连接AH、DH、DG,延长AD交GF的延长线于N,交CD于O.∵AM=MF,∠AMH=∠FMG,MH=MG,∴△AMH≌△FMG(SAS),∴AH=GF=CG,∠AHM=∠FGM,∴AH∥GN,∴∠HAD=∠N,∵∠ODN=∠OGC=90°,∠DON=∠GOC,∴∠N=∠OCG,∴∠HAD=∠DCG,∵AH=CG,AD=CD,∴△HAD≌△GCD(SAS),∴DH=DG,∠HDA=∠CDG,∴∠HDG=∠ADC=90°,∴△HDG是等腰直角三角形,∵MH=MG,∴DM⊥GH,DM=MH=MG,(3)①如图3﹣1中,连接AC.在Rt△ABC中,AC==10,在Rt△ACE中,AE==14,∴AF=AE=EF=14﹣2=12,∴FM=AM=AF=6,在Rt△MGF中,MG==2,∴S△DMG=×2×2=20,②如图3﹣2中,连接AC.同法可得AE=14,AF=16,FM=8,MG==2,∴S△DMG=×2×2=34,综上所述,满足条件的△DMG的面积为20或34.15.【解答】解:(1)由旋转可得:AC=A'C=2,∵∠ACB=90°,AB=,AC=2,∴BC=,∵∠ACB=90°,m∥AC,∴∠A'BC=90°,∴cos∠A'CB==,∴∠A'CB=30°,∴∠ACA'=60°;(2)∵M为A'B'的中点,∴∠A'CM=∠MA'C,由旋转可得,∠MA'C=∠A,∴∠A=∠A'CM,∴tan∠PCB=tan∠A=,∴PB=BC=,∵∠PCQ=∠PBC=90°,∴∠BQC+∠BPC=∠BCP+∠BPC=90°,∴∠BQC=∠BCP=∠A,∴tan∠BQC=tan∠A=,∴BQ=BC×=2,∴PQ=PB+BQ=;(3)∵S四边形P A'B′Q=S△PCQ﹣S△A'CB'=S△PCQ﹣,∴S四边形P A'B′Q最小,即S△PCQ最小,∴S△PCQ=PQ×BC=PQ,法一:(几何法)取PQ的中点G,∵∠PCQ=90°,∴CG=PQ,即PQ=2CG,当CG最小时,PQ最小,∴CG⊥PQ,即CG与CB重合时,CG最小,∴CG min=,PQ min=2,∴S△PCQ的最小值=3,S四边形P A'B′Q=3﹣;法二(代数法)设PB=x,BQ=y,由射影定理得:xy=3,∴当PQ最小时,x+y最小,∴(x+y)2=x2+2xy+y2=x2+6+y2≥2xy+6=12,当x=y=时,“=”成立,∴PQ=+=2,∴S△PCQ的最小值=3,S四边形P A'B′Q=3﹣.16.【解答】解:(1)结论:△PMN是等边三角形.理由:如图1中,∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠ABC=∠ACB=60°,∵AD=AE,∴BD=EC,∵PB=PC,CN=ND,BM=EM,∴PN∥BD,PM∥EC,PN=BD,PM=EC,∴PM=PN,∠NPC=∠ABC=60°,∠MPB=∠ACB=60°,∴∠MPN=60°,∴△PMN是等边三角形,故答案为等边三角形.(2)△PMN的形状不发生改变,仍为等边三角形,理由如下:如图2中,连接BD,CE.由旋转可得∠BAD=∠CAE,∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠ACB=∠ABC=60°又∵AD=AE,∴△ABD≌△ACE(SAS),∴BD=CE,∠ABD=∠ACE,∵M是BE的中点,P是BC的中点,∴PM是△BCE的中位线,∴PM=,且PM∥CE.同理可证PN=BD且PN∥BD,∴PM=PN,∠MPB=∠ECB,∠NPC=∠DBC,∴∠MPB+∠NPC=∠ECB+∠DBC=(∠ACB+∠ACE)+(∠ABC﹣∠ABD)=∠ACB+∠ABC=120°,∴∠MPN=60°,∴△PMN是等边三角形.(3)∵PM=EC,∴当EC最大时,等边△PMN的周长最大,∵EC≤AE+AC,∴EC≤8,∴PM≤4,∴PM的最大值为4,∴△PMN的周长的最大值为12.17.【解答】解:(1)∵AB=AC,∠ABC=60°,∴∠BAC=60°,∵AD=AE,∠ADE=70°,∴∠DAE=180°﹣2∠ADE=40°,∴α=∠BAD=60°﹣40°=20°,∴∠ADC=∠BAD+∠ABD=60°+20°=80°,∴β=∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=10°,故答案为:20,10;(2)设∠ABC=x,∠AED=y,∴∠ACB=x,∠AED=y,在△DEC中,y=β+x,在△ABD中,α+x=y+β=β+x+β,∴α=2β;(3)①当点E在CA的延长线上,点D在线段BC上,如图1设∠ABC=x,∠ADE=y,∴∠ACB=x,∠ACE=y,在△ABD中,x+α=β﹣y,在△DEC中,x+y+β=180°,∴α=2β﹣180°,②当点E在CA的延长线上,点D在CB的延长线上,如图2,同①的方法可得α=180°﹣2β.18.【解答】解:(1)由旋转变换的性质可知,∠CAE=90°,AC=AE,∴△ACE为等腰直角三角形,∴CE=AC,∵CE=CD+DE=CD+BC,∴BC+CD=AC,故答案为:等腰直角;BC+CD=AC;(2)延长CO交⊙O于E,连接AE、BE、DE,则∠CDE=90°,∵点C为的中点,∴点E为的中点,∴EA=EB,∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°,由(1)得,DE=(AD+BD),由勾股定理得,CD2=CE2﹣DE2=AD2+BD2﹣(AD+BD)2=(AD﹣BD)2,∴CD=(BD﹣AD);(3)如图3,当点E在直线AC的左侧时,连接CQ、PC,∵CA=CB,点P为AB的中点,∴CP⊥AB,∵CA=CE,点Q为AE中点,∴CQ⊥AE,AQ=QE=AE=5,∴由勾股定理得,CQ==12,由(1)得,AQ+CQ=PQ,。
2023年九年级数学中考专题:几何探究压轴题一、解答题1.如图,在ABC 中,4AC =,3BC =,90ACB ∠=︒,D 是边AC 上一动点(不与点A 、C 重合),CE BD ⊥,垂足为E ,交边AB 于点F .(1)当点D 是边AC 中点时,求DE ,EC 的值;(2)设CD x =,AF y =,求y 关于x 的函数关系式,并写出定义域;(3)当EFD △与EFB △相似时,求线段CD 的长.2.【温故知新】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例,具有严格的比例性、艺术性、和谐性,蕴藏着丰富的美学价值.我们知道:如图1,点C 把线段AB 分成两部分,如果BC AC AC AB=,那么称点C 为线段AB 的黄金分割点.(1)【问题发现】如图1,点C 为线段AB 的黄金分割点,且AC BC >,若2AB =,请直接写出CB 的值是__________.(2)【问题探究】如图2,在Rt ABC △中,90C ∠=︒,2AC =,1BC =,在BA 上截取BD BC =,再在AC 上截取AE AD =,则AE AC的值为__________. (3)【问题解决】如图3,用边长为6的正方形纸片进行如下操作:对折正方形ABDE 得折痕MN ,连接EN ,将AE 折叠到EN 上,点A 对应点H ,得折痕CE ,试说明:C 是AB 的黄金分割点.3.定义:若连接三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形,我们称这条线段为该三角形的智慧线,这个三角形叫做智慧三角形.(1)如图1,在智慧三角形ABC 中,AD BC ⊥,AD 为该三角形的智慧线,1CD =,则BD 长为_____,B ∠的度数为_____.(2)如图2,ABC 为等腰直角三角形,90BAC ∠︒=,2AB =,F 是斜边BC 延长线上一点,连接AF ,以AF为直角边作等腰直角三角形AFE (点A ,F ,E 按顺时针排列),90EAF ∠=︒, CF =AE 交BC 于点D ,连接EC ,EB .当2BDE BCE ∠=∠时,求线段ED 的长;(3)如图3,ABC 中,5AB AC ==,BC =BCD △是智慧三角形,且AC 为智慧线,求BCD △的面积.4.【问题提出】如图1,在等边三角形ABC 内部有一点P ,3PA=,4PB =,5PC =,求APB ∠的度数.(1)【尝试解决】将APC △绕点A 逆时针旋转60︒,得到AP B '△,连接PP ',则APP '为等边三角形. ∵3P P PA '==,4PB =,5P B PC '==,∴222=P P PB P B ''+∴BPP '为三角形∴APB ∠的度数为.(2)【类比探究】如图2,在等边三角形ABC 外部有一点P ,若∠BP A =30°,求证222PA PB PC +=.(3)【联想拓展】如图3,在ABC 中,90BAC ∠︒=,AB AC =.点P 在直线BC 上方且45APB ∠︒=,PC BC ==求PA 的长.5.已知正方形 ABCD 和正方形 CEFG ,连接 AF 交 BC 于点 O ,点 P 是 AF 的中点,过点 P 作 PH DG ⊥ 于 H ,2CD =,1CG =.(1)如图1,点 D ,C ,G 在同一直线上,点 E 在 BC 边上,求 PH 的长;(2)把正方形 CEFG 绕着点C 逆时针旋转 ()0180αα<<.①如图2,当点E 落在AF 上时,求CO 的长;②如图3,当DG =PH 的长.6.在ABC ∆中,点E 为AC 边上一动点,以CE 为边在CE 上方作等边CEN .(1)如图1,EN 与AB 交于点P ,连接PC ,若tan A =,1AE =,5CN =,求PC 的长: (2)如图2.当N 与B 重合时,在BC 上取一点D ,过点D 作DF AC ∥,连接BF ,EF ,过C 作CH EF ⊥交EF 于点H ,若30FBC DFE ︒∠-∠=,求证:CH BF +=;(3)如图3,若BC AB ⊥,且4AB BC ==,过点B 作BQ AC ∥,I 为射线.BQ 上一动点,取AC 中点M ,连接MI ,过点B 作BK MI ⊥交M 于点K ,连接NK ,直接写出NK 的最小值.7.问题情境:如图1,在Rt △ABC 和Rt △BEF 中,∠ACB =∠EFB =90°,AC =3,BC =4,且M ,N 分别为AE ,CF 的中点.(1)猜想证明:如图2,将Rt △BEF 绕点B 按逆时针方向旋转90°,其他条件不变.试判断54AM CN =是否成立?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由.(2)解决问题:如图3,将图2中的Rt △BEF 沿BF 所在直线折叠得到Rt BE F ',连接AE ',CF ,并分别取它们的中点P ,H ,连接CP ,FP ,PH .①试判断CP 与FP 之间的数量关系,并说明理由.②若AB =2BE ',BC =2BF ,请直接写出PH 的长.8.【方法尝试】(1)如图1,矩形ABFC 是矩形ADGE 以点A 为旋转中心,按逆时针方向旋转90︒所得的图形,CB ED 、分别是它们的对角线.则CB 与ED 数量关系________,位置关系________.【类比迁移】(2)如图2,在Rt ABC 和Rt ADE △中,90,9,6,3,2BAC DAE AC AB AE AD ∠=∠=︒====.将DAE 绕点A 在平面内逆时针旋转,设旋转角BAE ∠为()0360αα︒<︒,连接,CE BD .请判断线段CE 和BD 的数量关系和位置关系,并说明理由;【拓展延伸】(3)如图3,在Rt ABC 中,90,6ACB AB ∠=︒=,过点A 作AP BC ∥,在射线AP 上取一点D ,连结CD,使得3tan4ACD∠=,请求写出线段BD的最大值.9.如图①,在正方形ABCD中,点N、M分别在边BC、CD上,连接AM、AN、MN.∠MAN=45°,将△AMD 绕点A顺时针旋转90°,点D与点B重合,得到△ABE.易证:△ANM≌△ANE,从而得DM+BN=MN.【实践探究】(1)在图①条件下,若CN=6,CM=8,则正方形ABCD的边长是______.(2)如图②,点M、N分别在边CD、AB上,且BN=DM.点E、F分别在BM、DN上,∠EAF=45°,连接EF,猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系,并说明理由.(3)【拓展应用】如图③,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,点M、N分别在边DC、BC上,连接AM,AN,已知∠MAN=45°,BN=2,求DM的长.10.小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.(1)猜测探究:在△ABC中,AB=AC,M是平面内任意一点,将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC 相等的角度,得到线段AN,连接NB.①如图1,若M是线段BC上的任意一点,请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是,NB与MC的数量关系是;②如图2,点E是AB延长线上点,若M是∠CBE内部射线BD上任意一点,连接MC,(1)中结论是否仍然成立?若成立,请给予证明,若不成立,请说明理由.(2)拓展应用:如图3,在△A 1B 1C 1中,A 1B 1=8,∠A 1B 1C 1=60°,∠B 1A 1C 1=75°,P 是B 1C 1上的任意点,连接A 1P ,将A 1P 绕点A 1按顺时针方向旋转75°,得到线段A 1Q ,连接B 1Q .求线段B 1Q 长度的最小值. 11.如图,在Rt ABC △中,90BAC ∠=︒,AB AC =,D 为AC 边上一点,连接BD ,作AP BD ⊥于点P ,过点C 作CE AC ⊥交AP 延长线于点E .(1)如图1,求证:AD CE =;(2)如图2,以AD ,BD 为邻边作ADBF ,连接EF 交BC 于点G ,连接AG ,①求证:AG EF ⊥;②若点D 为AC 中点,EF 、AB 交于点H ,求BH AB的值. 12.如图1,在ABC 中,90ACB ∠=︒,D 为AC 边上的一点,过点D 作DE AB ⊥,垂足为E ,连接BD ,P 为BD 中点,连接PC ,PE .(1)求证:PC PE =;(2)将图1中ADE 绕着点A 顺时针旋转如图2的位置,其他条件不变,(1)中的结论是否成立?若成立,请证明:若不成立,请说明理由;(3)若10AB =,6AD =,30BAC DAE ∠=∠=︒,在平面内,将Rt ADE △绕点A 旋转一周,当A ,C ,E 三点共线时,请直接写出PCE 的面积.13.如图1,在直角坐标系中,点()2,0A ,点()0,2C ,点D ,点E 分别为OA ,OC 的中点,ODE 绕原点O 顺时针旋转α角(090α︒<<︒)得11OD E ,射线1CD ,1AE 相交于点F .(1)求证:11OCD OAE △≌△;(2)如图2,在ODE 旋转过程中,当点1D 恰好落在线段CE 上时,求AF 的长;(3)如图3,在旋转α角从090α︒≤≤︒逐渐增大ODE 旋转过程中,求点F 的运动路线长.14.已知ABC 为等边三角形,边长为4,点D 、E 分别是BC 、AC 边上一点,连接AD 、BE .AE CD =.(1)如图1,若2AE =,求BE 的长度;(2)如图2,点F 为AD 延长线上一点,连接BF 、CF ,AD 、BE 相交于点G ,连接CG ,已知60,∠=︒=EBF CE CG ,求证:2+=BF GE CF ;(3)如图3,点P 是ABC 内部一动点,顺次连接PA PB PC 、、++的最小值.15.【问题提出】(1)如图1,在ABC 中,90C ∠=︒,BD 平分ABC ∠交AC 于点D ,设CD 的长为m ,点D 到边AB 的距离为n ,则m _______n ;(填“>”“<”或“=”)【问题探究】(2)如图2,在梯形ABCD 中,90A ∠=︒,AD BC ∥,(201AB =,BD 为对角线,且45BDC ∠=︒,求BCD △面积的最小值;【问题解决】(3)某景点有一个形状为菱形ABCD 的草坪,如图3,AB ==60B ∠︒,现欲将该草坪扩建为BEF △,使得点E 、F 分别在BA 、BC 的延长线上,且边EF 经过点D ,为了节省成本,要求扩建后的草坪面积(BEF △的面积)尽可能小,问BEF △的面积是否存在最小值?若存在,求出其最小值;若不存在,请说明理由.16.综合与实践:数学课外小组研究了两个问题,请你帮助解答.问题一:如图1,在矩形ABCD 中,6AB =,8AD =,E ,F 分别为AB ,AD 边的中点,四边形AEGF 为矩形,连接CG .问题二:数学小组对图形的旋转进行了拓展研究,如图4,在平行四边形ABCD 中,=60B ∠︒,6AB =,8AD =,E ,F 分别为AB ,AD 边的中点,四边形AEGF 为平行四边形,连接CG .数学小组发现DF 与CG 仍然存在着特定的数量关系.(1)请直接写出CG 的长是______.如图2,当矩形AEGF 绕点A 旋转(如顺时针旋转)至点G 落在边AB 上时,DF =______,CG =______,DF 与CG 之间的数量关系是______.(2)当矩形AEGF 绕点A 旋转至如图3的位置时,(1)中DF 与CG 之间的数量关系是否还成立?并说明理由.(3)如图5,当平行四边形ABCD 绕点A 旋转(如顺时针旋转),其它条件不变时,数学小组发现DF 与CG 仍然存在着这一特定的数量关系.请你直接写出这个特定的数量关系是______.17.如图,在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC =90°,AD =CD ,O 是对角线AC 的中点,连接BO 并延长交边AD 或边CD 于点E .(1)如图1,当点E 在AD 上时,连接CE ,求证:四边形ABCE 是矩形.(2)如图2,当点E 在CD 上时,当AC =4,BC =3时,求DAC S △与OBC S的比值.(3)若DE =2,OE =3,直接写出CD 的长.18.已知在正方形ABCD 中,E 是BC 边上一动点,作点B 关于AE 的对称点F ,BF 交AE 于点G ,连结DF .(1)如图1,求DFB ∠的度数;(2)如图2,过点D 作DM BF ⊥交BF 的延长线于点M ,连结,CM CF .若DF CM =,试探究四边形DFCM 的形状,并说明理由;(3)如图3,连结BD ,在AG 上截取=GT GB ,点P ,Q 分别是,AD BD 上的动点.若正方形ABCD 的面积为32,直接写出PTQ 周长的最小值.。
几何难题精选解答题〔共 30 小题〕1 .〔2021 ?河南〕如图 1,在 Rt △ABC 中,∠B=90 °,BC=2AB=8 ,点 D、E 分别是边 BC、AC 的中点,连接DE,将△EDC 绕点 C 按顺时针方向旋转,记旋转角为α.〔1〕问题发现①当α=0 °时, = ;②当α=180 °时, = .〔2〕拓展研究试判断:当 0°≤α<360 °时,的大小有无变化?请仅就图 2 的状况给出证明.〔3〕问题解决当△EDC 旋转至 A,D,E 三点共线时,直接写出线段 BD 的长.2.〔2021 ?济南〕如图 1 ,在△ABC 中,∠ACB=90 °,AC=BC ,∠EAC=90 °,点M 为射线 AE 上任意一点〔不与 A 重合〕,连接 CM ,将线段 CM 绕点 C 按顺时针方向旋转 90 °获取线段CN ,直线 NB 分别交直线 CM 、射线 AE 于点 F、D.〔1〕直接写出∠ NDE 的度数;〔2〕如图 2、图 3,当∠EAC 为锐角或钝角时,其他条件不变,〔 1〕中的结论可否发生变化?若是不变,采用其中一种状况加以证明;若是变化,请说明原由;〔3〕如图 4,假设∠EAC=15 °,∠ACM=60 °,直线CM 与 AB 交于 G,BD= ,其他条件不变,求线段 AM的长.3 .〔2021 ?岳阳〕直线 m ∥n ,点 C 是直线 m 上一点,点 D 是直线 n 上一点, CD 与直线 m 、n 不垂直,点 P 为线段 CD 的中点.〔1〕操作发现:直线 l ⊥m ,l⊥n,垂足分别为 A、B,当点 A 与点 C 重合时〔如图①所示〕,连接 PB,请直接写出线段 PA 与 PB 的数量关系:.〔2〕猜想证明:在图①的状况下,把直线 l 向上平移到如图②的地址,试问〔 1〕中的 PA 与 PB 的关系式可否依旧成立?假设成立,请证明;假设不成立,请说明原由.〔3〕延伸研究:在图②的状况下,把直线 l 绕点 A 旋转,使得∠ APB=90 °〔如图③所示〕,假设两平行线 m 、n 之间的距离为 2k .求证: PA ?PB=k ?AB.4 .〔2021 ?重庆〕在△ABC 中,AB=AC ,∠A=60 °,点D 是线段 BC 的中点,∠EDF=120 °,DE 与线段 AB 相交于点 E.DF 与线段 AC 〔或 AC 的延伸线〕订交于点 F.〔1〕如图 1,假设 DF⊥AC,垂足为 F,AB=4 ,求 BE 的长;〔2〕如图 2,将〔1 〕中的∠EDF 绕点 D 顺时针旋转必然的角度, DF 仍与线段 AC 订交于点 F.求证:BE+CF= AB;〔3〕如图 3,将〔 2〕中的∠EDF 连续绕点 D 顺时针旋转必然的角度,使 DF 与线段 AC 的延伸线订交于点 F,作 DN ⊥AC 于点 N ,假设 DN ⊥AC 于点 N ,假设 DN=FN ,求证: BE+CF= 〔BE﹣CF〕.5 .〔2021 ?烟台〕【问题提出】如图①,△ ABC 是等腰三角形,点 E 在线段 AB 上,点 D 在直线 BC 上,且 ED=EC ,将△BCE 绕点 C 顺时针旋转 60°至△ACF 连接 EF试证明: AB=DB+AF【类比研究】〔1〕如图②,若是点 E 在线段 AB 的延伸线上,其他条件不变,线段 AB ,DB,AF 之间又有怎样的数量关系?请说明原由〔2〕若是点 E 在线段 BA 的延伸线上,其他条件不变,请在图③的基础大将图形补充完满,并写出 AB ,DB ,AF 之间的数量关系,不用说明原由.6 .〔2021 ?莆田〕在 Rt△ACB 和 Rt △AEF 中,∠ACB= ∠AEF=90 °,假设点P 是 BF 的中点,连接 PC,PE.特别发现:如图 1,假设点 E,F 分别落在边 AB,AC 上,那么结论: PC=PE 成立〔不要求证明〕.问题研究:把图 1 中的△AEF 绕着点 A 顺时针旋转.〔1〕如图 2,假设点 E 落在边 CA 的延伸线上,那么上述结论可否成立?假设成立,请恩赐证明;假设不成立,请说明原由;〔2〕如图 3,假设点 F 落在边 AB 上,那么上述结论可否依旧成立?假设成立,请恩赐证明;假设不成立,请说明原由;〔3〕记 =k ,当 k 为何值时,△ CPE 总是等边三角形?〔请直接写出 k 的值,不用说明原由〕7 .〔2021 ?襄城区模拟〕如图,正方形 ABCO 的边 OA 、OC 在坐标轴上,点 B 坐标为〔3,3〕.将正方形 ABCO绕点 A 顺时针旋转角度α〔 0°<α<90 °〕,获取正方形 ADEF ,ED 交线段 OC 于点 G,ED 的延伸线交线段 BC于点 P,连 AP 、AG .〔1〕求证:△AOG ≌△ADG ;〔2〕求∠PAG 的度数;并判断线段 OG 、PG、BP 之间的数量关系,说明原由;〔3〕当∠1= ∠2 时,求直线 PE 的解析式;〔4〕在〔3〕的条件下,直线 PE 上可否存在点 M ,使以 M 、A、G 为极点的三角形是等腰三角形?假设存在,请直接写出 M 点坐标;假设不存在,请说明原由.8 .〔2021 ?重庆校级一模〕,四边形 ABCD 是正方形,点 P 在直线 BC 上,点 G 在直线 AD 上〔P、G 不与正方形极点重合,且在 CD 的同侧〕, PD=PG ,DF⊥PG 于点 H,DF 交直线 AB 于点 F,将线段 PG 绕点 P逆时针旋转 90 °获取线段P E,连接 EF.〔1〕如图 1,当点 P 与点 G 分别在线段 BC 与线段 AD 上时,假设 PC=1 ,计算出 DG 的长;〔2〕如图 1,当点 P 与点 G 分别在线段 BC 与线段 AD 上时,证明:四边形 DFEP 为菱形;〔3〕如图 2,当点 P 与点 G 分别在线段 BC 与线段 AD 的延伸线上时,〔2〕的结论:四边形 DFEP 为菱形可否依旧成立?假设成立,请给出证明;假设不成立,请说明原由.9 .〔2021 ?房山区二模〕在△ ABC 中,AB=BC=2 ,∠ABC=90 °,BD 为斜边 AC 上的中线,将△ ABD 绕点 D 顺时针旋转α〔0°<α<180 °〕获取△EFD,其中点 A 的对应点为点 E,点 B 的对应点为点 F.BE 与 FC 订交于点 H.〔1〕如图 1,直接写出 BE 与 FC 的数量关系:;〔2〕如图 2,M 、N 分别为 EF、BC 的中点.求证: MN= ;〔3〕连接 BF,CE,如图 3,直接写出在此旋转过程中,线段 BF、CE 与 AC 之间的数量关系:.10 .〔2021 ?衢州校级模拟〕图 1 是边长分别为 4 和 2 的两个等边三角形纸片 ABC 和 ODE 叠放在一起〔 C与 O 重合〕.〔1〕操作:固定△ ABC ,将△0DE 绕点 C 顺时针旋转 30 °后获取△ODE ,连接 AD 、B E,CE 的延伸线交 AB 于 F 〔图 2〕;研究:在图 2 中,线段 BE 与 AD 之间有怎样的大小关系?试证明你的结论.〔2〕在〔 1〕的条件下将的△ ODE ,在线段 CF 上沿着 CF 方向以每秒 1 个单位的速度平移,平移后的△ CDE 设为△PQR,当点 P 与点 F 重合时停止运动〔图 3〕研究:设△PQR 搬动的时间为 x 秒,△PQR 与△ABC 重叠局部的面积为 y,求 y 与 x 之间的函数解析式,并写出函数自变量 x 的取值范围.〔3〕将图 1 中△0DE 固定,把△ABC 沿着 OE 方向平移,使极点 C 落在 OE 的中点 G 处,设为△ABG ,尔后将△ABG 绕点 G 顺时针旋转,边 BG 交边 DE 于点 M ,边 AG 交边 DO 于点 N ,设∠BGE= α〔30 °<α<90 °〕;〔图4 〕研究:在图 4 中,线段 ON ?EM 的值可否随α的变化而变化?若是没有变化,请你求出 ON ?EM 的值,若是有变化,请你说明原由.11 .〔2021 ?武义县模拟〕〔 1 〕将矩形 OABC 放在平面直角坐标系中,极点 O 为原点,极点 C、A 分别在 x轴和 y 轴上, OA=8 ,OC=10 ,点 E 为 OA 边上一点,连接 CE,将△EOC 沿 CE 折叠.①如图 1,当点 O 落在 AB 边上的点 D 处时,求点 E 的坐标;②如图 2,当点 O 落在矩形 OABC 内部的点 D 处时,过点 E 作 EG∥x 轴交 CD 于点 H,交 BC 于点 G,设 H〔m ,n 〕,求 m 与 n 之间的关系式;〔2〕如图 3,将矩形 OABC 变为边长为 10 的正方形,点 E 为 y 轴上一动点,将△ EOC 沿 CE 折叠.点 O 落在点 D 处,延伸 CD 交直线 AB 于点 T,假设 = ,求 AT 的长.12 .〔2021 ?石家庄校级模拟〕如图 1,在菱形 ABCD 中,AC=6 ,BD=6 ,AC,BD 订交于点 O .〔1〕求边 AB 的长;〔2〕如图 2,将一个足够大的直角三角板 60 °角的极点放在菱形 ABCD 的极点 A 处,绕点 A 左右旋转,其中三角板 60 °角的两边分别于边 BC,CD 订交于 E,F,连接 EF 与 AC 订交于点 G.①判断△AEF 是哪一种特别三角形,并说明原由;②旋转过程中可否存在线段 EF 最短,假设存在,求出最小值,假设不存在,请说明原由.13 .〔2021 春 ?泰安校级期中〕如图,正方形 OEFG 绕着边长为 30 的正方形 ABCD 的对角线的交点 O 旋转,边 OE、OG 分别交边 AD 、AB 于点 M 、N .〔1〕求证: OM=ON ;〔2〕设正方形 OEFG 的对角线 OF 与边 AB 订交于点 P,连接 PM .假设 PM=13 ,试求 AM 的长;〔3〕连接 MN ,求△AMN 周长的最小值,并指出此时线段 MN 与线段 BD 的关系.14 .〔2021 ?天津〕在平面直角坐标系中, O 为原点,点 A〔﹣2 ,0〕,点 B〔0,2〕,点 E,点 F 分别为 OA ,OB 的中点.假设正方形 OEDF 绕点 O 顺时针旋转,得正方形 OE ′D′F′,记旋转角为α.〔Ⅰ〕如图①,当α =90 °时,求AE′,BF′的长;〔Ⅱ〕如图②,当α =135 °时,求证AE′=BF ′,且AE′⊥BF′;〔Ⅲ〕假设直线 AE′与直线BF′订交于点P,求点 P 的纵坐标的最大值〔直接写出结果即可〕.15 .〔2021 春 ?青山区期末〕正方形 ABCD 和正方形 EBGF 共极点 B,连 AF,H 为 AF 的中点,连 EH,正方形 EBGF 绕点 B 旋转.〔1〕如图 1,当 F 点落在 BC 上时,求证: EH= FC;〔2〕如图 2,当点 E 落在 BC 上时,连 BH ,假设 AB=5 ,BG=2 ,求 BH 的长;〔3〕当正方形 EBGF 绕点 B 旋转到如图 3 的地址时,求的值.16 .〔2021 ?盐城〕阅读资料如图①,△ABC 与△DEF 都是等腰直角三角形,∠ACB= ∠EDF=90 °,且点 D 在 AB 边上,AB、EF的中点均为 O ,连接 BF、CD 、CO ,显然点 C、F、O 在同一条直线上,可以证明△ BOF≌△COD ,那么 BF=CD .解决问题〔1〕将图①中的 Rt△DEF 绕点 O 旋转获取图②,猜想此时线段 BF 与 CD 的数量关系,并证明你的结论;〔2〕如图③,假设△ ABC 与△DEF 都是等边三角形, AB 、EF 的中点均为 O ,上述〔 1 〕中的结论依旧成立吗?如果成立,请说明原由;如不成立,央求出 BF 与 CD 之间的数量关系;〔3〕如图④,假设△ABC 与△DEF 都是等腰三角形, AB 、EF 的中点均为 0,且顶角∠ACB= ∠EDF= α,请直接写出的值〔用含α的式子表示出来〕17 .〔2021 ?梅州〕用如图①,②所示的两个直角三角形〔局部边长及角的度数在图中已标出〕,完成以下两个研究问题:研究一:将以上两个三角形如图③拼接〔 BC 和 ED 重合〕,在 BC 边上有一动点 P.〔1〕当点 P 运动到∠CFB 的角均分线上时,连接 AP,求线段 AP 的长;〔2〕当点 P 在运动的过程中出现 PA=FC 时,求∠PAB 的度数.研究二:如图④,将△ DEF 的极点 D 放在△ABC 的 BC 边上的中点处,并以点 D 为旋转中心旋转△ DEF,使△DEF 的两直角边与△ ABC 的两直角边分别交于 M 、N 两点,连接 MN .在旋转△DEF 的过程中,△ AMN 的周长可否存在有最小值?假设存在,求出它的最小值;假设不存在,请说明原由.18 .〔2021 ?营口〕如图,点 P 是⊙O 外一点, PA 切⊙O 于点 A,AB 是⊙O 的直径,连接 OP ,过点 B 作 BC∥OP 交⊙O 于点 C,连接 AC 交 OP 于点 D .〔1〕求证: PC 是⊙ O 的切线;〔2〕假设 PD= ,AC=8 ,求图中阴影局部的面积;〔3〕在〔 2〕的条件下,假设点 E是的中点,连接 CE,求 CE 的长.19 .〔2021 ?永州〕问题研究:〔一〕新知学习:圆内接四边形的判判断理:若是四边形对角互补,那么这个四边形内接于圆〔即若是四边形 EFGH 的对角互补,那么四边形 EFGH 的四个极点 E、F、G、H 都在同个圆上〕.〔二〕问题解决:⊙ O 的半径为 2,AB ,CD 是⊙O 的直径. P 是上任意一点,过点 P 分别作 AB,CD 的垂线,垂足分别为 N,M .〔1〕假设直径 AB⊥CD,关于上任意一点 P〔不与 B、C 重合〕〔如图一〕,证明四边形 PMON 内接于圆,并求此圆直径的长;〔2〕假设直径 AB⊥CD ,在点 P〔不与 B、C 重合〕从 B 运动到 C 的过程中,证明 MN 的长为定值,并求其定值;〔3〕假设直径 AB 与 CD 订交成 120 °角.①当点 P 运动到的中点 P1 时〔如图二〕,求 MN 的长;②当点 P〔不与 B、C 重合〕从 B 运动到 C 的过程中〔如图三〕,证明 MN 的长为定值.〔4〕试问当直径 AB 与 CD 订交成多少度角时, MN 的长取最大值,并写出其最大值.20 .〔2021 ?盘锦〕如图 1,△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形,∠ BAC= ∠EAD=90 °,点B 在线段 AE 上,点C 在线段 AD 上.〔1〕请直接写出线段 BE 与线段 CD 的关系:;〔2〕如图 2,将图 1 中的△ABC 绕点 A 顺时针旋转角α〔 0<α<360 °〕,①〔1〕中的结论可否成立?假设成立,请利用图 2 证明;假设不成立,请说明原由;②当 AC= ED 时,研究在△ABC 旋转的过程中,可否存在这样的角α,使以 A、B、C、D 四点为极点的四边形是平行四边形?假设存在,请直接写出角α的度数;假设不存在,请说明原由.21 .〔2021 ?旭日〕问题:如图〔 1〕,在 Rt△ACB 中,∠ACB=90 °,AC=CB ,∠DCE=45 °,试试究AD 、DE、EB 满足的等量关系.[研究发现 ]小聪同学利用图形变换,将△ CAD 绕点 C 逆时针旋转 90°获取△CBH,连接 EH,由条件易得∠ EBH=90 °,∠ECH= ∠ECB+ ∠BCH= ∠ECB+ ∠ACD=45 °.依照“边角边〞,可证△ CEH ≌,得 EH=ED .在 Rt△HBE 中,由定理,可得 BH 2+EB 2=EH 2,由 BH=AD ,可得 AD 、DE、EB 之间的等量关系是.[实践运用 ]〔1〕如图〔 2 〕,在正方形 ABCD 中,△AEF 的极点 E、F 分别在 BC、CD 边上,高 AG 与正方形的边长相等,求∠EAF 的度数;〔2〕在〔 1〕条件下,连接 BD ,分别交 AE、AF 于点 M 、N ,假设 BE=2 ,DF=3 ,BM=2 ,运用小聪同学探究的结论,求正方形的边长及 MN 的长.22 .〔2021 ?自贡〕在△ABC 中,AB=AC=5 ,cos ∠ABC= ,将△ABC 绕点 C 顺时针旋转,获取△ A1B1C.〔1〕如图①,当点 B1 在线段 BA 延伸线上时.①求证: BB1∥CA 1;②求△AB1C 的面积;〔2〕如图②,点 E 是 BC 边的中点,点 F 为线段 AB 上的动点,在△ ABC 绕点 C 顺时针旋转过程中,点 F 的对应点是 F1,求线段 EF1 长度的最大值与最小值的差.23 .〔2021 ?吉林〕两个三角板 ABC,DEF,按以以下图的地址摆放,点 B 与点 D 重合,边 AB 与边 DE 在同一条直线上〔假设图形中所有的点,线都在同一平面内〕.其中,∠C= ∠DEF=90 °,∠ABC= ∠F=30 °,AC=DE=6cm .现固定三角板 DEF,将三角板 ABC 沿射线 DE 方向平移,当点 C 落在边 EF 上时停止运动.设三角板平移的距离为 x〔cm 〕,两个三角板重叠局部的面积为 y〔cm 2〕.〔1〕当点 C 落在边 EF 上时, x= cm ;〔2〕求 y 关于 x 的函数解析式,并写出自变量 x 的取值范围;〔3〕设边 BC 的中点为点 M ,边 DF 的中点为点 N .直接写出在三角板平移过程中,点 M 与点 N 之间距离的最小值.24 .〔2021 ?汕尾〕在 Rt△ABC 中,∠A=90 °,AC=AB=4 ,D,E 分别是边 AB ,AC 的中点,假设等腰 Rt△ADE绕点 A 逆时针旋转,获取等腰 Rt△AD 1E1,设旋转角为α〔 0<α≤180 °〕,记直线 BD1 与 CE1 的交点为 P.〔1〕如图 1,当α=90 °时,线段BD 1 的长等于,线段 CE1 的长等于;〔直接填写结果〕〔2〕如图 2,当α=135 °时,求证:BD 1=CE 1,且 BD1⊥CE1;〔3〕求点 P 到 AB 所在直线的距离的最大值.〔直接写出结果〕25 .〔2021 ?赤峰〕如图,四边形 ABCD 是边长为 2,一个锐角等于 60°的菱形纸片,小芳同学将一个三角形纸片的一个极点与该菱形极点 D 重合,按顺时针方向旋转三角形纸片,使它的两边分别交 CB、BA〔或它们的延长线〕于点 E、F,∠EDF=60 °,当CE=AF 时,如图 1 小芳同学得出的结论是 DE=DF .〔1〕连续旋转三角形纸片,当 CE≠AF 时,如图 2 小芳的结论可否成立?假设成立,加以证明;假设不成立,请说明原由;〔2〕再次旋转三角形纸片,当点 E、F 分别在 CB、BA 的延伸线上时,如图 3 请直接写出 DE 与 DF 的数量关系;〔3〕连 EF,假设△DEF 的面积为 y ,CE=x ,求 y 与 x 的关系式,并指出当 x 为何值时, y 有最小值,最小值是多少?26 .〔2021 ?海南〕如图,菱形 ABCD 中,点 P 是 CD 的中点,∠BCD=60 °,射线AP 交 BC 的延伸线于点 E,射线 BP 交 DE 于点 K,点 O 是线段 BK 的中点.〔1〕求证:△ADP ≌△ECP;〔2〕假设 BP=n ?PK,试求出 n 的值;〔3〕作 BM 丄 AE 于点 M ,作 KN 丄 AE 于点 N,连接 MO 、NO ,如图 2 所示,请证明△MON 是等腰三角形,并直接写出∠ MON 的度数.27 .〔2021 ?丹东〕在正方形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O;在 Rt△PMN 中,∠MPN=90 °.〔1〕如图 1,假设点 P 与点 O 重合且 PM ⊥AD 、PN ⊥AB ,分别交 AD 、AB 于点 E、F,请直接写出 PE 与 PF 的数量关系;〔2〕将图 1 中的 Rt△PMN 绕点 O 顺时针旋转角度α〔 0 °<α<45 °〕.①如图 2,在旋转过程中〔 1〕中的结论依旧成立吗?假设成立,请证明;假设不成立,请说明原由;②如图 2,在旋转过程中,当∠ DOM=15 °时,连接EF,假设正方形的边长为 2,请直接写出线段 EF 的长;③如图 3,旋转后,假设 Rt△PMN 的极点 P 在线段 OB 上搬动〔不与点 O 、B 重合〕,当 BD=3BP 时,猜想此时PE 与 PF 的数量关系,并给出证明;当 BD=m ?BP 时,请直接写出 PE 与 PF 的数量关系.28 .〔2021 ?成都〕 AC ,EC 分别是四边形 ABCD 和 EFDC 的对角线,点 E 在△ABC 内,∠CAE+ ∠CBE=90 °.〔1〕如图①,当四边形 ABCD 和 EFCG 均为正方形时,连接 BF.〔i〕求证:△CAE∽△CBF;〔ii 〕假设 BE=1 ,AE=2 ,求 CE 的长;〔2〕如图②,当四边形 ABCD 和 EFCG 均为矩形,且 = =k 时,假设 BE=1 ,AE=2 ,CE=3 ,求 k 的值;〔3〕如图③,当四边形 ABCD 和 EFCG 均为菱形,且∠ DAB= ∠GEF=45 °时,设BE=m ,AE=n ,CE=p ,试试究 m ,n,p 三者之间满足的等量关系.〔直接写出结果,不用写出解答过程〕29 .〔2021 ?锦州〕如图①,∠ QPN 的极点 P 在正方形 ABCD 两条对角线的交点处,∠ QPN= α,将∠QPN 绕点P 旋转,旋转过程中∠ QPN 的两边分别与正方形 ABCD 的边 AD 和 CD 交于点 E 和点 F〔点 F 与点 C,D 不重合〕.〔1〕如图①,当α =90 °时,DE,DF,AD 之间满足的数量关系是;〔2〕如图②,将图①中的正方形 ABCD 改为∠ADC=120 °的菱形,其他条件不变,当α =60 °时,〔1〕中的结论变为 DE+DF= AD ,请给出证明;〔3〕在〔2〕的条件下,假设旋转过程中∠ QPN 的边 PQ 与射线 AD 交于点 E,其他条件不变,研究在整个运动变化过程中, DE,DF ,AD 之间满足的数量关系,直接写出结论,不用加以证明.30 .〔2021 ?绵阳〕如图 1,矩形 ABCD 中,AB=4 ,AD=3 ,把矩形沿直线 AC 折叠,使点 B 落在点 E 处,AE交 CD 于点 F,连接 DE.〔1〕求证:△DEC≌△EDA;〔2〕求 DF 的值;〔3〕如图 2,假设 P 为线段 EC 上一动点,过点 P 作△AEC 的内接矩形,使其极点 Q 落在线段 AE 上,定点 M 、N 落在线段 AC 上,当线段 PE 的长为何值时,矩形 PQMN 的面积最大?并求出其最大值.几何难题精选 (1) 旋转圆四边形参照答案与试题解析一.解答题〔共 30 小题〕1 .〔2021 ?河南〕如图 1,在 Rt △ABC 中,∠B=90 °,BC=2AB=8 ,点 D、E 分别是边 BC、AC 的中点,连接DE,将△EDC 绕点 C 按顺时针方向旋转,记旋转角为α.〔1〕问题发现①当α=0 °时, = ;②当α=180 °时, = .〔2〕拓展研究试判断:当 0°≤α<360 °时,的大小有无变化?请仅就图 2 的状况给出证明.〔3〕问题解决当△EDC 旋转至 A,D,E 三点共线时,直接写出线段 BD 的长.【考点】几何变换综合题.【专题】压轴题.【解析】〔1〕①当α=0 °时,在Rt △ABC 中,由勾股定理,求出 AC 的值是多少;尔后依照点 D、E 分别是边BC、AC 的中点,分别求出 AE、BD 的大小,即可求出的值是多少.②α=180 °时,可得AB ∥DE,尔后依照,求出的值是多少即可.〔2〕第一判断出∠ ECA= ∠DCB ,再依照,判断出△ECA∽△DCB,即可求出的值是多少,进而判断出的大小没有变化即可.〔3〕依照题意,分两种状况:①点 A,D,E 所在的直线和 BC 平行时;②点 A ,D,E 所在的直线和 BC 订交时;尔后分类谈论,求出线段 BD 的长各是多少即可.【解答】解:〔 1〕①当α=0 °时,∵Rt △ABC 中,∠B=90 °,∴AC= ,∵点D、E 分别是边 BC、AC 的中点,∴,∴.②如图 1,,当α=180 °时,可得 AB∥DE,∵,∴ = .故答案为:.〔2〕如图 2,,当 0°≤α<360 °时,的大小没有变化,∵∠ECD= ∠ACB ,∴∠ECA= ∠DCB ,又∵,∴△ECA∽△DCB ,∴.〔3〕①如图 3 ,,∵AC=4 ,CD=4 ,CD ⊥AD ,∴AD= = ,∵AD=BC ,AB=DC ,∠B=90 °,∴四边形 ABCD 是矩形,∴.②如图 4,连接 BD,过点 D 作 AC 的垂线交 AC 于点 Q ,过点 B作 AC 的垂线交 AC 于点 P,,∵AC=4 ,CD=4 ,CD ⊥AD ,∴AD= = ,∵点D、E 分别是边 BC、AC 的中点,∴DE= =2 ,∴AE=AD ﹣DE=8 ﹣2=6 ,由〔2〕,可得,∴BD= = .综上所述, BD 的长为 4 或.【谈论】〔1〕此题主要观察了几何变换综合题,观察了解析推理能力,观察了分类谈论思想的应用,观察了数形结合思想的应用,要熟练掌握.〔2〕此题还观察了相似三角形、全等三角形的判断和性质的应用,要熟练掌握.〔3〕此题还观察了线段长度的求法,以及矩形的判断和性质的应用,要熟练掌握.2.〔2021 ?济南〕如图 1 ,在△ABC 中,∠ACB=90 °,AC=BC ,∠EAC=90 °,点M 为射线 AE 上任意一点〔不与 A 重合〕,连接 CM ,将线段 CM 绕点 C 按顺时针方向旋转 90 °获取线段CN ,直线 NB 分别交直线 CM 、射线 AE 于点 F、D.〔1〕直接写出∠ NDE 的度数;〔2〕如图 2、图 3,当∠EAC 为锐角或钝角时,其他条件不变,〔 1〕中的结论可否发生变化?若是不变,采用其中一种状况加以证明;若是变化,请说明原由;〔3〕如图 4,假设∠EAC=15 °,∠ACM=60 °,直线CM 与 AB 交于 G,BD= ,其他条件不变,求线段 AM的长.【考点】几何变换综合题.【专题】压轴题.【解析】〔1〕依照题意证明△ MAC ≌△NBC 即可;〔2〕与〔 1〕的证明方法相似,证明△ MAC ≌△NBC 即可;〔3〕作 GK ⊥BC 于 K,证明 AM=AG ,依照△MAC ≌△NBC ,获取∠BDA=90 °,依照直角三角形的性质和条件求出 AG 的长,获取答案.【解答】解:〔 1〕∵∠ACB=90 °,∠MCN=90 °,∴∠ACM= ∠BCN ,在△MAC 和△NBC 中,,∴△MAC ≌△NBC ,∴∠NBC= ∠MAC=90 °,又∵∠ACB=90 °,∠EAC=90 °,∴∠NDE=90 °;〔2〕不变,在△MAC ≌△NBC 中,,∴△MAC ≌△NBC ,∴∠N= ∠AMC ,又∵∠MFD= ∠NFC,∠MDF= ∠FCN=90 °,即∠NDE=90 °;〔3〕作 GK⊥BC 于 K,∵∠EAC=15 °,∴∠BAD=30 °,∵∠ACM=60 °,∴∠GCB=30 °,∴∠AGC= ∠ABC+ ∠GCB=75 °,∠AMG=75 °,∴AM=AG ,∵△MAC ≌△NBC ,∴∠MAC= ∠NBC ,∴∠BDA= ∠BCA=90 °,∵BD= ,∴AB= + ,AC=BC= +1 ,设 BK=a ,那么 GK=a ,CK= a,∴a+ a= +1 ,∴a=1 ,∴KB=KG=1 ,BG= ,AG= ,∴AM= .【谈论】此题观察的是矩形的判断和性质以及三角形全等的判断和性质,正确作出辅助线、利用方程的思想是解题的重点,注意旋转的性质的灵便运用.3 .〔2021 ?岳阳〕直线 m ∥n ,点 C 是直线 m 上一点,点 D 是直线 n 上一点, CD 与直线 m 、n 不垂直,点 P 为线段 CD 的中点.〔1〕操作发现:直线 l ⊥m ,l⊥n,垂足分别为 A、B,当点 A 与点 C 重合时〔如图①所示〕,连接 PB,请直接写出线段 PA 与 PB 的数量关系: PA=PB .〔2〕猜想证明:在图①的状况下,把直线 l 向上平移到如图②的地址,试问〔 1〕中的 PA 与 PB 的关系式可否依旧成立?假设成立,请证明;假设不成立,请说明原由.〔3〕延伸研究:在图②的状况下,把直线 l 绕点 A 旋转,使得∠ APB=90 °〔如图③所示〕,假设两平行线 m 、n 之间的距离为 2k .求证: PA ?PB=k ?AB.【考点】几何变换综合题.【专题】压轴题.【解析】〔1〕依照三角形 CBD 是直角三角形,而且点 P 为线段 CD 的中点,应用直角三角形的性质,可得 PA=PB ,据此解答即可.〔2〕第一过 C 作 CE⊥n 于点 E,连接 P E,尔后分别判断出 PC=PE 、∠PCA= ∠PEB、AC=BE ;尔后依照全等三角形判断的方法,判断出△ PAC∽△PBE,即可判断出 PA=PB 依旧成立.〔3〕第一延伸 AP 交直线 n 于点 F,作 AE⊥BD 于点 E,尔后依照相似三角形判断的方法,判断出△AEF∽△BPF,即可判断出 AF ?BP=AE ?BF,再个 AF=2PA ,AE=2k ,BF=AB ,可得 2PA ?PB=2k .AB,因此 PA?PB=k ?AB,据此解答即可.【解答】解:〔 1〕∵l⊥n,∴BC⊥BD,∴三角形 CBD 是直角三角形,又∵点 P 为线段 CD 的中点,∴PA=PB .〔2〕把直线 l 向上平移到如图②的地址, PA=PB 依旧成立,原由以下:如图②,过 C 作 CE⊥n 于点 E,连接 P E,,∵三角形 CED 是直角三角形,点 P 为线段 CD 的中点,∴PD=PE ,又∵点 P 为线段 CD 的中点,∴PC=PD ,∴PC=PE ;∵PD=PE ,∴∠CDE= ∠PEB,∵直线 m ∥n ,∴∠CDE= ∠PCA ,∴∠PCA= ∠PEB,又∵直线 l⊥m ,l⊥n,CE⊥m ,CE⊥n ,∴l∥CE,∴AC=BE ,在△PAC 和△PBE 中,∴△PAC≌△PBE,∴PA=PB .〔3〕如图③,延伸 AP 交直线 n 于点 F,作 AE⊥BD 于点 E,,∵直线 m ∥n ,∴,∴AP=PF ,∵∠APB=90 °,∴BP⊥AF,又∵AP=PF ,∴BF=AB ;在△AEF 和△BPF 中,∴△AEF∽△BPF,∴,∴AF ?BP=AE ?BF,∵AF=2PA ,AE=2k ,BF=AB ,∴2PA ?PB=2k .AB ,∴PA?PB=k ?AB .【谈论】〔1〕此题主要观察了几何变换综合题,观察了解析推理能力,观察了分类谈论思想的应用,观察了数形结合思想的应用,观察了从图象中获守信息,并能利用获取的信息解答相应的问题的能力.〔2〕此题还观察了直角三角形的性质和应用,要熟练掌握.〔3〕此题还观察了全等三角形的判断和性质的应用,以及相似三角形的判断和性质的应用,要熟练掌握.4 .〔2021 ?重庆〕在△ABC 中,AB=AC ,∠A=60 °,点D 是线段 BC 的中点,∠EDF=120 °,DE 与线段 AB 相交于点 E.DF 与线段 AC 〔或 AC 的延伸线〕订交于点 F.〔1〕如图 1,假设 DF⊥AC,垂足为 F,AB=4 ,求 BE 的长;〔2〕如图 2,将〔1 〕中的∠EDF 绕点 D 顺时针旋转必然的角度, DF 仍与线段 AC 订交于点 F.求证:BE+CF= AB;〔3〕如图 3,将〔 2〕中的∠EDF 连续绕点 D 顺时针旋转必然的角度,使 DF 与线段 AC 的延伸线订交于点 F,作 DN ⊥AC 于点 N ,假设 DN ⊥AC 于点 N ,假设 DN=FN ,求证: BE+CF= 〔BE﹣CF〕.【考点】几何变换综合题;全等三角形的判断与性质;等边三角形的判断与性质;锐角三角函数的定义.【专题】压轴题.【解析】〔1〕如图 1,易求得∠B=60 °,∠BED=90 °,BD=2 ,尔后运用三角函数的定义即可求出 BE 的值;〔2〕过点 D 作 DM ⊥AB 于 M ,作 DN ⊥AC 于 N,如图 2,易证△MBD ≌△NCD ,那么有 BM=CN ,DM=DN ,进而可证到△ EMD ≌△FND ,那么有 EM=FN ,即可获取 BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60 °=BD= BC= AB;〔3〕过点 D 作 DM ⊥AB 于 M ,如图 3.同〔1〕可得:∠B= ∠ACD=60 °,同〔2〕可得: BM=CN ,DM=DN ,EM=FN .由 DN=FN 可得 DM=DN=FN=EM ,进而可得BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM ,B E﹣CF=BM+EM ﹣CF=BM+NF ﹣CF=BM+NC=2BM .尔后在 Rt△BMD 中,运用三角函数即可获取 DM= BM ,即 BE+CF= 〔B E﹣CF〕.【解答】解:〔 1〕如图 1,∵AB=AC ,∠A=60 °,∴△ABC 是等边三角形,∴∠B= ∠C=60 °,BC=AC=AB=4 .∵点D 是线段 BC 的中点,∴BD=DC= BC=2 .∵DF⊥AC,即∠AFD=90 °,∴∠AED=360 °﹣60 °﹣90 °﹣120 °=90 °,∴∠BED=90 °,∴BE=BD ×cos ∠B=2 ×cos60 °=2 × =1 ;〔2〕过点 D 作 DM ⊥AB 于 M ,作 DN ⊥AC 于 N,如图 2,那么有∠AMD= ∠BMD= ∠AND= ∠CND=90 °.∵∠A=60 °,∴∠MDN=360 °﹣60 °﹣90 °﹣90 °=120 °.∵∠EDF=120 °,∴∠MDE= ∠NDF .在△MBD 和△NCD 中,,∴△MBD ≌△NCD ,∴BM=CN ,DM=DN .在△EMD 和△FND 中,,∴△EMD ≌△FND ,∴EM=FN ,∴BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD ×cos60 °=BD= BC= AB ;〔3〕过点 D 作 DM ⊥AB 于 M ,如图 3.同〔1〕可得:∠B= ∠ACD=60 °.同〔2〕可得: BM=CN ,DM=DN ,EM=FN .∵DN=FN ,∴DM=DN=FN=EM ,∴BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM ,BE﹣CF=BM+EM ﹣CF=BM+NF ﹣CF=BM+NC=2BM .在 Rt△BMD 中,DM=BM ?tanB= BM ,∴BE+CF= 〔BE﹣CF〕.【谈论】此题主要观察了等边三角形的判断与性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判断与性质、三角函数的定义、特别角的三角函数值等知识,经过证明三角形全等获取 BM=CN ,DM=DN ,EM=FN 是解决此题的关键.5 .〔2021 ?烟台〕【问题提出】如图①,△ ABC 是等腰三角形,点 E 在线段 AB 上,点 D 在直线 BC 上,且 ED=EC ,将△BCE 绕点 C 顺时针旋转 60°至△ACF 连接 EF试证明: AB=DB+AF【类比研究】〔1〕如图②,若是点 E 在线段 AB 的延伸线上,其他条件不变,线段 AB ,DB,AF 之间又有怎样的数量关系?请说明原由〔2〕若是点 E 在线段 BA 的延伸线上,其他条件不变,请在图③的基础大将图形补充完满,并写出 AB ,DB ,AF 之间的数量关系,不用说明原由.【考点】几何变换综合题.【专题】压轴题.【解析】第一判断出△ CEF 是等边三角形,即可判断出 EF=EC,再依照 ED=EC ,可得 ED=EF ,∠CAF= ∠BAC=60 °,因此∠EAF= ∠BAC+ ∠CAF=120 °,∠DBE=120 °,∠EAF= ∠DBE;尔后依照全等三角形判断的方法,判断出△EDB ≌△FEA ,即可判断出 BD=AE ,AB=AE+BF ,因此 AB=DB+AF .〔1〕第一判断出△CEF 是等边三角形,即可判断出 EF=EC,再依照 ED=EC ,可得 ED=EF ,∠CAF= ∠BAC=60 °,因此∠EFC= ∠FGC+ ∠FCG,∠BAC= ∠FGC+ ∠FEA,∠FCG= ∠FEA,再依照∠FCG= ∠EAD ,∠D= ∠EAD,可得∠D= ∠FEA;尔后依照全等三角形判断的方法,判断出△ EDB≌△FEA,即可判断出 BD=AE ,EB=AF ,进而判断出AB=BD ﹣AF 即可.〔2〕第一依照点 E 在线段 BA 的延伸线上,在图③的基础大将图形补充完满,尔后判断出△ CEF 是等边三角形,即可判断出 EF=EC ,再依照 ED=EC ,可得 ED=EF ,∠CAF= ∠BAC=60 °,再判断出∠ DBE= ∠EAF,∠BDE= ∠AEF;。
几何综合压轴问题(40题)1(2023·四川自贡·统考中考真题)如图1,一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起,M,N分别是斜边DE,AB的中点,DE=2,AB=4.(1)将△CDE绕顶点C旋转一周,请直接写出点M,N距离的最大值和最小值;(2)将△CDE绕顶点C逆时针旋转120°(如图2),求MN的长.2(2023·山东烟台·统考中考真题)如图,点C为线段AB上一点,分别以AC,BC为等腰三角形的底边,在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE,且∠A=∠CBE.在线段EC上取一点F,使EF=AD,连接BF,DE.(1)如图1,求证:DE=BF;(2)如图2,若AD=2,BF的延长线恰好经过DE的中点G,求BE的长.3(2023·浙江绍兴·统考中考真题)在平行四边形ABCD中(顶点A,B,C,D按逆时针方向排列),AB= 12,AD=10,∠B为锐角,且sin B=45.(1)如图1,求AB边上的高CH的长.(2)P是边AB上的一动点,点C,D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点C ,D .①如图2,当点C 落在射线CA上时,求BP的长.②当△AC D 是直角三角形时,求BP的长.4(2023·甘肃武威·统考中考真题)【模型建立】(1)如图1,△ABC和△BDE都是等边三角形,点C关于AD的对称点F在BD边上.①求证:AE=CD;②用等式写出线段AD,BD,DF的数量关系,并说明理由.【模型应用】(2)如图2,△ABC是直角三角形,AB=AC,CD⊥BD,垂足为D,点C关于AD的对称点F在BD边上.用等式写出线段AD,BD,DF的数量关系,并说明理由.【模型迁移】(3)在(2)的条件下,若AD=42,BD=3CD,求cos∠AFB的值.5(2023·江西·统考中考真题)课本再现思考我们知道,菱形的对角线互相垂直.反过来,对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗?可以发现并证明菱形的一个判定定理;对角线互相垂直的平行四边形是菱形.(1)定理证明:为了证明该定理,小明同学画出了图形(如图1),并写出了“已知”和“求证”,请你完成证明过程.己知:在▱ABCD中,对角线BD⊥AC,垂足为O.求证:▱ABCD是菱形.(2)知识应用:如图2,在▱ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,AD=5,AC=8,BD=6.①求证:▱ABCD是菱形;②延长BC至点E,连接OE交CD于点F,若∠E=12∠ACD,求OFEF的值.6(2023·湖北随州·统考中考真题)1643年,法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题:给定不在同一条直线上的三个点A,B,C,求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置,意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明,该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”,该问题也被称为“将军巡营”问题.(1)下面是该问题的一种常见的解决方法,请补充以下推理过程:(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空,②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空,③处填写角度数,④处填写该三角形的某个顶点)当△ABC的三个内角均小于120°时,如图1,将△APC绕,点C顺时针旋转60°得到△A P C,连接PP ,由PC=P C,∠PCP =60°,可知△PCP 为三角形,故PP =PC,又P A =PA,故PA+PB+PC =PA +PB+PP ≥A B,由可知,当B,P,P ,A在同一条直线上时,PA+PB+PC取最小值,如图2,最小值为A B,此时的P点为该三角形的“费马点”,且有∠APC=∠BPC=∠APB=;已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时,“费马点”为该三角形的某个顶点.如图3,若∠BAC≥120°,则该三角形的“费马点”为点.(2)如图4,在△ABC中,三个内角均小于120°,且AC=3,BC=4,∠ACB=30°,已知点P为△ABC的“费马点”,求PA+PB+PC的值;(3)如图5,设村庄A,B,C的连线构成一个三角形,且已知AC=4km,BC=23km,∠ACB=60°.现欲建一中转站P沿直线向A,B,C三个村庄铺设电缆,已知由中转站P到村庄A,B,C的铺设成本分别为a 元/km,a元/km,2a元/km,选取合适的P的位置,可以使总的铺设成本最低为元.(结果用含a的式子表示)7(2023·山东枣庄·统考中考真题)问题情境:如图1,在△ABC中,AB=AC=17,BC=30,AD是BC边上的中线.如图2,将△ABC的两个顶点B,C分别沿EF,GH折叠后均与点D重合,折痕分别交AB,AC,BC于点E,G,F,H.猜想证明:(1)如图2,试判断四边形AEDG的形状,并说明理由.问题解决;(2)如图3,将图2中左侧折叠的三角形展开后,重新沿MN折叠,使得顶点B与点H重合,折痕分别交AB, BC于点M,N,BM的对应线段交DG于点K,求四边形MKGA的面积.8(2023·湖南·统考中考真题)(1)[问题探究]如图1,在正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O.在线段AO上任取一点P(端点除外),连接PD、PB.①求证:PD=PB;②将线段DP绕点P逆时针旋转,使点D落在BA的延长线上的点Q处.当点P在线段AO上的位置发生变化时,∠DPQ的大小是否发生变化?请说明理由;③探究AQ与OP的数量关系,并说明理由.(2)[迁移探究]如图2,将正方形ABCD换成菱形ABCD,且∠ABC=60°,其他条件不变.试探究AQ与CP的数量关系,并说明理由.9(2023·湖南岳阳·统考中考真题)如图1,在△ABC中,AB=AC,点M,N分别为边AB,BC的中点,连接MN.初步尝试:(1)MN与AC的数量关系是,MN与AC的位置关系是.特例研讨:(2)如图2,若∠BAC=90°,BC=42,先将△BMN绕点B顺时针旋转α(α为锐角),得到△BEF,当点A,E,F在同一直线上时,AE与BC相交于点D,连接CF.(1)求∠BCF的度数;(2)求CD的长.深入探究:(3)若∠BAC<90°,将△BMN绕点B顺时针旋转α,得到△BEF,连接AE,CF.当旋转角α满足0°<α<360°,点C,E,F在同一直线上时,利用所提供的备用图探究∠BAE与∠ABF的数量关系,并说明理由.10(2023·湖北黄冈·统考中考真题)【问题呈现】△CAB和△CDE都是直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,CB=mCA,CE=mCD,连接AD,BE,探究AD,BE的位置关系.(1)如图1,当m=1时,直接写出AD,BE的位置关系:;(2)如图2,当m≠1时,(1)中的结论是否成立?若成立,给出证明;若不成立,说明理由.【拓展应用】(3)当m=3,AB=47,DE=4时,将△CDE绕点C旋转,使A,D,E三点恰好在同一直线上,求BE的长.11(2023·河北·统考中考真题)如图1和图2,平面上,四边形ABCD中,AB=8,BC=211,CD=12, DA=6,∠A=90°,点M在AD边上,且DM=2.将线段MA绕点M顺时针旋转n°(0<n≤180)到MA ,∠A MA的平分线MP所在直线交折线AB-BC于点P,设点P在该折线上运动的路径长为x(x>0),连接A P.(1)若点P在AB上,求证:A P=AP;(2)如图2.连接BD.①求∠CBD的度数,并直接写出当n=180时,x的值;②若点P到BD的距离为2,求tan∠A MP的值;(3)当0<x≤8时,请直接写出点A 到直线AB的距离.(用含x的式子表示).12(2023·四川达州·统考中考真题)(1)如图①,在矩形ABCD的AB边上取一点E,将△ADE沿DE翻折,使点A落在BC上A 处,若AB=6,BC=10,求AEEB的值;(2)如图②,在矩形ABCD 的BC 边上取一点E ,将四边形ABED 沿DE 翻折,使点B 落在DC 的延长线上B 处,若BC ⋅CE =24,AB =6,求BE 的值;(3)如图③,在△ABC 中,∠BAC =45°,AD ⊥BC ,垂足为点D ,AD =10,AE =6,过点E 作EF ⊥AD 交AC 于点F ,连接DF ,且满足∠DFE =2∠DAC ,直接写出BD +53EF 的值.13(2023·湖南郴州·统考中考真题)已知△ABC 是等边三角形,点D 是射线AB 上的一个动点,延长BC 至点E ,使CE =AD ,连接DE 交射线AC 于点F .(1)如图1,当点D 在线段AB 上时,猜测线段CF 与BD 的数量关系并说明理由;(2)如图2,当点D 在线段AB 的延长线上时,①线段CF 与BD 的数量关系是否仍然成立?请说明理由;②如图3,连接AE .设AB =4,若∠AEB =∠DEB ,求四边形BDFC 的面积.14(2023·湖北宜昌·统考中考真题)如图,在正方形ABCD 中,E ,F 分别是边AD ,AB 上的点,连接CE ,EF ,CF .(1)若正方形ABCD 的边长为2,E 是AD 的中点.①如图1,当∠FEC =90°时,求证:△AEF ∽△DCE ;②如图2,当tan ∠FCE =23时,求AF 的长;(2)如图3,延长CF ,DA 交于点G ,当GE =DE ,sin ∠FCE =13时,求证:AE =AF .15(2023·湖北武汉·统考中考真题)问题提出:如图(1),E 是菱形ABCD 边BC 上一点,△AEF 是等腰三角形,AE =EF ,∠AEF =∠ABC =αa ≥90° ,AF 交CD 于点G ,探究∠GCF 与α的数量关系.问题探究:(1)先将问题特殊化,如图(2),当α=90°时,直接写出∠GCF 的大小;(2)再探究一般情形,如图(1),求∠GCF 与α的数量关系.问题拓展:(3)将图(1)特殊化,如图(3),当α=120°时,若DG CG =12,求BECE的值.16(2023·山西·统考中考真题)问题情境:“综合与实践”课上,老师提出如下问题:将图1中的矩形纸片沿对角线剪开,得到两个全等的三角形纸片,表示为△ABC 和△DFE ,其中∠ACB =∠DEF =90°,∠A =∠D .将△ABC 和△DFE 按图2所示方式摆放,其中点B 与点F 重合(标记为点B ).当∠ABE =∠A 时,延长DE 交AC 于点G .试判断四边形BCGE 的形状,并说明理由.(1)数学思考:谈你解答老师提出的问题;(2)深入探究:老师将图2中的△DBE 绕点B 逆时针方向旋转,使点E 落在△ABC 内部,并让同学们提出新的问题.①“善思小组”提出问题:如图3,当∠ABE =∠BAC 时,过点A 作AM ⊥BE 交BE 的延长线于点M ,BM 与AC 交于点N .试猜想线段AM 和BE 的数量关系,并加以证明.请你解答此问题;②“智慧小组”提出问题:如图4,当∠CBE=∠BAC时,过点A作AH⊥DE于点H,若BC=9,AC=12,求AH的长.请你思考此问题,直接写出结果.17(2023·湖北十堰·统考中考真题)过正方形ABCD的顶点D作直线DP,点C关于直线DP的对称点为点E,连接AE,直线AE交直线DP于点F.(1)如图1,若∠CDP=25°,则∠DAF=°;(2)如图1,请探究线段CD,EF,AF之间的数量关系,并证明你的结论;(3)在DP绕点D转动的过程中,设AF=a,EF=b请直接用含a,b的式子表示DF的长.18(2023·辽宁大连·统考中考真题)综合与实践问题情境:数学活动课上,王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质.已知AB=AC,∠A>90°,点E为AC上一动点,将△ABE以BE为对称轴翻折.同学们经过思考后进行如下探究:独立思考:小明:“当点D落在BC上时,∠EDC=2∠ACB.”小红:“若点E为AC中点,给出AC与DC的长,就可求出BE的长.”实践探究:奋进小组的同学们经过探究后提出问题1,请你回答:问题1:在等腰△ABC中,AB=AC,∠A>90°,△BDE由△ABE翻折得到.(1)如图1,当点D落在BC上时,求证:∠EDC=2∠ACB;(2)如图2,若点E为AC中点,AC=4,CD=3,求BE的长.问题解决:小明经过探究发现:若将问题1中的等腰三角形换成∠A<90°的等腰三角形,可以将问题进一步拓展.问题2:如图3,在等腰△ABC中,∠A<90°,AB=AC=BD=4,2∠D=∠ABD.若CD=1,则求BC的长.19(2023·山东·统考中考真题)(1)如图1,在矩形ABCD中,点E,F分别在边DC,BC上,AE⊥DF,垂足为点G.求证:△ADE∽△DCF.【问题解决】(2)如图2,在正方形ABCD中,点E,F分别在边DC,BC上,AE=DF,延长BC到点H,使CH=DE,连接DH.求证:∠ADF=∠H.【类比迁移】(3)如图3,在菱形ABCD中,点E,F分别在边DC,BC上,AE=DF=11,DE=8,∠AED=60°,求CF 的长.20(2023·福建·统考中考真题)如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是AB边上不与A,B重合的一个定点.AO⊥BC于点O,交CD于点E.DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的,FD,CA的延长线相交于点M.(1)求证:△ADE∽△FMC;(2)求∠ABF的度数;(3)若N是AF的中点,如图2.求证:ND=NO.21(2023·四川·统考中考真题)如图1,已知线段AB,AC,线段AC绕点A在直线AB上方旋转,连接BC,以BC为边在BC上方作Rt△BDC,且∠DBC=30°.(1)若∠BDC=90°,以AB为边在AB上方作Rt△BAE,且∠AEB=90°,∠EBA=30°,连接DE,用等式表示线段AC与DE的数量关系是;(2)如图2,在(1)的条件下,若DE⊥AB,AB=4,AC=2,求BC的长;(3)如图3,若∠BCD=90°,AB=4,AC=2,当AD的值最大时,求此时tan∠CBA的值.22(2023·广西·统考中考真题)【探究与证明】折纸,操作简单,富有数学趣味,我们可以通过折纸开展数学探究,探索数学奥秘.【动手操作】如图1,将矩形纸片ABCD对折,使AD与BC重合,展平纸片,得到折痕EF;折叠纸片,使点B 落在EF上,并使折痕经过点A,得到折痕AM,点B,E的对应点分别为B ,E ,展平纸片,连接AB ,BB ,BE .请完成:(1)观察图1中∠1,∠2和∠3,试猜想这三个角的大小关系;(2)证明(1)中的猜想;【类比操作】如图2,N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点,连接BN,在AB上取一点P,折叠纸片,使B ,P 两点重合,展平纸片,得到折痕EF ;折叠纸片,使点B ,P 分别落在EF ,BN 上,得到折痕l ,点B ,P 的对应点分别为B ,P ,展平纸片,连接,P B .请完成:(3)证明BB 是∠NBC 的一条三等分线.23(2023·重庆·统考中考真题)在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,∠B =60°,点D 为线段AB 上一动点,连接CD .(1)如图1,若AC =9,BD =3,求线段AD 的长.(2)如图2,以CD 为边在CD 上方作等边△CDE ,点F 是DE 的中点,连接BF 并延长,交CD 的延长线于点G .若∠G =∠BCE ,求证:GF =BF +BE .(3)在CD 取得最小值的条件下,以CD 为边在CD 右侧作等边△CDE .点M 为CD 所在直线上一点,将△BEM 沿BM 所在直线翻折至△ABC 所在平面内得到△BNM .连接AN ,点P 为AN 的中点,连接CP ,当CP 取最大值时,连接BP ,将△BCP 沿BC 所在直线翻折至△ABC 所在平面内得到△BCQ ,请直接写出此时NQ CP的值.24(2023·湖南·统考中考真题)如图,在等边三角形ABC 中,D 为AB 上的一点,过点D 作BC 的平行线DE 交AC 于点E ,点P 是线段DE 上的动点(点P 不与D 、E 重合).将△ABP 绕点A 逆时针方向旋转60°,得到△ACQ ,连接EQ 、PQ ,PQ 交AC 于F .(1)证明:在点P 的运动过程中,总有∠PEQ =120°.(2)当AP DP为何值时,△AQF 是直角三角形?25(2023·黑龙江·统考中考真题)如图①,△ABC和△ADE是等边三角形,连接DC,点F,G,H分别是DE,DC和BC的中点,连接FG,FH.易证:FH=3FG.若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,且∠BAC=∠DAE=90°,如图②:若△ABC和△ADE都是等腰三角形,且∠BAC=∠DAE=120°,如图③:其他条件不变,判断FH和FG之间的数量关系,写出你的猜想,并利用图②或图③进行证明.26(2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题)综合与实践数学模型可以用来解决一类问题,是数学应用的基本途径.通过探究图形的变化规律,再结合其他数学知识的内在联系,最终可以获得宝贵的数学经验,并将其运用到更广阔的数学天地.(1)发现问题:如图1,在△ABC和△AEF中,AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF=30°,连接BE,CF,延长BE交CF于点D.则BE与CF的数量关系:,∠BDC=°;(2)类比探究:如图2,在△ABC和△AEF中,AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF=120°,连接BE,CF,延长BE,FC交于点D.请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数,并说明理由;(3)拓展延伸:如图3,△ABC和△AEF均为等腰直角三角形,∠BAC=∠EAF=90°,连接BE,CF,且点B,E,F在一条直线上,过点A作AM⊥BF,垂足为点M.则BF,CF,AM之间的数量关系:;(4)实践应用:正方形ABCD中,AB=2,若平面内存在点P满足∠BPD=90°,PD=1,则S△ABP=.27(2023·广东深圳·统考中考真题)(1)如图,在矩形ABCD中,E为AD边上一点,连接BE,①若BE=BC,过C作CF⊥BE交BE于点F,求证:△ABE≌△FCB;=20时,则BE⋅CF=.②若S矩形ABCD(2)如图,在菱形ABCD中,cos A=13,过C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,过E作EF⊥AD交AD =24时,求EF⋅BC的值.于点F,若S菱形ABCD(3)如图,在平行四边形ABCD中,∠A=60°,AB=6,AD=5,点E在CD上,且CE=2,点F为BC上一点,连接EF,过E作EG⊥EF交平行四边形ABCD的边于点G,若EF⋅EG=73时,请直接写出AG的长.28(2023·内蒙古·统考中考真题)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点P,Q分别是边BC,线段OD上的点,连接AP,QP,AP与OB相交于点E.(1)如图1,连接QA.当QA=QP时,试判断点Q是否在线段PC的垂直平分线上,并说明理由;(2)如图2,若∠APB=90°,且∠BAP=∠ADB,①求证:AE=2EP;②当OQ=OE时,设EP=a,求PQ的长(用含a的代数式表示).29(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)数学兴趣小组探究了以下几何图形.如图①,把一个含有45°角的三角尺放在正方形ABCD中,使45°角的顶点始终与正方形的顶点C重合,绕点C旋转三角尺时,45°角的两边CM ,CN 始终与正方形的边AD ,AB 所在直线分别相交于点M ,N ,连接MN ,可得△CMN .【探究一】如图②,把△CDM 绕点C 逆时针旋转90°得到△CBH ,同时得到点H 在直线AB 上.求证:∠CNM =∠CNH ;【探究二】在图②中,连接BD ,分别交CM ,CN 于点E ,F .求证:△CEF ∽△CNM ;【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置,直线BD 与三角尺45°角两边CM ,CN 分别交于点E ,F .连接AC 交BD 于点O ,求EFNM的值.30(2023·山东东营·统考中考真题)(1)用数学的眼光观察.如图,在四边形ABCD 中,AD =BC ,P 是对角线BD 的中点,M 是AB 的中点,N 是DC 的中点,求证:∠PMN =∠PNM .(2)用数学的思维思考.如图,延长图中的线段AD 交MN 的延长线于点E ,延长线段BC 交MN 的延长线于点F ,求证:∠AEM =∠F .(3)用数学的语言表达.如图,在△ABC 中,AC <AB ,点D 在AC 上,AD =BC ,M 是AB 的中点,N 是DC 的中点,连接MN 并延长,与BC 的延长线交于点G ,连接GD ,若∠ANM =60°,试判断△CGD 的形状,并进行证明.31(2023·甘肃兰州·统考中考真题)综合与实践【思考尝试】(1)数学活动课上,老师出示了一个问题:如图1,在矩形ABCD中,E是边AB上一点,DF⊥CE于点F,GD⊥DF,AG⊥DG,AG=CF.试猜想四边形ABCD的形状,并说明理由;【实践探究】(2)小睿受此问题启发,逆向思考并提出新的问题:如图2,在正方形ABCD中,E是边AB上一点,DF⊥CE于点F,AH⊥CE于点H,GD⊥DF交AH于点G,可以用等式表示线段FH,AH,CF的数量关系,请你思考并解答这个问题;【拓展迁移】(3)小博深入研究小睿提出的这个问题,发现并提出新的探究点:如图3,在正方形ABCD中,E是边AB上一点,AH⊥CE于点H,点M在CH上,且AH=HM,连接AM,BH,可以用等式表示线段CM,BH的数量关系,请你思考并解答这个问题.32(2023·贵州·统考中考真题)如图①,小红在学习了三角形相关知识后,对等腰直角三角形进行了探究,在等腰直角三角形ABC中,CA=CB,∠C=90°,过点B作射线BD⊥AB,垂足为B,点P在CB上.(1)【动手操作】如图②,若点P在线段CB上,画出射线PA,并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E,根据题意在图中画出图形,图中∠PBE的度数为度;(2)【问题探究】根据(1)所画图形,探究线段PA与PE的数量关系,并说明理由;(3)【拓展延伸】如图③,若点P在射线CB上移动,将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E,探究线段BA,BP, BE之间的数量关系,并说明理由.33(2023·辽宁·统考中考真题)在RtΔABC中,∠ACB=90°,CA=CB,点O为AB的中点,点D在直线AB上(不与点A,B重合),连接CD,线段CD绕点C逆时针旋转90°,得到线段CE,过点B作直线l⊥BC,过点E作EF⊥l,垂足为点F,直线EF交直线OC于点G.(1)如图,当点D与点O重合时,请直接写出线段AD与线段EF的数量关系;(2)如图,当点D在线段AB上时,求证:CG+BD=2BC;(3)连接DE,△CDE的面积记为S1,△ABC的面积记为S2,当EF:BC=1:3时,请直接写出S1S2的值.34(2023·四川成都·统考中考真题)探究式学习是新课程倡导的重要学习方式,某兴趣小组拟做以下探究.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,D是AB边上一点,且ADBD=1n(n为正整数),E是AC边上的动点,过点D作DE的垂线交直线BC于点F.【初步感知】(1)如图1,当n=1时,兴趣小组探究得出结论:AE+BF=22AB,请写出证明过程.【深入探究】(2)①如图2,当n=2,且点F在线段BC上时,试探究线段AE,BF,AB之间的数量关系,请写出结论并证明;②请通过类比、归纳、猜想,探究出线段AE,BF,AB之间数量关系的一般结论(直接写出结论,不必证明)【拓展运用】(3)如图3,连接EF,设EF的中点为M.若AB=22,求点E从点A运动到点C的过程中,点M运动的路径长(用含n的代数式表示).35(2023·江苏徐州·统考中考真题)【阅读理解】如图1,在矩形ABCD中,若AB=a,BC=b,由勾股定理,得AC2=a2+b2,同理BD2=a2+b2,故AC2+BD2=2a2+b2.【探究发现】如图2,四边形ABCD为平行四边形,若AB=a,BC=b,则上述结论是否依然成立?请加以判断,并说明理由.【拓展提升】如图3,已知BO为△ABC的一条中线,AB=a,BC=b,AC=c.求证:BO2=a2+b22-c24.【尝试应用】如图4,在矩形ABCD中,若AB=8,BC=12,点P在边AD上,则PB2+PC2的最小值为.36(2023·四川南充·统考中考真题)如图,正方形ABCD中,点M在边BC上,点E是AM的中点,连接ED,EC.(1)求证:ED=EC;(2)将BE绕点E逆时针旋转,使点B的对应点B 落在AC上,连接MB′.当点M在边BC上运动时(点M 不与B,C重合),判断△CMB′的形状,并说明理由.(3)在(2)的条件下,已知AB=1,当∠DEB′=45°时,求BM的长.37(2023·安徽·统考中考真题)在Rt△ABC中,M是斜边AB的中点,将线段MA绕点M旋转至MD 位置,点D在直线AB外,连接AD,BD.(1)如图1,求∠ADB的大小;(2)已知点D和边AC上的点E满足ME⊥AD,DE∥AB.(ⅰ)如图2,连接CD,求证:BD=CD;(ⅱ)如图3,连接BE,若AC=8,BC=6,求tan∠ABE的值.38(2023·浙江宁波·统考中考真题)定义:有两个相邻的内角是直角,并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形,相等两邻边的夹角称为邻等角.(1)如图1,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,对角线BD平分∠ADC.求证:四边形ABCD为邻等四边形.(2)如图2,在6×5的方格纸中,A,B,C三点均在格点上,若四边形ABCD是邻等四边形,请画出所有符合条件的格点D.(3)如图3,四边形ABCD是邻等四边形,∠DAB=∠ABC=90°,∠BCD为邻等角,连接AC,过B作BE∥AC交DA的延长线于点E.若AC=8,DE=10,求四边形EBCD的周长.39(2023·江苏扬州·统考中考真题)【问题情境】在综合实践活动课上,李老师让同桌两位同学用相同的两块含30°的三角板开展数学探究活动,两块三角板分别记作△ADB和△A D C,∠ADB=∠A D C=90°,∠B=∠C=30°,设AB=2.【操作探究】如图1,先将△ADB和△A D C的边AD、A D 重合,再将△A D C绕着点A按顺时针方向旋转,旋转角为α0°≤α≤360°,旋转过程中△ADB保持不动,连接BC.(1)当α=60°时,BC=;当BC=22时,α=°;(2)当α=90°时,画出图形,并求两块三角板重叠部分图形的面积;(3)如图2,取BC的中点F,将△A D C绕着点A旋转一周,点F的运动路径长为.40(2023·四川乐山·统考中考真题)在学习完《图形的旋转》后,刘老师带领学生开展了一次数学探究活动【问题情境】刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容:如图,将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达△AB C 的位置,那么可以得到:AB=AB ,AC =AC ,BC=B C ;∠BAC=∠B AC ,∠ABC=∠AB C ,∠ACB=∠AC B ()刘老师进一步谈到:图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中,即“变”中蕴含着“不变”,这是我们解决图形旋转的关键;故数学就是一门哲学.【问题解决】(1)上述问题情境中“( )”处应填理由:;(2)如图,小王将一个半径为4cm,圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A BC 的位置.①请在图中作出点O;②如果BB =6cm,则在旋转过程中,点B经过的路径长为;【问题拓展】小李突发奇想,将与(2)中完全相同的两个扇形纸板重叠,一个固定在墙上,使得一边位于水平位置,另一个在弧的中点处固定,然后放开纸板,使其摆动到竖直位置时静止,此时,两个纸板重叠部分的面积是多少呢?如图所示,请你帮助小李解决这个问题.。
中考平面几何压轴(三角形与四边形)训练15题(精选)1.如图,四边形ABCD 是平行四边形,且对角线AC , BD 交于点O ,点M , N 分别在AD , BC 上,且AM = CN ,点E ,F 分别是BD 与AN ,CM 的交点.(1)求证:OE = OF ;(2)连接BM 交AC 于点H ,连接HE ,HF ;(i)如图2,若HE ∥AB ,求证: FH ∥AD ;(ii)如图3,若四边形ABCD 为菱形且DM = 2AM ,∠EHF=60°,求AC BD 的值.2.(1)如图①,在矩形ABCD 的AB 边上取一点E ,将ΔADE 沿DE 翻折,使点A 落在BC 上的A′处,若AB =6,BC =10,求AEEB 的值;(2)如图②,在矩形ABCD 的BC 上取一点E ,将四边形ABED 沿DE 翻折,使点B 落在DC 的延长线上B′处,若BC ·CE =24,AB =6,求BE 的值;(3)如图③,在ΔABC 中,∠BAC =45°,AD ⊥BC ,垂足为点D ,AD =10,AE =6,过点E 作EF ⊥AD 交AC 于点F ,连接DF ,且满足∠DFE =2∠DAC ,直接写出BD+53EF 的值.3. 在正方形ABCD 中,AB =10, AC 是对角线,点O 是AC 的中点,点E 在AC 上,连接DE ,点C 关于DE 的对称点是C',连接DC' ,EC'.(1) 如图1,若DC'经过点O ,求证:OC ′CE = √22. (2) 如图2,连接CC',BC',若∠ADC' = 2∠CBC',求CC'的长;(3) 当点B , C', E 三点共线时,直接写出CE 的长.4.如图,正方形ABCD中,点M在边BC上,点E是AM的中点,连接ED,EC.(1)求证:ED= EC;(2)将BE绕点E逆时针旋转,使点B的对应点B′落在AC上,连接MB′.当点M在边BC上运动时(点M不与B,C 重合),判断△CMB′的形状,并说明理由.(3)在(2)的条件下,已知AB= 1,当∠DEB′=45°时,求BM的长.5.如图,在正方形ABCD中,点M、N在直线BD上,连接AM,AN并延长交BC、CD于点E、F,连接EN.(1)如图1,若M,N都在线段BD上,且AN = NE,求∠MAN;(2)如图2.当点M在线段DB 延长线上时,AN = NE,(1)中∠MAN的度数不变,判断BM,DN,MN之间的数量关系并证明;(3)如图3,若点M在DB的延长线上,N在BD的延长线上,且∠MAN=135°(i)AB=√6,MB=√3,求DN.(ii)求证:2AM2 - MB 2= MN2 - BN2.6.如图,在RtΔABC与RtΔBDE中,∠BAC=∠BDE=90°,∠ABC=∠DBE=α.(1)如图1,当α= 60°,且点E为BC的中点时,若AB=2,连接AD.求AD的长度;(2)如图2,若α≠ 60°,且点E为BC中点时,取CE中点F,连接AF、DF。
1、如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,∠BCD=90°,且AB=1,BC=2,tan ∠ADC=2.
(1) 求证:DC=BC;
(2) E 是梯形内一点,F 是梯形外一点,且∠E DC=∠F BC ,DE=BF ,试判断△E CF 的形
状,并证明你的结论;
(3) 在(2)的条件下,当BE :CE=1:2,∠BEC=135°时,求sin ∠BFE 的值.
2、已知:如图,在□ABCD 中,E 、F 分别为边AB 、CD 的中点,BD 是对角线,AG ∥DB 交CB 的延长线于G .
(1)求证:△ADE ≌△CBF ;
(2)若四边形 BEDF 是菱形,则四边形AGBD 是什么特殊四边形?并证明你的结论.
3、如图13-1,一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起.现正方形ABCD 保持不动,将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O (点O 也是BD 中点)按顺时针方向旋转.
(1)如图13-2,当EF 与AB 相交于点M ,GF 与BD 相交于点N 时,通过观察或测
量BM ,FN 的长度,猜想BM ,FN 满足的数量关系,并证明你的猜想;
(2)若三角尺GEF 旋转到如图13-3所示的位置时,线段FE 的延长线与AB 的延长
线相交于点M ,线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ,此时,(1)中的猜想还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
E B F
C
D
A 图13-2
图13-3
图13-1 A ( E )
4、如图,已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E,连结AD、BD、OC、OD,且OD=5。
(1)若sin∠BAD=3
5
,求CD的长;
(2)若∠ADO:∠EDO=4:1,求扇形OAC(阴影部分)的面积(结果保留π)。
5、如图,已知:C是以AB为直径的半圆O上一点,CH⊥AB于点H,直线AC与过B点的切线相交于点D,E为CH中点,连接AE并延长交BD于点F,直线CF交直线AB
于点G.
(1)求证:点F是BD中点;
(2)求证:CG是⊙O的切线;
(3)若FB=FE=2,求⊙O的半径.
6、如图,已知O为原点,点A的坐标为(4,3),
⊙A的半径为2.过A作直线l平行于x轴,点P在直线l上运动.
(1)当点P在⊙O上时,请你直接写出它的坐标;
(2)设点P的横坐标为12,试判断直线OP与⊙A的位置关系,并说明理由.
7、如图,延长⊙O 的半径OA 到B ,使OA=AB ,
DE 是圆的一条切线,E 是切点,过点B 作DE 的垂线,
垂足为点C .
求证:∠ACB=31∠OAC .
8、如图1,一架长4米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON 上,梯子与地面的倾斜角α为
60.
⑴求AO 与BO 的长;
⑵若梯子顶端A 沿NO 下滑,同时底端B 沿OM 向右滑行.
①如图2,设A 点下滑到C 点,B 点向右滑行到D 点,并且AC:BD=2:3,试计算梯子顶端A 沿NO 下滑多少米;
②如图3,当A 点下滑到A ’点,B 点向右滑行到B ’点时,梯子AB 的中点P 也随之运动到P ’点.若∠POP ’= 15,试求AA ’的长.
[解析]
⑴AOB Rt 中,∠O =90,∠α=
60
∴,∠OAB= 30,又AB=4米,
C A B
D O E
9.(重庆,10分)如图,在平面直角坐标系内,已知点A (0,6)、点B (8,0),动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动,同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q 移动的时间为t 秒.
(1) 求直线AB 的解析式;(2) 当t 为何值时,△APQ 与△AOB 相似?
(3) 当t 为何值时,△APQ 的面积为524
个平方单位?
10.(南充,10分)如图2-5-7,矩形ABCD 中,AB =8,BC =6,对角线AC 上有一个动点P (不包括点A 和点C ).设AP =x ,四边形PBCD 的面积为y .
(1)写出y 与x 的函数关系,并确定自变量x 的范围.
(2)有人提出一个判断:“关于动点P ,⊿PBC 面积与⊿PAD 面积之和为常数”.请你说明此判断是否正确,并说明理由.。